Orang-orang yang iri menyatakan bahwa matematikawan Perancis Pierre Fermat menulis namanya dalam sejarah hanya dengan satu kalimat. Di pinggir manuskrip yang berisi rumusan teorema terkenal pada tahun 1637, ia membuat catatan: “Saya telah menemukan solusi yang luar biasa, tetapi tidak ada cukup ruang untuk meletakkannya di sini.” Kemudian perlombaan matematika yang menakjubkan dimulai, di mana, bersama dengan ilmuwan terkemuka, pasukan amatir bergabung.
Apa bahaya dari masalah Fermat? Sepintas, hal ini dapat dimengerti bahkan oleh seorang anak sekolah.
Hal ini didasarkan pada teorema Pythagoras yang diketahui semua orang: dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya: x 2 + y 2 = z 2. Fermat berpendapat: persamaan pangkat apa pun yang lebih besar dari dua tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Tampaknya sederhana. Hubungi kami dan inilah jawabannya. Tidak mengherankan jika akademi di berbagai negara, lembaga ilmiah, bahkan kantor redaksi surat kabar dibanjiri dengan puluhan ribu bukti. Jumlah mereka belum pernah terjadi sebelumnya, nomor dua setelah proyek “perpetual motion”. Namun jika ilmu pengetahuan yang serius sudah lama tidak mempertimbangkan ide-ide gila ini, maka karya para “petani” dipelajari dengan jujur dan penuh minat. Dan sayangnya, ia menemukan kesalahan. Mereka mengatakan bahwa selama lebih dari tiga abad, kuburan matematis solusi teorema telah terbentuk.
Bukan tanpa alasan mereka mengatakan: sikunya dekat, tetapi Anda tidak bisa menggigit. Bertahun-tahun, puluhan tahun, berabad-abad berlalu, dan tugas Fermat tampak semakin mengejutkan dan menggoda. Tampaknya sederhana, namun ternyata terlalu sulit untuk kemajuan otot yang berkembang pesat. Manusia telah membelah atom, mencapai gen, menginjakkan kaki di bulan, namun Fermat tidak menyerah, terus memikat keturunannya dengan harapan palsu.
Namun, upaya untuk mengatasi puncak keilmuan tersebut tidak sia-sia. Euler yang agung mengambil langkah pertama dengan membuktikan teorema untuk derajat keempat, kemudian untuk derajat ketiga. Pada akhir abad ke-19, Ernst Kummer dari Jerman menambah jumlah derajat menjadi seratus. Akhirnya, dengan berbekal komputer, para ilmuwan meningkatkan angka ini menjadi 100 ribu. Tapi Fermat berbicara tentang gelar apa pun. Itulah intinya.
Tentu saja, para ilmuwan tidak terlalu memikirkan masalah ini demi kepentingan olahraga. Matematikawan terkenal David Hilbert mengatakan bahwa teorema tersebut adalah contoh bagaimana masalah yang tampaknya tidak penting bisa berdampak besar pada sains. Mengerjakannya, para ilmuwan membuka cakrawala matematika yang benar-benar baru, misalnya, dasar-dasar teori bilangan, aljabar, dan teori fungsi diletakkan.
Namun Teorema Besar ditaklukkan pada tahun 1995. Solusinya dipresentasikan oleh seorang Amerika dari Universitas Princeton, Andrew Wiles, dan secara resmi diakui oleh komunitas ilmiah. Dia memberikan lebih dari tujuh tahun hidupnya untuk menemukan bukti. Menurut para ilmuwan, karya luar biasa ini menyatukan karya-karya banyak ahli matematika, memulihkan hubungan yang hilang antara bagian-bagian yang berbeda.
Jadi, pertemuan puncak telah dilakukan, dan sains telah menerima jawabannya,” kata Yuri Vishnyakov, sekretaris ilmiah Departemen Matematika Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia, Doktor Ilmu Teknik, kepada koresponden RG. - Teorema tersebut telah dibuktikan, meskipun tidak dengan cara yang paling sederhana, seperti yang ditegaskan Fermat sendiri. Dan kini mereka yang berkeinginan bisa mencetak versinya sendiri.
Namun, keluarga “petani” sama sekali tidak mau menerima bukti Wiles. Tidak, mereka tidak menyangkal keputusan Amerika, karena keputusan tersebut sangat rumit dan oleh karena itu hanya dapat dipahami oleh kalangan sempit spesialis. Namun tidak ada satu minggu pun yang berlalu tanpa wahyu baru dari penggemar lain yang muncul di Internet, “akhirnya mengakhiri epik jangka panjang.”
Ngomong-ngomong, baru kemarin salah satu “fermist” tertua di negara kita, Vsevolod Yarosh, menelepon kantor redaksi “RG”: “Dan Anda tahu bahwa saya membuktikan teorema Fermat bahkan sebelum Wiles. Selain itu, kemudian saya menemukan kesalahan dalam dia, yang saya tulis kepada ahli matematika terkemuka kami, Akademisi Arnold dengan permintaan untuk mempublikasikannya di jurnal ilmiah. Sekarang saya menunggu jawabannya. Saya juga berkorespondensi dengan Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis tentang hal ini."
Dan baru saja, seperti diberitakan di sejumlah media, peminat lainnya, mantan perancang umum perangkat lunak Polyot dari Omsk, Doktor Ilmu Teknik Alexander Ilyin, dengan “rahmat ringan” mengungkap rahasia besar matematika. Solusinya ternyata sangat sederhana dan singkat sehingga muat di sebagian kecil ruang surat kabar salah satu terbitan pusat.
Para editor RG beralih ke Institut Matematika terkemuka di negara itu. Steklov RAS dengan permintaan untuk mengevaluasi keputusan ini. Para ilmuwan bersikap kategoris: seseorang tidak dapat mengomentari publikasi surat kabar. Namun setelah banyak persuasi dan mempertimbangkan meningkatnya minat terhadap masalah terkenal tersebut, mereka setuju. Menurut mereka, ada beberapa kesalahan mendasar yang dilakukan dalam bukti terbaru yang diterbitkan. Ngomong-ngomong, mahasiswa Fakultas Matematika pun bisa dengan mudah menyadarinya.
Meski begitu, para editor ingin mendapatkan informasi langsung. Apalagi, kemarin di Akademi Penerbangan dan Penerbangan Ilyin seharusnya mempresentasikan pembuktiannya. Namun, ternyata hanya sedikit orang yang mengetahui tentang akademi semacam itu, bahkan di kalangan spesialis. Dan ketika, dengan susah payah, kami berhasil menemukan nomor telepon sekretaris ilmiah organisasi ini, ternyata dia bahkan tidak menyangka bahwa peristiwa bersejarah seperti itu akan terjadi di sana. Singkatnya, koresponden RG gagal menyaksikan sensasi dunia.
Fermat mengembangkan minatnya pada matematika entah bagaimana secara tidak terduga dan pada usia yang cukup dewasa. Pada tahun 1629, terjemahan Latin karya Pappus, yang berisi ringkasan singkat hasil Apollonius tentang sifat-sifat bagian kerucut, jatuh ke tangannya. Fermat, seorang poliglot, seorang ahli hukum dan filologi kuno, tiba-tiba bertekad untuk sepenuhnya memulihkan alur pemikiran ilmuwan terkenal itu. Dengan keberhasilan yang sama, seorang pengacara modern dapat mencoba mereproduksi secara mandiri semua bukti dari monografi dari masalah, katakanlah, topologi aljabar. Namun, usaha yang tidak terpikirkan ini akan berhasil. Selain itu, saat mempelajari konstruksi geometris zaman dahulu, ia membuat penemuan yang menakjubkan: untuk menemukan maksimal dan minimum luas bangun, tidak diperlukan gambar yang cerdik. Selalu mungkin untuk membuat dan menyelesaikan beberapa persamaan aljabar sederhana, yang akar-akarnya menentukan titik ekstremnya. Dia menemukan algoritma yang akan menjadi dasar kalkulus diferensial.Dia dengan cepat melanjutkan. Dia menemukan kondisi yang cukup untuk keberadaan maxima, belajar menentukan titik belok, dan menggambar garis singgung ke semua kurva orde kedua dan ketiga yang diketahui. Beberapa tahun lagi, dan dia menemukan metode aljabar murni baru untuk mencari kuadratur parabola dan hiperbola dengan tatanan sembarang (yaitu, integral fungsi bentuk y p = Cx q Dan kamu p x q = C), menghitung luas, volume, momen inersia benda revolusi. Itu merupakan terobosan nyata. Merasakan hal ini, Fermat mulai mencari komunikasi dengan otoritas matematika saat itu. Dia percaya diri dan mendambakan pengakuan.
Pada tahun 1636, ia menulis surat pertamanya kepada Pendeta Marin Mersenne: “Bapa Suci! Saya sangat berterima kasih kepada Anda atas kehormatan yang telah Anda tunjukkan kepada saya dengan memberi saya harapan bahwa kita dapat berbicara secara tertulis; ...Saya akan sangat senang mengetahui dari Anda tentang semua risalah dan buku baru tentang Matematika yang telah terbit selama lima atau enam tahun terakhir. ...Saya juga menemukan banyak metode analisis untuk berbagai masalah, baik numerik maupun geometris, yang penyelesaiannya tidak cukup dengan analisis Vieta. Saya akan membagikan semua ini kepada Anda kapan pun Anda mau, dan tanpa kesombongan apa pun, yang berarti saya lebih bebas dan lebih jauh dibandingkan orang lain mana pun di dunia.”
Siapa Pastor Mersenne? Ini adalah seorang biarawan Fransiskan, seorang ilmuwan dengan bakat sederhana dan organisator yang luar biasa, yang selama 30 tahun mengepalai lingkaran matematika Paris, yang menjadi pusat sains Prancis yang sebenarnya. Selanjutnya, lingkaran Mersenne, berdasarkan dekrit Louis XIV, akan diubah menjadi Akademi Ilmu Pengetahuan Paris. Mersenne tanpa kenal lelah melakukan korespondensi besar-besaran, dan selnya di biara Orde Minims di Royal Square adalah semacam “kantor pos untuk semua ilmuwan Eropa, dari Galileo hingga Hobbes.” Korespondensi kemudian menggantikan jurnal ilmiah, yang muncul jauh kemudian. Pertemuan di Mersenne's berlangsung setiap minggu. Inti dari lingkaran ini terdiri dari para naturalis paling cemerlang pada masa itu: Robertville, Pascal sang Ayah, Desargues, Midorge, Hardy dan, tentu saja, Descartes yang terkenal dan diakui secara universal. René du Perron Descartes (Cartesius), mantel bangsawan, dua perkebunan keluarga, pendiri Cartesianisme, “bapak” geometri analitik, salah satu pendiri matematika baru, serta teman Mersenne dan sesama mahasiswa di perguruan tinggi Jesuit. Pria luar biasa ini akan menjadi mimpi buruk bagi Fermat.
Mersenne menganggap hasil Fermat cukup menarik untuk memperkenalkan provinsi tersebut ke klub elitnya. Peternakan tersebut segera memulai korespondensi dengan banyak anggota lingkaran dan benar-benar dibombardir dengan surat-surat dari Mersenne sendiri. Selain itu, ia mengirimkan manuskrip lengkap untuk dinilai oleh orang-orang terpelajar: "Pengantar tempat datar dan padat", dan setahun kemudian - "Metode menemukan maxima dan minima" dan "Jawaban atas pertanyaan B. Cavalieri". Apa yang diutarakan Fermat memang benar-benar baru, namun belum ada sensasinya. Orang-orang sezamannya tidak bergidik. Mereka hanya memahami sedikit, tetapi mereka menemukan indikasi yang jelas bahwa Fermat meminjam ide algoritma maksimalisasi dari risalah Johannes Kepler dengan judul lucu “The New Stereometry of Wine Barrels.” Memang benar, dalam penalaran Kepler terdapat ungkapan seperti “Volume suatu bangun paling besar jika pada kedua sisi tempat nilai terbesar penurunannya mula-mula tidak peka.” Namun gagasan tentang peningkatan kecil suatu fungsi di dekat titik ekstrem sama sekali tidak muncul. Pemikir analitis terbaik pada masa itu belum siap untuk memanipulasi jumlah kecil. Faktanya adalah bahwa pada saat itu aljabar dianggap sebagai sejenis aritmatika, yaitu matematika kelas dua, alat primitif yang dikembangkan untuk kebutuhan praktik dasar (“hanya pedagang yang menghitung dengan baik”). Tradisi menetapkan kepatuhan terhadap metode pembuktian geometris murni, yang berasal dari matematika kuno. Fermat adalah orang pertama yang menyadari bahwa besaran yang sangat kecil dapat dijumlahkan dan dikurangi, namun cukup sulit untuk merepresentasikannya dalam bentuk segmen.
Butuh waktu hampir satu abad bagi Jean d'Alembert untuk mengakui dalam Ensiklopedianya yang terkenal: “Fermat adalah penemu kalkulus baru. Di sinilah kita menemukan penerapan pertama dari perbedaan untuk menemukan garis singgung.” Pada akhir abad ke-18, Joseph Louis Comte de Lagrange menyatakan dengan lebih jelas: “Tetapi para ahli geometri - orang-orang sezaman dengan Fermat - tidak memahami jenis kalkulus baru ini. Mereka hanya melihat kasus-kasus khusus. Dan penemuan ini, yang muncul sesaat sebelum Geometri Descartes, tetap tidak membuahkan hasil selama empat puluh tahun.” Lagrange mengacu pada tahun 1674, ketika Isaac Barrow's Lectures diterbitkan, yang membahas metode Fermat secara rinci.
Antara lain, dengan cepat menjadi jelas bahwa Fermat lebih cenderung merumuskan masalah baru daripada dengan rendah hati menyelesaikan masalah yang diajukan oleh meteran. Di era duel, pertukaran tugas antar pakar diterima secara umum sebagai bentuk klarifikasi masalah terkait subordinasi. Namun Fermat jelas tidak mengetahui batasannya. Setiap suratnya merupakan tantangan yang berisi lusinan masalah kompleks yang belum terpecahkan, dan topik yang paling tidak terduga. Berikut adalah contoh gayanya (ditujukan kepada Frenicle de Bessy): “Item, berapakah persegi terkecil yang jika dikurangi 109 dan dijumlahkan satu akan menghasilkan persegi? Jika Anda tidak mengirimkan saya solusi umum, kirimkan saya hasil bagi kedua bilangan ini, yang saya pilih kecil agar tidak terlalu membingungkan Anda. Setelah saya menerima tanggapan Anda, saya akan menyarankan beberapa hal lain kepada Anda. Jelas sekali bahwa proposal saya memerlukan pencarian bilangan bulat, karena dalam kasus bilangan pecahan, ahli aritmatika terkecil dapat mencapai tujuan tersebut.” Fermat sering mengulanginya sendiri, merumuskan pertanyaan yang sama beberapa kali, dan secara terbuka menggertak, mengklaim bahwa dia memiliki solusi yang luar biasa elegan untuk masalah yang diajukan. Ada beberapa kesalahan langsung juga. Beberapa di antaranya diperhatikan oleh orang-orang sezaman, dan beberapa pernyataan berbahaya menyesatkan pembaca selama berabad-abad.
Lingkaran Mersenne bereaksi dengan baik. Hanya Robertville, satu-satunya anggota lingkaran yang memiliki masalah dengan asal usulnya, yang mempertahankan nada ramah dalam surat-suratnya. Gembala yang baik, Pastor Mersenne, mencoba berunding dengan “Toulouse yang kurang ajar”. Namun Fermat tidak bermaksud mencari alasan: “Bapa Yang Terhormat! Anda menulis kepada saya bahwa pengajuan masalah-masalah mustahil saya membuat marah dan mendinginkan Tuan Saint-Martin dan Frenicle dan inilah alasan penghentian surat-surat mereka. Namun, saya ingin menyampaikan keberatan kepada mereka bahwa apa yang pada awalnya tampak mustahil sebenarnya tidak terjadi dan ada banyak masalah, seperti yang dikatakan Archimedes ... ”, dll..
Namun, Fermat tidak jujur. Kepada Frenicles-lah dia mengirimkan masalah menemukan segitiga siku-siku dengan sisi-sisi bilangan bulat, yang luasnya sama dengan kuadrat bilangan bulat. Saya mengirimkannya, meskipun saya tahu masalahnya jelas tidak ada solusinya.
Descartes mengambil posisi paling bermusuhan terhadap Fermat. Dalam suratnya kepada Mersenne dari tahun 1938 kita membaca: “karena saya mengetahui bahwa ini adalah orang yang sama yang sebelumnya mencoba menyangkal Dioptri saya, dan sejak Anda memberi tahu saya bahwa dia mengirimkan ini setelah membaca Geometri saya” dan terkejut karena saya tidak melakukannya. menemukan hal yang sama, yaitu (karena saya punya alasan untuk menafsirkannya) mengirimkannya dengan tujuan untuk mengadakan persaingan dan menunjukkan bahwa dalam hal ini dia tahu lebih banyak daripada saya, dan bahkan dari surat Anda, saya mengetahui bahwa dia memiliki reputasinya sebagai ahli geometri yang sangat berpengetahuan, maka saya menganggap diri saya berkewajiban untuk menjawabnya.” Descartes kemudian dengan sungguh-sungguh menetapkan jawabannya sebagai “proses kecil Matematika melawan Tuan Fermat.”
Sangat mudah untuk memahami apa yang membuat marah ilmuwan terkemuka itu. Pertama, dalam penalaran Fermat, sumbu koordinat dan representasi angka berdasarkan segmen terus-menerus muncul - sebuah teknik yang dikembangkan Descartes secara komprehensif dalam “Geometri” yang baru saja diterbitkan. Fermat sampai pada gagasan untuk mengganti gambar dengan perhitungan sepenuhnya secara mandiri; dalam beberapa hal dia bahkan lebih konsisten daripada Descartes. Kedua, Fermat dengan cemerlang menunjukkan keefektifan metodenya dalam menemukan nilai minimum dengan menggunakan contoh masalah jalur terpendek sinar cahaya, memperjelas dan melengkapi Descartes dengan “Dioptri” miliknya.
Kelebihan Descartes sebagai pemikir dan inovator sangat besar, tetapi mari kita buka “Ensiklopedia Matematika” modern dan lihat daftar istilah yang terkait dengan namanya: “Koordinat Kartesius” (Leibniz, 1692), “Lembar Kartesius”, “Kartesius oval”. Tak satu pun dari argumennya tercatat dalam sejarah sebagai “Teorema Descartes”. Descartes pertama-tama adalah seorang ideolog: dia adalah pendiri aliran filsafat, dia membentuk konsep, memperbaiki sistem simbol huruf, tetapi warisan kreatifnya mengandung sedikit teknik spesifik baru. Sebaliknya, Pierre Fermat menulis sedikit, tetapi untuk alasan apa pun ia dapat menemukan banyak trik matematika yang cerdik (lihat juga “Teorema Fermat”, “Prinsip Fermat”, “Metode Keturunan Tak Terbatas Fermat”). Mereka mungkin cemburu satu sama lain. Tabrakan pun tak terhindarkan. Dengan mediasi Jesuit Mersenne, terjadi perang yang berlangsung selama dua tahun. Namun, Mersenne ternyata ada di sini sebelum sejarah: pertarungan sengit antara dua raksasa, kontroversi mereka yang intens, secara halus, berkontribusi pada pemahaman konsep-konsep kunci analisis matematika.
Fermat adalah orang pertama yang kehilangan minat dalam diskusi. Rupanya, dia menjelaskan dirinya langsung kepada Descartes dan tidak pernah lagi menyinggung lawannya. Dalam salah satu karya terakhirnya, "Synthesis for Refraction", naskah yang ia kirimkan ke de la Chambre, Fermat melalui kata tersebut mengingat "Descartes yang paling terpelajar" dan dengan segala cara menekankan prioritasnya dalam masalah optik. Sementara itu, naskah inilah yang memuat uraian tentang “prinsip Fermat” yang terkenal, yang memberikan penjelasan komprehensif tentang hukum pemantulan dan pembiasan cahaya. Mengangguk kepada Descartes dalam karya tingkat ini sama sekali tidak diperlukan.
Apa yang telah terjadi? Mengapa Fermat, mengesampingkan harga dirinya, melakukan rekonsiliasi? Membaca surat-surat Fermat pada tahun-tahun itu (1638 - 1640), hal yang paling sederhana dapat diasumsikan: selama periode ini minat ilmiahnya berubah secara dramatis. Dia meninggalkan cycloid yang modis, tidak lagi tertarik pada garis singgung dan area, dan selama 20 tahun melupakan metodenya untuk menemukan hasil maksimal. Memiliki kelebihan besar dalam matematika kontinu, Fermat sepenuhnya membenamkan dirinya dalam matematika diskrit, meninggalkan gambar geometris yang menjijikkan kepada lawan-lawannya. Angka menjadi passion barunya. Faktanya, seluruh “Teori Bilangan”, sebagai disiplin matematika independen, lahir sepenuhnya dari kehidupan dan karya Fermat.
<…>Setelah kematian Fermat, putranya Samuel menerbitkan pada tahun 1670 salinan “Aritmatika” milik ayahnya dengan judul “Enam buku aritmatika oleh Alexandrian Diophantus dengan komentar oleh L. G. Bachet dan komentar oleh P. de Fermat, senator Toulouse.” Buku ini juga memuat beberapa surat Descartes dan teks lengkap karya Jacques de Bigly “A New Discovery in the Art of Analysis,” yang ditulis berdasarkan surat-surat Fermat. Publikasi ini sukses luar biasa. Dunia cerah yang belum pernah terjadi sebelumnya terbuka di hadapan para spesialis yang takjub. Hasil teori bilangan Fermat yang tidak terduga, dan yang paling penting aksesibilitasnya, memunculkan banyak peniruan. Pada saat itu, hanya sedikit orang yang memahami cara menghitung luas parabola, namun setiap siswa dapat memahami rumusan Teorema Terakhir Fermat. Perburuan nyata dimulai untuk surat-surat ilmuwan yang tidak diketahui dan hilang. Hingga akhir abad ke-17. Setiap kata yang ditemukannya diterbitkan dan diterbitkan ulang. Namun sejarah pergolakan perkembangan ide Fermat baru saja dimulai.
Untuk bilangan bulat n lebih besar dari 2, persamaan x n + y n = z n tidak mempunyai solusi bukan nol pada bilangan asli.
Anda mungkin ingat dari masa sekolah Anda teori Pitagoras: Kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Anda mungkin juga ingat segitiga siku-siku klasik yang sisi-sisinya memiliki perbandingan panjang 3:4:5. Untuk itu, teorema Pythagoras terlihat seperti ini:
Ini adalah contoh penyelesaian persamaan umum Pythagoras dalam bilangan bulat bukan nol dengan N= 2. Teorema Terakhir Fermat (disebut juga "Teorema Terakhir Fermat" dan "Teorema Terakhir Fermat") adalah pernyataan bahwa untuk nilai N> 2 persamaan bentuk xn + kamu n = z n tidak mempunyai solusi bukan nol dalam bilangan asli.
Sejarah Teorema Terakhir Fermat sangat menarik dan instruktif, dan tidak hanya bagi para ahli matematika. Pierre de Fermat berkontribusi pada pengembangan berbagai bidang matematika, tetapi sebagian besar warisan ilmiahnya diterbitkan hanya secara anumerta. Faktanya adalah matematika bagi Fermat adalah hobi, bukan pekerjaan profesional. Dia berkorespondensi dengan ahli matematika terkemuka pada masanya, tetapi tidak berusaha untuk mempublikasikan karyanya. Tulisan ilmiah Fermat terutama ditemukan dalam bentuk korespondensi pribadi dan catatan terpisah-pisah, sering kali ditulis di pinggir berbagai buku. Itu ada di pinggir (dari volume kedua “Aritmatika” Yunani kuno Diophantus. - Catatan Penerjemah) segera setelah kematian ahli matematika tersebut, keturunannya menemukan rumusan teorema terkenal dan catatan tambahan:
« Saya menemukan bukti yang sangat bagus tentang hal ini, tetapi bidang ini terlalu sempit untuk itu».
Sayangnya, Fermat rupanya tidak pernah repot-repot menuliskan “bukti ajaib” yang dia temukan, dan keturunannya tidak berhasil mencarinya selama lebih dari tiga abad. Dari semua warisan ilmiah Fermat yang tersebar, yang berisi banyak pernyataan mengejutkan, Teorema Besarlah yang dengan keras kepala menolak untuk dipecahkan.
Siapa pun yang mencoba membuktikan Teorema Terakhir Fermat adalah sia-sia! Matematikawan besar Prancis lainnya, René Descartes (1596–1650), menyebut Fermat sebagai “pembual”, dan matematikawan Inggris John Wallis (1616–1703) menyebutnya “orang Prancis terkutuk”. Namun Fermat sendiri masih meninggalkan bukti teoremanya untuk kasus tersebut N= 4. Dengan bukti untuk N= 3 dipecahkan oleh ahli matematika besar Swiss-Rusia abad ke-18 Leonhard Euler (1707–83), setelah itu, tidak dapat menemukan bukti untuk N> 4, dengan bercanda menyarankan agar rumah Fermat digeledah untuk menemukan kunci barang bukti yang hilang. Pada abad ke-19, metode baru dalam teori bilangan memungkinkan pembuktian pernyataan untuk banyak bilangan bulat dalam bilangan 200, namun sekali lagi, tidak untuk semua bilangan bulat.
Pada tahun 1908, hadiah sebesar 100.000 mark Jerman diberikan untuk memecahkan masalah ini. Dana hadiah tersebut diwariskan oleh industrialis Jerman Paul Wolfskehl, yang menurut legenda, akan bunuh diri, tetapi begitu terbawa oleh Teorema Terakhir Fermat sehingga dia berubah pikiran tentang kematian. Dengan munculnya penambahan mesin dan kemudian komputer, bilah nilai N mulai meningkat semakin tinggi - menjadi 617 pada awal Perang Dunia II, menjadi 4001 pada tahun 1954, menjadi 125.000 pada tahun 1976. Pada akhir abad ke-20, komputer paling kuat di laboratorium militer di Los Alamos (New Mexico, AS) diprogram untuk memecahkan masalah Fermat di latar belakang (mirip dengan mode screen saver pada komputer pribadi). Dengan demikian, dimungkinkan untuk menunjukkan bahwa teorema tersebut benar untuk nilai yang sangat besar x, kamu, z Dan N, tapi ini tidak bisa menjadi bukti yang kuat, karena salah satu dari nilai berikut N atau kembar tiga bilangan asli dapat menyangkal teorema secara keseluruhan.
Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris Andrew John Wiles (lahir 1953), yang bekerja di Princeton, menerbitkan bukti Teorema Terakhir Fermat, yang, setelah beberapa modifikasi, dianggap komprehensif. Pembuktiannya memakan waktu lebih dari seratus halaman jurnal dan didasarkan pada penggunaan peralatan modern matematika tingkat tinggi, yang tidak dikembangkan di era Fermat. Lalu apa yang dimaksud Fermat dengan meninggalkan pesan di pinggir buku bahwa ia telah menemukan buktinya? Sebagian besar ahli matematika yang saya ajak bicara tentang topik ini menunjukkan bahwa selama berabad-abad telah ada lebih dari cukup bukti yang salah dari Teorema Terakhir Fermat, dan kemungkinan besar, Fermat sendiri telah menemukan bukti serupa, tetapi gagal mengenali kesalahannya. di dalamnya. Namun, mungkin masih ada beberapa bukti singkat dan elegan dari Teorema Terakhir Fermat yang belum ditemukan oleh siapa pun. Hanya satu hal yang dapat dikatakan dengan pasti: hari ini kita mengetahui dengan pasti bahwa teorema tersebut benar. Saya pikir sebagian besar ahli matematika akan setuju dengan Andrew Wiles, yang berkomentar tentang buktinya: “Sekarang akhirnya pikiran saya tenang.”
Mengajukan FERMA-KDVar © N.M.Koziy, 2008
Sertifikat Ukraina No.27312
BUKTI SINGKAT Teorema Terakhir FERmat
Teorema Terakhir Fermat dirumuskan sebagai berikut: Persamaan Diophantine (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
A N + B N = C N * /1/
Di mana N- bilangan bulat positif yang lebih besar dari dua tidak mempunyai solusi dalam bilangan bulat positif A , B , DENGAN .
BUKTI
Dari rumusan Teorema Terakhir Fermat sebagai berikut: jika N adalah bilangan bulat positif lebih besar dari dua, maka dengan syarat dua dari tiga bilangan tersebut A , DI DALAM atau DENGAN- bilangan bulat positif, salah satu bilangan tersebut bukan bilangan bulat positif.
Kami membangun pembuktian berdasarkan teorema dasar aritmatika, yang disebut “teorema keunikan faktorisasi” atau “teorema keunikan faktorisasi bilangan bulat komposit”. Eksponen ganjil dan genap dimungkinkan N . Mari kita pertimbangkan kedua kasus tersebut.
1. Kasus satu: eksponen N - angka ganjil.
Dalam hal ini, ekspresi /1/ ditransformasikan menurut rumus yang diketahui sebagai berikut:
A N + DI DALAM N = DENGAN N /2/
kami percaya itu A Dan B– bilangan bulat positif.
Angka A , DI DALAM Dan DENGAN harus saling bilangan prima.
Dari persamaan /2/ berikut ini untuk nilai bilangan tertentu A Dan B faktor ( A + B ) N , DENGAN.
Anggap saja nomor tersebut DENGAN - bilangan bulat positif. Dengan mempertimbangkan kondisi yang diterima dan teorema dasar aritmatika, kondisi tersebut harus dipenuhi :
DENGAN N = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/
dimana faktornya Dn D
Dari persamaan /3/ sebagai berikut:
Dari persamaan /3/ juga diperoleh bilangan [ Cn = Sebuah + Bn ] asalkan nomornya DENGAN ( A + B ) N. Namun diketahui bahwa:
Sebuah + Bn < ( A + B ) N /5/
Karena itu:
- bilangan pecahan kurang dari satu. /6/
Bilangan pecahan.
N
Untuk eksponen ganjil N >2 nomor:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Dari analisis persamaan /2/ diperoleh eksponen ganjil N nomor:
DENGAN N = A N + DI DALAM N = (A+B)
terdiri dari dua faktor aljabar tertentu, dan untuk nilai eksponen apa pun N faktor aljabar tetap tidak berubah ( A + B ).
Jadi, Teorema Terakhir Fermat tidak mempunyai solusi dalam bilangan bulat positif untuk eksponen ganjil N >2.
2. Kasus kedua: eksponen N - bilangan genap .
Inti dari teorema terakhir Fermat tidak akan berubah jika kita menulis ulang persamaan /1/ sebagai berikut:
Sebuah = Cn - Bn /7/
Dalam hal ini, persamaan /7/ ditransformasikan sebagai berikut:
A n = C n - B n = ( DENGAN +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/
Kami menerimanya DENGAN Dan DI DALAM- bilangan bulat.
Dari persamaan /8/ berikut ini untuk nilai bilangan tertentu B Dan C faktor (C+ B ) mempunyai nilai yang sama untuk setiap nilai eksponennya N , oleh karena itu merupakan pembagi bilangan tersebut A .
Anggap saja nomor tersebut A– bilangan bulat. Dengan mempertimbangkan kondisi yang diterima dan teorema dasar aritmatika, kondisi tersebut harus dipenuhi :
A N = C N - Bn =(C+ B ) N ∙ Dn , / 9/
dimana faktornya Dn harus bilangan bulat dan karena itu angkanya D juga harus bilangan bulat.
Dari persamaan /9/ sebagai berikut:
/10/
Dari persamaan /9/ juga diperoleh bilangan [ A N = DENGAN N - Bn ] asalkan nomornya A– bilangan bulat, harus habis dibagi suatu bilangan (C+ B ) N. Namun diketahui bahwa:
DENGAN N - Bn < (С+ B ) N /11/
Karena itu:
- bilangan pecahan kurang dari satu. /12/
Bilangan pecahan.
Oleh karena itu untuk nilai eksponen ganjil N persamaan /1/ teorema terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.
Untuk eksponen genap N >2 nomor:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Jadi, teorema terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif dan eksponen genap N >2.
Kesimpulan umum berikut ini: persamaan /1/ dari teorema terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif A, B Dan DENGAN asalkan eksponen n >2.
DASAR TAMBAHAN
Dalam kasus dimana eksponen N – bilangan genap, ekspresi aljabar ( Cn - Bn ) terurai menjadi faktor aljabar:
C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/
C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/
C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/
C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/
Mari kita beri contoh dalam angka.
CONTOH 1: B=11; C=35.
C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;
C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;
C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;
C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .
CONTOH 2: B=16; C=25.
C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;
C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;
C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;
C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.
Dari analisis persamaan /13/, /14/, /15/ dan /16/ serta contoh numerik yang sesuai adalah sebagai berikut:
Untuk eksponen tertentu N , jika bilangan genap, maka bilangan tersebut A N = C N - Bn terurai menjadi sejumlah faktor aljabar yang terdefinisi dengan baik;
Untuk eksponen apa pun N , jika bilangan genap, dalam ekspresi aljabar ( Cn - Bn ) selalu ada pengganda ( C - B ) Dan ( C + B ) ;
Setiap faktor aljabar berhubungan dengan faktor numerik yang pasti;
Untuk nomor tertentu DI DALAM Dan DENGAN faktor numerik dapat berupa bilangan prima atau faktor numerik komposit;
Setiap faktor bilangan komposit merupakan hasil kali bilangan prima yang sebagian atau seluruhnya tidak ada pada faktor bilangan komposit lainnya;
Besar kecilnya bilangan prima dalam komposisi faktor bilangan komposit meningkat seiring dengan bertambahnya faktor tersebut;
Faktor numerik komposit terbesar yang sesuai dengan faktor aljabar terbesar mencakup bilangan prima terbesar hingga pangkat lebih kecil dari eksponen N(paling sering pada tingkat pertama).
KESIMPULAN: Bukti tambahan mendukung kesimpulan bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.
insinyur mekanik
Pierre Fermat, yang membaca “Aritmatika” karya Diophantus dari Aleksandria dan merefleksikan permasalahannya, memiliki kebiasaan menuliskan hasil refleksinya dalam bentuk komentar singkat di pinggir buku. Terhadap masalah kedelapan Diophantus di pinggir bukunya, Fermat menulis: " Sebaliknya, tidak mungkin menguraikan kubus menjadi dua kubus, atau bikuadrat menjadi dua bikuadrat, dan, secara umum, tidak ada pangkat yang lebih besar dari kuadrat menjadi dua pangkat dengan eksponen yang sama. Saya telah menemukan bukti yang sungguh luar biasa tentang hal ini, namun bidang ini terlalu sempit untuk itu» / ET Bell "Pencipta Matematika". M., 1979, hal.69/. Saya sampaikan kepada Anda bukti dasar teorema Fermat, yang dapat dipahami oleh setiap siswa sekolah menengah yang tertarik pada matematika.
Mari kita bandingkan komentar Fermat tentang masalah Diophantus dengan rumusan modern teorema terakhir Fermat yang berbentuk persamaan.
« Persamaannya
x n + yn = z n(di mana n adalah bilangan bulat lebih besar dari dua)
tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif»
Komentar mempunyai hubungan logis dengan tugas, mirip dengan hubungan logis predikat dengan subjek. Apa yang ditegaskan dalam masalah Diophantus justru sebaliknya ditegaskan dalam komentar Fermat.
Komentar Fermat dapat diartikan sebagai berikut: jika suatu persamaan kuadrat dengan tiga bilangan yang tidak diketahui memiliki jumlah solusi yang tak terhingga pada himpunan semua kembar tiga bilangan Pythagoras, maka sebaliknya, persamaan dengan tiga bilangan yang tidak diketahui pangkatnya lebih besar dari kuadrat
Bahkan tidak ada petunjuk persamaan hubungannya dengan masalah Diophantus. Pernyataannya memerlukan pembuktian, tetapi tidak ada syarat yang menyatakan bahwa pernyataan tersebut tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.
Opsi untuk membuktikan persamaan yang saya ketahui direduksi menjadi algoritma berikut.
- Persamaan teorema Fermat diambil sebagai kesimpulannya, yang validitasnya dibuktikan melalui pembuktian.
- Persamaan yang sama ini disebut asli persamaan yang darinya pembuktiannya harus dilanjutkan.
Hasilnya, terbentuklah tautologi: “ Jika suatu persamaan tidak mempunyai penyelesaian dalam bilangan bulat positif, maka persamaan tersebut juga tidak mempunyai penyelesaian dalam bilangan bulat positif“Pembuktian tautologi tersebut jelas tidak benar dan tidak ada maknanya. Namun hal itu dibuktikan dengan kontradiksi.
- Asumsi yang dibuat adalah kebalikan dari apa yang dinyatakan oleh persamaan yang perlu dibuktikan. Seharusnya tidak bertentangan dengan persamaan awal, tapi memang demikian. Tidak ada gunanya membuktikan apa yang diterima tanpa bukti, dan menerima tanpa bukti apa yang perlu dibuktikan.
- Berdasarkan asumsi yang diterima, operasi dan tindakan matematika yang benar-benar benar dilakukan untuk membuktikan bahwa asumsi tersebut bertentangan dengan persamaan awal dan salah.
Oleh karena itu, selama 370 tahun, membuktikan persamaan Teorema Terakhir Fermat tetap menjadi impian yang tidak dapat diwujudkan bagi para spesialis dan penggemar matematika.
Persamaan tersebut saya ambil sebagai kesimpulan teorema, dan soal kedelapan Diophantus beserta persamaannya sebagai syarat teorema.
“Jika persamaannya x 2 + kamu 2 = z 2
(1) memiliki jumlah solusi yang tak terhingga pada himpunan ketiga bilangan Pythagoras, maka, sebaliknya, persamaannya x n + yn = z n
, Di mana n > 2
(2) tidak mempunyai solusi pada himpunan bilangan bulat positif.”
Bukti.
A) Semua orang tahu bahwa persamaan (1) mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga pada himpunan ketiga bilangan Pythagoras. Mari kita buktikan bahwa tidak ada satu pun tripel bilangan Pythagoras yang merupakan penyelesaian persamaan (1) yang merupakan penyelesaian persamaan (2).
Berdasarkan hukum persamaan reversibilitas, kita menukar sisi persamaan (1). bilangan Pythagoras (z, x, kamu) dapat diartikan sebagai panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, dan persegi (x 2 , kamu 2 , z 2) dapat diartikan sebagai luas persegi yang dibangun pada sisi miring dan kaki-kakinya.
Mari kita kalikan luas persegi persamaan (1) dengan tinggi sembarang H :
z 2 jam = x 2 jam + y 2 jam (3)
Persamaan (3) dapat diartikan sebagai persamaan volume suatu parallelepiped dengan jumlah volume dua parallelepiped.
Biarkan tingginya menjadi tiga paralelepiped jam = z :
z 3 = x 2 z + kamu 2 z (4)
Volume kubus diuraikan menjadi dua volume dari dua paralelepiped. Kami akan membiarkan volume kubus tidak berubah, dan mengurangi tinggi paralelepiped pertama menjadi X dan kurangi ketinggian parallelepiped kedua menjadi kamu . Volume sebuah kubus lebih besar dari jumlah volume dua kubus:
z 3 > x 3 + kamu 3 (5)
Pada himpunan tripel bilangan Pythagoras ( x, kamu, z ) pada n=3 tidak mungkin ada solusi untuk persamaan (2). Akibatnya, pada himpunan semua bilangan tripel Pythagoras, tidak mungkin menguraikan sebuah kubus menjadi dua kubus.
Misalkan dalam persamaan (3) tinggi tiga buah parallelepiped jam = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + kamu 2 z 2 (6)
Volume sebuah parallelepiped didekomposisi menjadi jumlah volume dua parallelepiped.
Kami membiarkan ruas kiri persamaan (6) tidak berubah. Di sisi kanannya tingginya z 2
kurangi menjadi X
pada semester pertama dan sebelumnya di 2
pada semester kedua.
Persamaan (6) berubah menjadi pertidaksamaan:
Volume parallelepiped didekomposisi menjadi dua volume dari dua parallelepiped.
Kami membiarkan ruas kiri persamaan (8) tidak berubah.
Di sisi kanan tingginya zn-2
kurangi menjadi xn-2
pada suku pertama dan dikurangi menjadi kamu n-2
pada semester kedua. Persamaan (8) menjadi pertidaksamaan:
| z n > x n + yn | (9) |
Pada himpunan kembar tiga bilangan Pythagoras tidak mungkin terdapat solusi tunggal untuk persamaan (2).
Akibatnya, pada himpunan semua bilangan tripel Pythagoras untuk semua n > 2 persamaan (2) tidak memiliki solusi.
Sebuah “bukti yang benar-benar ajaib” telah diperoleh, tetapi hanya untuk anak kembar tiga bilangan Pythagoras. Ini kekurangan bukti dan alasan penolakan P. Fermat terhadapnya.
B) Mari kita buktikan bahwa persamaan (2) tidak mempunyai solusi pada himpunan kembar tiga bilangan non-Pythagoras, yang mewakili keluarga dari tripel sembarang bilangan Pythagoras z = 13, x = 12, y = 5 dan keluarga dari tiga kali lipat bilangan bulat positif z = 21, x = 19, y = 16
Kedua angka kembar tiga tersebut adalah anggota keluarganya:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Banyaknya anggota keluarga (10) dan (11) sama dengan setengah hasil kali 13 kali 12 dan 21 kali 20, yaitu 78 dan 210.
Setiap anggota keluarga (10) berisi z = 13 dan variabel X Dan pada 13 > x > 0 , 13 > kamu > 0 1
Setiap anggota keluarga (11) berisi z = 21 dan variabel X Dan pada , yang mengambil nilai integer 21 > x >0 , 21 > kamu > 0 . Variabel berturut-turut berkurang sebesar 1 .
Tiga kali lipat bilangan barisan (10) dan (11) dapat direpresentasikan sebagai barisan pertidaksamaan derajat ketiga:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
dan berupa pertidaksamaan derajat keempat:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Kebenaran setiap pertidaksamaan diverifikasi dengan menaikkan angka ke pangkat ketiga dan keempat.
Sebuah kubus yang bilangannya lebih besar tidak dapat diuraikan menjadi dua kubus yang bilangannya lebih kecil. Nilainya bisa lebih kecil atau lebih besar dari jumlah pangkat tiga dua bilangan yang lebih kecil.
Bikuadrat suatu bilangan yang lebih besar tidak dapat diuraikan menjadi dua bikuadrat yang bilangannya lebih kecil. Nilainya bisa lebih kecil atau lebih besar dari jumlah bikuadrat dari bilangan yang lebih kecil.
Dengan bertambahnya eksponen, semua pertidaksamaan, kecuali pertidaksamaan ekstrim kiri, mempunyai arti yang sama:
Semuanya mempunyai arti yang sama: pangkat dari bilangan yang lebih besar lebih besar dari jumlah pangkat dari dua bilangan yang lebih kecil dengan eksponen yang sama:
| 13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Suku ekstrim kiri barisan (12) (13) mewakili ketimpangan terlemah. Kebenarannya menentukan kebenaran semua pertidaksamaan berikutnya pada barisan (12) untuk n > 8 dan urutan (13) di n > 14 .
Tidak ada kesetaraan di antara mereka. Triple sembarang bilangan bulat positif (21,19,16) bukanlah solusi persamaan (2) teorema terakhir Fermat. Jika tripel bilangan bulat positif yang sembarang bukan merupakan solusi dari persamaan tersebut, maka persamaan tersebut tidak mempunyai solusi pada himpunan bilangan bulat positif, dan hal ini perlu dibuktikan.
DENGAN) Komentar Fermat tentang masalah Diophantus menyatakan bahwa tidak mungkin terurai” secara umum, tidak ada pangkat yang lebih besar dari kuadrat, dua pangkat dengan eksponen yang sama».
Ciuman derajat yang lebih besar dari persegi tidak dapat diuraikan menjadi dua derajat dengan eksponen yang sama. Tidak ada ciuman derajat yang lebih besar dari kuadrat dapat diuraikan menjadi dua pangkat dengan eksponen yang sama.
Tiga bilangan bulat positif sembarang (z, x, kamu) mungkin milik suatu keluarga, yang masing-masing anggotanya terdiri dari sejumlah konstan z dan dua angka lebih kecil z . Setiap anggota keluarga dapat direpresentasikan dalam bentuk pertidaksamaan, dan semua pertidaksamaan yang dihasilkan dapat direpresentasikan dalam bentuk barisan pertidaksamaan:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Barisan pertidaksamaan (14) diawali dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya lebih kecil dari ruas kanannya, dan diakhiri dengan pertidaksamaan yang ruas kanannya lebih kecil dari ruas kirinya. Dengan meningkatnya eksponen n > 2 jumlah pertidaksamaan pada ruas kanan barisan (14) bertambah. Dengan eksponen n = k semua pertidaksamaan di ruas kiri barisan berubah maknanya dan mengambil arti pertidaksamaan di ruas kanan barisan pertidaksamaan (14). Sebagai hasil dari peningkatan eksponen semua pertidaksamaan, ruas kiri menjadi lebih besar dari ruas kanan:
| zk > (z-1)k + (z-1)k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
Dengan peningkatan eksponen lebih lanjut n>k tidak ada satu pun ketidaksetaraan yang mengubah maknanya dan berubah menjadi kesetaraan. Atas dasar ini, dapat dikatakan bahwa setiap tripel bilangan bulat positif yang dipilih secara sembarang (z, x, kamu) pada n > 2 , z > x , z > kamu
Dalam rangkap tiga bilangan bulat positif yang dipilih secara acak z dapat berupa bilangan asli yang besarnya sewenang-wenang. Untuk semua bilangan asli yang tidak lebih besar dari z , Teorema Terakhir Fermat terbukti.
D) Tidak peduli seberapa besar jumlahnya z , dalam deret bilangan asli terdapat himpunan bilangan bulat yang besar namun berhingga sebelumnya, dan setelahnya terdapat himpunan bilangan bulat tak terhingga.
Mari kita buktikan bahwa seluruh himpunan bilangan asli tak terhingga besar z , membentuk tiga kali lipat bilangan yang bukan merupakan solusi persamaan Teorema Terakhir Fermat, misalnya, tiga kali lipat sembarang bilangan bulat positif (z + 1, x ,y) , di mana z + 1 > x Dan z + 1 > kamu untuk semua nilai eksponen n > 2 bukanlah solusi persamaan teorema terakhir Fermat.
Triple bilangan bulat positif yang dipilih secara acak (z + 1, x, y) mungkin termasuk dalam keluarga bilangan rangkap tiga, yang masing-masing anggotanya terdiri dari suatu bilangan konstan z+1 dan dua angka X Dan pada , mengambil nilai yang berbeda, lebih kecil z+1 . Anggota keluarga dapat direpresentasikan dalam bentuk pertidaksamaan dimana konstanta ruas kiri lebih kecil atau lebih besar dari ruas kanan. Pertidaksamaan tersebut dapat diurutkan dalam bentuk barisan pertidaksamaan:
Dengan peningkatan eksponen lebih lanjut n>k hingga tak terhingga, tidak ada satupun pertidaksamaan barisan (17) yang berubah makna dan berubah menjadi persamaan. Pada barisan (16), pertidaksamaan terbentuk dari tripel bilangan bulat positif yang dipilih secara sembarang (z + 1, x, y) , dapat ditempatkan di sisi kanannya pada formulir (z + 1) n > x n + yn atau berada di sisi kirinya dalam formulir (z+1)n< x n + y n .
Bagaimanapun, tiga kali lipat bilangan bulat positif (z + 1, x, y) pada n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > kamu pada barisan (16) mewakili suatu pertidaksamaan dan tidak dapat mewakili suatu persamaan, yaitu tidak dapat mewakili penyelesaian persamaan teorema terakhir Fermat.
Kita dapat dengan mudah dan sederhana memahami asal muasal barisan pertidaksamaan pangkat (16), dimana pertidaksamaan terakhir di ruas kiri dan pertidaksamaan pertama di ruas kanan merupakan pertidaksamaan yang berlawanan makna. Sebaliknya, tidak mudah dan sulit bagi anak sekolah, siswa SMA, dan siswa SMA untuk memahami bagaimana barisan pertidaksamaan (16) terbentuk dari barisan pertidaksamaan (17), yang mana semua pertidaksamaan mempunyai arti yang sama. .
Pada barisan (16), bertambahnya derajat pertidaksamaan bilangan bulat sebesar 1 satuan akan mengubah pertidaksamaan terakhir di ruas kiri menjadi pertidaksamaan pertama yang berlawanan arah di ruas kanan. Dengan demikian, jumlah pertidaksamaan di ruas kiri barisan berkurang, dan jumlah pertidaksamaan di ruas kanan bertambah. Antara ketimpangan kekuasaan yang terakhir dan yang pertama yang maknanya berlawanan tentu terdapat persamaan kekuasaan. Derajatnya tidak boleh bilangan bulat, karena hanya bilangan bukan bilangan bulat yang terletak di antara dua bilangan asli yang berurutan. Persamaan pangkat yang derajatnya bukan bilangan bulat, menurut syarat-syarat teorema, tidak dapat dianggap sebagai penyelesaian persamaan (1).
Jika pada barisan (16) kita terus menaikkan derajatnya sebesar 1 satuan, maka pertidaksamaan terakhir ruas kirinya akan berubah menjadi pertidaksamaan pertama yang kebalikan makna ruas kanannya. Akibatnya, tidak akan ada kesenjangan di sisi kiri dan yang tersisa hanyalah kesenjangan di sisi kanan, yang akan menjadi rangkaian kesenjangan kekuasaan yang semakin meningkat (17). Peningkatan lebih lanjut dalam pangkat bilangan bulat sebesar 1 unit hanya memperkuat ketidaksetaraan pangkatnya dan secara kategoris mengecualikan kemungkinan persamaan pangkat bilangan bulat.
Akibatnya, secara umum, tidak ada pangkat bilangan bulat dari bilangan asli (z+1) dari barisan pertidaksamaan pangkat (17) yang dapat diuraikan menjadi dua pangkat bilangan bulat dengan eksponen yang sama. Oleh karena itu, persamaan (1) tidak memiliki solusi pada himpunan bilangan asli tak terhingga, dan hal ini perlu dibuktikan.
Akibatnya, teorema terakhir Fermat terbukti seluruhnya:
- di bagian A) untuk semua kembar tiga (z, x, kamu) Bilangan Pythagoras (Penemuan Fermat benar-benar merupakan bukti yang luar biasa),
- di bagian B) untuk semua anggota keluarga dari tripel mana pun (z, x, kamu) bilangan Pythagoras,
- di bagian C) untuk semua bilangan rangkap tiga (z, x, kamu) , bukan jumlah yang besar z
- di bagian D) untuk semua bilangan rangkap tiga (z, x, kamu) rangkaian angka alami.
|
Perubahan dilakukan pada 09/05/2010 |
Teorema manakah yang dapat dan tidak dapat dibuktikan dengan kontradiksi?
Kamus penjelasan istilah matematika mendefinisikan pembuktian dengan kontradiksi suatu teorema, kebalikan dari teorema kebalikannya.
“Pembuktian dengan kontradiksi adalah suatu cara pembuktian suatu teorema (proposisi), yang terdiri dari pembuktian bukan teorema itu sendiri, melainkan teorema ekuivalennya (ekuivalen). Pembuktian dengan kontradiksi digunakan ketika teorema langsung sulit dibuktikan, namun teorema sebaliknya lebih mudah dibuktikan. Dalam pembuktian dengan kontradiksi, kesimpulan teorema digantikan dengan negasinya, dan melalui penalaran kita sampai pada negasi kondisi, yaitu. pada suatu kontradiksi, pada kebalikannya (kebalikan dari apa yang diberikan; reduksi menjadi absurd ini membuktikan teorema tersebut).
Pembuktian dengan kontradiksi sangat sering digunakan dalam matematika. Pembuktian dengan kontradiksi didasarkan pada hukum tengah yang dikecualikan, yang terdiri dari kenyataan bahwa dari dua pernyataan (pernyataan) A dan A (negasi dari A), yang satu benar dan yang lainnya salah.”/Kamus Penjelasan Istilah Matematika: Pedoman untuk Guru/O. V. Manturov [dll.]; diedit oleh V. A. Ditkina.- M.: Pendidikan, 1965.- 539 hal.: ill.-C.112/.
Tidaklah lebih baik untuk menyatakan secara terbuka bahwa metode pembuktian dengan kontradiksi bukanlah metode matematika, meskipun digunakan dalam matematika, itu adalah metode yang logis dan termasuk dalam logika. Bolehkah dikatakan bahwa pembuktian dengan kontradiksi “digunakan ketika teorema langsung sulit dibuktikan,” padahal teorema langsung digunakan ketika, dan hanya ketika, tidak ada penggantinya.
Karakterisasi hubungan teorema langsung dan teorema invers satu sama lain juga perlu mendapat perhatian khusus. “Teorema kebalikan dari teorema tertentu (atau teorema tertentu) adalah teorema yang kondisinya adalah kesimpulannya, dan kesimpulannya adalah kondisi dari teorema tersebut. Teorema yang berhubungan dengan teorema kebalikan ini disebut teorema langsung (asli). Pada saat yang sama, teorema kebalikan dari teorema kebalikannya akan menjadi teorema tertentu; oleh karena itu, teorema langsung dan teorema invers disebut saling invers. Jika teorema langsung (yang diberikan) benar, maka teorema kebalikannya tidak selalu benar. Misalnya, jika suatu segi empat adalah belah ketupat, maka diagonal-diagonalnya saling tegak lurus (teorema lurus). Jika dalam suatu segiempat diagonal-diagonalnya saling tegak lurus, maka segiempat tersebut adalah belah ketupat - ini salah, yaitu teorema kebalikannya salah.”/Kamus Penjelasan Istilah Matematika: Pedoman untuk Guru/O. V. Manturov [dll.]; diedit oleh V. A. Ditkina.- M.: Pendidikan, 1965.- 539 hal.: ill.-C.261 /.
Ciri-ciri hubungan teorema langsung dan teorema invers ini tidak memperhitungkan fakta bahwa kondisi teorema langsung diterima begitu saja, tanpa pembuktian, sehingga kebenarannya tidak terjamin. Kondisi teorema invers tidak diterima begitu saja, karena merupakan kesimpulan dari teorema langsung yang terbukti. Kebenarannya ditegaskan dengan pembuktian teorema langsung. Perbedaan logis yang esensial dalam kondisi teorema langsung dan teorema invers ternyata menjadi penentu dalam pertanyaan teorema mana yang dapat dan tidak dapat dibuktikan dengan metode logis melalui kontradiksi.
Mari kita asumsikan bahwa ada teorema langsung yang dapat dibuktikan dengan menggunakan metode matematika biasa, namun sulit. Mari kita rumuskan secara umum dan singkat sebagai berikut: dari A sebaiknya E . Simbol A memiliki arti dari kondisi teorema tertentu, diterima tanpa bukti. Simbol E yang penting adalah kesimpulan teorema yang perlu dibuktikan.
Kami akan membuktikan teorema langsung dengan kontradiksi, logis metode. Metode logika digunakan untuk membuktikan suatu teorema yang dimiliki bukan matematika kondisi, dan logis kondisi. Hal ini dapat diperoleh jika kondisi matematika dari teorema dari A sebaiknya E , lengkapi dengan kondisi sebaliknya dari A jangan lakukan itu E .
Hasilnya adalah kondisi logis yang kontradiktif dari teorema baru, yang mengandung dua bagian: dari A sebaiknya E Dan dari A jangan lakukan itu E . Kondisi yang dihasilkan dari teorema baru sesuai dengan hukum logika tengah yang dikecualikan dan sesuai dengan pembuktian teorema dengan kontradiksi.
Menurut hukum, satu bagian dari suatu kondisi yang bertentangan adalah salah, bagian lainnya benar, dan bagian ketiga dikecualikan. Pembuktian dengan kontradiksi mempunyai tugas dan tujuan untuk menetapkan dengan tepat bagian mana dari dua bagian syarat teorema yang salah. Setelah bagian yang salah dari kondisi ditentukan, bagian lainnya ditentukan sebagai bagian yang benar, dan bagian ketiga dikecualikan.
Menurut kamus penjelasan istilah matematika, “pembuktian adalah penalaran yang menentukan benar atau salahnya suatu pernyataan (penilaian, pernyataan, teorema)”. Bukti oleh kontradiksi ada alasan di mana hal itu ditetapkan kepalsuan(absurditas) kesimpulan yang timbul dari PALSU kondisi teorema yang ingin dibuktikan.
Diberikan: dari A sebaiknya E dan dari A jangan lakukan itu E .
Membuktikan: dari A sebaiknya E .
Bukti: Kondisi logis teorema mengandung kontradiksi yang memerlukan penyelesaiannya. Kontradiksi kondisi tersebut harus dicari penyelesaiannya dalam pembuktian dan akibat-akibatnya. Hasilnya ternyata salah dengan penalaran yang sempurna dan bebas kesalahan. Alasan kesimpulan yang salah dalam penalaran yang benar secara logis hanya dapat berupa kondisi yang kontradiktif: dari A sebaiknya E Dan dari A jangan lakukan itu E .
Tidak ada keraguan bahwa satu bagian dari kondisi itu salah, dan bagian lainnya benar dalam kasus ini. Kedua bagian dari kondisi tersebut memiliki asal usul yang sama, diterima sebagai data, diasumsikan, sama-sama mungkin, sama-sama dapat diterima, dan seterusnya. Dalam proses penalaran logis, tidak ditemukan satu pun fitur logis yang dapat membedakan satu bagian dari kondisi tersebut dari yang lain. . Oleh karena itu, pada tingkat yang sama mungkin saja demikian dari A sebaiknya E dan mungkin dari A jangan lakukan itu E . Penyataan dari A sebaiknya E Mungkin PALSU, lalu pernyataannya dari A jangan lakukan itu E akan menjadi kenyataan. Penyataan dari A jangan lakukan itu E mungkin salah, maka pernyataannya dari A sebaiknya E akan menjadi kenyataan.
Oleh karena itu, tidak mungkin membuktikan teorema langsung dengan kontradiksi.
Sekarang kita akan membuktikan teorema langsung yang sama menggunakan metode matematika biasa.
Diberikan: A .
Membuktikan: dari A sebaiknya E .
Bukti.
1. Dari A sebaiknya B
2. Dari B sebaiknya DI DALAM (menurut teorema yang telah dibuktikan sebelumnya)).
3. Dari DI DALAM sebaiknya G (menurut teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).
4. Dari G sebaiknya D (menurut teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).
5. Dari D sebaiknya E (menurut teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).
Berdasarkan hukum transitivitas, dari A sebaiknya E . Teorema langsung dibuktikan dengan cara biasa.
Biarkan teorema langsung yang terbukti memiliki teorema invers yang benar: dari E sebaiknya A .
Mari kita buktikan dengan yang biasa matematis metode. Pembuktian teorema kebalikan dapat dinyatakan dalam bentuk simbolik sebagai suatu algoritma operasi matematika.
Diberikan: E
Membuktikan: dari E sebaiknya A .
Bukti.
1. Dari E sebaiknya D
2. Dari D sebaiknya G (menurut teorema kebalikan yang telah dibuktikan sebelumnya).
3. Dari G sebaiknya DI DALAM (menurut teorema kebalikan yang telah dibuktikan sebelumnya).
4. Dari DI DALAM jangan lakukan itu B (teorema kebalikannya tidak benar). Itu sebabnya dari B jangan lakukan itu A .
Dalam situasi ini, tidak masuk akal untuk melanjutkan pembuktian matematis dari teorema kebalikan. Alasan situasi ini logis. Teorema kebalikan yang salah tidak dapat digantikan oleh apapun. Oleh karena itu, tidak mungkin membuktikan teorema kebalikan ini dengan menggunakan metode matematika biasa. Semua harapannya adalah membuktikan teorema invers ini dengan kontradiksi.
Untuk membuktikannya dengan kontradiksi, maka perlu mengganti kondisi matematisnya dengan kondisi logis yang kontradiktif, yang dalam maknanya mengandung dua bagian - salah dan benar.
Teorema kebalikan menyatakan: dari E jangan lakukan itu A . Kondisinya E , dari mana kesimpulannya berikut A , adalah hasil pembuktian teorema langsung dengan menggunakan metode matematika biasa. Kondisi ini harus dilestarikan dan dilengkapi dengan pernyataan dari E sebaiknya A . Sebagai hasil penjumlahan tersebut, kita memperoleh kondisi kontradiktif dari teorema invers baru: dari E sebaiknya A Dan dari E jangan lakukan itu A . Berdasarkan ini secara logis kondisinya kontradiktif, teorema kebalikannya dapat dibuktikan dengan cara yang benar logis penalaran saja, dan hanya, logis metode dengan kontradiksi. Dalam pembuktian dengan kontradiksi, tindakan dan operasi matematis apa pun tunduk pada tindakan dan operasi logis dan oleh karena itu tidak dihitung.
Pada bagian pertama pernyataan yang kontradiktif dari E sebaiknya A kondisi E dibuktikan dengan pembuktian teorema langsung. Di bagian kedua dari E jangan lakukan itu A kondisi E diasumsikan dan diterima tanpa bukti. Salah satunya salah, dan yang lainnya benar. Anda perlu membuktikan mana yang salah.
Kami membuktikannya dengan benar logis penalaran dan menemukan bahwa hasilnya adalah kesimpulan yang salah dan tidak masuk akal. Alasan kesimpulan logis yang salah adalah kondisi logis yang kontradiktif dari teorema, yang berisi dua bagian - salah dan benar. Bagian yang salah hanya bisa berupa pernyataan dari E jangan lakukan itu A , di mana E diterima tanpa bukti. Hal inilah yang membedakannya dengan E pernyataan dari E sebaiknya A , yang dibuktikan dengan pembuktian teorema langsung.
Oleh karena itu, pernyataannya benar: dari E sebaiknya A , itulah yang perlu dibuktikan.
Kesimpulan: dengan metode logika, hanya teorema invers yang dibuktikan dengan kontradiksi, yang teorema langsungnya dibuktikan dengan metode matematis dan tidak dapat dibuktikan dengan metode matematis.
Kesimpulan yang diperoleh menjadi sangat penting dalam kaitannya dengan metode pembuktian melalui kontradiksi teorema besar Fermat. Sebagian besar upaya untuk membuktikannya tidak didasarkan pada metode matematika biasa, tetapi pada metode pembuktian logis melalui kontradiksi. Bukti Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat tidak terkecuali.
Dmitry Abrarov, dalam artikel “Teorema Fermat: Fenomena Bukti Wiles,” menerbitkan komentar tentang bukti Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat. Menurut Abrarov, Wiles membuktikan teorema terakhir Fermat dengan bantuan penemuan luar biasa dari matematikawan Jerman Gerhard Frey (lahir 1944), yang menghubungkan solusi potensial persamaan Fermat x n + yn = z n
, Di mana n > 2
, dengan persamaan lain yang sangat berbeda. Persamaan baru ini diberikan oleh kurva khusus (disebut kurva elips Frey). Kurva Frey diberikan oleh persamaan yang sangat sederhana:
.
“Frey-lah yang membandingkan setiap keputusan (a, b, c) Persamaan Fermat, yaitu bilangan yang memenuhi relasi a n + b n = c n, kurva di atas. Dalam hal ini, teorema terakhir Fermat akan menyusul.”(Kutipan dari: Abrarov D. “Teorema Fermat: fenomena pembuktian Wiles”)
Dengan kata lain, Gerhard Frey mengemukakan persamaan Teorema Terakhir Fermat x n + yn = z n
, Di mana n > 2
, memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Solusi yang sama ini, menurut asumsi Frey, adalah solusi persamaannya
kamu 2 + x (x - an) (y + b n) = 0
, yang diberikan oleh kurva elipsnya.
Andrew Wiles menerima penemuan luar biasa dari Frey ini dan, dengan bantuannya, matematis Metode ini membuktikan bahwa penemuan ini, yaitu kurva elips Frey, tidak ada. Oleh karena itu, tidak ada persamaan dan penyelesaiannya yang diberikan oleh kurva elips yang tidak ada.Oleh karena itu, Wiles seharusnya menerima kesimpulan bahwa tidak ada persamaan teorema terakhir Fermat dan teorema Fermat itu sendiri. Namun, ia menerima kesimpulan yang lebih sederhana bahwa persamaan Teorema Terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.
Fakta yang tak terbantahkan mungkin adalah bahwa Wiles menerima asumsi yang maknanya berlawanan dengan apa yang dinyatakan oleh teorema besar Fermat. Ini mewajibkan Wiles untuk membuktikan teorema terakhir Fermat dengan kontradiksi. Mari kita ikuti teladannya dan lihat apa yang dihasilkan dari contoh ini.
Teorema Terakhir Fermat menyatakan bahwa persamaan tersebut x n + yn = z n , Di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.
Menurut metode pembuktian logis melalui kontradiksi, pernyataan ini dipertahankan, diterima begitu saja tanpa pembuktian, dan kemudian dilengkapi dengan pernyataan sebaliknya: persamaan x n + yn = z n , Di mana n > 2 , memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.
Pernyataan dugaan juga diterima begitu saja, tanpa bukti. Kedua pernyataan tersebut, jika ditinjau dari sudut pandang hukum-hukum dasar logika, sama-sama sahih, sama-sama sahih, dan sama-sama mungkin. Melalui penalaran yang benar, perlu ditentukan pernyataan mana yang salah untuk kemudian menentukan pernyataan yang lain benar.
Penalaran yang benar berakhir dengan kesimpulan yang salah dan tidak masuk akal, yang alasan logisnya hanya dapat berupa kondisi kontradiktif dari teorema yang dibuktikan, yang mengandung dua bagian yang maknanya berlawanan secara langsung. Mereka adalah alasan logis atas kesimpulan yang absurd, hasil pembuktian melalui kontradiksi.
Namun, dalam penalaran yang benar secara logis, tidak ada satu pun tanda yang ditemukan yang dapat menentukan pernyataan mana yang salah. Ini bisa berupa pernyataan: persamaan x n + yn = z n , Di mana n > 2 , memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Atas dasar yang sama, bisa jadi pernyataan berikut: persamaan x n + yn = z n , Di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.
Dari hasil penalaran tersebut, hanya ada satu kesimpulan: Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dibuktikan dengan kontradiksi.
Lain halnya jika teorema terakhir Fermat adalah teorema invers, yang teorema langsungnya dibuktikan dengan metode matematika biasa. Dalam hal ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi. Dan karena ini adalah teorema langsung, pembuktiannya tidak boleh didasarkan pada metode pembuktian logis melalui kontradiksi, tetapi pada metode matematika biasa.
Menurut D. Abrarov, matematikawan Rusia modern yang paling terkenal, Akademisi V. I. Arnold, bereaksi “secara aktif skeptis” terhadap pembuktian Wiles. Akademisi menyatakan: "ini bukan matematika nyata - matematika nyata bersifat geometris dan memiliki hubungan yang kuat dengan fisika." (Kutipan dari: Abrarov D. "Teorema Fermat: fenomena pembuktian Wiles." Pernyataan akademisi mengungkapkan intisari dari Bukti non-matematis Wiles dari teorema terakhir Fermat.
Dengan kontradiksi, tidak mungkin membuktikan bahwa persamaan Teorema Terakhir Fermat tidak mempunyai solusi atau mempunyai solusi. Kesalahan Wiles bukanlah kesalahan matematis, melainkan logika - penggunaan pembuktian dengan kontradiksi dimana penggunaannya tidak masuk akal dan teorema besar Fermat tidak membuktikan.
Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dibuktikan meskipun menggunakan metode matematika biasa jika memberikan: persamaan x n + yn = z n , Di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif, dan jika Anda ingin membuktikannya: persamaannya x n + yn = z n , Di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Dalam bentuk ini tidak ada teorema, melainkan tautologi tanpa makna.
Catatan. Bukti BTF saya dibahas di salah satu forum. Salah satu peserta Trotil, seorang ahli teori bilangan, membuat pernyataan resmi berikut yang berjudul: “Menceritakan kembali secara singkat apa yang dilakukan Mirgorodsky.” Saya mengutipnya kata demi kata:
« A. Dia membuktikan bahwa jika z 2 = x 2 + kamu , Itu z n > x n + yn . Ini adalah fakta yang diketahui dan cukup jelas.
DI DALAM. Dia mengambil dua tripel - Pythagoras dan non-Pythagoras dan menunjukkan dengan pencarian sederhana bahwa untuk keluarga tripel tertentu (78 dan 210 buah) BTF terpenuhi (dan hanya untuk itu).
DENGAN. Dan kemudian penulis menghilangkan fakta itu dari < di kemudian hari hal itu mungkin terjadi = , tidak hanya > . Contoh tandingan sederhana - transisi n=1 V n=2 dalam tripel Pythagoras.
D. Poin ini tidak memberikan kontribusi signifikan terhadap bukti BTF. Kesimpulan: BTF belum terbukti.”
Saya akan mempertimbangkan kesimpulannya poin demi poin.
A. Ini membuktikan BTF untuk seluruh himpunan tripel bilangan Pythagoras yang tak terhingga. Dibuktikan dengan metode geometris, yang menurut saya tidak ditemukan oleh saya, tetapi ditemukan kembali. Dan itu ditemukan, menurut saya, oleh P. Fermat sendiri. Fermat mungkin memikirkan hal ini ketika dia menulis:
“Saya telah menemukan bukti yang sungguh luar biasa mengenai hal ini, namun bidang ini terlalu sempit untuk itu.” Asumsi saya ini didasarkan pada fakta bahwa dalam masalah Diophantine, yang ditulis Fermat di pinggir buku, kita berbicara tentang solusi persamaan Diophantine, yang merupakan kembar tiga dari bilangan Pythagoras.
Himpunan kembar tiga bilangan Pythagoras yang tak terhingga merupakan solusi persamaan Diophatean, dan dalam teorema Fermat, sebaliknya, tidak ada solusi yang dapat menjadi solusi persamaan teorema Fermat. Dan bukti luar biasa Fermat berhubungan langsung dengan fakta ini. Fermat nantinya dapat memperluas teoremanya ke himpunan semua bilangan asli. Pada himpunan semua bilangan asli, BTF tidak termasuk dalam “himpunan teorema yang sangat indah”. Ini adalah asumsi saya, yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal. Itu bisa diterima atau ditolak.
DI DALAM. Pada titik ini, saya membuktikan bahwa baik keluarga dari bilangan tripel Pythagoras yang diambil secara sewenang-wenang maupun keluarga dari bilangan BTF tripel non-Pythagoras yang diambil secara sewenang-wenang terpenuhi.Ini adalah tautan yang perlu, tetapi tidak cukup dan perantara dalam pembuktian saya tentang BTF . Contoh keluarga tripel bilangan Pythagoras dan keluarga tripel bilangan non-Pythagoras yang saya ambil mempunyai arti contoh spesifik yang mengandaikan dan tidak mengecualikan adanya contoh serupa lainnya.
Pernyataan Trotil yang saya “tunjukkan dengan pencarian sederhana bahwa untuk keluarga kembar tiga yang spesifik dan spesifik (78 dan 210 buah) BTF puas (dan hanya untuk itu) tidak berdasar. Dia tidak dapat menyangkal fakta bahwa saya dapat dengan mudah mengambil contoh lain dari tripel Pythagoras dan non-Pythagoras untuk mendapatkan keluarga pasti spesifik dari tripel yang satu dan tripel lainnya.
Apapun pasangan kembar tiga yang saya ambil, pemeriksaan kesesuaiannya untuk menyelesaikan masalah, menurut saya, hanya dapat dilakukan dengan metode “enumerasi sederhana”. Saya tidak tahu metode lain dan tidak membutuhkannya. Jika Trotil tidak menyukainya, maka dia seharusnya menyarankan metode lain, namun dia tidak melakukannya. Tanpa memberikan imbalan apa pun, tidaklah benar jika kita mengutuk “pembunuhan berlebihan” yang dalam kasus ini tidak dapat digantikan.
DENGAN. Saya telah menghilangkan = antara< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + kamu (1), dimana derajatnya n > 2 — utuh nomor positif. Dari persamaan antar pertidaksamaan berikut ini wajib pertimbangan persamaan (1) untuk nilai derajat non-integer n > 2 . Trotil, menghitung wajib pertimbangan kesetaraan antar kesenjangan sebenarnya mempertimbangkan diperlukan dalam pembuktian BTF, pertimbangan persamaan (1) dengan tidak utuh nilai derajat n > 2 . Saya melakukan ini untuk diri saya sendiri dan menemukan persamaan (1) dengan tidak utuh nilai derajat n > 2 mempunyai penyelesaian tiga bilangan: z, (z-1), (z-1) untuk eksponen bukan bilangan bulat.
