Geometri adalah ilmu yang sangat beragam. Ini mengembangkan logika, imajinasi dan kecerdasan. Tentu saja, karena kerumitannya dan banyaknya teorema dan aksioma, anak sekolah tidak selalu menyukainya. Selain itu, ada kebutuhan untuk terus-menerus membuktikan kesimpulan mereka menggunakan standar dan aturan yang berlaku umum.

Sudut yang berdekatan dan vertikal merupakan bagian integral dari geometri. Pasti banyak anak sekolah yang hanya mengaguminya karena sifatnya yang jelas dan mudah dibuktikan.

Pembentukan sudut

Setiap sudut dibentuk oleh perpotongan dua garis atau dengan menggambar dua sinar dari satu titik. Mereka dapat disebut satu atau tiga huruf, yang berturut-turut menunjukkan titik-titik konstruksi sudut.

Sudut diukur dalam derajat dan dapat (bergantung pada nilainya) disebut berbeda. Jadi, ada sudut siku-siku, lancip, tumpul dan dikerahkan. Masing-masing nama sesuai dengan ukuran derajat tertentu atau intervalnya.

Sudut lancip adalah sudut yang besarnya tidak melebihi 90 derajat.

Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.

Suatu sudut disebut siku-siku jika besarnya 90.

Dalam kasus ketika itu dibentuk oleh satu garis lurus terus menerus, dan ukuran derajatnya adalah 180, itu disebut dikerahkan.

Sudut yang memiliki sisi yang sama, sisi kedua yang saling bersambung, disebut berdekatan. Mereka bisa tajam atau tumpul. Perpotongan garis membentuk sudut yang berdekatan. Sifat mereka adalah sebagai berikut:

1. Jumlah sudut tersebut akan sama dengan 180 derajat (ada teorema yang membuktikan hal ini). Oleh karena itu, salah satunya dapat dengan mudah dihitung jika yang lain diketahui.
2. Dari titik pertama berikut bahwa sudut yang berdekatan tidak dapat dibentuk oleh dua sudut tumpul atau dua sudut lancip.

Berkat sifat-sifat ini, seseorang selalu dapat menghitung ukuran derajat suatu sudut berdasarkan nilai sudut lain, atau setidaknya rasio di antara mereka.

Sudut vertikal

Sudut-sudut yang sisi-sisinya merupakan kelanjutan satu sama lain disebut vertikal. Salah satu varietas mereka dapat bertindak sebagai pasangan seperti itu. Sudut vertikal selalu sama besar satu sama lain.

Mereka terbentuk ketika garis berpotongan. Bersama dengan mereka, sudut yang berdekatan selalu ada. Sebuah sudut dapat berdekatan untuk satu dan vertikal untuk yang lain.

Saat melintasi garis sewenang-wenang, beberapa jenis sudut juga dipertimbangkan. Garis seperti itu disebut garis potong, dan membentuk sudut yang bersesuaian, satu sisi dan bersilangan. Mereka setara satu sama lain. Mereka dapat dilihat berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki oleh sudut vertikal dan sudut yang berdekatan.

Dengan demikian, topik sudut tampaknya cukup sederhana dan dapat dimengerti. Semua properti mereka mudah diingat dan dibuktikan. Memecahkan masalah tidak sulit selama sudut sesuai dengan nilai numerik. Lebih jauh lagi, ketika studi tentang sin dan cos dimulai, Anda harus mengingat banyak rumus kompleks, kesimpulan dan konsekuensinya. Sampai saat itu, Anda hanya dapat menikmati teka-teki mudah di mana Anda perlu menemukan sudut yang berdekatan.

BAB I

KONSEP DASAR.

§sebelas. SUDUT BERSAMA DAN VERTIKAL.

1. Sudut yang berdekatan.

Jika kita melanjutkan sisi dari beberapa sudut di luar simpulnya, kita akan mendapatkan dua sudut (Gbr. 72): / Matahari dan / SVD, di mana satu sisi BC adalah umum, dan dua lainnya AB dan BD membentuk garis lurus.

Dua sudut yang satu sisinya sama dan dua sisi lainnya membentuk garis lurus disebut sudut bersebelahan.

Sudut yang berdekatan juga dapat diperoleh dengan cara ini: jika kita menggambar sinar dari beberapa titik pada garis lurus (tidak terletak pada garis lurus tertentu), maka kita mendapatkan sudut yang berdekatan.
Sebagai contoh, / ADF dan / FDВ - sudut yang berdekatan (Gbr. 73).

Sudut yang berdekatan dapat memiliki berbagai posisi (Gbr. 74).

Sudut yang berdekatan dijumlahkan menjadi sudut lurus, jadi umma dari dua sudut yang berdekatan adalah 2d.

Oleh karena itu, sudut siku-siku dapat didefinisikan sebagai sudut yang sama dengan sudut yang berdekatan.

Mengetahui nilai salah satu sudut yang berdekatan, kita dapat menemukan nilai sudut yang berdekatan lainnya.

Misalnya, jika salah satu sudut yang berdekatan adalah 3/5 d, maka sudut kedua akan sama dengan:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Sudut vertikal.

Jika kita memperpanjang sisi sudut di luar titik sudutnya, kita mendapatkan sudut vertikal. Pada gambar 75, sudut EOF dan AOC adalah vertikal; sudut AOE dan COF juga vertikal.

Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi dari salah satu sudut merupakan perpanjangan dari sisi-sisi sudut yang lain.

Biarlah / 1 = 7 / 8 d(Gbr. 76). Berdekatan dengan itu / 2 akan sama dengan 2 d- 7 / 8 d, yaitu 1 1/8 d.

Dengan cara yang sama, Anda dapat menghitung apa yang sama dengan / 3 dan / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Gbr. 77).

Kami melihat itu / 1 = / 3 dan / 2 = / 4.

Anda dapat memecahkan beberapa masalah yang sama lagi, dan setiap kali Anda mendapatkan hasil yang sama: sudut vertikalnya sama satu sama lain.

Namun, untuk memastikan bahwa sudut vertikal selalu sama satu sama lain, tidak cukup untuk mempertimbangkan contoh numerik individual, karena kesimpulan yang diambil dari contoh tertentu terkadang bisa salah.

Penting untuk memverifikasi validitas properti sudut vertikal dengan alasan, dengan bukti.

Pembuktian dapat dilakukan sebagai berikut (Gbr. 78):

/ sebuah +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 2 d).

/ sebuah +/ c = / b +/ c

(karena ruas kiri persamaan ini sama dengan 2 d, dan sisi kanannya juga sama dengan 2 d).

Persamaan ini mencakup sudut yang sama dengan.

Jika kita mengurangi sama dari nilai yang sama, maka itu akan tetap sama. Hasilnya akan menjadi: / sebuah = / b, yaitu, sudut vertikal sama satu sama lain.

Ketika mempertimbangkan pertanyaan tentang sudut vertikal, pertama-tama kami menjelaskan sudut mana yang disebut vertikal, yaitu, kami memberikan definisi sudut vertikal.

Kemudian kami membuat keputusan (pernyataan) tentang persamaan sudut vertikal dan kami yakin akan validitas penilaian ini dengan bukti. Keputusan semacam itu, yang keabsahannya harus dibuktikan, disebut teorema. Jadi, pada bagian ini kami telah memberikan definisi sudut vertikal, dan juga menyatakan dan membuktikan teorema tentang properti mereka.

Di masa depan, ketika mempelajari geometri, kita akan terus-menerus harus bertemu dengan definisi dan bukti teorema.

3. Jumlah sudut yang memiliki simpul yang sama.

Pada gambar 79 / 1, / 2, / 3 dan / 4 terletak pada sisi yang sama dari garis lurus dan memiliki simpul yang sama pada garis lurus ini. Singkatnya, sudut-sudut ini membentuk sudut lurus, mis.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Pada gambar 80 / 1, / 2, / 3, / 4 dan / 5 memiliki atasan yang sama. Singkatnya, sudut-sudut ini membentuk sudut penuh, mis. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Latihan.

1. Salah satu sudut yang berdekatan adalah 0,72 d. Hitunglah sudut yang dibentuk oleh garis-bagi dari sudut-sudut yang berdekatan ini.

2. Buktikan bahwa garis-bagi dari dua sudut yang berdekatan membentuk sudut siku-siku.

3. Buktikan bahwa jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar.

4. Berapa pasang sudut yang berdekatan pada gambar 81?

5. Dapatkah sepasang sudut yang bersebelahan terdiri dari dua sudut lancip? dari dua sudut tumpul? dari sudut siku-siku dan tumpul? dari sudut siku-siku dan lancip?

6. Jika salah satu sudut yang berdekatan siku-siku, maka apa yang dapat dikatakan tentang nilai sudut yang berdekatan dengannya?

7. Jika pada perpotongan dua garis lurus terdapat satu sudut siku-siku, maka apa yang dapat dikatakan tentang besar tiga sudut yang tersisa?

Pelajaran 8 Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi dari salah satu sudut merupakan perpanjangan dari sisi-sisi yang lain. DALIL. Sudut vertikal sama besar. Bukti: = = 180 Serupa = = = 3 2 = 4 Pemecahan masalah: 64, 66 Pekerjaan rumah: butir 11, 66, 67

Dikte matematika. 1 pilihan. 1. Lengkapi kalimat: “Jika sudut 1 dan 2 berdekatan, maka jumlah mereka …” 2. Apakah sudut yang berdekatan dengan sudut 30 derajat lancip, tumpul atau siku-siku? 3. Jumlah dua sudut adalah 180 derajat. Apakah sudut-sudut ini harus berdekatan? 4. Garis AM dan CE berpotongan di titik O yang terletak di antara keduanya. Apakah ini menghasilkan sudut vertikal? Jika ya, sebutkan mereka. 5. Berapa sudutnya jika sudut vertikal dengannya adalah 34 derajat? 6. Salah satu dari empat sudut yang dihasilkan dari perpotongan dua garis lurus adalah 140 derajat. Berapa sisa sudutnya? 7. Dua sudut memiliki simpul yang sama, sudut pertama 40 derajat, sudut kedua 140 derajat. Apakah sudut-sudut ini vertikal? Pilihan 2. 1. Lengkapi kalimat: “Dua sudut disebut bersebelahan jika satu sisinya sama dan sisi yang lain …” 2. Apakah sudut yang berdekatan dengan sudut 130 derajat adalah lancip, tumpul, atau siku-siku? 3. Jumlah dua sudut dengan sisi yang sama 180 derajat. Apakah sudut-sudut ini harus berdekatan? 4. Siswa membangun 2 sudut vertikal. Berapa pasang garis lurus yang dihasilkan? 5. Dua sudut mempunyai satu simpul yang sama, masing-masing sudut tersebut sama dengan 60 derajat. Apakah sudut-sudut ini harus vertikal? 6. Salah satu dari empat sudut yang dihasilkan dari perpotongan dua garis lurus adalah 80 derajat. Berapa sisa sudutnya? 7. Berapa sudut jika sudut vertikal dengan itu adalah 120 derajat?

Jawaban. 1. Sama dengan 180 derajat 2. Sudut tumpul 3. Tidak 4. Sudut AOC dan EOM, AOE dan COM derajat dan 40 derajat 7. Ya 1. Sinar tambahan 2. Sudut lancip 3. Tidak 4. Sepasang 5. Tidak dan 100 derajat derajat