Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Sifat-sifat akar derajat ke-n. Teorema"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"

Sifat-sifat akar derajat ke-n. Teorema

Kawan, kami terus mempelajari akar tingkat ke-n dari bilangan real. Seperti hampir semua objek matematika, akar derajat ke-n memiliki beberapa sifat, hari ini kita akan mempelajarinya.
Semua properti yang kami pertimbangkan diformulasikan dan dibuktikan hanya untuk nilai non-negatif dari variabel yang terkandung di bawah tanda akar.
Dalam kasus eksponen akar ganjil, mereka juga berlaku untuk variabel negatif.

Teorema 1. Akar ke-n dari hasil kali dua bilangan non-negatif sama dengan hasil kali akar ke-n dari bilangan-bilangan ini: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ kuadrat[n]( b) $ .

Mari kita buktikan teoremanya.
Bukti. Kawan, untuk membuktikan teorema, mari kita perkenalkan variabel baru, tunjukkan:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Kita perlu membuktikan bahwa $x=y*z$.
Perhatikan bahwa identitas berikut juga berlaku:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Maka identitas berikut juga berlaku: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Derajat dua bilangan non-negatif dan eksponennya sama, maka alas dari derajat itu sendiri sama. Oleh karena itu $x=y*z$, itulah yang harus dibuktikan.

Teorema 2. Jika $a≥0$, $b>0$ dan n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, maka persamaan berikut berlaku: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Artinya, akar ke-n dari hasil bagi sama dengan hasil bagi dari akar-akar ke-n.

Bukti.
Untuk membuktikannya, kami menggunakan skema yang disederhanakan dalam bentuk tabel:

Contoh menghitung akar ke-n

Contoh.
Hitung: $\sqrt(16*81*256)$.
Keputusan. Mari gunakan Teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Contoh.
Hitung: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Keputusan. Mari kita nyatakan ekspresi radikal sebagai pecahan tak wajar: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Mari gunakan Teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Contoh.
Menghitung:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Keputusan:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ kuadrat(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorema 3. Jika $a≥0$, k dan n adalah bilangan asli lebih besar dari 1, maka persamaannya benar: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Untuk meningkatkan akar ke kekuatan alami, cukup untuk meningkatkan ekspresi radikal ke kekuatan ini.

Bukti.
Mari kita pertimbangkan kasus khusus untuk $k=3$. Mari kita gunakan Teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Hal yang sama dapat dibuktikan untuk kasus lain. Guys, buktikan sendiri untuk kasus $k=4$ dan $k=6$.

Teorema 4. Jika $a≥0$ b n,k adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, maka persamaannya benar: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Untuk mengekstrak akar dari akar, cukup dengan mengalikan eksponen akar.

Bukti.
Mari kita buktikan lagi secara singkat menggunakan tabel. Untuk membuktikannya, kami menggunakan skema yang disederhanakan dalam bentuk tabel:

Contoh.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Teorema 5. Jika indeks akar dan ekspresi akar dikalikan dengan bilangan asli yang sama, maka nilai akar tidak akan berubah: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Bukti.
Prinsip pembuktian teorema kita sama seperti pada contoh-contoh lain. Mari kita perkenalkan variabel baru:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (menurut definisi).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (menurut definisi).
Kami menaikkan persamaan terakhir ke pangkat p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Telah mendapatkan:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Yaitu, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, yang harus dibuktikan.

Contoh:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (dibagi 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (dibagi 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (dikalikan 3).

Contoh.
Jalankan tindakan: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Keputusan.
Eksponen dari akar-akarnya adalah bilangan yang berbeda, jadi kita tidak bisa menggunakan Teorema 1, tetapi dengan menerapkan Teorema 5 kita bisa mendapatkan eksponen yang sama.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (dikalikan 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (dikalikan 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Tugas untuk solusi independen

1. Hitung: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Hitung: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Hitung:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Sederhanakan:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Lakukan tindakan: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk sumber daya yang paling berguna untuk

Mari kita coba mencari tahu konsep seperti apa "akar" itu dan "dengan apa dimakan". Untuk melakukan ini, pertimbangkan contoh-contoh yang telah Anda temui dalam pelajaran (baik, atau Anda harus menghadapinya).

Misalnya, kita memiliki persamaan. Apa solusi untuk persamaan ini? Angka apa yang bisa dikuadratkan dan diperoleh secara bersamaan? Mengingat tabel perkalian, Anda dapat dengan mudah memberikan jawabannya: dan (karena ketika Anda mengalikan dua angka negatif, Anda mendapatkan angka positif)! Untuk menyederhanakan, matematikawan telah memperkenalkan konsep khusus akar kuadrat dan memberinya simbol khusus.

Mari kita definisikan akar kuadrat aritmatika.

Mengapa angkanya harus non-negatif? Misalnya, apa yang sama dengan. Oke, mari kita coba mencari tahu. Mungkin tiga? Mari kita periksa: dan tidak. Mungkin, ? Sekali lagi, periksa: Nah, apakah itu tidak dipilih? Ini diharapkan - karena tidak ada angka yang, ketika dikuadratkan, memberikan angka negatif!
Ini harus diingat: nomor atau ekspresi di bawah tanda akar harus non-negatif!

Namun, yang paling perhatian mungkin telah memperhatikan bahwa definisi tersebut mengatakan bahwa solusi dari akar kuadrat dari "suatu bilangan disebut demikian non-negatif bilangan yang kuadratnya adalah ". Beberapa dari Anda akan mengatakan bahwa pada awalnya kami menganalisis contoh, nomor yang dipilih yang dapat dikuadratkan dan diperoleh pada saat yang sama, jawabannya adalah dan, dan ini berbicara tentang semacam "bilangan non-negatif"! Pernyataan seperti itu sangat tepat. Di sini perlu untuk membedakan antara konsep persamaan kuadrat dan akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan. Misalnya, itu tidak setara dengan ekspresi.

Oleh karena itu, yaitu, atau. (Baca topik "")

Dan itu mengikuti itu.

Tentu saja hal ini sangat membingungkan, tetapi harus diingat bahwa tanda-tandanya adalah hasil dari penyelesaian persamaan, karena ketika menyelesaikan persamaan, kita harus menuliskan semua x yang, ketika disubstitusikan ke persamaan semula, akan memberikan hasil yang benar hasil. Dalam persamaan kuadrat kami cocok keduanya dan.

Namun, jika ambil saja akar kuadratnya dari sesuatu, maka selalu kita mendapatkan satu hasil non-negatif.

Sekarang coba selesaikan persamaan ini. Semuanya tidak begitu sederhana dan mulus, bukan? Cobalah untuk memilah-milah angka, mungkin sesuatu akan terbakar? Mari kita mulai dari awal - dari awal: - tidak cocok, lanjutkan - kurang dari tiga, juga menepis, tetapi bagaimana jika. Yuk cek: - juga tidak cocok, karena ini lebih dari tiga. Dengan angka negatif, cerita yang sama akan berubah. Dan apa yang harus dilakukan sekarang? Apakah pencarian tidak memberi kita apa-apa? Tidak sama sekali, sekarang kita tahu pasti bahwa jawabannya akan berupa angka antara dan, serta antara dan. Juga, jelas bahwa solusinya tidak akan berupa bilangan bulat. Apalagi mereka tidak rasional. Jadi, apa selanjutnya? Mari kita buat grafik fungsi dan tandai solusi di atasnya.

Mari kita coba mengelabui sistem dan mendapatkan jawaban dengan kalkulator! Mari kita singkirkan akar bisnis! Oh-oh-oh, ternyata begitu. Jumlah ini tidak pernah berakhir. Bagaimana Anda bisa mengingat ini, karena tidak akan ada kalkulator di ujian!? Semuanya sangat sederhana, Anda tidak perlu mengingatnya, Anda perlu mengingat (atau dapat dengan cepat memperkirakan) nilai perkiraan. dan jawabannya sendiri. Angka-angka seperti itu disebut irasional, dan untuk menyederhanakan notasi angka-angka seperti itulah konsep akar kuadrat diperkenalkan.

Mari kita lihat contoh lain untuk memperkuat. Mari kita analisis masalah berikut: Anda harus melintasi secara diagonal bidang persegi dengan sisi km, berapa km yang harus Anda tempuh?

Hal yang paling jelas di sini adalah untuk mempertimbangkan segitiga secara terpisah dan menggunakan teorema Pythagoras :. Dengan demikian, . Jadi berapa jarak yang dibutuhkan di sini? Jelas, jarak tidak bisa negatif, kita mengerti. Akar dari dua kira-kira sama, tetapi, seperti yang kita catat sebelumnya, sudah merupakan jawaban yang lengkap.

Agar menyelesaikan contoh dengan akar tidak menimbulkan masalah, Anda perlu melihat dan mengenalinya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui setidaknya kuadrat angka dari hingga, serta dapat mengenalinya. Misalnya, Anda perlu tahu apa yang dikuadratkan, dan juga, sebaliknya, apa yang dikuadratkan.

Apakah Anda mengetahui apa itu akar kuadrat? Kemudian pecahkan beberapa contoh.

Contoh.

Nah, bagaimana cara kerjanya? Sekarang mari kita lihat contoh-contoh ini:

Jawaban:

akar pangkat tiga

Nah, kita sudah mengetahui konsep akar kuadrat, sekarang kita akan mencoba mencari tahu apa itu akar pangkat tiga dan apa perbedaannya.

Akar pangkat tiga dari suatu bilangan adalah bilangan yang pangkatnya sama dengan bilangan tersebut. Pernahkah Anda memperhatikan betapa lebih mudahnya? Tidak ada batasan pada kemungkinan nilai dari kedua nilai di bawah tanda akar pangkat tiga dan angka yang akan diekstraksi. Artinya, akar pangkat tiga dapat diambil dari bilangan apa saja:.

Tertangkap apa itu akar kubus dan bagaimana cara mengekstraknya? Kemudian lanjutkan dengan contoh.

Contoh.

Jawaban:

Akar - oh derajat

Nah, kami menemukan konsep akar kuadrat dan pangkat tiga. Sekarang kita menggeneralisasi pengetahuan yang diperoleh dengan konsep akar th.

akar th dari suatu bilangan adalah bilangan yang pangkatnya sama, yaitu

sama dengan.

Jika bahkan, kemudian:

• dengan negatif, ekspresi tidak masuk akal (akar dari tingkat genap bilangan negatif tidak bisa di ekstrak!);
• dengan non-negatif() ekspresi memiliki satu akar non-negatif.

Jika - ganjil, maka ekspresi memiliki akar tunggal untuk sembarang.

Jangan khawatir, prinsip yang sama berlaku di sini seperti halnya dengan akar kuadrat dan pangkat tiga. Artinya, prinsip-prinsip yang kami terapkan ketika mempertimbangkan akar kuadrat diperluas ke semua akar derajat genap.

Dan sifat-sifat yang digunakan untuk akar pangkat tiga berlaku untuk akar pangkat ganjil.

Nah, menjadi lebih jelas? Mari kita pahami dengan contoh:

Di sini semuanya kurang lebih jelas: pertama kita lihat - ya, derajatnya genap, angka di bawah akarnya positif, jadi tugas kita adalah menemukan angka yang derajat keempatnya akan memberi kita. Nah, ada tebakan? Mungkin, ? Tepat!

Jadi, derajatnya sama - ganjil, di bawah akar angkanya negatif. Tugas kita adalah menemukan angka seperti itu, yang, ketika dipangkatkan, ternyata. Cukup sulit untuk segera melihat akarnya. Namun, Anda dapat mempersempit pencarian Anda segera, bukan? Pertama, angka yang diinginkan pasti negatif, dan kedua, dapat dilihat bahwa itu ganjil, dan karena itu angka yang diinginkan adalah ganjil. Cobalah untuk mengambil akarnya. Tentu saja, dan Anda dapat dengan aman menepisnya. Mungkin, ?

Ya, ini yang kami cari! Perhatikan bahwa untuk menyederhanakan perhitungan, kami menggunakan properti derajat: .

Sifat dasar akar

dimengerti? Jika tidak, maka setelah mempertimbangkan contoh, semuanya harus sesuai.

Perkalian akar

Bagaimana cara memperbanyak akar? Properti paling sederhana dan paling mendasar membantu menjawab pertanyaan ini:

Mari kita mulai dengan yang sederhana:

Akar dari angka yang dihasilkan tidak persis diekstraksi? Jangan khawatir, berikut beberapa contohnya:

Tetapi bagaimana jika tidak ada dua pengganda, tetapi lebih? Sama! Rumus perkalian akar bekerja dengan sejumlah faktor:

Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Yah, tentu saja, sembunyikan rangkap tiga di bawah akar, sambil mengingat bahwa rangkap tiga adalah akar kuadrat dari!

Mengapa kita membutuhkannya? Ya, hanya untuk memperluas kemampuan kami saat memecahkan contoh:

Bagaimana Anda menyukai properti akar ini? Membuat hidup jauh lebih mudah? Bagi saya, itu benar! Anda hanya harus ingat itu kita hanya dapat menjumlahkan bilangan positif di bawah tanda akar pangkat genap.

Mari kita lihat di mana lagi itu bisa berguna. Misalnya, dalam tugas Anda perlu membandingkan dua angka:

Lebih dari itu:

Anda tidak akan langsung mengatakannya. Nah, mari kita gunakan properti parsing untuk menambahkan angka di bawah tanda root? Kemudian maju:

Nah, mengetahui bahwa semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri! Itu. jika berarti. Dari sini kami dengan tegas menyimpulkan bahwa Dan tidak ada yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Sebelum itu, kami memperkenalkan faktor di bawah tanda root, tetapi bagaimana cara menghilangkannya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang diekstraksi!

Dimungkinkan untuk pergi ke arah lain dan terurai menjadi faktor-faktor lain:

Tidak buruk, kan? Salah satu dari pendekatan ini benar, putuskan bagaimana Anda merasa nyaman.

Misalnya, inilah ekspresi:

Dalam contoh ini, derajatnya genap, tetapi bagaimana jika ganjil? Sekali lagi, terapkan properti daya dan faktorkan semuanya:

Semuanya tampak jelas dengan ini, tetapi bagaimana cara mengekstrak akar dari angka dalam satu derajat? Di sini, misalnya, adalah ini:

Cukup sederhana, bukan? Bagaimana jika derajatnya lebih besar dari dua? Kami mengikuti logika yang sama menggunakan sifat derajat:

Nah, apakah semuanya jelas? Lalu inilah contohnya:

Ini adalah jebakan, tentang mereka selalu berharga untuk dikenang. Ini sebenarnya adalah refleksi dari contoh properti:

untuk ganjil: untuk genap dan:

dimengerti? Perbaiki dengan contoh:

Ya, kita melihat akar ke derajat genap, angka negatif di bawah akar juga ke derajat genap. Nah, apakah cara kerjanya sama? Dan inilah yang:

Itu saja! Sekarang ini beberapa contohnya:

Mengerti? Kemudian lanjutkan dengan contoh.

Contoh.

Jawaban.

Jika Anda menerima jawaban, maka Anda dapat melanjutkan dengan ketenangan pikiran. Jika belum, mari kita lihat contoh berikut:

Mari kita lihat dua sifat akar lainnya:

Properti ini harus dianalisis dalam contoh. Nah, akankah kita melakukan ini?

Mengerti? Mari kita perbaiki.

Contoh.

Jawaban.

AKAR DAN SIFAT-SIFATNYA. TINGKAT TENGAH

Akar kuadrat aritmatika

Persamaan memiliki dua solusi: dan. Ini adalah angka-angka yang kuadratnya sama.

Pertimbangkan persamaannya. Mari kita selesaikan secara grafis. Mari kita menggambar grafik fungsi dan garis pada level tersebut. Titik potong garis tersebut akan menjadi solusi. Kita melihat bahwa persamaan ini juga memiliki dua solusi - satu positif, yang lain negatif:

Tetapi dalam kasus ini, solusinya bukan bilangan bulat. Apalagi mereka tidak rasional. Untuk menuliskan keputusan irasional ini, kami memperkenalkan simbol akar kuadrat khusus.

Akar kuadrat aritmatika adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya . Ketika ekspresi tidak didefinisikan, karena tidak ada angka seperti itu, kuadratnya sama dengan angka negatif.

Akar pangkat dua: .

Sebagai contoh, . Dan mengikuti itu atau.

Sekali lagi, ini sangat penting: Akar kuadrat selalu merupakan bilangan non-negatif: !

akar pangkat tiga di luar bilangan adalah bilangan yang kubusnya sama. Akar pangkat tiga didefinisikan untuk semua orang. Itu dapat diekstraksi dari nomor apa pun: . Seperti yang Anda lihat, itu juga dapat mengambil nilai negatif.

Akar derajat ke-th suatu bilangan adalah bilangan yang derajat ke-nya sama dengan, mis.

Jika - genap, maka:

• jika, maka akar th dari a tidak terdefinisi.
• jika, maka akar non-negatif dari persamaan disebut akar aritmatika derajat ke- dan dinotasikan.

Jika - ganjil, maka persamaan memiliki akar tunggal untuk sembarang.

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa kami menulis derajatnya di kiri atas tanda akar? Tapi tidak untuk akar kuadrat! Jika Anda melihat akar tanpa gelar, maka itu adalah persegi (derajat).

Contoh.

Sifat dasar akar

AKAR DAN SIFAT-SIFATNYA. SINGKAT TENTANG UTAMA

Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) dari bilangan non-negatif disebut demikian bilangan bukan negatif yang kuadratnya

Sifat akar:

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang telah menerima pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

dengan dan bilangan asli n 2 .

Bilangan kompleks Z ditelepon akarn– c, jika Z n = c.

Temukan semua nilai akar n– derajat dari bilangan kompleks dengan. Biarlah c=| c|·(karena Arg c+ saya· dosa Argdengan), sebuah Z = | Z|·(denganos Arg Z + saya· dosa Arg Z) , di mana Z akar n- derajat dari bilangan kompleks dengan. Maka itu harus = c = | c|·(karena Arg c+ saya· dosa Argdengan). Oleh karena itu berikut ini
dan n· Arg Z = Argdengan
Arg Z =
(k=0,1,…) . Karena itu, Z =
(karena
+ saya· dosa
), (k=0,1,…) . Sangat mudah untuk melihat bahwa salah satu nilai
, (k=0,1,…) berbeda dari salah satu nilai yang sesuai
,(k = 0,1,…, n-1) ke banyak 2π. Jadi , (k = 0,1,…, n-1) .

Contoh.

Hitung akar dari (-1).

, jelas sekali |-1| = 1, argumen (-1) = π

-1 = 1 (karena π + saya· dosa π )

, (k = 0, 1).

= saya

Gelar dengan eksponen rasional arbitrer

Ambil bilangan kompleks arbitrer dengan. Jika sebuah n bilangan asli, maka dengan n = | c| n ·(denganos nArgdengan +saya· dosa nArgdengan)(6). Rumus ini juga berlaku dalam kasus n = 0 (c≠0)
. Biarlah n < 0 dan n Z dan c 0, kemudian

dengan n =
(cos nArgdengan+aku berdosa nArgdengan) = (cos nArgdengan+ saya berdosa nArgdengan) . Jadi, rumus (6) berlaku untuk sembarang n.

Mari kita ambil bilangan rasional , di mana q bilangan asli, dan R adalah bilangan bulat.

Kemudian di bawah derajat c r mari kita pahami angkanya
.

Kami mengerti ,

(k = 0, 1, …, q-1). Nilai-nilai ini q potongan, jika fraksi tidak dikurangi.

Kuliah 3 Batas barisan bilangan kompleks

Fungsi bernilai kompleks dari argumen natural disebut barisan bilangan kompleks dan dilambangkan (dengan n ) atau dengan 1 , dengan 2 , ..., dengan n . dengan n = n + b n · saya (n = 1,2, ...) bilangan kompleks.

dengan 1 , dengan 2 , … - anggota barisan; dengan n - anggota biasa

Bilangan kompleks dengan = sebuah+ b· saya ditelepon limit barisan bilangan kompleks (c n ) , di mana dengan n = n + b n · saya (n = 1, 2, …) , di mana untuk setiap

, itu untuk semua n > N ketidaksetaraan
. Barisan yang memiliki limit berhingga disebut konvergen urutan.

Dalil.

Agar barisan bilangan kompleks (dengan n ) (dengan n = n + b n · saya) konvergen ke bilangan dengan = sebuah+ b· saya, perlu dan cukup untuk kesetaraanlim sebuah n = sebuah, lim b n = b.

Bukti.

Kami akan membuktikan teorema berdasarkan pertidaksamaan ganda berikut:

, di mana Z = x + kamu· saya (2)

Membutuhkan. Biarlah lim(dengan n ) = dengan. Mari kita tunjukkan bahwa persamaan lim sebuah n = sebuah dan lim b n = b (3).

Jelas (4)

Sebagai
, Kapan n → ∞ , maka dari ruas kiri pertidaksamaan (4) bahwa
dan
, Kapan n → ∞ . oleh karena itu persamaan (3) berlaku. Kebutuhan telah terbukti.

Kecukupan. Sekarang biarkan persamaan (3) bertahan. Ini mengikuti dari persamaan (3) bahwa
dan
, Kapan n → ∞ , oleh karena itu, karena ruas kanan pertidaksamaan (4), menjadi
, Kapan n→∞ , cara lim(dengan n )=s. Kecukupan telah terbukti.

Jadi, soal kekonvergenan barisan bilangan kompleks setara dengan kekonvergenan dua barisan bilangan real, oleh karena itu, semua sifat dasar limit barisan bilangan real berlaku untuk barisan bilangan kompleks.

Misalnya, untuk barisan bilangan kompleks, kriteria Cauchy valid: urutan bilangan kompleks (dengan n ) konvergen, perlu dan cukup bahwa untuk setiap

, bahwa untuk apapunn, m > Nketidaksetaraan
.

Dalil.

Misalkan suatu barisan bilangan kompleks (dengan n ) dan (z n ) konvergen masing-masing ke dengan danz, maka persamaanlim(dengan n z n ) = c z, lim(dengan n · z n ) = c· z. Jika diketahui secara pasti bahwaztidak sama dengan 0, maka persamaan
.

Selamat: hari ini kita akan menganalisis akarnya - salah satu topik paling menakjubkan di kelas 8. :)

Banyak orang menjadi bingung tentang akarnya, bukan karena akarnya rumit (yang rumit - beberapa definisi dan beberapa properti lainnya), tetapi karena di sebagian besar buku teks sekolah, akar didefinisikan melalui alam liar sehingga hanya penulis buku teks itu sendiri. dapat memahami coretan ini. Dan itupun hanya dengan sebotol wiski yang enak. :)

Karena itu, sekarang saya akan memberikan definisi root yang paling benar dan paling kompeten - satu-satunya yang harus Anda ingat. Dan baru kemudian saya akan menjelaskan: mengapa semua ini perlu dan bagaimana menerapkannya dalam praktik.

Tetapi pertama-tama, ingat satu poin penting, yang karena alasan tertentu banyak penyusun buku teks "lupa" tentang:

Akar dapat berupa derajat genap ($\sqrt(a)$ favorit kami, serta $\sqrt(a)$ dan genap $\sqrt(a)$) dan derajat ganjil (apa saja $\sqrt(a)$ , $\ kuadrat(a)$ dll.). Dan definisi akar derajat ganjil agak berbeda dari yang genap.

Mungkin, 95% dari semua kesalahan dan kesalahpahaman yang terkait dengan akarnya tersembunyi di "agak berbeda" sialan ini. Jadi mari kita perjelas terminologinya untuk selamanya:

Definisi. Bahkan akar n dari angka $a$ adalah apa saja non-negatif bilangan $b$ sehingga $((b)^(n))=a$. Dan akar pangkat ganjil dari bilangan yang sama $a$ umumnya adalah bilangan $b$ yang memiliki persamaan yang sama: $((b)^(n))=a$.

Bagaimanapun, root dilambangkan seperti ini:

\(sebuah)\]

Bilangan $n$ dalam notasi semacam itu disebut eksponen akar, dan bilangan $a$ disebut ekspresi akar. Khususnya, untuk $n=2$ kita mendapatkan akar kuadrat “favorit” kita (omong-omong, ini adalah akar dari derajat genap), dan untuk $n=3$ kita mendapatkan akar kubik (derajat ganjil), yang juga sering ditemukan dalam masalah dan persamaan.

Contoh. Contoh klasik akar kuadrat:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(sejajarkan)\]

Omong-omong, $\sqrt(0)=0$ dan $\sqrt(1)=1$. Ini cukup logis karena $((0)^(2))=0$ dan $((1)^(2))=1$.

Akar kubik juga umum - jangan takut pada mereka:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(sejajarkan)\]

Nah, beberapa "contoh eksotis":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jika Anda tidak mengerti apa perbedaan antara derajat genap dan ganjil, baca kembali definisinya. Ini sangat penting!

Sementara itu, kami akan mempertimbangkan satu fitur akar yang tidak menyenangkan, karena itu kami perlu memperkenalkan definisi terpisah untuk eksponen genap dan ganjil.

Mengapa kita membutuhkan root sama sekali?

Setelah membaca definisi, banyak siswa akan bertanya: "Apa yang dihisap matematikawan ketika mereka menemukan ini?" Dan sungguh: mengapa kita membutuhkan semua akar ini?

Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita kembali ke sekolah dasar sejenak. Ingat: di masa lalu, ketika pohon lebih hijau dan kue lebih enak, perhatian utama kami adalah mengalikan angka dengan benar. Nah, sesuatu dalam semangat "lima kali lima - dua puluh lima", itu saja. Tetapi bagaimanapun juga, Anda dapat mengalikan angka tidak berpasangan, tetapi dalam rangkap tiga, empat, dan umumnya seluruh himpunan:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Namun, ini bukan intinya. Triknya berbeda: matematikawan adalah orang yang malas, jadi mereka harus menuliskan perkalian sepuluh lima seperti ini:

Jadi mereka datang dengan gelar. Mengapa tidak menulis jumlah faktor sebagai superskrip alih-alih string panjang? Seperti yang ini:

Ini sangat nyaman! Semua perhitungan dikurangi beberapa kali, dan Anda tidak dapat menghabiskan banyak lembar perkamen notebook untuk menuliskan beberapa 5 183 . Entri seperti itu disebut tingkat angka, banyak properti ditemukan di dalamnya, tetapi kebahagiaan ternyata berumur pendek.

Setelah minuman keras yang muluk-muluk, yang diselenggarakan hanya tentang "penemuan" derajat, beberapa ahli matematika yang dirajam tiba-tiba bertanya: "Bagaimana jika kita mengetahui derajat suatu bilangan, tetapi kita tidak mengetahui bilangan itu sendiri?" Memang, jika kita tahu bahwa suatu bilangan $b$, misalnya, memberikan 243 pangkat 5, lalu bagaimana kita bisa menebak dengan apa bilangan $b$ itu sendiri?

Masalah ini ternyata jauh lebih global daripada yang terlihat pada pandangan pertama. Karena ternyata untuk sebagian besar gelar "siap pakai" tidak ada angka "awal" seperti itu. Nilai sendiri:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Panah kanan b=4\cdot 4\cdot 4\Panah kanan b=4. \\ \end(sejajarkan)\]

Bagaimana jika $((b)^(3))=50$? Ternyata Anda perlu menemukan angka tertentu, yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri tiga kali, akan memberi kita 50. Tapi berapa angka ini? Jelas lebih besar dari 3 karena 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yaitu nomor ini terletak di suatu tempat antara tiga dan empat, tapi apa itu sama dengan - Gambar Anda akan mengerti.

Inilah tepatnya mengapa matematikawan menemukan akar $n$-th. Itulah mengapa ikon radikal $\sqrt(*)$ diperkenalkan. Untuk menunjukkan angka yang sama $b$, yang, dengan pangkat yang ditentukan, akan memberi kita nilai yang diketahui sebelumnya

\[\sqrt[n](a)=b\Panah kanan ((b)^(n))=a\]

Saya tidak membantah: seringkali akar ini mudah dipertimbangkan - kami melihat beberapa contoh di atas. Tapi tetap saja, dalam banyak kasus, jika Anda memikirkan angka arbitrer, dan kemudian mencoba mengekstrak akar tingkat arbitrer darinya, Anda berada dalam kekecewaan yang kejam.

Apa yang ada! Bahkan $\sqrt(2)$ yang paling sederhana dan paling dikenal tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk biasa kita - sebagai bilangan bulat atau pecahan. Dan jika Anda memasukkan nomor ini ke dalam kalkulator, Anda akan melihat ini:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Seperti yang Anda lihat, setelah titik desimal ada urutan angka tak berujung yang tidak mematuhi logika apa pun. Anda tentu saja dapat membulatkan angka ini untuk membandingkan dengan cepat dengan angka lain. Sebagai contoh:

\[\sqrt(2)=1,4142...\kira-kira 1,4 \lt 1,5\]

Atau ini contoh lain:

\[\sqrt(3)=1.73205...\kira-kira 1.7 \gt 1.5\]

Tapi semua pembulatan ini, pertama, agak kasar; dan kedua, Anda juga harus dapat bekerja dengan nilai perkiraan, jika tidak, Anda dapat menangkap banyak kesalahan yang tidak jelas (omong-omong, keterampilan perbandingan dan pembulatan harus diperiksa pada ujian profil).

Oleh karena itu, dalam matematika serius seseorang tidak dapat melakukannya tanpa akar - mereka adalah perwakilan yang sama dari himpunan semua bilangan real $\mathbb(R)$, serta pecahan dan bilangan bulat yang sudah lama kita kenal.

Ketidakmungkinan menyatakan akar sebagai pecahan dari bentuk $\frac(p)(q)$ berarti bahwa akar ini bukan bilangan rasional. Angka-angka seperti itu disebut irasional, dan mereka tidak dapat direpresentasikan secara akurat kecuali dengan bantuan radikal, atau konstruksi lain yang dirancang khusus untuk ini (logaritma, derajat, batas, dll.). Tapi lebih pada itu lain kali.

Pertimbangkan beberapa contoh di mana, setelah semua perhitungan, bilangan irasional akan tetap ada dalam jawabannya.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Secara alami, dengan munculnya akarnya, hampir tidak mungkin untuk menebak angka mana yang akan muncul setelah titik desimal. Namun, adalah mungkin untuk menghitung dengan kalkulator, tetapi bahkan kalkulator tanggal paling canggih hanya memberi kita beberapa digit pertama dari bilangan irasional. Oleh karena itu, jauh lebih tepat untuk menuliskan jawabannya sebagai $\sqrt(5)$ dan $\sqrt(-2)$.

Untuk itulah mereka diciptakan. Untuk memudahkan menuliskan jawaban.

Mengapa diperlukan dua definisi?

Pembaca yang penuh perhatian mungkin telah memperhatikan bahwa semua akar kuadrat yang diberikan dalam contoh diambil dari bilangan positif. Yah, setidaknya dari nol. Tetapi akar pangkat tiga dengan tenang diekstraksi dari angka berapa pun - bahkan positif, bahkan negatif.

Mengapa ini terjadi? Perhatikan grafik fungsi $y=((x)^(2))$:

Grafik fungsi kuadrat memberikan dua akar: positif dan negatif

Mari kita coba menghitung $\sqrt(4)$ menggunakan grafik ini. Untuk melakukan ini, garis horizontal $y=4$ (ditandai dengan warna merah) digambar pada grafik, yang memotong parabola di dua titik: $((x)_(1))=2$ dan $((x) _(2)) =-2$. Ini cukup logis, karena

Semuanya jelas dengan angka pertama - itu positif, oleh karena itu akarnya:

Tapi lalu apa yang harus dilakukan dengan poin kedua? Apakah 4 memiliki dua akar sekaligus? Lagi pula, jika kita kuadratkan angka 2, kita juga mendapatkan 4. Mengapa tidak menulis $\sqrt(4)=-2$ lalu? Dan mengapa guru melihat catatan seperti itu seolah-olah mereka ingin memakanmu? :)

Masalahnya adalah jika tidak ada kondisi tambahan yang diterapkan, maka keempatnya akan memiliki dua akar kuadrat - positif dan negatif. Dan setiap angka positif juga akan memiliki dua di antaranya. Tetapi bilangan negatif tidak akan memiliki akar sama sekali - ini dapat dilihat dari grafik yang sama, karena parabola tidak pernah jatuh di bawah sumbu kamu, yaitu tidak mengambil nilai negatif.

Masalah serupa terjadi untuk semua akar dengan eksponen genap:

1. Sebenarnya, setiap bilangan positif akan memiliki dua akar dengan eksponen genap $n$;
2. Dari bilangan negatif, akar dengan genap $n$ tidak diekstraksi sama sekali.

Itulah sebabnya definisi akar genap $n$ secara khusus menetapkan bahwa jawabannya harus bilangan non-negatif. Ini adalah bagaimana kita menyingkirkan ambiguitas.

Tetapi untuk $n$ ganjil tidak ada masalah seperti itu. Untuk melihat ini, mari kita lihat grafik fungsi $y=((x)^(3))$:

Parabola kubik memiliki nilai berapa pun, sehingga akar pangkat tiga dapat diambil dari bilangan apa pun

Dua kesimpulan dapat ditarik dari grafik ini:

1. Cabang-cabang parabola kubik, tidak seperti yang biasa, menuju tak terbatas di kedua arah - naik dan turun. Oleh karena itu, pada ketinggian berapa pun kita menggambar garis horizontal, garis ini pasti akan berpotongan dengan grafik kita. Oleh karena itu, akar pangkat tiga selalu dapat diambil, secara mutlak dari bilangan berapa pun;
2. Selain itu, persimpangan seperti itu akan selalu unik, jadi Anda tidak perlu memikirkan angka mana yang harus dianggap sebagai akar yang "benar", dan mana yang harus diberi skor. Itulah sebabnya definisi akar untuk derajat ganjil lebih sederhana daripada yang genap (tidak ada persyaratan non-negatif).

Sangat disayangkan bahwa hal-hal sederhana ini tidak dijelaskan di sebagian besar buku teks. Sebaliknya, otak kita mulai melambung dengan segala macam akar aritmatika dan sifat-sifatnya.

Ya, saya tidak membantah: apa itu akar aritmatika - Anda juga perlu tahu. Dan saya akan membicarakan ini secara rinci dalam pelajaran terpisah. Hari ini kita juga akan membicarakannya, karena tanpanya, semua refleksi pada akar multiplisitas ke-$n$ tidak akan lengkap.

Tetapi pertama-tama Anda perlu memahami dengan jelas definisi yang saya berikan di atas. Kalau tidak, karena banyaknya istilah, kekacauan seperti itu akan dimulai di kepala Anda sehingga pada akhirnya Anda tidak akan mengerti apa-apa.

Dan yang perlu Anda pahami hanyalah perbedaan antara angka genap dan ganjil. Karena itu, sekali lagi kami akan mengumpulkan semua yang benar-benar perlu Anda ketahui tentang akarnya:

1. Akar genap hanya ada dari bilangan non-negatif dan selalu merupakan bilangan non-negatif. Untuk bilangan negatif, akar seperti itu tidak terdefinisi.
2. Tetapi akar derajat ganjil ada dari bilangan apa pun dan dapat berupa bilangan apa saja: untuk bilangan positif itu positif, dan untuk bilangan negatif, seperti yang ditunjukkan oleh tutupnya, itu negatif.

Apakah sulit? Tidak, itu tidak sulit. dimengerti? Ya, itu jelas! Oleh karena itu, sekarang kita akan sedikit berlatih dengan perhitungan.

Sifat dasar dan batasan

Akar memiliki banyak sifat dan batasan aneh - ini akan menjadi pelajaran terpisah. Oleh karena itu, sekarang kami hanya akan mempertimbangkan "chip" yang paling penting, yang hanya berlaku untuk akar dengan eksponen genap. Kami menulis properti ini dalam bentuk rumus:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\kanan|\]

Dengan kata lain, jika kita menaikkan angka ke pangkat genap, dan kemudian mengekstrak akar dari derajat yang sama dari ini, kita tidak akan mendapatkan nomor aslinya, tetapi modulusnya. Ini adalah teorema sederhana yang mudah dibuktikan (cukup dengan mempertimbangkan secara terpisah $x$ non-negatif, dan kemudian secara terpisah mempertimbangkan yang negatif). Guru terus membicarakannya, itu diberikan di setiap buku pelajaran sekolah. Tetapi begitu sampai pada penyelesaian persamaan irasional (yaitu persamaan yang mengandung tanda akar), para siswa melupakan rumus ini bersama-sama.

Untuk memahami masalah ini secara mendetail, mari lupakan semua rumus selama satu menit dan coba hitung dua angka di depan:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Ini adalah contoh yang sangat sederhana. Contoh pertama akan diselesaikan oleh sebagian besar orang, tetapi pada yang kedua, banyak yang menempel. Untuk mengatasi omong kosong seperti itu tanpa masalah, selalu pertimbangkan prosedurnya:

1. Pertama, nomor dinaikkan ke kekuatan keempat. Yah, itu agak mudah. Sebuah nomor baru akan diperoleh, yang bahkan dapat ditemukan di tabel perkalian;
2. Dan sekarang dari nomor baru ini perlu untuk mengekstrak akar derajat keempat. Itu. tidak ada "pengurangan" akar dan derajat - ini adalah tindakan berurutan.

Mari kita berurusan dengan ekspresi pertama: $\sqrt(((3)^(4)))$. Jelas, Anda harus terlebih dahulu menghitung ekspresi di bawah root:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Kemudian kami mengekstrak akar keempat dari angka 81:

Sekarang mari kita lakukan hal yang sama dengan ekspresi kedua. Pertama, kita naikkan angka 3 ke pangkat keempat, yang untuk itu kita perlu mengalikannya dengan dirinya sendiri 4 kali:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ kiri(-3 \kanan)=81\]

Kami mendapat angka positif, karena jumlah total minus dalam produk adalah 4 buah, dan semuanya akan saling meniadakan (setelah semua, minus demi minus memberi nilai tambah). Selanjutnya, ekstrak root lagi:

Pada prinsipnya, baris ini tidak dapat ditulis, karena tidak mungkin jawabannya akan sama. Itu. akar genap dari kekuatan genap yang sama "membakar" minus, dan dalam hal ini hasilnya tidak dapat dibedakan dari modul biasa:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\kanan|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \kanan|=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Perhitungan ini sesuai dengan definisi akar derajat genap: hasilnya selalu non-negatif, dan tanda radikal juga selalu bilangan non-negatif. Jika tidak, root tidak ditentukan.

Catatan tentang urutan operasi

1. Notasi $\sqrt(((a)^(2)))$ berarti bahwa pertama kita kuadratkan bilangan $a$, dan kemudian mengambil akar kuadrat dari nilai yang dihasilkan. Oleh karena itu, kita dapat yakin bahwa bilangan non-negatif selalu berada di bawah tanda akar, karena $((a)^(2))\ge 0$ anyway;
2. Tetapi notasi $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, sebaliknya, berarti kita mengekstrak akar dari bilangan tertentu $a$ terlebih dahulu dan baru kemudian kuadratkan hasilnya. Oleh karena itu, angka $a$ tidak boleh negatif - ini adalah persyaratan wajib yang disematkan dalam definisi.

Jadi, dalam kasus apa pun seseorang tidak boleh tanpa berpikir mengurangi akar dan derajat, dengan demikian dianggap "menyederhanakan" ekspresi aslinya. Karena jika ada angka negatif di bawah akar, dan eksponennya genap, kita akan mendapatkan banyak masalah.

Namun, semua masalah ini hanya relevan untuk indikator genap.

Menghapus tanda minus dari bawah tanda root

Secara alami, akar dengan eksponen ganjil juga memiliki fiturnya sendiri, yang pada prinsipnya tidak ada untuk yang genap. Yaitu:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Singkatnya, Anda dapat mengambil minus dari tanda akar tingkat ganjil. Ini adalah properti yang sangat berguna yang memungkinkan Anda untuk "membuang" semua kekurangannya:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(sejajarkan)\]

Properti sederhana ini sangat menyederhanakan banyak perhitungan. Sekarang Anda tidak perlu khawatir: bagaimana jika ekspresi negatif berada di bawah akar, dan derajat pada akar ternyata genap? Cukup dengan "membuang" semua minus di luar akar, setelah itu mereka dapat dikalikan satu sama lain, dibagi dan umumnya melakukan banyak hal yang mencurigakan, yang dalam kasus akar "klasik" dijamin akan membawa kita ke kesalahan.

Dan di sini definisi lain memasuki adegan - definisi yang dengannya sebagian besar sekolah memulai studi tentang ekspresi irasional. Dan tanpanya penalaran kita tidak akan lengkap. Memenuhi!

akar aritmatika

Mari kita asumsikan sejenak bahwa hanya angka positif atau, dalam kasus ekstrim, nol dapat berada di bawah tanda akar. Mari kita skor pada indikator genap / ganjil, skor pada semua definisi yang diberikan di atas - kami hanya akan bekerja dengan angka non-negatif. Lalu bagaimana?

Dan kemudian kami mendapatkan akar aritmatika - itu sebagian berpotongan dengan definisi "standar" kami, tetapi masih berbeda dari mereka.

Definisi. Akar aritmatika derajat $n$ dari bilangan non-negatif $a$ adalah bilangan non-negatif $b$ sedemikian hingga $((b)^(n))=a$.

Seperti yang Anda lihat, kami tidak lagi tertarik pada paritas. Sebaliknya, pembatasan baru muncul: ekspresi radikal sekarang selalu non-negatif, dan akarnya sendiri juga non-negatif.

Untuk lebih memahami bagaimana akar aritmatika berbeda dari yang biasa, lihat grafik kuadrat dan parabola kubik yang sudah kita kenal:

Area pencarian root - angka non-negatif

Seperti yang Anda lihat, mulai sekarang, kami hanya tertarik pada potongan grafik yang terletak di kuartal koordinat pertama - di mana koordinat $x$ dan $y$ positif (atau setidaknya nol). Anda tidak perlu lagi melihat indikator untuk memahami apakah kami berhak melakukan root pada angka negatif atau tidak. Karena angka negatif tidak lagi dianggap pada prinsipnya.

Anda mungkin bertanya: "Nah, mengapa kita membutuhkan definisi yang dikebiri seperti itu?" Atau: "Mengapa kita tidak bisa bertahan dengan definisi standar yang diberikan di atas?"

Baiklah, saya akan memberikan satu properti saja, karena itu definisi baru menjadi tepat. Misalnya, aturan eksponensial:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Harap dicatat: kami dapat menaikkan ekspresi akar ke kekuatan apa pun dan pada saat yang sama mengalikan eksponen akar dengan kekuatan yang sama - dan hasilnya akan menjadi angka yang sama! Berikut beberapa contohnya:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Nah, apa yang salah dengan itu? Mengapa kita tidak bisa melakukannya sebelumnya? Inilah alasannya. Pertimbangkan ekspresi sederhana: $\sqrt(-2)$ adalah angka yang cukup normal dalam pengertian klasik kita, tetapi sama sekali tidak dapat diterima dari sudut pandang akar aritmatika. Mari kita coba mengubahnya:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Seperti yang Anda lihat, dalam kasus pertama, kami mengambil minus dari bawah radikal (kami memiliki hak, karena indikatornya ganjil), dan yang kedua, kami menggunakan rumus di atas. Itu. dari sudut pandang matematika, semuanya dilakukan sesuai dengan aturan.

WTF?! Bagaimana angka yang sama bisa positif dan negatif? Tidak mungkin. Hanya saja rumus eksponensial, yang bekerja sangat baik untuk bilangan positif dan nol, mulai memberikan ajaran sesat dalam kasus bilangan negatif.

Di sini, untuk menghilangkan ambiguitas seperti itu, mereka datang dengan akar aritmatika. Pelajaran besar yang terpisah dikhususkan untuk mereka, di mana kami mempertimbangkan secara rinci semua properti mereka. Jadi sekarang kita tidak akan memikirkannya - pelajarannya ternyata terlalu panjang.

Akar aljabar: bagi mereka yang ingin tahu lebih banyak

Saya berpikir untuk waktu yang lama: untuk membuat topik ini dalam paragraf terpisah atau tidak. Pada akhirnya, saya memutuskan untuk pergi dari sini. Materi ini ditujukan bagi mereka yang ingin lebih memahami akarnya - tidak lagi di tingkat "sekolah" rata-rata, tetapi di tingkat yang mendekati Olimpiade.

Jadi: selain definisi "klasik" dari akar derajat $n$-th dari angka dan pembagian terkait menjadi indikator genap dan ganjil, ada definisi yang lebih "dewasa", yang tidak bergantung pada paritas dan kehalusan lainnya sama sekali. Ini disebut akar aljabar.

Definisi. Akar aljabar $n$-th dari $a$ adalah himpunan semua bilangan $b$ sedemikian rupa sehingga $((b)^(n))=a$. Tidak ada penunjukan mapan untuk akar seperti itu, jadi beri tanda hubung di atas:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \kanan. \kanan\) \]

Perbedaan mendasar dari definisi standar yang diberikan di awal pelajaran adalah bahwa akar aljabar bukanlah suatu bilangan tertentu, melainkan suatu himpunan. Dan karena kita bekerja dengan bilangan real, himpunan ini hanya terdiri dari tiga jenis:

1. Set kosong. Terjadi ketika diperlukan untuk menemukan akar aljabar derajat genap dari bilangan negatif;
2. Himpunan yang terdiri dari satu elemen. Semua akar pangkat ganjil, serta akar pangkat genap dari nol, termasuk dalam kategori ini;
3. Akhirnya, himpunan dapat mencakup dua angka - $((x)_(1))$ yang sama dan $((x)_(2))=-((x)_(1))$ yang kita lihat di grafik fungsi kuadrat. Dengan demikian, penyelarasan seperti itu hanya mungkin jika mengekstrak akar derajat genap dari bilangan positif.

Kasus terakhir layak untuk dipertimbangkan lebih rinci. Mari kita hitung beberapa contoh untuk memahami perbedaannya.

Contoh. Hitung ekspresi:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Keputusan. Ekspresi pertama sederhana:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Ini adalah dua angka yang merupakan bagian dari himpunan. Karena masing-masing kuadrat memberi empat.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \kanan\)\]

Di sini kita melihat satu set yang hanya terdiri dari satu angka. Ini cukup logis, karena eksponen akarnya ganjil.

Akhirnya, ekspresi terakhir:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Kami mendapat satu set kosong. Karena tidak ada satu pun bilangan real yang, jika dipangkatkan ke pangkat empat (yaitu genap!), akan menghasilkan bilangan negatif 16.

Catatan akhir. Harap dicatat: bukan kebetulan saya mencatat di mana-mana bahwa kami bekerja dengan bilangan real. Karena ada juga bilangan kompleks - sangat mungkin untuk menghitung $\sqrt(-16)$ dan banyak hal aneh lainnya di sana.

Namun, dalam kurikulum matematika sekolah modern, bilangan kompleks hampir tidak pernah ditemukan. Mereka telah dihilangkan dari sebagian besar buku teks karena pejabat kami menganggap topik itu "terlalu sulit untuk dipahami."

Pada artikel ini, kami akan memperkenalkan konsep akar bilangan. Kami akan bertindak secara berurutan: kami akan mulai dengan akar kuadrat, dari situ kami akan melanjutkan ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kami akan menggeneralisasi konsep akar dengan mendefinisikan akar derajat ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar suatu bilangan, dan akar kuadrat pada khususnya, seseorang harus memiliki . Pada titik ini, kita akan sering menjumpai pangkat dua dari suatu bilangan - kuadrat suatu bilangan.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari adalah bilangan yang kuadratnya a.

Untuk membawa contoh akar kuadrat, ambil beberapa angka, misalnya, 5 , 0.3 , 0.3 , 0 , dan kuadratkan, kita mendapatkan angka masing-masing 25 , 0.09 , 0.09 dan 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 dan 0 2 =0 0=0 ). Maka dengan definisi di atas, 5 adalah akar kuadrat dari 25, 0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak untuk sembarang bilangan a ada , yang kuadratnya sama dengan a . Yaitu, untuk setiap bilangan negatif a, tidak ada bilangan real b yang kuadratnya sama dengan a. Memang, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk setiap a negatif , karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk b . Dengan demikian, pada himpunan bilangan real tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dan tidak memiliki arti.

Ini mengarah pada pertanyaan logis: "Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a non-negatif apa pun"? Jawabannya iya. Alasan untuk fakta ini dapat dianggap sebagai metode konstruktif yang digunakan untuk menemukan nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikut: "Berapa jumlah semua akar kuadrat dari bilangan non-negatif yang diberikan a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih"? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a suatu bilangan positif, maka jumlah akar kuadrat dari bilangan a sama dengan dua, dan akar-akarnya adalah . Mari kita buktikan ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Mari kita tunjukkan bahwa nol memang akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti persamaan nyata 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari kita gunakan cara sebaliknya. Mari kita asumsikan bahwa ada beberapa bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin, karena untuk sembarang b bukan nol, nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kami telah sampai pada kontradiksi. Ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari kita beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Di atas kita katakan bahwa selalu ada akar kuadrat dari sembarang bilangan non-negatif, misalkan b adalah akar kuadrat dari a. Katakanlah ada bilangan c , yang juga merupakan akar kuadrat dari a . Kemudian, dengan definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a adalah valid, sehingga b 2 c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 c 2 =( b−c) ( b+c) , lalu (b−c) (b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan berlaku sifat-sifat tindakan dengan bilangan real hanya mungkin jika b−c=0 atau b+c=0 . Jadi bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita berasumsi bahwa ada suatu bilangan d, yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan penalaran yang sama dengan yang telah diberikan, terbukti bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, jumlah akar kuadrat dari bilangan positif adalah dua, dan akar kuadrat adalah bilangan yang berlawanan.

Untuk kenyamanan bekerja dengan akar kuadrat, akar negatif "dipisahkan" dari akar positif. Untuk tujuan ini, ia memperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Untuk akar kuadrat aritmatika dari angka a, notasi diterima. Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Itu juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, Anda sebagian dapat mendengar "root" dan "radikal", yang berarti objek yang sama.

Bilangan di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut nomor akar, dan ekspresi di bawah tanda akar - ekspresi radikal, sedangkan istilah "bilangan radikal" sering diganti dengan "ekspresi radikal". Misalnya, dalam notasi, angka 151 adalah bilangan radikal, dan dalam notasi, ekspresi a adalah ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya, entri dibaca sebagai "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan ratus." Kata "aritmatika" diucapkan hanya ketika mereka ingin menekankan bahwa kita berbicara tentang akar kuadrat positif dari suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, maka dari definisi akar kuadrat aritmatika, untuk sembarang bilangan non-negatif a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmatika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol adalah nol, yaitu . Untuk bilangan negatif a, kami tidak akan menambahkan arti pada entri sampai kami mempelajarinya bilangan kompleks. Misalnya, ekspresi dan tidak ada artinya.

Berdasarkan definisi akar kuadrat, sifat-sifat akar kuadrat terbukti, yang sering digunakan dalam praktik.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan adalah solusi dari bentuk x 2 =a terhadap variabel x .

akar pangkat tiga dari

Definisi akar pangkat tiga dari nomor a diberikan dengan cara yang mirip dengan definisi akar kuadrat. Hanya itu didasarkan pada konsep kubus angka, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari bilangan yang kubusnya sama dengan a disebut

Ayo bawa contoh akar pangkat tiga. Untuk melakukan ini, ambil beberapa angka, misalnya, 7 , 0 , 2/3 , dan pangkat tiga: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa angka 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan 2/3 adalah akar pangkat tiga dari 8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan a, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, dan tidak hanya untuk a non-negatif, tetapi juga untuk sembarang bilangan real a. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan metode yang sama yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga dari bilangan a yang diberikan. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, pertimbangkan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0 dan a adalah bilangan negatif.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa untuk a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a , maka menurut definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a . Jelas bahwa persamaan ini tidak mungkin benar untuk b negatif dan untuk b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan menjadi bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain bilangan b ada satu akar pangkat tiga lagi dari bilangan a, mari kita nyatakan c. Maka c3 =a. Oleh karena itu, b 3 c 3 =a−a=0 , tetapi b 3 c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ini adalah rumus perkalian yang disingkat perbedaan kubus), dari mana (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b c+c 2 =0 . Dari persamaan pertama kita memiliki b=c , dan persamaan kedua tidak memiliki solusi, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c sebagai jumlah dari tiga suku positif b 2 , b c dan c 2 . Ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Untuk a=0, satu-satunya akar pangkat tiga dari a adalah nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada bilangan b , yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin jika b=0 .

Untuk a negatif , seseorang dapat berargumen serupa dengan kasus untuk a positif . Pertama, kita tunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan negatif tidak bisa sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kami berasumsi bahwa ada akar pangkat dua kedua dari angka negatif dan menunjukkan bahwa itu pasti akan bertepatan dengan yang pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari sembarang bilangan real a, dan hanya satu.

Ayo berikan definisi akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a Bilangan tak negatif yang kubusnya sama dengan a disebut

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a dilambangkan sebagai , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga, bilangan 3 dalam notasi ini disebut indikator akar. Angka di bawah tanda akar adalah nomor akar, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika didefinisikan hanya untuk bilangan non-negatif a, akan lebih mudah untuk menggunakan entri di mana bilangan negatif berada di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika. Kita akan memahaminya sebagai berikut: , di mana a adalah bilangan positif. Sebagai contoh, .

Kita akan berbicara tentang sifat-sifat akar pangkat tiga dalam artikel umum sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstrak akar pangkat tiga, tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstrak akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita katakan bahwa akar pangkat tiga dari a adalah solusi dari bentuk x 3 =a.

Akar ke-n, akar aritmatika dari n

Kami menggeneralisasi konsep akar dari angka - kami memperkenalkan penentuan akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-n sama dengan a.

Dari definisi ini jelas bahwa akar derajat pertama dari angka a adalah angka itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat dengan indikator alami, kami mengambil 1 = a.

Di atas, kami mempertimbangkan kasus khusus dari akar derajat ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar pangkat dua, dan akar pangkat tiga adalah akar pangkat tiga. Untuk mempelajari akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar derajat genap (yaitu, untuk n=4, 6 , 8, ...), kelompok kedua - akar derajat ganjil (yaitu, untuk n=5, 7, 9, ... ). Ini disebabkan oleh fakta bahwa akar derajat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar derajat ganjil mirip dengan akar kubik. Mari kita berurusan dengan mereka secara bergantian.

Mari kita mulai dengan akar-akarnya, yang pangkatnya adalah bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kita katakan, mereka mirip dengan akar kuadrat dari bilangan a. Artinya, akar pangkat genap dari bilangan a hanya ada untuk a non-negatif. Selain itu, jika a=0, maka akar dari a adalah tunggal dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar yang berderajat genap dari bilangan a, dan keduanya merupakan bilangan yang berlawanan.

Mari kita membenarkan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar dari suatu derajat genap (kita nyatakan sebagai 2·m, di mana m adalah suatu bilangan asli) dari a. Misalkan ada sebuah bilangan c - akar lain 2 m dari a . Maka b 2 m c 2 m =a−a=0 . Tetapi kita mengetahui bentuk b 2 m c 2 m = (b c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), maka (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa b−c=0 , atau b+c=0 , atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bahwa angka b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0 , karena sisi kirinya berisi ekspresi non-negatif untuk b dan c apa pun sebagai jumlah dari bilangan non-negatif.

Adapun akar-akar derajat ke-n untuk n ganjil, mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar suatu derajat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a adalah unik.

Keunikan akar pangkat ganjil 2·m+1 dari bilangan a dibuktikan dengan analogi dengan pembuktian keunikan akar pangkat tiga dari a . Hanya di sini alih-alih kesetaraan a 3 b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Ekspresi dalam kurung terakhir dapat ditulis ulang sebagai b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))))). Misalnya, untuk m=2 kita memiliki b 5 c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif, hasil kali keduanya adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c , yang berada di dalam tanda kurung dengan derajat penyatuan tertinggi, adalah positif sebagai jumlah dari positif angka. Sekarang, pindah berturut-turut ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat bersarang sebelumnya, kami memastikan bahwa mereka juga positif sebagai jumlah dari bilangan positif. Sebagai hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 hanya mungkin bila b−c=0 , yaitu, bila angka b sama dengan angka c .

Saatnya berurusan dengan notasi akar derajat ke-n. Untuk ini, diberikan penentuan akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

Akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan non-negatif a disebut bilangan non-negatif, pangkat ke-n sama dengan a.