Kuliah 6. Penerapan turunan untuk mempelajari fungsi

Jika fungsinya F(X) mempunyai turunan pada setiap titik ruas [ A, B], maka perilakunya dapat dipelajari dengan menggunakan turunannya F"(X).

Mari kita lihat teorema dasar kalkulus diferensial yang mendasari penerapan turunan.

teorema Fermat

Dalil(Peternakan) ( tentang persamaan turunan dengan nol ). Jika fungsi f(X), terdiferensiasi pada intervalnya (A, B) dan mencapai nilai terbesar atau terkecilnya di titik c є ( A, B), maka turunan fungsi pada titik ini adalah nol, yaitu. F"(Dengan) = 0.

Bukti. Biarkan fungsinya F(X) terdiferensialkan pada interval ( A, B) dan pada intinya X = Dengan mengambil nilai terbesar M pada Dengan є ( A, B) (Gbr. 1), mis.

F(Dengan) ≥ F(X) atau F(X) – F(C) ≤ 0 atau F(s+Δ X) – F(Dengan) ≤ 0.

Turunan F"(X) pada titik X = Dengan: .

Jika X> C, Δ X> 0 (yaitu Δ X→ 0 di sebelah kanan titik Dengan), Itu dan maka dari itu F"(Dengan) ≤ 0.

Jika X< с , Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 di sebelah kiri titik Dengan), Itu , dari situlah berikut ini F"(Dengan) ≥ 0.

Dengan syarat F(X) dapat dibedakan pada intinya Dengan, oleh karena itu, batasnya di X→ Dengan tidak bergantung pada pilihan arah pendekatan argumentasi X ke titik Dengan, yaitu. .

Kami memperoleh sistem yang mengikutinya F"(Dengan) = 0.

Dalam hal F(Dengan) = T(itu. F(X) tepat sasaran Dengan nilai terkecil), buktinya serupa. Teorema tersebut telah terbukti.

Arti geometris dari teorema Fermat: pada titik nilai terbesar atau terkecil yang dicapai dalam interval tersebut, garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan sumbu x.

Mengajukan FERMA-KDVar © N.M.Koziy, 2008

Sertifikat Ukraina No.27312

BUKTI SINGKAT Teorema Terakhir FERmat

Teorema Terakhir Fermat dirumuskan sebagai berikut: Persamaan Diophantine (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

A N + B N = C N * /1/

Di mana N- bilangan bulat positif yang lebih besar dari dua tidak mempunyai solusi dalam bilangan bulat positif A , B , DENGAN .

BUKTI

Dari rumusan Teorema Terakhir Fermat sebagai berikut: jika N adalah bilangan bulat positif lebih besar dari dua, maka dengan syarat dua dari tiga bilangan tersebut A , DI DALAM atau DENGAN- bilangan bulat positif, salah satu bilangan tersebut bukan bilangan bulat positif.

Kami membangun pembuktian berdasarkan teorema dasar aritmatika, yang disebut “teorema faktorisasi unik” atau “teorema keunikan faktorisasi bilangan bulat komposit.” Eksponen ganjil dan genap dimungkinkan N . Mari kita pertimbangkan kedua kasus tersebut.

1. Kasus satu: eksponen N - angka ganjil.

Dalam hal ini, ekspresi /1/ ditransformasikan menurut rumus yang diketahui sebagai berikut:

A N + DI DALAM N = DENGAN N /2/

kami percaya itu A Dan B– bilangan bulat positif.

Angka A , DI DALAM Dan DENGAN harus saling bilangan prima.

Dari persamaan /2/ berikut ini untuk nilai bilangan tertentu A Dan B faktor ( A + B ) N , DENGAN.

Anggap saja nomor tersebut DENGAN - bilangan bulat positif. Dengan mempertimbangkan kondisi yang diterima dan teorema dasar aritmatika, kondisi tersebut harus dipenuhi :

DENGAN N = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

dimana faktornya Dn D

Dari persamaan /3/ sebagai berikut:

Dari persamaan /3/ juga diperoleh bilangan [ Cn = Sebuah + Bn ] asalkan nomornya DENGAN ( A + B ) N. Namun diketahui bahwa:

Sebuah + Bn < ( A + B ) N /5/

Karena itu:

- bilangan pecahan kurang dari satu. /6/

Bilangan pecahan.

N

Untuk eksponen ganjil N >2 nomor:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Dari analisis persamaan /2/ diperoleh eksponen ganjil N nomor:

DENGAN N = A N + DI DALAM N = (A+B)

terdiri dari dua faktor aljabar tertentu, dan untuk nilai eksponen apa pun N faktor aljabar tetap tidak berubah ( A + B ).

Jadi, Teorema Terakhir Fermat tidak mempunyai solusi dalam bilangan bulat positif untuk eksponen ganjil N >2.

2. Kasus kedua: eksponen N - bilangan genap .

Inti dari teorema terakhir Fermat tidak akan berubah jika kita menulis ulang persamaan /1/ sebagai berikut:

Sebuah = Cn - Bn /7/

Dalam hal ini, persamaan /7/ ditransformasikan sebagai berikut:

A n = C n - B n = ( DENGAN +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Kami menerimanya DENGAN Dan DI DALAM- bilangan bulat.

Dari persamaan /8/ berikut ini untuk nilai bilangan tertentu B Dan C faktor (C+ B ) mempunyai nilai yang sama untuk setiap nilai eksponennya N , oleh karena itu merupakan pembagi bilangan tersebut A .

Anggap saja nomor tersebut A– bilangan bulat. Dengan mempertimbangkan kondisi yang diterima dan teorema dasar aritmatika, kondisi tersebut harus dipenuhi :

A N = C N - Bn =(C+ B ) N ∙ Dn , / 9/

dimana faktornya Dn harus bilangan bulat dan karena itu angkanya D juga harus bilangan bulat.

Dari persamaan /9/ sebagai berikut:

/10/

Dari persamaan /9/ juga diperoleh bilangan [ A N = DENGAN N - Bn ] asalkan nomornya A– bilangan bulat, harus habis dibagi suatu bilangan (C+ B ) N. Namun diketahui bahwa:

DENGAN N - Bn < (С+ B ) N /11/

Karena itu:

- bilangan pecahan kurang dari satu. /12/

Bilangan pecahan.

Oleh karena itu untuk nilai eksponen ganjil N persamaan /1/ teorema terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Untuk eksponen genap N >2 nomor:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Jadi, teorema terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif dan eksponen genap N >2.

Kesimpulan umum berikut ini: persamaan /1/ dari teorema terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif A, B Dan DENGAN asalkan eksponen n >2.

DASAR TAMBAHAN

Dalam kasus dimana eksponen N – bilangan genap, ekspresi aljabar ( Cn - Bn ) terurai menjadi faktor aljabar:

C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Mari kita beri contoh dalam angka.

CONTOH 1: B=11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

CONTOH 2: B=16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Dari analisis persamaan /13/, /14/, /15/ dan /16/ serta contoh numerik yang sesuai adalah sebagai berikut:

Untuk eksponen tertentu N , jika bilangan genap, maka bilangan tersebut A N = C N - Bn terurai menjadi sejumlah faktor aljabar yang terdefinisi dengan baik;

Untuk eksponen apa pun N , jika bilangan genap, dalam ekspresi aljabar ( Cn - Bn ) selalu ada pengganda ( C - B ) Dan ( C + B ) ;

Setiap faktor aljabar berhubungan dengan faktor numerik yang pasti;

Untuk nomor tertentu DI DALAM Dan DENGAN faktor numerik dapat berupa bilangan prima atau faktor numerik komposit;

Setiap faktor bilangan komposit merupakan hasil kali bilangan prima yang sebagian atau seluruhnya tidak ada pada faktor bilangan komposit lainnya;

Besar kecilnya bilangan prima dalam komposisi faktor bilangan komposit meningkat seiring dengan bertambahnya faktor tersebut;

Faktor numerik komposit terbesar yang sesuai dengan faktor aljabar terbesar mencakup bilangan prima terbesar hingga pangkat lebih kecil dari eksponen N(paling sering pada tingkat pertama).

KESIMPULAN: Bukti tambahan mendukung kesimpulan bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

insinyur mekanik

Dilihat dari popularitas pertanyaan "Teorema Fermat - bukti singkat" soal matematika ini sangat menarik minat banyak orang. Teorema ini pertama kali dikemukakan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637 di tepi salinan Aritmatika, di mana ia menyatakan bahwa ia mempunyai solusi yang terlalu besar untuk muat di tepinya.

Bukti sukses pertama diterbitkan pada tahun 1995, bukti lengkap teorema Fermat oleh Andrew Wiles. Hal ini digambarkan sebagai "kemajuan yang menakjubkan" dan membuat Wiles menerima Hadiah Abel pada tahun 2016. Meskipun dijelaskan secara relatif singkat, pembuktian teorema Fermat juga membuktikan sebagian besar teorema modularitas dan membuka pendekatan baru terhadap berbagai masalah lain dan metode efektif untuk meningkatkan modularitas. Prestasi ini memajukan matematika 100 tahun. Pembuktian teorema kecil Fermat bukanlah sesuatu yang luar biasa saat ini.

Masalah yang belum terpecahkan tersebut mendorong berkembangnya teori bilangan aljabar pada abad ke-19 dan pencarian bukti teorema modularitas pada abad ke-20. Ini adalah salah satu teorema yang paling menonjol dalam sejarah matematika dan, sebelum teorema terakhir Fermat dibuktikan secara lengkap dengan pembagian, teorema ini dimasukkan dalam Guinness Book of Records sebagai "masalah matematika tersulit", salah satu cirinya adalah bahwa ia memiliki jumlah bukti gagal terbesar.

Referensi sejarah

Persamaan Pythagoras x 2 + y 2 = z 2 memiliki solusi bilangan bulat positif yang tak terhingga untuk x, y dan z. Solusi ini dikenal sebagai trinitas Pythagoras. Sekitar tahun 1637, Fermat menulis di pinggir buku bahwa persamaan yang lebih umum a n + b n = c n tidak mempunyai solusi dalam bilangan asli jika n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 2. Meskipun Fermat sendiri mengaku mempunyai solusi untuk masalahnya, dia melakukannya tidak meninggalkan rincian tentang buktinya. Bukti dasar teorema Fermat, yang dinyatakan oleh penciptanya, lebih merupakan penemuannya yang sombong. Buku ahli matematika besar Perancis ditemukan 30 tahun setelah kematiannya. Persamaan ini, yang disebut Teorema Terakhir Fermat, masih belum terpecahkan dalam matematika selama tiga setengah abad.

Teorema ini akhirnya menjadi salah satu masalah paling menonjol yang belum terpecahkan dalam matematika. Upaya untuk membuktikan hal ini memicu perkembangan signifikan dalam teori bilangan, dan seiring berjalannya waktu, Teorema Terakhir Fermat dikenal sebagai masalah yang belum terpecahkan dalam matematika.

Sejarah singkat bukti

Jika n = 4, seperti yang dibuktikan Fermat sendiri, cukup untuk membuktikan teorema indeks n yang merupakan bilangan prima. Selama dua abad berikutnya (1637-1839) dugaan tersebut hanya terbukti untuk bilangan prima 3, 5 dan 7, meskipun Sophie Germain memperbarui dan membuktikan pendekatan yang diterapkan pada seluruh kelas bilangan prima. Pada pertengahan abad ke-19, Ernst Kummer memperluas hal ini dan membuktikan teorema untuk semua bilangan prima beraturan, menyebabkan bilangan prima tak beraturan dianalisis satu per satu. Berdasarkan karya Kummer dan menggunakan penelitian komputer yang canggih, ahli matematika lain mampu memperluas solusi teorema tersebut, dengan tujuan mencakup semua eksponen utama hingga empat juta, namun bukti untuk semua eksponen masih belum tersedia (artinya ahli matematika umumnya mempertimbangkan solusinya dengan teorema tidak mungkin, sangat sulit, atau tidak dapat dicapai dengan pengetahuan saat ini).

Karya Shimura dan Taniyama

Pada tahun 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama menduga ada hubungan antara kurva elips dan bentuk modular, dua bidang matematika yang sangat berbeda. Dikenal pada saat itu sebagai dugaan Taniyama-Shimura-Weil dan (akhirnya) sebagai teorema modularitas, teorema ini berdiri sendiri, tanpa ada hubungan yang jelas dengan teorema terakhir Fermat. Teorema ini secara luas dianggap sebagai teorema matematika yang penting, namun dianggap (seperti teorema Fermat) tidak mungkin dibuktikan. Pada saat yang sama, pembuktian teorema besar Fermat (dengan metode pembagian dan penggunaan rumus matematika yang kompleks) baru dilakukan setengah abad kemudian.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey melihat adanya hubungan yang jelas antara dua masalah yang sebelumnya tidak berhubungan dan belum terselesaikan ini. Bukti lengkap bahwa kedua teorema tersebut berkaitan erat diterbitkan pada tahun 1986 oleh Ken Ribet, yang membangun bukti parsial oleh Jean-Pierre Serres, yang membuktikan semua kecuali satu bagian, yang dikenal sebagai "dugaan epsilon". Sederhananya, karya Frey, Serres, dan Ribe ini menunjukkan bahwa jika teorema modularitas dapat dibuktikan setidaknya untuk kelas kurva elips semistabil, maka bukti teorema terakhir Fermat juga akan ditemukan cepat atau lambat. Solusi apa pun yang bertentangan dengan teorema terakhir Fermat juga dapat digunakan untuk bertentangan dengan teorema modularitas. Oleh karena itu, jika teorema modularitas ternyata benar, maka menurut definisi tidak mungkin ada solusi yang bertentangan dengan teorema terakhir Fermat, yang berarti teorema tersebut harus segera dibuktikan.

Meskipun kedua teorema tersebut merupakan soal sulit dalam matematika, dianggap tidak dapat dipecahkan, karya kedua orang Jepang tersebut merupakan saran pertama tentang bagaimana teorema terakhir Fermat dapat diperluas dan dibuktikan untuk semua bilangan, bukan hanya sebagian. Penting bagi para peneliti yang memilih topik penelitian adalah kenyataan bahwa, tidak seperti teorema terakhir Fermat, teorema modularitas adalah bidang penelitian aktif utama yang buktinya telah dikembangkan, dan bukan hanya keanehan sejarah, sehingga waktu yang dihabiskan mengerjakannya dapat dibenarkan dari sudut pandang profesional. Namun, konsensus umum adalah bahwa penyelesaian dugaan Taniyama-Shimura tidaklah praktis.

Teorema Terakhir Fermat: Bukti Wiles

Setelah mengetahui bahwa Ribet telah membuktikan kebenaran teori Frey, matematikawan Inggris Andrew Wiles, yang telah tertarik dengan teorema terakhir Fermat sejak kecil dan memiliki pengalaman bekerja dengan kurva elips dan bidang terkait, memutuskan untuk mencoba membuktikan dugaan Taniyama-Shimura sebagai cara untuk membuktikan kebenaran teori Frey. buktikan teorema terakhir Fermat. Pada tahun 1993, enam tahun setelah mengumumkan tujuannya, saat diam-diam mengerjakan masalah penyelesaian teorema, Wiles berhasil membuktikan dugaan terkait, yang pada gilirannya akan membantunya membuktikan teorema terakhir Fermat. Dokumen Wiles sangat besar ukuran dan cakupannya.

Cacat tersebut ditemukan di salah satu bagian makalah aslinya selama tinjauan sejawat dan memerlukan satu tahun lagi kolaborasi dengan Richard Taylor untuk bersama-sama memecahkan teorema tersebut. Akibatnya, bukti akhir Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat tidak lama lagi akan datang. Pada tahun 1995, ia diterbitkan dalam skala yang jauh lebih kecil daripada karya matematika Wiles sebelumnya, dengan jelas menunjukkan bahwa ia tidak salah dalam kesimpulan sebelumnya tentang kemungkinan pembuktian teorema tersebut. Prestasi Wiles diberitakan secara luas di media populer dan dipopulerkan dalam buku dan program televisi. Bagian sisa dugaan Taniyama-Shimura-Weil, yang kini telah dibuktikan dan dikenal sebagai teorema modularitas, kemudian dibuktikan oleh ahli matematika lain yang mengembangkan karya Wiles antara tahun 1996 dan 2001. Atas prestasinya, Wiles mendapat kehormatan dan menerima berbagai penghargaan, termasuk Abel Prize 2016.

Bukti Wiles terhadap teorema terakhir Fermat adalah kasus khusus dari solusi teorema modularitas untuk kurva elips. Namun, ini adalah kasus paling terkenal dari operasi matematika berskala besar. Bersamaan dengan penyelesaian teorema Ribet, matematikawan asal Inggris tersebut juga memperoleh bukti teorema terakhir Fermat. Teorema Terakhir Fermat dan Teorema Modularitas hampir secara universal dianggap tidak dapat dibuktikan oleh ahli matematika modern, namun Andrew Wiles mampu membuktikan kepada seluruh dunia ilmiah bahwa bahkan para pakar pun bisa salah.

Wiles pertama kali mengumumkan penemuannya pada hari Rabu tanggal 23 Juni 1993 dalam kuliah di Cambridge bertajuk "Bentuk Modular, Kurva Elliptik, dan Representasi Galois". Namun, pada bulan September 1993 diketahui bahwa perhitungannya mengandung kesalahan. Setahun kemudian, pada tanggal 19 September 1994, dalam apa yang dia sebut sebagai "momen paling penting dalam kehidupan kerjanya", Wiles menemukan sebuah wahyu yang memungkinkan dia untuk memperbaiki solusi terhadap masalah tersebut hingga pada titik di mana solusi tersebut dapat memenuhi perhitungan matematika. masyarakat.

Karakteristik pekerjaan

Pembuktian teorema Fermat oleh Andrew Wiles menggunakan banyak teknik dari geometri aljabar dan teori bilangan dan memiliki banyak konsekuensi dalam bidang matematika ini. Dia juga menggunakan konstruksi standar geometri aljabar modern, seperti kategori skema dan teori Iwasawa, serta metode abad ke-20 lainnya yang tidak tersedia bagi Pierre Fermat.

Kedua pasal yang memuat bukti tersebut berjumlah 129 halaman dan ditulis selama tujuh tahun. John Coates menggambarkan penemuan ini sebagai salah satu pencapaian terbesar teori bilangan, dan John Conway menyebutnya sebagai pencapaian matematika utama abad ke-20. Wiles, untuk membuktikan teorema terakhir Fermat dengan membuktikan teorema modularitas untuk kasus khusus kurva elips semistabil, mengembangkan metode ampuh untuk menghilangkan modularitas dan menemukan pendekatan baru untuk banyak masalah lainnya. Untuk memecahkan teorema terakhir Fermat dia dianugerahi gelar kebangsawanan dan menerima penghargaan lainnya. Ketika diumumkan bahwa Wiles telah memenangkan Hadiah Abel, Akademi Ilmu Pengetahuan Norwegia menggambarkan pencapaiannya sebagai "bukti yang luar biasa dan mendasar dari teorema terakhir Fermat."

Bagaimana keadaannya

Salah satu orang yang menganalisis naskah asli solusi teorema Wiles adalah Nick Katz. Selama peninjauannya, dia menanyakan serangkaian pertanyaan klarifikasi kepada warga Inggris, yang memaksa Wiles untuk mengakui bahwa karyanya jelas-jelas mengandung celah. Ada kesalahan dalam satu bagian penting dari bukti yang memberikan perkiraan urutan kelompok tertentu: sistem Euler yang digunakan untuk memperluas metode Kolyvagin dan Flach tidak lengkap. Namun kesalahan tersebut tidak membuat karyanya tidak berguna - setiap bagian dari karya Wiles sangat signifikan dan inovatif, begitu pula banyak perkembangan dan metode yang ia ciptakan selama karyanya dan yang hanya memengaruhi satu bagian saja. naskah itu. Namun karya asli yang diterbitkan pada tahun 1993 ini sebenarnya tidak memberikan bukti Teorema Terakhir Fermat.

Wiles menghabiskan hampir satu tahun mencoba menemukan kembali solusi teorema tersebut, pertama sendirian dan kemudian bekerja sama dengan mantan muridnya Richard Taylor, tetapi semuanya tampak sia-sia. Pada akhir tahun 1993, rumor menyebar bahwa bukti Wiles telah gagal dalam pengujian, namun seberapa serius kegagalan tersebut tidak diketahui. Para ahli matematika mulai memberikan tekanan kepada Wiles untuk mengungkap detail karyanya, baik sudah selesai atau belum, sehingga komunitas matematikawan yang lebih luas dapat mengeksplorasi dan menggunakan semua yang telah ia capai. Alih-alih segera memperbaiki kesalahannya, Wiles malah menemukan kerumitan tambahan dalam pembuktian teorema terakhir Fermat, dan akhirnya menyadari betapa sulitnya hal itu.

Wiles menyatakan bahwa pada pagi hari tanggal 19 September 1994, dia hampir menyerah dan menyerah, dan hampir pasrah pada kenyataan bahwa dia telah gagal. Dia bersedia mempublikasikan karyanya yang belum selesai sehingga orang lain dapat mengembangkannya dan menemukan kesalahannya. Matematikawan Inggris memutuskan untuk memberikan dirinya satu kesempatan terakhir dan menganalisis teorema tersebut untuk terakhir kalinya untuk mencoba memahami alasan utama mengapa pendekatannya tidak berhasil, ketika dia tiba-tiba menyadari bahwa pendekatan Kolyvagin-Flac tidak akan berhasil sampai dia juga memasukkan bukti dalam proses teori Iwasawa, membuatnya berhasil.

Pada tanggal 6 Oktober, Wiles meminta tiga rekannya (termasuk Faltins) untuk meninjau karya barunya, dan pada tanggal 24 Oktober 1994, ia menyerahkan dua manuskrip, "Kurva elips modular dan teorema terakhir Fermat" dan "Sifat teoretis dari gelanggang beberapa aljabar Hecke ", bagian kedua yang ditulis Wiles bersama Taylor dan menyatakan bahwa kondisi tertentu yang diperlukan untuk membenarkan langkah koreksi dalam artikel utama telah terpenuhi.

Kedua makalah ini ditinjau dan akhirnya diterbitkan sebagai edisi teks lengkap dalam Annals of Mathematics edisi Mei 1995. Perhitungan baru Andrew dianalisis secara luas dan akhirnya diterima oleh komunitas ilmiah. Karya-karya ini menetapkan teorema modularitas untuk kurva elips semistabil, langkah terakhir menuju pembuktian Teorema Terakhir Fermat, 358 tahun setelah teorema tersebut dibuat.

Sejarah Masalah Besar

Pemecahan teorema ini telah dianggap sebagai masalah terbesar dalam matematika selama berabad-abad. Pada tahun 1816 dan sekali lagi pada tahun 1850, Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis menawarkan hadiah untuk pembuktian umum Teorema Terakhir Fermat. Pada tahun 1857, Akademi memberikan 3.000 franc dan medali emas kepada Kummer atas penelitiannya mengenai angka ideal, meskipun ia tidak mengajukan permohonan untuk mendapatkan hadiah tersebut. Hadiah lain ditawarkan kepadanya pada tahun 1883 oleh Akademi Brussel.

Hadiah Wolfskehl

Pada tahun 1908, industrialis dan matematikawan amatir Jerman Paul Wolfskehl mewariskan 100.000 tanda emas (jumlah yang besar pada saat itu) kepada Akademi Ilmu Pengetahuan Göttingen sebagai hadiah atas bukti lengkap Teorema Terakhir Fermat. Pada tanggal 27 Juni 1908, Akademi menerbitkan sembilan aturan penghargaan. Aturan-aturan ini antara lain mengharuskan publikasi bukti dalam jurnal yang ditinjau oleh rekan sejawat. Hadiah tersebut tidak akan diberikan sampai dua tahun setelah publikasi. Kompetisi ini akan berakhir pada 13 September 2007 - kira-kira satu abad setelah dimulainya. Pada tanggal 27 Juni 1997, Wiles menerima hadiah uang Wolfschel dan $50.000 lainnya. Pada bulan Maret 2016, ia menerima €600.000 dari pemerintah Norwegia sebagai bagian dari Hadiah Abel atas "bukti menakjubkan teorema terakhir Fermat yang menggunakan dugaan modularitas untuk kurva elips semistabil, membuka era baru dalam teori bilangan." Itu adalah kemenangan dunia bagi orang Inggris yang rendah hati.

Sebelum pembuktian Wiles, teorema Fermat, seperti disebutkan sebelumnya, dianggap tidak dapat dipecahkan selama berabad-abad. Ribuan bukti yang tidak benar diserahkan kepada komite Wolfskehl di berbagai waktu, yang berjumlah sekitar 10 kaki (3 meter) korespondensi. Pada tahun pertama keberadaan hadiah itu saja (1907-1908), 621 lamaran diajukan dengan klaim dapat menyelesaikan teorema tersebut, meskipun pada tahun 1970-an jumlah ini menurun menjadi sekitar 3-4 lamaran per bulan. Menurut F. Schlichting, pengulas Wolfschel, sebagian besar bukti didasarkan pada metode dasar yang diajarkan di sekolah dan sering kali disajikan oleh "orang-orang dengan latar belakang teknis tetapi kariernya gagal". Menurut sejarawan matematika Howard Aves, teorema terakhir Fermat mencetak semacam rekor - teorema dengan bukti paling salah.

Kemenangan Fermat jatuh ke tangan Jepang

Seperti disebutkan sebelumnya, sekitar tahun 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama menemukan kemungkinan hubungan antara dua cabang matematika yang tampaknya sangat berbeda - kurva elips dan bentuk modular. Teorema modularitas yang dihasilkan (kemudian dikenal sebagai dugaan Taniyama-Shimura) dari penelitian mereka menyatakan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, artinya dapat dikaitkan dengan bentuk modular yang unik.

Teori ini awalnya dianggap tidak mungkin atau sangat spekulatif, namun dianggap lebih serius ketika ahli teori bilangan Andre Weyl menemukan bukti yang mendukung temuan Jepang. Oleh karena itu, dugaan tersebut sering disebut dugaan Taniyama-Shimura-Weil. Ini menjadi bagian dari program Langlands, yaitu daftar hipotesis penting yang memerlukan pembuktian di masa depan.

Bahkan setelah mendapat perhatian serius, dugaan tersebut diakui oleh ahli matematika modern sebagai hal yang sangat sulit atau mungkin mustahil untuk dibuktikan. Kini teorema inilah yang menunggu Andrew Wiles, yang mampu mengejutkan seluruh dunia dengan solusinya.

Teorema Fermat: Bukti Perelman

Terlepas dari mitos populer tersebut, matematikawan Rusia Grigory Perelman, dengan segala kejeniusannya, tidak ada hubungannya dengan teorema Fermat. Namun, hal ini sama sekali tidak mengurangi kontribusinya terhadap komunitas ilmiah.

Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematika Prancis yang brilian, Pierre Fermat, sifatnya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa saja yang berpendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a pangkat n + b pangkat n = c pangkat n tidak memiliki solusi alami (yaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas, tetapi matematikawan terbaik dan amatir biasa berjuang mencari solusi selama lebih dari tiga setengah abad.

Kenapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mencari tahu...



Apakah ada banyak teorema yang terbukti, belum terbukti, dan belum terbukti? Intinya di sini adalah Teorema Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kompleksitas pembuktian. Teorema Terakhir Fermat adalah soal yang sangat sulit, namun rumusannya dapat dipahami oleh siapa saja yang duduk di bangku kelas 5 SMA, namun tidak semua ahli matematika profesional dapat memahami pembuktiannya. Baik dalam fisika, kimia, biologi, maupun matematika, tidak ada satu masalah pun yang dapat dirumuskan dengan begitu sederhana, namun tetap tidak terpecahkan begitu lama. 2. Terdiri dari apa?

Mari kita mulai dengan celana Pythagoras, kata-katanya sangat sederhana - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui sejak kecil, “Celana Pythagoras sama di semua sisi.” Soalnya terlihat sangat sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam segitiga siku-siku apa pun, luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun di kaki-kakinya.

Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mendirikan persaudaraan Pythagoras. Penganut Pythagoras, antara lain, mempelajari bilangan bulat kembar tiga yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahwa ada banyak sekali tripel Pythagoras dan memperoleh rumus umum untuk mencarinya. Mereka mungkin mencoba mencari nilai C dan lebih tinggi. Yakin bahwa ini tidak berhasil, kaum Pythagoras meninggalkan upaya sia-sia mereka. Anggota persaudaraan lebih banyak filsuf dan estetika daripada ahli matematika.


Artinya, mudah untuk memilih sekumpulan bilangan yang memenuhi persamaan x²+y²=z² secara sempurna

Mulai dari 3, 4, 5 – memang seorang siswa SMP paham bahwa 9 + 16 = 25.

Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.

Dan seterusnya. Bagaimana jika kita mengambil persamaan serupa x³+y³=z³? Mungkin ada angka seperti itu juga?




Dan seterusnya (Gbr. 1).

Jadi, ternyata TIDAK. Di sinilah triknya dimulai. Kesederhanaan tampak jelas, karena sulit untuk membuktikan bukan keberadaan sesuatu, melainkan ketidakhadirannya. Ketika Anda perlu membuktikan bahwa ada solusi, Anda dapat dan harus menyajikan solusi tersebut.

Membuktikan ketidakhadiran lebih sulit: misalnya, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak memiliki solusi. Taruh dia di genangan air? mudah: bam - dan ini dia, solusinya! (berikan solusi). Dan itu saja, lawannya dikalahkan. Bagaimana cara membuktikan ketidakhadiran?

Katakan: “Saya belum menemukan solusi seperti itu”? Atau mungkin kamu sedang tidak dalam keadaan sehat? Bagaimana jika mereka ada, hanya sangat besar, sangat besar, sehingga bahkan komputer yang sangat kuat pun masih belum memiliki kekuatan yang cukup? Inilah yang sulit.

Hal ini dapat ditunjukkan secara visual seperti ini: jika Anda mengambil dua kotak dengan ukuran yang sesuai dan membongkarnya menjadi kotak satuan, maka dari kumpulan kotak satuan ini Anda mendapatkan kotak ketiga (Gbr. 2):


Tapi mari kita lakukan hal yang sama dengan dimensi ketiga (Gbr. 3) – ini tidak berhasil. Kubusnya tidak cukup, atau masih ada kubus tambahan yang tersisa:





Namun matematikawan Perancis abad ke-17 Pierre de Fermat dengan antusias mempelajari persamaan umum x n +y n =zn . Dan akhirnya saya menyimpulkan: untuk n>2 tidak ada solusi bilangan bulat. Bukti Fermat hilang dan tidak dapat diperbaiki lagi. Naskahnya terbakar! Yang tersisa hanyalah pernyataannya dalam Aritmatika Diophantus: “Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan dari proposisi ini, namun margin di sini terlalu sempit untuk memuatnya.”

Sebenarnya teorema tanpa pembuktian disebut hipotesis. Namun Fermat memiliki reputasi tidak pernah melakukan kesalahan. Meski dia tidak meninggalkan bukti pernyataannya, hal itu kemudian dikonfirmasi. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Dengan demikian, hipotesis ahli matematika Perancis tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Terakhir Fermat.

Setelah Fermat, pemikir besar seperti Leonhard Euler bekerja mencari bukti (pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3),

Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan tahun 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahwa dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 para ahli matematika melihat dan percaya bahwa epik tiga abad dalam mencari bukti Teorema terakhir Fermat praktis telah berakhir.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa membuktikan teorema Fermat hanya untuk n sederhana: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk komposit n, pembuktiannya tetap valid. Tapi bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga...

Pada tahun 1825, dengan menggunakan metode Sophie Germain, matematikawan wanita, Dirichlet dan Legendre secara independen membuktikan teorema n=5. Pada tahun 1839, dengan menggunakan metode yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorema untuk n=7. Lambat laun teorema tersebut terbukti untuk hampir semua n kurang dari seratus.


Terakhir, matematikawan Jerman Ernst Kummer, dalam penelitiannya yang brilian, menunjukkan bahwa teorema tersebut secara umum tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan metode matematika abad ke-19. Hadiah dari Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis, yang didirikan pada tahun 1847 untuk pembuktian teorema Fermat, tetap tidak diberikan.

Pada tahun 1907, industrialis kaya Jerman Paul Wolfskehl memutuskan untuk bunuh diri karena cinta tak berbalas. Layaknya orang Jerman sejati, ia menetapkan tanggal dan waktu bunuh diri: tepat tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat surat wasiat dan menulis surat kepada teman dan kerabatnya. Segalanya berakhir sebelum tengah malam. Harus dikatakan bahwa Paul tertarik pada matematika. Karena tidak punya pekerjaan lain, dia pergi ke perpustakaan dan mulai membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba dia merasa Kummer telah melakukan kesalahan dalam penalarannya. Wolfskel mulai menganalisis bagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Kesenjangan dalam pembuktian telah terisi. Dan alasan untuk bunuh diri sekarang tampak sangat konyol. Paul merobek surat perpisahannya dan menulis ulang surat wasiatnya.

Dia segera meninggal karena sebab alamiah. Ahli waris cukup terkejut: 100.000 mark (lebih dari 1.000.000 pound sterling saat ini) ditransfer ke rekening Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan kompetisi untuk Hadiah Wolfskehl. 100.000 nilai diberikan kepada orang yang membuktikan teorema Fermat. Tidak ada pfennig yang diberikan karena menyangkal teorema tersebut...

Kebanyakan matematikawan profesional menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas menolak membuang waktu untuk latihan yang tidak berguna tersebut. Tapi para amatir bersenang-senang. Beberapa minggu setelah pengumuman tersebut, banyak “bukti” melanda Universitas Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggung jawab menganalisis bukti yang dikirimkan, membagikan kartu kepada murid-muridnya:


Sayang. . . . . . . .

Terima kasih telah mengirimkan saya naskah dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman...sebaris... . Oleh karena itu, seluruh bukti kehilangan keabsahannya.
Profesor E.M. Landau











Pada tahun 1963, Paul Cohen, dengan mengandalkan temuan Gödel, membuktikan tidak terpecahkannya salah satu dari dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorema Terakhir Fermat juga tidak dapat diputuskan?! Namun para fanatik Teorema Besar sejati tidak kecewa sama sekali. Munculnya komputer tiba-tiba memberi para ahli matematika metode pembuktian baru. Setelah Perang Dunia II, tim pemrogram dan matematikawan membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk semua nilai n hingga 500, lalu hingga 1.000, dan kemudian hingga 10.000.

Pada tahun 1980an, Samuel Wagstaff menaikkan batas menjadi 25.000, dan pada tahun 1990an, ahli matematika menyatakan bahwa Teorema Terakhir Fermat benar untuk semua nilai n hingga 4 juta. Namun jika Anda mengurangi satu triliun triliun pun dari tak terhingga, jumlahnya tidak akan menjadi lebih kecil. Matematikawan tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorema Besar berarti membuktikannya untuk SEMUA n yang menuju tak terhingga.




Pada tahun 1954, dua teman matematikawan muda Jepang mulai meneliti bentuk modular. Bentuk-bentuk ini menghasilkan rangkaian angka, masing-masing dengan rangkaiannya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan deret tersebut dengan deret yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka cocok! Tapi bentuk modular adalah objek geometris, dan persamaan elips adalah aljabar. Tidak ada hubungan yang pernah ditemukan antara objek-objek berbeda tersebut.

Namun, setelah pengujian yang cermat, teman-teman mengajukan hipotesis: setiap persamaan elips memiliki kembaran - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi landasan seluruh arah matematika, namun hingga hipotesis Taniyama-Shimura terbukti, seluruh bangunan bisa runtuh kapan saja.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahwa solusi persamaan Fermat, jika ada, dapat dimasukkan ke dalam persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahwa persamaan hipotetis ini tidak ada tandingannya di dunia modular. Mulai sekarang, Teorema Terakhir Fermat terkait erat dengan dugaan Taniyama – Shimura. Setelah membuktikan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, kami menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan elips dengan solusi persamaan Fermat, dan Teorema Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Namun selama tiga puluh tahun hipotesis Taniyama-Shimura tidak dapat dibuktikan, dan harapan untuk berhasil pun semakin berkurang.

Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona oleh matematika. Ketika dia mempelajari Teorema Besar, dia menyadari bahwa dia tidak bisa menyerah begitu saja. Sebagai anak sekolah, pelajar, dan mahasiswa pascasarjana, dia mempersiapkan diri untuk tugas ini.

Setelah mengetahui temuan Ken Ribet, Wiles langsung membuktikan dugaan Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja dalam isolasi dan kerahasiaan total. “Saya menyadari bahwa segala sesuatu yang berhubungan dengan Teorema Terakhir Fermat menimbulkan terlalu banyak minat... Terlalu banyak penonton jelas mengganggu pencapaian tujuan.” Kerja keras selama tujuh tahun membuahkan hasil; Wiles akhirnya menyelesaikan pembuktian dugaan Taniyama – Shimura.

Pada tahun 1993, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mempresentasikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat (Wiles membaca makalah sensasionalnya di sebuah konferensi di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), yang pengerjaannya berlangsung lebih dari tujuh tahun.







Sementara hype terus berlanjut di media, upaya serius mulai memverifikasi bukti. Setiap bukti harus diperiksa secara cermat sebelum bukti tersebut dapat dianggap teliti dan akurat. Wiles menghabiskan musim panas yang gelisah menunggu masukan dari pengulas, berharap dia bisa mendapatkan persetujuan mereka. Pada akhir bulan Agustus, para ahli menemukan bahwa putusan tersebut tidak memiliki dasar yang cukup.

Ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan ahli teori bilangan terkenal Richard Taylor, dan pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang telah dikoreksi dan diperluas. Yang paling menakjubkan adalah karya ini memakan sebanyak 130 (!) halaman di jurnal matematika “Annals of Mathematics”. Namun ceritanya juga tidak berakhir di situ - titik akhir baru tercapai pada tahun berikutnya, 1995, ketika versi pembuktian final dan "ideal", dari sudut pandang matematis, diterbitkan.

“...setengah menit setelah dimulainya jamuan makan malam di hari ulang tahunnya, saya memberikan Nadya naskah bukti lengkapnya” (Andrew Wales). Bukankah saya sudah mengatakan bahwa matematikawan adalah orang yang aneh?






Kali ini buktinya tidak diragukan lagi. Dua artikel menjadi sasaran analisis yang paling cermat dan diterbitkan pada Mei 1995 di Annals of Mathematics.

Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada anggapan di masyarakat bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang puas bahwa Teorema Besar memerlukan solusi sepanjang 130 halaman!

Oleh karena itu, sekarang upaya banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dicurahkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa kemana-mana...

Untuk bilangan bulat n lebih besar dari 2, persamaan x n + y n = z n tidak mempunyai solusi bukan nol pada bilangan asli.

Anda mungkin ingat dari masa sekolah Anda teori Pitagoras: Kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Anda mungkin juga ingat segitiga siku-siku klasik yang sisi-sisinya memiliki perbandingan panjang 3:4:5. Untuk itu, teorema Pythagoras terlihat seperti ini:

Ini adalah contoh penyelesaian persamaan umum Pythagoras dalam bilangan bulat bukan nol dengan N= 2. Teorema Terakhir Fermat (disebut juga "Teorema Terakhir Fermat" dan "Teorema Terakhir Fermat") adalah pernyataan bahwa untuk nilai N> 2 persamaan bentuk xn + kamu n = z n tidak mempunyai solusi bukan nol dalam bilangan asli.

Sejarah Teorema Terakhir Fermat sangat menarik dan instruktif, dan tidak hanya bagi para ahli matematika. Pierre de Fermat berkontribusi pada pengembangan berbagai bidang matematika, tetapi sebagian besar warisan ilmiahnya diterbitkan hanya secara anumerta. Faktanya adalah matematika bagi Fermat adalah hobi, bukan pekerjaan profesional. Dia berkorespondensi dengan ahli matematika terkemuka pada masanya, tetapi tidak berusaha untuk mempublikasikan karyanya. Tulisan ilmiah Fermat terutama ditemukan dalam bentuk korespondensi pribadi dan catatan terpisah-pisah, sering kali ditulis di pinggir berbagai buku. Itu ada di pinggir (dari volume kedua “Aritmatika” Yunani kuno Diophantus. - Catatan Penerjemah) segera setelah kematian ahli matematika tersebut, keturunannya menemukan rumusan teorema terkenal dan catatan tambahan:

« Saya menemukan bukti yang sangat bagus tentang hal ini, tetapi bidang ini terlalu sempit untuk itu».

Sayangnya, Fermat rupanya tidak pernah repot-repot menuliskan “bukti ajaib” yang dia temukan, dan keturunannya tidak berhasil mencarinya selama lebih dari tiga abad. Dari semua warisan ilmiah Fermat yang tersebar, yang berisi banyak pernyataan mengejutkan, Teorema Besarlah yang dengan keras kepala menolak untuk dipecahkan.

Siapa pun yang mencoba membuktikan Teorema Terakhir Fermat adalah sia-sia! Matematikawan besar Prancis lainnya, René Descartes (1596–1650), menyebut Fermat sebagai “pembual”, dan matematikawan Inggris John Wallis (1616–1703) menyebutnya “orang Prancis terkutuk”. Namun Fermat sendiri masih meninggalkan bukti teoremanya untuk kasus tersebut N= 4. Dengan bukti untuk N= 3 dipecahkan oleh ahli matematika besar Swiss-Rusia abad ke-18 Leonhard Euler (1707–83), setelah itu, tidak dapat menemukan bukti untuk N> 4, dengan bercanda menyarankan agar rumah Fermat digeledah untuk menemukan kunci barang bukti yang hilang. Pada abad ke-19, metode baru dalam teori bilangan memungkinkan pembuktian pernyataan untuk banyak bilangan bulat dalam bilangan 200, namun sekali lagi, tidak untuk semua bilangan bulat.

Pada tahun 1908, hadiah sebesar 100.000 mark Jerman diberikan untuk memecahkan masalah ini. Dana hadiah tersebut diwariskan oleh industrialis Jerman Paul Wolfskehl, yang menurut legenda, akan bunuh diri, tetapi begitu terbawa oleh Teorema Terakhir Fermat sehingga dia berubah pikiran tentang kematian. Dengan munculnya penambahan mesin dan kemudian komputer, bilah nilai N mulai meningkat semakin tinggi - menjadi 617 pada awal Perang Dunia II, menjadi 4001 pada tahun 1954, menjadi 125.000 pada tahun 1976. Pada akhir abad ke-20, komputer paling kuat di laboratorium militer di Los Alamos (New Mexico, AS) diprogram untuk memecahkan masalah Fermat di latar belakang (mirip dengan mode screen saver pada komputer pribadi). Dengan demikian, dimungkinkan untuk menunjukkan bahwa teorema tersebut benar untuk nilai yang sangat besar x, kamu, z Dan N, tapi ini tidak bisa menjadi bukti yang kuat, karena salah satu dari nilai berikut N atau kembar tiga bilangan asli dapat menyangkal teorema secara keseluruhan.

Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris Andrew John Wiles (lahir 1953), yang bekerja di Princeton, menerbitkan bukti Teorema Terakhir Fermat, yang, setelah beberapa modifikasi, dianggap komprehensif. Pembuktiannya memakan waktu lebih dari seratus halaman jurnal dan didasarkan pada penggunaan peralatan modern matematika tingkat tinggi, yang tidak dikembangkan di era Fermat. Lalu apa yang dimaksud Fermat dengan meninggalkan pesan di pinggir buku bahwa ia telah menemukan buktinya? Sebagian besar ahli matematika yang saya ajak bicara tentang topik ini menunjukkan bahwa selama berabad-abad telah ada lebih dari cukup bukti yang salah dari Teorema Terakhir Fermat, dan kemungkinan besar, Fermat sendiri telah menemukan bukti serupa, tetapi gagal mengenali kesalahannya. di dalamnya. Namun, mungkin masih ada beberapa bukti singkat dan elegan dari Teorema Terakhir Fermat yang belum ditemukan oleh siapa pun. Hanya satu hal yang dapat dikatakan dengan pasti: hari ini kita mengetahui dengan pasti bahwa teorema tersebut benar. Saya pikir sebagian besar ahli matematika akan setuju dengan Andrew Wiles, yang berkomentar tentang buktinya: “Sekarang akhirnya pikiran saya tenang.”