Fungsi eksponensial adalah generalisasi dari hasil kali n bilangan yang sama dengan a :
kamu (n) = a n = a a a a,
ke himpunan bilangan real x :
kamu (x) = x.
Di sini a adalah bilangan real tetap, yang disebut dasar dari fungsi eksponensial.
Fungsi eksponensial dengan basis a disebut juga eksponensial ke basis a.

Generalisasi dilakukan sebagai berikut.
Untuk x alami = 1, 2, 3,... , fungsi eksponensial adalah produk dari x faktor:
.
Selain itu, ia memiliki properti (1,5-8) (), yang mengikuti aturan untuk mengalikan angka. Pada nol dan nilai negatif bilangan bulat , fungsi eksponensial ditentukan oleh rumus (1.9-10). Untuk nilai pecahan x = m/n bilangan rasional, , ditentukan dengan rumus (1.11). Untuk real , fungsi eksponensial didefinisikan sebagai limit dari barisan:
,
di mana adalah urutan sembarang bilangan rasional konvergen ke x : .
Dengan definisi ini, fungsi eksponensial didefinisikan untuk semua , dan memenuhi sifat (1.5-8), serta untuk x alami .

Formulasi matematis yang ketat tentang definisi fungsi eksponensial dan bukti sifat-sifatnya diberikan pada halaman "Definisi dan bukti sifat-sifat fungsi eksponensial".

Sifat-sifat fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial y = a x memiliki sifat-sifat berikut pada himpunan bilangan real () :
(1.1) didefinisikan dan kontinu, untuk , untuk semua ;
(1.2) ketika 1 memiliki banyak arti;
(1.3) meningkat secara ketat pada , menurun secara ketat pada ,
konstan di ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Formula berguna lainnya
.
Rumus untuk mengonversi ke fungsi eksponensial dengan basis daya yang berbeda:

Untuk b = e , kita mendapatkan ekspresi fungsi eksponensial dalam bentuk eksponen:

Nilai pribadi

, , , , .

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi eksponensial
kamu (x) = x
untuk empat nilai dasar derajat:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 dan a = 1/8 . Dapat dilihat bahwa untuk > 1 fungsi eksponensial meningkat secara monoton. Semakin besar basis derajat a, semakin kuat pertumbuhannya. Pada 0 < a < 1 fungsi eksponensial menurun secara monoton. Semakin kecil eksponen a, semakin kuat penurunannya.

Naik turun

Fungsi eksponensial di sangat monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utamanya disajikan dalam tabel.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domain	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Jarak nilai	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Nada datar	meningkat secara monoton	berkurang secara monoton
Nol, y= 0	Tidak	Tidak
Titik potong dengan sumbu y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Fungsi terbalik

Kebalikan dari fungsi eksponensial dengan basis derajat a adalah logaritma ke basis a.

Jika kemudian
.
Jika kemudian
.

Diferensiasi fungsi eksponensial

Untuk membedakan fungsi eksponensial, basisnya harus direduksi menjadi angka e, menerapkan tabel turunan dan aturan untuk membedakan fungsi kompleks.

Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan properti logaritma
dan rumus dari tabel turunan:
.

Biarkan fungsi eksponensial diberikan:
.
Kami membawanya ke pangkalan e:

Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks. Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan variabel

Kemudian

Dari tabel turunan yang kita miliki (ganti variabel x dengan z ):
.
Karena adalah konstanta, turunan dari z terhadap x adalah
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.

Turunan dari fungsi eksponensial

.
Turunan dari orde ke-n:
.
Turunan rumus > > >

Contoh untuk membedakan fungsi eksponensial:

Tentukan turunan dari suatu fungsi
y= 35x

Keputusan

Kami menyatakan basis fungsi eksponensial dalam hal nomor e.
3 = e log 3
Kemudian
.
Kami memperkenalkan variabel
.
Kemudian

Dari tabel turunan kita menemukan:
.
Sejauh 5ln 3 adalah konstanta, maka turunan dari z terhadap x adalah:
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, kami memiliki:
.

Menjawab

Integral

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Perhatikan fungsi bilangan kompleks z:
f (z) = az
dimana z = x + iy ; saya 2 = - 1 .
Kami menyatakan konstanta kompleks a dalam modulus r dan argumen :
a = r e i
Kemudian


.
Argumen tidak didefinisikan secara unik. Secara umum
φ = φ 0 + 2 pn,
dimana n adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, fungsi f (z) juga ambigu. Sering dianggap sebagai kepentingan utamanya
.

Ekspansi dalam seri

.

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Hipotesis: Jika Anda mempelajari pergerakan grafik selama pembentukan persamaan fungsi, Anda akan melihat bahwa semua grafik mematuhi hukum umum, oleh karena itu, Anda dapat merumuskan hukum umum terlepas dari fungsinya, yang tidak hanya akan memfasilitasi konstruksi grafik berbagai fungsi, tetapi juga menggunakannya dalam memecahkan masalah.

Tujuan: Untuk mempelajari pergerakan grafik fungsi:

1) Tugas mempelajari sastra

2) Belajar membuat grafik berbagai fungsi

3) Belajar mengonversi grafik fungsi linier

4) Pertimbangkan penggunaan grafik dalam memecahkan masalah

Objek studi: Grafik fungsi

Subyek penelitian: Pergerakan grafik fungsi

Relevansi: Konstruksi grafik fungsi, sebagai suatu peraturan, membutuhkan banyak waktu dan membutuhkan perhatian dari siswa, tetapi mengetahui aturan untuk mengubah grafik fungsi dan grafik fungsi dasar, Anda dapat dengan cepat dan mudah membuat grafik fungsi, yang akan memungkinkan Anda tidak hanya menyelesaikan tugas untuk merencanakan grafik fungsi, tetapi juga memecahkan masalah terkait (untuk menemukan maksimum (ketinggian waktu minimum dan titik pertemuan))

Proyek ini berguna untuk semua siswa sekolah.

Tinjauan Literatur:

Literatur membahas cara membuat graf berbagai fungsi, serta contoh-contoh transformasi graf fungsi-fungsi tersebut. Grafik dari hampir semua fungsi utama digunakan dalam berbagai proses teknis, yang memungkinkan untuk lebih jelas menyajikan jalannya proses dan memprogram hasilnya

Fungsi permanen. Fungsi ini diberikan oleh rumus y = b, di mana b adalah suatu bilangan. Grafik fungsi konstanta adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dan melalui titik (0; b) pada sumbu y. Grafik fungsi y \u003d 0 adalah sumbu absis.

Jenis-jenis fungsi 1 Proporsionalitas langsung. Fungsi ini diberikan oleh rumus y \u003d kx, di mana koefisien proporsionalitas k 0. Grafik proporsionalitas langsung adalah garis lurus yang melalui titik asal.

Fungsi linear. Fungsi tersebut diberikan oleh rumus y = kx + b, di mana k dan b adalah bilangan real. Grafik fungsi linier adalah garis lurus.

Grafik fungsi linier dapat berpotongan atau sejajar.

Jadi, garis-garis grafik fungsi linier y \u003d k 1 x + b 1 dan y \u003d k 2 x + b 2 berpotongan jika k 1 k 2; jika k 1 = k 2 , maka garis-garisnya sejajar.

2Proporsionalitas terbalik adalah fungsi yang diberikan oleh rumus y \u003d k / x, di mana k 0. K disebut koefisien proporsionalitas terbalik. Grafik proporsionalitas terbalik adalah hiperbola.

Fungsi y \u003d x 2 diwakili oleh grafik yang disebut parabola: pada interval [-~; 0] fungsi menurun, pada interval fungsi meningkat.

Fungsi y \u003d x 3 meningkat di sepanjang garis bilangan dan secara grafis diwakili oleh parabola kubik.

Fungsi daya dengan eksponen alami. Fungsi ini diberikan oleh rumus y \u003d x n, di mana n adalah bilangan asli. Grafik fungsi pangkat dengan eksponen alami bergantung pada n. Misalnya jika n = 1, maka grafiknya berupa garis lurus (y = x), jika n = 2, maka grafiknya berbentuk parabola, dsb.

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif diwakili oleh rumus y \u003d x -n, di mana n adalah bilangan asli. Fungsi ini didefinisikan untuk semua x 0. Grafik fungsi juga tergantung pada eksponen n.

Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan positif. Fungsi ini diwakili oleh rumus y \u003d x r, di mana r adalah pecahan positif yang tidak dapat direduksi. Fungsi ini juga bukan genap maupun ganjil.

Graph-line yang menampilkan hubungan variabel dependen dan independen pada bidang koordinat. Grafik berfungsi untuk menampilkan elemen-elemen tersebut secara visual.

Variabel independen adalah variabel yang dapat mengambil nilai apa pun dalam ruang lingkup fungsi (di mana fungsi yang diberikan masuk akal (tidak dapat dibagi dengan nol))

Untuk memplot grafik fungsi,

1) Temukan ODZ (rentang nilai yang dapat diterima)

2) ambil beberapa nilai arbitrer untuk variabel independen

3) Temukan nilai variabel terikat

4) Bangun bidang koordinat, tandai titik-titik ini di atasnya

5) Hubungkan garis-garisnya jika perlu, selidiki grafik yang dihasilkan Transformasi grafik fungsi dasar.

Konversi Grafik

Dalam bentuknya yang murni, fungsi dasar dasar, sayangnya, tidak begitu umum. Lebih sering kita harus berurusan dengan fungsi dasar yang diperoleh dari fungsi dasar dasar dengan menambahkan konstanta dan koefisien. Grafik fungsi tersebut dapat dibangun dengan menerapkan transformasi geometrik ke grafik fungsi dasar dasar yang sesuai (atau dengan beralih ke sistem koordinat baru). Misalnya, rumus fungsi kuadrat adalah rumus parabola kuadrat, dikompresi tiga kali relatif terhadap sumbu ordinat, ditampilkan secara simetris relatif terhadap sumbu absis, digeser melawan arah sumbu ini sebesar 2/3 unit dan digeser sepanjang arah ordinat sumbu sebanyak 2 unit.

Mari kita pahami transformasi geometrik dari grafik fungsi ini selangkah demi selangkah menggunakan contoh spesifik.

Dengan bantuan transformasi geometrik dari grafik fungsi f (x), grafik fungsi apa pun dari rumus bentuk dapat dibangun, di mana rumusnya adalah koefisien kompresi atau ekspansi di sepanjang sumbu oy dan ox, masing-masing, minus tanda di depan rumus koefisien dan rumus menunjukkan tampilan simetris dari grafik relatif terhadap sumbu koordinat , a dan b menentukan pergeseran relatif terhadap sumbu absis dan sumbu ordinat, masing-masing.

Jadi, ada tiga jenis transformasi geometrik dari graf fungsi:

Jenis pertama adalah penskalaan (kompresi atau ekspansi) di sepanjang sumbu absis dan ordinat.

Perlunya penskalaan ditunjukkan oleh koefisien rumus selain satu, jika jumlahnya kurang dari 1, maka grafik dikompresi relatif terhadap oy dan diregangkan relatif terhadap sapi, jika jumlahnya lebih besar dari 1, maka kita regangkan sepanjang sumbu ordinat dan menyusut sepanjang sumbu absis.

Tipe kedua adalah tampilan simetris (cermin) terhadap sumbu koordinat.

Perlunya transformasi ini ditunjukkan oleh tanda minus di depan koefisien rumus (dalam hal ini, kami menampilkan grafik secara simetris terhadap sumbu sapi) dan rumus (dalam hal ini, kami menampilkan grafik secara simetris dengan terhadap sumbu y). Jika tidak ada tanda minus, maka langkah ini dilewati.

Transformasi Grafik Fungsi

Pada artikel ini, saya akan memperkenalkan Anda pada transformasi linier dari grafik fungsi dan menunjukkan bagaimana menggunakan transformasi ini dari grafik fungsi untuk mendapatkan grafik fungsi.

Transformasi linier suatu fungsi adalah transformasi fungsi itu sendiri dan/atau argumennya ke bentuk , serta transformasi yang berisi modul argumen dan/atau fungsi.

Tindakan berikut menyebabkan kesulitan terbesar dalam merencanakan grafik menggunakan transformasi linier:

1. Isolasi fungsi dasar, sebenarnya, grafik yang kita ubah.
2. Definisi orde transformasi.

Dan Pada poin-poin inilah kita akan membahas lebih detail.

Mari kita lihat lebih dekat fungsinya

Ini didasarkan pada fungsi. Mari kita panggil dia fungsi dasar.

Saat merencanakan fungsi kami membuat transformasi dari grafik fungsi dasar .

Jika kita mengubah fungsi dalam urutan yang sama di mana nilainya ditemukan untuk nilai argumen tertentu, maka

Mari kita pertimbangkan jenis argumen linier dan transformasi fungsi yang ada, dan bagaimana melakukannya.

Transformasi argumen.

1. f(x) f(x+b)

1. Kami membangun grafik fungsi

2. Kami menggeser grafik fungsi sepanjang sumbu OX dengan |b| unit

• kiri jika b>0
• benar jika b<0

Mari kita plot fungsinya

1. Kami memplot fungsinya

2. Geser 2 satuan ke kanan:

2. f(x) f(kx)

1. Kami membangun grafik fungsi

2. Bagi absis titik grafik dengan k, biarkan ordinat titik tidak berubah.

Mari kita plot fungsinya.

1. Kami memplot fungsinya

2. Bagi semua absis titik grafik dengan 2, biarkan ordinat tidak berubah:

3. f(x) f(-x)

1. Kami membangun grafik fungsi

2. Kami menampilkannya secara simetris terhadap sumbu OY.

Mari kita plot fungsinya.

1. Kami memplot fungsinya

2. Kami menampilkannya secara simetris tentang sumbu OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Kami memplot fungsinya

2. Kami menghapus bagian grafik yang terletak di sebelah kiri sumbu OY, bagian grafik yang terletak di sebelah kanan sumbu OY Kami menyelesaikannya secara simetris tentang sumbu OY:

Grafik fungsi terlihat seperti ini:

Mari kita plot fungsinya

1. Kami membuat grafik fungsi (ini adalah grafik fungsi yang digeser sepanjang sumbu OX sebanyak 2 unit ke kiri):

2. Bagian dari grafik yang terletak di sebelah kiri OY (x<0) стираем:

3. Bagian grafik yang terletak di sebelah kanan sumbu OY (x>0) diselesaikan secara simetris terhadap sumbu OY:

Penting! Dua aturan utama untuk konversi argumen.

1. Semua transformasi argumen dilakukan di sepanjang sumbu OX

2. Semua transformasi argumen dilakukan "sebaliknya" dan "dalam urutan terbalik".

Misalnya, dalam suatu fungsi, urutan transformasi argumen adalah sebagai berikut:

1. Kami mengambil modul dari x.

2. Tambahkan angka 2 ke modulo x.

Tapi kami melakukan plot dalam urutan terbalik:

Pertama, kami melakukan transformasi 2. - menggeser grafik sebanyak 2 unit ke kiri (yaitu, absis titik dikurangi 2, seolah-olah "sebaliknya")

Kemudian kami melakukan transformasi f(x) f(|x|).

Secara singkat, urutan transformasi ditulis sebagai berikut:

Sekarang mari kita bicara tentang transformasi fungsi . Transformasi sedang dilakukan

1. Sepanjang sumbu OY.

2. Dalam urutan yang sama di mana tindakan dilakukan.

Berikut adalah transformasinya:

1. f(x)f(x)+D

2. Geser sepanjang sumbu OY dengan |D| unit

• naik jika D>0
• turun jika D<0

Mari kita plot fungsinya

1. Kami memplot fungsinya

2. Pindahkan sepanjang sumbu OY sebanyak 2 unit ke atas:

2. f(x)Af(x)

1. Kami memplot fungsi y=f(x)

2. Kami mengalikan koordinat semua titik grafik dengan A, kami membiarkan absis tidak berubah.

Mari kita plot fungsinya

1. Gambarkan fungsinya

2. Kami mengalikan ordinat semua titik grafik dengan 2:

3.f(x)-f(x)

1. Kami memplot fungsi y=f(x)

Mari kita plot fungsinya.

1. Kami membangun grafik fungsi.

2. Kami menampilkannya secara simetris tentang sumbu OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Kami memplot fungsi y=f(x)

2. Bagian grafik yang terletak di atas sumbu OX dibiarkan tidak berubah, bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX ditampilkan secara simetris terhadap sumbu ini.

Mari kita plot fungsinya

1. Kami membangun grafik fungsi. Ini diperoleh dengan menggeser grafik fungsi sepanjang sumbu OY sebanyak 2 unit ke bawah:

2. Sekarang bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX akan ditampilkan secara simetris terhadap sumbu ini:

Dan transformasi terakhir, yang sebenarnya tidak bisa disebut transformasi fungsi, karena hasil transformasi ini bukan lagi fungsi:

|y|=f(x)

1. Kami memplot fungsi y=f(x)

2. Kami menghapus bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX, kemudian kami menyelesaikan bagian grafik yang terletak di atas sumbu OX secara simetris terhadap sumbu ini.

Mari kita buat grafik persamaannya

1. Kami membangun grafik fungsi:

2. Kami menghapus bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX:

3. Bagian grafik yang terletak di atas sumbu OX diselesaikan secara simetris terhadap sumbu ini.

Dan akhirnya, saya sarankan Anda menonton PELAJARAN VIDEO di mana saya menunjukkan algoritma langkah-demi-langkah untuk merencanakan grafik fungsi

Grafik fungsi ini terlihat seperti ini:

Manakah dari fungsi-fungsi ini yang memiliki invers? Untuk fungsi tersebut temukan fungsi invers:

4.12. sebuah)	y=x;					b) y = 6 3x;
d) y =						e) y \u003d 2 x 3 +5;
4.13. sebuah)	y = 4x 5 ;						y \u003d 9 - 2 x - x 2;
	y = tanda x ;						y=1 + lg(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1 ;
			x 2
						di x< 0
c) y =		x
						untuk x 0

Cari tahu mana dari fungsi-fungsi ini yang monoton, yang benar-benar monoton, dan yang terbatas:

4.14. sebuah)

f (x) = c, c R ;

b) f (x) \u003d cos 2 x;

c) f (x) \u003d arctg x;

d) f (x) \u003d e 2 x;

e) f (x) \u003d -x 2 + 2 x;

e) f(x) =

2x+5

y = ctg7x .

4.15. sebuah)

f(x) = 3− x

b) f(x) =

f(x)=

x + 3

x+6

x< 0,

3x+5

d) f (x) \u003d 3 x 3 - x;

10 pukul

f(x)=

e) f(x) =

x 2 at

x 0;

x+1

f(x) = tg(sinx).

4.2. fungsi dasar. Transformasi Grafik Fungsi

Ingat bahwa grafik fungsi f (x) dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian Oxy adalah himpunan semua titik pada bidang dengan koordinat (x, f (x)).

Seringkali grafik fungsi y \u003d f (x) dapat dibangun menggunakan transformasi (pergeseran, peregangan) dari grafik beberapa fungsi yang sudah diketahui.

Secara khusus, dari grafik fungsi y \u003d f (x), grafik fungsi diperoleh:

1) y \u003d f (x) + a - bergeser di sepanjang sumbu Oy satu unit (naik jika a > 0, dan turun jika a< 0 ;

2) y \u003d f (x b) - bergeser di sepanjang sumbu Ox sebanyak b unit (ke kanan, jika b > 0,

dan ke kiri jika b< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - dengan meregangkan sepanjang sumbu Oy sebanyak k kali;

4) y \u003d f (mx) - kompresi sepanjang sumbu Ox sebanyak m kali;

5) y \u003d - f (x) - refleksi simetris tentang sumbu Ox;

6) y \u003d f (−x) - refleksi simetris tentang sumbu Oy;

7) y \u003d f (x), sebagai berikut: bagian grafik yang terletak tidak

di bawah sumbu Ox, tetap tidak berubah, dan bagian "bawah" dari grafik direfleksikan secara simetris terhadap sumbu Ox;

8) y = f (x ) , sebagai berikut: ruas kanan grafik (untuk x 0 )

tetap tidak berubah, dan bukannya "kiri" refleksi simetris dari "kanan" tentang sumbu Oy dibangun.

Fungsi dasar utama disebut:

1) fungsi konstan y = c;

2) fungsi daya y = x , R ;

3) fungsi eksponensial y \u003d a x, a 0, a 1;

4) logaritma fungsi y = log a x , a > 0, a 1 ;

5) trigonometri fungsi y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (di mana sec x = cos 1 x ), y = cosec x (di mana cosec x = sin 1 x );

6) fungsi trigonometri terbalik y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

fungsi dasar disebut fungsi yang diperoleh dari fungsi dasar dasar dengan bantuan sejumlah terbatas operasi aritmatika (+, , ) dan komposisi (yaitu, pembentukan fungsi kompleks f g ).

Contoh 4.6. Gambarkan sebuah fungsi

1) y \u003d x 2 + 6 x + 7; 2) y = 2sin 4 x .

Penyelesaian: 1) dengan menyorot persegi penuh, fungsi tersebut diubah ke bentuk y = (x +3) 2 2, sehingga grafik fungsi ini dapat diperoleh dari grafik fungsi y = x 2 . Cukup untuk terlebih dahulu menggeser parabola y \u003d x 2 tiga unit ke kiri (kita mendapatkan grafik fungsi y \u003d (x +3) 2), dan kemudian dua unit ke bawah (Gbr. 4.1);

	standar	sinusoida						y = sin x	empat kali sepanjang sumbu		Sapi,
kita mendapatkan grafik fungsi y \u003d sin 4 x (Gbr. 4.2).
										y=sin4x
										y=sin x

Meregangkan grafik yang dihasilkan dua kali di sepanjang sumbu Oy, kami mendapatkan grafik fungsi y \u003d 2sin 4 x (Gbr. 4.3). Tetap mencerminkan grafik terakhir relatif terhadap sumbu Ox. Hasilnya akan menjadi grafik yang diinginkan (lihat Gambar 4.3).

						y=2sin4x

y=–2sin4x

Tugas untuk solusi independen

Buatlah grafik fungsi-fungsi berikut, berdasarkan grafik fungsi dasar utama:

4.16. a) y \u003d x 2 -6 x +11;

4.17. a) y = 2sin(x ) ;

4.18. a) y = 4 x 1 ;

4.19. a) y = log 2 (−x );

4.20. a) y = x +5 ;

4.21. a) y \u003d tg x;

4.22. a) y = tanda x ;

4.23. a) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 - 2 x - x 2 .

y = 2 cos 2 x .

Bergantung pada kondisi jalannya proses fisik, beberapa kuantitas mengambil nilai konstan dan disebut konstanta, yang lain berubah dalam kondisi tertentu dan disebut variabel.

Sebuah studi yang cermat tentang lingkungan menunjukkan bahwa besaran-besaran fisika saling bergantung satu sama lain, yaitu, perubahan dalam beberapa besaran memerlukan perubahan pada yang lain.

Analisis matematis mempelajari hubungan kuantitatif dari kuantitas yang saling berubah, mengabstraksikan dari makna fisik tertentu. Salah satu konsep dasar analisis matematika adalah konsep fungsi.

Perhatikan unsur-unsur himpunan dan unsur-unsur himpunan
(Gbr. 3.1).

Jika beberapa korespondensi dibuat antara elemen-elemen himpunan
dan sebagai peraturan , maka kita perhatikan bahwa fungsi terdefinisi
.

Definisi 3.1. Kesesuaian , yang terkait dengan setiap elemen bukan himpunan kosong
beberapa elemen yang terdefinisi dengan baik bukan himpunan kosong , disebut fungsi atau pemetaan
di .

Menampilkan secara simbolis
di ditulis sebagai berikut:

.

Pada saat yang sama, banyak
disebut domain fungsi dan dinotasikan
.

Pada gilirannya, banyak disebut jangkauan fungsi dan dilambangkan
.

Selain itu, perlu diperhatikan bahwa unsur-unsur himpunan
disebut variabel bebas, anggota himpunan disebut variabel terikat.

Cara untuk mengatur fungsi

Fungsi dapat didefinisikan dengan cara utama berikut: tabular, grafis, analitis.

Jika, berdasarkan data eksperimental, tabel dikompilasi yang berisi nilai fungsi dan nilai argumen yang sesuai, maka metode penentuan fungsi ini disebut tabular.

Pada saat yang sama, jika beberapa studi dari hasil eksperimen dikeluarkan ke pencatat (osiloskop, perekam, dll.), maka dicatat bahwa fungsi diatur secara grafis.

Yang paling umum adalah cara analitis untuk mendefinisikan suatu fungsi, mis. metode di mana variabel independen dan dependen dihubungkan menggunakan rumus. Dalam hal ini, domain definisi fungsi memainkan peran penting:

berbeda, meskipun mereka diberikan oleh hubungan analitis yang sama.

Jika hanya rumus fungsi yang diberikan
, maka kami menganggap bahwa domain definisi fungsi ini bertepatan dengan himpunan nilai-nilai variabel tersebut , yang ekspresinya
memiliki arti. Dalam hal ini, masalah menemukan domain suatu fungsi memainkan peran khusus.

Tugas 3.1. Temukan ruang lingkup suatu fungsi

Keputusan

Suku pertama mengambil nilai riil pada
, dan yang kedua di. Jadi, untuk menemukan domain definisi fungsi yang diberikan, perlu untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan:

Sebagai hasil dari solusi sistem seperti itu, kami memperoleh . Oleh karena itu, domain dari fungsi tersebut adalah segmen
.

Transformasi paling sederhana dari grafik fungsi

Konstruksi grafik fungsi dapat sangat disederhanakan jika kita menggunakan grafik fungsi dasar utama yang diketahui. Fungsi berikut disebut fungsi dasar dasar:

1) fungsi daya
di mana
;

2) fungsi eksponensial
di mana
dan
;

3) fungsi logaritma
, di mana - bilangan positif apa pun selain satu:
dan
;

4) fungsi trigonometri




;
.

5) fungsi trigonometri terbalik
;
;
;
.

Fungsi dasar disebut fungsi yang diperoleh dari fungsi dasar dasar dengan menggunakan empat operasi aritmatika dan superposisi yang diterapkan beberapa kali.

Transformasi geometris sederhana juga menyederhanakan proses plotting fungsi. Transformasi ini didasarkan pada pernyataan berikut:

Grafik fungsi y=f(x+a) adalah grafik y=f(x), digeser (untuk a >0 ke kiri, untuk a< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Grafik fungsi y=f(x) +b memiliki grafik y=f(x), bergeser (jika b>0 ke atas, jika b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Grafik fungsi y = mf(x) (m0) adalah grafik y = f(x), diregangkan (untuk m>1) m kali atau dimampatkan (untuk 0

Grafik fungsi y = f(kx) adalah grafik y = f(x), dimampatkan (untuk k > 1) k kali atau diregangkan (untuk 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.