Metode Gaussian memiliki sejumlah kelemahan: tidak mungkin untuk mengetahui apakah sistem konsisten atau tidak sampai semua transformasi yang diperlukan dalam metode Gaussian telah dilakukan; metode Gaussian tidak cocok untuk sistem dengan koefisien huruf.

Pertimbangkan metode lain untuk memecahkan sistem persamaan linier. Metode-metode ini menggunakan konsep pangkat suatu matriks dan mereduksi solusi dari sistem gabungan apa pun menjadi solusi sistem yang menerapkan aturan Cramer.

Contoh 1 Temukan solusi umum dari sistem persamaan linier berikut menggunakan sistem dasar solusi dari sistem homogen tereduksi dan solusi khusus dari sistem tidak homogen.

1. Kami membuat matriks A dan matriks yang diperbesar dari sistem (1)

2. Jelajahi sistem (1) untuk kompatibilitas. Untuk melakukan ini, kami menemukan jajaran matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jika ternyata , maka sistem (1) tidak kompatibel. Jika kita mendapatkan itu , maka sistem ini konsisten dan kami akan menyelesaikannya. (Studi konsistensi didasarkan pada teorema Kronecker-Capelli).

sebuah. Kami menemukan rA.

Mencari rA, kita akan mempertimbangkan berturut-turut bukan nol minor dari orde matriks pertama, kedua, dst. A dan anak-anak di bawah umur di sekitar mereka.

M1=1≠0 (1 diambil dari sudut kiri atas matriks TETAPI).

berbatasan M1 baris kedua dan kolom kedua matriks ini. . Kami terus berbatasan M1 baris kedua dan kolom ketiga..gif" width="37" height="20 src=">. Sekarang kita batasi minor bukan nol 2′ pesanan kedua.

Kita punya: (karena dua kolom pertama sama)

(karena garis kedua dan ketiga proporsional).

Kami melihat itu rA=2, dan merupakan basis minor dari matriks A.

b. Kami menemukan .

Di bawah umur yang cukup mendasar 2′ matriks A perbatasan dengan kolom anggota bebas dan semua baris (kami hanya memiliki baris terakhir).

. Ini mengikuti dari ini bahwa 3′′ tetap menjadi dasar minor dari matriks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Sebagai 2′- basis minor dari matriks A sistem (2) , maka sistem ini setara dengan sistem (3) , terdiri dari dua persamaan pertama dari sistem (2) (untuk 2′ berada pada dua baris pertama matriks A).

(3)

Karena minor dasarnya adalah https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Dalam sistem ini, dua tidak diketahui bebas ( x2 dan x4 ). Jadi FSR sistem (4) terdiri dari dua solusi. Untuk menemukannya, kami menetapkan yang tidak diketahui gratis ke (4) nilai dulu x2=1 , x4=0 , lalu - x2=0 , x4=1 .

Pada x2=1 , x4=0 kita mendapatkan:

.

Sistem ini sudah memiliki satu-satunya solusi (dapat ditemukan dengan aturan Cramer atau dengan metode lain). Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua, kita peroleh:

Keputusannya akan x1= -1 , x3=0 . Mengingat nilai-nilai x2 dan x4 , yang telah kita berikan, kita memperoleh solusi fundamental pertama dari sistem (2) : .

Sekarang kita masukkan (4) x2=0 , x4=1 . Kita mendapatkan:

.

Kami memecahkan sistem ini menggunakan teorema Cramer:

.

Kami memperoleh solusi fundamental kedua dari sistem (2) : .

Solusi 1 , 2 dan make up FSR sistem (2) . Maka solusi umumnya adalah

γ= C1 1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, 1, 4С2, 2)

Di Sini C1 , C2 adalah konstanta arbitrer.

4. Temukan satu pribadi keputusan sistem heterogen(1) . Seperti pada paragraf 3 , alih-alih sistem (1) pertimbangkan sistem yang setara (5) , terdiri dari dua persamaan pertama dari sistem (1) .

(5)

Kami mentransfer yang tidak diketahui gratis ke sisi kanan x2 dan x4.

(6)

Mari kita berikan yang tidak diketahui gratis x2 dan x4 nilai arbitrer, misalnya x2=2 , x4=1 dan hubungkan ke (6) . Ayo dapatkan sistemnya

Sistem ini memiliki solusi unik (karena determinannya 2′0). Memecahkannya (menggunakan teorema Cramer atau metode Gauss), kami memperoleh x1=3 , x3=3 . Mengingat nilai-nilai yang tidak diketahui gratis x2 dan x4 , kita mendapatkan solusi khusus dari sistem tidak homogen(1)1=(3,2,3,1).

5. Sekarang tinggal menulis solusi umum dari sistem tak homogen(1) : sama dengan jumlah keputusan pribadi sistem ini dan solusi umum dari sistem homogen tereduksinya (2) :

=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, 1, 4С2, 2).

Itu berarti: (7)

6. Penyelidikan. Untuk memeriksa apakah Anda telah memecahkan sistem dengan benar (1) , kita membutuhkan solusi umum (7) pengganti di (1) . Jika setiap persamaan menjadi identitas ( C1 dan C2 harus dimusnahkan), maka solusinya ditemukan dengan benar.

Kami akan mengganti (7) misalnya, hanya dalam persamaan terakhir dari sistem (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Kita peroleh: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Dimana -1=-1. Kami mendapat identitas. Kami melakukan ini dengan semua persamaan lain dari sistem (1) .

Komentar. Verifikasi biasanya cukup rumit. Kami dapat merekomendasikan "verifikasi parsial" berikut: dalam solusi keseluruhan sistem (1) tetapkan beberapa nilai ke konstanta arbitrer dan substitusikan solusi tertentu yang dihasilkan hanya ke dalam persamaan yang dibuang (yaitu, ke dalam persamaan dari (1) yang tidak termasuk dalam (5) ). Jika Anda mendapatkan identitas, maka lebih mungkin, solusi sistem (1) ditemukan dengan benar (tetapi pemeriksaan seperti itu tidak memberikan jaminan kebenaran sepenuhnya!). Misalnya, jika dalam (7) taruh C2=- 1 , C1 = 1, maka diperoleh: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substitusi ke persamaan terakhir sistem (1), kita dapatkan: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yaitu -1=-1. Kami mendapat identitas.

Contoh 2 Temukan solusi umum untuk sistem persamaan linear (1) , mengungkapkan yang tidak diketahui utama dalam hal yang gratis.

Keputusan. Seperti dalam Contoh 1, buat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dari matriks ini. Sekarang kita hanya menyisakan persamaan sistem tersebut (1) , koefisien yang termasuk dalam minor dasar ini (yaitu, kami memiliki dua persamaan pertama) dan mempertimbangkan sistem yang terdiri dari mereka, yang setara dengan sistem (1).

Mari kita pindahkan yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan persamaan ini.

sistem (9) kita selesaikan dengan metode Gaussian, dengan mempertimbangkan bagian yang tepat sebagai anggota bebas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Pilihan 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opsi 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opsi 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opsi 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Sistem persamaan linier homogen di atas bidang

DEFINISI. Sistem dasar solusi sistem persamaan (1) adalah sistem bebas linier tak-kosong dari solusi-solusinya, rentang liniernya bertepatan dengan himpunan semua solusi sistem (1).

Perhatikan bahwa sistem persamaan linier homogen yang hanya memiliki solusi nol tidak memiliki sistem solusi fundamental.

PROPOSISI 3.11. Setiap dua sistem dasar solusi dari sistem persamaan linier homogen terdiri dari jumlah solusi yang sama.

Bukti. Memang, dua sistem dasar solusi dari sistem persamaan homogen (1) adalah setara dan independen linier. Oleh karena itu, dengan Proposisi 1.12, peringkat mereka sama. Oleh karena itu, jumlah solusi yang termasuk dalam satu sistem fundamental sama dengan jumlah solusi yang termasuk dalam sistem solusi fundamental lainnya.

Jika matriks utama A dari sistem persamaan homogen (1) adalah nol, maka sembarang vektor dari adalah solusi untuk sistem (1); dalam hal ini, setiap kumpulan vektor bebas linier dari adalah sistem solusi dasar. Jika pangkat kolom dari matriks A adalah , maka sistem (1) hanya memiliki satu solusi - nol; oleh karena itu, dalam hal ini, sistem persamaan (1) tidak memiliki sistem solusi fundamental.

TEOREMA 3.12. Jika pangkat matriks utama dari sistem persamaan linear homogen (1) lebih kecil dari jumlah variabel , maka sistem (1) memiliki sistem solusi fundamental yang terdiri dari solusi.

Bukti. Jika pangkat matriks utama A dari sistem homogen (1) sama dengan nol atau , maka teorema tersebut benar. Oleh karena itu, diasumsikan di bawah ini bahwa Dengan asumsi , kita akan mengasumsikan bahwa kolom pertama dari matriks A bebas linier. Dalam hal ini, matriks A ekuivalen baris dengan matriks langkah tereduksi, dan sistem (1) ekuivalen dengan sistem persamaan langkah tereduksi berikut:

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa setiap sistem nilai variabel bebas sistem (2) sesuai dengan satu dan hanya satu solusi sistem (2) dan, oleh karena itu, sistem (1). Secara khusus, hanya solusi nol dari sistem (2) dan sistem (1) yang sesuai dengan sistem nilai nol.

Dalam sistem (2), kami akan menetapkan nilai yang sama dengan 1 untuk salah satu variabel bebas, dan nilai nol untuk variabel lainnya. Hasilnya, kami memperoleh solusi untuk sistem persamaan (2), yang kami tulis sebagai baris dari matriks C berikut:

Sistem baris matriks ini bebas linier. Memang, untuk setiap skalar dari kesetaraan

persamaan mengikuti

dan karenanya kesetaraan

Mari kita buktikan bahwa bentang linier sistem baris matriks C bertepatan dengan himpunan semua solusi sistem (1).

Solusi sewenang-wenang dari sistem (1). maka vektor

juga merupakan solusi untuk sistem (1), dan

Sistem persamaan linear yang semua suku bebasnya sama dengan nol disebut homogen :

Setiap sistem homogen selalu konsisten, karena selalu memiliki nol (remeh ) solusi. Muncul pertanyaan dalam kondisi apa sistem homogen akan memiliki solusi non-sepele.

Teorema 5.2.Suatu sistem homogen memiliki solusi non-trivial jika dan hanya jika pangkat matriks utama kurang dari jumlah yang tidak diketahuinya.

Konsekuensi. Suatu sistem homogen persegi memiliki solusi non-trivial jika dan hanya jika determinan matriks utama sistem tersebut tidak sama dengan nol.

Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l yang sistemnya memiliki solusi nontrivial dan temukan solusi ini:

Keputusan. Sistem ini akan memiliki solusi non-trivial ketika determinan matriks utama sama dengan nol:

Jadi, sistem tersebut nontrivial ketika l=3 atau l=2. Untuk l=3, pangkat matriks utama sistem adalah 1. Maka, hanya menyisakan satu persamaan dan dengan asumsi bahwa kamu=sebuah dan z=b, kita mendapatkan x=b-a, yaitu

Untuk l=2, rank dari matriks utama sistem adalah 2. Kemudian, dipilih sebagai minor dasar:

kita mendapatkan sistem yang disederhanakan

Dari sini kita menemukan bahwa x=z/4, y=z/2. Asumsi z=4sebuah, kita mendapatkan

Himpunan semua solusi dari sistem homogen memiliki yang sangat penting properti linier : jika kolom X 1 dan X 2 - solusi dari sistem homogen AX = 0, maka setiap kombinasi linier dari mereka sebuah X 1+b X 2 juga akan menjadi solusi dari sistem ini. Memang, sejak KAPAK 1 = 0 dan KAPAK 2 = 0 , kemudian A(sebuah X 1+b X 2) = KAPAK 1+b KAPAK 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Karena sifat ini, jika sistem linier memiliki lebih dari satu solusi, maka akan ada banyak solusi ini.

Kolom Independen Linier E 1 , E 2 , E k, yang merupakan solusi dari sistem homogen, disebut sistem keputusan mendasar sistem persamaan linier homogen jika solusi umum dari sistem ini dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom berikut:

Jika suatu sistem homogen memiliki n variabel, dan pangkat matriks utama sistem sama dengan r, kemudian k = n-r.

Contoh 5.7. Temukan sistem dasar solusi dari sistem persamaan linier berikut:

Keputusan. Tentukan pangkat matriks utama sistem:

Jadi, himpunan solusi dari sistem persamaan ini membentuk subruang linier berdimensi n - r= 5 - 2 = 3. Kami memilih sebagai minor dasar

.

Kemudian, hanya menyisakan persamaan dasar (sisanya akan menjadi kombinasi linier dari persamaan ini) dan variabel dasar (kami mentransfer sisanya, yang disebut variabel bebas ke kanan), kami mendapatkan sistem persamaan yang disederhanakan:

Asumsi x 3 = sebuah, x 4 = b, x 5 = c, kami menemukan

, .

Asumsi sebuah= 1, b=c= 0, kita memperoleh solusi dasar pertama; asumsi b= 1, a = c= 0, kita memperoleh solusi dasar kedua; asumsi c= 1, a = b= 0, kita memperoleh solusi dasar ketiga. Akibatnya, sistem solusi fundamental normal berbentuk

Dengan menggunakan sistem fundamental, solusi umum sistem homogen dapat ditulis sebagai:

X = aE 1 + menjadi 2 + cE 3 . sebuah

Mari kita perhatikan beberapa sifat solusi dari sistem persamaan linier tidak homogen AX=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sesuai AX = 0.

Solusi umum sistem tak homogensama dengan jumlah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian AX = 0 dan solusi khusus sewenang-wenang dari sistem tidak homogen. Memang, mari kamu 0 adalah solusi khusus arbitrer dari sistem tidak homogen, mis. AY 0 = B, dan kamu adalah solusi umum dari sistem yang tidak homogen, yaitu AY=B. Mengurangkan satu persamaan dari yang lain, kita dapatkan
A(Y Y 0) = 0, yaitu Y Y 0 adalah solusi umum dari sistem homogen yang sesuai KAPAK=0. Karena itu, Y Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Misalkan sistem tak homogen berbentuk AX = B 1 + B 2 . Maka solusi umum dari sistem tersebut dapat ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , dimana AX 1 = B 1 dan AX 2 = B 2. Sifat ini menyatakan sifat universal dari setiap sistem linier secara umum (aljabar, diferensial, fungsional, dll.). Dalam fisika, sifat ini disebut prinsip superposisi, dalam teknik listrik dan radio - prinsip overlay. Misalnya, dalam teori rangkaian listrik linier, arus dalam rangkaian apa pun dapat diperoleh sebagai jumlah aljabar dari arus yang disebabkan oleh masing-masing sumber energi secara terpisah.

Sistem homogen selalu konsisten dan memiliki solusi trivial
. Untuk solusi nontrivial ada, perlu bahwa peringkat matriks kurang dari jumlah yang tidak diketahui:

.

Sistem keputusan mendasar sistem homogen
sebut sistem solusi dalam bentuk vektor kolom
, yang sesuai dengan dasar kanonik, yaitu. dasar di mana konstanta arbitrer
secara bergantian diatur sama dengan satu, sedangkan sisanya diatur ke nol.

Maka solusi umum dari sistem homogen memiliki bentuk:

di mana
adalah konstanta arbitrer. Dengan kata lain, solusi umum adalah kombinasi linier dari sistem dasar solusi.

Jadi, solusi dasar dapat diperoleh dari solusi umum jika yang tidak diketahui bebas secara bergantian diberi nilai kesatuan, dengan asumsi semua yang lain sama dengan nol.

Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistem

Kami menerima , maka kami mendapatkan solusi dalam bentuk:

Sekarang mari kita membangun sistem solusi dasar:

.

Solusi umum dapat ditulis sebagai:

Solusi untuk sistem persamaan linier homogen memiliki sifat-sifat berikut:

Dengan kata lain, setiap kombinasi linear dari solusi untuk sistem homogen sekali lagi merupakan solusi.

Solusi sistem persamaan linier dengan metode Gauss

Memecahkan sistem persamaan linier telah menarik bagi matematikawan selama beberapa abad. Hasil pertama diperoleh pada abad XVIII. Pada tahun 1750, G. Kramer (1704–1752) menerbitkan karyanya tentang determinan matriks persegi dan mengusulkan algoritma untuk menemukan matriks terbalik. Pada tahun 1809, Gauss menguraikan metode solusi baru yang dikenal sebagai metode eliminasi.

Metode Gauss, atau metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui, terdiri dari fakta bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem persamaan direduksi menjadi sistem yang setara dengan bentuk bertahap (atau segitiga). Sistem seperti itu memungkinkan Anda untuk secara konsisten menemukan semua yang tidak diketahui dalam urutan tertentu.

Misalkan dalam sistem (1)
(yang selalu mungkin).

(1)

Mengalikan persamaan pertama secara bergantian dengan apa yang disebut nomor yang cocok

dan menambahkan hasil perkalian dengan persamaan yang sesuai dari sistem, kita mendapatkan sistem yang setara di mana semua persamaan, kecuali yang pertama, tidak akan diketahui X 1

(2)

Kami sekarang mengalikan persamaan kedua sistem (2) dengan angka yang sesuai, dengan asumsi bahwa

,

dan menambahkannya ke yang lebih rendah, kami menghilangkan variabel dari semua persamaan, dimulai dengan yang ketiga.

Melanjutkan proses ini, setelah
langkah yang kita dapatkan:

(3)

Jika setidaknya salah satu dari angka
tidak sama dengan nol, maka persamaan yang sesuai tidak konsisten dan sistem (1) tidak konsisten. Sebaliknya, untuk sembarang sistem bilangan gabungan
sama dengan nol. Nomor tidak lain adalah pangkat dari matriks sistem (1).

Transisi dari sistem (1) ke (3) disebut dalam garis lurus Metode Gaussian, dan menemukan yang tidak diketahui dari (3) - ke belakang .

Komentar : Lebih mudah untuk melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks yang diperluas dari sistem (1).

Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistem

.

Mari kita tulis matriks yang diperbesar dari sistem:

.

Mari kita tambahkan ke baris 2,3,4 yang pertama, dikalikan dengan (-2), (-3), (-2) berturut-turut:

.

Mari kita tukar baris 2 dan 3, lalu pada matriks yang dihasilkan tambahkan baris 2 ke baris 4, dikalikan dengan :

.

Tambahkan ke baris 4 baris 3 dikalikan dengan
:

.

Jelas bahwa
, maka sistem ini konsisten. Dari sistem persamaan yang dihasilkan

kami menemukan solusinya dengan substitusi terbalik:

,
,
,
.

Contoh 2 Temukan solusi sistem:

.

Jelas bahwa sistem ini tidak konsisten, karena
, sebuah
.

Keuntungan dari metode Gauss :

Lebih sedikit memakan waktu daripada metode Cramer.

Jelas menetapkan kompatibilitas sistem dan memungkinkan Anda untuk menemukan solusi.

Memberikan kemampuan untuk menentukan peringkat matriks apa pun.

Biarlah M 0 adalah himpunan solusi dari sistem homogen (4) persamaan linear.

Definisi 6.12. Vektor dengan 1 ,dengan 2 , …, dengan p, yang merupakan solusi dari sistem persamaan linier homogen, disebut kumpulan solusi dasar(disingkat FNR) jika

1) vektor dengan 1 ,dengan 2 , …, dengan p bebas linier (yaitu, tidak ada satu pun yang dapat diekspresikan dalam bentuk yang lain);

2) solusi lain dari sistem persamaan linier homogen dapat dinyatakan dalam bentuk solusi dengan 1 ,dengan 2 , …, dengan p.

Perhatikan bahwa jika dengan 1 ,dengan 2 , …, dengan p adalah beberapa f.n.r., maka dengan ekspresi k 1× dengan 1 + k 2× dengan 2 + … + kp× dengan p dapat menggambarkan seluruh rangkaian M 0 solusi untuk sistem (4), sehingga disebut pandangan umum dari solusi sistem (4).

Teorema 6.6. Setiap sistem persamaan linier homogen tak tentu memiliki seperangkat solusi mendasar.

Cara mencari himpunan penyelesaian dasar adalah sebagai berikut:

Temukan solusi umum dari sistem persamaan linier homogen;

Membangun ( n – r) solusi parsial dari sistem ini, sedangkan nilai-nilai yang tidak diketahui bebas harus membentuk matriks identitas;

Tuliskan bentuk umum dari solusi yang termasuk dalam M 0 .

Contoh 6.5. Tentukan himpunan penyelesaian dasar dari sistem berikut:

Keputusan. Mari kita cari solusi umum dari sistem ini.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Sistem ini memiliki lima yang tidak diketahui ( n= 5), di mana ada dua prinsip yang tidak diketahui ( r= 2), tiga tidak diketahui bebas ( n – r), yaitu, himpunan dasar solusi berisi tiga vektor solusi. Mari kita membangun mereka. Kita punya x 1 dan x 3 - tidak diketahui utama, x 2 , x 4 , x 5 - tidak diketahui gratis

Nilai-nilai yang tidak diketahui gratis x 2 , x 4 , x 5 bentuk matriks identitas E urutan ketiga. Dapat vektor itu dengan 1 ,dengan 2 , dengan 3 bentuk f.n.r. sistem ini. Maka himpunan solusi dari sistem homogen ini adalah M 0 = {k 1× dengan 1 + k 2× dengan 2 + k 3× dengan 3 , k 1 , k 2 , k 3 R).

Mari kita cari tahu kondisi keberadaan solusi tak nol dari sistem persamaan linier homogen, dengan kata lain, kondisi keberadaan himpunan solusi fundamental.

Suatu sistem persamaan linier homogen memiliki solusi bukan-nol, yaitu tak tentu jika

1) peringkat matriks utama sistem kurang dari jumlah yang tidak diketahui;

2) dalam sistem persamaan linier homogen, jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui;

3) jika dalam sistem persamaan linier homogen jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui, dan determinan matriks utama sama dengan nol (yaitu | A| = 0).

Contoh 6.6. Berapa nilai parameternya? sebuah sistem persamaan linear homogen memiliki solusi bukan nol?

Keputusan. Mari kita buat matriks utama dari sistem ini dan cari determinannya: = = 1×(–1) 1+1 × = – sebuah– 4. Determinan matriks ini sama dengan nol bila sebuah = –4.

Menjawab: –4.

7. Aritmatika n-ruang vektor dimensi

Konsep dasar

Pada bagian sebelumnya, kita telah menemukan konsep himpunan bilangan real yang disusun dalam urutan tertentu. Ini adalah matriks baris (atau matriks kolom) dan solusi untuk sistem persamaan linier dengan n tidak dikenal. Informasi ini dapat diringkas.

Definisi 7.1. n-vektor aritmatika dimensi disebut himpunan terurut dari n bilangan asli.

Cara sebuah= (a 1 , a 2 , …, a n), dimana saya R, saya = 1, 2, …, n adalah pandangan umum dari vektor. Nomor n ditelepon dimensi vektor, dan bilangan a saya memanggilnya koordinat.

Sebagai contoh: sebuah= (1, –8, 7, 4, ) adalah vektor lima dimensi.

Siap n vektor -dimensi biasanya dilambangkan sebagai R n.

Definisi 7.2. Dua vektor sebuah= (a 1 , a 2 , …, a n) dan b= (b 1 , b 2 , …, b n) dengan dimensi yang sama setara jika dan hanya jika masing-masing koordinatnya sama, yaitu a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definisi 7.3.jumlah dua n-dimensi vektor sebuah= (a 1 , a 2 , …, a n) dan b= (b 1 , b 2 , …, b n) disebut vektor sebuah + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definisi 7.4. kerja bilangan asli k per vektor sebuah= (a 1 , a 2 , …, a n) disebut vektor k× sebuah = (k× 1 , k×a2 , …, k×a n)

Definisi 7.5. vektor tentang= (0, 0, …, 0) disebut nol(atau null-vektor).

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa tindakan (operasi) penambahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real memiliki sifat-sifat berikut: sebuah, b, c Î R n, " k, aku R:

1) sebuah + b = b + sebuah;

2) sebuah + (b+ c) = (sebuah + b) + c;

3) sebuah + tentang = sebuah;

4) sebuah+ (–sebuah) = tentang;

5) 1× sebuah = sebuah, 1 R;

6) k×( aku× sebuah) = aku×( k× sebuah) = (aku× k)× sebuah;

7) (k + aku)× sebuah = k× sebuah + aku× sebuah;

8) k×( sebuah + b) = k× sebuah + k× b.

Definisi 7.6. Sekelompok R n dengan operasi penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real disebut ruang vektor n-dimensi aritmatika.