Kalkulus diferensial fungsi satu dan beberapa variabel. Kalkulus Diferensial dan Integral

KALKULUS DIFERENSIAL, cabang dari analisis matematis yang mempelajari turunan, diferensial dan penerapannya pada studi fungsi. Kalkulus diferensial berkembang sebagai disiplin independen pada paruh kedua abad ke-17 di bawah pengaruh karya I. Newton dan G. W. Leibniz, di mana mereka merumuskan ketentuan utama kalkulus diferensial dan mencatat sifat diferensiasi dan integrasi yang saling terbalik. Sejak saat itu, kalkulus diferensial telah berkembang berhubungan erat dengan kalkulus integral, yang merupakan bagian utama dari analisis matematis (atau analisis infinitesimal). Penciptaan kalkulus diferensial dan integral membuka era baru dalam perkembangan matematika, menyebabkan munculnya sejumlah disiplin ilmu matematika baru (teori deret, teori persamaan diferensial, geometri diferensial, kalkulus variasi, analisis fungsional) dan secara signifikan memperluas kemungkinan penerapan matematika untuk pertanyaan ilmu pengetahuan alam dan teknologi.

Kalkulus diferensial didasarkan pada konsep dasar seperti bilangan real, fungsi, limit, kontinuitas. Konsep-konsep ini mengambil bentuk modern dalam perkembangan kalkulus diferensial dan integral. Gagasan dan konsep utama kalkulus diferensial terkait dengan studi fungsi dalam kecil, yaitu, di lingkungan kecil dari titik-titik individu, yang memerlukan pembuatan peralatan matematika untuk mempelajari fungsi yang perilakunya dalam lingkungan yang cukup kecil dari setiap titik. domain definisi mereka dekat dengan perilaku fungsi linier atau polinomial. Peralatan ini didasarkan pada konsep turunan dan diferensial. Konsep turunan muncul sehubungan dengan sejumlah besar masalah yang berbeda dalam ilmu pengetahuan alam dan matematika, yang mengarah pada perhitungan batas dari jenis yang sama. Yang paling penting dari tugas-tugas ini adalah penentuan kecepatan pergerakan titik material sepanjang garis lurus dan konstruksi garis singgung kurva. Konsep diferensial terkait dengan kemungkinan aproksimasi suatu fungsi dalam lingkungan kecil dari titik yang ditinjau oleh suatu fungsi linier. Berbeda dengan konsep turunan dari suatu fungsi variabel nyata, konsep diferensial dapat dengan mudah dipindahkan ke fungsi yang lebih umum, termasuk pemetaan dari satu ruang Euclidean ke yang lain, pemetaan ruang Banach ke ruang Banach lainnya, dan berfungsi sebagai salah satu konsep dasar analisis fungsional.

Turunan. Biarkan titik material bergerak sepanjang sumbu Oy, dan x menunjukkan waktu yang dihitung dari beberapa momen awal. Deskripsi gerakan ini diberikan oleh fungsi y = f(x), yang menetapkan koordinat y untuk setiap momen waktu x dari titik bergerak. Fungsi ini dalam mekanika disebut hukum gerak. Karakteristik penting dari gerakan (terutama jika tidak rata) adalah kecepatan titik bergerak pada setiap momen waktu x (kecepatan ini juga disebut kecepatan sesaat). Jika sebuah titik bergerak sepanjang sumbu Oy menurut hukum y \u003d f (x), maka pada titik waktu x yang berubah-ubah memiliki koordinat f (x), dan pada titik waktu x + Δx - koordinat f (x + x), di mana x adalah pertambahan waktu . Angka y \u003d f (x + x) - f (x), yang disebut kenaikan fungsi, adalah jalur yang dilalui oleh titik bergerak dalam waktu dari x ke x + x. Sikap

disebut rasio perbedaan, adalah kecepatan rata-rata suatu titik dalam selang waktu dari x ke x + x. Kecepatan sesaat (atau hanya kecepatan) dari suatu titik yang bergerak pada waktu x adalah batas kecepatan rata-rata (1) ketika interval waktu x cenderung nol, yaitu batas (2)

Konsep kecepatan sesaat mengarah pada konsep turunan. Turunan dari fungsi arbitrer y \u003d f (x) pada suatu titik tetap x disebut limit (2) (asalkan limit ini ada). Turunan fungsi y \u003d f (x) pada suatu titik x dilambangkan dengan salah satu simbol f '(x), y ', , df / dx, dy / dx, Df (x).

Operasi untuk menemukan turunan (atau transisi dari suatu fungsi ke turunannya) disebut diferensiasi.

Masalah membangun garis singgung pada kurva bidang, yang didefinisikan dalam sistem koordinat Cartesian Oxy dengan persamaan y \u003d f (x), di beberapa titik M (x, y) (Gbr.) juga mengarah ke limit (2) . Setelah memberikan kenaikan x ke argumen x dan mengambil titik M' dengan koordinat (x + x, f(x) + x) pada kurva), tentukan garis singgung di titik M sebagai posisi batas garis potong MM' karena titik M' cenderung ke M (yaitu, karena x cenderung ke nol). Karena titik M yang dilalui garis singgung diberikan, konstruksi garis singgung direduksi untuk menentukan koefisien sudutnya (yaitu garis singgung sudut kemiringannya terhadap sumbu Ox). Menggambar garis lurus MR sejajar dengan sumbu Ox, diperoleh bahwa kemiringan garis potong MM' sama dengan rasio

Pada limit di x → 0, kemiringan garis potong berubah menjadi kemiringan garis singgung, yang ternyata sama dengan batas (2), yaitu turunan f’(x).

Sejumlah masalah ilmu alam lainnya juga mengarah pada konsep turunan. Misalnya, kuat arus dalam suatu penghantar didefinisikan sebagai batas lim t→0 q/Δt, di mana q adalah muatan listrik positif yang dipindahkan melalui penampang penghantar dalam waktu t, laju reaksi kimia didefinisikan sebagai lim t→0 Q/Δt, di mana Q adalah perubahan jumlah materi selama waktu t dan, secara umum, turunan dari beberapa besaran fisika terhadap waktu adalah laju perubahan besaran ini.

Jika fungsi y \u003d f (x) didefinisikan baik di titik x itu sendiri maupun di beberapa lingkungannya, dan memiliki turunan di titik x, maka fungsi ini kontinu di titik x. Contoh fungsi y \u003d |x|, didefinisikan di lingkungan mana pun dari titik x \u003d 0, kontinu pada titik ini, tetapi tidak memiliki turunan pada x \u003d 0, menunjukkan bahwa keberadaan fungsi pada titik ini , secara umum, tidak mengikuti dari kontinuitas pada turunan titik ini. Selain itu, ada fungsi yang kontinu di setiap titik domain definisinya, tetapi tidak memiliki turunan di titik mana pun dari domain ini.

Dalam kasus ketika fungsi y \u003d f (x) didefinisikan hanya ke kanan atau hanya ke kiri titik x (misalnya, ketika x adalah titik batas segmen di mana fungsi ini diberikan), konsep turunan kanan dan kiri dari fungsi y \u003d f (x) diperkenalkan di titik x. Turunan kanan fungsi y \u003d f (x) di titik x didefinisikan sebagai limit (2) asalkan x cenderung nol, tetap positif, dan turunan kiri didefinisikan sebagai limit (2) asalkan x cenderung nol, tetap negatif. Fungsi y \u003d f (x) memiliki turunan di titik x jika dan hanya jika memiliki turunan kanan dan kiri yang sama satu sama lain pada titik ini. Fungsi di atas y = |x| memiliki turunan kanan sama dengan 1 di titik x = 0 dan turunan kiri sama dengan -1, dan karena turunan kanan dan kiri tidak sama satu sama lain, fungsi ini tidak memiliki turunan di titik x = 0. kelas fungsi yang memiliki turunan, operasi diferensiasinya linier, yaitu (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), dan (αf(x))' = f '(x) untuk sembarang bilangan a. Selain itu, aturan diferensiasi berikut berlaku:

Turunan dari beberapa fungsi dasar adalah:

- angka berapa pun, x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

Turunan dari setiap fungsi dasar lagi-lagi merupakan fungsi dasar.

Jika turunan f'(x) selanjutnya memiliki turunan di suatu titik x, maka turunan dari fungsi f'(x) disebut turunan kedua dari fungsi y = f(x) di titik x dan dilambangkan dengan salah satu simbol f''(x ), y'', , d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Untuk titik material yang bergerak sepanjang sumbu Oy menurut hukum y \u003d f (x), turunan kedua adalah percepatan titik ini pada waktu x. Turunan dari sembarang bilangan bulat n didefinisikan dengan cara yang sama, dilambangkan dengan simbol f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f (x).

Diferensial. Sebuah fungsi y \u003d f (x), yang domain definisinya berisi beberapa lingkungan dari titik x, disebut terdiferensiasi di titik x jika kenaikannya pada titik ini, sesuai dengan kenaikan argumen x, yaitu, nilai y \u003d f (x + x) - f (x) dapat direpresentasikan dalam bentuk dan dilambangkan dengan simbol dy atau df(x). Secara geometris, untuk nilai tetap x dan kenaikan x yang berubah, diferensial adalah kenaikan ordinat garis singgung, yaitu segmen PM "(Gbr.). Diferensial dy adalah fungsi dari titik x dan kenaikan x Diferensial disebut bagian linier utama dari kenaikan fungsi, karena ketika Untuk nilai tetap dari x, nilai dy adalah fungsi linier dari , dan perbedaan - dy sangat kecil terhadap sebagai → 0. Untuk fungsi f(х) = x, menurut definisi, dx = , yaitu, diferensial dari variabel independen dx bertepatan dengan kenaikannya x Ini memungkinkan Anda untuk menulis ulang ekspresi untuk diferensial dalam bentuk dy =Adx.

Untuk fungsi satu variabel, konsep diferensial terkait erat dengan konsep turunan: agar suatu fungsi y \u003d f (x) memiliki diferensial pada titik x, perlu dan cukup bahwa memiliki turunan berhingga f '(x) pada titik ini, sedangkan persamaan dy = f'(x)dx. Arti visual dari pernyataan ini adalah bahwa garis singgung kurva y \u003d f (x) pada titik dengan absis x tidak hanya posisi batas garis potong, tetapi juga garis lurus, yang dalam lingkungan kecil tak terhingga dari titik x berdekatan dengan kurva y \u003d f (x ) lebih dekat daripada garis lurus lainnya. Jadi, selalu A(x) = f'(x) dan notasi dy/dx dapat dipahami tidak hanya sebagai notasi untuk turunan f'(x), tetapi juga sebagai rasio dari diferensial fungsi dan argumen . Berdasarkan persamaan dy = f'(x)dx, aturan untuk mencari diferensial mengikuti langsung dari aturan turunan yang bersesuaian. Diferensial dari orde kedua dan yang lebih tinggi juga dipertimbangkan.

Aplikasi. Kalkulus diferensial menetapkan hubungan antara sifat-sifat fungsi f(x) dan turunannya (atau diferensialnya), yang merupakan isi dari teorema utama kalkulus diferensial. Teorema ini mencakup pernyataan bahwa semua titik ekstrem dari fungsi terdiferensiasi f(x) yang terletak di dalam domain definisinya adalah di antara akar persamaan f'(x) = 0, dan rumus kenaikan hingga yang sering digunakan (rumus Lagrange) f (b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), di mana a<ξ0 memerlukan peningkatan fungsi yang ketat, dan kondisi f '' (x)\u003e 0 - konveksitasnya yang ketat. Selain itu, kalkulus diferensial memungkinkan seseorang untuk menghitung berbagai jenis batas fungsi, khususnya batas rasio dua fungsi, yang merupakan ketidakpastian bentuk 0/0 atau bentuk /∞ (lihat Pengungkapan ketidakpastian) . Kalkulus diferensial sangat cocok untuk mempelajari fungsi dasar yang turunannya dituliskan secara eksplisit.

Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel. Metode kalkulus diferensial digunakan untuk mempelajari fungsi beberapa variabel. Untuk fungsi dua variabel u = f(x, y), turunan parsialnya terhadap x di titik M(x, y) adalah turunan dari fungsi ini terhadap x untuk y tetap, yang didefinisikan sebagai

dan dilambangkan dengan salah satu simbol f'(x)(x,y), u'(x), u/∂x atau f(x,y)'/∂x. Turunan parsial dari fungsi u = f(x,y) terhadap y didefinisikan dan dilambangkan dengan cara yang sama. Nilai u \u003d f (x + x, y + y) - f (x, y) disebut kenaikan total fungsi dan pada titik M (x, y). Jika nilai ini dapat direpresentasikan sebagai

di mana A dan B tidak bergantung pada dan , dan cenderung nol pada

maka fungsi u = f(x, y) disebut terdiferensiasi di titik M(x, y). Jumlah AΔx + BΔy disebut diferensial total dari fungsi u = f(x, y) di titik M(x, y) dan dilambangkan dengan simbol du. Karena A \u003d f’x (x, y), B \u003d f’y (x, y), dan kenaikan x dan y dapat dianggap sama dengan diferensialnya dx dan dy, diferensial total du dapat ditulis sebagai

Secara geometris, diferensiasi fungsi dua variabel u = f(x, y) pada suatu titik tertentu M (x, y) berarti bahwa grafiknya ada pada titik bidang singgung ini, dan diferensial dari fungsi ini adalah pertambahan penerapan titik bidang singgung yang sesuai dengan kenaikan variabel bebas dx dan dy. Untuk fungsi dua variabel, konsep diferensial jauh lebih penting dan alami daripada konsep turunan parsial. Berbeda dengan fungsi satu variabel, agar fungsi dua variabel u = f(x, y) dapat terdiferensialkan pada suatu titik tertentu M(x, y), tidak cukup bahwa turunan parsial hingga f'x( x, y) dan f' y(x, y). Kondisi perlu dan cukup agar fungsi u = f(x, y) dapat diturunkan di titik M(x, y) adalah adanya turunan parsial hingga f'x(x, y) dan f'y(x, y) dan cenderung nol di

kuantitas

Pembilang dari kuantitas ini diperoleh dengan terlebih dahulu mengambil kenaikan fungsi f(x, y) yang sesuai dengan kenaikan Δx dari argumen pertama, dan kemudian mengambil kenaikan selisih yang dihasilkan f(x + x, y) - f (x, y), sesuai dengan kenaikan y dari argumen kedua. Kondisi cukup sederhana untuk diferensiabilitas fungsi u = f(x, y) di titik M(x, y) adalah adanya turunan parsial kontinu f'x(x, y) dan f'y(x, y ) pada saat ini.

Turunan parsial dari orde yang lebih tinggi didefinisikan dengan cara yang sama. Turunan parsial 2 f/∂х 2 dan 2 f/∂у 2 , di mana kedua turunan dilakukan dalam satu variabel, disebut murni, dan turunan parsial 2 f/∂х∂у dan 2 f/∂ - campuran. Pada setiap titik di mana kedua turunan parsial campuran kontinu, mereka sama satu sama lain. Definisi dan notasi ini dibawa ke kasus sejumlah besar variabel.

Garis besar sejarah. Masalah terpisah dalam menentukan garis singgung kurva dan menemukan nilai maksimum dan minimum variabel diselesaikan oleh ahli matematika Yunani kuno. Misalnya, ditemukan cara untuk membangun garis singgung pada bagian kerucut dan beberapa kurva lainnya. Namun, metode yang dikembangkan oleh matematikawan kuno jauh dari gagasan kalkulus diferensial dan hanya dapat diterapkan dalam kasus yang sangat khusus. Pada pertengahan abad ke-17, menjadi jelas bahwa banyak masalah yang disebutkan, bersama dengan masalah lain (misalnya, masalah menentukan kecepatan sesaat) dapat diselesaikan dengan menggunakan peralatan matematika yang sama, menggunakan turunan dan diferensial. Sekitar tahun 1666, I. Newton mengembangkan metode fluks (lihat kalkulus fluks). Newton mempertimbangkan, khususnya, dua masalah mekanika: masalah menentukan kecepatan gerak sesaat dari ketergantungan lintasan yang diketahui terhadap waktu, dan masalah menentukan lintasan yang ditempuh dalam waktu tertentu dari kecepatan sesaat yang diketahui. Newton menyebut fungsi kontinu dari aliran waktu, dan laju perubahannya - fluktuasi. Jadi, konsep utama Newton adalah turunan (fluks) dan integral tak tentu (fluen). Dia mencoba membuktikan metode fluksi dengan bantuan teori limit, yang pada saat itu belum berkembang.

Pada pertengahan 1670-an, G.W. Leibniz mengembangkan algoritma yang nyaman untuk kalkulus diferensial. Konsep dasar Leibniz adalah diferensial sebagai pertambahan yang sangat kecil dari suatu fungsi dan integral tertentu sebagai jumlah dari sejumlah besar diferensial. Dia memperkenalkan notasi diferensial dan integral, istilah "kalkulus diferensial", menerima sejumlah aturan untuk diferensiasi, dan mengusulkan simbolisme yang nyaman. Perkembangan lebih lanjut dari kalkulus diferensial pada abad ke-17 berlangsung terutama di sepanjang jalan yang digariskan oleh Leibniz; karya J. dan I. Bernoulli, B. Taylor, dan lain-lain memainkan peran penting pada tahap ini.

Tahap selanjutnya dalam pengembangan kalkulus diferensial dikaitkan dengan karya L. Euler dan J. Lagrange (abad ke-18). Euler pertama kali mulai menyajikan kalkulus diferensial sebagai disiplin analitis, terlepas dari geometri dan mekanika. Ia kembali menggunakan turunan sebagai konsep dasar kalkulus diferensial. Lagrange mencoba membangun kalkulus diferensial secara aljabar, menggunakan perluasan fungsi menjadi deret pangkat; ia memperkenalkan istilah "turunan" dan sebutan y' dan f'(x). Pada awal abad ke-19, masalah pembuktian kalkulus diferensial berdasarkan teori limit pada dasarnya terpecahkan, terutama berkat karya O. Cauchy, B. Bolzano dan C. Gauss. Analisis mendalam tentang konsep asli kalkulus diferensial dikaitkan dengan pengembangan teori himpunan dan teori fungsi variabel nyata pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20.

Lit.: Sejarah matematika: Dalam 3 jilid M., 1970-1972; Rybnikov K. A. Sejarah matematika. edisi ke-2 M., 1974; Nikolsky S. M. Kursus analisis matematika. edisi ke-6 M., 2001: Zorich V. A. Analisis matematika: Pada bagian ke-2 dari edisi ke-4. M., 2002; Kudryavtsev L.D. Kursus analisis matematika: Dalam 3 volume, edisi ke-5. M., 2003-2006; Fikhtengol's G. M. Kursus kalkulus diferensial dan integral: Dalam 3 volume.Edisi ke-8. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Dasar-dasar Analisis Matematika. edisi ke-7. M., 2004. Bagian 1. Edisi ke-5. M., 2004. Bagian 2; Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Analisis matematis. edisi ke-3 M., 2004. Bagian 1. Edisi ke-2. M., 2004. Bagian 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Matematika Tinggi. edisi ke-2 M., 2005.

Siswa harus:

tahu:

definisi limit suatu fungsi di suatu titik;

sifat-sifat limit suatu fungsi di suatu titik;

Rumus batas yang luar biasa;

penentuan kontinuitas suatu fungsi di suatu titik,

sifat-sifat fungsi kontinu;

definisi turunan, makna geometris dan fisiknya; turunan tabular, aturan diferensiasi;

aturan untuk menghitung turunan dari fungsi kompleks; definisi diferensial suatu fungsi, sifat-sifatnya; definisi turunan dan diferensial orde yang lebih tinggi; penentuan fungsi ekstrem, fungsi cembung, titik belok, asimtot;

definisi integral tak tentu, sifat-sifatnya, integral tabel;

· rumus integrasi melalui perubahan variabel dan bagian integral tak tentu;

definisi integral tertentu, sifat-sifatnya, rumus dasar kalkulus integral - rumus Newton-Leibniz;

· rumus integrasi melalui perubahan variabel dan bagian integral tertentu;

· arti geometris integral tertentu, penerapan integral tertentu.

mampu untuk:

Hitung limit barisan dan fungsi; mengungkapkan ketidakpastian;

· menghitung turunan dari fungsi kompleks, turunan dan diferensial dari orde yang lebih tinggi;

menemukan ekstrem dan titik belok fungsi;

· melakukan studi fungsi dengan bantuan turunan dan membangun grafiknya.

Hitung integral tak tentu dan integral tertentu dengan metode perubahan variabel dan bagian;

· mengintegrasikan fungsi rasional, irasional dan beberapa trigonometri, menerapkan substitusi universal; terapkan integral tertentu untuk menemukan luas bangun datar.

Batas fungsi. Sifat batas fungsi. Batas sepihak. Batas jumlah, produk dan hasil bagi dua fungsi. Fungsi kontinu, propertinya. Kontinuitas fungsi dasar dan kompleks. Batas yang luar biasa.

Definisi turunan dari suatu fungsi. Turunan dari fungsi dasar dasar. Diferensiabilitas fungsi. Diferensial fungsi. Turunan dari fungsi kompleks. Aturan Diferensiasi: turunan dari jumlah, produk dan hasil bagi. Derivatif dan diferensial dari orde yang lebih tinggi. Pengungkapan ketidakpastian. Fungsi naik dan turun, syarat naik dan turun. Fungsi ekstrem, kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem. Menemukan ekstrem menggunakan turunan pertama. Fungsi cembung. Titik belok. asimtot. Studi fungsi penuh.

Integral tak tentu, sifat-sifatnya. Tabel integral dasar. Metode perubahan variabel. Integrasi per bagian. Integrasi fungsi rasional. Integrasi beberapa fungsi irasional. Substitusi universal.

Integral tentu, sifat-sifatnya. Rumus dasar kalkulus integral. Integrasi dengan perubahan variabel dan bagian dalam integral tertentu. Aplikasi integral tertentu.

PILIHAN TUGAS KONTROL

untuk siswa penuh waktu

Fakultas Matematika

Bagian 5

SAINT PETERSBURG

Diterbitkan sesuai dengan keputusan Departemen Analisis Matematika dan RIS Universitas Pedagogis Negeri Rusia. A.I. Herzen

Manual metodologi ini ditujukan untuk siswa penuh waktu dari 1-3 program Fakultas Matematika Universitas Pedagogis Negeri Rusia. A.I. Herzen.

Sesuai dengan program untuk analisis matematis, manual ini mencakup 28 opsi berbeda untuk tes individu di rumah dengan topik "Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel", "Integral berganda dan aplikasinya." Sebelum opsi untuk pekerjaan kontrol, beberapa informasi teoretis diberikan dan contoh dianalisis, solusinya disertai dengan instruksi metodologis untuk mereka.

Materi manual dapat digunakan untuk melakukan kelas praktis, pekerjaan kontrol dan verifikasi di fakultas ilmu pengetahuan alam di lembaga pendidikan tinggi.

Dosen Senior O.S. Korsakov,

Ph.D., asisten K.G. Mezhevich

Reviewer: kepala departemen matematika. analisis GPU mereka. A.I. Herzen,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. Kursus analisis matematika. M.: Pencerahan, 1972, v.1,2.

Vilenkin N.Ya. dll. Buku soal untuk mata kuliah analisis matematika. - M.: Pencerahan, 1971. Bagian 1,2.

Kuznetsov A.A. Koleksi tugas dalam matematika yang lebih tinggi. Moskow: Sekolah Tinggi, 1983.

Kudryavtsev L.D. Kursus analisis matematika. M.: Sekolah Tinggi, 1988. T. 1.2.

Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I. Kumpulan masalah dalam analisis matematis. Fungsi dari beberapa variabel. S.-Pb, 1994.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Ruang metrik. Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel. Buku teks / LGPI im. A.I. Herzen.-L., 1985.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Kalkulus integral fungsi beberapa variabel dan persamaan diferensial. Buku teks / LGPI im. A.I. Herzen.-L., 1986.

Fikhtengolts G.M. Dasar-dasar analisis matematika. - M.: Nauka, 1968. Jilid 1, 2.

Fungsi beberapa variabel

DOMAIN DAN GRAFIK FUNGSI GANDA VARIABEL

Biarkan setiap poin
nomor cocok
. Kemudian mereka mengatakan itu di lokasi syuting D bertekad fungsi numerik dari beberapa variabel
.

Sekelompok D ditelepon domain definisi fungsi, titik
-argumen fungsi.

Kami selanjutnya akan mempertimbangkan fungsi dua variabel
. Perhatikan bahwa semua yang dikatakan di bawah ini dapat diperluas ke fungsi n variabel, dimana n>2 .

Himpunan semua poin
, yang fungsinya
, diberikan secara analitis, masuk akal, disebut alami domain definisi fungsi ini.

Misalnya, ruang lingkup fungsi
adalah lingkaran terbuka dengan jari-jari 2 yang berpusat di titik asal, yang diberikan oleh pertidaksamaan
.

jadwal fungsi
, di mana
, disebut himpunan. Ini mendefinisikan beberapa permukaan di ruang angkasa
.

Sebagai contoh, grafik fungsi
,
, adalah parabola.

Contoh 1 Temukan domain dari fungsi
.

Fungsi didefinisikan pada titik-titik pesawat
, di mana
.

Ketimpangan ini setara dengan kombinasi dua sistem:

dan
.

Sistem pertidaksamaan pertama dipenuhi oleh koordinat semua titik yang terletak pada parabola
atau di atasnya, dan berbaring di setengah bidang
. Himpunan ini diarsir pada Gambar 1. Sistem kedua dipenuhi oleh koordinat titik-titik yang terletak di himpunan yang diarsir pada Gambar 1. 2. Oleh karena itu, domain definisi fungsi ini adalah gabungan dari himpunan yang ditemukan, yaitu. set, yang diarsir pada Gambar. 3.

Beras. 1 Gambar. 2 Gambar. 3

garis datar fungsi
, disebut himpunan titik
, memenuhi persamaan
.

Tingkat (atau permukaan datar) fungsi n variabel, jika n>2.

Contoh 2 Temukan garis level fungsi
.

Perhatikan bahwa fungsi tersebut didefinisikan pada seluruh bidang
.

Untuk membangun garis level, perlu untuk
menemukan satu set titik di pesawat, koordinat x, kamu yang memenuhi persamaan
. Oleh karena itu, jika
, kemudian
, dan jika
, kemudian
.

Jelas bahwa dengan tidak boleh negatif (dalam hal ini kita katakan bahwa dengan-tingkat fungsi di c<0 adalah himpunan kosong).

Temukan garis level di c=0:

Demikian pula, garis level ditemukan untuk berbagai c>0.

pada gambar. 4 menunjukkan garis level untuk c=0, c=1 dan c=2.

BATAS FUNGSI

Set (buka lingkaran radius
berpusat pada satu titik
) disebut -lingkungan poin
. Melalui
kami akan menunjukkan lingkungan yang tertusuk dari suatu titik
.

Dot
ditelepon titik batas set
, jika perpotongan -lingkungan suatu titik
dan banyak lagi D mengandung setidaknya satu titik selain
, yaitu untuk

.

Perhatikan bahwa titik batas mungkin bukan milik set D.

Biarkan fungsinya
ditentukan pada himpunan D dan titik
- titik batas D.

Nomor TETAPI ditelepon batas fungsi
pada intinya
, jika untuk lingkungan mana saja
poin TETAPI (
) ada-lingkungan
poin
sedemikian rupa sehingga untuk setiap titik

nilai fungsi
jatuh ke lingkungan
.

Dengan demikian,

:

)

:

).

Contoh 3 Ayo buktikan
.

Perhatikan bahwa fungsi ini didefinisikan pada seluruh bidang kecuali untuk titik (0,0 ) .

Sejauh
, maka untuk sembarang
ada
(yaitu
) sehingga untuk semua titik
, memenuhi syarat
, ketidaksetaraan
.

Fungsi
ditelepon kontinu pada suatu titik
, jika
.

Fungsi tersebut disebut terus menerus di setD, jika kontinu di setiap titik himpunan D.

Contoh 4 1) Fungsi
kontinu di (0,0) karena
(lihat contoh 3).

2) Fungsi
pada titik (0,0) mengalami diskontinuitas, karena

DERIVATIF SWASTA. PERBEDAAN FUNGSI

Biarkan fungsinya
didefinisikan di beberapa lingkungan titik
. Jika ada batasan
dan
, maka mereka disebut turunan pribadi fungsi
pada intinya
berdasarkan variabel x dan kamu masing-masing dan dilambangkan
dan
(atau:
dan
).

Untuk menghitung turunan parsial (atau ) gunakan rumus dan aturan terkenal untuk membedakan fungsi dari satu variabel, dengan mempertimbangkan variabel lain kamu (atau x) nilai konstan.

Contoh 5 Mari kita cari turunan parsial dari fungsi
.

Jika Anda menghitung kamu= konstan, kemudian - fungsi daya dari x, Itu sebabnya
.

Jika sebuah x= konstan, kemudian - fungsi eksponensial dari kamu, dan karenanya
.

Fungsi
ditelepon terdiferensiasi pada suatu titik
jika ada angka TETAPI dan PADA sehingga kenaikannya

fungsi f pada intinya
mewakili dalam bentuk

di mana
pada
.

Bagian utama dari total kenaikan
, linier terhadap
dan
, yaitu
, disebut diferensial penuh fungsi
pada intinya
dan dilambangkan
.

Dengan demikian,

.

Menurut definisi, diferensial dari variabel independen adalah kenaikannya, yaitu
,
.

Fungsi tersebut disebut terdiferensial pada himpunanD, jika terdiferensialkan di setiap titik himpunan D.

Teorema 1. Jika fungsi
terdiferensiasi pada suatu titik
dan

adalah diferensialnya pada titik ini, maka pada titik ini ada turunan parsial dari fungsi f, dan selain itu,

=TETAPI,
=PADA.

Teorema 1 memungkinkan untuk menghitung diferensial fungsi f sesuai dengan rumus

+
.

Menurut Teorema 1, jika suatu fungsi terdiferensial di suatu titik, maka terdapat turunan parsial dari fungsi tersebut di titik tersebut. Kebalikannya tidak benar. Agar suatu fungsi dapat terdiferensialkan, diperlukan kondisi yang lebih kuat daripada keberadaan turunan parsial pada suatu titik.

Teorema 2. Jika turunan parsial
dan
fungsi f ada di beberapa lingkungan titik
dan terus menerus dalam
, maka fungsi f terdiferensiasi pada suatu titik
.

Contoh 6 Hitung turunan parsial dan diferensial dari fungsi
pada titik (1, 1/5).

,

,

,
;

TURUNAN PARSIAL DARI FUNGSI KOMPLEKS

Teorema 3. Biarkan fungsi
dan
didefinisikan di beberapa lingkungan titik
, dan fungsi
didefinisikan di beberapa lingkungan titik.

Jika fungsi f terdiferensiasi pada suatu titik
, dan pada titik
ada turunan
, kemudian pada titik
ada turunan dari fungsi kompleks
, dan

,
.

Contoh 7 Mari kita cari turunan parsial dari fungsi kompleks
, di mana,.

Contoh 8 Mari kita cari turunan dari fungsi kompleks
, di mana
,
. Dalam contoh ini, fungsi x dan kamu bergantung pada satu variabel t, fungsi yang begitu kompleks
adalah fungsi dari satu variabel.

Contoh 9 Biarlah f(kamu) adalah fungsi terdiferensiasi arbitrer. Mari kita buktikan bahwa fungsi
memenuhi persamaan
. Mari kita taruh
.

Karena itu,

DERIVATIF DAN DIFERENSIAL PARSIAL

PESANAN LEBIH TINGGI

Biarkan fungsinya
di sekitar titik
memiliki turunan parsial .

Turunan parsial dari suatu fungsi menurut variabel x ditelepon turunan parsial pesanan kedua menurut variabel x dan dilambangkan atau
.

Turunan parsial menurut variabel kamu ditelepon turunan parsial pesanan kedua berdasarkan variabel x dan kamu dan dilambangkan atau
.

Turunan parsial orde kedua didefinisikan dengan cara yang sama dan (
dan
) sebagai turunan parsial dari fungsi .

Derivatif dan ditelepon turunan parsial campuran.

Teorema 4. Biarkan fungsinya
didefinisikan bersama dengan turunan parsialnya ,,
,
di beberapa lingkungan titik

dan
terus menerus pada titik ini. Maka nilai turunan campuran pada titik ini adalah sama, yaitu

=

.

Turunan parsial dari turunan orde kedua disebut turunan parsial orde ketiga:
dll.

Turunan parsial (berkenaan dengan salah satu variabel independen) dari turunan parsial dari pesanan m-1 disebut turunan parsial dari ordo m.

Teorema 4 juga berlaku untuk turunan campuran dari orde ketiga, keempat dan lebih tinggi. Misalnya, jika fungsi
didefinisikan bersama dengan turunan parsialnya hingga orde 3 inklusif di beberapa lingkungan titik
, dan turunan campuran
,
dan
kontinu pada titik ini, maka nilai turunan campuran pada titik ini adalah:

=

=

.

diferensial orde kedua fungsi dua variabel disebut diferensial dari diferensial orde pertama.

Jika fungsi
terdiferensialkan dua kali secara kontinu di beberapa lingkungan titik
(yaitu ada turunan parsial kontinu dari fungsi f hingga urutan kedua inklusif di sekitar titik
), kemudian

Contoh 10 Mari kita cari turunan orde kedua dari fungsi kompleks yang terdiferensiasi dua kali secara kontinu
, di mana
,
.

,
.

=
,

sama kita menghitung

DERIVATIF DIREKSI. GRADIEN

Biarlah aku - vektor satuan dalam
dengan koordinat
.

Fungsi turunan
menuju vektor aku pada intinya
ditelepon .

Turunan arah dilambangkan

.

gradien fungsi f pada intinya
adalah vektor yang koordinatnya merupakan turunan parsial suatu fungsi di suatu titik:

lulusan f
= (
,
) =
saya +
j.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa turunan terarah aku sama dengan produk skalar dari vektor gradien dan vektor aku:

=

+

=
,

di mana adalah sudut antara vektor lulusan f
dan aku.

Ini mengikuti dari rumus terakhir bahwa turunan sehubungan dengan arah vektor lulusan f
memiliki nilai terbesar di antara turunan dalam berbagai arah dan sama dengan modulus vektor gradien.

Contoh 11. Mari kita cari turunan dari fungsi
pada intinya M(1, 0) dalam arah vektor M N, di mana N (5, 3) .

vektor M N memiliki koordinat (4, 3),
. Jadi vektor satuan aku memiliki koordinat (4/5, 3/5). Hitung turunan parsial di suatu titik M:
,
. Kemudian
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Contoh 12. Mari kita cari turunan dari fungsi
pada titik (2,3) dalam arah vektor gradien pada titik tersebut.

Mari kita hitung turunan parsialnya:

,
.

Turunan dalam arah vektor gradien pada suatu titik sama dengan modulus vektor lulusan f. Karena itu,

BIDANG TANGENT DAN NORMAL KE PERMUKAAN

Untuk diferensial pada suatu titik
fungsi
hubungan berikut ini benar:

di mana
,
(ini mengikuti dari definisi diferensial orde pertama). Kemungkinan TETAPI dan PADA didefinisikan dengan jelas:
=TETAPI,
=PADA.

persamaan

adalah persamaan bidang yang melalui titik
. Pesawat ini disebut bidang singgung ke grafik fungsi
pada intinya
.

Jadi, bidang singgung grafik fungsi
pada suatu titik adalah bidang sedemikian rupa sehingga perbedaan antara aplikasinya dan nilai fungsinya
pada titik ini ada kuantitas yang sangat kecil dibandingkan dengan  pada   0 .

Persamaan normal ke grafik fungsi
pada intinya
memiliki bentuk

Jika persamaan permukaan halus diberikan secara implisit
, maka persamaan bidang singgung di titik
memiliki bentuk

dan persamaan normal pada titik ini adalah:

Contoh 13 Mari kita tulis persamaan bidang singgung dan normal permukaan
pada titik (-2, 1, 4).

,
. Persamaan bidang singgung memiliki bentuk: atau
.

Persamaan biasa: .

FUNGSI EKSTREMA DARI BEBERAPA VARIABEL

Dot
disebut titik maksimum lokal (minimum lokal) fungsi
,
jika ada tetangga dari titik tersebut
, untuk semua titik yang pertidaksamaannya

(
).

Titik maksimum lokal dan minimum lokal dari suatu fungsi disebut titik ekstrem lokal.

Misalnya, titik (0,0) adalah titik minimum dari fungsi
.

Teorema 5 (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem). Jika fungsi
memiliki pada intinya
ekstrem lokal dan pada titik ini ada turunan parsial f, kemudian

=0 dan
=0.

Dot
ditelepon titik stasioner fungsi f, jika
=0 dan
=0.

Teorema 6 (kondisi yang cukup untuk ekstrim). Biarkan fungsinya
terdiferensialkan dua kali secara kontinu di beberapa lingkungan titik stasioner
.

menunjukkan =

- (

) 2 . Kemudian

1) jika > 0, maka pada titik
fungsi f memiliki ekstrem lokal: maksimum at

> 0 dan minimal di

< 0;

2) jika < 0, maka pada titik
fungsi f tidak memiliki ekstrem;

3) jika = 0, maka pada titik
fungsi f mungkin atau mungkin tidak memiliki ekstrem lokal (dalam hal ini, studi tambahan diperlukan).

Contoh 14 Kami menyelidiki fungsi untuk ekstrem

Perhatikan bahwa fungsi kamu terdefinisi dan terdiferensiasikan pada seluruh bidang.
,
. Menyamakan turunan parsial ke nol dan menyelesaikan sistem yang dihasilkan, kami menemukan titik stasioner dari fungsi: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, oleh karena itu, pada titik (1, 2) fungsi memiliki minimum, kamu(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, oleh karena itu, pada titik (-1, -2) fungsi tersebut memiliki maksimum, kamu(-1, -2) = 31.

NILAI FUNGSI TERBESAR DAN MINIMUM

Biarkan fungsinya
kontinu pada himpunan tertutup terbatas D.

Ingatlah bahwa himpunan
ditelepon terbatas jika lingkungan seperti itu ada kamu (0,0) yang
kamu (0.0); sekelompok
ditelepon tertutup jika berisi semua titik limitnya.

Dengan teorema Weierstrass, ada poin seperti itu
dan
, Apa
adalah nilai terbesar dari fungsi pada himpunan D, sebuah
- nilai terkecilnya di set D.

Suatu fungsi yang terdiferensiasi pada suatu daerah berbatas dan kontinu pada batasnya mencapai nilai maksimum dan minimumnya baik pada titik stasioner maupun pada titik batas D.

Contoh 15 Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada himpunan D, dibatasi oleh garis lurus
,
,
.

kamu(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - stasioner

titik fungsi kamu (lihat contoh 14), tetapi (-2,-1),

(-1,-2) bukan milik D.

kamu (2, 1) = -23, kamu (1, 2) = -25.

D Mari kita pelajari perilaku fungsi kamu pada

x tetapkan batas D.

Beras. 5
. Ini adalah fungsi dari satu variabel,

yang mengambil nilai terkecil pada titik
, dan nilai terbesar di titik
:kamu (4,0) = -45, kamu (0,0)= 3;

2)
,
. Pada segmen ini
. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada suatu segmen, kami menghitung nilainya pada titik-titik stasioner dan di ujung segmen:
;
, tetapi
, jadi kita hitung kamu (0,0) = 3, kamu (0,
)= =
, kamu (0,4) = 7. Nilai terbesar ada di titik (0,4), dan nilai terkecil ada di titik (0,
);

3)
,
. Di Sini

Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner dan di ujung segmen: ;; kamu (0,4)= 7, kamu (3/2, 5/2) = -20, kamu (5/2,3/2)= -18, kamu (4.0)=-45. Pada bagian batas ini, nilai fungsi pada titik (0,4) adalah yang terbesar, dan terkecil - pada titik (4,0).

Dari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi yang diperoleh pada poin 1)-3) pada bagian batas yang berbeda dan dari nilai fungsi pada titik stasioner, kami memilih yang terbesar dan terkecil. Nilai tertinggi: kamu (0,4)= 7, nilai terkecil: kamu (4,0)= -45.

Kalkulus baru sebagai suatu sistem diciptakan sepenuhnya oleh Newton, yang, bagaimanapun, tidak mempublikasikan penemuannya untuk waktu yang lama.

Tanggal lahir resmi kalkulus diferensial dapat dianggap Mei, ketika Leibniz menerbitkan artikel pertama "Metode Tinggi dan Rendah Baru...". Artikel ini, dalam bentuk yang ringkas dan tidak dapat diakses, menguraikan prinsip-prinsip metode baru yang disebut kalkulus diferensial.

Leibniz dan murid-muridnya

Definisi ini dijelaskan secara geometris, dengan Gambar. kenaikan sangat kecil digambarkan sebagai terbatas. Pertimbangan didasarkan pada dua persyaratan (aksioma). Pertama:

Diperlukan bahwa dua kuantitas yang berbeda satu sama lain hanya dengan jumlah yang sangat kecil dapat diambil [ketika menyederhanakan ekspresi?] secara acuh tak acuh satu daripada yang lain.

Oleh karena itu ternyata x + dx = x , Lebih jauh

dxkamu = (x + dx)(kamu + dkamu) − xkamu = xdkamu + kamudx + dxdkamu = (x + dx)dkamu + kamudx = xdkamu + kamudx

Kelanjutan dari setiap garis tersebut disebut garis singgung kurva. Menjelajahi garis singgung melalui suatu titik M = (x,kamu) , L'Hopital sangat mementingkan kuantitas

mencapai nilai ekstrim pada titik belok kurva, sedangkan rasio dkamu ke dx tidak ada arti khusus yang dilampirkan.

Menemukan titik ekstrem patut diperhatikan. Jika dengan peningkatan diameter terus menerus x ordinat kamu pertama meningkat dan kemudian menurun, kemudian diferensial dkamu awalnya positif dibandingkan dengan dx dan kemudian negatif.

Tetapi setiap kuantitas yang terus meningkat atau menurun tidak dapat berubah dari positif ke negatif tanpa melewati tak terhingga atau nol ... Oleh karena itu, diferensial dari besaran terbesar dan terkecil harus sama dengan nol atau tak terhingga.

Formulasi ini mungkin tidak sempurna, jika kita mengingat persyaratan pertama: katakanlah, kamu = x 2 , maka berdasarkan persyaratan pertama

2xdx + dx 2 = 2xdx ;

di nol, sisi kanan adalah nol, tetapi sisi kiri tidak. Rupanya seharusnya dikatakan bahwa dkamu dapat ditransformasikan sesuai dengan persyaratan pertama sehingga pada titik maksimum dkamu= 0 . . Dalam contoh, semuanya terbukti dengan sendirinya, dan hanya dalam teori titik belok Lopital menulis itu dkamu sama dengan nol pada titik maksimum ketika dibagi dengan dx .

Selanjutnya, dengan bantuan diferensial saja, kondisi ekstrem dirumuskan dan sejumlah besar masalah kompleks dipertimbangkan, terutama terkait dengan geometri diferensial pada bidang. Di akhir buku, di ch. 10, apa yang sekarang disebut aturan L'Hopital dinyatakan, meskipun tidak dalam bentuk biasanya. Misalkan nilai ordinatnya kamu kurva dinyatakan sebagai pecahan, pembilang dan penyebutnya hilang di x = sebuah. Maka titik kurva dengan x = sebuah memiliki ordinat kamu, sama dengan rasio diferensial pembilang dengan diferensial penyebut, diambil di x = sebuah .

Menurut ide L'Hopital, apa yang dia tulis adalah bagian pertama dari Analisis, sedangkan yang kedua seharusnya berisi kalkulus integral, yaitu, cara untuk menemukan hubungan variabel dengan hubungan diferensial mereka yang diketahui. Eksposisi pertamanya diberikan oleh Johann Bernoulli dalam karyanya Kuliah matematika metode integral. Di sini, sebuah metode diberikan untuk mengambil sebagian besar integral dasar dan metode untuk menyelesaikan banyak persamaan diferensial orde pertama ditunjukkan.

Euler

Perubahan yang terjadi selama setengah abad berikutnya tercermin dalam risalah ekstensif Euler. Presentasi analisis membuka "Pengantar" dua jilid, yang berisi penelitian tentang berbagai representasi fungsi dasar. Istilah "fungsi" pertama kali hanya muncul di Leibniz, tetapi Euler yang mengajukannya ke peran pertama. Interpretasi asli dari konsep fungsi adalah bahwa fungsi adalah ekspresi untuk hitungan (Jerman. Rechnungsausdrϋck) atau ekspresi analitik.

Fungsi besaran variabel adalah ekspresi analitik yang dibuat dengan cara tertentu dari besaran dan bilangan variabel ini atau besaran konstan.

Menekankan bahwa "perbedaan utama antara fungsi terletak pada cara mereka terdiri dari variabel dan konstanta," Euler menyebutkan tindakan "dengan mana kuantitas dapat digabungkan dan dicampur satu sama lain; tindakan ini adalah: penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, eksponensial dan ekstraksi akar; solusi persamaan [aljabar] juga harus disertakan di sini. Selain operasi ini, yang disebut aljabar, ada banyak lainnya, transendental, seperti eksponensial, logaritmik, dan banyak lainnya, yang disampaikan oleh kalkulus integral. Interpretasi semacam itu memungkinkan untuk dengan mudah menangani fungsi multi-nilai dan tidak memerlukan penjelasan tentang bidang mana yang dipertimbangkan fungsi: ekspresi untuk hitungan didefinisikan untuk nilai kompleks variabel bahkan ketika ini tidak diperlukan untuk masalah yang sedang dipertimbangkan.

Operasi dalam suatu ekspresi hanya diperbolehkan dalam jumlah yang terbatas, dan yang transenden menembus dengan bantuan jumlah yang sangat besar. Dalam ekspresi, nomor ini digunakan bersama dengan bilangan asli. Misalnya, ekspresi untuk eksponen seperti itu dianggap valid

di mana hanya penulis kemudian melihat transisi ke batas. Berbagai transformasi dibuat dengan ekspresi analitik, yang memungkinkan Euler untuk menemukan representasi untuk fungsi dasar dalam bentuk deret, produk tak terbatas, dll. Euler mengubah ekspresi untuk menghitung dengan cara yang sama seperti yang mereka lakukan dalam aljabar, tidak memperhatikan kemungkinan menghitung nilai suatu fungsi pada suatu titik untuk masing-masing dari rumus tertulis.

Berbeda dengan L'Hôpital, Euler mempertimbangkan fungsi transendental secara rinci, dan khususnya dua kelas yang paling banyak dipelajari - eksponensial dan trigonometri. Dia menemukan bahwa semua fungsi dasar dapat diekspresikan menggunakan operasi aritmatika dan dua operasi - mengambil logaritma dan eksponen.

Kursus pembuktian dengan sempurna menunjukkan teknik menggunakan yang sangat besar. Setelah menentukan sinus dan kosinus menggunakan lingkaran trigonometri, Euler menyimpulkan berikut ini dari rumus penjumlahan:

Dengan asumsi dan z = nx , ia mendapatkan

membuang nilai-nilai yang sangat kecil dari tatanan yang lebih tinggi. Menggunakan ini dan ekspresi yang serupa, Euler juga mendapatkan formulanya yang terkenal

Setelah menunjukkan berbagai ekspresi untuk fungsi yang sekarang disebut elementer, Euler melanjutkan untuk mempertimbangkan kurva pada bidang, yang digambar dengan gerakan tangan yang bebas. Menurutnya, tidak mungkin menemukan ekspresi analitik tunggal untuk setiap kurva seperti itu (lihat juga Kontroversi String). Pada abad ke-19, atas saran Casorati, pernyataan ini dianggap salah: menurut teorema Weierstrass, setiap kurva kontinu dalam pengertian modern dapat digambarkan secara kira-kira oleh polinomial. Faktanya, Euler hampir tidak yakin dengan hal ini, karena perjalanan ke batas juga harus ditulis ulang menggunakan simbol .

Presentasi Euler tentang kalkulus diferensial dimulai dengan teori perbedaan hingga, diikuti dalam bab ketiga dengan penjelasan filosofis bahwa "kuantitas sangat kecil persis nol", yang sebagian besar tidak sesuai dengan orang-orang sezaman Euler. Kemudian, diferensial dibentuk dari perbedaan hingga dengan kenaikan yang sangat kecil, dan dari rumus interpolasi Newton, rumus Taylor. Metode ini pada dasarnya kembali ke karya Taylor (1715). Dalam hal ini, Euler memiliki rasio stabil , yang, bagaimanapun, dianggap sebagai rasio dua sangat kecil. Bab terakhir dikhususkan untuk perkiraan perhitungan menggunakan seri.

Dalam kalkulus integral tiga volume, Euler menafsirkan dan memperkenalkan konsep integral sebagai berikut:

Fungsi yang diferensialnya = Xdx, disebut integralnya dan dilambangkan dengan tanda S ditempatkan di depan.

Secara keseluruhan, bagian dari risalah Euler ini dikhususkan untuk masalah yang lebih umum dalam mengintegrasikan persamaan diferensial dari sudut pandang modern. Dalam melakukannya, Euler menemukan sejumlah integral dan persamaan diferensial yang mengarah ke fungsi baru, misalnya, -fungsi, fungsi elips, dll. Bukti yang ketat dari non-elementaritas mereka diberikan pada tahun 1830-an oleh Jacobi untuk fungsi eliptik dan oleh Liouville (lih. fungsi dasar).

Lagrange

Karya besar berikutnya, yang memainkan peran penting dalam pengembangan konsep analisis, adalah Teori fungsi analitik Lagrange dan penceritaan kembali karya Lagrange yang ekstensif, dilakukan oleh Lacroix dengan cara yang agak eklektik.

Ingin menyingkirkan yang sangat kecil sama sekali, Lagrange membalikkan hubungan antara turunan dan deret Taylor. Dengan fungsi analitik, Lagrange memahami fungsi arbitrer yang diselidiki dengan metode analisis. Dia mendefinisikan fungsinya sebagai f(x), memberikan cara grafis untuk menulis ketergantungan - sebelumnya, Euler hanya mengelola variabel. Untuk menerapkan metode analisis, menurut Lagrange, perlu bahwa fungsi diekspansi menjadi deret

yang koefisiennya akan menjadi fungsi baru x. Itu tetap untuk nama p turunan (koefisien diferensial) dan menyatakannya sebagai f"(x) . Dengan demikian, konsep turunan diperkenalkan pada halaman kedua risalah dan tanpa bantuan infinitesimals. Perlu dicatat bahwa

jadi koefisiennya q adalah turunan ganda dari turunan f(x), yaitu

dll.

Pendekatan interpretasi konsep turunan ini digunakan dalam aljabar modern dan menjadi dasar pembuatan teori fungsi analitik Weierstrass.

Lagrange beroperasi pada deret seperti formal dan memperoleh sejumlah teorema yang luar biasa. Secara khusus, untuk pertama kalinya dan dengan cukup teliti ia membuktikan solvabilitas masalah awal untuk persamaan diferensial biasa dalam deret pangkat formal.

Pertanyaan menaksir akurasi aproksimasi yang diberikan oleh jumlah parsial deret Taylor pertama kali diajukan oleh Lagrange: pada akhirnya Teori fungsi analitik dia menurunkan apa yang sekarang disebut rumus sisa Lagrange Taylor. Namun, berbeda dengan penulis modern, Lagrange tidak melihat kebutuhan untuk menggunakan hasil ini untuk membenarkan konvergensi deret Taylor.

Pertanyaan apakah fungsi yang digunakan dalam analisis benar-benar dapat diperluas menjadi deret pangkat kemudian menjadi bahan diskusi. Tentu saja, Lagrange tahu bahwa pada beberapa titik fungsi dasar mungkin tidak berkembang menjadi deret pangkat, tetapi pada titik ini mereka sama sekali tidak dapat dibedakan. Koshy dalam karyanya Analisis aljabar berikan sebagai contoh tandingan fungsi

diperpanjang oleh nol pada nol. Fungsi ini di mana-mana mulus pada sumbu nyata dan memiliki nol deret Maclaurin di nol, yang, oleh karena itu, tidak konvergen ke nilai f(x) . Terhadap contoh ini, Poisson berkeberatan bahwa Lagrange mendefinisikan fungsi sebagai ekspresi analitik tunggal, sedangkan dalam contoh Cauchy fungsi diberikan secara berbeda pada nol dan pada . Baru pada akhir abad ke-19 Pringsheim membuktikan bahwa ada fungsi terdiferensiasi tak terhingga yang diberikan oleh satu ekspresi di mana deret Maclaurin divergen. Contoh dari fungsi tersebut memberikan ekspresi

Pengembangan lebih lanjut

Bibliografi

Sastra pendidikan

Buku teks standar

Selama bertahun-tahun, buku teks berikut telah populer di Rusia:

Kudryavtsev, L.D. , Kursus analisis matematika (dalam tiga volume).

T. 1. Kalkulus diferensial dan integral fungsi satu variabel. T. 2. Baris. Kalkulus diferensial dan integral fungsi beberapa variabel. V. 3. Analisis harmonik. Elemen analisis fungsional. Perhatian khusus dalam buku teks diberikan pada penyajian metode kualitatif dan analitis; itu juga mencerminkan beberapa aplikasi analisis geometris. Ini ditujukan untuk mahasiswa universitas dan spesialisasi fisika dan matematika, dan teknik dan fisik universitas teknik, serta siswa dari spesialisasi lain untuk pelatihan matematika yang mendalam.

Courant, R. (dalam dua volume). Temuan metodologis utama kursus: pertama, gagasan utama dinyatakan secara sederhana, dan kemudian mereka diberikan bukti yang kuat. Ditulis oleh Courant ketika dia menjadi profesor di Universitas Göttingen pada 1920-an di bawah pengaruh ide-ide Klein, kemudian dipindahkan ke tanah Amerika pada 1930-an. Terjemahan Rusia tahun 1934 dan pencetakan ulangnya memberikan teks menurut edisi Jerman, terjemahan tahun 1960-an (yang disebut edisi ke-4) adalah kompilasi dari buku teks versi Jerman dan Amerika dan oleh karena itu sangat bertele-tele.
Fikhtengolts, Grigory Mikhailovich. Kursus kalkulus diferensial dan integral(dalam tiga volume) // Mat. analisis di EqWorld adalah tutorial yang sangat bagus tapi agak kuno.

dan buku masalah

Demidovich, B.P., Kumpulan soal dan latihan dalam analisis matematis// Tikar. analisis di EqWorld

Ada beberapa publikasi yang mengklaim peran Anti-Demidovich:

Lyashko I. I. dan lainnya. Referensi manual untuk matematika yang lebih tinggi. v.1-5

Sebagian besar universitas memiliki pedoman analisis mereka sendiri:

Universitas Negeri Moskow, mekhmat:

Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Kuliah tentang Matematika. analisis.
Zorich V.A. Analisis matematika. Bagian I. M.: Nauka, 1981. 544 hal.
Zorich V.A. Analisis matematika. Bagian II. M.: Nauka, 1984. 640 hal.

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Analisis Matematika (dalam dua bagian)

Universitas Negeri Moskow, Fakultas Fisika:

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Dasar-dasar Kalkulus (dalam dua bagian) // http://lib.homelinux.org.
Butuzov V.F. dan lainnya. Tikar. analisis dalam pertanyaan dan masalah // http://lib.homelinux.org.

MTU.Bauman:

Matematika di Universitas Teknik Koleksi alat peraga dalam 21 jilid.

NSU, mekhmat:

Reshetnyak Yu.G. Kursus analisis matematika. Bagian I. Buku 1. Pengantar Analisis Matematika. Kalkulus diferensial fungsi satu variabel. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 1999. 454 hal.ISBN 5-86134-066-8.
Reshetnyak Yu.G. Kursus analisis matematika. Bagian I. Buku 2. Kalkulus integral fungsi satu variabel. Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 1999. 512 hal.ISBN 5-86134-067-6.
Reshetnyak Yu.G. Kursus analisis matematika. Bagian II. Buku 1. Dasar-dasar analisis halus dalam ruang multidimensi. Teori baris. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 2000. 440 hal.ISBN 5-86134-086-2.
Reshetnyak Yu.G. Kursus analisis matematika. Bagian II. Buku 2. Kalkulus integral fungsi banyak variabel. Kalkulus integral pada manifold. Bentuk diferensial eksternal. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 2001. 444 hal.ISBN 5-86134-089-7.
Shvedov I.A. Kursus ringkas analisis matematika, Bagian 1. Fungsi satu variabel, Bagian 2. Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel.

Fiztekh, Moskow

Kudryavtsev L. D. Kursus analisis matematika (dalam tiga volume)

Buku teks tingkat lanjut

Tutorial:

Rudin W. Dasar-dasar analisis matematika. M., 1976 - sebuah buku kecil, ditulis dengan sangat jelas dan ringkas.

Tugas dengan kompleksitas yang meningkat:

G.Polia, G.Sege, Masalah dan teorema dari analisis. Bagian 1, Bagian 2, 1978
Pascal, E.(Napoli). Esercizii, 1895; 2nd ed., 1909 // Arsip Internet

Buku referensi

karya klasik

modal. Analisis infinitesimal // Matematika. analisis di EqWorld
Bernuli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
Euler. Pengantar Analisis, Kalkulus Diferensial, Kalkulus Integral //Mat. analisis di EqWorld (Volume 2 Pengantar Analisis disimpan dengan kesalahan)
Cauchy Ringkasan pelajaran kalkulus diferensial dan integral //Mat. analisis di EqWorld
Badai. Kursus analisis. T.1,2 - Kursus klasik sekolah politeknik Paris tahun 1830-an.
Gursa E. Matras kursus. analisis. T. 1.1, 1.2 // Matematika. analisis di EqWorld

Buku sejarah

Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematika. 4 volume, Göttingen, 1796-1800
Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der matematika Leipzig: B.G. Teubner, - . bd. 1 , Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
Sejarah matematika, diedit oleh A. P. Yushkevich (dalam tiga volume):

Markushevich AI Esai tentang sejarah teori fungsi analitik. 1951
Vileitner G. Sejarah matematika dari Descartes hingga pertengahan abad ke-19. 1960
Buku teks Rusia pertama tentang tikar. analisis: M.E. Vashchenko-Zakharchenko, Analisis Aljabar atau Aljabar Tinggi. 1887