Fraktal telah dikenal selama hampir satu abad, dipelajari dengan baik dan memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan. Fenomena ini didasarkan pada ide yang sangat sederhana: jumlah angka yang tak terbatas dalam keindahan dan keragaman dapat diperoleh dari struktur yang relatif sederhana hanya dengan menggunakan dua operasi - penyalinan dan penskalaan.

Konsep ini tidak memiliki definisi yang ketat. Oleh karena itu, kata "fraktal" bukanlah istilah matematika. Ini biasanya nama bangun geometris yang memenuhi satu atau lebih dari sifat-sifat berikut:

• memiliki struktur kompleks pada perbesaran apa pun;
• adalah (kurang lebih) mirip dengan diri sendiri;
• memiliki dimensi Hausdorff (fraktal) pecahan , yang lebih besar dari dimensi topologi;
• dapat dibangun dengan prosedur rekursif.

Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, studi tentang fraktal lebih episodik daripada sistematis, karena matematikawan sebelumnya terutama mempelajari objek "baik" yang dapat dipelajari menggunakan metode dan teori umum. Pada tahun 1872, matematikawan Jerman Karl Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di mana pun. Namun, konstruksinya sepenuhnya abstrak dan sulit dipahami. Oleh karena itu, pada tahun 1904, orang Swedia Helge von Koch datang dengan kurva kontinu yang tidak memiliki garis singgung di mana pun, dan menggambarnya cukup sederhana. Ternyata ia memiliki sifat fraktal. Salah satu variasi kurva ini disebut kepingan salju Koch.

Ide-ide kesamaan diri tokoh diambil oleh orang Prancis Paul Pierre Levy, mentor masa depan Benoit Mandelbrot. Pada tahun 1938, artikelnya "Pesawat dan kurva spasial dan permukaan yang terdiri dari bagian-bagian yang serupa dengan keseluruhan" diterbitkan, di mana fraktal lain dijelaskan - kurva Lévy C. Semua fraktal di atas dapat dikaitkan secara kondisional ke satu kelas fraktal konstruktif (geometris).

Kelas lain adalah fraktal dinamis (aljabar), yang mencakup himpunan Mandelbrot. Studi pertama ke arah ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama matematikawan Prancis Gaston Julia dan Pierre Fatou. Pada tahun 1918, hampir dua ratus halaman karya Julia diterbitkan, dikhususkan untuk iterasi fungsi rasional kompleks, di mana himpunan Julia dijelaskan - seluruh keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Karya ini dianugerahi penghargaan Akademi Prancis, tetapi tidak mengandung satu ilustrasi pun, sehingga tidak mungkin untuk menghargai keindahan benda-benda yang ditemukan. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini membuat Julia terkenal di kalangan matematikawan saat itu, itu dengan cepat dilupakan.

Hanya setengah abad kemudian, dengan munculnya komputer, perhatian beralih ke karya Julia dan Fatou: merekalah yang membuat kekayaan dan keindahan dunia fraktal terlihat. Lagi pula, Fatou tidak akan pernah bisa melihat gambar yang sekarang kita kenal sebagai gambar himpunan Mandelbrot, karena jumlah perhitungan yang diperlukan tidak dapat dilakukan secara manual. Orang pertama yang menggunakan komputer untuk ini adalah Benoit Mandelbrot.

Pada tahun 1982, buku Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" diterbitkan, di mana penulisnya mengumpulkan dan mensistematisasikan hampir semua informasi tentang fraktal yang tersedia pada waktu itu dan menyajikannya dengan cara yang mudah dan dapat diakses. Mandelbrot membuat penekanan utama dalam presentasinya bukan pada rumus dan konstruksi matematika yang rumit, tetapi pada intuisi geometris pembaca. Berkat ilustrasi yang dihasilkan komputer dan kisah-kisah sejarah, yang dengannya penulis dengan terampil mengencerkan komponen ilmiah dari monograf, buku itu menjadi buku terlaris, dan fraktal dikenal oleh masyarakat umum. Keberhasilan mereka di antara non-ahli matematika sebagian besar disebabkan oleh fakta bahwa dengan bantuan konstruksi dan formula yang sangat sederhana yang bahkan dapat dipahami oleh siswa sekolah menengah, gambar kompleksitas dan keindahan yang luar biasa diperoleh. Ketika komputer pribadi menjadi cukup kuat, bahkan seluruh tren seni muncul - lukisan fraktal, dan hampir semua pemilik komputer dapat melakukannya. Sekarang di Internet Anda dapat dengan mudah menemukan banyak situs yang didedikasikan untuk topik ini.

teori fraktal

Penarik aneh selalu memiliki dimensi fraktal. Oleh karena itu, untuk menggambarkan penarik kekacauan, peralatan geometri fraktal digunakan, yang menggambarkan "struktur kekacauan".

Istilah "fraktal" milik Benoit Mandelbrot. Dalam tiga bukunya ("Fractal Objects: Form, Chance and Dimension", 1975; "Fractals: Form, Chance and Dimension", 1977; "Fractal Geometry of Nature", 1977), Mandelbrot mengusulkan geometri non-Euclidean non -halus, kasar, bergerigi, berlubang dan berlubang, kasar, dll. objek. Ini adalah objek "salah" yang membentuk sebagian besar objek di alam. B. Mandelbrot sendiri menggambarkan teori yang diciptakannya sebagai morfologi yang tak berbentuk.

“Geometri Fraktal Alam” oleh B. Mandelbrot dibuka dengan kata-kata berikut: “Mengapa geometri sering disebut “dingin” dan “kering”? Salah satu alasannya adalah ketidakmampuannya menggambarkan bentuk awan, gunung, garis pantai, atau pohon. Awan bukan bulatan, gunung bukan kerucut, garis pantai bukan lingkaran, kulit pohon tidak mulus, kilat tidak merambat lurus. Secara lebih umum, saya berpendapat bahwa banyak objek di Alam sangat tidak teratur dan terfragmentasi sehingga dibandingkan dengan Euclid - istilah yang dalam karya ini berarti semua geometri standar - Alam tidak hanya memiliki lebih banyak kompleksitas, tetapi tingkat kerumitan yang sama sekali berbeda. Jumlah skala panjang yang berbeda dari benda-benda alam untuk semua tujuan praktis tidak terbatas” Danilov Yu.A. Keindahan fraktal. Web: http://sky.kuban.ru/socio_etno/iphrRAS/~mifs/work.htm.

Euclid mereduksi alam menjadi objek murni dan simetris: titik, garis satu dimensi, bidang dua dimensi, benda tiga dimensi. Tak satu pun dari benda-benda ini memiliki lubang dan penyimpangan eksternal. Masing-masing memiliki bentuk halus yang benar. Objek alam dengan bentuk kasar bukanlah varietas dari struktur Euclidean murni. Sebagian besar bentuk alami dan deret waktu paling baik dijelaskan oleh fraktal.

Mandelbrot menciptakan istilah fraktal (dari kata Latin "fractus" - pecahan, terfragmentasi), berdasarkan teori dimensi fraktal (fraksional) Besikovich-Hausdorff, yang diusulkan pada tahun 1919.

Dimensi Besicovich-Hausdorff bertepatan dengan dimensi Euclidean untuk objek geometris biasa (untuk kurva, permukaan, dan benda yang dipelajari dalam buku teks modern geometri Euclidean). Dimensi Besicovich-Hausdorff dari penarik Lorentz yang aneh lebih besar dari 2, tetapi kurang dari 3: penarik Lorentz bukan lagi permukaan yang halus, tetapi belum menjadi tubuh tiga dimensi.

Kita cenderung berpikir bahwa setiap benda datar adalah dua dimensi. Namun, secara matematis, ini tidak terjadi. Bidang Euclidean adalah permukaan datar tanpa retak dan patah. Demikian pula, kita berasumsi bahwa objek yang memiliki kedalaman adalah tiga dimensi. Tetapi dalam geometri Euclidean, objek tiga dimensi adalah benda padat tanpa lubang atau retakan. Sebagian besar objek nyata tidak padat - mereka memiliki celah dan rongga dan hanya terletak di ruang tiga dimensi. Misalnya, gunung dan awan memiliki dimensi antara dua dan tiga. Salah satu ciri benda fraktal adalah mereka meninggalkan dimensinya sendiri ketika ditempatkan dalam ruang yang berdimensi lebih besar dari fraktalnya. Distribusi acak (white noise) tidak memiliki karakteristik ini. Kebisingan putih mengisi ruangnya seperti gas mengisi volume. Jika sejumlah gas ditempatkan dalam wadah dengan volume yang lebih besar, gas hanya akan menyebar ke ruang yang lebih besar, karena tidak ada yang mengikat molekul gas bersama-sama. Di sisi lain, padatan memiliki molekul yang terikat satu sama lain. Demikian pula, dalam deret waktu fraktal, posisi titik ditentukan oleh korelasi yang tidak ada dalam deret acak. Deret waktu hanya akan acak jika merupakan hasil dari sejumlah besar peristiwa yang kemungkinannya sama. Dalam hal statistik - ia memiliki sejumlah besar derajat kebebasan. Rangkaian waktu non-acak akan mencerminkan sifat non-acak dari pengaruh. Lompatan dalam data akan cocok dengan loncatan dalam faktor-faktor yang mempengaruhi, yang mencerminkan korelasi bawaannya. Dengan kata lain, deret waktu akan menjadi fraktal. Dimensi fraktal ditentukan oleh bagaimana suatu objek atau deret waktu mengisi ruang. Objek fraktal mengisi ruang secara tidak merata, karena bagian-bagiannya bergantung atau berkorelasi. Untuk mendefinisikan dimensi fraktal, kita harus mendefinisikan bagaimana suatu objek dikelompokkan bersama dalam ruang Peters-nya. E. Kekacauan dan ketertiban di pasar modal. Perspektif analitis baru tentang siklus, harga, dan volatilitas pasar. M.: Mir, 2000. Hal.80..

Dalam geometri Euclidean, semakin dekat kita melihat ke suatu objek, semakin sederhana jadinya. Balok 3D menjadi bidang 2D, lalu garis 1D, hingga menjadi titik. Dalam objek fraktal (alami), saat Anda bertambah, semakin banyak detail yang terungkap. Ciri khas objek fraktal adalah bahwa setiap detail berisi struktur umum. Salah satu definisi fraktal mengatakan: fraktal adalah struktur serupa diri. Kesamaan diri (invarians skala) adalah fenomena yang terdiri dari fakta bahwa bagian-bagian kecil dari suatu objek secara kualitatif sama dengan keseluruhan objek atau serupa dengannya, dengan kata lain, properti ini terlihat kira-kira sama pada skala kecil apa pun yang sewenang-wenang. Dalam deret waktu fraktal, interval waktu kecil akan secara statistik mirip dengan interval besar. Bentuk fraktal menunjukkan kesamaan diri spasial. Deret waktu fraktal memiliki kesamaan diri statistik dalam waktu.

Jadi, kita telah bertemu dengan dua definisi fraktal (melalui dimensi pecahan dan melalui sifat invarian skala). Definisi akhir dari fraktal belum ditemukan. Ada kemungkinan bahwa ini tidak akan pernah terjadi, karena geometri fraktal adalah geometri alam.

Seperti yang Anda ketahui, metode iterasi menentukan posisi suatu titik pada titik waktu tertentu melalui posisinya pada titik waktu sebelumnya, yaitu umpan balik bekerja. Dalam bentuk algoritma, ini dapat ditampilkan sebagai berikut: "status awal" + "menghasilkan prosedur langkah demi langkah" = "struktur fraktal yang tidak dilipat". Himpunan fraktal ditentukan dengan bantuan persamaan nonlinier yang menggambarkan sistem umpan balik dinamis. Fraktal adalah himpunan batas dari aturan pembangkit. Fraktal adalah struktur pengorganisasian diri, dan aturan generatif dapat dianggap sebagai replika, "subjek" pengorganisasian diri.

Pada prinsipnya, geometri fraktal adalah ilmu yang sepenuhnya independen, tetapi ide-idenya sebagian besar sudah "diasimilasi" oleh sinergi, dan sinergi pernah menginspirasi Benoit Mandelbrot dalam studi objek fraktal. Oleh karena itu, kami tidak akan menarik batas yang kaku antara pendekatan sinergis dan teori fraktal.

Ada dua jenis fraktal: deterministik dan acak. Fraktal deterministik simetris dalam banyak kasus. Tapi alam menolak simetri, jadi objek alam dideskripsikan menggunakan fraktal acak. Fraktal acak tidak selalu menyertakan bagian yang terlihat seperti keseluruhan. Bagian dan keseluruhan dapat dihubungkan secara kualitatif. Fraktal acak adalah kombinasi dari aturan generatif yang dipilih secara acak pada skala yang berbeda.

Sebagaimana menjadi jelas dalam beberapa dekade terakhir (sehubungan dengan perkembangan teori pengorganisasian diri), kesamaan diri terjadi pada berbagai objek dan fenomena. Misalnya, kesamaan diri dapat diamati di cabang-cabang pohon dan semak, dalam pembagian zigot yang dibuahi, kepingan salju, kristal es, dalam pengembangan sistem ekonomi, dalam struktur sistem gunung, awan.

Semua objek yang terdaftar dan objek lain yang serupa dalam strukturnya adalah fraktal. Artinya, mereka memiliki sifat kesamaan diri, atau invarian skala. Dan ini berarti bahwa beberapa fragmen strukturnya diulang secara ketat pada interval spasial tertentu. Jelas, benda-benda ini dapat berupa apa saja, dan penampilan serta bentuknya tetap tidak berubah terlepas dari skalanya. Baik di alam maupun di masyarakat, pengulangan diri terjadi dalam skala yang cukup besar. Jadi, awan mengulangi struktur kasarnya dari 10 4 m (10 km) menjadi 10 -4 m (0,1 mm). Percabangan berulang di pohon dari 10 -2 hingga 10 2 m.Bahan runtuh yang menghasilkan retakan juga mengulangi kesamaan diri mereka pada beberapa skala. Kepingan salju yang jatuh di tangan meleleh. Selama periode pencairan, transisi dari satu fase ke fase lainnya, tetesan salju juga merupakan fraktal.

Fraktal adalah objek dengan kompleksitas tak terbatas, memungkinkan Anda untuk melihat detail yang tidak kurang dari dekat daripada dari jauh. Contoh klasiknya adalah Bumi. Dari luar angkasa, itu terlihat seperti bola. Mendekati itu, kita akan menemukan lautan, benua, pantai dan pegunungan. Nanti akan muncul detail yang lebih kecil: sebidang tanah di permukaan gunung, serumit dan tidak rata seperti gunung itu sendiri. Kemudian partikel kecil tanah akan muncul, yang masing-masing merupakan objek fraktal.

Fraktal adalah struktur non-linier yang mempertahankan kesamaan diri ketika diperbesar atau diperkecil tanpa batas. Hanya pada panjang kecil nonlinier berubah menjadi linieritas. Hal ini terutama terlihat dalam prosedur matematis diferensiasi.

Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa fraktal sebagai model digunakan ketika objek nyata tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk model klasik. Dan ini berarti bahwa kita berurusan dengan hubungan non-linier dan sifat data yang tidak deterministik. Nonlinier dalam arti ideologis berarti multivarians jalur pembangunan, ketersediaan pilihan dari jalur alternatif dan kecepatan evolusi tertentu, serta ireversibilitas proses evolusi. Dalam pengertian matematika, non-linier adalah jenis tertentu dari persamaan matematika (persamaan diferensial non-linier) yang mengandung jumlah yang diinginkan dalam pangkat lebih besar dari satu atau koefisien yang bergantung pada sifat-sifat medium. Artinya, ketika kita menerapkan model klasik (misalnya, tren, regresi, dll.), kita mengatakan bahwa masa depan suatu objek ditentukan secara unik. Dan kita bisa memprediksinya, mengetahui masa lalu objek (data awal untuk pemodelan). Dan fraktal digunakan dalam kasus ketika objek memiliki beberapa opsi untuk pengembangan dan keadaan sistem ditentukan oleh posisi di mana ia berada saat ini. Artinya, kami mencoba untuk mensimulasikan perkembangan yang kacau.

Ketika mereka berbicara tentang determinisme sistem tertentu, yang mereka maksud adalah bahwa perilakunya dicirikan oleh hubungan sebab akibat yang tidak ambigu. Artinya, mengetahui kondisi awal dan hukum gerak sistem, adalah mungkin untuk memprediksi masa depannya secara akurat. Gagasan tentang gerak di Alam Semesta inilah yang menjadi ciri klasik, dinamika Newtonian. Kekacauan, sebaliknya, menyiratkan proses acak yang kacau, ketika jalannya peristiwa tidak dapat diprediksi atau direproduksi.

Kekacauan dihasilkan oleh dinamika intrinsik dari sistem nonlinier - propertinya untuk secara eksponensial dengan cepat memisahkan lintasan yang dekat secara sewenang-wenang. Akibatnya, bentuk lintasan sangat bergantung pada kondisi awal. Ketika mempelajari sistem yang, pada pandangan pertama, berkembang secara kacau, mereka sering menggunakan teori fraktal, karena Pendekatan inilah yang memungkinkan untuk melihat pola tertentu dalam terjadinya penyimpangan "acak" dalam pengembangan sistem.

Studi tentang struktur fraktal alami memberi kita kesempatan untuk lebih memahami proses pengaturan diri dan pengembangan sistem nonlinier. Kami telah menemukan bahwa fraktal alami dari garis belitan yang paling beragam ditemukan di sekitar kita. Ini adalah pantai, pohon, awan, pelepasan petir, struktur logam, sistem saraf atau pembuluh darah manusia. Garis-garis rumit dan permukaan kasar ini menjadi perhatian penelitian ilmiah karena alam menunjukkan kepada kita tingkat kerumitan yang sama sekali berbeda dari sistem geometri ideal. Struktur yang diteliti ternyata memiliki kemiripan diri dalam hubungan spatio-temporal. Mereka tanpa henti mereplikasi diri dan mengulangi diri mereka sendiri pada berbagai skala panjang dan waktu. Setiap proses non-linier akhirnya mengarah ke percabangan. Sistem dalam hal ini, pada titik cabang, memilih satu jalur atau jalur lainnya. Lintasan perkembangan sistem akan terlihat seperti fraktal, yaitu garis putus-putus, yang bentuknya dapat digambarkan sebagai percabangan, jalur rumit yang memiliki logika dan polanya sendiri.

Percabangan sistem dapat dibandingkan dengan percabangan pohon, di mana setiap cabang sesuai dengan sepertiga dari keseluruhan sistem. Percabangan memungkinkan struktur linier untuk mengisi ruang tiga dimensi, atau, lebih tepatnya: struktur fraktal mengoordinasikan ruang yang berbeda. Sebuah fraktal dapat tumbuh, mengisi ruang di sekitarnya, seperti kristal yang tumbuh dalam larutan lewat jenuh. Dalam hal ini, sifat percabangan akan diasosiasikan bukan dengan kebetulan, melainkan dengan pola tertentu.

Struktur fraktal berulang dengan cara yang sama di tingkat lain, pada tingkat organisasi kehidupan manusia yang lebih tinggi, misalnya, pada tingkat pengaturan diri kolektif atau tim. Pengorganisasian diri jaringan dan bentuk bergerak dari tingkat mikro ke tingkat makro. Secara kolektif, mereka mewakili kesatuan holistik, di mana seseorang dapat menilai keseluruhan dari bagian. Dalam pekerjaan kursus ini, sebagai contoh, sifat fraktal dari proses sosial dipertimbangkan, yang menunjukkan universalitas teori fraktal dan kesetiaannya pada berbagai bidang ilmu pengetahuan.

Disimpulkan bahwa fraktal adalah cara interaksi terorganisir ruang dimensi dan alam yang berbeda. Perlu ditambahkan di atas bahwa tidak hanya spasial, tetapi juga temporal. Kemudian bahkan otak manusia dan jaringan saraf akan menjadi struktur fraktal.

Alam sangat menyukai bentuk fraktal. Objek fraktal memiliki struktur yang luas dan jarang. Ketika mengamati benda-benda seperti itu dengan pembesaran yang meningkat, orang dapat melihat bahwa mereka menunjukkan pola yang berulang pada tingkat yang berbeda. Kami telah mengatakan bahwa objek fraktal dapat terlihat persis sama terlepas dari apakah kita mengamatinya dalam meter, milimeter atau mikron (1:1.000.000 skala meter). Properti simetri objek fraktal dimanifestasikan dalam invarian sehubungan dengan skala. Fraktal simetris terhadap pusat peregangan atau penskalaan ulang, seperti halnya benda bulat simetris terhadap sumbu rotasi.

Saat ini, perkembangan dalam kerangka teori fraktal dilakukan dalam sains tertentu - fisika, sosiologi, psikologi, linguistik, dll. Kemudian masyarakat, dan institusi sosial, dan bahasa, dan bahkan pikiran adalah fraktal.

Ilmu pengetahuan modern telah cukup berhasil mengadaptasi teori fraktal untuk berbagai bidang pengetahuan. Jadi, dalam ilmu ekonomi, teori fraktal digunakan dalam analisis teknis pasar keuangan yang telah ada di negara-negara maju di dunia selama lebih dari seratus tahun. Untuk pertama kalinya, kemampuan untuk memprediksi perilaku harga saham di masa depan, jika arahnya untuk beberapa periode terakhir diketahui, dicatat oleh C. Dow. Pada 1990-an, setelah menerbitkan sejumlah artikel, Dow memperhatikan bahwa harga saham tunduk pada fluktuasi siklus: setelah kenaikan panjang, penurunan panjang mengikuti, kemudian naik dan turun lagi.

Di pertengahan abad ke-20, ketika seluruh dunia ilmiah terpesona oleh teori fraktal yang baru muncul, pemodal Amerika terkenal lainnya, R. Elliot, mengajukan teorinya tentang perilaku harga saham, yang didasarkan pada penggunaan fraktal. teori. Elliot berangkat dari fakta bahwa geometri fraktal terjadi tidak hanya di alam yang hidup, tetapi juga dalam proses sosial. Dia juga menghubungkan perdagangan saham di bursa efek dengan proses sosial.

Dasar teorinya adalah apa yang disebut diagram gelombang. Teori ini memungkinkan untuk memprediksi perilaku tren harga lebih lanjut, berdasarkan pengetahuan tentang sejarah perilakunya dan mengikuti aturan untuk pengembangan perilaku psikologis massal.

Teori fraktal juga telah menemukan aplikasi dalam biologi. Banyak, jika tidak semua, struktur dan sistem biologis tumbuhan, hewan, dan manusia memiliki sifat fraktal, beberapa kesamaan dengannya: sistem saraf, sistem paru-paru, sistem peredaran darah dan limfatik, dll. Bukti telah muncul bahwa perkembangan tumor ganas juga berlangsung menurut prinsip fraktal. Objek fraktal juga dicirikan oleh fitur seperti manifestasi komplementaritas. Komplementaritas dalam biokimia adalah korespondensi timbal balik dalam struktur kimia dua makromolekul, yang memastikan interaksi mereka - pasangan dua untai DNA, koneksi enzim dengan substrat, antigen dengan antibodi. Struktur pelengkap cocok bersama seperti kunci gembok. Sifat ini dimiliki oleh rantai polinukleotida DNA.

Salah satu aplikasi fraktal yang paling kuat terletak pada grafik komputer. Pertama, ini adalah kompresi fraktal gambar, dan kedua, konstruksi lanskap, pohon, tanaman, dan generasi tekstur fraktal. Pada saat yang sama, untuk kompresi, perekaman informasi, pengurangan fraktal yang serupa diri diperlukan, dan untuk pembacaannya, masing-masing, peningkatan serupa sendiri.

Keuntungan dari algoritma kompresi gambar fraktal adalah ukuran file yang dikemas sangat kecil dan waktu pemulihan gambar yang singkat. Gambar yang dikemas secara fraktal dapat diskalakan tanpa munculnya pikselasi. Namun proses kompresi memakan waktu lama dan terkadang berlangsung berjam-jam. Algoritme pengepakan fraktal lossy memungkinkan Anda untuk mengatur tingkat kompresi, mirip dengan format jpeg. Algoritma ini didasarkan pada menemukan bagian besar dari gambar yang mirip dengan beberapa bagian kecil. Dan hanya informasi tentang kesamaan satu bagian dengan bagian lain yang ditulis ke file output. Saat mengompresi, kisi persegi biasanya digunakan, yang mengarah ke sedikit sudut saat mengembalikan gambar; kisi heksagonal tidak memiliki kelemahan seperti itu.

Seringkali, penemuan brilian yang dibuat dalam sains dapat secara radikal mengubah hidup kita. Jadi, misalnya, penemuan vaksin dapat menyelamatkan banyak orang, dan penciptaan senjata baru mengarah pada pembunuhan. Secara harfiah kemarin (dalam skala sejarah) seseorang "menjinakkan" listrik, dan hari ini dia tidak bisa lagi membayangkan hidupnya tanpanya. Namun, ada juga penemuan-penemuan seperti yang mereka katakan, tetap dalam bayang-bayang, dan terlepas dari kenyataan bahwa mereka juga memiliki pengaruh pada kehidupan kita. Salah satu penemuan ini adalah fraktal. Kebanyakan orang bahkan belum pernah mendengar konsep seperti itu dan tidak akan bisa menjelaskan artinya. Pada artikel ini, kami akan mencoba menjawab pertanyaan tentang apa itu fraktal, pertimbangkan arti istilah ini dari sudut pandang sains dan alam.

Memesan dalam kekacauan

Untuk memahami apa itu fraktal, seseorang harus memulai pembekalan dari posisi matematika, namun, sebelum mempelajarinya, kami berfilsafat sedikit. Setiap orang memiliki keingintahuan alami, berkat itu ia mempelajari dunia di sekitarnya. Seringkali, dalam keinginannya akan pengetahuan, ia mencoba beroperasi dengan logika dalam penilaiannya. Jadi, menganalisis proses yang terjadi di sekitar, ia mencoba menghitung hubungan dan memperoleh pola tertentu. Pikiran terbesar di planet ini sibuk memecahkan masalah ini. Secara kasar, para ilmuwan kami mencari pola di mana mereka tidak ada, dan tidak seharusnya. Namun demikian, bahkan dalam kekacauan ada hubungan antara peristiwa-peristiwa tertentu. Koneksi ini adalah fraktal. Sebagai contoh, perhatikan cabang patah yang tergeletak di jalan. Jika kita perhatikan lebih dekat, kita akan melihat bahwa ia, dengan semua cabang dan simpulnya, tampak seperti pohon. Kesamaan bagian yang terpisah dengan satu keseluruhan ini membuktikan apa yang disebut prinsip kesamaan diri rekursif. Fraktal di alam dapat ditemukan sepanjang waktu, karena banyak bentuk anorganik dan organik terbentuk dengan cara yang sama. Ini adalah awan, dan kerang laut, dan kulit siput, dan mahkota pohon, dan bahkan sistem peredaran darah. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas. Semua bentuk acak ini mudah dijelaskan oleh algoritma fraktal. Di sini kita datang untuk mempertimbangkan apa itu fraktal dari sudut pandang ilmu eksakta.

Beberapa fakta kering

Kata "fraktal" sendiri diterjemahkan dari bahasa Latin sebagai "sebagian", "terbagi", "terpecah-pecah", dan untuk isi istilah ini, tidak ada kata-kata seperti itu. Biasanya diperlakukan sebagai himpunan yang serupa, bagian dari keseluruhan, yang diulangi oleh strukturnya pada tingkat mikro. Istilah ini diciptakan pada tahun tujuh puluhan abad kedua puluh oleh Benoit Mandelbrot, yang diakui sebagai bapak.Hari ini, konsep fraktal berarti representasi grafis dari struktur tertentu, yang jika diperbesar, akan mirip dengan dirinya sendiri. Namun, dasar matematika untuk penciptaan teori ini diletakkan bahkan sebelum kelahiran Mandelbrot sendiri, tetapi tidak dapat berkembang sampai komputer elektronik muncul.

Referensi sejarah, atau Bagaimana semuanya dimulai

Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, studi tentang sifat fraktal bersifat episodik. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa matematikawan lebih suka mempelajari objek yang dapat diselidiki berdasarkan teori dan metode umum. Pada tahun 1872, matematikawan Jerman K. Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di mana pun. Namun, konstruksi ini ternyata benar-benar abstrak dan sulit dipahami. Berikutnya adalah orang Swedia Helge von Koch, yang pada tahun 1904 membangun kurva kontinu yang tidak bersinggungan di mana pun. Sangat mudah untuk menggambar, dan, ternyata, ini ditandai dengan sifat fraktal. Salah satu varian kurva ini dinamai sesuai nama penulisnya - "kepingan salju Koch". Selanjutnya, gagasan kesamaan diri tokoh dikembangkan oleh mentor masa depan B. Mandelbrot, orang Prancis Paul Levy. Pada tahun 1938 ia menerbitkan makalah "Bidang dan Kurva Spasial dan Permukaan yang Terdiri dari Bagian-Bagian Seperti Keseluruhan". Di dalamnya, ia menggambarkan spesies baru - kurva Levy C. Semua angka di atas secara kondisional merujuk pada bentuk seperti fraktal geometris.

Fraktal dinamis atau aljabar

Himpunan Mandelbrot termasuk dalam kelas ini. Matematikawan Prancis Pierre Fatou dan Gaston Julia menjadi peneliti pertama ke arah ini. Pada tahun 1918 Julia menerbitkan sebuah makalah berdasarkan studi tentang iterasi fungsi kompleks rasional. Di sini ia menggambarkan keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini memuliakan penulis di antara ahli matematika, itu dengan cepat dilupakan. Dan hanya setengah abad kemudian, berkat komputer, karya Julia mendapat kehidupan kedua. Komputer memungkinkan untuk memperlihatkan kepada setiap orang keindahan dan kekayaan dunia fraktal yang dapat "dilihat" oleh matematikawan dengan menampilkannya melalui fungsi. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk melakukan perhitungan (secara manual volume seperti itu tidak mungkin dilakukan) yang memungkinkan untuk membuat gambar dari angka-angka ini.

Pria dengan imajinasi spasial

Mandelbrot memulai karir ilmiahnya di IBM Research Center. Mempelajari kemungkinan transmisi data jarak jauh, para ilmuwan dihadapkan pada fakta kerugian besar yang muncul karena gangguan kebisingan. Benoit sedang mencari cara untuk memecahkan masalah ini. Melihat melalui hasil pengukuran, ia menarik perhatian pada pola yang aneh, yaitu: grafik kebisingan tampak sama pada skala waktu yang berbeda.

Gambaran serupa diamati baik untuk jangka waktu satu hari, dan selama tujuh hari, atau selama satu jam. Benoit Mandelbrot sendiri sering mengulangi bahwa dia tidak bekerja dengan rumus, tetapi bermain dengan gambar. Ilmuwan ini dibedakan oleh pemikiran imajinatif, ia menerjemahkan masalah aljabar apa pun ke dalam area geometris, di mana jawaban yang benar sudah jelas. Maka tidak heran, dibedakan oleh orang kaya dan menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, kesadaran akan sosok ini hanya bisa datang ketika Anda mempelajari gambar-gambar itu dan memikirkan arti dari pusaran-pusaran aneh yang membentuk pola itu. Gambar fraktal tidak memiliki elemen yang identik, tetapi mereka serupa pada skala apa pun.

Julia - Mandelbrot

Salah satu gambar pertama dari gambar ini adalah interpretasi grafis dari himpunan, yang lahir berkat karya Gaston Julia dan diselesaikan oleh Mandelbrot. Gaston mencoba membayangkan seperti apa set ketika dibangun dari formula sederhana yang diulang oleh loop umpan balik. Mari kita coba menjelaskan apa yang telah dikatakan dalam bahasa manusia, bisa dikatakan, dengan jari. Untuk nilai numerik tertentu, dengan menggunakan rumus, kami menemukan nilai baru. Kami menggantinya ke dalam rumus dan menemukan yang berikut. Hasilnya besar.Untuk mewakili set seperti itu, Anda perlu melakukan operasi ini berkali-kali: ratusan, ribuan, jutaan. Inilah yang dilakukan Benoit. Dia memproses urutannya dan mentransfer hasilnya ke bentuk grafik. Selanjutnya, ia mewarnai gambar yang dihasilkan (setiap warna sesuai dengan sejumlah iterasi tertentu). Gambar grafik ini disebut fraktal Mandelbrot.

L. Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal dengan cepat menemukan aplikasi praktis. Karena sangat erat kaitannya dengan visualisasi gambar serupa diri, yang pertama mengadopsi prinsip dan algoritma untuk membangun bentuk yang tidak biasa ini adalah seniman. Yang pertama adalah calon pendiri studio Pixar Lauren Carpenter. Saat mengerjakan presentasi prototipe pesawat, ia muncul dengan ide untuk menggunakan gambar pegunungan sebagai latar belakang. Saat ini, hampir setiap pengguna komputer dapat mengatasi tugas seperti itu, dan pada tahun tujuh puluhan abad terakhir, komputer tidak dapat melakukan proses seperti itu, karena tidak ada editor grafis dan aplikasi untuk grafik tiga dimensi pada waktu itu. Loren menemukan Fraktal Mandelbrot: Bentuk, Keacakan, dan Dimensi. Di dalamnya, Benois memberikan banyak contoh, menunjukkan bahwa ada fraktal di alam (fiva), ia menggambarkan berbagai bentuknya dan membuktikan bahwa mereka mudah dijelaskan dengan ekspresi matematika. Matematikawan mengutip analogi ini sebagai argumen untuk kegunaan teori yang dia kembangkan dalam menanggapi kritik dari rekan-rekannya. Mereka berargumen bahwa fraktal hanyalah gambar indah yang tidak bernilai, produk sampingan dari mesin elektronik. Tukang kayu memutuskan untuk mencoba metode ini dalam praktik. Setelah mempelajari buku itu dengan cermat, animator masa depan mulai mencari cara untuk menerapkan geometri fraktal dalam grafik komputer. Hanya butuh tiga hari baginya untuk membuat gambar lanskap gunung yang benar-benar realistis di komputernya. Dan hari ini prinsip ini banyak digunakan. Ternyata, membuat fraktal tidak membutuhkan banyak waktu dan usaha.

Solusi tukang kayu

Prinsip yang digunakan Lauren ternyata sederhana. Ini terdiri dari membagi yang lebih besar menjadi elemen yang lebih kecil, dan mereka menjadi yang lebih kecil yang serupa, dan seterusnya. Tukang kayu, menggunakan segitiga besar, menghancurkannya menjadi 4 segitiga kecil, dan seterusnya, sampai dia mendapatkan pemandangan gunung yang realistis. Dengan demikian, ia menjadi seniman pertama yang menerapkan algoritme fraktal dalam grafik komputer untuk membangun gambar yang diperlukan. Hari ini, prinsip ini digunakan untuk mensimulasikan berbagai bentuk alam yang realistis.

Visualisasi 3D pertama berdasarkan algoritma fraktal

Beberapa tahun kemudian, Lauren menerapkan karyanya dalam proyek skala besar - video animasi Vol Libre, ditampilkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan banyak orang, dan penciptanya diundang untuk bekerja di Lucasfilm. Di sini animator dapat sepenuhnya menyadari dirinya sendiri, ia menciptakan lanskap tiga dimensi (seluruh planet) untuk film fitur "Star Trek". Setiap program modern ("Fraktal") atau aplikasi untuk membuat grafik tiga dimensi (Terragen, Vue, Bryce) menggunakan algoritme yang sama untuk memodelkan tekstur dan permukaan.

Tom Beddard

Seorang mantan fisikawan laser dan sekarang seniman dan seniman digital, Beddard menciptakan serangkaian bentuk geometris yang sangat menarik yang disebutnya fraktal Faberge. Secara lahiriah, mereka menyerupai telur dekoratif dari perhiasan Rusia, mereka memiliki pola rumit yang brilian. Beddard menggunakan metode template untuk membuat rendering model digitalnya. Produk yang dihasilkan sangat mencolok dalam keindahannya. Meski banyak yang menolak membandingkan produk buatan tangan dengan program komputer, harus diakui bahwa bentuk yang dihasilkan luar biasa indah. Puncaknya adalah siapa pun dapat membangun fraktal seperti itu menggunakan perpustakaan perangkat lunak WebGL. Ini memungkinkan Anda untuk menjelajahi berbagai struktur fraktal secara real time.

fraktal di alam

Hanya sedikit orang yang memperhatikan, tetapi angka-angka luar biasa ini ada di mana-mana. Alam terdiri dari sosok-sosok yang serupa, kita hanya tidak menyadarinya. Cukup dengan melihat melalui kaca pembesar ke kulit kita atau daun pohon, dan kita akan melihat fraktal. Atau ambil, misalnya, nanas atau bahkan ekor merak - mereka terdiri dari gambar yang serupa. Dan varietas brokoli Romanescu umumnya mencolok dalam penampilannya, karena itu benar-benar dapat disebut keajaiban alam.

jeda musik

Ternyata fraktal bukan hanya bentuk geometris, tapi juga bisa berupa suara. Jadi, musisi Jonathan Colton menulis musik menggunakan algoritma fraktal. Dia mengklaim sesuai dengan harmoni alam. Komposer menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi CreativeCommons Attribution-Noncommercial, yang menyediakan distribusi gratis, penyalinan, transfer karya oleh orang lain.

Indikator fraktal

Teknik ini telah menemukan aplikasi yang sangat tidak terduga. Atas dasar itu, alat untuk menganalisis pasar bursa telah dibuat, dan sebagai hasilnya, alat itu mulai digunakan di pasar Forex. Sekarang indikator fraktal ditemukan di semua platform perdagangan dan digunakan dalam teknik perdagangan yang disebut penembusan harga. Bill Williams mengembangkan teknik ini. Sebagai komentar penulis pada penemuannya, algoritma ini adalah kombinasi dari beberapa "lilin", di mana yang pusat mencerminkan maksimum atau, sebaliknya, titik ekstrim minimum.

Akhirnya

Jadi kami telah mempertimbangkan apa itu fraktal. Ternyata dalam kekacauan yang melingkupi kita, nyatanya ada bentuk-bentuk ideal. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur yang ideal. Itu diatur dengan sangat logis, dan jika kita tidak dapat menemukan pola, ini tidak berarti bahwa itu tidak ada. Mungkin Anda perlu melihat skala yang berbeda. Kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia yang belum kita temukan.

Institusi pendidikan anggaran kota

"Sekolah Menengah Siverskaya No. 3"

Riset

matematika.

Apakah pekerjaan itu?

siswa kelas 8

Emelin Pavel

pengawas

guru matematika

Tupitsyna Natalya Alekseevna

hal.Siversky

tahun 2014

Matematika semuanya dipenuhi dengan keindahan dan harmoni,

Anda hanya perlu melihat keindahan ini.

B. Mandelbrot

pengantar

Bab 1. Sejarah munculnya fraktal _______ 5-6 hlm.

Bab 2. Klasifikasi fraktal.__________6-10pp.

fraktal geometris

Fraktal aljabar

Fraktal stokastik

Bab 3. "Geometri fraktal alam" ______ 11-13pp.

Bab 4. Penerapan fraktal _______________13-15pp.

Bab 5 Kerja Praktek _________ 16-24pp.

Kesimpulan_________________________________25.halaman

Daftar literatur dan sumber internet _______ 26 hal.

pengantar

Matematika,

jika Anda melihatnya dengan benar,

tidak hanya mencerminkan kebenaran,

tetapi juga keindahan yang tiada tara.

Bertrand Russell

Kata "fraktal" adalah sesuatu yang banyak dibicarakan orang akhir-akhir ini, mulai dari ilmuwan hingga siswa sekolah menengah. Itu muncul di sampul banyak buku teks matematika, jurnal ilmiah, dan kotak perangkat lunak komputer. Gambar berwarna fraktal saat ini dapat ditemukan di mana-mana: dari kartu pos, T-shirt hingga gambar di desktop komputer pribadi. Jadi, apa sajakah bentuk-bentuk berwarna yang kita lihat di sekitar ini?

Matematika adalah ilmu tertua. Tampaknya bagi kebanyakan orang bahwa geometri di alam terbatas pada bentuk-bentuk sederhana seperti garis, lingkaran, poligon, bola, dan sebagainya. Ternyata, banyak sistem alam yang begitu kompleks sehingga hanya menggunakan objek geometri biasa yang sudah dikenal untuk memodelkannya tampak sia-sia. Bagaimana, misalnya, membangun model barisan pegunungan atau tajuk pohon dari segi geometri? Bagaimana menggambarkan keanekaragaman keanekaragaman hayati yang kita amati di dunia tumbuhan dan hewan? Bagaimana membayangkan seluruh kerumitan sistem peredaran darah, yang terdiri dari banyak kapiler dan pembuluh darah dan mengalirkan darah ke setiap sel tubuh manusia? Bayangkan struktur paru-paru dan ginjal, menyerupai pohon dengan struktur mahkota bercabang?

Fraktal adalah sarana yang cocok untuk mengeksplorasi pertanyaan yang diajukan. Seringkali apa yang kita lihat di alam membuat kita penasaran dengan pengulangan tanpa henti dari pola yang sama, diperbesar atau diperkecil beberapa kali. Misalnya, pohon memiliki cabang. Cabang-cabang ini memiliki cabang yang lebih kecil, dan seterusnya. Secara teoritis, elemen "garpu" berulang berkali-kali tanpa batas, semakin kecil dan semakin kecil. Hal yang sama juga terlihat saat melihat foto sebuah dataran pegunungan. Coba perbesar sedikit di pegunungan --- Anda akan melihat pegunungan lagi. Ini adalah bagaimana sifat karakteristik kesamaan diri dari fraktal memanifestasikan dirinya.

Studi tentang fraktal membuka kemungkinan luar biasa, baik dalam studi aplikasi dalam jumlah tak terbatas, maupun di bidang matematika. Penggunaan fraktal sangat luas! Lagi pula, objek-objek ini sangat indah sehingga digunakan oleh desainer, seniman, dengan bantuan mereka banyak elemen pohon, awan, gunung, dll. digambar dalam grafik. Tetapi fraktal bahkan digunakan sebagai antena di banyak ponsel.

Bagi banyak chaologist (ilmuwan yang mempelajari fraktal dan chaos), ini bukan hanya bidang pengetahuan baru yang menggabungkan matematika, fisika teoretis, seni, dan teknologi komputer - ini adalah sebuah revolusi. Ini adalah penemuan jenis geometri baru, geometri yang menggambarkan dunia di sekitar kita dan yang dapat dilihat tidak hanya di buku teks, tetapi juga di alam dan di mana-mana di alam semesta tanpa batas..

Dalam pekerjaan saya, saya juga memutuskan untuk “menyentuh” dunia kecantikan dan bertekad untuk diri saya sendiri…

Objektif: membuat objek yang sangat mirip dengan alam.

Metode penelitian Kata kunci: analisis komparatif, sintesis, pemodelan.

tugas:

kenalan dengan konsep, sejarah kejadian dan penelitian B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky dan lainnya;

keakraban dengan berbagai jenis himpunan fraktal;

studi literatur sains populer tentang masalah ini, kenalan dengan

hipotesis ilmiah;

menemukan konfirmasi teori fraktalitas dunia sekitarnya;

studi tentang penggunaan fraktal dalam ilmu-ilmu lain dan dalam praktek;

melakukan percobaan untuk membuat gambar fraktal Anda sendiri.

Pertanyaan inti pekerjaan:

Tunjukkan bahwa matematika bukanlah mata pelajaran yang kering dan tidak berjiwa, matematika dapat mengungkapkan dunia spiritual seseorang secara individu dan dalam masyarakat secara keseluruhan.

Subyek studi: Geometri fraktal.

Objek studi: fraktal dalam matematika dan di dunia nyata.

Hipotesa: Segala sesuatu yang ada di dunia nyata adalah fraktal.

Metode penelitian: analitis, pencarian.

Relevansi topik yang dinyatakan ditentukan, pertama-tama, oleh subjek penelitian, yaitu geometri fraktal.

Hasil yang diharapkan: Dalam perjalanan kerja, saya akan dapat memperluas pengetahuan saya di bidang matematika, melihat keindahan geometri fraktal, dan mulai bekerja untuk membuat fraktal saya sendiri.

Hasil dari pekerjaan tersebut adalah pembuatan presentasi komputer, buletin dan buklet.

Bab 1

B Enua Mandelbrot

Istilah "fraktal" diciptakan oleh Benoit Mandelbrot. Kata tersebut berasal dari bahasa Latin "fractus", yang berarti "patah, hancur".

Fraktal (lat. fractus - hancur, patah, pecah) - istilah yang berarti sosok geometris kompleks dengan sifat kesamaan diri, yaitu, terdiri dari beberapa bagian, yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar secara keseluruhan.

Objek matematis yang dirujuknya dicirikan oleh sifat-sifat yang sangat menarik. Dalam geometri biasa, garis memiliki satu dimensi, permukaan memiliki dua dimensi, dan bangun ruang adalah tiga dimensi. Fraktal, di sisi lain, bukanlah garis atau permukaan, tetapi, jika Anda dapat membayangkannya, sesuatu di antaranya. Dengan bertambahnya ukuran, volume fraktal juga meningkat, tetapi dimensinya (eksponen) bukan bilangan bulat, tetapi nilai pecahan, dan oleh karena itu batas gambar fraktal bukanlah garis: pada perbesaran tinggi, menjadi jelas bahwa itu kabur dan terdiri dari spiral dan ikal, mengulangi skala kecil dari gambar itu sendiri. Keteraturan geometrik seperti itu disebut invarian skala atau kesamaan diri. Dialah yang menentukan dimensi pecahan angka fraktal.

Sebelum munculnya geometri fraktal, ilmu pengetahuan berurusan dengan sistem yang terkandung dalam tiga dimensi spasial. Berkat Einstein, menjadi jelas bahwa ruang tiga dimensi hanyalah model realitas, dan bukan realitas itu sendiri. Faktanya, dunia kita terletak dalam kontinum ruang-waktu empat dimensi.
Berkat Mandelbrot, menjadi jelas seperti apa ruang empat dimensi, secara kiasan, wajah fraktal Chaos. Benoit Mandelbrot menemukan bahwa dimensi keempat tidak hanya mencakup tiga dimensi pertama, tetapi juga (ini sangat penting!) interval di antara mereka.

Geometri rekursif (atau fraktal) menggantikan Euclidean. Ilmu pengetahuan baru mampu menggambarkan sifat sebenarnya dari tubuh dan fenomena. Geometri Euclidean hanya berurusan dengan objek imajiner buatan yang termasuk dalam tiga dimensi. Hanya dimensi keempat yang dapat mengubahnya menjadi kenyataan.

Cair, gas, padat adalah tiga keadaan fisik biasa materi yang ada di dunia tiga dimensi. Tapi apa dimensi kepulan asap, awan, atau lebih tepatnya, batas-batasnya, yang terus-menerus dikaburkan oleh pergerakan udara yang bergejolak?

Pada dasarnya, fraktal diklasifikasikan menjadi tiga kelompok:

Fraktal aljabar

Fraktal stokastik

fraktal geometris

Mari kita lihat lebih dekat satu per satu.

Bab 2. Klasifikasi fraktal

fraktal geometris

Benoit Mandelbrot mengusulkan model fraktal, yang telah menjadi klasik dan sering digunakan untuk menunjukkan contoh khas fraktal itu sendiri dan untuk menunjukkan keindahan fraktal, yang juga menarik para peneliti, seniman, dan orang-orang yang hanya tertarik.

Bersama merekalah sejarah fraktal dimulai. Jenis fraktal ini diperoleh dengan konstruksi geometris sederhana. Biasanya, ketika membangun fraktal ini, seseorang melanjutkan sebagai berikut: "benih" diambil - aksioma - satu set segmen, atas dasar mana fraktal akan dibangun. Selanjutnya, seperangkat aturan diterapkan pada "benih" ini, yang mengubahnya menjadi beberapa sosok geometris. Selanjutnya, seperangkat aturan yang sama diterapkan lagi pada setiap bagian dari gambar ini. Dengan setiap langkah, sosok itu akan menjadi semakin kompleks, dan jika kita melakukan (setidaknya dalam pikiran) jumlah transformasi yang tak terbatas, kita akan mendapatkan fraktal geometris.

Fraktal dari kelas ini adalah yang paling visual, karena mereka segera terlihat kesamaan diri pada skala pengamatan apa pun. Dalam kasus dua dimensi, fraktal seperti itu dapat diperoleh dengan menentukan beberapa garis putus-putus, yang disebut generator. Dalam satu langkah algoritma, setiap segmen yang membentuk garis putus-putus digantikan oleh generator garis putus-putus, dalam skala yang sesuai. Sebagai hasil dari pengulangan tanpa akhir dari prosedur ini (atau, lebih tepatnya, ketika melewati batas), kurva fraktal diperoleh. Dengan kompleksitas kurva yang dihasilkan, bentuk umumnya hanya diberikan oleh bentuk generator. Contoh kurva tersebut adalah: Kurva Koch (Gbr.7), Kurva Peano (Gbr.8), Kurva Minkowski.

Pada awal abad ke-20, matematikawan mencari kurva yang tidak memiliki garis singgung di titik mana pun. Ini berarti bahwa kurva tiba-tiba berubah arah, dan, terlebih lagi, dengan kecepatan yang sangat tinggi (turunannya sama dengan tak terhingga). Pencarian kurva-kurva ini tidak hanya disebabkan oleh minat kosong para matematikawan. Faktanya adalah bahwa pada awal abad ke-20, mekanika kuantum berkembang sangat pesat. Peneliti M. Brown membuat sketsa lintasan partikel tersuspensi dalam air dan menjelaskan fenomena ini sebagai berikut: atom cair yang bergerak secara acak menabrak partikel tersuspensi dan dengan demikian membuat mereka bergerak. Setelah penjelasan tentang gerak Brown seperti itu, para ilmuwan dihadapkan pada tugas untuk menemukan kurva yang paling baik menunjukkan gerak partikel Brown. Untuk melakukan ini, kurva harus memenuhi sifat-sifat berikut: tidak memiliki garis singgung di sembarang titik. Ahli matematika Koch mengusulkan satu kurva seperti itu.

Ke kurva Koch adalah fraktal geometris yang khas. Proses konstruksinya adalah sebagai berikut: kami mengambil satu segmen, membaginya menjadi tiga bagian yang sama dan mengganti interval tengah dengan segitiga sama sisi tanpa segmen ini. Akibatnya, garis putus-putus terbentuk, terdiri dari empat tautan dengan panjang 1/3. Pada langkah berikutnya, kami mengulangi operasi untuk masing-masing dari empat tautan yang dihasilkan, dan seterusnya ...

kurva limitnya adalah kurva Koch.

Koch Kepingan Salju. Dengan melakukan transformasi serupa di sisi segitiga sama sisi, Anda bisa mendapatkan gambar fraktal kepingan salju Koch.

T
Perwakilan sederhana lain dari fraktal geometris adalah Alun-alun Sierpinski. Itu dibangun cukup sederhana: Persegi dibagi dengan garis lurus sejajar dengan sisinya menjadi 9 kotak yang sama. Alun-alun pusat dihapus dari alun-alun. Ternyata satu set terdiri dari 8 kotak tersisa dari "peringkat pertama". Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kotak dari peringkat pertama, kami mendapatkan satu set yang terdiri dari 64 kotak dari peringkat kedua. Melanjutkan proses ini tanpa batas, kami memperoleh urutan tak terbatas atau kuadrat Sierpinski.

Fraktal aljabar

Ini adalah kelompok fraktal terbesar. Fraktal aljabar mendapatkan namanya karena dibuat menggunakan rumus aljabar sederhana.

Mereka diperoleh dengan menggunakan proses non-linier dalam n-ruang dimensi. Diketahui bahwa sistem dinamik nonlinier memiliki beberapa keadaan stabil. Keadaan di mana sistem dinamis menemukan dirinya setelah sejumlah iterasi tertentu bergantung pada keadaan awalnya. Oleh karena itu, setiap keadaan stabil (atau, seperti yang mereka katakan, penarik) memiliki area tertentu dari keadaan awal, dari mana sistem akan jatuh ke dalam keadaan akhir yang dipertimbangkan. Dengan demikian, ruang fase sistem dibagi menjadi: area atraksi penarik perhatian. Jika ruang fase adalah dua dimensi, maka dengan mewarnai daerah tarik-menarik dengan warna yang berbeda, seseorang dapat memperoleh potret fase warna sistem ini (proses berulang). Dengan mengubah algoritme pemilihan warna, Anda bisa mendapatkan pola fraktal kompleks dengan pola multiwarna yang mewah. Kejutan untuk matematikawan adalah kemampuan untuk menghasilkan struktur yang sangat kompleks menggunakan algoritma primitif.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan Mandelbrot. Itu dibangun menggunakan bilangan kompleks.

Bagian dari batas himpunan Mandelbrot, diperbesar 200 kali.

Himpunan Mandelbrot berisi poin-poin yang selamatak berujung jumlah iterasi tidak sampai tak terhingga (titik yang berwarna hitam). Titik-titik yang termasuk dalam batas himpunan(di sinilah struktur kompleks muncul) menjadi tak terhingga dalam jumlah iterasi yang terbatas, dan titik-titik yang terletak di luar himpunan menjadi tak terhingga setelah beberapa iterasi (latar belakang putih).

P



Contoh fraktal aljabar lainnya adalah himpunan Julia. Ada 2 jenis fraktal ini. Anehnya, himpunan Julia dibentuk menurut rumus yang sama dengan himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia ditemukan oleh ahli matematika Prancis Gaston Julia, yang kemudian dinamai demikian.

Dan
fakta yang menarik, beberapa fraktal aljabar sangat mirip dengan gambar hewan, tumbuhan, dan objek biologis lainnya, dan karenanya disebut biomorf.

Fraktal stokastik

Kelas fraktal terkenal lainnya adalah fraktal stokastik, yang diperoleh jika salah satu parameternya diubah secara acak dalam proses berulang. Ini menghasilkan objek yang sangat mirip dengan yang alami - pohon asimetris, garis pantai yang menjorok, dll.

Perwakilan khas dari kelompok fraktal ini adalah "plasma".

D
Untuk membangunnya, persegi panjang diambil dan warna ditentukan untuk setiap sudutnya. Selanjutnya, titik pusat persegi panjang ditemukan dan dicat dengan warna yang sama dengan rata-rata aritmatika warna di sudut persegi panjang ditambah beberapa angka acak. Semakin besar angka acaknya, semakin "sobek" gambarnya. Jika kita berasumsi bahwa warna titik adalah ketinggian di atas permukaan laut, kita akan mendapatkan pegunungan, bukan plasma. Berdasarkan prinsip inilah gunung dimodelkan di sebagian besar program. Menggunakan algoritme seperti plasma, peta ketinggian dibuat, berbagai filter diterapkan padanya, tekstur diterapkan, dan pegunungan fotorealistik siap.

E
Jika kita melihat fraktal ini dalam sebuah bagian, maka kita akan melihat fraktal ini banyak, dan memiliki "kekasaran", hanya karena "kekasaran" ini ada aplikasi yang sangat penting dari fraktal ini.

Katakanlah Anda ingin menggambarkan bentuk gunung. Angka-angka biasa dari geometri Euclidean tidak akan membantu di sini, karena mereka tidak memperhitungkan topografi permukaan. Tetapi ketika menggabungkan geometri konvensional dengan geometri fraktal, Anda bisa mendapatkan "kekasaran" gunung itu. Plasma harus diaplikasikan pada kerucut biasa dan kita akan mendapatkan relief gunung. Operasi semacam itu dapat dilakukan dengan banyak objek lain di alam, berkat fraktal stokastik, alam itu sendiri dapat dijelaskan.

Sekarang mari kita bicara tentang fraktal geometris.

.

Bab 3 "Geometri Fraktal Alam"

Mengapa geometri sering disebut sebagai "dingin" dan "kering"? Salah satu alasannya adalah ketidakmampuannya untuk menggambarkan bentuk awan, gunung, garis pantai atau pohon. Awan bukan bola, gunung bukan kerucut, garis pantai bukan lingkaran, pohon kulit kayu tidak halus; tetapi kompleksitas dari tingkat yang sama sekali berbeda. Jumlah skala panjang yang berbeda dari benda-benda alam untuk semua tujuan praktis tidak terbatas. "

(Benoit Mandelbrot "Geometri Fraktal Alam" ).

Ke Keindahan fraktal ada dua: menyenangkan mata, sebagaimana dibuktikan oleh setidaknya pameran gambar fraktal di seluruh dunia, yang diselenggarakan oleh sekelompok matematikawan Bremen di bawah kepemimpinan Peitgen dan Richter. Kemudian, pameran dari pameran megah ini diabadikan dalam ilustrasi untuk buku "The Beauty of Fractals" oleh penulis yang sama. Tetapi ada aspek lain, yang lebih abstrak atau luhur, dari keindahan fraktal, yang menurut R. Feynman terbuka, hanya untuk pandangan mental ahli teori, dalam pengertian ini, fraktal indah dengan keindahan masalah matematika yang sulit. Benoit Mandelbrot menunjukkan kepada orang-orang sezamannya (dan, mungkin, kepada keturunannya) celah yang tidak menguntungkan dalam Elemen Euclid, yang menurutnya, tanpa memperhatikan kelalaian, selama hampir dua milenium umat manusia memahami geometri dunia sekitarnya dan mempelajari ketelitian matematika dari presentasi. Tentu saja, kedua aspek keindahan fraktal saling berhubungan erat dan tidak mengecualikan, tetapi saling melengkapi satu sama lain, meskipun masing-masing mandiri.

Geometri fraktal alam, menurut Mandelbrot, adalah geometri nyata yang memenuhi definisi geometri yang diusulkan dalam "Program Erlangen" F. Klein. Faktanya adalah bahwa sebelum munculnya geometri non-Euclidean, N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, hanya ada satu geometri - yang dikemukakan dalam "Awal", dan pertanyaan tentang apa itu geometri dan geometri mana yang geometri dunia nyata tidak muncul, dan tidak bisa timbul. Tetapi dengan munculnya geometri lain, muncul pertanyaan tentang apa itu geometri secara umum, dan geometri mana yang sesuai dengan dunia nyata. Menurut F. Klein, geometri mempelajari sifat-sifat objek yang invarian dalam transformasi: Euclidean - invarian dari kelompok gerakan (transformasi yang tidak mengubah jarak antara dua titik, yaitu mewakili superposisi translasi paralel dan rotasi dengan atau tanpa perubahan orientasi) , geometri Lobachevsky-Bolyai - invarian dari grup Lorentz. Geometri fraktal berkaitan dengan studi invarian dari kelompok transformasi self-affine, yaitu. properti yang dinyatakan oleh hukum kekuasaan.

Mengenai korespondensi dengan dunia nyata, geometri fraktal menggambarkan kelas proses dan fenomena alam yang sangat luas, dan oleh karena itu kita dapat, mengikuti B. Mandelbrot, dengan tepat berbicara tentang geometri fraktal alam. Baru - objek fraktal memiliki sifat yang tidak biasa. Panjang, luas, dan volume beberapa fraktal sama dengan nol, yang lain menjadi tak terhingga.

Alam sering kali menciptakan fraktal yang menakjubkan dan indah, dengan geometri yang sempurna dan harmoni yang membuat Anda terpaku dengan kekaguman. Dan inilah contoh mereka:

kerang laut

Petir mengagumi kecantikan mereka. Fraktal yang diciptakan oleh petir tidak acak atau teratur.

bentuk fraktal subspesies kembang kol(Brassica cauliflora). Jenis khusus ini adalah fraktal yang sangat simetris.

P pakis juga merupakan contoh fraktal yang baik di antara flora.

burung merak setiap orang dikenal karena bulunya yang berwarna-warni, di mana fraktal padat tersembunyi.

Pola es, es di jendela, ini juga fraktal

HAI
t gambar diperbesar selebaran, sebelum cabang pohon- Anda dapat menemukan fraktal dalam segala hal

Fraktal ada di mana-mana dan di mana-mana di alam sekitar kita. Seluruh alam semesta dibangun menurut hukum yang sangat harmonis dengan ketepatan matematis. Apakah mungkin setelah itu untuk berpikir bahwa planet kita adalah kumpulan partikel yang acak? Hampir tidak.

Bab 4

Fraktal menemukan semakin banyak aplikasi dalam sains. Alasan utama untuk ini adalah bahwa mereka menggambarkan dunia nyata kadang-kadang bahkan lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Berikut beberapa contohnya:

HAI
hari dari aplikasi fraktal yang paling kuat terletak pada grafik komputer. Ini adalah kompresi fraktal gambar. Fisika dan mekanika modern baru saja mulai mempelajari perilaku objek fraktal.

Keuntungan dari algoritma kompresi gambar fraktal adalah ukuran file yang dikemas sangat kecil dan waktu pemulihan gambar yang singkat. Gambar yang dikemas secara fraktal dapat diskalakan tanpa munculnya pikselisasi (kualitas gambar buruk - kotak besar). Namun proses kompresi memakan waktu lama dan terkadang berlangsung berjam-jam. Algoritme pengepakan fraktal lossy memungkinkan Anda untuk mengatur tingkat kompresi, mirip dengan format jpeg. Algoritma ini didasarkan pada pencarian potongan besar dari gambar yang mirip dengan beberapa potongan kecil. Dan hanya bagian mana yang mirip dengan yang ditulis ke file output. Saat mengompresi, kotak persegi biasanya digunakan (potongan adalah kotak), yang mengarah ke sedikit sudut saat mengembalikan gambar, kotak heksagonal bebas dari kekurangan seperti itu.

Iterated telah mengembangkan format gambar baru, "Sting", yang menggabungkan kompresi lossless fraktal dan "gelombang" (seperti jpeg). Format baru memungkinkan Anda membuat gambar dengan kemungkinan penskalaan berkualitas tinggi berikutnya, dan volume file grafik adalah 15-20% dari volume gambar yang tidak dikompresi.

Dalam mekanika dan fisika fraktal digunakan karena sifatnya yang unik untuk mengulang garis besar banyak objek alam. Fraktal memungkinkan Anda untuk memperkirakan pohon, permukaan gunung, dan celah dengan akurasi lebih tinggi daripada perkiraan dengan segmen garis atau poligon (dengan jumlah data yang disimpan sama). Model fraktal, seperti objek alami, memiliki "kekasaran", dan properti ini dipertahankan pada peningkatan besar yang sewenang-wenang dalam model. Kehadiran ukuran seragam pada fraktal memungkinkan untuk menerapkan integrasi, teori potensial, untuk menggunakannya sebagai ganti objek standar dalam persamaan yang telah dipelajari.

T
Geometri fraktal juga digunakan untuk desain perangkat antena. Ini pertama kali digunakan oleh insinyur Amerika Nathan Cohen, yang kemudian tinggal di pusat kota Boston, di mana pemasangan antena eksternal pada bangunan dilarang. Cohen memotong bentuk kurva Koch dari aluminium foil dan kemudian menempelkannya ke selembar kertas sebelum menempelkannya ke penerima. Ternyata antena seperti itu bekerja tidak lebih buruk daripada antena konvensional. Dan meskipun prinsip fisik antena semacam itu belum dipelajari sejauh ini, ini tidak mencegah Cohen untuk mendirikan perusahaannya sendiri dan menyiapkan produksi serial mereka. Saat ini, perusahaan Amerika "Fractal Antenna System" telah mengembangkan jenis antena baru. Sekarang Anda dapat berhenti menggunakan antena eksternal yang menonjol di ponsel. Yang disebut antena fraktal terletak langsung di papan utama di dalam perangkat.

Ada juga banyak hipotesis tentang penggunaan fraktal - misalnya, sistem limfatik dan peredaran darah, paru-paru, dan banyak lagi juga memiliki sifat fraktal.

Bab 5. Kerja Praktek.

Pertama, mari kita fokus pada fraktal "Kalung", "Kemenangan" dan "Kotak".

Pertama - "Kalung"(Gbr. 7). Lingkaran adalah inisiator fraktal ini. Lingkaran ini terdiri dari sejumlah lingkaran yang sama, tetapi ukurannya lebih kecil, dan lingkaran itu sendiri adalah salah satu dari beberapa lingkaran yang sama, tetapi ukurannya lebih besar. Jadi proses pendidikan tidak ada habisnya dan dapat dilakukan baik satu arah maupun berlawanan arah. Itu. bangun tersebut dapat diperbesar dengan hanya mengambil satu busur kecil, atau dapat diperkecil dengan mempertimbangkan konstruksinya dari busur yang lebih kecil.

Nasi. 7.

Fraktal "Kalung"

Fraktal kedua adalah "Kemenangan"(Gbr. 8). Dia mendapat nama ini karena secara lahiriah menyerupai huruf Latin "V", yaitu, "kemenangan"-kemenangan. Fraktal ini terdiri dari sejumlah kecil "v", yang membentuk satu "V" besar, dan di bagian kiri, di mana yang kecil ditempatkan sehingga bagian kirinya membentuk satu garis lurus, bagian kanan dibangun di jalan yang sama. Masing-masing "v" ini dibangun dengan cara yang sama dan terus berlanjut hingga tak terhingga.

Gbr.8. Fraktal "Kemenangan"

Fraktal ketiga adalah "Persegi" (Gbr. 9). Masing-masing sisinya terdiri dari satu baris sel, berbentuk kotak, yang sisi-sisinya juga mewakili deretan sel, dan seterusnya.

Fig. 9. Fraktal "Persegi"

Fraktal disebut "Mawar" (Gbr. 10), karena kemiripan luarnya dengan bunga ini. Konstruksi fraktal dikaitkan dengan konstruksi serangkaian lingkaran konsentris, yang jari-jarinya berubah sebanding dengan rasio yang diberikan (dalam hal ini, R m / R b = = 0,75.). Setelah itu, segi enam biasa tertulis di setiap lingkaran, yang sisinya sama dengan jari-jari lingkaran yang dijelaskan di sekitarnya.

Beras. 11. Fraktal "Mawar *"

Selanjutnya, kita beralih ke segi lima biasa, di mana kita menggambar diagonalnya. Kemudian, di segi lima yang diperoleh di persimpangan segmen yang sesuai, kami menggambar lagi diagonal. Mari lanjutkan proses ini hingga tak terhingga dan dapatkan fraktal "Pentagram" (Gbr. 12).

Mari kita perkenalkan elemen kreativitas dan fraktal kita akan mengambil bentuk objek yang lebih visual (Gbr. 13).

R
adalah. 12. Fraktal "Pentagram".

Beras. 13. Fraktal "Pentagram *"

Beras. 14 fraktal "Lubang hitam"

Percobaan No. 1 "Pohon"

Sekarang setelah saya memahami apa itu fraktal dan bagaimana membuatnya, saya mencoba membuat gambar fraktal saya sendiri. Di Adobe Photoshop, saya membuat subrutin atau tindakan kecil , kekhasan tindakan ini adalah mengulangi tindakan yang saya lakukan, dan ini adalah cara saya mendapatkan fraktal.

Untuk memulainya, saya membuat latar belakang untuk fraktal masa depan kita dengan resolusi 600 kali 600. Kemudian saya menggambar 3 garis pada latar belakang ini - dasar dari fraktal masa depan kita.

Dengan Langkah selanjutnya adalah menulis skrip.

duplikat lapisan ( lapisan > duplikat) dan ubah jenis campuran menjadi " Layar" .

Ayo panggil dia" fr1". Gandakan layer ini (" fr1") 2 kali lagi.

Sekarang kita perlu beralih ke lapisan terakhir (fr3) dan gabungkan dua kali dengan yang sebelumnya ( ctrl+e). Kurangi kecerahan lapisan ( Gambar > Penyesuaian > Kecerahan/Kontras , pengaturan kecerahan 50% ). Sekali lagi, gabungkan dengan layer sebelumnya dan potong tepi seluruh gambar untuk menghilangkan bagian yang tidak terlihat.

Sebagai langkah terakhir, saya menyalin gambar ini dan menempelkannya dikecilkan dan diputar. Berikut adalah hasil akhirnya.

Kesimpulan

Karya ini merupakan pengenalan dunia fraktal. Kami hanya mempertimbangkan bagian terkecil dari apa itu fraktal, berdasarkan prinsip apa yang mereka bangun.

Grafik fraktal bukan hanya sekumpulan gambar yang berulang sendiri, ini adalah model struktur dan prinsip makhluk apa pun. Seluruh hidup kita diwakili oleh fraktal. Semua alam di sekitar kita terdiri dari mereka. Perlu dicatat bahwa fraktal banyak digunakan dalam permainan komputer, di mana medan sering kali berupa gambar fraktal berdasarkan model tiga dimensi dari himpunan kompleks. Fraktal sangat memudahkan menggambar grafik komputer; dengan bantuan fraktal, banyak efek khusus, berbagai gambar luar biasa dan luar biasa, dll. dibuat. Juga, dengan bantuan geometri fraktal, pohon, awan, pantai, dan semua alam lainnya digambar. Grafik fraktal dibutuhkan di mana-mana, dan pengembangan "teknologi fraktal" adalah salah satu tugas terpenting saat ini.

Di masa depan, saya berencana untuk belajar bagaimana membangun fraktal aljabar ketika saya mempelajari bilangan kompleks secara lebih rinci. Saya juga ingin mencoba membangun gambar fraktal saya dalam bahasa pemrograman Pascal menggunakan siklus.

Perlu diperhatikan penggunaan fraktal dalam teknologi komputer, selain sekadar membangun gambar yang indah di layar komputer. Fraktal dalam teknologi komputer digunakan di bidang-bidang berikut:

1. Kompres gambar dan informasi

2. Menyembunyikan informasi dalam gambar, dalam suara, ...

3. Enkripsi data menggunakan algoritma fraktal

4. Membuat musik fraktal

5. Pemodelan sistem

Dalam pekerjaan kami, tidak semua bidang pengetahuan manusia diberikan, di mana teori fraktal telah menemukan penerapannya. Kami hanya ingin mengatakan bahwa tidak lebih dari sepertiga abad telah berlalu sejak munculnya teori tersebut, tetapi selama ini fraktal bagi banyak peneliti telah menjadi cahaya terang yang tiba-tiba di malam hari, yang menerangi fakta dan pola yang hingga saat ini belum diketahui secara spesifik. daerah data. Dengan bantuan teori fraktal, mereka mulai menjelaskan evolusi galaksi dan perkembangan sel, munculnya gunung dan pembentukan awan, pergerakan harga di bursa saham dan perkembangan masyarakat dan keluarga. . Mungkin, pada awalnya, hasrat untuk fraktal ini terlalu besar dan upaya untuk menjelaskan semuanya menggunakan teori fraktal tidak dapat dibenarkan. Tapi, tanpa ragu, teori ini memiliki hak untuk eksis, dan kami menyesal bahwa baru-baru ini entah bagaimana telah dilupakan dan tetap menjadi milik para elit. Dalam penyusunan karya ini, sangat menarik bagi kami untuk menemukan aplikasi TEORI dalam PRAKTEK. Karena sangat sering ada perasaan bahwa pengetahuan teoretis terpisah dari realitas kehidupan.

Dengan demikian, konsep fraktal tidak hanya menjadi bagian dari sains "murni", tetapi juga menjadi elemen budaya manusia. Ilmu fraktal masih sangat muda dan memiliki masa depan yang cerah. Keindahan fraktal masih jauh dari kata habis dan masih akan memberi kita banyak mahakarya - yang menyenangkan mata, dan yang membawa kesenangan sejati ke pikiran.

10. Referensi

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktal dan multifraktal. RHD 2001 .

Vitolin D. Penggunaan fraktal dalam grafik komputer. // Computerworld-Rusia.-1995

Mandelbrot B. Himpunan fraktal self-affine, "Fraktal dalam Fisika". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Geometri fraktal alam. - M.: "Lembaga Penelitian Komputer", 2002.

Morozov A.D. Pengantar teori fraktal. Nizhny Novgorod: Rumah Penerbitan Nizhegorod. universitas 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Keindahan fraktal. - M.: "Mir", 1993.

sumber daya internet

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html