Saat memecahkan banyak Soal matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan ditentukan dengan jelas. Masalah tersebut meliputi, misalnya, persamaan linier dan kuadrat, pertidaksamaan linier dan kuadrat, persamaan pecahan, dan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat. Prinsip solusi yang berhasil dari masing-masing tugas yang disebutkan adalah sebagai berikut: perlu untuk menetapkan jenis tugas apa yang sedang diselesaikan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, mis. jawab dan ikuti langkah-langkah ini.

Jelas, keberhasilan atau kegagalan dalam memecahkan masalah tertentu terutama tergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang sedang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan solusinya direproduksi. Tentu saja, dalam hal ini, diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.

Situasi yang berbeda terjadi dengan persamaan trigonometri. Tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut adalah trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan mengarah pada jawaban yang benar.

Kadang-kadang sulit untuk menentukan jenisnya dengan munculnya persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaan, hampir tidak mungkin untuk memilih yang benar dari beberapa lusin rumus trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kita harus mencoba:

1. bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke "sudut yang sama";
2. bawa persamaan ke "fungsi yang sama";
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dll.

Mempertimbangkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana

Skema solusi

Langkah 1. Nyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk komponen yang diketahui.

Langkah 2 Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n Z.

dosa x = a; x \u003d (-1) n busur di a + n, n Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + n, n Z.

ctgx = a; x \u003d arcctg a + n, n Z.

Langkah 3 Temukan variabel yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – /4) = -√2.

Keputusan.

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x – /4 = ±(π – /4) + 2πn, n Z;

3x – /4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + /4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + /12 + 2πn/3, n Z;

x = ±π/4 + /12 + 2πn/3, n Z.

Jawaban: ±π/4 + /12 + 2πn/3, n Z.

II. Substitusi variabel

Skema solusi

Langkah 1. Bawa persamaan ke bentuk aljabar sehubungan dengan salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2 Tunjukkan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, perkenalkan pembatasan pada t).

Langkah 3 Tulis dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.

Langkah 4 Lakukan substitusi terbalik.

Langkah 5 Memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Keputusan.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Misal sin (x/2) = t, dimana |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2 tidak memenuhi syarat |t| 1.

4) dosa (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

x = + 4πn, n Z.

Jawaban: x = + 4πn, n Z.

AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan

Skema solusi

Langkah 1. Ganti persamaan ini dengan persamaan linier menggunakan rumus reduksi daya:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.

Contoh.

cos2x + cos2x = 5/4.

Keputusan.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

Jawaban: x = ±π/6 + n, n Z.

IV. persamaan homogen

Skema solusi

Langkah 1. Ubah persamaan ini menjadi bentuk

a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat pertama)

atau ke tampilan

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).

Langkah 2 Bagilah kedua ruas persamaan dengan

a) cos x 0;

b) cos 2 x 0;

dan dapatkan persamaan untuk tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Langkah 3 Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Keputusan.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Misalkan tg x = t, maka

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 atau t = -4, jadi

tg x = 1 atau tg x = -4.

Dari persamaan pertama x = /4 + n, n Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + k, k Z.

Jawaban: x = /4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. Metode untuk mengubah persamaan menggunakan rumus trigonometri

Skema solusi

Langkah 1. Dengan menggunakan semua jenis rumus trigonometri, bawa persamaan ini ke persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Keputusan.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Dari persamaan pertama 2x = /2 + n, n Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.

Kami memiliki x = /4 + n/2, n Z; dari persamaan kedua x = ±(π – /3) + 2πk, k Z.

Akibatnya, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Jawaban: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Kemampuan dan keterampilan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sangat penting, perkembangannya memerlukan usaha yang cukup besar, baik dari pihak siswa maupun guru.

Banyak masalah stereometri, fisika, dll terkait dengan solusi persamaan trigonometri.Proses pemecahan masalah seperti itu, seolah-olah, mengandung banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh ketika mempelajari elemen trigonometri.

Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pengajaran matematika dan pengembangan kepribadian secara umum.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus ujian matematika dengan 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 dari Profil GUNAKAN dalam matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan, dan rahasia ujian. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Masalah teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik licik untuk memecahkan, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks dari bagian ke-2 ujian.

Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

Penyelesaian persamaan trigonometri dengan tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya bermuara pada penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. Dan dalam hal ini, lingkaran trigonometri kembali menjadi penolong terbaik.

Ingat definisi cosinus dan sinus.

Kosinus suatu sudut adalah absis (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) dari suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan rotasi oleh sudut tertentu.

Sinus suatu sudut adalah ordinat (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) dari suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Arah gerakan positif sepanjang lingkaran trigonometri dianggap sebagai gerakan berlawanan arah jarum jam. Rotasi 0 derajat (atau 0 radian) sesuai dengan titik dengan koordinat (1; 0)

Kami menggunakan definisi ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

1. Selesaikan persamaan

Persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai sudut rotasi , yang sesuai dengan titik-titik lingkaran, yang ordinatnya sama dengan .

Mari kita tandai titik dengan ordinat pada sumbu y:

Gambarlah garis mendatar yang sejajar dengan sumbu x sampai berpotongan dengan lingkaran. Kita akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki ordinat. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dan radian:

Jika kita, setelah meninggalkan titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian, mengelilingi lingkaran penuh, maka kita akan sampai pada titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian dan memiliki ordinat yang sama. Artinya, sudut rotasi ini juga memenuhi persamaan kita. Kita dapat membuat belokan "idle" sebanyak yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Jumlah putaran "idle" dilambangkan dengan huruf (atau). Karena kita dapat membuat revolusi ini dalam arah positif dan negatif, (atau ) dapat mengambil nilai bilangan bulat apa pun.

Artinya, deret pertama solusi untuk persamaan asli memiliki bentuk:

, , - himpunan bilangan bulat (1)

Demikian pula, deret solusi kedua memiliki bentuk:

, di mana , . (2)

Seperti yang Anda duga, rangkaian solusi ini didasarkan pada titik lingkaran yang sesuai dengan sudut rotasi oleh .

Dua rangkaian solusi ini dapat digabungkan menjadi satu entri:

Jika kita mengambil catatan ini (yaitu, genap), maka kita akan mendapatkan solusi seri pertama.

Jika kita mengambil entri ini (yaitu, ganjil), maka kita akan mendapatkan solusi seri kedua.

2. Sekarang mari kita selesaikan persamaannya

Karena absis titik lingkaran satuan diperoleh dengan memutar melalui sudut , kami menandai pada sumbu sebuah titik dengan absis :

Gambarlah garis vertikal sejajar dengan sumbu hingga berpotongan dengan lingkaran. Kami akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki absis. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dan radian. Ingatlah bahwa ketika bergerak searah jarum jam, kami mendapatkan sudut rotasi negatif:

Kami menuliskan dua seri solusi:

,

,

(Kami sampai ke titik yang tepat dengan melewati lingkaran penuh utama, yaitu.

Mari gabungkan kedua seri ini menjadi satu postingan:

3. Selesaikan persamaan

Garis singgung melalui titik dengan koordinat (1,0) lingkaran satuan yang sejajar dengan sumbu OY

Tandai titik di atasnya dengan ordinat yang sama dengan 1 (kami mencari garis singgung yang sudutnya 1):

Hubungkan titik ini ke titik asal dengan garis lurus dan tandai titik potong garis tersebut dengan lingkaran satuan. Titik potong garis dan lingkaran sesuai dengan sudut rotasi pada dan :

Karena titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi yang memenuhi persamaan kita terletak terpisah radian, kita dapat menulis solusinya sebagai berikut:

4. Selesaikan persamaan

Garis kotangen melewati titik dengan koordinat lingkaran satuan yang sejajar dengan sumbu.

Kami menandai titik dengan absis -1 pada garis kotangen:

Hubungkan titik ini ke titik asal garis lurus dan lanjutkan sampai berpotongan dengan lingkaran. Garis ini akan memotong lingkaran di titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi dan radian:

Karena titik-titik ini dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , maka kita dapat menulis solusi umum persamaan ini sebagai berikut:

Dalam contoh yang diberikan, yang menggambarkan solusi persamaan trigonometri paling sederhana, nilai tabel fungsi trigonometri digunakan.

Namun, jika ada nilai non-tabel di ruas kanan persamaan, maka kita substitusikan nilai tersebut ke dalam solusi umum persamaan:

SOLUSI KHUSUS:

Tandai titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya 0:

Tandai satu titik pada lingkaran, yang ordinatnya sama dengan 1:

Tandai satu titik pada lingkaran, yang ordinatnya sama dengan -1:

Karena biasanya menunjukkan nilai yang paling dekat dengan nol, kami menulis solusinya sebagai berikut:

Tandai titik-titik pada lingkaran, yang absisnya adalah 0:

5.
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran, yang absisnya sama dengan 1:

Tandai satu titik pada lingkaran, yang absisnya sama dengan -1:

Dan beberapa contoh yang lebih kompleks:

1.

Sinus adalah satu jika argumennya adalah

Argumen sinus kita adalah , jadi kita dapatkan:

Bagi kedua ruas persamaan dengan 3:

Menjawab:

2.

Kosinus adalah nol jika argumen kosinus adalah

Argumen dari kosinus kami adalah , sehingga kami mendapatkan:

Kami menyatakan , untuk ini pertama-tama kami pindah ke kanan dengan tanda yang berlawanan:

Sederhanakan ruas kanan:

Bagi kedua bagian dengan -2:

Perhatikan bahwa tanda sebelum suku tidak berubah, karena k dapat mengambil sembarang nilai integer.

Menjawab:

Dan sebagai penutup, tonton video tutorial "Pemilihan akar-akar pada persamaan trigonometri menggunakan lingkaran trigonometri"

Ini menyimpulkan percakapan tentang memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana. Lain kali kita akan berbicara tentang bagaimana menyelesaikannya.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Solusi persamaan trigonometri paling sederhana"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Manual dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Apa persamaan trigonometri?

3. Dua metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
4. Persamaan trigonometri homogen.
5. Contoh.

Apa itu persamaan trigonometri?

Kawan, kita telah mempelajari arcsine, arccosine, arctangent dan arccotangent. Sekarang mari kita lihat persamaan trigonometri secara umum.

Persamaan trigonometri - persamaan di mana variabel terkandung di bawah tanda fungsi trigonometri.

Kami mengulangi bentuk penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana:

1) Jika |а|≤ 1, maka persamaan cos(x) = a memiliki solusi:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jika |а|≤ 1, maka persamaan sin(x) = a memiliki solusi:

3) Jika |a| > 1, maka persamaan sin(x) = a dan cos(x) = a tidak memiliki solusi 4) Persamaan tg(x)=a memiliki solusi: x=arctg(a)+ k

5) Persamaan ctg(x)=a memiliki solusi: x=arcctg(a)+ k

Untuk semua rumus, k adalah bilangan bulat

Persamaan trigonometri paling sederhana memiliki bentuk: (kx+m)=a, T- sembarang fungsi trigonometri.

Contoh.

Selesaikan persamaan: a) sin(3x)= 3/2

Keputusan:

A) Mari kita nyatakan 3x=t, maka kita akan menulis ulang persamaan kita dalam bentuk:

Solusi persamaan ini adalah: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ n.

Dari tabel nilai kita mendapatkan: t=((-1)^n)×π/3+ n.

Mari kita kembali ke variabel kita: 3x =((-1)^n)×π/3+ n,

Maka x= ((-1)^n)×π/9+ n/3

Jawaban: x= ((-1)^n)×π/9+ n/3, di mana n adalah bilangan bulat. (-1)^n - dikurangi satu pangkat n.

Lebih banyak contoh persamaan trigonometri.

Selesaikan persamaan: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- /3)= 3

Keputusan:

A) Kali ini kita akan langsung menuju ke perhitungan akar-akar persamaan :

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Maka x/5= k => x=5πk

Jawaban: x=5πk, di mana k adalah bilangan bulat.

B) Kita tulis dalam bentuk: 3x- /3=artg(√3)+ k. Kita tahu bahwa: arctg(√3)= /3

3x- /3= /3+ k => 3x=2π/3 + k => x=2π/9 + k/3

Jawaban: x=2π/9 + k/3, di mana k adalah bilangan bulat.

Memecahkan persamaan: cos(4x)= 2/2. Dan temukan semua akar pada segmen .

Keputusan:

Selesaikan persamaan kita dalam bentuk umum: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± /4 + 2πk;

X= ± /16+ k/2;

Sekarang mari kita lihat akar apa yang jatuh pada segmen kita. Untuk k Untuk k=0, x= /16, kita berada di segmen yang diberikan .
Dengan k=1, x= /16+ /2=9π/16, mereka memukul lagi.
Untuk k=2, x= /16+ =17π/16, tapi di sini kita tidak memukul, yang berarti kita juga tidak akan memukul untuk k yang besar.

Jawaban: x= /16, x= 9π/16

Dua metode solusi utama.

Kami telah mempertimbangkan persamaan trigonometri paling sederhana, tetapi ada yang lebih kompleks. Untuk menyelesaikannya, digunakan metode memasukkan variabel baru dan metode faktorisasi. Mari kita lihat contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya:

Keputusan:
Untuk menyelesaikan persamaan kami, kami menggunakan metode memasukkan variabel baru, dilambangkan: t=tg(x).

Sebagai hasil dari penggantian, kita mendapatkan: t 2 + 2t -1 = 0

Temukan akar persamaan kuadrat: t=-1 dan t=1/3

Kemudian tg(x)=-1 dan tg(x)=1/3, kita mendapatkan persamaan trigonometri paling sederhana, mari kita cari akarnya.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=artg(1/3) + k.

Jawaban: x= -π/4+πk; x=artg(1/3) + k.

Contoh penyelesaian persamaan

Memecahkan persamaan: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Keputusan:

Mari kita gunakan identitas: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Persamaan kita menjadi: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Mari kita perkenalkan penggantian t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=2 dan t=-1/2

Maka cos(x)=2 dan cos(x)=-1/2.

Karena cosinus tidak dapat mengambil nilai yang lebih besar dari satu, maka cos(x)=2 tidak memiliki akar.

Untuk cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jawaban: x= ±2π/3 + 2πk

Persamaan trigonometri homogen.

Definisi: Persamaan berbentuk a sin(x)+b cos(x) disebut persamaan trigonometri homogen derajat pertama.

persamaan bentuk

persamaan trigonometri homogen derajat kedua.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat pertama, kita membaginya dengan cos(x): Tidak mungkin membagi dengan cosinus jika sama dengan nol, mari kita pastikan bahwa ini tidak benar:
Misalkan cos(x)=0, maka asin(x)+0=0 => sin(x)=0, tetapi sinus dan cosinus tidak sama dengan nol pada saat yang sama, kita mendapatkan kontradiksi, sehingga kita dapat membagi dengan aman dengan nol.

Selesaikan persamaan:
Contoh: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Keputusan:

Keluarkan faktor persekutuan: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Maka kita perlu menyelesaikan dua persamaan:

cos(x)=0 dan cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 untuk x= /2 + k;

Pertimbangkan persamaan cos(x)+sin(x)=0 Bagi persamaan kita dengan cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jawaban: x= /2 + k dan x= -π/4+πk

Bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat kedua?
Teman-teman, patuhi aturan ini selalu!

1. Lihat apa koefisien a sama dengan, jika a \u003d 0 maka persamaan kita akan berbentuk cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), contoh solusinya ada di sebelumnya menggeser

2. Jika a≠0, maka Anda perlu membagi kedua bagian persamaan dengan kosinus kuadrat, kita mendapatkan:

Kami membuat perubahan variabel t=tg(x) kami mendapatkan persamaan:

Selesaikan Contoh #:3

Selesaikan persamaan:
Keputusan:

Bagilah kedua ruas persamaan dengan kuadrat cosinus:

Kami membuat perubahan variabel t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Temukan akar persamaan kuadrat: t=-3 dan t=1

Maka: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + k=-artg(3) + k

Tg(x)=1 => x= /4+ k

Jawaban: x=-artg(3) + k dan x= /4+ k

Selesaikan Contoh #:4

Selesaikan persamaan:

Keputusan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kita dapat menyelesaikan persamaan berikut: x= - /4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Jawaban: x= - /4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Selesaikan Contoh #:5

Selesaikan persamaan:

Keputusan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kami memperkenalkan penggantian tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=-2 dan t=1/2

Maka diperoleh: tg(2x)=-2 dan tg(2x)=1/2
2x=-artg(2)+ k => x=-artg(2)/2 + k/2

2x= arctg(1/2) + k => x=arctg(1/2)/2+ k/2

Jawaban: x=-artg(2)/2 + k/2 dan x=arctg(1/2)/2+ k/2

Tugas untuk solusi independen.

1) Memecahkan persamaan

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= 3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = 3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Memecahkan persamaan: sin(3x)= 3/2. Dan temukan semua akar pada segmen [π/2; ].

3) Selesaikan persamaan: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Selesaikan persamaan: 3 sin 2 (x) + 3sin (x) cos(x) = 0

5) Selesaikan persamaan: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Selesaikan persamaan: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Konsep penyelesaian persamaan trigonometri.

• Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ubah menjadi satu atau lebih persamaan trigonometri dasar. Memecahkan persamaan trigonometri akhirnya bermuara pada penyelesaian empat persamaan trigonometri dasar.

Penyelesaian persamaan trigonometri dasar.

• Ada 4 jenis persamaan trigonometri dasar:
• dosa x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Memecahkan persamaan trigonometri dasar melibatkan melihat posisi x yang berbeda pada lingkaran satuan, serta menggunakan tabel konversi (atau kalkulator).
• Contoh 1. sin x = 0,866. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = /3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: 2π/3. Ingat: semua fungsi trigonometri bersifat periodik, yaitu nilainya berulang. Misalnya, periodisitas sin x dan cos x adalah 2πn, dan periodisitas tg x dan ctg x adalah n. Jadi jawabannya ditulis seperti ini:
• x1 = /3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Contoh 2 cos x = -1/2. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = 2π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Contoh 3. tg (x - /4) = 0.
• Jawaban: x \u003d / 4 + n.
• Contoh 4. ctg 2x = 1,732.
• Jawaban: x \u003d / 12 + n.

Transformasi yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.

• Untuk mentransformasi persamaan trigonometri, digunakan transformasi aljabar (faktorisasi, pengurangan suku homogen, dll.) dan identitas trigonometri.
• Contoh 5. Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan sin x + sin 2x + sin 3x = 0 diubah menjadi persamaan 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Jadi, persamaan dasar trigonometri berikut perlu dipecahkan: cos x = 0; dosa(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui.

  • Sebelum mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mempelajari cara menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel konversi atau kalkulator.
  • Contoh: cos x = 0,732. Kalkulator akan memberikan jawaban x = 42,95 derajat. Lingkaran satuan akan memberikan sudut tambahan, yang kosinusnya juga sama dengan 0,732.

• Sisihkan solusi pada lingkaran satuan.

  • Anda dapat menempatkan solusi untuk persamaan trigonometri pada lingkaran satuan. Penyelesaian persamaan trigonometri pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul poligon beraturan.
  • Contoh: Solusi x = /3 + n/2 pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul bujur sangkar.
  • Contoh: Solusi x = /4 + n/3 pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul segi enam beraturan.

• Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

  • Jika persamaan trigonometri yang diberikan hanya berisi satu fungsi trigonometri, selesaikan persamaan ini sebagai persamaan trigonometri dasar. Jika persamaan ini mencakup dua atau lebih fungsi trigonometri, maka ada 2 metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut (tergantung pada kemungkinan transformasinya).
    • Metode 1
  • Ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: f(x)*g(x)*h(x) = 0, di mana f(x), g(x), h(x) adalah persamaan trigonometri dasar.
  • Contoh 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Keputusan. Menggunakan rumus sudut ganda sin 2x = 2*sin x*cos x, ganti sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan trigonometri dasar: cos x = 0 dan (sin x + 1) = 0.
  • Contoh 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan berbentuk: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2cos x + 1) = 0.
  • Contoh 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2sin x + 1) = 0.
    • Metode 2
  • Ubah persamaan trigonometri yang diberikan menjadi persamaan yang hanya berisi satu fungsi trigonometri. Kemudian ganti fungsi trigonometri ini dengan beberapa yang tidak diketahui, misalnya, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, dst.).
  • Contoh 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Keputusan. Dalam persamaan ini, ganti (cos^2 x) dengan (1 - sin^2 x) (sesuai dengan identitasnya). Persamaan yang diubah terlihat seperti:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Gantikan sin x dengan t. Sekarang persamaannya menjadi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat dengan dua akar: t1 = -1 dan t2 = 9/5. Akar kedua t2 tidak memenuhi rentang fungsi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Contoh 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Keputusan. Ganti tg x dengan t. Tulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sekarang cari t lalu cari x untuk t = tg x.