Teorema Vieta sering digunakan untuk memeriksa akar-akar yang sudah ditemukan. Jika kamu sudah menemukan akar-akarnya, kamu dapat menggunakan rumus \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) untuk menghitung nilai \(p \) dan \(q\ ). Dan jika ternyata sama dengan persamaan awal, maka akar-akarnya ditemukan dengan benar.

Misalnya, dengan menggunakan , selesaikan persamaan \(x^2+x-56=0\) dan dapatkan akar-akarnya: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Mari kita periksa apakah kita melakukan kesalahan dalam proses solusi. Dalam kasus kita, \(p=1\), dan \(q=-56\). Berdasarkan teorema Vieta kita mempunyai:

\(\begin(kasus)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(kasus)\) \(\Panah Kanan Kiri\) \(\begin(kasus)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(kasus)\) \(\Panah Kanan Kiri\) \(\begin(kasus)-1=-1\\-56=-56\end(kasus)\ )

Kedua pernyataan tersebut konvergen, artinya kita menyelesaikan persamaan tersebut dengan benar.

Pemeriksaan ini dapat dilakukan secara lisan. Ini akan memakan waktu 5 detik dan akan menyelamatkan Anda dari kesalahan bodoh.

Teorema kebalikan Vieta

Jika \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), maka \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \ (x^ 2+px+q=0\).

Atau dengan cara sederhana: jika Anda memiliki persamaan berbentuk \(x^2+px+q=0\), maka selesaikan sistemnya \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) Anda akan menemukan akarnya.

Berkat teorema ini, Anda dapat dengan cepat menemukan akar-akar persamaan kuadrat, terutama jika akar-akarnya adalah . Keterampilan ini penting karena menghemat banyak waktu.

Contoh . Selesaikan persamaan \(x^2-5x+6=0\).

Larutan : Dengan menggunakan teorema invers Vieta, kita menemukan bahwa akar-akarnya memenuhi ketentuan: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Perhatikan persamaan kedua sistem \(x_1 \cdot x_2=6\). Bilangan \(6\) dapat diuraikan menjadi dua apa? Pada \(2\) dan \(3\), \(6\) dan \(1\) atau \(-2\) dan \(-3\), dan \(-6\) dan \(- 1\). Persamaan pertama sistem akan memberi tahu Anda pasangan mana yang harus dipilih: \(x_1+x_2=5\). \(2\) dan \(3\) serupa, karena \(2+3=5\).
Menjawab : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Contoh . Dengan menggunakan kebalikan dari teorema Vieta, carilah akar-akar persamaan kuadrat:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Larutan :
a) \(x^2-15x+14=0\) – faktor apa yang menguraikan \(14\)? \(2\) dan \(7\), \(-2\) dan \(-7\), \(-1\) dan \(-14\), \(1\) dan \(14\ ). Berapa pasangan angka yang berjumlah \(15\)? Jawaban: \(1\) dan \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – faktor apa yang menguraikan \(-4\)? \(-2\) dan \(2\), \(4\) dan \(-1\), \(1\) dan \(-4\). Berapa pasangan angka yang berjumlah \(-3\)? Jawaban: \(1\) dan \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – faktor apa yang menguraikan \(20\)? \(4\) dan \(5\), \(-4\) dan \(-5\), \(2\) dan \(10\), \(-2\) dan \(-10\ ), \(-20\) dan \(-1\), \(20\) dan \(1\). Berapa pasangan angka yang berjumlah \(-9\)? Jawaban: \(-4\) dan \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – faktor apa yang menguraikan \(780\)? \(390\) dan \(2\). Apakah jumlahnya akan menjadi \(88\)? TIDAK. Pengganda apa lagi yang dimiliki \(780\)? \(78\) dan \(10\). Apakah jumlahnya akan menjadi \(88\)? Ya. Jawaban: \(78\) dan \(10\).

Tidak perlu memperluas suku terakhir menjadi semua faktor yang mungkin (seperti pada contoh terakhir). Anda dapat segera memeriksa apakah jumlahnya menghasilkan \(-p\).

Penting! Teorema Vieta dan teorema kebalikannya hanya berlaku dengan , yaitu teorema yang koefisien \(x^2\) sama dengan satu. Jika pada awalnya kita diberikan persamaan yang tidak tereduksi, maka kita dapat mereduksinya hanya dengan membaginya dengan koefisien di depan \(x^2\).

Misalnya, biarkan persamaan \(2x^2-4x-6=0\) diberikan dan kita ingin menggunakan salah satu teorema Vieta. Tapi kita tidak bisa, karena koefisien \(x^2\) sama dengan \(2\). Mari kita hilangkan persamaan tersebut dengan membagi seluruh persamaan dengan \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Siap. Sekarang Anda dapat menggunakan kedua teorema tersebut.

Jawaban atas pertanyaan yang sering diajukan

Pertanyaan: Dengan menggunakan teorema Vieta, Anda dapat menyelesaikan masalah apa pun?
Menjawab: Sayangnya tidak ada. Jika persamaan tidak mengandung bilangan bulat atau persamaan tidak memiliki akar sama sekali, maka teorema Vieta tidak akan membantu. Dalam hal ini Anda perlu menggunakan diskriminan . Untungnya, 80% persamaan dalam matematika sekolah memiliki solusi bilangan bulat.

Saat mempelajari metode penyelesaian persamaan orde kedua dalam kursus aljabar sekolah, sifat-sifat akar yang dihasilkan dipertimbangkan. Mereka saat ini dikenal sebagai teorema Vieta. Contoh penggunaannya diberikan dalam artikel ini.

Persamaan kuadrat

Persamaan orde kedua adalah persamaan yang ditunjukkan pada foto di bawah ini.

Di sini simbol a, b, c adalah beberapa bilangan yang disebut koefisien persamaan yang ditinjau. Untuk menyelesaikan persamaan, Anda perlu mencari nilai x yang membuatnya benar.

Perhatikan bahwa karena pangkat maksimum x yang dapat dipangkatkan adalah dua, maka jumlah akar pada kasus umum juga adalah dua.

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan jenis ini. Pada artikel ini kita akan membahas salah satunya, yang melibatkan penggunaan apa yang disebut teorema Vieta.

Perumusan teorema Vieta

Pada akhir abad ke-16, ahli matematika terkenal Francois Viète (Prancis) memperhatikan, ketika menganalisis sifat-sifat akar berbagai persamaan kuadrat, bahwa kombinasi tertentu memenuhi hubungan tertentu. Secara khusus, kombinasi ini adalah produk dan jumlahnya.

Teorema Vieta menetapkan hal berikut: akar-akar persamaan kuadrat, jika dijumlahkan, memberikan rasio koefisien linier terhadap kuadrat yang diambil dengan tanda berlawanan, dan jika dikalikan, akan menghasilkan rasio suku bebas terhadap koefisien kuadrat. .

Jika bentuk umum persamaan tersebut ditulis seperti terlihat pada foto pada artikel sebelumnya, maka secara matematis teorema ini dapat ditulis dalam bentuk dua persamaan:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Dimana r 1, r 2 adalah nilai akar-akar persamaan yang dimaksud.

Kedua persamaan di atas dapat digunakan untuk menyelesaikan sejumlah masalah matematika yang berbeda. Penggunaan teorema Vieta dalam contoh solusi diberikan di bagian artikel berikut.

Antara akar dan koefisien persamaan kuadrat, selain rumus akar, terdapat hubungan berguna lainnya yang diberikan teorema Vieta. Pada artikel kali ini kami akan memberikan rumusan dan pembuktian teorema Vieta untuk persamaan kuadrat. Selanjutnya kita perhatikan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Setelah ini, kami akan menganalisis solusi dari contoh yang paling umum. Terakhir, kami menuliskan rumus Vieta yang mendefinisikan hubungan antara akar real persamaan aljabar derajat n dan koefisiennya.

Navigasi halaman.

Teorema Vieta, rumusan, pembuktian

Dari rumus akar-akar persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0 yang berbentuk D=b 2 −4·a·c, diperoleh relasi sebagai berikut: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Hasil ini dikonfirmasi teorema Vieta:

Dalil.

Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0, maka jumlah akar-akarnya sama dengan perbandingan koefisien b dan a, diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali dari akar-akarnya sama dengan perbandingan koefisien c dan a, yaitu .

Bukti.

Kita akan melakukan pembuktian teorema Vieta sesuai dengan skema berikut: kita menyusun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus akar yang diketahui, kemudian kita mengubah ekspresi yang dihasilkan dan memastikan bahwa keduanya sama dengan −b/ a dan c/a, masing-masing.

Mari kita mulai dengan menjumlahkan akar-akarnya dan menyusunnya. Sekarang kita membawa pecahan ke penyebut yang sama, kita punya. Di pembilang pecahan yang dihasilkan, setelah itu :. Akhirnya, setelah pada tanggal 2, kita mendapatkan . Ini membuktikan hubungan pertama teorema Vieta untuk jumlah akar persamaan kuadrat. Mari kita beralih ke yang kedua.

Kami menyusun produk dari akar-akar persamaan kuadrat: . Menurut aturan mengalikan pecahan, hasil kali terakhir dapat ditulis sebagai . Sekarang kita mengalikan tanda kurung dengan tanda kurung pada pembilangnya, tetapi akan lebih cepat untuk menciutkan hasil kali ini rumus selisih kuadrat, Jadi . Kemudian, mengingatnya, kami melakukan transisi berikutnya. Dan karena diskriminan persamaan kuadrat sesuai dengan rumus D=b 2 −4·a·c, maka alih-alih D pada pecahan terakhir kita dapat mensubstitusikan b 2 −4·a·c, kita mendapatkan. Setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, kita sampai pada pecahan , dan pengurangannya sebesar 4·a menghasilkan . Ini membuktikan hubungan kedua teorema Vieta untuk hasil kali akar.

Jika kita menghilangkan penjelasannya, maka bukti teorema Vieta akan berbentuk singkat:
,
.

Perlu diperhatikan bahwa jika diskriminan sama dengan nol, persamaan kuadrat memiliki satu akar. Namun, jika kita berasumsi bahwa persamaan dalam kasus ini mempunyai dua akar yang identik, maka persamaan dari teorema Vieta juga berlaku. Memang, ketika D=0 akar persamaan kuadrat sama dengan , maka dan , dan karena D=0, yaitu, b 2 −4·a·c=0, maka b 2 =4·a·c, maka .

Dalam praktiknya, teorema Vieta paling sering digunakan dalam kaitannya dengan persamaan kuadrat tereduksi (dengan koefisien terdepan a sama dengan 1) dalam bentuk x 2 +p·x+q=0. Kadang-kadang dirumuskan untuk persamaan kuadrat jenis ini saja, yang tidak membatasi keumumannya, karena persamaan kuadrat apa pun dapat diganti dengan persamaan ekuivalen dengan membagi kedua ruasnya dengan bilangan bukan nol a. Mari kita berikan rumusan teorema Vieta yang sesuai:

Dalil.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0 sama dengan koefisien x yang bertanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya, yaitu x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema kebalikan dari teorema Vieta

Rumusan kedua teorema Vieta yang diberikan pada paragraf sebelumnya menunjukkan bahwa jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0, maka relasi x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Sebaliknya, dari relasi tertulis x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 +p x+q=0. Dengan kata lain, kebalikan dari teorema Vieta benar. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema dan buktikan.

Dalil.

Jika bilangan x 1 dan x 2 sedemikian rupa sehingga x 1 +x 2 =−p dan x 1 · x 2 =q, maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p · x+q =0.

Bukti.

Setelah koefisien p dan q pada persamaan x 2 +p·x+q=0 diganti dengan persamaannya melalui x 1 dan x 2, maka persamaan tersebut diubah menjadi persamaan ekuivalen.

Mari kita substitusikan bilangan x 1 sebagai ganti x ke dalam persamaan yang dihasilkan, dan kita mendapatkan persamaannya x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, yang untuk setiap x 1 dan x 2 mewakili persamaan numerik yang benar 0=0, karena x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Oleh karena itu, x 1 adalah akar persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, artinya x 1 adalah akar persamaan ekuivalen x 2 +p·x+q=0.

Jika dalam persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 gantikan bilangan x 2 dengan x, kita peroleh persamaannya x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ini adalah persamaan yang sebenarnya x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Oleh karena itu, x 2 juga merupakan akar persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, dan oleh karena itu persamaan x 2 +p·x+q=0.

Ini melengkapi pembuktian teorema yang bertentangan dengan teorema Vieta.

Contoh penggunaan teorema Vieta

Saatnya berbicara tentang penerapan praktis teorema Vieta dan teorema kebalikannya. Pada bagian ini kita akan menganalisis solusi untuk beberapa contoh yang paling umum.

Mari kita mulai dengan menerapkan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Lebih mudah digunakan untuk memeriksa apakah dua bilangan tertentu merupakan akar persamaan kuadrat tertentu. Dalam hal ini, jumlah dan selisihnya dihitung, setelah itu validitas hubungan diperiksa. Jika kedua hubungan ini terpenuhi, maka berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta, disimpulkan bahwa bilangan-bilangan tersebut adalah akar-akar persamaan. Jika setidaknya salah satu hubungan tidak terpenuhi, maka bilangan-bilangan tersebut bukan akar-akar persamaan kuadrat. Pendekatan ini dapat digunakan ketika menyelesaikan persamaan kuadrat untuk memeriksa akar-akar yang ditemukan.

Contoh.

Pasangan bilangan 1) x 1 =−5, x 2 =3, atau 2) atau 3) manakah yang merupakan pasangan akar persamaan kuadrat 4 x 2 −16 x+9=0?

Larutan.

Koefisien persamaan kuadrat 4 x 2 −16 x+9=0 adalah a=4, b=−16, c=9. Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akar persamaan kuadrat harus sama dengan −b/a, yaitu 16/4=4, dan hasil kali akar-akarnya harus sama dengan c/a, yaitu 9 /4.

Sekarang mari kita hitung jumlah dan hasil kali angka-angka di masing-masing dari tiga pasangan yang diberikan, dan bandingkan dengan nilai yang baru saja kita peroleh.

Dalam kasus pertama kita memiliki x 1 +x 2 =−5+3=−2. Nilai yang dihasilkan berbeda dengan 4 sehingga tidak dapat dilakukan pemeriksaan lebih lanjut, namun dengan menggunakan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita dapat langsung menyimpulkan bahwa pasangan bilangan pertama bukanlah pasangan akar persamaan kuadrat yang diberikan.

Mari beralih ke kasus kedua. Di sini, syarat pertama terpenuhi. Kami memeriksa kondisi kedua: nilai yang dihasilkan berbeda dari 9/4. Oleh karena itu, pasangan bilangan kedua tersebut bukan merupakan pasangan akar persamaan kuadrat.

Masih ada satu kasus terakhir. Di sini dan . Kedua syarat tersebut terpenuhi, jadi bilangan x 1 dan x 2 ini adalah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan.

Menjawab:

Kebalikan teorema Vieta dapat digunakan dalam praktik untuk mencari akar persamaan kuadrat. Biasanya, akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat tertentu dengan koefisien bilangan bulat dipilih, karena dalam kasus lain hal ini cukup sulit dilakukan. Dalam hal ini, mereka menggunakan fakta bahwa jika jumlah dua bilangan sama dengan koefisien kedua persamaan kuadrat, yang diberi tanda minus, dan hasil kali bilangan-bilangan tersebut sama dengan suku bebasnya, maka bilangan-bilangan tersebut adalah akar persamaan kuadrat ini. Mari kita pahami ini dengan sebuah contoh.

Mari kita ambil persamaan kuadrat x 2 −5 x+6=0. Agar bilangan x 1 dan x 2 menjadi akar-akar persamaan ini, dua persamaan harus dipenuhi: x 1 + x 2 =5 dan x 1 ·x 2 =6. Yang tersisa hanyalah memilih nomor tersebut. Dalam hal ini, caranya cukup mudah: bilangan tersebut adalah 2 dan 3, karena 2+3=5 dan 2·3=6. Jadi, 2 dan 3 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Teorema kebalikan dari teorema Vieta sangat mudah digunakan untuk mencari akar kedua persamaan kuadrat tereduksi jika salah satu akar sudah diketahui atau jelas. Dalam hal ini, akar kedua dapat ditemukan dari relasi mana pun.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 512 x 2 −509 x −3=0. Di sini mudah untuk melihat bahwa kesatuan adalah akar persamaan, karena jumlah koefisien persamaan kuadrat ini sama dengan nol. Jadi x 1 =1. Akar kedua x 2 dapat dicari, misalnya, dari relasi x 1 ·x 2 =c/a. Kita mempunyai 1 x 2 =−3/512, dan x 2 =−3/512. Beginilah cara kami menentukan kedua akar persamaan kuadrat: 1 dan −3/512.

Jelas bahwa pemilihan akar hanya disarankan dalam kasus yang paling sederhana. Dalam kasus lain, untuk mencari akar, Anda dapat menggunakan rumus akar persamaan kuadrat melalui diskriminan.

Penerapan praktis lainnya dari kebalikan teorema Vieta adalah membuat persamaan kuadrat dengan akar-akar x 1 dan x 2 . Untuk melakukan ini, cukup menghitung jumlah akar-akar yang menghasilkan koefisien x dengan tanda kebalikan dari persamaan kuadrat yang diberikan, dan hasil kali akar-akar yang menghasilkan suku bebas.

Contoh.

Tulis persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah −11 dan 23.

Larutan.

Mari kita nyatakan x 1 =−11 dan x 2 =23. Kita menghitung jumlah dan hasil kali bilangan-bilangan berikut: x 1 +x 2 =12 dan x 1 ·x 2 =−253. Oleh karena itu, bilangan-bilangan yang ditunjukkan adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi dengan koefisien kedua −12 dan suku bebas −253. Artinya, x 2 −12·x−253=0 adalah persamaan yang diperlukan.

Menjawab:

x 2 −12·x−253=0 .

Teorema Vieta sangat sering digunakan ketika menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat. Bagaimana hubungan teorema Vieta dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p·x+q=0? Berikut dua pernyataan yang relevan:

• Jika suku bebas q adalah bilangan positif dan persamaan kuadrat mempunyai akar real, maka keduanya positif atau keduanya negatif.
• Jika suku bebas q bilangan negatif dan persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real, maka tanda-tandanya berbeda, dengan kata lain akar yang satu positif dan akar yang lain negatif.

Pernyataan-pernyataan ini mengikuti rumus x 1 · x 2 =q, serta aturan mengalikan bilangan positif, negatif, dan bilangan yang berbeda tandanya. Mari kita lihat contoh penerapannya.

Contoh.

R itu positif. Dengan menggunakan rumus diskriminan kita mencari D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, nilai dari ekspresi r 2 +8 positif untuk sembarang r nyata, jadi D>0 untuk sembarang r nyata. Akibatnya, persamaan kuadrat asli memiliki dua akar untuk setiap nilai nyata dari parameter r.

Sekarang mari kita cari tahu kapan akarnya memiliki tanda yang berbeda. Jika tanda-tanda akar-akarnya berbeda, maka hasil kali keduanya negatif, dan menurut teorema Vieta, hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan suku bebas. Oleh karena itu, kami tertarik pada nilai r yang suku bebasnya r−1 negatif. Jadi, untuk mencari nilai r yang kita minati, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan linier r−1<0 , откуда находим r<1 .

Menjawab:

di sungai<1 .

rumus Vieta

Di atas kita berbicara tentang teorema Vieta untuk persamaan kuadrat dan menganalisis hubungan yang ditegaskannya. Namun ada rumus yang menghubungkan akar real dan koefisien tidak hanya persamaan kuadrat, tetapi juga persamaan kubik, persamaan derajat keempat, dan secara umum, persamaan aljabar derajat n. Mereka disebut Rumus Vieta.

Mari kita tulis rumus Vieta untuk persamaan aljabar derajat n berbentuk, dan asumsikan persamaan tersebut mempunyai n akar real x 1, x 2, ..., x n (di antara mereka mungkin ada yang bertepatan):

Rumus Vieta bisa didapatkan teorema penguraian polinomial menjadi faktor linier, serta definisi polinomial yang sama melalui persamaan semua koefisien yang bersesuaian. Jadi polinomial dan pemuaiannya menjadi faktor linier bentuknya adalah sama. Membuka tanda kurung pada hasil kali terakhir dan menyamakan koefisien yang sesuai, kita memperoleh rumus Vieta.

Khususnya, untuk n=2 kita mempunyai rumus Vieta yang sudah familiar untuk persamaan kuadrat.

Untuk persamaan kubik, rumus Vieta berbentuk

Perlu dicatat bahwa di sisi kiri rumus Vieta terdapat apa yang disebut rumus dasar polinomial simetris.

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar dan awal analisis matematis. kelas 10: buku teks. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; diedit oleh A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2010.- 368 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Di kelas VIII, siswa diperkenalkan dengan persamaan kuadrat dan cara menyelesaikannya. Pada saat yang sama, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, sebagian besar siswa hanya menggunakan satu metode ketika menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap - rumus akar persamaan kuadrat. Bagi siswa yang mempunyai kemampuan mental aritmatika yang baik, cara ini jelas tidak rasional. Siswa sering kali harus menyelesaikan persamaan kuadrat bahkan di sekolah menengah, dan sangat disayangkan menghabiskan waktu menghitung diskriminan. Menurut pendapat saya, ketika mempelajari persamaan kuadrat, lebih banyak waktu dan perhatian harus diberikan pada penerapan teorema Vieta (menurut program A.G. Mordkovich Aljabar-8, hanya direncanakan dua jam untuk mempelajari topik “Teorema Vieta. Penguraian kuadrat trinomial menjadi faktor linier”).

Di sebagian besar buku teks aljabar, teorema ini dirumuskan untuk persamaan kuadrat tereduksi dan menyatakan bahwa jika persamaan mempunyai akar-akar dan , maka persamaan-persamaan , , terpenuhi. Kemudian dirumuskan pernyataan yang berlawanan dengan teorema Vieta, dan sejumlah contoh diberikan untuk mempraktekkan topik ini.

Mari kita ambil contoh spesifik dan menelusuri logika solusi menggunakan teorema Vieta.

Contoh 1. Selesaikan persamaannya.

Katakanlah persamaan ini mempunyai akar-akar yaitu, dan . Kemudian, menurut teorema Vieta, persamaan harus berlaku secara bersamaan:

Perlu diketahui bahwa hasil kali akar-akarnya adalah bilangan positif. Artinya akar-akar persamaannya bertanda sama. Dan karena jumlah akar-akarnya juga merupakan bilangan positif, maka kita menyimpulkan bahwa kedua akar persamaan tersebut positif. Mari kita kembali lagi ke produk akarnya. Anggaplah akar-akar persamaannya adalah bilangan bulat positif. Maka persamaan pertama yang benar hanya dapat diperoleh dengan dua cara (sampai urutan faktornya): atau . Mari kita periksa pasangan bilangan yang diusulkan, kelayakan pernyataan kedua teorema Vieta: . Jadi, angka 2 dan 3 memenuhi kedua persamaan tersebut, dan oleh karena itu merupakan akar dari persamaan yang diberikan.

Jawaban: 2; 3.

Mari kita soroti tahapan utama penalaran saat menyelesaikan persamaan kuadrat di atas menggunakan teorema Vieta:

tuliskan pernyataan teorema Vieta

(*)

• tentukan tanda-tanda akar-akar persamaan (Jika hasil kali dan jumlah akar-akarnya positif, maka kedua akarnya bilangan positif. Jika hasil kali akar-akarnya bilangan positif, dan jumlah akar-akarnya negatif, maka kedua akar bilangan negatif. Jika hasil kali akar-akarnya bilangan negatif, maka akar-akarnya mempunyai tanda yang berbeda. Apalagi jika jumlah akar-akarnya positif, maka akar yang modulusnya lebih besar adalah bilangan positif, dan jika jumlah akar-akarnya kurang dari nol, maka akar yang modulusnya lebih besar adalah bilangan negatif);
• pilih pasangan bilangan bulat yang hasil perkaliannya memberikan persamaan pertama yang benar dalam notasi (*);
• dari pasangan bilangan yang ditemukan, pilihlah pasangan yang jika disubstitusikan ke persamaan kedua dalam notasi (*), akan memberikan persamaan yang benar;
• tunjukkan dalam jawaban Anda akar-akar persamaan yang ditemukan.

Mari kita berikan beberapa contoh lagi.

Contoh 2: Selesaikan persamaannya .

Larutan.

Misalkan dan menjadi akar persamaan yang diberikan. Kemudian, berdasarkan teorema Vieta, kita mengetahui bahwa hasil perkaliannya positif, dan jumlahnya adalah bilangan negatif. Artinya kedua akarnya adalah bilangan negatif. Kami memilih pasangan faktor yang menghasilkan produk 10 (-1 dan -10; -2 dan -5). Pasangan angka kedua berjumlah -7. Artinya bilangan -2 dan -5 merupakan akar-akar persamaan tersebut.

Menjawab: -2; -5.

Contoh 3: Selesaikan persamaannya .

Larutan.

Misalkan dan menjadi akar persamaan yang diberikan. Kemudian, berdasarkan teorema Vieta, kita mengetahui bahwa hasil kali tersebut negatif. Artinya akar-akarnya mempunyai tanda yang berbeda-beda. Jumlah akar-akarnya juga merupakan bilangan negatif. Artinya akar dengan modulus terbesar adalah negatif. Kami memilih pasangan faktor yang menghasilkan produk -10 (1 dan -10; 2 dan -5). Pasangan angka kedua berjumlah -3. Artinya angka 2 dan -5 merupakan akar persamaan tersebut.

Menjawab: 2; -5.

Perhatikan bahwa teorema Vieta, pada prinsipnya, dapat dirumuskan untuk persamaan kuadrat lengkap: jika persamaan kuadrat mempunyai akar dan , maka persamaannya , , terpenuhi. Namun penerapan teorema ini cukup bermasalah, karena dalam persamaan kuadrat lengkap setidaknya salah satu akarnya (jika ada, tentu saja) adalah bilangan pecahan. Dan bekerja dengan memilih pecahan itu panjang dan sulit. Tapi masih ada jalan keluarnya.

Perhatikan persamaan kuadrat lengkap . Kalikan kedua ruas persamaan dengan koefisien pertama A dan tulis persamaannya dalam bentuk . Mari kita perkenalkan variabel baru dan dapatkan persamaan kuadrat tereduksi, yang akar-akarnya dan (jika tersedia) dapat ditemukan menggunakan teorema Vieta. Maka akar-akar persamaan aslinya adalah . Harap dicatat bahwa membuat persamaan tereduksi bantu sangat sederhana: koefisien kedua dipertahankan, dan koefisien ketiga sama dengan hasil kali ac. Dengan keterampilan tertentu, siswa segera membuat persamaan bantu, mencari akar-akarnya menggunakan teorema Vieta, dan menunjukkan akar-akar persamaan lengkap yang diberikan. Mari kita beri contoh.

Contoh 4: Selesaikan persamaannya .

Mari kita buat persamaan bantu dan menggunakan teorema Vieta kita akan menemukan akarnya. Artinya akar-akar persamaan aslinya .

Menjawab: .

Contoh 5: Selesaikan persamaannya .

Persamaan bantu berbentuk . Menurut teorema Vieta, akar-akarnya adalah . Menemukan akar-akar persamaan awal .

Menjawab: .

Dan satu kasus lagi ketika penerapan teorema Vieta memungkinkan Anda menemukan akar persamaan kuadrat lengkap secara verbal. Tidak sulit untuk membuktikannya angka 1 adalah akar persamaan , jika dan hanya jika. Akar persamaan kedua ditemukan dengan teorema Vieta dan sama dengan . Pernyataan lain: sehingga angka –1 adalah akar persamaan diperlukan dan cukup untuk. Maka akar kedua persamaan menurut teorema Vieta adalah sama dengan . Pernyataan serupa dapat dirumuskan untuk persamaan kuadrat tereduksi.

Contoh 6: Selesaikan persamaannya.

Perhatikan bahwa jumlah koefisien persamaannya adalah nol. Jadi, akar persamaannya .

Menjawab: .

Contoh 7. Selesaikan persamaannya.

Koefisien persamaan ini memenuhi sifat tersebut (memang, 1-(-999)+(-1000)=0). Jadi, akar persamaannya .

Menjawab: ..

Contoh penerapan teorema Vieta

Tugas 1. Selesaikan persamaan kuadrat yang diberikan menggunakan teorema Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tugas 2. Selesaikan persamaan kuadrat lengkap dengan meneruskan ke persamaan kuadrat tereduksi bantu.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tugas 3. Selesaikan persamaan kuadrat menggunakan properti.

Pertama, mari kita rumuskan teorema itu sendiri: Misalkan persamaan kuadrat tereduksi berbentuk x^2+b*x + c = 0. Katakanlah persamaan ini mempunyai akar-akar x1 dan x2. Maka menurut teorema tersebut, pernyataan berikut ini valid:

1) Jumlah akar-akar x1 dan x2 akan sama dengan nilai negatif koefisien b.

2) Hasil kali dari akar-akar yang sama akan menghasilkan koefisien c.

Tapi apa persamaan yang diberikan?

Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan kuadrat yang koefisien derajat tertingginya sama dengan satu, yaitu. ini adalah persamaan berbentuk x^2 + b*x + c = 0. (dan persamaan a*x^2 + b*x + c = 0 tidak tereduksi). Dengan kata lain, untuk membawa persamaan ke bentuk tertentu, kita harus membagi persamaan tersebut dengan koefisien pangkat tertinggi (a). Tugasnya adalah membawa persamaan ini ke bentuk berikut:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Bagilah setiap persamaan dengan koefisien derajat tertinggi, kita peroleh:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Seperti yang dapat Anda lihat dari contoh, bahkan persamaan yang mengandung pecahan dapat direduksi menjadi bentuk tertentu.

Menggunakan teorema Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

kita mendapatkan akarnya: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

sebagai hasilnya kita mendapatkan akar-akarnya: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

kita mendapatkan akar-akarnya: x1 = −1; x2 = −4.

Arti teorema Vieta

Teorema Vieta memungkinkan kita menyelesaikan persamaan tereduksi kuadrat apa pun dalam waktu hampir detik. Pada pandangan pertama, ini tampaknya merupakan tugas yang agak sulit, tetapi setelah 5 10 persamaan, Anda dapat langsung belajar melihat akar-akarnya.

Dari contoh yang diberikan, dan dengan menggunakan teorema, terlihat jelas bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat dapat disederhanakan secara signifikan, karena dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat secara praktis tanpa perhitungan yang rumit dan menghitung diskriminan, dan seperti yang Anda ketahui, the semakin sedikit perhitungan, semakin sulit membuat kesalahan, dan ini penting.

Dalam semua contoh, kami menggunakan aturan ini berdasarkan dua asumsi penting:

Persamaan yang diberikan, yaitu. koefisien derajat tertinggi sama dengan satu (kondisi ini dapat dengan mudah dihindari. Anda dapat menggunakan bentuk persamaan tak tereduksi, maka pernyataan berikut akan valid: x1+x2=-b/a; x1*x2=c /a, tapi biasanya lebih sulit diselesaikan :))

Jika suatu persamaan mempunyai dua akar yang berbeda. Kami berasumsi bahwa pertidaksamaan tersebut benar dan diskriminannya lebih besar dari nol.

Oleh karena itu, kita dapat membuat algoritma solusi umum menggunakan teorema Vieta.

Algoritma solusi umum menggunakan teorema Vieta

Kita mereduksi persamaan kuadrat menjadi bentuk tereduksi jika persamaan tersebut diberikan kepada kita dalam bentuk tidak tereduksi. Apabila koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang sebelumnya kita sajikan ternyata berupa pecahan (bukan desimal), maka dalam hal ini persamaan kita harus diselesaikan melalui diskriminan.

Ada juga kasus ketika kembali ke persamaan awal memungkinkan kita bekerja dengan angka yang “nyaman”.