Tepat satu tahun yang lalu kami menguji monitor NEC MultiSync EA231WMi, model pertama yang tersedia secara komersial berdasarkan matriks e-IPS baru. Terlepas dari kesan yang umumnya menyenangkan, EA231WMi ternyata merupakan monitor khusus - relatif mahal dan tidak dilengkapi dengan sirkuit kompensasi respons, dan karena itu agak lambat, sangat cocok untuk orang yang terutama tertarik pada reproduksi warna berkualitas tinggi, tetapi Anda dapat menyebutnya universal dan rumah hanya dengan reservasi.

Sejak itu, waktu telah berlalu, detasemen monitor pada matriks e-IPS telah diisi ulang dengan pejuang baru - sebagian besar karena Dell, yang telah merilis beberapa model sekaligus dengan karakteristik yang sangat menarik dan harga yang relatif rendah. Hari ini kami akan mempertimbangkannya.

Metodologi Tes

Deskripsi metodologi pengujian, peralatan yang kami gunakan, serta penjelasan singkat tentang arti paspor ini atau itu atau parameter terukur monitor dalam praktik, dapat ditemukan di materi " Metodologi Tes LCD". Jika Anda merasa bahwa Anda tidak berpengalaman dalam jumlah dan istilah yang berlimpah dalam artikel, silakan baca bagian yang relevan dari deskripsi yang ditentukan, kami berharap ini akan menjelaskan banyak pertanyaan.

Jika Anda tidak menemukan monitor yang Anda minati di artikel ini, masuk akal untuk memeriksanya daftar lengkap model yang diuji.

Desain dan ergonomis

Bagi Dell, secara tradisional sangat penting untuk bekerja untuk kebutuhan pasar korporat, terutama pasar Amerika, yang cukup konservatif dalam hal penampilan - warna-warna cerah dan permukaan yang mengkilap dianggap oleh banyak orang yang memilih peralatan untuk bekerja sebagai “ sembrono”, tidak sesuai dengan semangat lingkungan bisnis.

Hal yang sama berlaku untuk orang-orang yang sensitif terhadap kualitas reproduksi warna: bagi mereka, monitor terbaik adalah monitor yang paling tidak mengalihkan perhatian dari gambar sebenarnya, yang berarti mereka menganggap LED gloss, multicolor, dan super terang sebagai sama tidak dapat diterima.

Mengingat hal ini, apakah mengherankan bahwa seluruh lini monitor Dell pada matriks IPS, yang jelas-jelas dirancang terutama untuk dua kelompok orang ini, dibuat dalam kotak matte ketat dalam warna abu-abu gelap, hampir hitam? Tentu saja tidak: seperti inilah seharusnya tampilan monitor profesional berkualitas tinggi, yang dipilih karena kemampuan, kualitas, dan keandalannya, dan bukan karena penampilannya. Namun, kita akan melihat bagaimana keadaannya dengan kemampuan dan kualitas lebih lanjut, dan sekarang mari kita lihat tampilan dan ergonominya, yaitu kemudahan penggunaan.

U2311H



U2711

Pada pandangan pertama, kelima monitor secara lahiriah hanya berbeda dalam ukuran (pada gambar di atas, misalnya, hanya dua di antaranya, percayalah, tiga lainnya sama): kasing persegi panjang yang terbuat dari plastik matte abu-abu gelap, layar matte permukaan, dudukan persegi panjang yang stabil, dan deretan tombol vertikal di sebelah kanan layar. Satu-satunya hiasan adalah tulisan logam "DELL" di tengah di bawah layar.

Di belakang monitor sama kerasnya, kecuali dudukan perak menambahkan sedikit variasi pada skema warna.

Dudukan menyediakan semua fungsi yang dapat dilakukan: penyesuaian ketinggian (selain itu, monitor dapat diturunkan hampir setinggi meja), berputar di sekitar sumbu vertikal (dasar dudukan tetap tidak bergerak), beralih ke mode potret dan menyesuaikan kemiringan dari layar. Memindahkan dan memutar monitor dengan mudah, tanpa usaha yang berarti.

Tombol pada U2211H

Tombol kontrol dari dua model yang lebih muda - U2211H dan U2311H - bersifat mekanis, diatur dalam baris vertikal di tepi kanan monitor dan ditekan dengan sedikit klik. Tombol bawah adalah power off, juga memiliki indikator LED built-in, yang bersinar redup biru (selama operasi) atau kuning (dalam "hibernasi"). Harap dicatat bahwa tombol-tombol tersebut tidak memiliki label: faktanya adalah bahwa fungsinya tidak di-hard-code, mereka dapat diubah dari menu monitor.

Tombol di U2410

Model lama sedikit berbeda: semua tombol, kecuali tombol daya, dibuat peka terhadap sentuhan, dan ditandai dengan kepala persegi LED biru yang sedikit menonjol. Saat Anda mengangkat jari Anda (bahkan sebelum menyentuh permukaan), semua LED menyala, sehingga Anda dapat dengan mudah menekan tombol bahkan dalam kegelapan total.

Saya tidak menemukan perbedaan apa pun, kecuali yang estetis, antara tombol sentuh dan mekanis: keduanya sama-sama nyaman dan bekerja dengan menekan dengan sama jelas. Lihat tombol sentuh dengan lampu menyala dan LED padam, tentu saja, lebih menguntungkan, tetapi di situlah nilai plusnya berakhir.

Perbedaan yang lebih signifikan antara monitor satu sama lain adalah jumlah input dan output.

U2211H dan U2311H hanya memiliki beberapa konektor USB di sisi kiri…

… sementara pada tiga model lama dilengkapi dengan slot pembaca kartu SecureDigital. Namun, kegunaan keduanya tidak terlalu besar: misalnya, penulis artikel ini, memiliki monitor dengan konektor USB samping baik di rumah maupun di tempat kerja, tidak dapat membiasakan diri menggunakannya - tidak nyaman setiap saat atau melihat untuk mereka dengan menyentuh atau memutar monitor ke samping. Mungkin, Anda dapat meletakkan sesuatu secara permanen di sana, misalnya, penerima mouse nirkabel, tetapi untuk flash drive, pemutar, dan peralatan serupa, lebih mudah menggunakan konektor pada kasing unit sistem.

Jika kita berbicara tentang konektor belakang, maka U2211H dan U2311H dilengkapi dengan input DisplayPort, DVI dan D-Sub, konektor untuk menghubungkan unit yang dibeli secara terpisah dengan speaker (tidak terlihat dijual di Rusia), satu input dan dua lagi Output USB, yang dapat dengan nyaman memasukkan mouse atau keyboard.

Dell U2410 sudah menawarkan dua pilihan DVI, DisplayPort, HDMI, D-Sub, serta input video komponen dan komposit. Di output suara, jika Anda tidak memiliki speaker gantung bermerek, Anda dapat mengaktifkan headphone. Pada saat yang sama, tidak ada input suara seperti itu - monitor menerjemahkan suara yang datang melalui antarmuka HDMI.

Model 27 inci menambahkan output suara: alih-alih satu konektor stereo, sekarang ada tiga - speaker depan, speaker belakang, speaker tengah, dan subwoofer. Masih belum ada input audio analog, sehingga suara di monitor harus ditransmisikan melalui antarmuka HDMI atau DisplayPort. Monitor dapat menerima suara multi-channel hanya dalam format PCM, tidak ada decoder format Dolby di dalamnya.

Akhirnya, model lama, U3011H, menambahkan HDMI kedua ke gudang input - dan ini mungkin rekor di antara monitor yang pernah saya lihat! Benar, input video komposit telah menghilang, tetapi tidak mungkin ada orang yang membutuhkannya pada monitor 30 inci dengan kualitas sinyal yang rendah.

Nah, jika perbedaan antara tombol sentuh dan mekanis sebagian besar bersifat dekoratif, maka pemosisian yang jelas dapat dilacak dalam rangkaian input: semakin mahal monitor, semakin banyak yang dapat dilakukannya. Jumlah input video saja bervariasi dari tiga pada model yang lebih muda hingga tujuh (sic!) Pada model yang lebih tua. Pada saat yang sama, semua model memiliki input DisplayPort, yang baru-baru ini mulai muncul di kartu video.

Menu dan fitur OSD

Menu semua monitor Dell yang dipertimbangkan saat ini juga dibuat sesuai dengan template yang sama, tetapi dengan perbedaan fungsionalitas - yaitu, dalam kekayaan pengaturan. Oleh karena itu, pada awalnya saya akan sedikit memperhatikan penampilannya, dan kemudian saya akan secara terpisah mengatakan bagaimana monitor yang berbeda berbeda satu sama lain.

Saat Anda menekan salah satu tombol kontrol (ada empat pada model yang lebih muda dan lima pada yang lebih tua), menu akses cepat terbuka, dari mana Anda dapat mengganti input, mengubah kecerahan dan kontras, pilih salah satu mode preset , dan juga masuk ke menu pengaturan lengkap. Item "Menu" dan "Keluar" selalu tidak berubah, tetapi fungsi dari dua tombol teratas (di U2211H dan U2311H) atau tiga (dalam model lain) dapat sesuai dengan kebijaksanaan Anda.

Mode preset - dari 6 hingga 10 buah, tergantung pada model monitor; pada kenyataannya, bagaimanapun, hampir tidak ada orang yang akan menggunakan lebih dari dua atau tiga. Dell memutuskan untuk membawa semuanya ke dalam satu daftar mode sekaligus - baik "peningkat gambar" yang khas ("Multimedia" dan "Game"), dan pilihan suhu warna, dan bahkan mengganti gamut warna - untuk model lama, karena cakupan dimungkinkan di U2211H dan U2311H hanya satu, sRGB.

Sayangnya, tidak ada profil yang hanya mengubah kecerahan dan kontras monitor - oleh karena itu, jika Anda tidak memerlukan "peningkat gambar", kegunaan praktisnya tidak bagus.

Mini-menu kecerahan cukup umum - dua slider dengan kisaran 0-100.

Menu lengkap terdiri dari delapan tab, yang masing-masing memiliki banyak pengaturan - tidak masuk akal untuk mempertimbangkan semuanya secara mendetail, karena dalam kebanyakan kasus tujuannya jelas.

Seperti disebutkan di atas, dua atau tiga tombol, yang disebut dalam menu sebagai "Tombol pintasan", dapat ditetapkan ulang oleh pengguna - masing-masing tombol dapat ditetapkan salah satu fungsi berikut: memilih profil prasetel, menyesuaikan kecerahan dan kontras, otomatis -menyetel sinyal analog , aktifkan mode Picture-in-Picture (pada monitor yang tersedia), atau alihkan input.

Lebih mudah untuk membandingkan opsi penyesuaian dan fungsionalitas model yang berbeda dengan meringkas informasi tentang menu mereka dalam sebuah tabel:

"Tombol pintas" - jumlah tombol monitor yang dipindahkan oleh pengguna.
"Format warna input" - format kode warna (mengapa YPbPr diperlukan pada monitor tanpa input video komponen tidak terlalu jelas).
"Gamma" - penyesuaian gamma yang tersedia, untuk semua model ini adalah pilihan antara 2.2 (PC) dan 1.8 (Mac).
"Mode prasetel" - jumlah profil pengaturan prasetel. Model lama menonjol baik karena tampilan peralihan antara ruang warna sRGB dan AdobeRGB, dan karena "peningkat gambar" tambahan.
"sRGB" dan "AdobeRGB" - kemampuan untuk mengganti ruang warna. Dua model yang lebih muda memiliki gamut warna standar dan karena itu tidak mendukung AdobeRGB.
«Mode lebar» - mode interpolasi gambar dalam resolusi monitor non-asli.
"Ketajaman" - menyesuaikan kejernihan gambar.
"Pengurangan noise" - mode yang dirancang, menurut Dell, untuk meningkatkan ketajaman tepi gambar dinamis. Hanya tersedia di profil Game, Multimedia, dan Film.
"Kontras Dinamis" - aktifkan mode kontras dinamis. Hanya tersedia di profil "Game" dan "Film".
"Sumber Line Out" - sumber audio untuk output saluran. Monitor tidak memiliki input audio analog.
"Konfigurasi audio" - kemungkinan konfigurasi sistem speaker eksternal yang terhubung ke monitor. Ingat bahwa audio multi-saluran hanya dapat ditransmisikan ke monitor melalui antarmuka digital (HDMI atau DisplayPort) dan hanya dalam format PCM.
"Picture-By-Picture" - mode di mana dua gambar dari input yang berbeda terletak berdampingan di layar.
"Picture-In-Picture" - mode di mana dua gambar dari input yang berbeda ditempatkan satu di atas yang lain.

Menurut tabel, jelas bahwa model lama juga berbeda dalam fungsionalitas firmware: semakin besar (dan lebih mahal) monitor, semakin banyak fitur yang dimilikinya, implementasinya hanya memerlukan modifikasi firmware - lebih banyak mode interpolasi, lebih banyak preset pengaturan...

Hanya U2410 yang menonjol, yang merupakan satu-satunya di seluruh lini yang memiliki mode Picture-In-Picture - menampilkan gambar dari satu input di atas gambar dari input lainnya. Dua model yang lebih lama juga dapat bekerja dengan dua input, tetapi di dalamnya gambar-gambarnya terletak bersebelahan.

Untuk setiap model yang mendukung mode PIP atau PBP, kombinasi yang berbeda dari input aktif secara bersamaan dimungkinkan: D-Sub, DisplayPort, komponen atau komposit dapat digabungkan dengan input lain, tetapi hanya satu dari set DVI dan HDMI yang ada yang dapat bekerja pada input waktu. Dengan kata lain, jika Anda telah menetapkan DVI sebagai sumber sinyal utama, maka Anda tidak lagi dapat memilih HDMI sebagai sumber kedua untuk mode PBP.

Secara umum, menu monitor dapat dinilai mudah digunakan dan cukup fungsional untuk tugas sehari-hari. Kerugian terbesar, mungkin, tersembunyi di set pengaturan prasetel: pertama, tidak ada cara untuk dengan cepat mengubah kecerahan monitor tanpa memengaruhi reproduksi warnanya ("peningkatan" yang secara tradisional menyertai mode prasetel tidak disukai oleh banyak orang) , dan kedua, beberapa fitur - misalnya, kontras dinamis terprogram untuk profil tertentu, jadi jika Anda menyukai kontras dinamis tetapi tidak menyukai apa yang dilakukan mode Film pada reproduksi warna, Anda harus melupakan yang pertama atau langsung dengan yang terakhir.

Namun, mungkin, saya tidak akan pernah bosan mengulanginya: implementasi paling nyaman untuk beralih profil dengan cepat ditemukan oleh Samsung sejak lama. Di monitornya - sayangnya, tidak semua - ada beberapa profil yang berbeda satu sama lain hanya kecerahan dan kontras dan tidak memiliki efek pada reproduksi warna yang tidak dijelaskan oleh kedua parameter ini, serta profil terpisah yang mencakup kontras dinamis. Semua pengaturan rendering warna, termasuk semua jenis "peningkat rendering warna cerdas", di monitor Samsung telah dipindahkan ke tempat yang berbeda di menu. Produsen monitor yang terhormat, ikuti contoh ini.

matriks e-IPS: pro dan kontra

Semua monitor yang kami pertimbangkan hari ini memiliki satu kesamaan - dan perlu dicatat, yang sangat penting: mereka dibangun di atas matriks tipe e-IPS, yang merupakan pengembangan dari yang sudah lama ada, mapan, tapi, sayangnya, teknologi S-IPS terlalu mahal. Dengan kelemahan utama S-IPS - harga - pengembangan baru LG harus diperjuangkan, mempertahankan keunggulan S-IPS sebanyak mungkin.

Kelebihan S-IPS:

sudut pandang yang sangat baik baik secara horizontal maupun vertikal: warna pada layar terlihat hampir sama bila dilihat secara langsung dan dari suatu sudut;
waktu respons yang baik: S-IPS yang dipasangkan dengan skema kompensasi respons yang tidak terlalu agresif menunjukkan hasil 6-10 ms (GtG), yang membuat monitor pada matriks tersebut cukup cepat untuk permainan.

Kekurangan S-IPS:

bila dilihat dari sudut, warna hitam memperoleh rona ungu yang khas;
"efek kristal": lapisan anti-reflektif model matriks lama memberikan efek yang tidak menyenangkan, gambar tampak sedikit berkilau; dalam model-model baru, ini diperjuangkan dengan cukup efektif;
efisiensi rendah: transparansi matriks yang rendah membutuhkan penggunaan lampu latar yang lebih kuat;
harga tinggi.

Meskipun, tampaknya, daftar kekurangannya lebih panjang daripada daftar kelebihannya, berkat hanya salah satunya, matriks S-IPS sering kali menjadi sangat diperlukan: hanya saja matriks tersebut menjamin distorsi reproduksi warna yang minimal saat melihat monitor pada sudut pandang tertentu. sudut, sementara teknologi yang bersaing - PVA, S-PVA , C-PVA, TN - nada suara gambar cukup terasa tergantung pada bagaimana Anda melihatnya, misalnya, warna biru, jika dilihat dari samping, bisa menjadi berbeda warna kehijauan. Di TN, sudut pandang vertikal yang sangat buruk ditambahkan ke minus, di PVA - hilangnya detail gambar paling gelap (efek ini dapat diperbaiki dengan pengaturan monitor, tetapi kemudian kontras tinggi hilang, salah satu keuntungan serius PVA) dan waktu respons yang lama ... Secara umum, matriks S-IPS telah menjadi satu-satunya pilihan bagi orang-orang yang tertarik pada reproduksi warna yang akurat.

Sayangnya, biaya tinggi mereka tak terhindarkan mendorong monitor yang sesuai ke segmen pasar sempit profesional dan semi-profesional, tetapi bagaimanapun juga, model yang sangat mahal.

Matriks IPS generasi baru, e-IPS, dirancang untuk memecahkan masalah ini, menampilkan struktur piksel yang berbeda dan transparansi yang lebih besar, yang mengurangi kecerahan lampu latar yang diperlukan, dan karenanya biaya dan konsumsi daya.

Kelebihan e-IPS:

sudut pandang yang sebanding dengan S-IPS baik secara horizontal maupun vertikal: warna pada layar terlihat hampir sama jika dilihat lurus dan miring;
performa bagus: saat menggunakan skema kompensasi waktu respons, monitor pada e-IPS juga cocok untuk game;
hampir tidak adanya "efek kristal";
biaya rendah, memungkinkan Anda untuk membawa monitor e-IPS ke segmen harga menengah.

Kekurangan e-IPS:

rasio kontras rata-rata berada pada tingkat matriks TN, tetapi lebih buruk daripada PVA;
jika dilihat dari sudut, kontrasnya turun tajam - warna hitamnya terlihat lebih cerah.

Jelas, rasio plus dan minus seperti itu dengan tegas membawa model pada matriks e-IPS ke dalam kategori yang menarik bagi sejumlah besar pengguna - kinerja yang baik, harga yang wajar dan, yang paling penting, keseimbangan keduanya membuat monitor tersebut menarik bagi orang-orang yang ingin membeli sesuatu yang lebih baik daripada model standar di TN, tetapi tanpa persyaratan atau preferensi yang sangat penting, dan karena itu tidak siap untuk membayar jumlah yang signifikan untuk memenuhi persyaratan tersebut. Jika monitor pada S-IPS pada dasarnya termasuk dalam kategori "Saya akan memberikan banyak untuk reproduksi warna", maka e-IPS lebih seperti "sedikit lebih banyak uang untuk gambar yang lebih baik": Anda lihat, segmen pasar yang jauh lebih luas.

Pada umumnya, e-IPS hanya memiliki satu inheren yang nyata - yaitu, hadir pada semua matriks seperti itu - kelemahan: penyorotan hitam bila dilihat dari sudut, efek yang telah menerima namanya sendiri "bersinar" di forum berbahasa Inggris, meskipun secara umum itu adalah penurunan khas kontras untuk semua matriks LCD, tetapi dalam kasus ini memanifestasikan dirinya terutama dalam warna hitam.

Terlepas dari jenis matriksnya, jika dilihat dari sudut, kontras monitor LCD berkurang: putih menjadi lebih gelap, dan hitam menjadi lebih terang. Namun, jika biasanya kedua efek memiliki kekuatan yang kira-kira sama, maka dalam kasus e-IPS, penyorotan hitam terlihat menonjol - bahkan pada sudut pandang yang relatif kecil, itu berubah menjadi abu-abu gelap.

Namun demikian, dalam praktiknya, efek ini tidak secara serius memengaruhi gambar: itu hanya muncul dalam warna hitam, sementara nuansa lain pada e-IPS, bahkan jika dilihat dari sudut, ditransmisikan tidak hanya tanpa masalah khusus, tetapi jauh lebih baik daripada di TN atau matriks PVA, tanpa distorsi nada yang mencolok. Dan tentu saja, bahkan dengan mempertimbangkan penyorotan hitam, e-IPS adalah dua kepala di depan TN dalam sudut pandang, di mana perubahan nada suara jika dilihat dari samping dilengkapi dengan penggelapan atau kecerahan keseluruhan gambar yang lebih dari terlihat saat dilihat dari bawah atau atas.

Satu hal yang perlu dikhawatirkan dengan e-IPS adalah jika Anda membeli monitor besar terutama untuk menonton film dalam kondisi semi-gelap: itulah satu-satunya kasus penggunaan di mana kedalaman hitam dan keseragaman akan menjadi penting - dalam film dengan banyak adegan gelap Hitam "ledakan" dapat terlihat sampai-sampai jika Anda duduk dekat dengan monitor, maka sudut-sudut layar akan terlihat sedikit lebih terang daripada bagian tengahnya. Dalam kasus lain, paparan tidak menyebabkan masalah serius.

Jadi, secara teoritis, e-IPS adalah pilihan yang sangat baik untuk orang yang ingin membeli monitor dengan reproduksi warna yang lebih baik daripada matriks TN biasa, tetapi tidak siap untuk membayar banyak uang untuk itu atau mengorbankan parameter lain.

Apa, dalam hal parameter teknis, monitor khusus pada matriks e-IPS yang diproduksi oleh Dell, sekarang akan kita ketahui.

Dell U2211H: hasil pengujian

Model dengan ukuran layar 21,5 "membuka pengujian kami - dan, seperti biasa, atas namanya pabrikan membulatkan angka ini menjadi 22 (hampir semua monitor dengan layar 21,5" yang saat ini dijual, terlepas dari jenis matriks dan pabrikannya, memiliki nomor atas nama "22"). Resolusi layar monitor - 1920x1080, atau, seperti yang biasa dikatakan sekarang, FullHD.

Secara default, kecerahan dan kontras monitor diatur ke 75%, tingkat putih 100 cd / m2 dicapai dengan menurunkan kecerahan ke 53% dan kontras ke 70%. Seperti biasa, saya ingin mengingatkan Anda bahwa baik level 100 cd / sq.m, dan cara kami mencapainya, bukanlah panduan tanpa syarat untuk menyiapkan monitor Anda, tetapi hanya beberapa mode yang sama untuk semua monitor yang saya uji, di mana saya menonton, cukup apakah rentang penyesuaian, apakah ada artefak yang muncul dengan kontras dan kecerahan yang berkurang, dan sebagainya. Jangan mencoba untuk mengulangi pengaturan ini, mereka tidak mungkin optimal untuk tempat kerja Anda.

Kecerahan monitor diatur oleh modulasi SHI dari catu daya lampu latar pada frekuensi 180 Hz.

Kecerahan maksimum ternyata relatif rendah - hanya sekitar 200 cd / sq.m. Namun, dalam praktiknya, ini hanya dapat menyebabkan masalah saat menggunakan monitor untuk bermain game atau menonton film di ruangan yang diterangi matahari - dan dalam kasus lain, kecerahan seperti itu sudah cukup. Untuk bekerja, kecerahan normal biasanya 70 hingga 120 cd / sq.m, tergantung pada cahaya sekitar.

Kontrasnya bukan rekor, tetapi tidak buruk: lebih dari 700:1, pada tingkat matriks TN modern.

Kurva gamma biru dan hijau mendekati ideal, tetapi merah menyimpang cukup kuat ke atas.

Mengurangi kecerahan dan kontras pada reproduksi warna monitor hampir tidak berpengaruh.

Dalam mode "Game", warna biru juga naik, tetapi secara umum, tampilan warna sedikit berubah.

Tidak ada perubahan khusus dalam mode "Multimedia". Perubahan pada gambar tidak terlihat ketika mode ini dihidupkan dan dilihat oleh mata, apalagi, mereka memiliki pengaturan kecerahan dan kontras yang sama dengan mode "Standar" yang biasa - karenanya, ternyata jika mode "Game" memiliki nilai praktis , jika saja karena hanya di dalamnya U2211H dapat mengaktifkan kontras dinamis, arti keberadaan "Multimedia" tidak terlalu jelas. Panduan pengguna tidak menjelaskan misteri ini, melarikan diri dengan frase umum bahwa setiap mode memuat pengaturan warna yang optimal ke monitor.

Gamut warna monitor cukup cocok dengan sRGB, meskipun tidak ada kecocokan yang tepat.

Titik putih di semua mode yang tersedia digeser ke arah hijau - cukup agar warna kehijauan pada gambar terlihat jelas. Anda dapat memperbaikinya dengan mengalihkan monitor ke mode "Kustom (RGB)" dan menyesuaikan warna secara manual.

Jika tidak, U2211H tidak memiliki masalah dengan reproduksi warna: semua warna direproduksi seperti yang diharapkan, pita melintang pada gradien hampir tidak terlihat, tidak ada variasi nada yang serius antara tingkat abu-abu yang berbeda.

Pada warna hitam, rata-rata ketidakrataan cahaya latar adalah 5,4%, deviasi maksimum adalah 18,3%; putih - rata-rata 5,4% yang sama dan maksimum 14,7%. Hasilnya tidak ideal, tetapi dapat diterima; dari gambar yang dibuat sesuai dengan hasil pengukuran, dapat dilihat bahwa monitor memiliki "telinga" gelap di sisi layar, iluminasi sempit kecil di bagian atas dan yang lebih lebar di bagian bawah, tetapi tidak ada lampu latar kritis cacat.

Waktu respons monitor tidak terlalu bergantung pada semitone mana yang beralih di antara - kita dapat mengatakan bahwa itu cepat secara seragam. Rata-rata aritmatika adalah 8,2 ms (GtG), yang berarti bahwa U2211H tentu cocok untuk permainan dinamis - hanya pemain yang sangat hardcore yang hanya dapat diselamatkan oleh matriks TN 2-milidetik yang tidak akan puas dengannya.

Pengoperasian rangkaian kompensasi respons tidak lengkap tanpa artefak, nilai rata-ratanya adalah 7,7%, dan maksimumnya sekitar 35%. Dengan angka-angka seperti itu, artefak praktis tidak terlihat, Anda dapat mendeteksinya hanya jika Anda secara khusus melihat dari dekat - dan tahu di mana mencarinya. Sebagai perbandingan, untuk monitor gaming biasa pada matriks TN, kesalahan rangkaian kompensasi respons dapat mencapai 60-70%, dan rata-rata aritmatika dalam mode yang membawa matriks TN lebih dekat ke 2 ms (GtG) yang diinginkan dapat mencapai hingga 20% dan bahkan lebih tinggi.

Jadi, secara umum, di hadapan Dell U2211H, kami melihat monitor yang praktis dan serbaguna, sangat cocok untuk rumah dan kantor, dan dirancang untuk orang yang tidak puas dengan kualitas gambar - pertama-tama, sudut pandang - pada TN-matriks, tetapi dan tidak siap untuk membayar model profesional yang sangat mahal, kemampuan yang sebagian besar tidak mereka butuhkan. Biaya U2211H - saat ini sekitar 9500 rubel - secara signifikan lebih tinggi daripada monitor TN, tetapi jangan lupa tidak hanya sudut pandang yang sangat baik dari matriks e-IPS, tetapi juga desain fungsional, input DisplayPort, 4- port hub USB .. .

Dalam hal parameter dan kualitas penyetelan, U2211H adalah model kelas menengah yang khas - ada sejumlah kekurangan kecil, tetapi tidak signifikan atau dapat diperbaiki dengan penyesuaian manual sederhana pada monitor.

Dell U2311H: hasil pengujian

Model berikutnya adalah kerabat dekat U2211H, dengan pengecualian bahwa layar telah menambahkan satu setengah inci ke diagonal. Dalam hal semua parameter paspor lainnya, monitor ini hampir sepenuhnya bertepatan (2311H memiliki kecerahan 50 cd/sq.m lebih tinggi, dan itu saja) - baik, kita akan mencari tahu sekarang apakah mereka berbeda dalam kenyataan.

Jika kita berbicara tentang ukuran layar, maka untuk film dan game, pasti lebih banyak - lebih baik, tetapi untuk pekerjaan, banyak tergantung pada ukuran piksel. U2311H memiliki resolusi 1920x1080 yang sama dengan U2211H, yang berarti piksel di dalamnya sedikit lebih besar - dan ini merupakan nilai tambah, karena gambar pada model 21,5 inci mungkin tampak terlalu kecil bagi sebagian orang. 23" lebih fleksibel dalam hal ini, jadi jika Anda tidak tahu mana dari dua monitor yang harus dipilih, dalam hal ini, Anda harus condong ke yang lebih besar.

Secara default, kecerahan dan kontras diatur ke 75%; tingkat putih 100 cd/m2 dicapai dengan menurunkan kecerahan hingga 50% dan kontras menjadi 56%. Kecerahan dikendalikan dengan memodulasi lampu latar pada frekuensi 180 Hz.

Kecerahan maksimum ternyata hampir satu setengah kali lebih tinggi daripada U2211H - mendekati 300 cd / sq.m, yang memungkinkan monitor digunakan untuk tugas apa pun di hampir semua cahaya sekitar. Pada saat yang sama, rentang penyesuaian cukup untuk mengurangi kecerahan ke tingkat yang sesuai untuk bekerja di malam hari dengan cahaya sekitar yang minimal.

Kontras turun sedikit, tetapi masih tetap pada tingkat yang dapat diterima - sekitar 600:1 pada pengaturan default. Kira-kira dalam kisaran yang sama - 600-700: 1 - rasio kontras ditemukan pada monitor modern tipikal pada matriks TN, sementara monitor pada PVA dengan mudah mengungguli TN dan e-IPS dengan satu setengah hingga dua kali, menunjukkan hitam yang sangat baik warna ( pada saat yang sama, bagaimanapun, dengan sejumlah cacat bawaan).

Pada pengaturan default, kurva gamma U2311H dan U2211H praktis sama: dapat diterima, tetapi tidak lebih.

Jangan mengubahnya dan mengurangi kecerahan dan kontras dalam pengaturan monitor.

Anehnya, dalam mode Game, kurva gamma menjadi lebih akurat, berkumpul dalam kelompok yang rapat; pada saat yang sama, beralih ke "Game" membuka akses ke pengaturan kontras dinamis. Secara umum, kasus ketika reproduksi warna monitor ternyata lebih baik dalam mode permainan daripada mode standar cukup mengejutkan.

Dalam "Multimedia" kurva sedikit tersebar lagi, apalagi tujuan mode ini umumnya tidak jelas: dengan mata itu tidak berbeda dari "Standar", pengaturan kecerahan dan kontrasnya sepenuhnya sama, kontras dinamis diblokir di dalamnya ... Seseorang merasa bahwa para insinyur Dell memperkenalkannya hanya sebagai semacam plasebo: tentu saja, jika manual mengatakan bahwa gambarnya semakin baik, maka beberapa persentase pengguna akan berpikir demikian.

Penemuan paling menarik sedang menunggu kami dalam mode penyesuaian manual "Kustom (RGB)": kurva gamma tiba-tiba mendatar dan jatuh ke tempatnya!

Gamut warna monitor umumnya sesuai dengan gamut sRGB standar, menghasilkan warna merah dan sedikit bergeser ke samping dalam warna hijau.

Titik putih U2311H juga bergeser ke arah hijau, tidak sebanyak U2211H, tetapi cukup sehingga kehijauan gambar terlihat dengan mata telanjang. Mengingat koreksi mendadak bentuk kurva gamma dalam mode "Kustom" manual, saya memutuskan untuk membangun kesuksesan dan mengatur bilah geser di dalamnya ke R=100, G=94, B=96 - ini memungkinkan saya untuk mendapatkan menghilangkan warna kehijauan dan membawa tampilan warna monitor, meskipun tidak sempurna, tapi setidaknya sangat baik. Untuk jaga-jaga, saya mengingatkan Anda bahwa instance monitor Anda mungkin memiliki pengaturan yang berbeda (karena penggunaan versi firmware yang berbeda, versi matriks LCD yang berbeda, dan faktor serupa), jadi Anda tidak boleh sembarangan memasukkan angka yang diperoleh di atas - selalu fokus pada apa yang Anda lihat dengan mata kepala sendiri.

Rata-rata ketidakrataan iluminasi pada latar belakang hitam adalah 6,1%, deviasi maksimum adalah 19,7%; pada latar belakang putih - masing-masing 5,1% dan 14,5%. Gambar yang dibuat berdasarkan hasil pengukuran menunjukkan bahwa bagian bawah layar menyala di monitor, serta sudut di bagian atas. Namun, hasilnya berada dalam kisaran normal; dalam praktiknya, selama operasi normal, tingkat ketidakrataan ini tidak mengganggu.

Waktu respons rata-rata adalah 8,2 mdtk (GtG), sedangkan nilai maksimum yang direkam hampir tidak melebihi 10 mdtk - oleh karena itu, monitor, meskipun tidak mencatat rekor, cukup cepat untuk permainan dinamis. Sebagai perbandingan, NEC MultiSync EA231WMi, dibangun di atas matriks e-IPS serupa, tetapi tanpa sirkuit kompensasi respons, lebih dari dua kali lebih lambat.

Nilai miss rata-rata dari sirkuit kompensasi respons adalah 8,6% - artefak yang sesuai (batas putih pada gambar bergerak) tidak terlihat dalam banyak kasus, meskipun jika Anda melihat lebih dekat, Anda dapat melihatnya.

Jika kita membandingkan U2311H dan U2211H, maka sebenarnya tidak ada perbedaan mendasar, kecuali untuk ukuran layar - kedua monitor menunjukkan parameter dan pengaturan yang baik (walaupun tidak luar biasa), dan mereka memiliki kelemahan yang sama - tidak signifikan atau cukup mudah diperbaiki. Kecerahan U2311H yang lebih tinggi tidak akan membuat perbedaan apa pun bagi pengguna dalam banyak kasus - kecuali jika mereka suka bermain game atau menonton film di ruangan yang terang benderang tanpa menarik tirai. Jadi, memilih di antara kedua monitor ini terutama didasarkan pada ukuran layar - dari sudut pandang kami, model 23 inci lebih nyaman dan serbaguna, tetapi Anda mungkin memiliki pendapat yang berbeda. Jangan lupa bahwa U2311H secara signifikan lebih mahal daripada adiknya - harganya sekitar 12 ribu rubel.

Hasil Tes Dell U2410

Jika dua monitor pertama bertepatan di sebagian besar karakteristik, maka U2410 adalah model kelas yang sedikit berbeda. Pertama, selain satu inci ekstra diagonal, monitor ini menerima resolusi 1920x1200 dengan rasio aspek 16:10, sedangkan U2211H dan U2311H memiliki resolusi 1920x1080 - dan rasio aspek layar masing-masing adalah 16 :9. Kedua, U2410 memiliki input video analog (komponen dan komposit), DVI kedua dan input HDMI, sehingga dapat dihubungkan ke lima komputer sekaligus, serta pemutar DVD dan lainnya. Di sisi monitor, di sebelah port USB, pembaca kartu untuk flash drive SecureDigital ditambahkan, dan tombol dari mekanis biasa menjadi peka sentuhan.

Namun, saya menulis semua ini di awal artikel, dan sekarang saatnya berbicara tentang kualitas gambar. Dalam hal ini, U2410 juga memiliki perbedaan yang signifikan dari model yang lebih muda: ia menggunakan lampu backlight dengan spektrum yang ditingkatkan, yang seharusnya memberikan monitor gamut warna yang lebih luas. Di menu monitor, Anda dapat beralih di antara tiga profil warna - AdobeRGB, sRGB, dan asli (tanpa koreksi perangkat lunak).

Perlu dicatat bahwa monitor tidak beruntung dengan profil warna: pada versi pertama firmware-nya (di monitor versi A00 - nomor versi ditunjukkan pada label monitor), profil sRGB diimplementasikan agak buruk, dengan gambar yang kuat graininess dalam nuansa gelap, mengingatkan pada foto yang diambil secara digital.kamera dengan matriks "berisik". Selanjutnya, kesalahan diperbaiki, karena ternyata murni perangkat lunak. Sekarang dijamin untuk membeli monitor dengan firmware yang dikoreksi jika Anda menggunakan versi A01, meskipun beberapa pengguna di forum mencatat bahwa dalam batch terbaru A00, firmware juga telah diperbaiki. Selain itu, dimungkinkan untuk memperbarui firmware di rumah, namun, ini akan mengharuskan Anda untuk menghubungkan U2410 melalui USB ke sistem dengan monitor lain, jika tidak, Anda tidak akan dapat mengontrol kemajuan proses pembaruan.

Secara default, kecerahan dan kontras monitor diatur ke 50%; tingkat putih 100 cd/m2 dicapai dengan mengurangi kecerahan hingga 30% dan kontras menjadi 34%. Kecerahan dikontrol dengan memodulasi catu daya lampu latar pada frekuensi 180 Hz.

Kecerahan maksimum monitor sangat tinggi - lebih dari 370 cd / sq.m, tetapi rasio kontras berfluktuasi di sekitar tingkat sederhana yang khas untuk e-IPS - 600:1.

Pada pengaturan default pada U2410, ketiga kurva gamma berada di atas ideal, yang berarti gambar akan sedikit pudar, dengan kontras rendah.

Mengurangi kecerahan dan kontras dalam pengaturan monitor tidak memiliki efek signifikan pada kurva gamma.

Situasi menjadi sedikit lebih baik dalam mode "Permainan": meskipun mode tambahan ini masih tidak berguna dalam praktiknya seperti pada dua monitor yang dibahas di atas, katakanlah terima kasih kepada Dell setidaknya untuk fakta bahwa mode tersebut benar-benar meningkat, bukannya memburuk, reproduksi warna sedikit.

Gambar dalam mode "Multimedia" tidak berbeda dari "Game" - tampaknya mereka umumnya hanya berbeda dalam yang kedua Anda dapat mengaktifkan kontras dinamis, tetapi yang pertama Anda tidak bisa. Mengingat hal ini, makna keberadaan mode "Multimedia" terus menghindari saya.

Mode emulasi gamut warna sRGB secara tak terduga mengoreksi kurva gamma, membuatnya hampir sempurna.

Hal yang sama dapat dikatakan tentang meniru cakupan AdobeRGB.

Dan, omong-omong, tentang gamut warna: seperti yang ditunjukkan pengukuran, itu benar-benar sangat berbeda dari gamut model U2211H dan U2311H. Warna biru tetap di tempatnya, merah menjadi lebih jenuh, dan hijau bergeser ke kiri dalam diagram, juga menjadi lebih jenuh - namun, karena pergeseran yang sama, reproduksi warna kuning memburuk, beberapa di antaranya berada di luar. segitiga gamut warna.

Beralih ke mode emulasi AdobeRGB menggeser titik merah, dan terlalu banyak - itu tidak berada di perbatasan segitiga cakupan AdobeRGB standar, tetapi di dalamnya. Pada saat yang sama, monitor secara fisik masih tidak dapat memperoleh warna kuning dan kuning-hijau yang diperlukan dalam AdobeRGB, mereka berada di luar gamut warnanya.

Dalam emulasi cakupan sRGB, selain merah, titik hijau juga bergeser - dan sayangnya, kepatuhan sRGB akhir ternyata jauh lebih buruk daripada U2311H atau U2211H, yang cakupannya asli, karena bagian atas titik segitiga sangat bergeser ke kiri dan bagian dari nuansa kuning melampaui kemampuan fisik monitor.

Jadi, jika Anda membutuhkan cakupan sRGB monitor yang paling akurat, maka Dell U2410 mungkin bukan pilihan terbaik. Jika Anda masih memutuskannya, maka akan lebih baik untuk mendapatkan kalibrator perangkat keras dan menggunakan profil yang dibuat olehnya dalam program pengeditan gambar, membiarkan monitor dalam mode gamut warna "asli" - ini akan memberi Anda hasil yang lebih akurat di setidaknya merah daripada saat menggunakan emulasi berbagai cakupan yang terpasang di monitor.

Dan lagi, kita melihat pergeseran ke arah nada hijau yang biasa untuk monitor Dell ... Pada saat yang sama, meskipun mode sRGB dan AdobeRGB mengoreksi pergeseran ini, gambar di dalamnya ternyata terlalu dingin - jauh dari 6500 yang ditentukan K. Namun, dalam mode lain, jika kita mengabaikan kelebihan hijau dan melihat suhu warna, itu tidak lebih hangat - bahkan dalam "Hangat" itu keluar dari skala lebih dari 7500 K.

Dilihat dari pesan-pesan dari forum, dalam beberapa batch U2410 cacat ini telah diperbaiki, dan gambar pada mereka menjadi kurang hijau dan dingin. Fakta bahwa pabrikan memutuskan untuk mengubah pengaturan diterima, tetapi akan lebih disambut jika dia melakukannya di monitor batch pertama, tanpa menunggu keluhan pelanggan.

Perlu dicatat bahwa U2410 - seperti monitor e-IPS lainnya dari LG - terkadang memiliki cacat warna yang berbeda: sisi kanan layar memiliki sedikit warna merah muda, dan sisi kiri memiliki warna kehijauan. Ini adalah cacat dari matriks itu sendiri, tetapi bukan dari pengaturan monitor, oleh karena itu juga muncul pada model dari produsen lain. Cacat dalam bentuk yang serius relatif jarang terjadi, tetapi karena visibilitas dan keanehannya, banyak dibahas di berbagai forum. Menghindarinya mudah: saat membeli, pastikan untuk memeriksa monitor untuk keseragaman warna di seluruh layar dengan menampilkan kotak putih atau abu-abu sederhana. Unit yang saya uji - serta monitor lain yang ditampilkan dalam artikel ini - tidak memiliki masalah ini.

Namun yang terjadi adalah backlight yang tidak merata dari tepi kiri layar ke kanan - terlihat jelas pada gambar kanan (biar saya ingatkan bahwa ini bukan foto, tetapi gambar yang dibuat berdasarkan hasil pengukuran monitor kecerahan pada titik yang berbeda di layar). Ketidakrataan pada hitam rata-rata 6,3%, maksimum - 13,7%, pada putih ternyata masing-masing 5,6% dan 20,6%. Sayangnya, perbedaan kecerahan seperti itu pada bidang putih dari kiri ke tepi kanan layar ternyata cukup terlihat oleh mata - meskipun tidak dapat dikatakan bahwa itu sangat mengganggu pekerjaan.

Dell U2410 sangat cepat dengan waktu respons rata-rata 6.6ms (GtG), seperempat lebih cepat dari U2211H dan U2311H.

Pada saat yang sama, kesalahan rata-rata dari rangkaian kompensasi respons telah meningkat - hingga 9,7% - namun, bahkan pada tingkat ini, dalam praktiknya, artefak yang menyertai kesalahan tetap tidak terlalu mencolok.

Secara umum, U2410 membuat kesan yang ambigu: dalam hal kemampuannya, monitor dapat diklaim sebagai karya profesional dengan warna, tetapi dalam praktiknya kualitas pengaturannya tidak naik di atas tingkat rata-rata. Biaya U2410 jauh lebih tinggi daripada U2311H - Anda harus membayar lebih dari 20 ribu rubel untuk itu.

Apakah U2410 bernilai uang sebanyak itu atau tidak? Hanya Anda yang dapat menjawab pertanyaan ini - jika Anda membutuhkan set input terkaya dan resolusi 1920x1200, maka itu pasti sepadan. Namun, U2410 tidak memiliki keunggulan mendasar lainnya, oleh karena itu, jika Anda puas dengan layar 23 "dengan proporsi 16: 9 dan Anda tidak perlu menghubungkan lebih dari beberapa komputer secara bersamaan, Anda dapat membeli U2311H dengan aman. , tentu saja, kehilangan ukuran dan kemampuan layar, tetapi pada saat yang sama dan biaya lebih dari satu setengah kali lebih sedikit.Jika Anda mengandalkan reproduksi warna yang paling akurat, maka memasangkan dengan U2410 tidak ada salahnya untuk membeli perangkat keras kalibrator.

Dell U2711: hasil pengujian

Monitor berikutnya adalah model yang sangat menarik. Saya biasanya agak tidak menyukai monitor 27": karena resolusi 1920x1080 atau 1920x1200, mereka memiliki ukuran piksel yang besar dan sebenarnya hanya menarik untuk game atau film, tetapi sebagai model yang berfungsi, monitor ini tidak lebih baik daripada monitor 24" yang lebih murah.

Namun, U2711 bukan salah satunya. Pada 27 inci, monitor ini memiliki resolusi yang sama dengan model 30 inci - 2560x1440 (rasio aspek 16:9). Tentu saja, banyak yang akan merasa tidak nyaman dengan ukuran piksel yang sangat kecil - 0,233 mm - tetapi, di sisi lain, jika Anda terlibat dalam bisnis yang mengharuskan menampilkan sejumlah besar informasi di layar, tetapi tidak memiliki 40-50 ribu rubel untuk membeli monitor 30 ", maka U2711 dengan harga kurang dari 30 ribu rubel dapat menjadi penemuan nyata. Saya pikir pembaca yang sering bekerja dalam sistem CAD / CAM dengan gambar kompleks, dalam program tata letak dan perangkat lunak serupa lainnya, akan hargai semangatku.

Secara default, kecerahan dan kontras monitor diatur ke 50%; tingkat putih 100 cd/m2 dicapai dengan mengurangi kecerahan hingga 30% dan kontras menjadi 38%. Kecerahan dikontrol dengan memodulasi catu daya lampu latar pada frekuensi 180 Hz.

Monitor menjadi sangat terang: maksimum lebih dari 350 cd/sq.m. Namun, kecerahannya mudah dikurangi ke tingkat yang nyaman untuk bekerja. Kontrasnya ternyata berada dalam kisaran 600-700:1 yang sudah dikenal untuk model lain, kecuali untuk mode kecerahan rendah.

Kurva gamma sedikit meningkat relatif terhadap ideal, tetapi deviasinya cukup kecil. Tanpa membebani artikel dengan grafik, kami hanya mencatat bahwa penurunan kontras dalam pengaturan monitor, serta transisi ke profil "Game" dan "Multimedia", tidak memiliki efek signifikan pada bentuk kurva: sedikit terlalu tinggi relatif terhadap kurva yang dihitung untuk gamma 2.2, dalam praktiknya, diekspresikan dalam kontras gambar yang sedikit berkurang. Nuansa terang dan gelap direproduksi tanpa masalah, tidak ada pita melintang yang terlihat pada gradien.

Seperti halnya U2410, beralih ke mode "sRGB" membawa kurva gamma sangat dekat dengan ideal.

Hal yang sama - dan dalam mode "AdobeRGB".

Kedua monitor ini juga memiliki profil gamut warna yang serupa: senada dengan sRGB pada warna biru, superioritas pada warna merah, dan menggerakkan bagian atas segitiga ke kiri. Karena yang terakhir, monitor secara fisik tidak dapat mereproduksi rentang warna sRGB - beberapa kuning dan kuning-hijau berada di luar gamut warnanya.

Profil "AdobeRGB" mengoreksi posisi titik merah, dan lebih akurat daripada U2410: ternyata sedikit lebih jauh dari cakupan AdobeRGB, sementara pada model 24 inci titik ini jatuh di dalam segitiga, menghasilkan buruk reproduksi merah, daripada yang seharusnya di AdobeRGB.

Dalam mode "sRGB", posisi titik hijau juga dikoreksi, tetapi karena cakupan monitor sendiri pada awalnya tidak tumpang tindih dengan sRGB, tidak mungkin untuk mencapai kecocokan yang tepat dalam mode emulasi - beberapa warna kuning akan menjadi di luar kemampuan.

Jadi, meskipun mode emulasi dari berbagai gamut warna pada U2711 disetel lebih baik daripada di U2410, Anda tidak boleh mengandalkan kemampuan monitor ini untuk sepenuhnya menampilkan 100% sRGB atau gamut AdobeRGB: ini mengharuskan gamut asli monitor sepenuhnya tumpang tindih gamut ditiru, yang dalam hal ini tidak ada. Oleh karena itu, bagi mereka yang bekerja dengan warna paling akurat itu penting, bahkan dalam mode emulasi sRGB atau AdobeRGB, saya sarankan untuk membuat profil monitor ini menggunakan kalibrator perangkat keras dan menghubungkannya ke program pengeditan gambar yang Anda gunakan.

Jika Anda puas dengan reproduksi warna yang bagus saja, maka mode "sRGB" dan "AdobeRGB" terlihat cukup menarik tanpa kalibrasi tambahan: kurva gamma yang akurat dan tidak adanya cacat serius pada emulasi gamut warna membuat reproduksi warna monitor lebih akurat daripada di "Mode standar.

Sayangnya, gambar pada monitor di semua mode ternyata agak dingin: hanya "Hangat" turun menjadi 6500 K, yang memungkinkan kita menyebutnya, jika tidak hangat, maka setidaknya netral. Sebagai perbandingan, "sRGB" menunjukkan suhu warna sekitar 8000 K, meskipun standar untuk sRGB persis 6500 K.

Di sisi lain, U2711 menyembuhkan dirinya sendiri dari masalah dengan perubahan warna ke arah hijau: jika dalam mode "Standar" masih ada sedikit penyimpangan dari kurva abu-abu netral (ditunjukkan dalam warna hitam dalam diagram), maka mode lain jatuh di atasnya dengan cukup akurat.

Seperti U2410, warna putih pada monitor menunjukkan sedikit gradasi pada kecerahan lampu latar - sisi kanan layar sedikit lebih gelap daripada sisi kiri, dan ada juga garis horizontal terang di tengahnya. Jika kita berbicara tentang angka, maka pada warna hitam rata-rata ketidakrataan adalah 3,3% dengan deviasi maksimum 10,1% (hasil yang sangat baik!), Tetapi dengan putih, semuanya diharapkan lebih buruk: penyebaran kecerahan rata-rata adalah 7,4%, deviasi maksimum adalah 23 .3%.

Waktu respons rata-rata 5,7 ms (GtG), menjadikan U2711 salah satu monitor IPS tercepat.

Sayangnya, kami harus membayar untuk ini dengan artefak tingkat tinggi: rata-rata 15,7%, dengan maksimum hingga 45%. Ini tidak seburuk monitor TN gaming, di mana kesalahan sering mencapai 70% pada transisi individu, tetapi saya masih ingin melihat artefak tingkat yang lebih rendah dengan biaya waktu respons yang lebih lama - meningkatkan yang terakhir menjadi 7-8 ms (GtG) tidak ada efek nyata yang tidak dimiliki perasaan subjektif pengguna dari kecepatan monitor, tetapi artefak dalam bentuk bayangan cahaya pada objek bergerak dapat menjadi kejutan yang tidak menyenangkan.

Akibatnya, kita dapat mengatakan bahwa U2711 menonjol dari massa umum dan tidak. Di satu sisi, monitor 27 "yang relatif murah dengan resolusi sangat tinggi (2560x1440 piksel) jelas berbeda: baru-baru ini tidak ada model seperti itu yang dijual sama sekali - namun mereka sangat menarik bagi orang-orang yang bekerja dengan sejumlah besar informasi grafis, tetapi belum siap untuk mengunggah 10-20 ribu rubel lebih banyak untuk model 30 ". Di sisi lain, U2711 tidak menonjol di antara monitor Dell lainnya pada matriks e-IPS yang telah kami ulas dalam hal kualitas dan akurasi pengaturan: ia memiliki sejumlah kekurangan yang tidak dapat disebut kritis, tetapi bisa tidak menyenangkan. Yang paling menyedihkan adalah keseragaman yang buruk dari lampu latar pada warna putih dan tingkat artefak yang agak tinggi dari rangkaian kompensasi respons - tidak satu pun atau kekurangan lainnya dikoreksi oleh pengaturan monitor.

Dell U3011: hasil pengujian

Monitor terakhir dalam artikel hari ini adalah U3011 30 inci dengan resolusi 2560x1600 (rasio aspek 16:10). Ini luar biasa tidak hanya untuk ukuran layarnya, tetapi juga untuk peralatannya yang luar biasa: hanya beberapa tahun yang lalu, ketika prosesor monitor terlalu lemah untuk sepenuhnya memproses aliran video dengan resolusi seperti itu, monitor 30 "dilengkapi dengan satu DVI input, mereka hanya dapat bekerja dalam dua resolusi (2560x1600 dan 1280x800) U3011, sebaliknya, memiliki set input dan pengaturan terkaya di antara semua monitor Dell yang ditinjau hari ini, dan tidak hanya tidak kalah dengan model lain dengan resolusi lebih rendah dalam hal ini , tetapi juga melampaui sebagian besar dari mereka.

Secara default, kecerahan dan kontras monitor diatur ke 50%, tingkat putih 100 cd / m2 dicapai dengan kecerahan 35% dan kontras 36%. Kecerahan diatur oleh SHI-modulasi dari catu daya lampu latar pada frekuensi 180 Hz.

Sepertinya tujuan Dell adalah membuat monitor yang lebih besar dan lebih terang - U3011 maksimal 400cd/m2. Benar, mengapa ia membutuhkan kecerahan seperti itu tidak terlalu jelas: tidak mungkin ada orang yang akan membeli monitor 30 "untuk film (FullHD-TV akan jauh lebih murah, dan resolusi 2560x1600 dalam film belum terlalu diperlukan), untuk bekerja kecerahan di atas 200 cd / m persegi sama sekali tidak diperlukan dalam kondisi apa pun. Namun, untungnya, kecerahan monitor dapat dengan mudah dikurangi ke nilai yang nyaman, yang tidak akan menerangi ruangan dan membutakan mata.

Kontras monitor, sayangnya, meskipun sedikit, tetapi tidak mencapai 600:1.

Pada pengaturan default, kurva gamma tampak hebat, hampir menyatu dengan kurva terhitung untuk gamma 2.2 untuk sebagian besar grafik. Mengurangi kontras dalam pengaturan monitor hampir tidak berpengaruh pada bentuknya. Monitor mereproduksi seluruh rentang warna tanpa masalah, dari yang paling gelap hingga yang paling terang, pita melintang pada gradien tidak terlihat.

Dalam mode "AdobeRGB", bentuk kurva pada dasarnya dipertahankan, hanya sedikit lebih banyak inkonsistensi di area nada gelap menjadi - tetapi tidak terlihat oleh mata di sana, dan akurasi kalibrator dalam bagian grafik ini rendah.

Gambar dalam mode "sRGB" hampir cocok dengan piksel demi piksel.

Gamut warna asli U3011 sama dengan dua model sebelumnya: itu di depan sRGB dalam warna merah dan hijau, tetapi karena penyimpangan bagian atas segitiga ke kiri, itu tidak dapat menutupi seluruh gamut sRGB, tertinggal di belakangnya dalam nuansa kuning. Oleh karena itu, Anda seharusnya tidak mengharapkan emulasi yang akurat dari cakupan sRGB standar dari U3011, meskipun memiliki opsi seperti itu di menu, bersama dengan emulasi AdobeRGB.

Dalam mode "AdobeRGB", monitor secara signifikan mengoreksi posisi titik merah dan titik sedikit hijau, sehingga gamut warnanya tidak melampaui gamut AdobeRGB standar. Benar, pada saat yang sama itu tidak mencakup AdobeRGB - warna kuning dan bahkan sebagian merah dalam standar AdobeRGB lebih bersih dan lebih kaya daripada yang dapat ditunjukkan oleh U3011.

Cerita yang sama dengan mode "sRGB": posisi titik merah dan hijau dikoreksi sehingga cakupan total monitor tidak melampaui sRGB, namun, monitor secara fisik tidak mampu mencakup seluruh rentang warna sRGB - tidak ada program koreksi yang memungkinkan Anda melewati batasan yang ditetapkan dalam fosfor lampu latar.

Seperti monitor Dell lainnya yang diulas hari ini, suhu warna U3011 terasa terlalu tinggi, gambarnya terlalu dingin, bahkan mode "sRGB" dan "AdobeRGB" alih-alih 6500 K yang ditentukan ternyata sekitar 8000 K. mode di sana tidak ada penyimpangan nyata dalam nada hijau atau merah muda, dan suhu tingkat abu-abu yang berbeda dalam banyak kasus terletak berdekatan satu sama lain.

Omong-omong, lembar dengan hasil pengukuran suhu warna instans ini disertakan dalam kotak dengan model monitor Dell yang lebih lama, yang juga dengan jelas menunjukkan netralitas abu-abu yang baik. Benar, tidak jelas mengapa, dengan pendekatan individual yang begitu menyeluruh, para insinyur Dell tidak menyediakan kalibrasi tidak hanya dengan penyebaran suhu warna, tetapi juga dengan nilai absolutnya.

Meskipun ketidakrataan putih sekali lagi cukup terlihat, monitor tidak memiliki gradien kecerahan yang begitu mencolok dari kiri ke kanan, seperti pada U2410 dan U2711 - dan oleh karena itu cacat ini hampir tidak terlihat oleh mata selama operasi normal. Jika kita berbicara tentang angka, maka pada warna hitam rata-rata ketidakrataan lampu latar ternyata menjadi 4,6% dengan maksimum 12,3%, pada putih - masing-masing 6,9% dan 20,4%.

Untungnya, dalam kasus U3011, pengembang tidak mengejar rekor - dan waktu respons rata-rata adalah 8,4 ms (GtG), yang cukup untuk game dan film.

Pada saat yang sama, hampir tidak ada kekurangan dalam rangkaian kompensasi respons - mereka hanya pada beberapa transisi, sehingga nilai rata-rata hanya 0,6%. Dalam kehidupan nyata, tanpa peralatan pengukur khusus, tidak mungkin untuk mendeteksi artefak yang sesuai dengan kesalahan ini.

Akibatnya, dari tiga monitor Dell teratas - U2410, U2711, U3011 - itu adalah model 30 inci yang ternyata paling akurat dalam hal pengaturan: reproduksi warna yang benar (kecuali untuk kecenderungan warna dingin) , tidak adanya lampu latar layar asimetris, waktu respons yang baik tanpa artefak... Namun, tidak ada yang mengejutkan dalam hal ini: harga eceran U3011 di Moskow melebihi 50 ribu rubel (ingat bahwa U2711 dapat ditemukan dengan harga kurang dari 30 ribu rubel ).

Namun, jika Anda ingin menghabiskan banyak uang untuk monitor, maka U3011 adalah pilihan yang tepat: tampilan yang bersih, fungsionalitas yang luar biasa, banyak input dan opsi untuk semua kesempatan, dan pengaturan yang rapi tidak akan membuat Anda kecewa.

Kesimpulan

Ringkasnya, kita dapat mengatakan bahwa keajaiban itu tidak terjadi: monitor Dell, diposisikan di segmen harga menengah - hanya U3011 yang mahal yang menonjol dari ini - menunjukkan kemampuan dan karakteristik kualitas dari segmen harga menengah.

Dua model yang lebih muda, 21,5" U2211H dan 23" U2311H, memberikan kesan yang sangat baik secara keseluruhan: monitor yang bagus dengan menu yang nyaman, berbagai penyesuaian, dan tampilan yang rapi sangat cocok untuk bersantai dan bekerja. Harganya yang lebih tinggi dibandingkan dengan model pada matriks TN sepenuhnya dibenarkan oleh desain fungsional dan penggunaan matriks e-IPS, yang menonjol karena sudut pandangnya. Kedua model ini bukan dekorasi interior, tetapi "pekerja keras" yang sangat baik yang dengannya Anda tidak akan kecewa sekarang, atau dalam setahun, atau dalam tiga tahun.

Jika kita berbicara tentang pilihan antara U2211H dan U2311H, maka itu tergantung pada pilihan antara harga dan tambahan satu setengah inci layar - tidak ada perbedaan signifikan lainnya antara kedua model ini. Saya menemukan U2311H lebih nyaman dan serbaguna, tetapi pendapat Anda mungkin berbeda dari pendapat saya.

U2410 24-inci, sebaliknya, sedikit mengecewakan: dari model yang harganya lebih dari satu setengah kali lebih mahal daripada U2311H, Anda tidak hanya mengharapkan layar ekstra inci dan beberapa input video, tetapi, pertama-tama, kualitas pengaturan yang lebih tinggi. Bahkan jika Anda tidak ingat bahwa revisi A00 tidak beruntung dengan firmware, maka dalam versi A01 pengaturan monitor, meskipun bebas dari kesalahan yang sangat jelas, masih menyisakan banyak hal yang diinginkan: kurva gamma yang tidak terlalu akurat, ketidakrataan cahaya latar yang kuat, pergeseran nada ke samping warna hijau, emulasi yang tidak terlalu akurat dari gamut sRGB dan AdobeRGB standar... Mungkin, jika Anda tidak memiliki kebutuhan mendesak untuk resolusi 1920x1200 (bukan 1920x1080), satu inci ekstra layar dan video tambahan masukan, saya akan menyarankan Anda untuk menghemat uang dan mendapatkan U2311H, karena tidak menunjukkan kualitas yang lebih buruk dengan biaya yang jauh lebih rendah.

Terlepas dari kenyataan bahwa U2711 27-inci juga gagal membedakan dirinya dengan akurasi pengaturan yang tinggi, monitor ini masih patut mendapat perhatian khusus: dengan biaya yang wajar (kurang dari 30 ribu rubel), ia memiliki resolusi yang hampir sama dengan yang jauh lebih mahal 30 " model - 2560x1440 Model ini dapat menjadi penyelamat nyata bagi orang yang bekerja di program CAD / CAM, program tata letak, dan perangkat lunak serupa, yang tidak ada layar yang terlalu besar.

Akhirnya, 30" Dell U3011 hanyalah monitor yang bagus, tanpa banyak kekurangan dari saudara-saudaranya yang lebih muda, dikonfigurasi dengan rapi dan pada saat yang sama memiliki fungsionalitas yang sangat baik. Jika Anda bersedia menghabiskan lebih dari 50 ribu rubel, model ini akan menjadi pilihan yang sangat baik.

Jika kita berbicara tentang matriks e-IPS secara umum, maka teknologi ini membuat kesan yang baik dengan kemampuannya - meskipun ada kekurangan seperti rasio kontras yang relatif rendah dan penyorotan hitam bila dilihat dari sudut, secara signifikan melebihi TN dalam sudut pandang dan reproduksi warna kualitas, mampu memberikan waktu respon yang cukup untuk game dan film, dan yang paling penting, menurunkan monitor pada IPS-matriks dari surga ke bumi, ke dalam kategori harga menengah.

Namun, pada saat yang sama, produsen panel LCD harus sedikit meningkatkan kualitasnya: di dua dari lima monitor, saya menemukan fenomena yang tidak menyenangkan seperti cahaya latar yang tidak rata dari kiri ke tepi kanan layar, forum sering mengeluh tentang perubahan nada di berbagai bagian layar ke sisi hijau dan merah muda... Ini adalah cacat panel LCD, bukan monitor, dan tidak hanya ditemukan di Dell, tetapi juga di pabrikan lain yang menggunakan matriks e-IPS . Tentu saja, pemeriksaan menyeluruh terhadap monitor saat membeli akan menghindari masalah seperti itu, namun, pertama, itu tidak selalu memungkinkan, dan kedua, bagaimanapun, saya ingin setidaknya dapat melakukannya tanpa risiko cacat. memantau.

Namun demikian, saya tidak bisa tidak mengulangi bahwa kesan keseluruhan dari matriks e-IPS, terlepas dari segalanya, adalah positif. Mereka tidak hanya mampu membuat monitor pada matriks yang secara kualitatif berbeda dari TN cukup terjangkau, tetapi juga menggerakkan industri - dan dalam artikel berikutnya kita akan melihat tanggapan terhadap e-IPS oleh produsen panel LCD terbesar kedua, Samsung. , monitor SyncMaster SA850 pada matriks PLS.

Beberapa sifat operasi pada matriks.
Ekspresi matriks

Dan sekarang kelanjutan dari topik akan mengikuti, di mana kami tidak hanya akan mempertimbangkan materi baru, tetapi juga bekerja operasi matriks.

Beberapa sifat operasi pada matriks

Ada beberapa properti yang berhubungan dengan operasi dengan matriks; di Wikipedia yang sama, Anda dapat mengagumi jajaran ramping dari aturan yang sesuai. Namun, dalam praktiknya, banyak properti dalam arti tertentu "mati", karena hanya beberapa di antaranya yang digunakan dalam penyelesaian masalah nyata. Tujuan saya adalah untuk melihat penerapan properti dengan contoh nyata, dan jika Anda membutuhkan teori yang ketat, silakan gunakan sumber informasi lain.

Pertimbangkan beberapa pengecualian terhadap aturan diperlukan untuk melakukan tugas-tugas praktis.

Jika matriks persegi memiliki matriks terbalik, maka perkaliannya bersifat komutatif:

matriks identitas disebut matriks persegi dengan diagonal utama unit berada, dan elemen yang tersisa sama dengan nol. Misalnya: , dst.

Di mana sifat berikut ini benar: jika matriks arbitrer dikalikan kiri atau kanan dengan matriks identitas dengan ukuran yang sesuai, maka hasilnya adalah matriks asli:

Seperti yang Anda lihat, komutatifitas perkalian matriks juga terjadi di sini.

Mari kita ambil beberapa matriks, nah, katakanlah matriks dari masalah sebelumnya: .

Mereka yang tertarik dapat memeriksa dan memastikan bahwa:

Matriks identitas untuk matriks adalah analog dari unit numerik untuk angka, yang terutama terlihat jelas dari contoh yang baru saja dipertimbangkan.

Komutatifitas faktor numerik terhadap perkalian matriks

Properti berikut berlaku untuk matriks dan bilangan real:

Artinya, faktor numerik dapat (dan harus) dimajukan sehingga “tidak mengganggu” perkalian matriks.

Catatan : Secara umum, kata-kata properti tidak lengkap - "lambda" dapat ditempatkan di mana saja di antara matriks, bahkan di akhir. Aturan tetap berlaku jika tiga atau lebih matriks dikalikan.

Contoh 4

Hitung Produk

Larutan:

(1) Menurut properti memindahkan faktor numerik ke depan. Matriks itu sendiri tidak dapat diatur ulang!

(2) - (3) Lakukan perkalian matriks.

(4) Di sini Anda dapat membagi setiap angka 10, tetapi kemudian pecahan desimal akan muncul di antara elemen-elemen matriks, yang tidak baik. Namun, kami perhatikan bahwa semua angka dalam matriks habis dibagi 5, jadi kami mengalikan setiap elemen dengan .

Menjawab:

Sebuah sandiwara kecil untuk dipecahkan sendiri:

Contoh 5

Hitung jika

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Teknik apa yang penting dalam memecahkan contoh-contoh seperti itu? Berurusan dengan angka terakhir .

Mari kita pasang gerobak lain ke lokomotif:

Bagaimana cara mengalikan tiga matriks?

Pertama-tama, APA hasil perkalian tiga matriks? Seekor kucing tidak akan melahirkan tikus. Jika perkalian matriks layak, maka hasilnya juga akan menjadi matriks. Nah, guru aljabar saya tidak melihat bagaimana saya menjelaskan ketertutupan struktur aljabar sehubungan dengan unsur-unsurnya =)

Produk dari tiga matriks dapat dihitung dengan dua cara:

1) cari dan kalikan dengan matriks "ce": ;

2) baik pertama temukan , lalu lakukan perkalian.

Hasilnya pasti akan bertepatan, dan secara teori properti ini disebut asosiatif perkalian matriks:

Contoh 6

Kalikan matriks dengan dua cara

algoritma solusi dua langkah: temukan produk dari dua matriks, lalu cari lagi produk dari dua matriks.

1) Gunakan rumus

Tindakan satu:

Tindakan dua:

2) Gunakan rumus

Tindakan satu:

Tindakan dua:

Menjawab:

Lebih akrab dan standar, tentu saja, adalah cara penyelesaian pertama, di sana "seolah-olah semuanya beres." Omong-omong, tentang pesanan. Dalam tugas yang sedang dipertimbangkan, ilusi sering muncul bahwa kita berbicara tentang semacam permutasi matriks. Mereka tidak disini. Saya ingatkan lagi bahwa secara umum JANGAN GANTI MATRIKS. Jadi, di paragraf kedua, pada langkah kedua, kami melakukan perkalian, tetapi tidak ada kasus. Dengan angka biasa, angka seperti itu akan berlalu, tetapi tidak dengan matriks.

Sifat asosiatif perkalian tidak hanya berlaku untuk kuadrat, tetapi juga untuk matriks arbitrer - selama dikalikan:

Contoh 7

Tentukan hasil kali tiga matriks

Ini adalah contoh do-it-yourself. Dalam larutan sampel, perhitungan dilakukan dengan dua cara, menganalisis cara mana yang lebih menguntungkan dan lebih singkat.

Sifat asosiatif perkalian matriks terjadi untuk lebih banyak faktor.

Sekarang saatnya untuk kembali ke kekuatan matriks. Kuadrat matriks dianggap di awal dan dalam agenda adalah pertanyaan:

Bagaimana cara membuat kubus matriks dan pangkat yang lebih tinggi?

Operasi ini juga didefinisikan hanya untuk matriks persegi. Untuk menaikkan matriks persegi menjadi kubus, Anda perlu menghitung produk:

Sebenarnya, ini adalah kasus khusus perkalian tiga matriks, menurut sifat asosiatif perkalian matriks: . Dan matriks dikalikan dengan dirinya sendiri adalah kuadrat dari matriks:

Dengan demikian, kita mendapatkan rumus kerja:

Artinya, tugas dilakukan dalam dua langkah: pertama, matriks harus dikuadratkan, dan kemudian matriks yang dihasilkan dikalikan dengan matriks.

Contoh 8

Naikkan matriks menjadi kubus.

Ini adalah masalah kecil yang harus diselesaikan sendiri.

Menaikkan matriks ke pangkat keempat dilakukan dengan cara alami:

Dengan menggunakan asosiatifitas perkalian matriks, kita memperoleh dua rumus kerja. Pertama: adalah produk dari tiga matriks.

satu) . Dengan kata lain, pertama-tama kita temukan, lalu kita kalikan dengan "menjadi" - kita mendapatkan kubus, dan, akhirnya, kita melakukan perkalian lagi - akan ada derajat keempat.

2) Tapi ada solusi satu langkah lebih pendek: . Yaitu, pada langkah pertama kita menemukan bujur sangkar dan, melewati kubus, melakukan perkalian

Tugas tambahan untuk Contoh 8:

Naikkan matriks ke pangkat keempat.

Seperti yang baru saja disebutkan, ini dapat dilakukan dengan dua cara:

1) Segera setelah kubus diketahui, maka kita melakukan perkalian.

2) Namun, jika sesuai dengan kondisi masalah, diperlukan untuk membangun matriks hanya di tingkat keempat, maka menguntungkan untuk mempersingkat jalan - cari kuadrat dari matriks dan gunakan rumus .

Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Demikian pula, matriks dinaikkan ke kekuatan kelima dan lebih tinggi. Dari pengalaman praktis, saya dapat mengatakan bahwa kadang-kadang ada contoh kenaikan ke tingkat ke-4, tetapi saya tidak ingat sesuatu dari tingkat kelima. Tapi untuk jaga-jaga, saya akan memberikan algoritma yang optimal:

1) temukan;
2) temukan ;
3) menaikkan matriks ke kekuatan kelima: .

Di sini, mungkin, semua sifat utama dari operasi matriks yang dapat berguna dalam masalah praktis.

Di bagian kedua pelajaran, pesta yang tidak kalah berwarna diharapkan.

Ekspresi matriks

Mari kita ulangi ekspresi sekolah biasa dengan angka. Ekspresi numerik terdiri dari angka, simbol matematika, dan tanda kurung, misalnya: . Dalam perhitungan, prioritas aljabar yang sudah dikenal valid: pertama, tanda kurung, lalu dieksekusi eksponensial / ekstraksi akar, setelah perkalian / pembagian dan terakhir - penambahan/pengurangan.

Jika ekspresi numerik masuk akal, maka hasil evaluasinya adalah angka, Misalnya:

Ekspresi matriks hampir sama persis! Dengan perbedaan bahwa aktor utama adalah matriks. Ditambah beberapa operasi matriks tertentu, seperti transpos dan mencari invers suatu matriks.

Pertimbangkan ekspresi matriks , di mana adalah beberapa matriks. Ekspresi matriks ini memiliki tiga suku dan operasi penambahan/pengurangan dilakukan terakhir.

Pada suku pertama, Anda harus terlebih dahulu mentranspos matriks "menjadi": , kemudian melakukan perkalian dan menambahkan "dua" ke matriks yang dihasilkan. perhatikan itu operasi transpos memiliki prioritas lebih tinggi daripada operasi perkalian. Tanda kurung, seperti dalam ekspresi numerik, mengubah urutan tindakan: - di sini, pertama, perkalian dilakukan, kemudian matriks yang dihasilkan ditransposisikan dan dikalikan dengan 2.

Pada suku kedua, perkalian matriks dilakukan terlebih dahulu, dan matriks terbalik sudah ditemukan dari produk. Jika tanda kurung dihilangkan: , maka pertama-tama Anda perlu mencari matriks terbalik , lalu mengalikan matriks: . Menemukan matriks terbalik juga lebih diutamakan daripada perkalian.

Dengan suku ketiga, semuanya jelas: kami menaikkan matriks menjadi kubus dan menambahkan "lima" ke matriks yang dihasilkan.

Jika ekspresi matriks masuk akal, maka hasil evaluasinya adalah matriks.

Semua tugas akan berasal dari tes nyata, dan kami akan mulai dengan yang paling sederhana:

Contoh 9

Data matriks . Menemukan:

Larutan: urutan operasi sudah jelas, perkalian dilakukan terlebih dahulu, baru kemudian penjumlahan.

Penjumlahan tidak dapat dilakukan karena ukuran matriksnya berbeda.

Jangan kaget, tindakan yang jelas tidak mungkin sering ditawarkan dalam tugas-tugas jenis ini.

Mari kita coba menghitung ekspresi kedua:

Semua baik-baik saja disini.

Menjawab: tindakan tidak dapat dilakukan, .

Jadi, layanan untuk menyelesaikan matriks online:

Layanan matriks memungkinkan Anda untuk melakukan transformasi dasar matriks.
Jika Anda memiliki tugas untuk melakukan transformasi yang lebih kompleks, maka layanan ini harus digunakan sebagai konstruktor.

Contoh. Data matriks SEBUAH dan B, perlu menemukan C = SEBUAH -1 * B + B T ,

1. Anda harus terlebih dahulu menemukan matriks terbalikA1 = SEBUAH-1 , menggunakan layanan untuk menemukan matriks terbalik ;
2. Selanjutnya, setelah menemukan matriks A1 lakukan perkalian matriksA2 = A1 * B, menggunakan layanan untuk perkalian matriks;
3. Ayo lakukan transposisi matriksA3 = B T (layanan untuk menemukan matriks yang ditransposisikan);
4. Dan yang terakhir - temukan jumlah matriks DARI = A2 + A3(layanan untuk menghitung jumlah matriks) - dan kami mendapatkan jawaban dengan solusi paling detail!;

Produk matriks

Ini adalah layanan online dua langkah:

• Masukkan matriks faktor pertama SEBUAH
• Masukkan matriks faktor kedua atau vektor kolom B

Perkalian matriks dengan vektor

Perkalian matriks dengan vektor dapat ditemukan menggunakan layanan perkalian matriks
(Faktor pertama adalah matriks yang diberikan, faktor kedua adalah kolom yang terdiri dari elemen-elemen vektor yang diberikan)

Ini adalah layanan online dua langkah:

• Masukkan matriks SEBUAH, yang Anda butuhkan untuk menemukan matriks terbalik
• Dapatkan jawaban dengan solusi terperinci untuk menemukan matriks terbalik

Penentu matriks

Ini adalah layanan online satu langkah:

• Masukkan matriks SEBUAH, yang Anda butuhkan untuk menemukan determinan matriks

Transposisi matriks

Di sini Anda dapat mengikuti algoritme transposisi matriks dan mempelajari cara menyelesaikan sendiri masalah tersebut.
Ini adalah layanan online satu langkah:

• Masukkan matriks SEBUAH, yang perlu diubah

Peringkat matriks

Ini adalah layanan online satu langkah:

• Masukkan matriks SEBUAH, di mana Anda perlu menemukan peringkatnya

Nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks

Ini adalah layanan online satu langkah:

• Masukkan matriks SEBUAH, di mana Anda perlu menemukan vektor eigen dan nilai eigen (nilai eigen)

Eksponensial matriks

Ini adalah layanan online dua langkah:

• Masukkan matriks SEBUAH, yang akan diangkat ke kekuasaan
• Masukkan bilangan bulat q- derajat

Topik ini adalah salah satu yang paling dibenci di kalangan siswa. Lebih buruk lagi, mungkin, hanya penentu.

Triknya adalah bahwa konsep elemen invers (dan saya tidak hanya berbicara tentang matriks sekarang) merujuk kita pada operasi perkalian. Bahkan dalam kurikulum sekolah, perkalian dianggap sebagai operasi yang kompleks, dan perkalian matriks umumnya merupakan topik yang terpisah, di mana saya memiliki seluruh paragraf dan pelajaran video yang dikhususkan untuk itu.

Hari ini kita tidak akan masuk ke rincian perhitungan matriks. Ingat saja: bagaimana matriks dilambangkan, bagaimana matriks dikalikan dan apa yang mengikutinya.

Ulasan: Perkalian Matriks

Pertama-tama, mari kita sepakati notasi. Sebuah matriks $A$ dengan ukuran $\left[ m\times n \right]$ hanyalah sebuah tabel angka dengan persis $m$ baris dan $n$ kolom:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matriks) \kanan])_(n)\]

Agar tidak secara tidak sengaja membingungkan baris dan kolom di beberapa tempat (percayalah, dalam ujian Anda dapat mengacaukan unit dengan deuce - apa yang bisa kita katakan tentang beberapa baris di sana), lihat saja gambarnya:

Penentuan indeks untuk sel matriks

Apa yang terjadi? Jika kita menempatkan sistem koordinat standar $OXY$ di sudut kiri atas dan mengarahkan sumbu sehingga menutupi seluruh matriks, maka setiap sel matriks ini dapat dikaitkan secara unik dengan koordinat $\left(x;y \right) $ - ini akan menjadi nomor baris dan nomor kolom.

Mengapa sistem koordinat diletakkan tepat di pojok kiri atas? Ya, karena dari sanalah kita mulai membaca teks apapun. Sangat mudah untuk diingat.

Mengapa sumbu $x$ mengarah ke bawah dan tidak ke kanan? Sekali lagi, ini sederhana: ambil sistem koordinat standar (sumbu $x$ bergerak ke kanan, sumbu $y$ naik) dan putar sehingga menutup matriks. Ini adalah rotasi searah jarum jam 90 derajat - kita lihat hasilnya di gambar.

Secara umum, kami menemukan cara menentukan indeks elemen matriks. Sekarang mari kita berurusan dengan perkalian.

Definisi. Matriks $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$, jika jumlah kolom pada kolom pertama sama dengan jumlah baris pada baris kedua, adalah disebut konsisten.

Itu dalam urutan itu. Seseorang dapat menjadi ambigu dan mengatakan bahwa matriks $A$ dan $B$ membentuk pasangan terurut $\left(A;B \right)$: jika mereka konsisten dalam urutan ini, maka $B sama sekali tidak perlu $ dan $A$, itu. pasangan $\left(B;A \right)$ juga konsisten.

Hanya matriks yang konsisten yang dapat dikalikan.

Definisi. Produk dari matriks yang konsisten $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$ adalah matriks baru $C=\left[ m\times k \right ]$ , yang elemennya $((c)_(ij))$ dihitung dengan rumus:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Dengan kata lain: untuk mendapatkan elemen $((c)_(ij))$ dari matriks $C=A\cdot B$, Anda perlu mengambil baris $i$ dari matriks pertama, $j$ kolom -th dari matriks kedua, dan kemudian kalikan elemen dari baris dan kolom ini. Tambahkan hasilnya.

Ya, itu definisi yang kasar. Beberapa fakta segera mengikuti darinya:

1. Perkalian matriks secara umum tidak komutatif: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Namun, perkalian bersifat asosiatif: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Dan bahkan distributif: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Dan distributif lagi: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distribusi perkalian perkalian harus dijelaskan secara terpisah untuk perkalian jumlah kiri dan kanan hanya karena operasi perkalian tidak komutatif.

Namun, jika ternyata $A\cdot B=B\cdot A$, matriks tersebut disebut permuable.

Di antara semua matriks yang dikalikan dengan sesuatu di sana, ada yang khusus - yang, ketika dikalikan dengan matriks apa pun $A$, sekali lagi menghasilkan $A$:

Definisi. Suatu matriks $E$ disebut identitas jika $A\cdot E=A$ atau $E\cdot A=A$. Dalam kasus matriks persegi $A$ kita dapat menulis:

Matriks identitas sering menjadi tamu dalam menyelesaikan persamaan matriks. Dan secara umum, sering menjadi tamu di dunia matriks. :)

Dan karena $E$ ini, seseorang datang dengan semua game yang akan ditulis selanjutnya.

Apa itu matriks terbalik?

Karena perkalian matriks adalah operasi yang sangat memakan waktu (Anda harus mengalikan sekelompok baris dan kolom), konsep matriks terbalik juga bukan yang paling sepele. Dan itu perlu penjelasan.

Definisi Kunci

Nah, inilah saatnya untuk mengetahui kebenarannya.

Definisi. Matriks $B$ disebut invers dari matriks $A$ jika

Matriks invers dilambangkan dengan $((A)^(-1))$ (jangan bingung dengan derajatnya!), sehingga definisinya dapat ditulis ulang seperti ini:

Tampaknya semuanya sangat sederhana dan jelas. Tetapi ketika menganalisis definisi seperti itu, beberapa pertanyaan segera muncul:

1. Apakah matriks terbalik selalu ada? Dan jika tidak selalu, lalu bagaimana menentukan: kapan itu ada dan kapan tidak?
2. Dan siapa yang mengatakan bahwa matriks seperti itu persis satu? Bagaimana jika untuk beberapa matriks asli $A$ ada banyak invers?
3. Seperti apa semua "kebalikan" ini? Dan bagaimana Anda benar-benar menghitungnya?

Adapun algoritma perhitungan - kita akan membicarakannya nanti. Tapi kami akan menjawab sisa pertanyaan sekarang. Mari kita susun dalam bentuk asersi-lemma yang terpisah.

Sifat dasar

Mari kita mulai dengan bagaimana matriks $A$ seharusnya terlihat agar memiliki $((A)^(-1))$. Sekarang kita akan memastikan bahwa kedua matriks ini harus persegi, dan berukuran sama: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Diberikan matriks $A$ dan inversnya $((A)^(-1))$. Maka kedua matriks ini persegi dan memiliki orde $n$ yang sama.

Bukti. Semuanya sederhana. Misalkan matriks $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Karena produk $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ada menurut definisi, matriks $A$ dan $((A)^(-1))$ konsisten dalam urutan itu:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( meluruskan)\]

Ini adalah konsekuensi langsung dari algoritma perkalian matriks: koefisien $n$ dan $a$ adalah "transit" dan harus sama.

Pada saat yang sama, perkalian terbalik juga didefinisikan: $((A)^(-1))\cdot A=E$, jadi matriks $((A)^(-1))$ dan $A$ adalah juga konsisten dalam urutan ini:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( meluruskan)\]

Jadi, tanpa kehilangan sifat umum, kita dapat mengasumsikan bahwa $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Namun, menurut definisi $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, maka dimensi matriksnya sama persis:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Jadi ternyata ketiga matriks - $A$, $((A)^(-1))$ dan $E$ - berukuran persegi $\left[ n\times n \right]$. Lemmanya terbukti.

Nah, itu sudah bagus. Kita melihat bahwa hanya matriks persegi yang dapat dibalik. Sekarang mari kita pastikan bahwa matriks invers selalu sama.

Lemma 2. Diberikan matriks $A$ dan inversnya $((A)^(-1))$. Maka matriks invers ini adalah unik.

Bukti. Mari kita mulai dari kebalikannya: biarkan matriks $A$ memiliki setidaknya dua contoh invers — $B$ dan $C$. Kemudian, menurut definisi, persamaan berikut adalah benar:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(sejajarkan)\]

Dari Lemma 1 kita simpulkan bahwa keempat matriks $A$, $B$, $C$ dan $E$ adalah kuadrat dengan orde yang sama: $\left[ n\times n \right]$. Oleh karena itu, produk didefinisikan:

Karena perkalian matriks adalah asosiatif (tetapi tidak komutatif!), kita dapat menulis:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Panah Kanan B=C. \\ \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat satu-satunya opsi yang mungkin: dua salinan matriks terbalik adalah sama. Lemmanya terbukti.

Alasan di atas hampir secara verbatim mengulangi bukti keunikan elemen invers untuk semua bilangan real $b\ne 0$. Satu-satunya penambahan yang signifikan adalah memperhitungkan dimensi matriks.

Namun, kami masih tidak tahu apa-apa tentang apakah ada matriks persegi yang dapat dibalik. Di sini penentu datang membantu kami - ini adalah karakteristik utama untuk semua matriks persegi.

Lem 3 . Diberikan matriks $A$. Jika matriks $((A)^(-1))$ invers, maka determinan matriks aslinya adalah bukan nol:

\\[\kiri| A \kanan|\ne 0\]

Bukti. Kita telah mengetahui bahwa $A$ dan $((A)^(-1))$ adalah matriks persegi dengan ukuran $\left[ n\times n \right]$. Oleh karena itu, untuk masing-masingnya dimungkinkan untuk menghitung determinan: $\left| Sebuah \kanan|$ dan $\kiri| ((A)^(-1)) \kanan|$. Namun, determinan produk sama dengan produk determinan:

\\[\kiri| A\cdot B \kanan|=\kiri| Sebuah \kanan|\cdot \kiri| B \kanan|\Panah kanan \kiri| A\cdot ((A)^(-1)) \kanan|=\kiri| Sebuah \kanan|\cdot \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|\]

Tetapi menurut definisi $A\cdot ((A)^(-1))=E$, dan determinan $E$ selalu sama dengan 1, jadi

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kiri| A\cdot ((A)^(-1)) \kanan|=\kiri| E\benar|; \\ & \kiri| Sebuah \kanan|\cdot \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|=1. \\ \end(sejajarkan)\]

Hasil kali dua bilangan sama dengan satu hanya jika masing-masing bilangan ini berbeda dari nol:

\\[\kiri| A \kanan|\ne 0;\quad \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|\ne 0.\]

Jadi ternyata $\left| Sebuah \benar|\ne 0$. Lemmanya terbukti.

Padahal, persyaratan ini cukup logis. Sekarang kita akan menganalisis algoritma untuk menemukan matriks terbalik - dan akan menjadi sangat jelas mengapa, pada prinsipnya, tidak ada matriks terbalik dengan determinan nol.

Tapi pertama-tama, mari kita rumuskan definisi "tambahan":

Definisi. Matriks degenerasi adalah matriks bujur sangkar berukuran $\left[ n\times n \right]$ yang determinannya nol.

Dengan demikian, kita dapat menyatakan bahwa setiap matriks yang dapat dibalik adalah nondegenerate.

Bagaimana menemukan matriks terbalik

Sekarang kita akan mempertimbangkan algoritma universal untuk menemukan matriks invers. Secara umum, ada dua algoritma yang diterima secara umum, dan kami juga akan mempertimbangkan yang kedua hari ini.

Salah satu yang akan dipertimbangkan sekarang sangat efisien untuk matriks berukuran $\left[ 2\times 2 \right]$ dan - sebagian - berukuran $\left[ 3\times 3 \right]$. Tetapi mulai dari ukuran $\left[ 4\times 4 \right]$ sebaiknya tidak digunakan. Mengapa - sekarang Anda akan mengerti segalanya.

penjumlahan aljabar

Siap-siap. Sekarang akan ada rasa sakit. Tidak, jangan khawatir: perawat cantik dengan rok, stoking dengan renda tidak mendatangi Anda dan tidak akan memberi Anda suntikan di pantat. Semuanya jauh lebih membosankan: penambahan aljabar dan Yang Mulia "Matriks Serikat" akan datang kepada Anda.

Mari kita mulai dengan yang utama. Misalkan ada matriks persegi dengan ukuran $A=\left[ n\times n \right]$ yang elemen-elemennya bernama $((a)_(ij))$. Kemudian, untuk setiap elemen tersebut, seseorang dapat mendefinisikan pelengkap aljabar:

Definisi. Aljabar melengkapi $((A)_(ij))$ ke elemen $((a)_(ij))$ pada baris $i$ dan kolom $j$ dari matriks $A=\left[ n \times n \right]$ adalah konstruksi dari bentuk

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Dimana $M_(ij)^(*)$ adalah determinan dari matriks yang diperoleh dari $A$ asli dengan menghapus baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ yang sama.

Lagi. Komplemen aljabar untuk elemen matriks dengan koordinat $\left(i;j \right)$ dilambangkan sebagai $((A)_(ij))$ dan dihitung menurut skema:

1. Pertama, kami menghapus baris $i$ dan kolom $j$-th dari matriks asli. Kami mendapatkan matriks persegi baru, dan kami menyatakan determinannya sebagai $M_(ij)^(*)$.
2. Kemudian kita kalikan determinan ini dengan $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - pada awalnya ungkapan ini mungkin tampak membingungkan, tetapi sebenarnya kita hanya mengetahui tanda di depan $ M_(ij)^(*) $.
3. Kami menghitung - kami mendapatkan nomor tertentu. Itu. penjumlahan aljabar hanyalah sebuah angka, bukan matriks baru, dan seterusnya.

Matriks $M_(ij)^(*)$ itu sendiri disebut minor komplementer dari elemen $((a)_(ij))$. Dan dalam pengertian ini, definisi pelengkap aljabar di atas adalah kasus khusus dari definisi yang lebih kompleks - yang kita bahas dalam pelajaran tentang determinan.

Catatan penting. Sebenarnya, dalam matematika "dewasa", penjumlahan aljabar didefinisikan sebagai berikut:

1. Kami mengambil baris $k$ dan kolom $k$ dalam matriks persegi. Pada perpotongannya, kita mendapatkan matriks dengan ukuran $\left[ k\times k \right]$ — determinannya disebut minor orde $k$ dan dilambangkan dengan $((M)_(k))$.
2. Kemudian kami mencoret baris $k$ dan kolom $k$ "terpilih" ini. Sekali lagi, kita mendapatkan matriks persegi - determinannya disebut minor komplementer dan dilambangkan dengan $M_(k)^(*)$.
3. Kalikan $M_(k)^(*)$ dengan $((\left(-1 \right))^(t))$, di mana $t$ adalah (perhatian sekarang!) jumlah angka dari semua baris yang dipilih dan kolom. Ini akan menjadi penjumlahan aljabar.

Lihatlah langkah ketiga: sebenarnya ada sejumlah istilah $2k$! Hal lain adalah bahwa untuk $k=1$ kita hanya mendapatkan 2 suku - ini akan sama dengan $i+j$ - "koordinat" dari elemen $((a)_(ij))$, di mana kita berada mencari komplemen aljabar.

Jadi hari ini kita menggunakan definisi yang sedikit disederhanakan. Tapi seperti yang akan kita lihat nanti, itu akan lebih dari cukup. Jauh lebih penting adalah sebagai berikut:

Definisi. Matriks gabungan $S$ ke matriks bujur sangkar $A=\left[ n\times n \right]$ adalah matriks baru dengan ukuran $\left[ n\times n \right]$, yang diperoleh dari $A$ dengan mengganti $(( a)_(ij))$ dengan komplemen aljabar $((A)_(ij))$:

\\Panah Kanan S=\kiri[ \begin(matriks) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matriks) \kanan]\]

Pikiran pertama yang muncul pada saat menyadari definisi ini adalah "ini adalah berapa banyak yang harus Anda hitung secara total!" Tenang: Anda harus menghitung, tetapi tidak terlalu banyak. :)

Yah, semua ini sangat bagus, tetapi mengapa itu perlu? Tapi kenapa.

teorema utama

Mari kita kembali sedikit. Ingat, Lemma 3 menyatakan bahwa matriks yang dapat dibalik $A$ selalu non-singular (yaitu, determinannya bukan nol: $\left| A \right|\ne 0$).

Jadi, kebalikannya juga benar: jika matriks $A$ tidak mengalami degenerasi, maka matriks tersebut selalu dapat dibalik. Dan bahkan ada skema pencarian $((A)^(-1))$. Saksikan berikut ini:

Teorema matriks terbalik. Misalkan matriks persegi $A=\left[ n\times n \right]$ diberikan, dan determinannya bukan nol: $\left| Sebuah \benar|\ne 0$. Maka matriks invers $((A)^(-1))$ ada dan dihitung dengan rumus:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \kanan|)\cdot ((S)^(T))\]

Dan sekarang - semuanya sama, tetapi dalam tulisan tangan yang dapat dibaca. Untuk menemukan matriks terbalik, Anda perlu:

1. Hitung determinan $\left| A \right|$ dan pastikan bukan nol.
2. Kompilasi matriks gabungan $S$, mis. hitung 100.500 penambahan aljabar $((A)_(ij))$ dan letakkan di tempatnya $((a)_(ij))$.
3. Transpos matriks ini $S$ dan kemudian kalikan dengan beberapa bilangan $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Dan itu saja! Matriks invers $((A)^(-1))$ ditemukan. Mari kita lihat contohnya:

\[\kiri[ \mulai(matriks) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\akhir(matriks) \kanan]\]

Larutan. Mari kita periksa reversibilitasnya. Mari kita hitung determinannya:

\\[\kiri| A \kanan|=\kiri| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinannya berbeda dengan nol. Jadi matriksnya dapat dibalik. Mari kita buat matriks gabungan:

Mari kita hitung penjumlahan aljabar:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\kanan|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\kanan|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \kanan|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\kanan|=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Perhatikan: determinan |2|, |5|, |1| dan |3| adalah determinan dari matriks berukuran $\left[ 1\times 1 \right]$, bukan modul. Itu. jika ada angka negatif di determinan, tidak perlu menghapus "minus".

Secara total, matriks serikat kami terlihat seperti ini:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \kanan|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \kanan]\]

Oke semuanya sudah berakhir Sekarang. Masalah terpecahkan.

Menjawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Sebuah tugas. Temukan matriks terbalik:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan] \]

Larutan. Sekali lagi, kami mempertimbangkan penentu:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\kiri(-1 \kanan)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \kiri(-1 \kanan)\cdot 0 \kanan) \\\end(matriks)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinannya berbeda dari nol — matriksnya dapat dibalik. Tapi sekarang akan menjadi yang paling nyaring: Anda harus menghitung sebanyak 9 (sembilan, sialan!) Penambahan aljabar. Dan masing-masing akan berisi qualifier $\left[ 2\times 2 \right]$. Terbang:

\[\begin(matriks) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matriks) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matriks) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matriks) \kanan|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matriks) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matriks) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matriks) \kanan|=2; \\ \end(matriks)\]

Singkatnya, matriks serikat akan terlihat seperti ini:

Oleh karena itu, matriks inversnya adalah:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matriks) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \kanan]\]

Nah, itu saja. Inilah jawabannya.

Menjawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \kanan ]$

Seperti yang Anda lihat, di akhir setiap contoh, kami melakukan pemeriksaan. Dalam hal ini, catatan penting:

Jangan malas untuk memeriksa. Kalikan matriks asli dengan invers yang ditemukan - Anda akan mendapatkan $E$.

Jauh lebih mudah dan lebih cepat untuk melakukan pemeriksaan ini daripada mencari kesalahan dalam perhitungan lebih lanjut, ketika, misalnya, Anda memecahkan persamaan matriks.

Cara alternatif

Seperti yang saya katakan, teorema matriks terbalik berfungsi dengan baik untuk ukuran $\left[ 2\times 2 \right]$ dan $\left[ 3\times 3 \right]$ (dalam kasus terakhir, itu tidak begitu "hebat" lagi)."), tetapi untuk matriks besar, kesedihan dimulai.

Tapi jangan khawatir: ada algoritme alternatif yang dapat digunakan untuk menemukan invers dengan tenang bahkan untuk matriks $\left[ 10\times 10 \right]$. Namun, seperti yang sering terjadi, untuk mempertimbangkan algoritme ini, kita memerlukan sedikit latar belakang teoretis.

Transformasi dasar

Di antara berbagai transformasi matriks, ada beberapa transformasi khusus - mereka disebut dasar. Ada persis tiga transformasi seperti itu:

1. Perkalian. Anda dapat mengambil baris (kolom) $i$-th dan mengalikannya dengan bilangan apa saja $k\ne 0$;
2. Tambahan. Tambahkan ke baris $i$-th (kolom) baris (kolom) $j$-th lainnya dikalikan dengan angka apa pun $k\ne 0$ (tentu saja, $k=0$ juga dimungkinkan, tetapi apa gunanya itu? ?Tidak ada yang akan berubah).
3. Permutasi. Ambil baris $i$-th dan $j$-th (kolom) dan tukarkan.

Mengapa transformasi ini disebut dasar (untuk matriks besar mereka tidak terlihat begitu dasar) dan mengapa hanya ada tiga dari mereka - pertanyaan-pertanyaan ini berada di luar cakupan pelajaran hari ini. Karena itu, kami tidak akan membahas detailnya.

Hal lain yang penting: kita harus melakukan semua penyimpangan ini pada matriks terkait. Ya, ya, Anda tidak salah dengar. Sekarang akan ada satu definisi lagi - yang terakhir dalam pelajaran hari ini.

Matriks Terlampir

Tentunya di sekolah Anda memecahkan sistem persamaan menggunakan metode penjumlahan. Nah, di sana, kurangi yang lain dari satu baris, kalikan beberapa baris dengan angka - itu saja.

Jadi: sekarang semuanya akan sama, tetapi sudah "secara dewasa". Siap?

Definisi. Biarkan matriks $A=\left[ n\times n \right]$ dan matriks identitas $E$ dengan ukuran yang sama $n$ diberikan. Kemudian matriks terkait $\left[ A\left| E\benar. \right]$ adalah matriks $\left[ n\times 2n \right]$ baru yang terlihat seperti ini:

\[\kiri[ A\kiri| E\benar. \kanan]=\kiri[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Singkatnya, kami mengambil matriks $A$, di sebelah kanan kami menetapkan matriks identitas $E$ dengan ukuran yang diperlukan, kami memisahkannya dengan bilah vertikal untuk kecantikan - di sini Anda memiliki yang terlampir. :)

Apa tangkapannya? Dan inilah yang:

Dalil. Biarkan matriks $A$ dapat dibalik. Pertimbangkan matriks adjoint $\left[ A\left| E\benar. \kanan]$. Jika menggunakan transformasi string dasar bawa ke bentuk $\left[ E\left| Cerah. \kanan]$, mis. dengan mengalikan, mengurangkan dan mengatur ulang baris untuk mendapatkan dari $A$ matriks $E$ di sebelah kanan, maka matriks $B$ yang diperoleh di sebelah kiri adalah kebalikan dari $A$:

\[\kiri[ A\kiri| E\benar. \kanan]\ke \kiri[ E\kiri| Cerah. \right]\Panah Kanan B=((A)^(-1))\]

Sesederhana itu! Singkatnya, algoritma untuk menemukan matriks terbalik terlihat seperti ini:

1. Tulis matriks terkait $\left[ A\left| E\benar. \kanan]$;
2. Lakukan konversi string dasar hingga muncul $E$ sebagai ganti $A$;
3. Tentu saja, sesuatu juga akan muncul di sebelah kiri - matriks tertentu $B$. Ini akan menjadi kebalikannya;
4. KEUNTUNGAN! :)

Tentu saja, jauh lebih mudah diucapkan daripada dilakukan. Jadi mari kita lihat beberapa contoh: untuk ukuran $\left[ 3\times 3 \right]$ dan $\left[ 4\times 4 \right]$.

Sebuah tugas. Temukan matriks terbalik:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Larutan. Kami menyusun matriks terlampir:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Karena kolom terakhir dari matriks asli diisi dengan yang lain, kurangi baris pertama dari yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\ke \\ & \ke \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Tidak ada unit lagi, kecuali baris pertama. Tapi kami tidak menyentuhnya, jika tidak unit yang baru dihapus akan mulai "berlipat ganda" di kolom ketiga.

Tetapi kita dapat mengurangi baris kedua dua kali dari yang terakhir - kita mendapatkan unit di sudut kiri bawah:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\ke \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Sekarang kita dapat mengurangi baris terakhir dari yang pertama dan dua kali dari yang kedua - dengan cara ini kita akan "menghilangkan" kolom pertama:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\ke \\ & \ ke \kiri[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Kalikan baris kedua dengan 1 lalu kurangi 6 kali dari baris pertama dan tambahkan 1 kali ke baris terakhir:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \ \\\akhiri(matriks)\ke \\ & \ke kiri[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Tetap hanya menukar baris 1 dan 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \kanan]\]

Siap! Di sebelah kanan adalah matriks invers yang diperlukan.

Menjawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \kanan ]$

Sebuah tugas. Temukan matriks terbalik:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matriks) \kanan]\]

Larutan. Sekali lagi kami membuat yang terlampir:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Mari kita pinjam sedikit, khawatir tentang berapa banyak yang harus kita hitung sekarang ... dan mulai menghitung. Untuk memulainya, kita “menghilangkan” kolom pertama dengan mengurangkan baris 1 dari baris 2 dan 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\ke \\ & \ke \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Kami mengamati terlalu banyak "minus" di baris 2-4. Kalikan ketiga baris dengan 1, lalu bakar kolom ketiga dengan mengurangkan baris 3 dari yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \kanan]\begin(matriks) \ \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\\end(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \ke \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Sekarang saatnya untuk "menggoreng" kolom terakhir dari matriks asli: kurangi baris 4 dari yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Gulungan terakhir: "bakar habis" kolom kedua dengan mengurangi baris 2 dari baris 1 dan 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \kanan]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\ke \\ & \ke \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Dan lagi, matriks identitas di sebelah kiri, jadi kebalikannya di sebelah kanan. :)

Menjawab. $\left[ \begin(matriks) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matriks) \kanan]$

Matriks terbalik- seperti matriks SEBUAH −1 , jika dikalikan dengan matriks asli SEBUAH memberikan hasilnya matriks identitas E:

matriks persegi dapat dibalik jika dan hanya jika tidak mengalami degenerasi, yaitu penentu tidak sama dengan nol. Untuk matriks non-persegi dan matriks degenerasi matriks terbalik tidak ada. Namun, adalah mungkin untuk menggeneralisasi konsep ini dan memperkenalkan matriks pseudoinverse, mirip dengan invers di banyak properti.

Solusi persamaan matriks

Persamaan matriks dapat terlihat seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberikan matriks, X adalah matriks yang diinginkan.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mengalikan persamaan dengan matriks terbalik.

Misalnya, untuk menemukan matriks dari suatu persamaan, Anda perlu mengalikan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh karena itu, untuk menemukan solusi persamaan, Anda perlu mencari matriks invers dan mengalikannya dengan matriks di ruas kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Larutan: Karena invers matriks sama dengan (lihat contoh 1)

Ruang linier

Definisi ruang linier

Membiarkan V- himpunan yang tidak kosong (kita akan menyebut elemen-elemennya sebagai vektor dan menunjukkan ...), di mana aturan ditetapkan:

1) setiap dua elemen sesuai dengan elemen ketiga yang disebut jumlah elemen (operasi internal);

2) masing-masing sesuai dengan elemen tertentu (operasi eksternal).

Banyak V disebut ruang linear (vektor) nyata jika aksioma berikut berlaku:

SAYA.

AKU AKU AKU. (elemen nol, sehingga ).

IV. (elemen berlawanan dengan elemen ), sehingga

v.

VIII. Ruang linier kompleks didefinisikan dengan cara yang sama (sebagai ganti R dipertimbangkan C).

Subruang dari ruang linier

Himpunan tersebut disebut subruang dari ruang linier V, jika:

1)

Sistem vektor ruang linier L formulir dasar di L jika sistem vektor ini terurut, bebas linier, dan sembarang vektor dari L dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor sistem.

Dengan kata lain, sistem vektor terurut yang bebas linier e 1 , ..., e n membentuk dasar dari L jika ada vektor x dari L dapat disajikan dalam bentuk

x= C 1 e 1 + C 2 e 2 + ... + C n · e n .

Dasarnya dapat didefinisikan secara berbeda.

Setiap sistem independen linier terurut e 1 , ..., e n vektor n- ruang linier berdimensi L n membentuk dasar dari ruang ini.

Karena n, dimensi ruang L n adalah jumlah maksimum vektor ruang bebas linier, maka sistem vektor x,e 1 , ..., e n bergantung linier dan, oleh karena itu, vektor x dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor e 1 , ..., e n :

x = x satu · e 1 + x 2 e 2 + ...+ x n · e n .

Dekomposisi vektor seperti itu dalam hal basis hanya.

Teorema 1. (Tentang jumlah vektor dalam sistem vektor yang bebas linier dan sistem pembangkit vektor.) Jumlah vektor dalam sistem vektor yang bebas linier tidak melebihi jumlah vektor dalam sistem pembangkit vektor yang sama vektor ruang angkasa.

Bukti. Biarkan sistem vektor bebas linier arbitrer menjadi sistem pembangkit arbitrer. Mari kita asumsikan itu.

Karena sistem pembangkit, maka itu mewakili setiap vektor ruang, termasuk vektor . Mari kita tambahkan ke sistem ini. Kami mendapatkan sistem vektor yang bergantung linier dan menghasilkan: . Kemudian ada sebuah vektor dari sistem ini yang dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor sebelumnya dari sistem ini dan, berdasarkan lemma, ia dapat dihilangkan dari sistem, dan sistem vektor yang tersisa akan tetap dibangkitkan.

Kami memberi nomor ulang sistem vektor yang tersisa: . Karena sistem ini menghasilkan, maka itu mewakili vektor dan, dengan melampirkannya ke sistem ini, kita kembali mendapatkan sistem yang bergantung linier dan menghasilkan: .

Kemudian semuanya berulang. Ada sebuah vektor dalam sistem ini, yang dinyatakan secara linier dalam bentuk yang sebelumnya, dan itu tidak bisa menjadi vektor, karena sistem asli bebas linier dan vektor tidak dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor . Jadi hanya bisa menjadi salah satu vektor . Menghapusnya dari sistem , kami memperoleh, setelah penomoran ulang, sistem , yang akan menjadi sistem pembangkit. Melanjutkan proses ini, setelah langkah-langkah kami memperoleh sistem pembangkit vektor: , Dimana , karena menurut perkiraan kami. Ini berarti bahwa sistem ini, sebagai generator, juga mewakili vektor , yang bertentangan dengan kondisi independensi linier sistem .

Teorema 1 terbukti.

Teorema 2. (Pada jumlah vektor dalam basis.) Dalam basis vektor apa pun ruang angkasa mengandung jumlah vektor yang sama.

Bukti. Membiarkan dan menjadi dua basis ruang vektor arbitrer. Setiap basis adalah sistem vektor yang bebas linier dan menghasilkan.

Karena sistem pertama bebas linier, dan sistem kedua menghasilkan, maka, dengan Teorema 1, .

Demikian pula, sistem kedua bebas linier, dan yang pertama menghasilkan, maka . Dari sini dapat disimpulkan bahwa , p.t.d.

Teorema 2 terbukti.

Ini dalil memungkinkan kita untuk memperkenalkan definisi berikut.

Definisi. Dimensi ruang vektor V di atas bidang K adalah jumlah vektor pada basisnya.

Sebutan: atau .

Koordinat vektor adalah koefisien dari satu-satunya yang mungkin kombinasi linear dasar vektor di terpilih sistem koordinasi sama dengan vektor yang diberikan.