Navigasi halaman.

Metode parabola (Simpson) - inti dari metode, rumus, perkiraan kesalahan, ilustrasi.

Biarkan fungsi y = f(x) kontinu pada interval dan kita perlu menghitung integral tertentu .

Mari kita bagi segmen menjadi n segmen dasar dengan panjang titik . Biarkan poin menjadi titik tengah segmen, masing-masing. Dalam hal ini, semua "simpul" ditentukan dari persamaan .

Inti dari metode parabola.

Pada setiap interval, integran didekati dengan parabola kuadrat melewati titik-titik. Oleh karena itu nama metode – metode parabola.

Hal ini dilakukan untuk mengambil sebagai nilai perkiraan dari integral tertentu , yang dapat kita hitung menggunakan rumus Newton-Leibniz. ini adalah apa inti dari metode parabola.

Secara geometris terlihat seperti ini:

Ilustrasi grafis metode parabola (Simpson).

Garis merah menunjukkan grafik fungsi y=f(x) , garis biru menunjukkan aproksimasi grafik fungsi y=f(x) dengan parabola kuadrat pada setiap segmen dasar partisi.

Turunan dari rumus metode Simpson (parabola).

Berdasarkan sifat kelima integral tertentu, kita memiliki .

Untuk mendapatkan rumus metode parabola (Simpson), kita harus menghitung .

Biarkan (kita selalu dapat mencapai ini dengan melakukan transformasi pergeseran geometris yang sesuai untuk setiap i = 1, 2, ..., n ).

Mari kita membuat gambar.

Mari kita tunjukkan bahwa hanya satu parabola kuadrat yang melalui titik-titik . Dengan kata lain, kami membuktikan bahwa koefisien didefinisikan secara unik.

Karena adalah titik-titik parabola, maka setiap persamaan sistem adalah valid

Sistem persamaan tertulis adalah sistem persamaan aljabar linier dalam variabel yang tidak diketahui. Determinan matriks utama sistem persamaan ini adalah determinan Vandermonde , dan itu bukan nol untuk poin yang tidak bertepatan . Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan memiliki solusi unik (ini dibahas dalam artikel), yaitu, koefisien ditentukan secara unik, dan parabola kuadrat tunggal melewati titik-titik.

Mari kita beralih ke mencari integralnya .

Jelas sekali:

Kami menggunakan persamaan ini untuk membuat transisi terakhir dalam rantai persamaan berikut:

Dengan demikian, Anda bisa mendapatkan rumus metode parabola:

Rumus metode simpson (parabola) memiliki bentuk
.

Estimasi kesalahan mutlak metode Simpson.

Kesalahan mutlak dari metode Simpson dinilai sebagai .

Contoh perhitungan perkiraan integral tentu dengan metode Simpson (parabola).

Mari kita menganalisis penerapan metode Simpson (parabola) dalam perhitungan perkiraan integral tertentu.

Biasanya ada dua jenis tugas:

Sebuah pertanyaan logis muncul: "Dengan tingkat akurasi apa untuk melakukan perhitungan menengah"?

Jawabannya sederhana - akurasi perhitungan menengah harus cukup. Perhitungan menengah harus dilakukan dengan akurasi 3-4 kali lipat lebih tinggi dari urutan . Juga, keakuratan perhitungan antara tergantung pada angka n - semakin besar n, semakin akurat perhitungan antara harus dilakukan.

Contoh.

Hitung integral tentu menggunakan metode Simpson dengan membagi segmen integrasi menjadi 5 bagian.

Keputusan.

Dari kondisi tersebut diketahui bahwa a = 0; b = 5; n = 5 .

Rumus metode Simpson (parabola) memiliki bentuk . Untuk menerapkannya, kita perlu menghitung langkah, menentukan node dan menghitung nilai integran yang sesuai .

Perhitungan menengah akan dilakukan dengan akurasi empat tempat desimal (dibulatkan ke tempat desimal kelima).

Jadi mari kita hitung langkahnya .

Mari kita beralih ke node dan nilai fungsi di dalamnya:

Untuk kejelasan dan kenyamanan, kami merangkum hasilnya dalam tabel:

Kami mengganti hasil yang diperoleh ke dalam rumus metode parabola:

Kami secara khusus mengambil integral tertentu, yang dapat dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz, untuk membandingkan hasilnya.

Hasilnya cocok dengan seperseratus.

Contoh.

Hitung Integral Pasti dengan metode Simpson dengan akurasi 0,001.

Keputusan.

Dalam contoh kita, a = 0 , .

Pertama-tama, kita perlu mendefinisikan n . Untuk melakukan ini, kita beralih ke pertidaksamaan untuk memperkirakan kesalahan absolut dari metode Simpson. Kita dapat mengatakan bahwa jika kita menemukan n dimana pertidaksamaan akan berlaku , maka ketika menggunakan metode parabola untuk menghitung integral pasti asli, kesalahan mutlak tidak akan melebihi 0,001. Pertidaksamaan terakhir dapat ditulis ulang sebagai .

Mari kita cari tahu berapa nilai maksimum modulus turunan keempat integran pada interval integrasi.

adalah interval , dan segmen integrasi berisi titik ekstrem, jadi .

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam ketidaksetaraan dan menyelesaikannya:

Sebagai n adalah bilangan asli (ini adalah jumlah segmen yang sama di mana segmen integrasi dibagi), maka kita dapat mengambil n = 5, 6, 7, ... Agar tidak melakukan perhitungan yang tidak perlu, kita mengambil n = 5 .

Sekarang kita bertindak seperti pada contoh sebelumnya. Dalam perhitungan menengah, kami akan membulatkan ke urutan keenam.

Hitung langkahnya .

Kami menemukan simpul dan nilai integran di dalamnya:

Kami menggabungkan hasil perhitungan dalam sebuah tabel:

Kami mengganti nilainya ke dalam rumus metode parabola:

Jadi, dengan menggunakan metode Simpson, diperoleh nilai perkiraan integral tertentu akurat hingga 0,001.

Memang, setelah menghitung integral asli menggunakan rumus Newton-Leibniz, kami memperoleh

Komentar.

Menemukan sulit dalam banyak kasus. Anda bisa menyiasatinya dengan mengambil pendekatan alternatif menggunakan metode parabola. Prinsipnya dijelaskan di bagian metode trapesium, jadi kami tidak akan mengulanginya.

Metode apa yang harus digunakan untuk integrasi numerik?

Keakuratan metode Simpson (parabola) lebih tinggi daripada akurasi metode persegi panjang dan trapesium untuk n tertentu (ini dapat dilihat dari perkiraan kesalahan absolut), sehingga penggunaannya lebih disukai.

Harus diingat bahwa kesalahan komputasi mempengaruhi hasil untuk n besar, yang dapat memindahkan nilai perkiraan dari yang tepat.

(1710-1761).

Mari kita pertimbangkan sebuah segmen. Biarkan nilai fungsi real f(x) di titik a, (a+b)/2, b diketahui. Ada polinomial derajat 2 tunggal p 2 (x) yang grafiknya melalui titik (a, f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2), (b, f(b)). rumus simpson disebut integral dari polinomial ini pada interval :

Metode Simpson memiliki orde kesalahan 4 dan orde akurasi aljabar 3.

Kesalahan saat mengintegrasikan lebih dari segmen [ sebuah,b] dengan langkah h ditentukan dengan rumus:

,

di mana adalah maksimum dari turunan keempat dari fungsi tersebut.

Juga, jika tidak mungkin untuk memperkirakan kesalahan menggunakan maksimum turunan keempat (misalnya, tidak ada pada interval tertentu, atau cenderung tak terhingga), perkiraan yang lebih kasar dapat digunakan:

,

di mana adalah turunan ketiga dari fungsi tersebut.

Tautan

• Kostomarov D. P., Favorsky A. P. "Kuliah Pengantar Metode Numerik"

Yayasan Wikimedia. 2010 .

• Metode Runge-Kutta
• Metode Fibonacci untuk menemukan ekstrem

Lihat apa itu "Metode Simpson" di kamus lain:

rumus simpson- Inti dari metode ini adalah aproksimasi fungsi f (x) (grafik biru) dengan polinomial kuadrat P (x) (merah) rumus Simpson (juga ... Wikipedia

METODE ROMBERG- Aturan Romberg, sebuah metode untuk menghitung integral tertentu berdasarkan ekstrapolasi Richardson. Biarkan nilai I dari fungsi tertentu dihitung, sedangkan nilai perkiraan yang dihitung T(h) tergantung pada parameter h, sehingga dalam ... ... Ensiklopedia Matematika

Integrasi numerik- (nama historis: (numerik) kuadratur) perhitungan nilai integral tertentu (biasanya perkiraan). Integrasi numerik dipahami sebagai seperangkat metode numerik untuk menemukan nilai integral tertentu. Numerik ... ... Wikipedia

Rumus kuadrat

rumus kuadrat- Integral tertentu sebagai luas angka Integrasi numerik (nama historis: kuadratur) perhitungan nilai integral tertentu (biasanya perkiraan), berdasarkan fakta bahwa nilai integral secara numerik sama dengan daerah ... ... Wikipedia

rumus persegi panjang- Integral tertentu sebagai luas angka Integrasi numerik (nama historis: kuadratur) perhitungan nilai integral tertentu (biasanya perkiraan), berdasarkan fakta bahwa nilai integral secara numerik sama dengan daerah ... ... Wikipedia

Rumus Persegi Panjang- Integral tertentu sebagai luas angka Integrasi numerik (nama historis: kuadratur) perhitungan nilai integral tertentu (biasanya perkiraan), berdasarkan fakta bahwa nilai integral secara numerik sama dengan daerah ... ... Wikipedia

rumus trapesium- Integral tertentu sebagai luas angka Integrasi numerik (nama historis: kuadratur) perhitungan nilai integral tertentu (biasanya perkiraan), berdasarkan fakta bahwa nilai integral secara numerik sama dengan daerah ... ... Wikipedia

KELAHIRAN- KELAHIRAN. Isi: I. Pengertian konsep. Perubahan tubuh selama R. Penyebab timbulnya R ............................ 109 II. Arus klinis fisiologis R. . 132 Sh. Mekanika R. .................. 152 IV. Leading P .............. 169 V ... Ensiklopedia Medis Besar

Kalkulus integral- cabang matematika yang mempelajari sifat dan metode menghitung integral dan aplikasinya. Saya dan. terkait erat dengan kalkulus diferensial (Lihat. Kalkulus diferensial) dan bersama-sama dengan itu merupakan salah satu bagian utama ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Mari kita bagi interval integrasi [ sebuah, b] ke bilangan genap n bagian yang sama secara bertahap h. Pada setiap segmen [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],...,[ x n-2, x n] integral f(X) diganti dengan polinomial interpolasi derajat kedua:

Koefisien trinomial persegi ini dapat ditemukan dari kondisi persamaan polinomial pada titik-titik data tabular yang sesuai. Dapat diambil sebagai polinomial interpolasi Lagrange derajat kedua yang melalui titik-titik :

Jumlah luas dasar dan (Gbr. 3.3) dapat dihitung menggunakan integral tertentu. Dengan mempertimbangkan persamaan, kita peroleh

-

Beras. 3.3. Ilustrasi untuk Metode Simpson

Setelah melakukan perhitungan seperti itu untuk setiap segmen dasar , kami menjumlahkan ekspresi yang dihasilkan:

Ungkapan ini untuk S diambil sebagai nilai integral tertentu:

(3.35)

Rasio yang dihasilkan disebut rumus simpson atau rumus parabola.

Rumus ini juga dapat diperoleh dengan cara lain, misalnya dengan menerapkan metode trapesium dua kali saat mempartisi segmen [ sebuah, b] menjadi bagian-bagian dengan langkah-langkah h dan 2 h atau dengan menggabungkan rumus persegi panjang dan trapesium (lihat Bagian 3.2.6).

Terkadang rumus Simpson ditulis menggunakan indeks setengah bilangan bulat. Dalam hal ini, jumlah segmen partisi P arbitrer (belum tentu genap), dan rumus Simpson adalah

(3.36)

Sangat mudah untuk melihat bahwa rumus (3,36) bertepatan dengan (3,35) jika rumus (3,35) diterapkan pada jumlah segmen partisi 2 n dan langkah h/2.

Contoh. Hitung integral menggunakan metode Simpson

Nilai fungsi pada n = 10, h = 0,1 diberikan dalam tabel. 3.3. Menerapkan rumus (3.35), kami menemukan

Hasil integrasi numerik dengan metode Simpson ternyata sama dengan nilai eksaknya (enam angka penting).

Salah satu algoritma yang mungkin untuk menghitung integral tertentu menggunakan metode Simpson ditunjukkan pada Gambar. 3.4. Batas-batas interval integrasi [ sebuah, b],kesalahan ε, serta rumus untuk menghitung nilai integran y=f(x) .

Beras. 3.4. Algoritma metode Simpson

Awalnya, segmen dibagi menjadi dua bagian dengan langkah h =(b- a)/2. Nilai integral dihitung Saya 1. Kemudian jumlah langkah digandakan, nilainya dihitung Saya 2 secara bertahap h/2. Kondisi akhir hitungan diambil sebagai . Jika kondisi ini tidak terpenuhi, pembagian baru dari langkah menjadi dua terjadi, dan seterusnya.

Perhatikan yang ditunjukkan pada Gambar. 3.4 algoritme tidak optimal: saat menghitung setiap perkiraan Saya 2 nilai fungsi tidak digunakan f(x), sudah ditemukan pada langkah sebelumnya. Algoritma yang lebih ekonomis akan dibahas di Sec. 3.2.7.

Untuk menyusun rumus Simpson, pertama-tama kita pertimbangkan masalah berikut: hitung luas S trapesium lengkung yang dibatasi dari atas oleh grafik parabola y \u003d Ax 2 + Bx + C, dari kiri oleh garis lurus x \u003d - h, dari kanan oleh garis lurus x \u003d h dan dari bawah oleh segmen [-h; h]. Biarkan parabola melalui tiga titik (Gbr. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) dan F (h; y 2), dan x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h. Karena itu,

x 1 \u003d x 0 + j \u003d 0; x 2 = x 0 + 2 jam.

Maka luas S sama dengan integral:

Kami menyatakan daerah ini dalam hal h, y 0 , y 1 dan y 2 . Untuk melakukan ini, kita menghitung koefisien parabola A, B, C. Dari syarat parabola melewati titik D, E dan F, kita memiliki:

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan: C = y 1 ; A =

Mengganti nilai-nilai ini A dan C menjadi (3), kami memperoleh area yang diinginkan

Mari kita beralih ke turunan rumus Simpson untuk menghitung integral

Untuk melakukan ini, kami membagi segmen integrasi menjadi 2n bagian yang sama panjang

Pada titik-titik pembagian (Gbr. 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Kami menghitung nilai integral f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Pada segmen, kami mengganti integran dengan parabola yang melalui titik (x 0; y 0), (x 1; y 1) dan (x 2; y 2), dan untuk menghitung nilai perkiraan integral dari x 0 sampai x 2, kita menggunakan rumus (4). Kemudian (area yang diarsir pada Gambar 4):

Demikian pula, kami menemukan:

................................................

Menambahkan persamaan yang dihasilkan, kami memiliki:

Rumus (5) disebut rumus umum Simpson atau rumus parabola, karena ketika diturunkan, grafik integran pada segmen parsial dengan panjang 2h digantikan oleh busur parabola.

tugas pekerjaan:

1. Seperti yang diarahkan oleh guru atau sesuai dengan pilihan dari meja 4 tugas (lihat Lampiran) untuk mengambil kondisi - integran, batas-batas integrasi.

2. Buatlah flowchart program dan program yang harus:

Meminta ketelitian menghitung integral tertentu, batas bawah dan batas atas integral;

Hitung integral yang diberikan dengan metode: untuk opsi 1,4,7, 10… - benar, untuk opsi 2,5,8,… - rata-rata; untuk opsi 2,5,8,… - persegi panjang kiri. Keluarkan jumlah partisi dari rentang integrasi di mana akurasi perhitungan yang ditentukan tercapai;

Hitung integral yang diberikan menggunakan metode trapesium (untuk opsi genap) dan metode Simpson (untuk opsi ganjil).

Keluarkan jumlah partisi dari rentang integrasi di mana akurasi perhitungan yang ditentukan tercapai;

Keluarkan nilai fungsi kontrol untuk nilai argumen yang diberikan dan bandingkan dengan nilai integral yang dihitung. Menarik kesimpulan.

pertanyaan tes

1. Apa yang dimaksud dengan integral tertentu?

2. Mengapa, bersama dengan metode analitik, digunakan metode numerik untuk menghitung integral tertentu.

3. Apa inti dari metode numerik utama untuk menghitung integral tertentu.

4. Pengaruh jumlah partisi terhadap ketepatan menghitung integral tentu dengan metode numerik.

5. Bagaimana cara menghitung integral dengan metode apa pun dengan akurasi tertentu?

Dalam metode ini, diusulkan untuk mendekati integran pada interval parsial dengan parabola yang melewati titik-titik
(x j , f(x j)), di mana j = saya-1; saya-0.5; saya, yaitu, kita mendekati integran dengan polinomial interpolasi Lagrange derajat kedua:

(10.14)

Setelah diintegrasikan, kita mendapatkan:

(10.15)

Itulah apa itu rumus simpson atau rumus parabola. Di segmen
[a, b] Rumus Simpson berbentuk

(10.16)

Sebuah representasi grafis dari metode Simpson ditunjukkan pada gambar. 2.4.

Beras. 10.4. Metode Simpson

Mari kita singkirkan indeks pecahan dalam ekspresi (2.16) dengan mengganti nama variabel:

(10.17)

Kemudian rumus Simpson mengambil bentuk

(10.18)

Kesalahan rumus (2.18) diperkirakan dengan ekspresi berikut:

, (10.19)

di mana h n = b-a, . Jadi, kesalahan rumus Simpson sebanding dengan HAI(jam 4).

Komentar. Perlu dicatat bahwa dalam rumus Simpson, segmen integrasi harus dibagi menjadi: bahkan jumlah interval.

10.5. Perhitungan integral tentu dengan metode
Monte Carlo

Metode yang dibahas sebelumnya disebut deterministik , yaitu, tanpa unsur kebetulan.

Metode Monte Carlo(MMK) adalah metode numerik untuk memecahkan masalah matematika dengan memodelkan variabel acak. MCM memungkinkan untuk berhasil memecahkan masalah matematika yang disebabkan oleh proses probabilistik. Selain itu, ketika memecahkan masalah yang tidak terkait dengan probabilitas apa pun, seseorang dapat secara artifisial menghasilkan model probabilistik (dan bahkan lebih dari satu) yang memungkinkan pemecahan masalah ini. Perhatikan perhitungan integral tertentu

(10.20)

Saat menghitung integral ini menggunakan rumus persegi panjang, interval [ a, b] dibagi menjadi N interval yang identik, di mana nilai integran dihitung. Dengan menghitung nilai fungsi pada node acak, Anda bisa mendapatkan hasil yang lebih akurat:

(10.21)

(10.22)

Di sini i adalah bilangan acak yang terdistribusi merata pada interval
. Kesalahan dalam menghitung integral MMK ~ , yang jauh lebih besar daripada metode deterministik yang dipelajari sebelumnya.

pada gambar. 2.5 menunjukkan implementasi grafis dari metode Monte Carlo untuk menghitung integral tunggal dengan simpul acak (2.21) dan (2.22).

(2.23)

Beras. 10.6. Integrasi Monte Carlo (kasus ke-2)

Seperti yang terlihat pada gambar. 2.6, kurva integral terletak pada kuadrat satuan, dan jika kita dapat memperoleh pasangan bilangan acak yang terdistribusi merata pada interval, maka nilai yang diperoleh (γ 1, 2) dapat diartikan sebagai koordinat titik dalam persegi satuan. Kemudian, jika jumlah pasangan angka ini cukup, kita dapat mengasumsikan bahwa
. Di Sini S adalah jumlah pasang titik yang berada di bawah kurva, dan N adalah jumlah pasangan bilangan.

Contoh 2.1. Hitung integral berikut:

Masalah itu diselesaikan dengan berbagai metode. Hasil yang diperoleh dirangkum dalam tabel. 2.1.

Tabel 2.1

Komentar. Pilihan integral tabel memungkinkan kami untuk membandingkan kesalahan setiap metode dan mengetahui pengaruh jumlah partisi pada keakuratan perhitungan.

11 PERKIRAAN SOLUSI NONLINEAR
DAN PERSAMAAN TRANSENDEN