Transposisi matriks

Transposisi matriks disebut mengganti baris-baris suatu matriks dengan kolom-kolomnya dengan tetap menjaga urutannya (atau, yang sama, mengganti kolom-kolom suatu matriks dengan baris-barisnya).

Biarkan matriks asli diberikan A:

Kemudian, menurut definisi, matriks yang ditransposisikan A" memiliki bentuk:

Bentuk notasi singkat untuk operasi transposisi suatu matriks: Matriks yang ditransposisi sering dilambangkan

Contoh 3. Biarkan matriks diberikan A dan B:

Maka matriks-matriks yang ditransposisikan mempunyai bentuk:

Sangat mudah untuk melihat dua pola operasi transposisi matriks.

1. Matriks yang ditransposisi dua kali sama dengan matriks aslinya:

2. Saat mentransposisi matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama tidak berubah posisinya, yaitu. Diagonal utama matriks persegi tidak berubah jika ditransposisikan.

Perkalian matriks

Perkalian matriks adalah operasi khusus yang menjadi dasar aljabar matriks. Baris dan kolom matriks dapat dianggap sebagai vektor baris dan kolom dengan dimensi yang sesuai; dengan kata lain, matriks apa pun dapat diartikan sebagai kumpulan vektor baris atau vektor kolom.

Misalkan diberikan dua matriks: A- ukuran T X P Dan DI DALAM- ukuran hal x k. Kami akan mempertimbangkan matriksnya A sebagai suatu totalitas T vektor baris A) ukuran P masing-masing, dan matriks DI DALAM - sebagai suatu totalitas Ke vektor kolom b Jt berisi masing-masing P koordinat masing-masing:

Vektor baris matriks A dan vektor kolom matriks DI DALAM ditunjukkan dalam notasi matriks ini (2.7). Panjang baris matriks A sama dengan tinggi kolom matriks DI DALAM, dan oleh karena itu produk skalar dari vektor-vektor ini masuk akal.

Definisi 3. Hasil kali matriks A Dan DI DALAM disebut matriks C yang elemen-elemennya Su sama dengan hasil kali skalar vektor baris A ( matriks A menjadi vektor kolom bj matriks DI DALAM:

Produk matriks A Dan DI DALAM- matriks C - memiliki ukuran T X Ke, karena panjang l vektor baris dan vektor kolom hilang ketika menjumlahkan produk koordinat vektor-vektor ini dalam produk skalarnya, seperti yang ditunjukkan pada rumus (2.8). Jadi, untuk menghitung elemen-elemen baris pertama matriks C, perlu diperoleh hasil kali skalar baris pertama matriks tersebut secara berurutan. A ke semua kolom matriks DI DALAM baris kedua matriks C diperoleh sebagai hasil kali skalar vektor baris kedua matriks tersebut A ke semua vektor kolom matriks DI DALAM, dan seterusnya. Untuk memudahkan mengingat ukuran hasil kali matriks, Anda perlu membagi hasil kali ukuran matriks faktor: - , maka angka-angka yang tersisa dalam kaitannya memberikan ukuran hasil kali Ke

dsnia, t.s. ukuran matriks C sama dengan T X Ke.

Operasi perkalian matriks memiliki ciri khas: hasil kali matriks A Dan DI DALAM masuk akal jika jumlah kolom masuk A sama dengan jumlah baris di dalamnya DI DALAM. Lalu jika A dan B - matriks persegi panjang, lalu hasil kali DI DALAM Dan A tidak masuk akal lagi, karena hasil kali skalar yang membentuk elemen-elemen matriks yang bersesuaian harus melibatkan vektor-vektor dengan jumlah koordinat yang sama.

Jika matriks A Dan DI DALAM persegi, berukuran l x l, masuk akal sebagai hasil kali matriks AB, dan hasil kali matriks VA, dan ukuran matriks-matriks ini sama dengan ukuran faktor aslinya. Dalam hal ini, dalam kasus umum perkalian matriks, aturan permutasi (komutatifitas) tidak diperhatikan, yaitu. AB*VA.

Mari kita lihat contoh perkalian matriks.

Karena jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks DI DALAM, produk matriks AB memiliki arti. Dengan menggunakan rumus (2.8), kita memperoleh matriks berukuran 3x2 pada hasil kali:

Bekerja VA tidak masuk akal, karena jumlah kolom matriks DI DALAM tidak sesuai dengan jumlah baris matriks A.

Di sini kita menemukan produk matriks AB Dan VA:

Terlihat dari hasil, matriks perkalian bergantung pada urutan matriks pada perkalian. Dalam kedua kasus tersebut, hasil kali matriks memiliki ukuran yang sama dengan faktor aslinya: 2x2.

Dalam hal ini matriks DI DALAM adalah vektor kolom, mis. matriks dengan tiga baris dan satu kolom. Secara umum, vektor adalah kasus khusus dari matriks: vektor baris yang panjangnya P adalah matriks dengan satu baris dan P kolom, dan vektor kolom tinggi P- matriks dengan P baris dan satu kolom. Ukuran matriks-matriks tersebut masing-masing adalah 2 x 3 dan 3 x I, sehingga hasil kali matriks-matriks tersebut dapat ditentukan. Kita punya

Hasil perkaliannya menghasilkan matriks berukuran 2 x 1 atau vektor kolom dengan tinggi 2.

Dengan mengalikan matriks secara berurutan kita mendapatkan:

Sifat-sifat hasil kali matriks. Membiarkan A, B dan C adalah matriks dengan ukuran yang sesuai (sehingga hasil kali matriks dapat ditentukan), dan a adalah bilangan real. Maka sifat-sifat hasil kali matriks berikut ini berlaku:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2)C A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) sebuah (AB) = (aA)B = A(aB).

Konsep matriks identitas E diperkenalkan dalam klausa 2.1.1. Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam aljabar matriks ia berperan sebagai satuan, yaitu. Kita dapat mencatat dua properti lagi yang terkait dengan perkalian dengan matriks ini di kiri dan kanan:

• 5 )AE=SEBUAH;
• 6) EA = A.

Dengan kata lain, hasil kali matriks mana pun dengan matriks identitas, jika masuk akal, tidak mengubah matriks aslinya.

Saat bekerja dengan matriks, terkadang Anda perlu mengubah urutannya, yaitu dengan kata sederhana, membaliknya. Tentu saja, Anda bisa memasukkan data secara manual, namun Excel menawarkan beberapa cara untuk melakukannya dengan lebih mudah dan cepat. Mari kita lihat secara detail.

Transposisi matriks adalah proses pertukaran kolom dan baris. Excel memiliki dua opsi untuk melakukan transposisi: menggunakan fungsi TRANSSP dan menggunakan alat khusus sisipan. Mari kita lihat masing-masing opsi ini secara lebih rinci.

Metode 1: Operator TRANSPOSE

Fungsi TRANSSP termasuk dalam kategori operator "Tautan dan Array". Keunikannya adalah, seperti fungsi lain yang bekerja dengan array, hasil keluarannya bukanlah isi sel, melainkan keseluruhan array data. Sintaks fungsinya cukup sederhana dan terlihat seperti ini:

TRANSP(array)

Artinya, satu-satunya argumen dari operator ini adalah referensi ke array, dalam kasus kita matriks, yang harus dikonversi.

Mari kita lihat bagaimana fungsi ini dapat diterapkan menggunakan contoh matriks nyata.

1. Kami memilih sel kosong pada lembar, yang kami rencanakan untuk dijadikan sel kiri paling atas dari matriks yang diubah. Selanjutnya, klik ikon tersebut "Masukkan Fungsi", yang terletak di dekat bilah rumus.



2. Peluncuran sedang berlangsung Penyihir Fungsi. Buka kategori di dalamnya "Tautan dan Array" atau "Daftar alfabet lengkap". Setelah menemukan namanya "transmisi", pilih dan klik tombolnya "OKE".



3. Jendela argumen fungsi terbuka TRANSSP. Satu-satunya argumen operator ini sesuai dengan bidangnya "Himpunan". Anda harus memasukkan koordinat matriks yang perlu dibalik. Untuk melakukan ini, letakkan kursor di bidang dan, sambil menahan tombol kiri mouse, pilih seluruh rentang matriks pada lembar. Setelah alamat area ditampilkan di jendela argumen, klik tombol "OKE".



4. Namun, seperti yang bisa kita lihat, di sel yang dimaksudkan untuk menampilkan hasilnya, nilai yang salah ditampilkan dalam bentuk kesalahan "#NILAI!". Hal ini disebabkan cara kerja operator array. Untuk memperbaiki kesalahan ini, pilih rentang sel yang jumlah barisnya harus sama dengan jumlah kolom matriks asli, dan jumlah kolomnya harus sama dengan jumlah baris. Korespondensi seperti itu sangat penting agar hasilnya dapat ditampilkan dengan benar. Dalam hal ini, sel yang berisi ekspresi "#NILAI!" harus menjadi sel kiri atas dari array yang dipilih dan dari sel inilah prosedur pemilihan harus dimulai dengan menahan tombol kiri mouse. Setelah Anda menentukan pilihan, letakkan kursor di bilah rumus tepat setelah ekspresi operator TRANSSP, yang seharusnya muncul di dalamnya. Setelah itu, untuk melakukan perhitungan, Anda perlu menekan tombol Memasuki, seperti biasa dalam rumus konvensional, dan putar kombinasinya Ctrl+Shift+Enter.



5. Setelah tindakan ini, matriks ditampilkan sesuai kebutuhan, yaitu dalam bentuk yang diubah urutannya. Tapi ada masalah lain. Faktanya sekarang matriks baru adalah array yang dihubungkan dengan rumus yang tidak dapat diubah. Saat Anda mencoba melakukan perubahan apa pun pada konten matriks, kesalahan akan muncul. Beberapa pengguna cukup puas dengan keadaan ini, karena mereka tidak bermaksud membuat perubahan pada array, namun yang lain memerlukan matriks yang dapat mereka gunakan sepenuhnya.

   Untuk mengatasi masalah ini, kami memilih seluruh rentang yang dialihkan. Pindah ke tab "Rumah" klik pada ikon tersebut "Menyalin", yang terletak di pita di grup "Papan Klip". Alih-alih tindakan yang ditentukan, setelah memilih, Anda dapat mengatur pintasan keyboard standar untuk menyalin Ctrl+C.



6. Kemudian, tanpa menghapus pilihan dari rentang yang dialihkan, klik kanan padanya. Di menu konteks di grup "Masukkan Opsi" klik pada ikon tersebut "Nilai", yang terlihat seperti piktogram yang menggambarkan angka.

   

   Berikut ini, rumus array TRANSSP akan dihapus, dan hanya satu nilai yang tersisa di sel, yang dapat dikerjakan dengan cara yang sama seperti matriks aslinya.

Metode 2: Transpose Matriks Menggunakan Tempel Spesial

Selain itu, matriks dapat diubah urutannya menggunakan satu item menu konteks yang disebut "Masukkan Spesial".

Setelah langkah-langkah ini, hanya matriks yang diubah yang akan tersisa di lembar.

Dengan dua metode yang sama yang dibahas di atas, Anda tidak hanya dapat mengubah urutan matriks, tetapi juga tabel lengkap ke dalam Excel. Prosedurnya hampir sama.

Jadi, kami menemukan bahwa di Excel matriks dapat diubah urutannya, yaitu dibalik dengan menukar kolom dan baris, dengan dua cara. Opsi pertama melibatkan penggunaan fungsi TRANSSP, dan yang kedua adalah Tempel Alat Khusus. Secara umum, hasil akhir yang diperoleh dengan menggunakan kedua metode ini tidak berbeda. Kedua metode ini berfungsi di hampir semua situasi. Jadi ketika memilih opsi konversi, preferensi pribadi pengguna tertentu diutamakan. Artinya, metode mana yang lebih nyaman bagi Anda pribadi, gunakan metode itu.

Untuk mengubah urutan suatu matriks, Anda perlu menulis baris-baris matriks menjadi kolom-kolom.

Jika , maka matriks yang ditransposisikan

Jika kemudian

Latihan 1. Menemukan

1. Penentu matriks persegi.

Untuk matriks persegi, dimasukkan suatu bilangan yang disebut determinan.

Untuk matriks orde kedua (dimensi ) determinannya diberikan dengan rumus:

Misalnya, untuk suatu matriks, determinannya adalah

Contoh . Menghitung determinan matriks.

Untuk matriks persegi orde ketiga (dimensi ) terdapat aturan “segitiga”: pada gambar, garis putus-putus berarti mengalikan bilangan-bilangan yang dilalui garis putus-putus tersebut. Tiga angka pertama harus dijumlahkan, tiga angka berikutnya harus dikurangi.

Contoh. Hitung determinannya.

Untuk memberikan definisi umum tentang determinan, perlu diperkenalkan konsep minor dan komplemen aljabar.

Minor elemen matriks disebut determinan yang diperoleh dengan mencoret – baris itu dan – kolom itu.

Contoh. Mari kita cari beberapa minor matriks A.

Komplemen aljabar elemen disebut nomor.

Artinya, jika jumlah indeksnya genap, maka indeksnya tidak berbeda. Jika jumlah indeksnya ganjil, maka perbedaannya hanya pada tanda saja.

Untuk contoh sebelumnya.

Penentu matriks adalah jumlah hasil kali elemen-elemen suatu string tertentu

(kolom) ke komplemen aljabarnya. Mari kita pertimbangkan definisi ini pada matriks orde ketiga.

Entri pertama disebut pemuaian determinan pada baris pertama, pemuaian kedua pada kolom kedua, dan pemuaian terakhir pada baris ketiga. Secara total, perluasan tersebut dapat ditulis enam kali.

Contoh. Hitung determinan menggunakan aturan “segitiga” dan perluas sepanjang baris pertama, lalu sepanjang kolom ketiga, lalu sepanjang baris kedua.

Mari kita perluas determinannya di sepanjang baris pertama:

Mari kita perluas determinannya di kolom ketiga:

Mari kita perluas determinannya di sepanjang baris kedua:

Perhatikan bahwa semakin banyak angka nol, semakin sederhana perhitungannya. Misalnya, memperluas kolom pertama, kita dapatkan

Di antara sifat-sifat determinan terdapat sifat yang memungkinkan diperolehnya angka nol, yaitu:

Jika unsur baris (kolom) lain dijumlahkan dengan unsur baris (kolom) tertentu, dikalikan dengan bilangan bukan nol, maka determinannya tidak akan berubah.

Mari kita ambil determinan yang sama dan mendapatkan nol, misalnya, di baris pertama.

Penentu tingkat yang lebih tinggi dihitung dengan cara yang sama.

Tugas 2. Hitung determinan orde keempat:

1) menyebar ke baris atau kolom mana pun

2) setelah sebelumnya menerima angka nol

Kami mendapat tambahan nol, misalnya di kolom kedua. Untuk melakukannya, kalikan elemen baris kedua dengan -1 dan tambahkan ke baris keempat:

1. Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.

Kami akan menunjukkan solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.

Tugas 2. Selesaikan sistem persamaan.

Kita perlu menghitung empat determinan. Yang pertama disebut yang utama dan terdiri dari koefisien yang tidak diketahui:

Perhatikan bahwa jika , sistem tidak dapat diselesaikan dengan metode Cramer.

Tiga determinan yang tersisa dilambangkan dengan , , dan diperoleh dengan mengganti kolom yang bersesuaian dengan kolom di sisi kanan.

Kami menemukan. Untuk melakukannya, ubah kolom pertama determinan utama menjadi kolom sisi kanan:

Kami menemukan. Untuk melakukannya, ubah kolom kedua pada determinan utama menjadi kolom sisi kanan:

Kami menemukan. Untuk melakukannya, ubah kolom ketiga pada determinan utama menjadi kolom sisi kanan:

Kami menemukan solusi sistem menggunakan rumus Cramer: , ,

Jadi solusi sistemnya adalah , ,

Mari kita lakukan pemeriksaan; untuk melakukan ini, kita akan mensubstitusikan solusi yang ditemukan ke dalam semua persamaan sistem.

1. Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks.

Jika suatu matriks persegi mempunyai determinan bukan nol, maka terdapat matriks invers sedemikian rupa sehingga . Matriks tersebut disebut matriks identitas dan mempunyai bentuk

Matriks invers dicari dengan rumus:

Contoh. Temukan invers suatu matriks

Pertama kita menghitung determinannya.

Menemukan komplemen aljabar:

Kami menulis matriks terbalik:

Untuk memeriksa perhitungan, Anda perlu memastikan bahwa .

Biarkan sistem persamaan linear diberikan:

Mari kita tunjukkan

Kemudian sistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai , dan karenanya . Rumus yang dihasilkan disebut metode matriks untuk menyelesaikan sistem.

Tugas 3. Selesaikan sistem menggunakan metode matriks.

Kita perlu menuliskan matriks sistem, mencari inversnya, lalu mengalikannya dengan kolom ruas kanan.

Kita telah menemukan matriks invers pada contoh sebelumnya, yang berarti kita dapat menemukan solusinya:

1. Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Gauss.

Metode Cramer dan metode matriks hanya digunakan untuk sistem kuadrat (jumlah persamaan sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui), dan determinannya tidak boleh sama dengan nol. Jika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah yang tidak diketahui, atau determinan sistem adalah nol, maka digunakan metode Gaussian. Metode Gaussian dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem apa pun.

Dan mari kita substitusikan ke persamaan pertama:

Tugas 5. Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode Gauss.

Menggunakan matriks yang dihasilkan, kami memulihkan sistem:

Kami menemukan solusinya:

Dalam matematika tingkat tinggi, konsep seperti matriks yang ditransposisikan dipelajari. Perlu dicatat: banyak orang berpikir bahwa ini adalah topik yang agak rumit yang tidak mungkin dikuasai. Namun ternyata tidak. Untuk memahami dengan tepat bagaimana operasi mudah ini dilakukan, Anda hanya perlu sedikit memahami konsep dasar - matriks. Setiap siswa dapat memahami suatu topik jika mereka meluangkan waktu untuk mempelajarinya.

Apa itu matriks?

Matriks cukup umum dalam matematika. Perlu dicatat bahwa mereka juga ditemukan dalam ilmu komputer. Berkat mereka dan dengan bantuan mereka, pemrograman dan pembuatan perangkat lunak menjadi mudah.

Apa itu matriks? Ini adalah tabel tempat elemen ditempatkan. Bentuknya harus persegi panjang. Secara sederhana, matriks adalah tabel bilangan. Itu dilambangkan dengan beberapa huruf Latin kapital. Itu bisa berbentuk persegi panjang atau persegi. Ada juga baris dan kolom terpisah, yang disebut vektor. Matriks tersebut hanya menerima satu baris angka. Untuk memahami seberapa besar sebuah tabel, Anda perlu memperhatikan jumlah baris dan kolom. Yang pertama dilambangkan dengan huruf m, dan yang kedua dengan n.

Anda pasti harus memahami apa itu diagonal matriks. Ada sisi dan utama. Yang kedua adalah rangkaian angka yang bergerak dari kiri ke kanan dari elemen pertama hingga terakhir. Dalam hal ini, garis sampingnya akan dari kanan ke kiri.

Dengan matriks Anda dapat melakukan hampir semua operasi aritmatika paling sederhana, yaitu menjumlahkan, mengurangi, mengalikan satu sama lain dan secara terpisah dengan angka. Mereka juga dapat dialihkan.

Proses transposisi

Matriks yang ditransposisi adalah matriks yang baris dan kolomnya dipertukarkan. Hal ini dilakukan semudah mungkin. Dilambangkan dengan A dengan superskrip T (AT). Pada prinsipnya, harus dikatakan bahwa dalam matematika tingkat tinggi ini adalah salah satu operasi paling sederhana pada matriks. Ukuran meja dipertahankan. Matriks seperti itu disebut transposisi.

Sifat-sifat matriks yang ditransposisikan

Untuk melakukan proses transposisi dengan benar, perlu dipahami sifat-sifat operasi ini yang ada.

• Harus ada matriks asli untuk setiap tabel yang dialihkan. Penentunya harus sama satu sama lain.
• Jika ada satuan skalar, maka saat melakukan operasi ini dapat dikeluarkan.
• Jika suatu matriks ditransposisi ganda, maka matriks tersebut akan sama dengan matriks aslinya.
• Jika kita membandingkan dua tabel terlipat dengan kolom dan baris yang ditukar dengan jumlah elemen tempat operasi ini dilakukan, maka keduanya akan sama.
• Sifat terakhir adalah jika Anda melakukan transposisi tabel yang dikalikan satu sama lain, maka nilainya harus sama dengan hasil yang diperoleh dengan mengalikan matriks-matriks yang ditransposisikan dalam urutan terbalik.

Mengapa mengubah urutan?

Matriks dalam matematika diperlukan untuk menyelesaikan masalah tertentu dengannya. Beberapa di antaranya mengharuskan Anda menghitung tabel invers. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari determinannya. Selanjutnya, elemen-elemen matriks masa depan dihitung, kemudian ditransposisikan. Yang tersisa hanyalah mencari tabel invers langsung. Kita dapat mengatakan bahwa dalam soal seperti itu Anda perlu mencari X, dan ini cukup mudah dilakukan dengan bantuan pengetahuan dasar teori persamaan.

Hasil

Artikel ini membahas apa itu matriks yang ditransposisikan. Topik ini akan berguna bagi para insinyur masa depan yang harus mampu menghitung struktur kompleks dengan benar. Terkadang matriksnya tidak begitu mudah untuk dipecahkan, Anda harus memutar otak. Namun dalam mata kuliah matematika siswa, operasi ini dilakukan semudah mungkin dan tanpa usaha apapun.

Operasi pada matriks ini tidak linier.

DEFINISI. Dialihkan matriks untuk matriks ukuran
disebut matriks ukuran
, diperoleh dari mengganti semua barisnya dengan kolom dengan nomor urut yang sama.

Artinya, jika =
, Itu
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

CONTOH.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

DEFINISI. Jika =, lalu matriksnya A ditelepon simetris.

Semua matriks diagonal adalah simetris, karena elemen-elemennya sama, simetris terhadap diagonal utama.

Jelasnya, sifat-sifat operasi transposisi berikut ini valid:

DEFINISI. Membiarkan =
– ukuran matriks
,=
– ukuran matriks
. Produk dari matriks ini
- matriks =
ukuran
, yang unsur-unsurnya dihitung dengan rumus:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

yaitu elemen baris ke-dan kolom matriks ke-th sama dengan jumlah hasil kali unsur-unsur yang bersesuaian baris ke-matriks Dan kolom matriks ke-th .

CONTOH.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

Bekerja
- tidak ada.

SIFAT-SIFAT PENGOPERASIAN MULTIPLIKASI MATRIKS

1.
, meskipun kedua produk telah ditentukan.

CONTOH.
,

, Meskipun

DEFINISI. Matriks Dan disebut dapat diubah, Jika
, jika tidak Dan disebut tidak dapat diubah.

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa hanya matriks persegi dengan ukuran yang sama yang dapat dipermutasi.

CONTOH.

matriks Dan dapat diubah.

Itu adalah
,

Cara, Dan – matriks permutasi.

Secara umum, matriks identitas berpindah dengan matriks persegi apa pun yang berorde sama, dan untuk matriks apa pun
. Ini adalah properti matriks menjelaskan mengapa disebut satuan: ketika mengalikan bilangan, bilangan 1 memiliki sifat ini.

Jika produk terkait ditentukan, maka:

5.

CONTOH.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

KOMENTAR. Unsur-unsur matriks tidak hanya berupa bilangan, tetapi juga fungsi. Matriks seperti itu disebut fungsional.

CONTOH.

Penentu dan sifat-sifatnya

Setiap matriks persegi, menurut aturan tertentu, dapat dikaitkan dengan bilangan tertentu, yang disebut determinannya.

Perhatikan matriks persegi orde kedua:

Penentunya adalah bilangan yang ditulis dan dihitung sebagai berikut:

(1.1)

Penentu seperti itu disebut determinan orde kedua dan mungkin

ditunjuk secara berbeda:
atau
.

Penentu orde ketiga adalah bilangan yang sesuai dengan matriks persegi
, yang dihitung menurut aturan:

Aturan untuk menghitung determinan orde ketiga ini disebut aturan segitiga dan dapat direpresentasikan secara skematis sebagai berikut:

CONTOH.
;

Jika kita menempatkan kolom pertama dan kemudian kolom kedua di sebelah kanan determinan, maka aturan segitiga dapat diubah:

Pertama, bilangan-bilangan pada diagonal utama dan dua diagonal yang sejajar dikalikan, kemudian bilangan-bilangan pada diagonal (sisi) yang lain dan yang sejajar dengannya dikalikan. Jumlah sisa hasil kali dikurangkan dari jumlah tiga hasil kali pertama.

Mengelompokkan suku-suku dalam (1.2) dan menggunakan (1.1), kami mencatat bahwa

(1.3)

Artinya, ketika menghitung determinan orde ketiga, digunakan determinan orde kedua, dan
adalah determinan matriks yang diperoleh dari dengan mencoret suatu elemen (lebih tepatnya baris pertama dan kolom pertama yang perpotongannya ada ),
– dengan mencoret suatu elemen ,
– elemen .

DEFINISI. Tambahan di bawah umur
elemen matriks persegi adalah determinan matriks yang diperoleh dari dengan mencoret -baris ke-dan kolom ke-.

CONTOH.

DEFINISI. Komplemen aljabar elemen matriks persegi nomor yang dipanggil
.

CONTOH.

Untuk matriks :

Untuk matriks :
dan seterusnya.

Jadi, dengan memperhatikan definisi yang dirumuskan, (1.3) dapat ditulis ulang menjadi: .

Sekarang mari kita beralih ke kasus umum.

DEFINISI. Penentu matriks persegi memesan adalah bilangan yang ditulis dan dihitung sebagai berikut:

(1.4)

Kesetaraan (1.4) disebut perluasan determinan menjadi unsur-unsur pertama garis. Dalam rumus ini, komplemen aljabar dihitung sebagai determinan
urutan -th. Jadi, ketika menghitung determinan orde ke-4 menggunakan rumus (1.4), secara umum perlu menghitung 4 determinan orde ke-3; saat menghitung determinan orde ke-5 - 5 determinan orde ke-4, dst. Namun, jika misalnya pada determinan orde 4 baris pertama memuat 3 unsur nol, maka pada rumus (1.4) hanya tersisa satu suku bukan nol.

CONTOH.

Mari kita pertimbangkan (tanpa bukti) sifat determinan:

Penentunya dapat diperluas ke elemen kolom pertama:

CONTOH.

KOMENTAR. Contoh-contoh yang dipertimbangkan memungkinkan kita untuk menyimpulkan: determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utama.

Oleh karena itu baris dan kolom determinannya sama.

Oleh karena itu, khususnya, berikut ini faktor persekutuan dari string apa pun (kolom) dapat dikeluarkan melampaui tanda determinan. Selain itu, determinan yang memiliki baris nol atau kolom nol sama dengan nol.

Kesetaraan (1.6) disebut baris ke-th.

Kesetaraan (1.7) disebut perluasan determinan menjadi elemen kolom ke-.

Jumlah hasil kali semua elemen pada baris (kolom) tertentu dengan

komplemen aljabar elemen-elemen yang bersesuaian pada baris lain

(kolom) sama dengan nol, yaitu kapan
Dan
pada
.

CONTOH.
, karena elemen-elemen baris pertama dan kedua determinan ini masing-masing proporsional (properti 6).

Properti 9 sering digunakan terutama ketika menghitung determinan, karena memungkinkan determinan apa pun memperoleh baris atau kolom yang semua elemennya kecuali satu sama dengan nol.

CONTOH.