Definisi.

Ini adalah segi enam, yang alasnya adalah dua persegi yang sama, dan sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama.

rusuk samping adalah sisi persekutuan dari dua sisi yang bersebelahan

Tinggi Prisma adalah ruas garis yang tegak lurus alas prisma

Diagonal Prisma- segmen yang menghubungkan dua simpul dari basis yang tidak memiliki wajah yang sama

Bidang diagonal- bidang yang melalui diagonal prisma dan sisi-sisinya

Bagian diagonal- batas-batas perpotongan prisma dan bidang diagonal. Bagian diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang

Bagian tegak lurus (bagian ortogonal)- ini adalah perpotongan prisma dan bidang yang ditarik tegak lurus terhadap sisi-sisinya

Unsur-unsur prisma segi empat beraturan

Gambar tersebut menunjukkan dua prisma segi empat biasa, yang ditandai dengan huruf yang sesuai:

• Basa ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 sama besar dan sejajar
• Sisi muka AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C dan CC 1 D 1 D yang masing-masing berbentuk persegi panjang
• Permukaan lateral - jumlah luas semua sisi sisi prisma
• Permukaan total - jumlah luas semua alas dan permukaan samping (jumlah luas permukaan samping dan alas)
• Rusuk samping AA 1 , BB 1 , CC 1 dan DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Basis diagonal BD
• Bagian diagonal BB 1 D 1 D
• Bagian tegak lurus A 2 B 2 C 2 D 2 .

Sifat-sifat prisma segi empat beraturan

• Basis adalah dua persegi yang sama
• Basisnya sejajar satu sama lain
• Sisi-sisinya berbentuk persegi panjang.
• Sisi wajah sama satu sama lain
• Wajah samping tegak lurus dengan alas
• Tulang rusuk lateral sejajar satu sama lain dan sama
• Penampang tegak lurus terhadap semua rusuk sisi dan sejajar dengan alas
• Sudut Bagian Tegak Lurus - Kanan
• Bagian diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang
• Tegak lurus (bagian ortogonal) sejajar dengan alas

Rumus prisma segi empat beraturan

Petunjuk untuk memecahkan masalah

Saat memecahkan masalah pada topik " prisma segi empat beraturan" menyiratkan bahwa:

Prisma yang benar- sebuah prisma yang alasnya terletak poligon beraturan, dan sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Artinya, prisma segi empat biasa berisi di alasnya kotak. (lihat di atas sifat-sifat prisma segi empat beraturan) Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran dengan tugas-tugas dalam geometri (bagian geometri padat - prisma). Berikut adalah tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan dalam menyelesaikannya. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis di forum. Untuk menunjukkan tindakan mengekstraksi akar kuadrat dalam memecahkan masalah, simbol digunakan√ .

Tugas.

Pada sebuah prisma segi empat beraturan, luas alasnya 144 cm2 dan tingginya 14 cm. Hitunglah diagonal prisma tersebut dan luas permukaan totalnya.

Keputusan.
Segi empat beraturan adalah persegi.
Dengan demikian, sisi alasnya akan sama dengan

√144 = 12cm.
Dimana diagonal alas prisma segi empat beraturan sama dengan
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonal prisma beraturan membentuk segitiga siku-siku dengan diagonal alas dan tinggi prisma. Dengan demikian, menurut teorema Pythagoras, diagonal prisma segi empat beraturan yang diberikan akan sama dengan:
((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Menjawab: 22 cm

Tugas

Hitunglah luas permukaan prisma segi empat beraturan jika diagonalnya 5 cm dan diagonal sisi sisinya 4 cm.

Keputusan.
Karena alas prisma segi empat beraturan adalah persegi, maka sisi alasnya (dilambangkan dengan a) ditemukan oleh teorema Pythagoras:

A2 + a2 = 5 2
2a 2 = 25
a = 12,5

Ketinggian sisi muka (dilambangkan sebagai h) kemudian akan sama dengan:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
jam 2 + 12,5 = 16
j 2 \u003d 3.5
h = 3,5

Luas permukaan total akan sama dengan jumlah luas permukaan lateral dan dua kali luas alas

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * 3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 51,46 cm 2.

Jawaban: 25 + 10√7 51,46 cm 2.

Setiap poligon dapat terletak di dasar prisma - segitiga, segi empat, dll. Kedua alasnya persis sama, dan karenanya, di mana sudut-sudut wajah paralel dihubungkan satu sama lain, mereka selalu sejajar. Di dasar prisma beraturan terdapat poligon beraturan, yaitu poligon yang semua sisinya sama. Pada prisma lurus, tepi antara sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Dalam hal ini, poligon dengan sejumlah sudut dapat terletak di dasar prisma lurus. Prisma yang alasnya jajar genjang disebut jajar genjang. Persegi panjang adalah kasus khusus dari jajaran genjang. Jika gambar ini terletak di alas, dan sisi-sisinya terletak di sudut kanan ke alas, paralelepiped disebut persegi panjang. Nama kedua benda geometris ini adalah persegi panjang.

Bagaimana penampilannya

Ada cukup banyak prisma persegi panjang di lingkungan manusia modern. Ini, misalnya, adalah karton biasa dari bawah sepatu, komponen komputer, dll. Lihat sekeliling. Bahkan dalam sebuah ruangan, Anda pasti akan melihat banyak prisma persegi panjang. Ini adalah kotak komputer, dan rak buku, dan lemari es, dan lemari, dan banyak barang lainnya. Bentuknya sangat populer terutama karena memungkinkan Anda untuk menggunakan ruang seefisien mungkin, apakah Anda mendekorasi interior atau mengemas barang-barang dalam karton sebelum dipindahkan.

Sifat-sifat prisma segi empat

Prisma segi empat memiliki beberapa sifat khusus. Setiap pasangan wajah dapat berfungsi sebagai miliknya, karena semua wajah yang berdekatan terletak pada sudut yang sama satu sama lain, dan sudut ini adalah 90 °. Volume dan luas permukaan prisma persegi panjang lebih mudah dihitung daripada yang lain. Ambil benda apa saja yang berbentuk prisma segi empat. Ukur panjang, lebar, dan tingginya. Untuk menemukan volume, cukup dengan mengalikan pengukuran ini. Artinya, rumusnya terlihat seperti ini: V \u003d a * b * h, di mana V adalah volume, a dan b adalah sisi alas, h adalah ketinggian yang bertepatan dengan tepi samping badan geometris ini. Luas alas dihitung dengan rumus S1=a*b. Untuk mendapatkan permukaan sisi, Anda harus terlebih dahulu menghitung keliling alas menggunakan rumus P=2(a+b) dan kemudian mengalikannya dengan tingginya. Ternyata rumus S2=P*h=2(a+b)*h. Untuk menghitung luas permukaan total prisma persegi panjang, tambahkan dua kali luas alas dan luas permukaan samping. Rumusnya adalah S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

"Pelajaran teorema Pythagoras" - Teorema Pythagoras. Menentukan jenis TNKM segi empat. Pemanasan. Pengantar teorema. Tentukan jenis segitiga: Rencana pelajaran: Penyimpangan sejarah. Memecahkan masalah sederhana. Dan temukan tangga yang panjangnya 125 kaki. Hitunglah tinggi CF trapesium ABCD. Bukti. Menampilkan gambar. Bukti teorema.

"Volume prisma" - Konsep prisma. prisma langsung. Volume prisma asli sama dengan hasil kali S · h. Bagaimana cara mencari volume prisma lurus? Prisma dapat dibagi menjadi prisma segitiga lurus dengan tinggi h. Gambarlah tinggi segitiga ABC. Solusi dari masalah. tujuan pelajaran. Langkah-langkah dasar dalam membuktikan teorema prisma langsung? Mempelajari teorema volume prisma.

"Prisma polihedra" - Definisikan polihedron. DABC adalah tetrahedron, polihedron cembung. Penggunaan prisma. Di mana prisma digunakan? ABCDMP adalah segi delapan, terdiri dari delapan segitiga. ABCDA1B1C1D1 adalah paralelepiped, polihedron cembung. Polihedron cembung. Konsep polihedron. Polihedron A1A2..AnB1B2..Bn adalah prisma.

"Prisma kelas 10" - Prisma adalah polihedron yang wajahnya sejajar. Penggunaan prisma dalam kehidupan sehari-hari. Sisi = Pbased. + h Untuk prisma lurus: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Cenderung. Benar. Lurus. Prisma. Rumus untuk mencari luas. Penggunaan prisma dalam arsitektur. Sp.p \u003d S sisi + 2 S berbasis.

"Bukti teorema Pythagoras" - Bukti geometris. Arti dari teorema Pythagoras. Teori Pitagoras. bukti Euclid. "Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya." Bukti teorema. Arti penting dari teorema adalah bahwa sebagian besar teorema geometri dapat disimpulkan darinya atau dengan bantuannya.

Dalam kurikulum sekolah untuk kursus geometri padat, studi tentang bangun tiga dimensi biasanya dimulai dengan tubuh geometris sederhana - polihedron prisma. Peran basisnya dilakukan oleh 2 poligon yang sama yang terletak di bidang paralel. Kasus khusus adalah prisma segi empat biasa. Basisnya adalah 2 segi empat biasa yang identik, yang sisi-sisinya tegak lurus, memiliki bentuk jajaran genjang (atau persegi panjang jika prisma tidak miring).

Seperti apa bentuk prisma?

Prisma segi empat biasa adalah segi enam, di dasarnya ada 2 kotak, dan sisi-sisinya diwakili oleh persegi panjang. Nama lain untuk sosok geometris ini adalah paralelepiped lurus.

Gambar yang menggambarkan prisma segi empat, ditunjukkan di bawah ini.

Bisa juga di lihat di gambar elemen terpenting yang membentuk tubuh geometris. Mereka biasanya disebut sebagai:

Kadang-kadang dalam masalah geometri Anda dapat menemukan konsep bagian. Definisinya akan terdengar seperti ini: bagian adalah semua titik dari benda volumetrik yang termasuk dalam bidang pemotongan. Bagian itu tegak lurus (melintasi tepi gambar pada sudut 90 derajat). Untuk prisma persegi panjang, bagian diagonal juga dipertimbangkan (jumlah maksimum bagian yang dapat dibangun adalah 2), melewati 2 tepi dan diagonal alas.

Jika bagian tersebut digambar sedemikian rupa sehingga bidang potong tidak sejajar dengan alas atau permukaan samping, hasilnya adalah prisma terpotong.

Berbagai rasio dan rumus digunakan untuk menemukan elemen prismatik tereduksi. Beberapa di antaranya diketahui dari perjalanan planimetri (misalnya, untuk menemukan luas alas prisma, cukup mengingat rumus luas persegi).

Luas permukaan dan volume

Untuk menentukan volume prisma menggunakan rumus, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya:

V = Sprim h

Karena alas prisma tetrahedral beraturan adalah persegi dengan sisi sebuah, Anda dapat menulis rumus dalam bentuk yang lebih rinci:

V = a² h

Jika kita berbicara tentang kubus - prisma biasa dengan panjang, lebar, dan tinggi yang sama, volumenya dihitung sebagai berikut:

Untuk memahami cara menemukan luas permukaan lateral prisma, Anda perlu membayangkan sapuannya.

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa permukaan sisinya terdiri dari 4 persegi panjang yang sama panjang. Luasnya dihitung sebagai produk dari keliling alas dan tinggi gambar:

Sisi = Pos h

Karena keliling persegi adalah P = 4a, rumus mengambil bentuk:

Sisi = 4a h

Untuk kubus:

Sisi = 4a²

Untuk menghitung luas permukaan total prisma, tambahkan 2 luas alas ke luas sisi:

Penuh = Sisi + 2 Basis

Seperti yang diterapkan pada prisma beraturan segi empat, rumusnya memiliki bentuk:

Penuh = 4a jam + 2a²

Untuk luas permukaan kubus :

Penuh = 6a²

Mengetahui volume atau luas permukaan, Anda dapat menghitung elemen individual dari benda geometris.

Menemukan elemen prisma

Seringkali ada masalah di mana volume diberikan atau nilai luas permukaan lateral diketahui, di mana perlu untuk menentukan panjang sisi alas atau tingginya. Dalam kasus seperti itu, rumus dapat diturunkan:

• panjang sisi alas: a = Sisi / 4h = (V / jam);
• tinggi atau panjang rusuk samping: h = Sisi / 4a = V / a²;
• daerah dasar: Semburat = V / jam;
• daerah wajah samping: Samping gr = Sisi / 4.

Untuk menentukan luas bagian diagonal, Anda perlu mengetahui panjang diagonal dan tinggi gambar. Untuk persegi d = a√2. Karena itu:

Sdiag = ah√2

Untuk menghitung diagonal prisma digunakan rumus :

dprize = (2a² + h²)

Untuk memahami bagaimana menerapkan rasio di atas, Anda dapat berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas sederhana.

Contoh masalah dengan solusi

Berikut adalah beberapa tugas yang muncul dalam ujian akhir negara dalam matematika.

Latihan 1.

Pasir dituangkan ke dalam kotak yang berbentuk seperti prisma segi empat biasa. Tinggi alasnya 10 cm Berapakah tinggi pasir jika dimasukan ke dalam wadah yang bentuknya sama tetapi panjang alasnya 2 kali lebih panjang?

Hal itu perlu dikemukakan sebagai berikut. Jumlah pasir di wadah pertama dan kedua tidak berubah, mis., volumenya di dalamnya sama. Anda dapat menentukan panjang alas sebagai sebuah. Dalam hal ini, untuk kotak pertama, volume zat adalah:

V₁ = ha² = 10a²

Untuk kotak kedua, panjang alasnya adalah 2a, tetapi ketinggian permukaan pasir tidak diketahui:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Sejauh V₁ = V, ekspresinya dapat disamakan:

10a² = 4ha²

Setelah mengurangi kedua sisi persamaan dengan a², kita mendapatkan:

Akibatnya, level pasir baru akan menjadi h = 10/4 = 2.5 cm.

Tugas 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah prisma beraturan. Diketahui BD = AB₁ = 6√2. Temukan luas permukaan total tubuh.

Untuk memudahkan memahami elemen mana yang diketahui, Anda dapat menggambar gambar.

Karena kita berbicara tentang prisma beraturan, kita dapat menyimpulkan bahwa alasnya adalah persegi dengan diagonal 6√2. Diagonal muka samping mempunyai nilai yang sama, oleh karena itu muka samping juga berbentuk bujur sangkar sama dengan alasnya. Ternyata ketiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Kita dapat menyimpulkan bahwa ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah kubus.

Panjang setiap sisi ditentukan melalui diagonal yang diketahui:

a = d / 2 = 6√2 / 2 = 6

Luas permukaan total ditemukan dengan rumus kubus:

Penuh = 6a² = 6 6² = 216

Tugas 3.

Kamar sedang direnovasi. Diketahui lantainya berbentuk persegi dengan luas 9 m². Ketinggian ruangan adalah 2,5 m. Berapa biaya wallpapering kamar terendah jika 1 m² berharga 50 rubel?

Karena lantai dan langit-langit adalah bujur sangkar, yaitu segi empat beraturan, dan dindingnya tegak lurus terhadap permukaan horizontal, kita dapat menyimpulkan bahwa itu adalah prisma beraturan. Hal ini diperlukan untuk menentukan luas permukaan lateralnya.

Panjang ruangan tersebut adalah a = 9 = 3 m.

Alun-alun akan ditutupi dengan wallpaper Sisi = 4 3 2,5 = 30 m².

Biaya wallpaper terendah untuk ruangan ini adalah 50 30 = 1500 rubel.

Jadi, untuk menyelesaikan masalah pada prisma persegi panjang, cukup untuk dapat menghitung luas dan keliling persegi dan persegi panjang, serta mengetahui rumus untuk menemukan volume dan luas permukaan.

Cara mencari luas kubus

Polihedra

Objek utama studi stereometri adalah benda tiga dimensi. Tubuh adalah bagian dari ruang yang dibatasi oleh suatu permukaan.

polihedron Benda yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon bidang yang terbatas disebut. Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada satu sisi bidang setiap poligon datar pada permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron disebut tepian. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpul simpul dari polihedron.

Sebagai contoh, sebuah kubus terdiri dari enam kotak yang wajahnya. Ini berisi 12 tepi (sisi bujur sangkar) dan 8 simpul (simpul bujur sangkar).

Polihedra paling sederhana adalah prisma dan piramida, yang akan kita pelajari lebih lanjut.

Prisma

Definisi dan sifat-sifat prisma

prisma disebut polihedron yang terdiri dari dua poligon datar yang terletak pada bidang paralel yang digabungkan dengan terjemahan paralel, dan semua segmen menghubungkan titik-titik yang sesuai dari poligon ini. Poligon disebut alas prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul yang sesuai dari poligon adalah tepi samping prisma.

Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alasnya (). Ruas yang menghubungkan dua simpul prisma yang tidak berhadap-hadapan disebut diagonal prisma(). Prisma disebut n-batubara jika basisnya adalah n-gon.

Setiap prisma memiliki sifat-sifat berikut, yang mengikuti dari fakta bahwa alas prisma digabungkan dengan terjemahan paralel:

1. alas prisma sama besar.

2. Sisi-sisi prisma sejajar dan sama panjang.

Permukaan prisma terdiri dari alas dan permukaan lateral. Permukaan lateral prisma terdiri dari jajaran genjang (ini mengikuti dari sifat-sifat prisma). Luas permukaan lateral prisma adalah jumlah dari luas permukaan lateral.

prisma lurus

Prisma disebut lurus jika sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Jika tidak, prisma disebut miring.

Wajah-wajah prisma lurus adalah persegi panjang. Tinggi prisma lurus sama dengan permukaan sisinya.

permukaan prisma penuh adalah jumlah dari luas permukaan lateral dan luas alas.

Prisma yang benar disebut prisma siku-siku dengan poligon beraturan di alasnya.

Teorema 13.1. Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling dan tinggi prisma (atau, setara, dengan tepi lateral).

Bukti. Sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang yang alasnya adalah sisi-sisi poligon pada alas prisma, dan tingginya adalah sisi sisi prisma. Maka, menurut definisi, luas permukaan lateral adalah:

,

dimana adalah keliling alas prisma lurus.

Paralelipiped

Jika jajar genjang terletak pada alas prisma, maka disebut paralelipiped. Semua wajah paralelepiped adalah jajaran genjang. Dalam hal ini, wajah yang berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.

Teorema 13.2. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan titik potong dibagi dua.

Bukti. Pertimbangkan dua diagonal sewenang-wenang, misalnya, dan . Karena wajah parallelepiped adalah jajaran genjang, maka dan , yang berarti bahwa menurut T tentang dua garis lurus sejajar dengan yang ketiga . Selain itu, ini berarti bahwa garis dan terletak pada bidang yang sama (bidang). Bidang ini memotong bidang sejajar dan sepanjang garis sejajar dan . Jadi, segiempat adalah jajar genjang, dan dengan sifat jajar genjang, diagonal dan berpotongan dan titik persimpangan dibagi dua, yang harus dibuktikan.

Sejajar siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut berbentuk kubus. Semua permukaan balok adalah persegi panjang. Panjang tepi tidak sejajar dari paralelepiped persegi panjang disebut dimensi liniernya (pengukuran). Ada tiga ukuran (lebar, tinggi, panjang).

Teorema 13.3. Dalam sebuah balok, kuadrat dari sembarang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya (dibuktikan dengan menerapkan Pythagoras T dua kali).

Sejajar persegi panjang yang semua sisinya sama disebut kubus.

tugas

13.1 Berapa banyak diagonalnya? n- prisma karbon

13.2 Pada prisma segitiga miring, jarak antara sisi samping adalah 37, 13, dan 40. Hitung jarak antara sisi yang lebih besar dan sisi yang berlawanan.

13.3 Melalui sisi alas bawah prisma segitiga beraturan, sebuah bidang ditarik yang memotong sisi-sisinya sepanjang segmen, sudut di antaranya adalah . Temukan sudut kemiringan bidang ini ke dasar prisma.