Mari kita perhatikan dulu kasus fungsi dua variabel. Ekstrem bersyarat dari fungsi $z=f(x,y)$ pada titik $M_0(x_0;y_0)$ adalah ekstrem dari fungsi ini, dicapai dengan syarat bahwa variabel $x$ dan $y$ dalam sekitar titik ini memenuhi persamaan kendala $\ varphi(x,y)=0$.
Nama ekstrem "bersyarat" adalah karena fakta bahwa kondisi tambahan $\varphi(x,y)=0$ dikenakan pada variabel. Jika dimungkinkan untuk menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain dari persamaan koneksi, maka masalah menentukan ekstrem bersyarat direduksi menjadi masalah ekstrem biasa dari fungsi satu variabel. Misalnya, jika $y=\psi(x)$ mengikuti persamaan kendala, kemudian mensubstitusikan $y=\psi(x)$ ke $z=f(x,y)$, kita mendapatkan fungsi satu variabel $ z=f\kiri (x,\psi(x)\kanan)$. Namun, dalam kasus umum, metode ini tidak banyak digunakan, sehingga diperlukan algoritma baru.
Metode pengganda Lagrange untuk fungsi dua variabel.
Metode pengali Lagrange adalah untuk mencari ekstrem bersyarat, fungsi Lagrange disusun: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda $ disebut pengali Lagrange). Kondisi ekstrem yang diperlukan diberikan oleh sistem persamaan dari mana titik-titik stasioner ditentukan:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(sejajar)\kanan.$$
Tanda $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Jika pada titik stasioner $d^2F > 0$, maka fungsi $z=f(x,y)$ memiliki kondisi minimum pada titik ini, tetapi jika $d^2F< 0$, то условный максимум.
Ada cara lain untuk menentukan sifat ekstrem. Dari persamaan kendala kita mendapatkan: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, jadi pada setiap titik stasioner kita memiliki:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\kanan)$$
Faktor kedua (terletak dalam tanda kurung) dapat direpresentasikan dalam bentuk ini:
Elemen dari $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ yang merupakan Hessian dari fungsi Lagrange. Jika $H > 0$ maka $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, yaitu kita memiliki minimum bersyarat dari fungsi $z=f(x,y)$.
Perhatikan bentuk determinan $H$. tunjukan Sembunyikan
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ akhir(array) \kanan| $$
Dalam situasi ini, aturan yang dirumuskan di atas berubah sebagai berikut: jika $H > 0$, maka fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, dan untuk $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritma untuk mempelajari fungsi dua variabel untuk ekstrem bersyarat
- Buat fungsi Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Memecahkan sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- Tentukan sifat ekstrem pada setiap titik stasioner yang ditemukan pada paragraf sebelumnya. Untuk melakukannya, gunakan salah satu metode berikut:
- Buatlah determinan $H$ dan cari tahu tandanya
- Dengan mempertimbangkan persamaan kendala, hitung tanda $d^2F$
Metode pengali Lagrange untuk fungsi n variabel
Misalkan kita memiliki fungsi dari variabel $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan $m$ persamaan kendala ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Dengan menyatakan pengali Lagrange sebagai $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, kita buat fungsi Lagrange:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem bersyarat diberikan oleh sistem persamaan dari mana koordinat titik stasioner dan nilai pengali Lagrange ditemukan:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Dimungkinkan untuk mengetahui apakah suatu fungsi memiliki minimum bersyarat atau maksimum bersyarat pada titik yang ditemukan, seperti sebelumnya, menggunakan tanda $d^2F$. Jika pada titik yang ditemukan $d^2F > 0$, maka fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, tetapi jika $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Penentu matriks $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(1)\parsial x_(3)) &\ldots & \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(1)\parsial x_(n)) \\ \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(2)\parsial x_1) & \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(2)^(2)) & \frac(\parsial^2F )(\parsial x_(2)\parsial x_(3)) &\ldots & \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(2)\parsial x_(n))\\ \frac(\parsial^2F )(\parsial x_(3) \parsial x_(1)) & \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(3)\parsial x_(2)) & \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(n)\parsial x_(1)) & \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(n)\parsial x_(2)) & \ frac(\parsial^2F)(\parsial x_(n)\parsial x_(3)) &\ldots & \frac(\parsial^2F)(\parsial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ yang disorot dengan warna merah dalam matriks $L$ adalah fungsi Hessian dari Lagrange. Kami menggunakan aturan berikut:
- Jika tanda sudut di bawah umur adalah $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriks $L$ berimpit dengan tanda $(-1)^m$, maka titik stasioner yang diteliti adalah titik minimum bersyarat dari fungsi $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Jika tanda sudut di bawah umur adalah $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ bergantian, dan tanda minor $H_(2m+1)$ bertepatan dengan tanda bilangan $(-1)^(m+1 )$, maka titik stasioner yang dipelajari adalah titik maksimum bersyarat dari fungsi $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Contoh 1
Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi $z(x,y)=x+3y$ pada kondisi $x^2+y^2=10$.
Interpretasi geometris dari masalah ini adalah sebagai berikut: diperlukan untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari aplikasi pesawat $z=x+3y$ untuk titik-titik perpotongannya dengan silinder $x^2+y^2 = $10.
Agak sulit untuk menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain dari persamaan kendala dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi $z(x,y)=x+3y$, jadi kita akan menggunakan metode Lagrange.
Menunjukkan $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, kami membuat fungsi Lagrange:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\parsial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Mari kita tuliskan sistem persamaan untuk menentukan titik stasioner dari fungsi Lagrange:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (selaras)\kanan.$$
Jika kita asumsikan $\lambda=0$, maka persamaan pertama menjadi: $1=0$. Kontradiksi yang dihasilkan mengatakan bahwa $\lambda\neq 0$. Pada kondisi $\lambda\neq 0$, dari persamaan pertama dan kedua kita mendapatkan: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga, kita mendapatkan:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(selaras) $$
Jadi, sistem memiliki dua solusi: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dan $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Mari kita cari tahu sifat ekstrem pada setiap titik stasioner: $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$. Untuk melakukan ini, kami menghitung determinan $H$ di setiap titik.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2th\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2th & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
Pada titik $M_1(1;3)$ kita mendapatkan: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, jadi pada titik $M_1(1;3)$ fungsi $z(x,y)=x+3y$ memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Demikian pula, pada titik $M_2(-1;-3)$ kita menemukan: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Sejak $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Saya perhatikan bahwa alih-alih menghitung nilai determinan $H$ pada setiap titik, jauh lebih mudah untuk membukanya secara umum. Agar tidak mengacaukan teks dengan detail, saya akan menyembunyikan metode ini di bawah catatan.
Notasi determinan $H$ dalam bentuk umum. tunjukan Sembunyikan
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\kanan). $$
Pada prinsipnya, sudah jelas tanda $H$ yang mana. Karena tidak ada titik $M_1$ atau $M_2$ yang bertepatan dengan titik asal, maka $y^2+x^2>0$. Oleh karena itu, tanda $H$ berlawanan dengan tanda $\lambda$. Anda juga dapat menyelesaikan perhitungan:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\kanan)=-40. \end(selaras) $$
Pertanyaan tentang sifat ekstrem pada titik-titik stasioner $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$ dapat diselesaikan tanpa menggunakan determinan $H$. Temukan tanda $d^2F$ pada setiap titik stasioner:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$
Saya perhatikan bahwa notasi $dx^2$ berarti persis $dx$ dinaikkan ke pangkat kedua, yaitu. $\kiri(dx\kanan)^2$. Karenanya kita memiliki: $dx^2+dy^2>0$, jadi untuk $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ kita mendapatkan $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Menjawab: pada titik $(-1;-3)$ fungsi memiliki minimum bersyarat, $z_(\min)=-10$. Pada titik $(1;3)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=10$
Contoh #2
Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pada kondisi $x+y=0$.
Cara pertama (metode pengganda Lagrange)
Menunjukkan $\varphi(x,y)=x+y$ kita membuat fungsi Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\parsial F)(\parsial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$
Memecahkan sistem, kita mendapatkan: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dan $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Kami memiliki dua titik stasioner: $M_1(0;0)$ dan $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Mari kita cari tahu sifat ekstrem pada setiap titik stasioner menggunakan determinan $H$.
$$ H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18th \end(array) \right|=-10-18y $$
Pada titik $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, jadi pada titik ini fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Kami menyelidiki sifat ekstrem di setiap titik dengan metode yang berbeda, berdasarkan tanda $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Dari persamaan kendala $x+y=0$ kita mendapatkan: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Karena $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, maka $M_1(0;0)$ adalah titik minimum bersyarat dari fungsi $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Demikian pula, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Cara kedua
Dari persamaan kendala $x+y=0$ kita peroleh: $y=-x$. Substitusikan $y=-x$ ke dalam fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, kita peroleh beberapa fungsi dari variabel $x$. Mari kita nyatakan fungsi ini sebagai $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Jadi, kami mengurangi masalah menemukan ekstrem bersyarat fungsi dua variabel menjadi masalah menentukan ekstrem fungsi satu variabel.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Dapat poin $M_1(0;0)$ dan $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Penelitian selanjutnya diketahui dari mata kuliah kalkulus diferensial fungsi satu variabel. Menyelidiki tanda $u_(xx)^("")$ pada setiap titik stasioner atau memeriksa perubahan tanda $u_(x)^(")$ pada titik-titik yang ditemukan, kita mendapatkan kesimpulan yang sama seperti ketika menyelesaikan yang pertama metode. Misalnya, centang tanda $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Karena $u_(xx)^("")(M_1)>0$, maka $M_1$ adalah titik minimum dari fungsi $u(x)$, sedangkan $u_(\min)=u(0)=0 $ . Sejak $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Nilai fungsi $u(x)$ di bawah kondisi koneksi yang diberikan bertepatan dengan nilai fungsi $z(x,y)$, mis. ekstrem yang ditemukan dari fungsi $u(x)$ adalah ekstrem bersyarat yang diinginkan dari fungsi $z(x,y)$.
Menjawab: pada titik $(0;0)$ fungsi memiliki minimum bersyarat, $z_(\min)=0$. Pada titik $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Mari kita perhatikan satu contoh lagi, di mana kita mengetahui sifat ekstrem dengan menentukan tanda $d^2F$.
Contoh #3
Temukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi $z=5xy-4$ jika variabel $x$ dan $y$ positif dan memenuhi persamaan kendala $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Buat fungsi Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Temukan titik stasioner dari fungsi Lagrange:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(sejajar) \kanan.$$
Semua transformasi lebih lanjut dilakukan dengan mempertimbangkan $x > 0; \; y > 0$ (ini ditetapkan dalam kondisi masalah). Dari persamaan kedua, kita ekspresikan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dan substitusikan nilai yang ditemukan ke persamaan pertama: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Substitusikan $x=2y$ ke persamaan ketiga, kita dapatkan: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.
Karena $y=1$, maka $x=2$, $\lambda=-10$. Sifat ekstrem pada titik $(2;1)$ ditentukan dari tanda $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Karena $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, maka:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\kanan)=0; \; d\kiri(\frac(x^2)(8) \kanan)+d\kiri(\frac(y^2)(2) \kanan)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Pada prinsipnya, di sini Anda dapat langsung mengganti koordinat titik stasioner $x=2$, $y=1$ dan parameter $\lambda=-10$, sehingga diperoleh:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \kanan)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Namun, dalam masalah lain untuk ekstrem bersyarat, mungkin ada beberapa titik stasioner. Dalam kasus seperti itu, lebih baik untuk merepresentasikan $d^2F$ dalam bentuk umum, dan kemudian mengganti koordinat setiap titik stasioner yang ditemukan ke dalam ekspresi yang dihasilkan:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \kanan)\cdot dx^2 $$
Substitusikan $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, kita peroleh:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Karena $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Menjawab: pada titik $(2;1)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=6$.
Pada bagian selanjutnya, kita akan mempertimbangkan penerapan metode Lagrange untuk fungsi dari sejumlah besar variabel.
Metode untuk menentukan ekstrem bersyarat dimulai dengan konstruksi fungsi Lagrange tambahan, yang, di wilayah solusi yang layak, mencapai maksimum untuk nilai variabel yang sama x 1 , x 2 , ..., x n , yang merupakan fungsi tujuan z . Biarkan masalah menentukan ekstrem bersyarat dari fungsi z=f(X) di bawah batasan φ saya ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, saya = 1, 2, ..., m , m < n
Buatlah sebuah fungsi
yang disebut Fungsi Lagrange. X , - faktor konstan ( Pengganda Lagrange). Perhatikan bahwa pengali Lagrange dapat diberikan arti ekonomi. Jika sebuah f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - penghasilan sesuai rencana X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , dan fungsi φ saya (x 1 , x 2 , ..., x n ) adalah biaya sumber daya ke-i yang sesuai dengan rencana ini, maka X , - harga (estimasi) sumber daya ke-i, yang mencirikan perubahan nilai ekstrim dari fungsi tujuan tergantung pada perubahan ukuran sumber daya ke-i (estimasi marjinal). L(X) - fungsi n+m variabel (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Menentukan titik stasioner dari fungsi ini mengarah ke solusi sistem persamaan
|
|
Sangat mudah untuk melihatnya
. Jadi, masalah menemukan ekstrem bersyarat dari fungsi z=f(X)
mengurangi untuk menemukan ekstrem lokal dari fungsi L(X)
. Jika titik stasioner ditemukan, maka pertanyaan tentang keberadaan ekstrem dalam kasus paling sederhana diselesaikan berdasarkan kondisi yang cukup untuk ekstrem - studi tentang tanda diferensial kedua d
2
L(X)
pada titik stasioner, asalkan variabel bertambah x
saya
- terkait dengan hubungan
|
|
diperoleh dengan mendiferensiasikan persamaan kendala.
Memecahkan sistem persamaan nonlinier dengan dua yang tidak diketahui menggunakan alat Solver
Pengaturan Menemukan solusi memungkinkan Anda untuk menemukan solusi untuk sistem persamaan nonlinier dengan dua yang tidak diketahui:
di mana 
- fungsi variabel non-linier x
dan
kamu
,
adalah konstanta arbitrer.
Diketahui bahwa pasangan x , kamu ) adalah solusi untuk sistem persamaan (10) jika dan hanya jika itu adalah solusi untuk persamaan berikut dalam dua yang tidak diketahui:
Dengan di sisi lain, solusi sistem (10) adalah titik potong dua kurva: f ] (x, kamu) = C dan f 2 (x, y) = C 2 di permukaan XOkamu.
Dari sini berikut metode untuk menemukan akar dari sistem. persamaan nonlinier:
Tentukan (setidaknya kira-kira) interval keberadaan solusi untuk sistem persamaan (10) atau persamaan (11). Di sini perlu untuk mempertimbangkan jenis persamaan yang termasuk dalam sistem, domain definisi dari masing-masing persamaannya, dll. Terkadang pemilihan pendekatan awal dari solusi digunakan;
Tabulasikan solusi persamaan (11) untuk variabel x dan y pada interval yang dipilih, atau buat grafik fungsi f 1 (x, kamu) = C, dan f 2 (x, y) = C 2 (sistem (10)).
Lokalkan taksiran akar sistem persamaan - temukan beberapa nilai minimum dari tabel tabulasi akar persamaan (11), atau tentukan titik potong kurva yang termasuk dalam sistem (10).
4. Temukan akar dari sistem persamaan (10) menggunakan add-on Cari solusi.
| Nama parameter | Berarti |
| Subjek artikel: | Metode Lagrange. |
| Rubrik (kategori tematik) | Matematika |
Menemukan polinomial berarti menentukan nilai koefisiennya 
. Untuk melakukan ini, dengan menggunakan kondisi interpolasi, Anda dapat membentuk sistem persamaan aljabar linier (SLAE).
Determinan SLAE ini biasa disebut determinan Vandermonde. Determinan Vandermonde tidak sama dengan nol ketika untuk , yaitu, dalam kasus ketika tidak ada node yang cocok dalam tabel pencarian. , dapat dikatakan bahwa SLAE memiliki solusi dan solusi ini unik. Memecahkan SLAE dan menentukan koefisien yang tidak diketahui seseorang dapat membangun polinomial interpolasi.
Sebuah polinomial yang memenuhi kondisi interpolasi, ketika diinterpolasi dengan metode Lagrange, dibangun sebagai kombinasi linier dari polinomial derajat ke-n:
Polinomial disebut dasar polinomial. Untuk Polinomial Lagrange memenuhi kondisi interpolasi, sangat penting bahwa kondisi berikut dipenuhi untuk polinomial dasarnya:
untuk 
.
Jika kondisi ini terpenuhi, maka untuk setiap kita memiliki:
, pemenuhan kondisi yang diberikan untuk polinomial dasar berarti bahwa kondisi interpolasi juga terpenuhi.
Mari kita tentukan bentuk polinomial dasar berdasarkan batasan yang dikenakan padanya.
kondisi pertama: pada .
kondisi ke-2: .
Akhirnya, untuk polinomial dasar, kita dapat menulis:
Kemudian, dengan mengganti ekspresi yang dihasilkan untuk polinomial dasar ke dalam polinomial asli, kita memperoleh bentuk akhir dari polinomial Lagrange:
Bentuk khusus polinomial Lagrange di biasanya disebut rumus interpolasi linier:
.
Polinomial Lagrange yang diambil di biasanya disebut rumus interpolasi kuadrat:
Metode Lagrange. - konsep dan jenis. Klasifikasi dan fitur kategori "Metode Lagrange." 2017, 2018.
Kontrol jarak jauh linier. Definisi. jenis kontrol yaitu linier terhadap fungsi yang tidak diketahui dan turunannya disebut linier. Untuk solusi jenis ini, ur-th pertimbangkan dua metode: metode Lagrange dan metode Bernoulli Mari kita pertimbangkan DE homogen.
Definisi. DU disebut homogen jika f-i dapat direpresentasikan sebagai f-i dalam kaitannya dengan argumennya Contoh. F-th disebut pengukuran ke-f homogen jika Contoh: 1) - homogenitas orde ke-1. 2) - orde 2 homogenitas. 3) - urutan nol homogenitas (hanya homogen... .
Tugas ekstrim sangat penting dalam perhitungan ekonomi. Ini adalah perhitungan, misalnya, pendapatan maksimum, keuntungan, biaya minimum, tergantung pada beberapa variabel: sumber daya, aset produksi, dll. Teori mencari ekstrem dari fungsi... .
3. 2. 1. DE dengan variabel yang dapat dipisahkan S.R. 3. Dalam ilmu pengetahuan alam, teknologi dan ekonomi, seringkali harus berhadapan dengan rumus-rumus empiris, yaitu. rumus yang disusun atas dasar pengolahan data statistik atau ...
Metode pengganda Lagrange.
Metode pengali Lagrange adalah salah satu metode yang memungkinkan penyelesaian masalah pemrograman non-linier.
Pemrograman nonlinier adalah cabang dari pemrograman matematika yang mempelajari metode untuk memecahkan masalah ekstrem dengan fungsi tujuan nonlinier dan domain solusi layak yang didefinisikan oleh kendala nonlinier. Dalam ilmu ekonomi, ini sesuai dengan fakta bahwa hasil (efisiensi) meningkat atau menurun secara tidak proporsional dengan perubahan skala penggunaan sumber daya (atau, setara, skala produksi): misalnya, karena pembagian biaya produksi di perusahaan menjadi variabel dan konstanta bersyarat; karena kejenuhan permintaan barang, ketika setiap unit berikutnya lebih sulit untuk dijual daripada yang sebelumnya, dll.
Masalah pemrograman nonlinier diajukan sebagai masalah menemukan optimal dari fungsi tujuan tertentu
F(x 1 ,…x n), F (x) → maks
dalam kondisi
g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0
di mana x-vektor variabel yang dibutuhkan;
F (x) -fungsi objektif;
g (x) adalah fungsi kendala (terdiferensiasi terus menerus);
b - vektor konstanta kendala.
Penyelesaian masalah pemrograman nonlinier (maksimum atau minimum global) dapat termasuk dalam batas atau bagian dalam himpunan yang dapat diterima.
Berbeda dengan masalah pemrograman linier, dalam masalah pemrograman non-linier, optimal tidak selalu terletak pada batas wilayah yang ditentukan oleh kendala. Dengan kata lain, masalahnya adalah untuk memilih nilai variabel non-negatif tersebut, tunduk pada sistem kendala dalam bentuk ketidaksetaraan, di mana maksimum (atau minimum) dari fungsi yang diberikan tercapai. Dalam hal ini, bentuk fungsi tujuan maupun pertidaksamaan tidak ditentukan. Mungkin ada kasus yang berbeda: fungsi tujuan tidak linier, dan kendalanya linier; fungsi tujuan linear, dan kendala (setidaknya salah satunya) non-linier; baik fungsi tujuan dan kendala adalah nonlinier.
Masalah pemrograman non-linier terjadi pada ilmu alam, teknik, ekonomi, matematika, hubungan bisnis dan ilmu pemerintahan.
Pemrograman nonlinier, misalnya, dikaitkan dengan masalah ekonomi dasar. Jadi dalam masalah alokasi sumber daya yang terbatas, baik efisiensi dimaksimalkan, atau, jika konsumen dipelajari, konsumsi dengan adanya kendala yang menyatakan kondisi kelangkaan sumber daya. Dalam rumusan umum seperti itu, rumusan matematis masalah mungkin menjadi tidak mungkin, tetapi dalam aplikasi khusus, bentuk kuantitatif semua fungsi dapat ditentukan secara langsung. Misalnya, sebuah perusahaan industri menghasilkan produk plastik. Efisiensi produksi di sini diukur dengan keuntungan, dan kendala diartikan sebagai tenaga kerja yang tersedia, ruang produksi, produktivitas peralatan, dll.
Metode "efektivitas biaya" juga cocok dengan skema pemrograman non-linier. Metode ini dikembangkan untuk digunakan dalam pengambilan keputusan di pemerintahan. Fungsi efisiensi secara keseluruhan adalah kesejahteraan. Dua masalah pemrograman non-linier muncul di sini: yang pertama adalah memaksimalkan efek dengan biaya terbatas, yang kedua adalah meminimalkan biaya, asalkan efeknya di atas tingkat minimum tertentu. Masalah ini biasanya dimodelkan dengan baik menggunakan pemrograman non-linier.
Hasil pemecahan masalah pemrograman nonlinier sangat membantu dalam pengambilan keputusan pemerintah. Solusi yang dihasilkan tentu saja direkomendasikan, sehingga perlu untuk menyelidiki asumsi dan keakuratan rumusan masalah pemrograman nonlinier sebelum membuat keputusan akhir.
Masalah nonlinier itu kompleks, seringkali disederhanakan dengan mengarah ke masalah linier. Untuk melakukan ini, diasumsikan secara kondisional bahwa di area tertentu fungsi tujuan meningkat atau menurun sebanding dengan perubahan variabel independen. Pendekatan ini disebut metode aproksimasi linier sepotong-sepotong; namun, ini hanya berlaku untuk jenis masalah nonlinier tertentu.
Masalah nonlinier dalam kondisi tertentu diselesaikan menggunakan fungsi Lagrange: setelah menemukan titik pelananya, mereka juga menemukan solusi untuk masalah tersebut. Metode gradien menempati tempat penting di antara algoritma komputasi untuk N.P. Tidak ada metode universal untuk masalah nonlinier dan, tampaknya, mungkin tidak ada, karena mereka sangat beragam. Masalah multi-ekstrim sangat sulit untuk dipecahkan.
Salah satu metode yang memungkinkan pengurangan masalah pemrograman nonlinier untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah metode pengali tak tentu Lagrange.
Menggunakan metode pengali Lagrange, pada dasarnya, kondisi yang diperlukan ditetapkan yang memungkinkan seseorang untuk mengidentifikasi titik-titik optimal dalam masalah optimasi dengan kendala dalam bentuk persamaan. Dalam hal ini, masalah dengan kendala ditransformasikan menjadi masalah ekuivalen optimasi tanpa kendala, di mana beberapa parameter yang tidak diketahui muncul, yang disebut pengali Lagrange.
Metode pengali Lagrange terdiri dari pengurangan masalah untuk ekstrem bersyarat menjadi masalah untuk ekstrem tak bersyarat dari fungsi bantu - yang disebut. Fungsi Lagrange.
Untuk masalah ekstrem dari fungsi f(x 1 , x 2 ,..., x n) dalam kondisi (persamaan kopling) saya(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, saya= 1, 2,..., m, fungsi Lagrange memiliki bentuk
L(x 1, x 2… x n ,λ 1, 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i i (x 1, x 2… x n)
Pengganda 1 , 2 , ..., m ditelepon Pengganda Lagrange.
Jika jumlahnya x 1 , x 2 , ..., x n , 1 , 2 , ..., m adalah solusi dari persamaan yang menentukan titik stasioner dari fungsi Lagrange, yaitu, untuk fungsi yang dapat diturunkan, mereka adalah solusi dari sistem persamaan
kemudian di bawah asumsi yang cukup umum x 1 , x 2 , ..., x n memberikan ekstrem dari fungsi f.
Pertimbangkan masalah meminimalkan fungsi dari n variabel, dengan mempertimbangkan satu kendala dalam bentuk persamaan:
Minimalkan f(x 1, x 2… x n) (1)
dengan batasan h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
Sesuai dengan metode pengali Lagrange, masalah ini ditransformasikan menjadi masalah optimasi tak terbatas berikut:
meminimalkan L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
dimana Fungsi L(х;λ) disebut fungsi Lagrange,
adalah konstanta yang tidak diketahui, yang disebut pengali Lagrange. Tidak ada persyaratan yang dikenakan pada tanda .
Misalkan, untuk nilai yang diberikan =λ 0, minimum tak bersyarat dari fungsi L(x,λ) terhadap x dicapai pada titik x=x 0 dan x 0 memenuhi persamaan h 1 (x 0)=0 . Kemudian, agar mudah dilihat, x 0 diperkecil (1) dengan memperhitungkan (2), karena untuk semua nilai x yang memenuhi (2), h 1 (x)=0 dan L(x,λ)= min f(x).
Tentu saja, perlu untuk memilih nilai =λ 0 sedemikian rupa sehingga koordinat titik minimum tak bersyarat x 0 memenuhi persamaan (2). Hal ini dapat dilakukan jika, dengan mempertimbangkan sebagai variabel, kita menemukan minimum tak bersyarat dari fungsi (3) dalam bentuk fungsi , dan kemudian memilih nilai yang memenuhi persamaan (2). Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh spesifik.
Minimalkan f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
dengan batasan h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
Masalah optimasi tak terbatas yang sesuai ditulis sebagai berikut:
meminimalkan L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Keputusan. Menyamakan dua komponen gradien L ke nol, kami memperoleh
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Untuk memeriksa apakah titik stasioner x° sesuai dengan minimum, kami menghitung elemen matriks Hessian dari fungsi L(x; u), dianggap sebagai fungsi x,
yang ternyata definit positif.
Ini berarti bahwa L(x, u) adalah fungsi cembung dari x. Oleh karena itu, koordinat x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 menentukan titik minimum global. Nilai yang optimal diperoleh dengan mensubstitusikan nilai x 1 0 dan x 2 0 ke dalam persamaan 2x 1 +x 2 =2, dari mana 2λ+λ/2=2 atau 0 =4/5. Jadi, kondisi minimum dicapai pada x 1 0 =4/5 dan x 2 0 =2/5 dan sama dengan min f(x)=4/5.
Ketika memecahkan masalah dari contoh, kami menganggap L(x; ) sebagai fungsi dari dua variabel x 1 dan x 2 dan, sebagai tambahan, diasumsikan bahwa nilai parameter dipilih sehingga pembatasan terpenuhi. Jika solusi sistem
J=1,2,3,…,n
tidak dapat diperoleh dalam bentuk fungsi eksplisit , maka nilai x dan ditemukan dengan menyelesaikan sistem berikut, yang terdiri dari n + 1 persamaan dengan n + 1 tidak diketahui:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Metode pencarian numerik (misalnya, metode Newton) dapat digunakan untuk menemukan semua solusi yang mungkin dari sistem yang diberikan. Untuk setiap solusi (), kita harus menghitung elemen matriks Hessian dari fungsi L, yang dianggap sebagai fungsi x, dan mencari tahu apakah matriks ini pasti positif (minimum lokal) atau pasti negatif (maksimum lokal) ).
Metode pengali Lagrange dapat diperluas untuk kasus ketika masalah memiliki beberapa kendala dalam bentuk persamaan. Pertimbangkan masalah umum yang membutuhkan
Minimalkan f(x)
di bawah batasan h k =0, k=1, 2, ..., K.
Fungsi Lagrange mengambil bentuk berikut:
Di Sini 1 , 2 , ..., k-Pengganda Lagrange, mis. parameter yang tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Menyamakan turunan parsial dari L terhadap x ke nol, kita memperoleh sistem persamaan n berikut dengan n yang tidak diketahui:
Jika ternyata sulit untuk menemukan solusi sistem di atas dalam bentuk fungsi vektor , maka dimungkinkan untuk memperluas sistem dengan memasukkan pembatasan dalam bentuk persamaan
Penyelesaian sistem yang diperluas, yang terdiri dari persamaan n + K dengan n + K tidak diketahui, menentukan titik stasioner dari fungsi L. Kemudian prosedur pemeriksaan minimum atau maksimum diterapkan, yang dilakukan berdasarkan perhitungan elemen matriks Hessian dari fungsi L, dianggap sebagai fungsi x, mirip dengan yang dilakukan dalam kasus masalah dengan satu kendala. Untuk beberapa masalah, sistem perluasan persamaan n+K dengan n+K yang tidak diketahui mungkin tidak memiliki solusi, dan metode pengali Lagrange ternyata tidak dapat diterapkan. Namun, perlu dicatat bahwa tugas seperti itu cukup jarang dalam praktiknya.
Mari kita pertimbangkan kasus khusus dari masalah umum pemrograman nonlinier, dengan asumsi bahwa sistem kendala hanya berisi persamaan, tidak ada kondisi untuk non-negatif dari variabel dan dan fungsi kontinu bersama-sama dengan turunan parsial mereka. Oleh karena itu, setelah menyelesaikan sistem persamaan (7), semua titik diperoleh di mana fungsi (6) dapat memiliki nilai ekstrim.
Algoritma metode pengali Lagrange
1. Kami menyusun fungsi Lagrange.
2. Kami menemukan turunan parsial dari fungsi Lagrange terhadap variabel x J ,λ i dan menyamakannya dengan nol.
3. Kami memecahkan sistem persamaan (7), menemukan titik di mana fungsi tujuan dari masalah dapat memiliki ekstrem.
4. Di antara titik-titik yang mencurigakan dari suatu ekstrem, kami menemukan titik-titik di mana ekstrem tercapai, dan menghitung nilai-nilai fungsi (6) pada titik-titik ini.
Contoh.
Data awal: Menurut rencana produksi, perusahaan perlu menghasilkan 180 produk. Produk-produk ini dapat diproduksi dengan dua cara teknologi. Dalam produksi produk x 1 dalam metode 1, biayanya adalah 4x 1 + x 1 2 rubel, dan dalam pembuatan produk x 2 dalam metode 2, biayanya adalah 8x 2 + x 2 2 rubel. Tentukan berapa banyak produk masing-masing metode harus dibuat sehingga biaya produksi minimal.
Fungsi tujuan untuk masalah memiliki bentuk
® min dalam kondisi x 1 +x 2 =180, x 2 0.
1. Buat fungsi Lagrange
.
2.
Kami menghitung turunan parsial terhadap x 1, x 2, dan menyamakannya dengan nol: 
3.
Memecahkan sistem persamaan yang dihasilkan, kami menemukan x 1 \u003d 91, x 2 \u003d 89
4. Setelah melakukan penggantian pada fungsi tujuan x 2 \u003d 180-x 1, kita mendapatkan fungsi satu variabel, yaitu f 1 \u003d 4x 1 +x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- x 1) 2
Hitung atau 4x 1 -364=0 ,
dari mana kita memiliki x 1 * =91, x 2 * =89.
Jawaban: Jumlah produk yang diproduksi dengan metode pertama adalah x 1 \u003d 91, dengan metode kedua x 2 \u003d 89, sedangkan nilai fungsi tujuan adalah 17278 rubel.
Dengan Inti dari metode Lagrange adalah untuk mereduksi masalah ekstrem bersyarat menjadi solusi dari masalah ekstrem bersyarat. Pertimbangkan model pemrograman non-linear:
(5.2)
di mana 
adalah fungsi yang terkenal,
sebuah 
diberikan koefisien.
Perhatikan bahwa dalam perumusan masalah ini, kendala diberikan oleh persamaan, dan tidak ada kondisi untuk variabel menjadi nonnegatif. Selain itu, kita asumsikan bahwa fungsi 
kontinu dengan turunan parsial pertamanya.
Mari kita ubah kondisi (5.2) sedemikian rupa sehingga bagian kiri atau kanan persamaan mengandung nol:
(5.3)
Mari kita buat fungsi Lagrange. Ini termasuk fungsi tujuan (5.1) dan ruas kanan kendala (5.3), diambil masing-masing dengan koefisien 
. Akan ada banyak koefisien Lagrange karena ada kendala dalam masalah.
Titik ekstrem dari fungsi (5.4) adalah titik ekstrem dari masalah awal dan sebaliknya: rencana optimal dari masalah (5.1)-(5.2) adalah titik ekstrem global dari fungsi Lagrange.
Memang, biarkan solusinya ditemukan 
masalah (5.1)-(5.2), maka kondisi (5.3) terpenuhi. Mari kita ganti rencananya 
ke dalam fungsi (5.4) dan verifikasi validitas persamaan (5.5).
Jadi, untuk menemukan rencana optimal dari masalah asli, perlu untuk menyelidiki fungsi Lagrange untuk ekstrem. Fungsi memiliki nilai ekstrem pada titik di mana turunan parsialnya sama nol. Titik-titik seperti itu disebut Perlengkapan tulis.
Kami mendefinisikan turunan parsial dari fungsi (5.4)
,
.
Setelah pemerataan nol turunan kita dapatkan sistemnya m+n persamaan dengan m+n tidak dikenal
,
(5.6)
Dalam kasus umum, sistem (5.6)-(5.7) akan memiliki beberapa solusi, yang mencakup semua maksimum dan minimum dari fungsi Lagrange. Untuk menyoroti maksimum atau minimum global, nilai fungsi tujuan dihitung di semua titik yang ditemukan. Yang terbesar dari nilai-nilai ini akan menjadi maksimum global, dan yang terkecil akan menjadi minimum global. Dalam beberapa kasus dimungkinkan untuk menggunakan kondisi yang cukup untuk ekstrem yang ketat fungsi kontinu (lihat Soal 5.2 di bawah):
biarkan fungsinya 
kontinu dan terdiferensialkan dua kali di beberapa lingkungan titik stasionernya 
(itu. 
)). Kemudian:
sebuah
) jika 
,
(5.8)
kemudian 
adalah titik maksimum ketat dari fungsi 
;
b)
jika 
,
(5.9)
kemudian 
adalah titik minimum ketat dari fungsi 
;
G
) jika 
,
maka pertanyaan tentang keberadaan ekstrem tetap terbuka.
Selain itu, beberapa solusi sistem (5.6)-(5.7) mungkin negatif. Yang tidak konsisten dengan makna ekonomi dari variabel. Dalam hal ini, kemungkinan penggantian nilai negatif dengan nol harus dianalisis.
Arti ekonomi dari pengganda Lagrange. Nilai pengganda yang optimal 
menunjukkan seberapa besar nilai kriteria akan berubah Z
saat menambah atau mengurangi sumber daya j per satuan, karena
Metode Lagrange juga dapat diterapkan ketika kendalanya adalah pertidaksamaan. Jadi, mencari ekstrem dari fungsi 
dalam kondisi
,
dilakukan dalam beberapa tahap:
1. Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi tujuan, yang dengannya titik-titik tersebut menyelesaikan sistem persamaan
.
2. Dari titik-titik stasioner, dipilih titik-titik yang koordinatnya memenuhi kondisi
3. Metode Lagrange digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan kendala (5.1)-(5.2).
4. Titik-titik yang ditemukan pada tahap kedua dan ketiga diperiksa untuk maksimum global: nilai-nilai fungsi tujuan pada titik-titik ini dibandingkan - nilai terbesar sesuai dengan rencana optimal.
Tugas 5.1 Mari kita selesaikan Soal 1.3, yang dibahas di bagian pertama, dengan metode Lagrange. Distribusi sumber daya air yang optimal digambarkan dengan model matematis
.
Buat fungsi Lagrange
Temukan maksimum tak bersyarat dari fungsi ini. Untuk melakukan ini, kami menghitung turunan parsial dan menyamakannya dengan nol
,
Dengan demikian, kami telah memperoleh sistem persamaan linier dalam bentuk
Solusi dari sistem persamaan tersebut adalah rencana distribusi sumber daya air yang optimal pada daerah irigasi
,
.
Kuantitas 
diukur dalam ratusan ribu meter kubik. 
- jumlah pendapatan bersih per seratus ribu meter kubik air irigasi. Oleh karena itu, harga marjinal 1 m 3 air irigasi adalah 
sarang. unit
Pendapatan bersih tambahan maksimum dari irigasi adalah
160 12,26 2 +7600 12,26-130 8,55 2 +5900 8,55-10 16,19 2 +4000 16,19=
172391.02 (unit ruang)
Tugas 5.2 Memecahkan masalah pemrograman non-linear
Kami mewakili kendala sebagai:
.
Susun fungsi Lagrange dan tentukan turunan parsialnya
.
Untuk menentukan titik stasioner dari fungsi Lagrange, kita harus menyamakan turunan parsialnya dengan nol. Akibatnya, kami memperoleh sistem persamaan
.
Dari persamaan pertama berikut
. (5.10)
Ekspresi 
substitusikan ke persamaan kedua
,
dari mana ada dua solusi untuk 
:
dan 
. (5.11)
Substitusikan solusi-solusi ini ke dalam persamaan ketiga, kita peroleh
, 
.
Nilai pengganda Lagrange dan yang tidak diketahui 
hitung dengan ekspresi (5.10)-(5.11):
, 
,
,
.
Jadi, kami mendapat dua titik ekstrem:
; 
.
Untuk mengetahui apakah titik-titik ini adalah titik maksimum atau minimum, kami menggunakan kondisi yang cukup untuk ekstrem yang ketat (5.8)-(5.9). Pra ekspresi untuk 
, yang diperoleh dari pembatasan model matematika, kita substitusikan ke dalam fungsi tujuan 
,
. (5.12)
Untuk memeriksa kondisi ekstrem, kita harus menentukan tanda turunan kedua dari fungsi (5.11) pada titik ekstrem yang kita temukan 
dan 
.
, 
;
.
Dengan demikian, (·) 
adalah titik minimum dari masalah awal ( 
), sebuah (·) 
- titik maksimum.
Paket Optimal:
, 
,
,
.
