Dalam materi ini, kami akan menganalisis cara membawa pecahan ke penyebut baru dengan benar, apa faktor tambahan itu, dan bagaimana menemukannya. Setelah itu, kita merumuskan aturan dasar pengurangan pecahan ke penyebut baru dan mengilustrasikannya dengan contoh soal.
Konsep pengurangan pecahan ke penyebut yang berbeda
Ingat sifat dasar pecahan. Menurutnya, pecahan biasa a b (di mana a dan b adalah bilangan apa saja) memiliki banyak pecahan yang sama dengannya. Pecahan seperti itu dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama m (alami). Dengan kata lain, semua pecahan biasa dapat diganti dengan pecahan lain yang berbentuk a m b m . Ini adalah pengurangan nilai asli menjadi pecahan dengan penyebut yang diinginkan.
Anda dapat membawa pecahan ke penyebut yang berbeda dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bilangan asli apa pun. Syarat utamanya adalah pengali harus sama untuk kedua bagian pecahan. Hasilnya adalah pecahan yang sama dengan aslinya.
Mari kita ilustrasikan ini dengan sebuah contoh.
Contoh 1
Ubah pecahan 11 25 ke penyebut baru.
Keputusan
Ambil bilangan asli 4 sembarang dan kalikan kedua bagian pecahan asli dengannya. Kami mempertimbangkan: 11 4 \u003d 44 dan 25 4 \u003d 100. Hasilnya adalah pecahan dari 44.100.
Semua perhitungan dapat ditulis dalam bentuk ini: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100
Ternyata pecahan apa pun dapat direduksi menjadi sejumlah besar penyebut yang berbeda. Alih-alih empat, kita bisa mengambil bilangan asli lain dan mendapatkan pecahan lain yang setara dengan yang asli.
Tapi tidak sembarang bilangan bisa menjadi penyebut pecahan baru. Jadi, untuk a b penyebut hanya dapat memuat bilangan b · m yang merupakan kelipatan dari b . Ingat konsep dasar pembagian - kelipatan dan pembagi. Jika bilangan tersebut bukan kelipatan b, tetapi tidak dapat menjadi pembagi pecahan baru. Mari kita jelaskan ide kita dengan contoh pemecahan masalah.
Contoh 2
Hitung apakah mungkin untuk mengurangi pecahan 5 9 menjadi penyebut 54 dan 21.
Keputusan
54 adalah kelipatan sembilan, yang merupakan penyebut pecahan baru (yaitu 54 dapat dibagi 9). Oleh karena itu, pengurangan seperti itu dimungkinkan. Dan kita tidak dapat membagi 21 dengan 9, jadi tindakan seperti itu tidak dapat dilakukan untuk pecahan ini.
Konsep pengganda tambahan
Mari kita rumuskan apa itu faktor tambahan.
Definisi 1
Pengganda tambahan adalah bilangan asli yang dengannya kedua bagian pecahan dikalikan untuk membawanya ke penyebut baru.
Itu. ketika kami melakukan tindakan ini pada pecahan, kami mengambil pengganda tambahan untuk itu. Misalnya, untuk mereduksi pecahan 7 10 menjadi bentuk 21 30, kita memerlukan faktor tambahan 3 . Dan Anda bisa mendapatkan pecahan 15 40 dari 3 8 menggunakan pengganda 5.
Dengan demikian, jika kita mengetahui penyebut pecahan yang harus dikurangi, maka kita dapat menghitung faktor tambahan untuk itu. Mari kita cari tahu bagaimana melakukannya.
Kami memiliki pecahan a b , yang dapat direduksi menjadi beberapa penyebut c ; hitung faktor tambahan m . Kita perlu mengalikan penyebut pecahan asal dengan m. Kami mendapatkan b · m , dan sesuai dengan kondisi masalah b · m = c . Ingat bagaimana perkalian dan pembagian saling berhubungan. Hubungan ini akan membawa kita pada kesimpulan berikut: faktor tambahan tidak lain adalah hasil bagi dari membagi c dengan b, dengan kata lain, m = c: b.
Jadi, untuk menemukan faktor tambahan, kita perlu membagi penyebut yang diperlukan dengan yang asli.
Contoh 3
Temukan faktor tambahan yang dengannya pecahan 17 4 dibawa ke penyebut 124 .
Keputusan
Dengan menggunakan aturan di atas, kita cukup membagi 124 dengan penyebut pecahan asal, empat.
Kami mempertimbangkan: 124: 4 \u003d 31.
Jenis perhitungan ini sering diperlukan saat mengurangi pecahan ke penyebut yang sama.
Aturan untuk mengurangi pecahan ke penyebut tertentu
Mari beralih ke definisi aturan dasar, yang dengannya Anda dapat membawa pecahan ke penyebut yang ditentukan. Jadi,
Definisi 2
Untuk membawa pecahan ke penyebut yang ditentukan, Anda perlu:
- menentukan pengganda tambahan;
- kalikan dengan pembilang dan penyebut pecahan asal.
Bagaimana menerapkan aturan ini dalam praktik? Mari kita beri contoh penyelesaian masalah.
Contoh 4
Kerjakan pengurangan pecahan 7 16 menjadi penyebut 336 .
Keputusan
Mari kita mulai dengan menghitung pengali tambahan. Bagi: 336: 16 = 21.
Kami mengalikan jawaban yang diterima dengan kedua bagian dari pecahan asli: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Jadi kami membawa pecahan asli ke penyebut yang diinginkan 336.
Jawaban: 7 16 = 147 336.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Saya awalnya ingin memasukkan metode penyebut umum dalam paragraf "Menambahkan dan Mengurangi Pecahan". Tetapi ada begitu banyak informasi, dan kepentingannya sangat besar (bagaimanapun, tidak hanya pecahan numerik yang memiliki penyebut yang sama), sehingga lebih baik untuk mempelajari masalah ini secara terpisah.
Jadi katakanlah kita memiliki dua pecahan dengan penyebut yang berbeda. Dan kami ingin memastikan bahwa penyebutnya sama. Properti utama pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, izinkan saya mengingatkan Anda, terdengar seperti ini:
Pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.
Jadi, jika Anda memilih faktor dengan benar, penyebut pecahan akan sama - proses ini disebut pengurangan ke penyebut yang sama. Dan angka-angka yang diinginkan, "meratakan" penyebut, disebut faktor tambahan.
Mengapa Anda perlu membawa pecahan ke penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:
- Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
- Perbandingan pecahan. Terkadang pengurangan menjadi penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
- Memecahkan masalah pada saham dan persentase. Persentase sebenarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.
Ada banyak cara untuk menemukan bilangan yang menyamakan penyebutnya saat dikalikan. Kami hanya akan mempertimbangkan tiga di antaranya - untuk meningkatkan kompleksitas dan, dalam arti tertentu, efisiensi.
Perkalian "silang-silang"
Cara paling sederhana dan paling andal, yang dijamin menyamakan penyebutnya. Kami akan bertindak "di depan": kami mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan yang kedua dengan penyebut yang pertama. Akibatnya, penyebut kedua pecahan akan menjadi sama dengan produk dari penyebut aslinya. Lihatlah:
Sebagai faktor tambahan, pertimbangkan penyebut pecahan bertetangga. Kita mendapatkan:
Ya, sesederhana itu. Jika Anda baru mulai belajar pecahan, lebih baik bekerja dengan metode ini - dengan cara ini Anda akan memastikan diri Anda dari banyak kesalahan dan dijamin akan mendapatkan hasilnya.
Satu-satunya kelemahan dari metode ini adalah Anda harus menghitung banyak, karena penyebutnya dikalikan "depan", dan sebagai hasilnya, Anda dapat memperoleh angka yang sangat besar. Itulah harga kehandalan.
Metode pembagi umum
Teknik ini sangat membantu mengurangi perhitungan, tetapi sayangnya, ini jarang digunakan. Metodenya adalah sebagai berikut:
- Lihatlah penyebutnya sebelum Anda pergi "melalui" (yaitu, "saling silang"). Mungkin salah satunya (yang lebih besar) dapat dibagi oleh yang lain.
- Bilangan yang dihasilkan dari pembagian tersebut akan menjadi faktor tambahan untuk pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
- Pada saat yang sama, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - ini adalah penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.
Tugas. Temukan nilai ekspresi:
Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut habis dibagi tanpa sisa oleh yang lain, kami menggunakan metode faktor persekutuan. Kita punya:
Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan dengan apa pun. Faktanya, kami telah memotong jumlah perhitungan menjadi dua!
Omong-omong, saya mengambil pecahan dalam contoh ini karena suatu alasan. Jika Anda tertarik, coba hitung menggunakan metode silang. Setelah pengurangan, jawabannya akan sama, tetapi akan ada lebih banyak pekerjaan.
Ini adalah kekuatan dari metode pembagi biasa, tetapi, sekali lagi, ini hanya dapat diterapkan ketika salah satu penyebut dibagi dengan yang lain tanpa sisa. Yang cukup jarang terjadi.
Metode kelipatan yang paling tidak umum
Ketika kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya kita mencoba mencari bilangan yang habis dibagi oleh masing-masing penyebutnya. Kemudian kami membawa penyebut kedua pecahan ke nomor ini.
Ada banyak angka seperti itu, dan yang terkecil tidak selalu sama dengan produk langsung dari penyebut pecahan asli, seperti yang diasumsikan dalam metode "melintasi".
Misalnya, untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Jumlah ini jauh lebih kecil dari hasil kali 8 12 = 96 .
Bilangan terkecil yang habis dibagi setiap penyebutnya disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dinotasikan dengan KPK(a ; b ) . Misalnya KPK(16; 24) = 48 ; KPK(8; 12) = 24 .
Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungan akan menjadi minimal. Lihat contohnya:
Tugas. Temukan nilai ekspresi:
Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Faktor 2 dan 3 adalah koprima (tidak memiliki pembagi persekutuan kecuali 1), dan faktor 117 adalah persekutuan. Jadi KPK(234; 351) = 117 2 3 = 702.
Demikian pula, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Faktor 3 dan 4 relatif prima, dan faktor 5 biasa. Jadi KPK(15; 20) = 5 3 4 = 60.
Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:
Perhatikan betapa bergunanya faktorisasi penyebut aslinya:
- Setelah menemukan faktor yang sama, kami segera mencapai kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, adalah masalah non-sepele;
- Dari ekspansi yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang "hilang" untuk masing-masing pecahan. Misalnya, 234 3 \u003d 702, oleh karena itu, untuk pecahan pertama, faktor tambahannya adalah 3.
Untuk menghargai berapa banyak kemenangan yang diberikan oleh metode kelipatan yang paling tidak umum, coba hitung contoh yang sama menggunakan metode berselang-seling. Tentu saja, tanpa kalkulator. Saya pikir setelah itu komentar akan berlebihan.
Jangan berpikir bahwa pecahan kompleks seperti itu tidak akan ada dalam contoh nyata. Mereka bertemu sepanjang waktu, dan tugas-tugas di atas bukanlah batasnya!
Satu-satunya masalah adalah bagaimana menemukan NOC ini. Terkadang semuanya ditemukan dalam beberapa detik, secara harfiah "dengan mata", tetapi secara umum ini adalah masalah komputasi kompleks yang memerlukan pertimbangan terpisah. Di sini kita tidak akan menyentuh ini.
Untuk membawa pecahan ke penyebut persekutuan terkecil, Anda harus: 1) menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan ini, itu akan menjadi penyebut persekutuan terkecil. 2) temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang penyebutnya kita bagi dengan penyebut masing-masing pecahan. 3) kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.
Contoh. Kurangi pecahan berikut ke penyebut persekutuan terkecil.
Kami menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut: KPK(5; 4) = 20, karena 20 adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 5 dan 4. Kami menemukan untuk pecahan pertama faktor tambahan 4 (20 : 5=4). Untuk pecahan ke-2, pengali tambahannya adalah 5 (20 : 4=5). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, dan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5. Kami mengurangi pecahan ini menjadi penyebut umum terendah ( 20 ).
Penyebut persekutuan terkecil dari pecahan ini adalah 8, karena 8 habis dibagi 4 dan dirinya sendiri. Tidak akan ada pengali tambahan untuk pecahan ke-1 (atau kita dapat mengatakan bahwa itu sama dengan satu), ke pecahan ke-2 pengali tambahannya adalah 2 (8 : 4=2). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 2. Kami mengurangi pecahan ini menjadi penyebut persekutuan terendah ( 8 ).
Fraksi ini tidak dapat direduksi.
Kami mengurangi pecahan pertama dengan 4, dan kami mengurangi pecahan ke-2 dengan 2. ( lihat contoh pengurangan pecahan biasa: Peta Situs → 5.4.2. Contoh pengurangan pecahan biasa). Cari KPK(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Pengganda tambahan untuk pecahan pertama adalah 5 (80 : 16=5). Pengganda tambahan untuk pecahan ke-2 adalah 4 (80 : 20=4). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 5, dan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 4. Kami mengurangi pecahan ini ke penyebut umum terendah ( 80 ).
Temukan penyebut terkecil dari NOC(5 ; 6 dan 15) = KPK(5 ; 6 dan 15)=30. Pengganda tambahan untuk pecahan pertama adalah 6 (30 : 5=6), pengali tambahan untuk pecahan ke-2 adalah 5 (30 : 6=5), pengali tambahan ke pecahan ke-3 adalah 2 (30 : 15=2). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-1 dengan 6, pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5, pembilang dan penyebut pecahan ke-3 dengan 2. Kami mengurangi pecahan-pecahan ini menjadi penyebut persekutuan terendah ( 30 ).
Halaman 1 dari 1 1
Penyebut suatu pecahan a/b adalah bilangan b, yang menunjukkan besar pecahan dari salah satu pembentuk pecahan tersebut. Penyebut pecahan aljabar A / B adalah ekspresi aljabar B. Untuk melakukan operasi aritmatika dengan pecahan, mereka harus direduksi menjadi penyebut persekutuan terkecil.
Anda akan perlu
- Untuk bekerja dengan pecahan aljabar ketika menemukan penyebut terkecil, Anda perlu mengetahui metode pemfaktoran polinomial.
Petunjuk
Pertimbangkan pengurangan ke penyebut terkecil dari dua pecahan aritmatika n/m dan s/t, di mana n, m, s, t adalah bilangan bulat. Jelas bahwa kedua pecahan ini dapat direduksi menjadi penyebut apa pun yang habis dibagi m dan t. Tapi mereka mencoba membawa ke common denominator terendah. Itu sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut m dan t dari pecahan yang diberikan. Kelipatan terkecil (KPK) bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi semua bilangan yang diberikan pada waktu yang bersamaan. Itu. dalam kasus kami, perlu untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka m dan t. Dilambangkan sebagai KPK (m, t). Selanjutnya, pecahan dikalikan dengan yang sesuai: (n/m) * (KPK (m, t) / m), (s/t) * (KPK (m, t) / t).
Mari kita cari penyebut terkecil dari tiga pecahan: 4/5, 7/8, 11/14. Pertama, kita perluas penyebut 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Selanjutnya kita hitung KPK (5, 8, 14), mengalikan semua angka yang termasuk dalam setidaknya satu dari ekspansi. KPK (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Perhatikan bahwa jika faktor tersebut terjadi pada pemuaian beberapa bilangan (faktor 2 pada pemuaian penyebut 8 dan 14), maka kita ambil faktornya menjadi derajat yang lebih besar (2^3 dalam kasus kami).
Jadi, jenderal diterima. Itu sama dengan 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Di sini kita mendapatkan angka yang dengannya pecahan dengan penyebut yang sesuai harus dikalikan untuk membawanya ke penyebut umum terendah. Kami mendapatkan 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Pengurangan ke penyebut terkecil dari pecahan aljabar dilakukan dengan analogi dengan aritmatika. Untuk kejelasan, pertimbangkan masalah pada contoh. Biarkan dua pecahan (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) dan (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) diberikan. Mari kita faktorkan kedua penyebutnya. Perhatikan bahwa penyebut pecahan pertama adalah kuadrat sempurna: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Untuk
