Persamaan Schrödinger temporal dan stasioner
Interpretasi statistik gelombang de Broglie dan hubungan ketidakpastian Heisenberg mengarah pada kesimpulan bahwa persamaan gerak dalam mekanika kuantum, yang menggambarkan gerak partikel mikro di berbagai medan gaya, harus menjadi persamaan yang darinya sifat gelombang partikel yang diamati secara eksperimental akan mengikuti. Persamaan utama haruslah persamaan untuk fungsi gelombang (x, y, z, t), karena fungsi ini, atau lebih tepatnya, kuantitas 2 , yang menentukan probabilitas partikel berada dalam volume dV pada waktu t , yaitu di daerah dengan koordinat x dan x+dx, y dan y+dy, z dan z+dz. Karena persamaan yang diinginkan harus memperhitungkan sifat gelombang partikel, persamaan itu harus berupa persamaan gelombang, mirip dengan persamaan yang menggambarkan gelombang elektromagnetik.
Persamaan ini didalilkan, dan kebenarannya dikonfirmasi oleh kesepakatan dengan pengalaman dari hasil yang diperoleh dengan bantuannya.
Persamaan dasar mekanika kuantum non-relativistik (1926)
4.1 Persamaan waktu Schrödinger:
Persamaan ini berlaku untuk partikel non-relativistik<< ,
di mana (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) adalah massa partikel; - satuan imajiner; 
adalah fungsi potensial partikel dalam medan gaya di mana ia bergerak; 
adalah fungsi gelombang yang diinginkan; adalah operator Laplace 
Kondisi yang dikenakan pada fungsi gelombang:
Fungsi gelombang harus berhingga, bernilai tunggal, dan kontinu.
Turunan /∂x, /∂y, /∂z , /t harus kontinu.
Fungsi 2 harus dapat diintegralkan (kondisi ini direduksi menjadi kondisi normalisasi untuk probabilitas).
4.2 Persamaan Schrödinger Stasioner
Dalam kasus medan gaya stasioner (fungsi U=U(x, y, z) tidak secara eksplisit bergantung pada waktu dan memiliki arti energi potensial. Dalam hal ini, solusi persamaan Schrödinger dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua fungsi, salah satunya adalah fungsi koordinat saja, yang lain hanya fungsi waktu, dan ketergantungan pada waktu dinyatakan oleh faktor 
).
Maka fungsi gelombang untuk keadaan stasioner (keadaan dengan nilai energi tetap) dapat direpresentasikan sebagai:
Persamaan Schrödinger stasioner:
diperoleh setelah mensubstitusi fungsi gelombang ke dalam persamaan waktu dan transformasi Schrödinger (∆ adalah operator Laplace, m- massa partikel; - Konstanta Planck tereduksi ( = j/2π); E adalah energi total partikel, kamu adalah energi potensial partikel. Dalam fisika klasik, besaran (E–U) sama dengan energi kinetik partikel. Dalam mekanika kuantum, karena hubungan ketidakpastian, konsep energi kinetik tidak ada artinya. Di sini energi potensial kamu adalah fitur medan gaya eksternal dimana partikel tersebut bergerak. Nilai ini cukup pasti. Ini juga merupakan fungsi dari koordinat, dalam hal ini kamu =kamu(x,y,z)).
Ide utama Schrödinger adalah untuk mentransfer analogi matematis antara optik geometris dan mekanika klasik ke sifat gelombang cahaya dan partikel.
Kami memperoleh persamaan Schrödinger dari ekspresi untuk fungsi gelombang elektron bebas . Mari kita tulis ulang dalam bentuk kompleks.
Dengan menggunakan hubungan frekuensi dengan energi, dan bilangan gelombang dengan momentum, kita peroleh: 
.
Dalam kasus umum, adalah energi total partikel, , adalah energi kinetik, dan adalah energi interaksi.
Mari kita cari turunan pertama terhadap dan turunan kedua terhadap koordinat fungsi Y: (1), (2).
Kami mengalikan persamaan (1) dengan , dan persamaan (2) dengan (dengan demikian, faktor-faktor di ruas kanan akan memiliki dimensi energi):
, 
.
Kami menambahkan persamaan yang dihasilkan:
.
Karena , persamaan terakhir dapat ditulis ulang dalam bentuk 
.
Ini adalah persamaan Schrödinger. Itu diperoleh untuk satu koordinat. Jika ditulis ulang untuk 3 koordinat , maka dengan memperkenalkan operator Laplace, kita akhirnya akan memiliki
.
Persamaan Schrödinger tidak dapat diturunkan secara langsung dari hukum-hukum dasar fisika klasik. Persamaan Schrodinger memungkinkan Anda untuk menemukan fungsi gelombang pada waktu yang berubah-ubah. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui fungsi gelombang pada titik waktu tertentu, massa partikel dan energi interaksi partikel dengan medan gaya. Fungsi gelombang yang ditemukan memungkinkan untuk menghitung probabilitas menemukan partikel pada titik sembarang dalam ruang untuk setiap saat dan waktu.
Sifat utama yang harus dipenuhi oleh fungsi gelombang adalah solusi persamaan Schrödinger:
1. Fungsi gelombang linier, yaitu. jika ... adalah solusi dari persamaan, maka kombinasi liniernya adalah solusi.
2. Turunan parsial pertama terhadap koordinat adalah linier
3. Fungsi gelombang dan turunan spasialnya harus bernilai tunggal, berhingga dan kontinu.
4. Seperti yang kita cenderung , nilai fungsi gelombang harus cenderung nol.
Persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner.
Jika medan gaya di mana partikel yang dijelaskan bergerak adalah stasioner, maka potensinya tidak secara eksplisit bergantung pada waktu, dan fungsinya memiliki arti energi potensial dan hanya bergantung pada koordinat. Dalam hal ini, fungsi gelombang dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua. Satu fungsi hanya bergantung pada , yang lain hanya bergantung pada waktu :
Kami mengganti ekspresi terakhir ke dalam persamaan Schrödinger
Setelah dikurangi dengan faktor waktu dan beberapa transformasi dasar, kita mendapatkan: 
(*).
Ini adalah persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner. Ini hanya mencakup bagian koordinat dari fungsi gelombang - . Jika yang terakhir ditemukan, maka fungsi gelombang total ditemukan dengan mengalikan bagian koordinat dengan faktor waktu .
Karena probabilitas ditentukan oleh kuadrat dari fungsi gelombang, dan kuadrat dari nilai kompleks ditemukan dengan mengalikan dengan konjugat kompleks, maka hubungan berikut berlaku untuk fungsi gelombang stasioner:
Jadi, untuk mencari fungsi gelombang keadaan stasioner, kita perlu menyelesaikan persamaan (*) dan mengetahui energi total .
Gerakan bebas partikel.
Selama gerakan bebas partikel kuantum, tidak ada gaya yang bekerja padanya, dan energi potensialnya bisa sama dengan nol. Biarkan partikel bergerak ke arah , maka (*) berbentuk: 
.
Solusi khusus untuk persamaan ini adalah fungsi dari bentuk 
, dimana dan adalah konstanta. Jika kita mensubstitusi solusi yang diinginkan ke dalam persamaan itu sendiri, maka kita akan mendapatkan hubungan antara energi partikel dan kuantitas :
Fungsi gelombang penuh, dengan mempertimbangkan ketergantungan waktu untuk partikel bebas, memiliki bentuk . Ini adalah gelombang monokromatik bidang dengan frekuensi dan bilangan gelombang. Sejak , dan , maka .
PERSAMAAN SCHROEDINGER
DAN KASUS KHUSUSNYA (lanjutan): lewatnya partikel melalui Hambatan POTENSI, Osilator Harmonik
Lintasan partikel melalui penghalang potensial untuk kasus klasik, kita telah membahasnya dalam KULIAH 7 BAGIAN 1 (lihat Gambar 7.2). Mari kita perhatikan sebuah mikropartikel yang energi totalnya lebih kecil dari levelnya kamu penghalang potensial (Gbr. 19.1). Dalam versi klasik, dalam hal ini, perjalanan partikel melalui penghalang tidak mungkin. Namun, dalam fisika kuantum, ada kemungkinan partikel akan lewat. Selain itu, ia tidak akan "melompat" di atasnya, tetapi, seolah-olah, "bocor", menggunakan kualitas gelombangnya. Oleh karena itu, efeknya disebut juga "tunneling". Untuk setiap daerah I, II, III kami menulis persamaan Schrödinger stasioner (18.3).
Untuk Saya dan AKU AKU AKU: 
, (19.1, a)
untuk II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, di mana a = konst. Kemudian 
dan y" = . Substitusi y" ke (19.1a) memberikan: Solusi umum yang diperlukan untuk domain Saya ditulis sebagai superposisi
https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)
Dalam hal ini, titik awal rambat gelombang digeser oleh L, sebuah PADA 3 = 0 , karena di daerah AKU AKU AKU hanya ada gelombang yang lewat.
Di daerah II(penghalang) substitusi y" dalam (19.1b) memberikan
https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.
Probabilitas lulus dicirikan koefisien transmisi- rasio intensitas gelombang yang ditransmisikan dengan intensitas kejadian:
(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)
di mana dua yang pertama berarti "menjahit" fungsi di batas kiri dan kanan penghalang, dan yang ketiga dan keempat - kelancaran transisi semacam itu. Substitusikan fungsi y1, y2 dan y3 ke dalam (19,5), kita memperoleh persamaan
Mari kita bagi menjadi TETAPI 1 dan menunjukkan sebuah 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; sebuah 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.
. (19.6)
Kami mengalikan persamaan pertama (19,6) dengan sayak dan tambahkan ke yang kedua. Ayo dapatkan 2 sayak = 2(q +sayak)-b 2(q-sayak) . (19.7)
Pasangan persamaan kedua (19.6) akan dianggap sebagai sistem dua persamaan yang tidak diketahui sebuah 2 dan b 2.
Faktor penentu dari sistem ini adalah:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,
dimana e- qL(q+sayak) 2 » 0, karena qL >> 1.
Oleh karena itu https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, dan untuk menemukan modul dari nilai kompleks sebuah 3, kalikan pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan dengan ( q +sayak)2. Setelah transformasi sederhana, kita mendapatkan
https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Biasanya E/U~ 90% dan seluruh koefisien sebelum "e" adalah urutan satu. Oleh karena itu, probabilitas sebuah partikel melewati penghalang ditentukan oleh hubungan berikut:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.
Ini berarti bahwa pada E< U partikel tidak akan mengatasi penghalang, yaitu, tidak ada efek terowongan dalam fisika klasik.
Efek ini digunakan dalam praktik teknik untuk membuat dioda terowongan yang banyak digunakan dalam perangkat teknik radio (lihat BAGIAN 3, KULIAH 3).
Selain itu, ternyata dimungkinkan untuk memulai reaksi fusi termonuklir dalam kondisi terestrial, yang terjadi di Matahari dalam kondisi biasa untuk Matahari - pada suhu T ~ 109 K. Tidak ada suhu seperti itu di Bumi, namun, karena efek terowongan, reaksi dapat dimulai pada suhu T ~ 107 K, yang terjadi selama ledakan bom atom, yang merupakan perangkat pengapian untuk bom hidrogen. Lebih lanjut tentang ini di bagian selanjutnya dari kursus.
Osilator harmonik.Klasik osilator harmonik juga telah kami pertimbangkan (KULIAH 1,2 BAGIAN 3). Ini, misalnya, adalah pendulum pegas, yang energi totalnya E = mV 2/2 + kx 2/2. Secara teoritis, energi ini dapat mengambil serangkaian nilai yang berkelanjutan, mulai dari nol.
Osilator harmonik kuantum adalah mikropartikel yang berosilasi sesuai dengan hukum harmonik, yang berada dalam keadaan terikat di dalam atom atau nukleus. Dalam hal ini, energi potensial tetap klasik, mencirikan gaya pemulih elastis yang serupa kx. Mengingat bahwa frekuensi siklik 
kita dapatkan untuk energi potensial https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">.(19.9)
Secara matematis, masalah ini bahkan lebih sulit daripada yang sebelumnya. Oleh karena itu, kami membatasi diri untuk menyatakan apa yang akan menjadi hasilnya. Seperti dalam kasus sumur satu dimensi, kita dapatkan diskrit spektrum fungsi eigen dan energi eigen, dan satu nilai eigen energi akan sesuai dengan satu fungsi gelombang: En y n(tidak ada degenerasi keadaan, seperti dalam kasus sumur tiga dimensi). Kerapatan probabilitas |yn|2 juga merupakan fungsi osilasi, tetapi ketinggian "punuk" berbeda. Ini tidak lagi dangkal dosa2
, sedangkan polinomial Hermite lebih eksotis hn(x). Fungsi gelombang memiliki bentuk
, di mana Dengann- bergantung kepada n konstan. Spektrum nilai eigen energi:
, (19.10)
dimana bilangan kuantum n = 0, 1, 2, 3 ... . Jadi, ada juga "energi nol" , di atasnya spektrum energi membentuk "tumpukan", di mana rak terletak pada jarak yang sama satu sama lain (Gbr. 19.2). Gambar yang sama menunjukkan kerapatan probabilitas |yn|2 yang sesuai untuk setiap tingkat energi, serta energi potensial medan eksternal (parabola bertitik).
Keberadaan energi minimum yang mungkin bukan nol dari sebuah osilator memiliki makna yang dalam. Ini berarti bahwa osilasi mikropartikel tidak berhenti tidak pernah, yang pada gilirannya berarti bahwa suhu nol mutlak tidak dapat dicapai.
1., Fisika Bursian: Kursus kuliah dengan dukungan komputer: Proc. tunjangan bagi siswa. lebih tinggi buku pelajaran institusi: Dalam 2 volume - M.: VLADOS-PRESS Publishing House, 2001.
Pada prinsipnya, tidak ada yang istimewa, mereka dapat ditemukan dalam tabel dan bahkan grafik.
Untuk partikel dunia kuantum, hukum lain berlaku selain untuk objek mekanika klasik. Menurut asumsi de Broglie, benda-benda mikro memiliki sifat partikel dan gelombang - dan, memang, ketika berkas elektron menyebar di sebuah lubang, difraksi diamati, yang merupakan karakteristik gelombang.
Oleh karena itu, kita tidak dapat berbicara tentang pergerakan partikel kuantum, tetapi tentang probabilitas bahwa partikel akan berada pada titik tertentu pada titik waktu tertentu.
Apa yang menjelaskan persamaan Schrödinger?
Persamaan Schrödinger dimaksudkan untuk menggambarkan ciri-ciri gerak benda-benda kuantum dalam medan gaya-gaya luar. Seringkali partikel bergerak melalui medan gaya yang tidak bergantung pada waktu. Untuk kasus ini, persamaan Schrödinger stasioner ditulis:
Dalam persamaan yang disajikan, m dan E masing-masing adalah energi partikel dalam medan gaya, dan U adalah energi medan ini. 
adalah operator Laplace. - Konstanta Planck, sama dengan 6,626 10 -34 J s.
(ini juga disebut amplitudo probabilitas, atau fungsi psi) - ini adalah fungsi yang memungkinkan Anda mengetahui di mana kemungkinan besar objek mikro kita berada di luar angkasa. Makna fisiknya bukanlah fungsi itu sendiri, melainkan kuadratnya. Peluang bahwa partikel berada dalam volume dasar adalah:
Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menemukan fungsi dalam volume terbatas dengan probabilitas:
Karena fungsi psi adalah probabilitas, maka tidak boleh kurang dari nol atau lebih dari satu. Probabilitas total untuk menemukan partikel dalam volume tak terbatas adalah kondisi normalisasi:
Untuk fungsi psi, prinsip superposisi bekerja: jika sebuah partikel atau sistem dapat berada dalam sejumlah keadaan kuantum, maka keadaan yang ditentukan oleh jumlah mereka juga memungkinkan untuk itu:
Persamaan Schrödinger yang stasioner memiliki banyak solusi, tetapi ketika menyelesaikannya, seseorang harus mempertimbangkan kondisi batas dan hanya memilih solusi yang tepat - solusi yang memiliki makna fisik. Solusi semacam itu hanya ada untuk nilai individu energi partikel E, yang membentuk spektrum energi diskrit partikel.
Contoh pemecahan masalah
CONTOH 1
| Latihan | Fungsi gelombang menggambarkan jarak antara elektron dan inti hidrogen: r adalah jarak antara elektron dan inti, a adalah jari-jari Bohr pertama. Berapa jauh dari nukleus kemungkinan elektron berada? |
| Keputusan | 1) Dengan menyatakan volume dalam jari-jari nukleus, kami menemukan probabilitas bahwa elektron berada dalam jarak tertentu dari nukleus: 2) Probabilitas elektron berada dalam "cincin" elementer dr:
3) Untuk menemukan jarak yang paling mungkin, kami menemukan dari ekspresi terakhir: Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan r = a - jarak yang paling mungkin antara elektron dan nukleus. |
| Menjawab | r = a – dengan probabilitas tertinggi, inti terletak pada jarak jari-jari Bohr pertama dari inti. |
CONTOH 2
| Latihan | Temukan tingkat energi partikel dalam sumur potensial yang sangat dalam. |
| Keputusan | Biarkan partikel bergerak sepanjang sumbu x. Lebar lubang - l. Kami menghitung energi dari dasar sumur dan menggambarkannya dengan fungsi: Kami menulis persamaan Schrödinger stasioner satu dimensi:
Pertimbangkan kondisi batas. Karena kita percaya bahwa partikel tidak dapat menembus dinding, maka di luar sumur = 0. Pada batas sumur, fungsi psi juga sama dengan nol: Di dalam sumur, energi potensialnya adalah U=0. Kemudian persamaan Schrödinger yang ditulis untuk sumur akan disederhanakan:
Dalam bentuk, ini adalah DE dari osilator harmonik: |
Gerakan mikropartikel di berbagai medan gaya dijelaskan dalam kerangka mekanika kuantum nonrelativistik menggunakan persamaan Schrödinger, yang diikuti oleh sifat gelombang partikel yang diamati secara eksperimental. Persamaan ini, seperti semua persamaan dasar fisika, tidak diturunkan, tetapi didalilkan. Kebenarannya dikonfirmasi oleh kesepakatan antara hasil perhitungan dan eksperimen. Persamaan gelombang Schrödinger memiliki bentuk umum sebagai berikut:
- (ħ 2 / 2m) + U (x, y, z, t) = i (∂ψ / t)
dimana = h / 2π, h = 6.623∙10 -34 J s - konstanta Planck;
m adalah massa partikel;
- Operator Laplace (∆ = 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2);
= (x, y, z, t) - fungsi gelombang yang diinginkan;
U (x, y, z, t) adalah fungsi potensial partikel dalam medan gaya di mana partikel itu bergerak;
i adalah unit imajiner.
Persamaan ini memiliki solusi hanya di bawah kondisi yang dikenakan pada fungsi gelombang:
- (x, y, z, t) harus berhingga, bernilai tunggal, dan kontinu;
- turunan pertamanya harus kontinu;
- fungsi | | 2 harus dapat diintegralkan, yang dalam kasus paling sederhana direduksi menjadi kondisi normalisasi untuk probabilitas.
+ (2m / 2) (E - U) = 0
di mana = (x, y, z) adalah fungsi gelombang dari koordinat saja;
E adalah parameter persamaan - energi total partikel.
Untuk persamaan ini, hanya solusi yang dinyatakan oleh fungsi reguler (disebut fungsi eigen) yang berlangsung hanya untuk nilai tertentu dari parameter E, yang disebut nilai eigen energi, yang memiliki arti fisis nyata. Nilai E ini dapat berupa deret kontinu atau deret diskrit, mis. spektrum energi kontinu dan diskrit.
Untuk setiap mikropartikel dengan adanya persamaan tipe Schrödinger (8.2), masalah mekanika kuantum direduksi menjadi penyelesaian persamaan ini, yaitu. mencari nilai fungsi gelombang = (x, y, z) yang sesuai dengan spektrum energi eigen E. Selanjutnya, kerapatan peluang | | 2 , yang menentukan dalam mekanika kuantum probabilitas menemukan partikel dalam satuan volume di sekitar titik dengan koordinat (x, y, z).
Salah satu kasus paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger adalah masalah perilaku partikel dalam "sumur potensial" persegi panjang satu dimensi dengan "dinding" yang sangat tinggi. "Lubang" seperti itu untuk partikel yang hanya bergerak sepanjang sumbu X dijelaskan oleh energi potensial dalam bentuk
di mana l adalah lebar "lubang", dan energi diukur dari dasarnya (Gbr. 8.1).
Persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner dalam kasus masalah satu dimensi dapat ditulis sebagai:
2 / x 2 + (2m / 2) (E - U) = 0
Karena fakta bahwa "dinding lubang" sangat tinggi, partikel tidak menembus di luar "lubang". Ini mengarah ke kondisi batas:
(0) = (l) = 0
Di dalam "lubang" (0 x l), persamaan (8.4) direduksi menjadi:
2 / x 2 + (2m / 2) E = 0
2 / x 2 + (k 2 ) = 0
dimana k 2 = (2m E) / 2
Solusi persamaan (8.7), dengan mempertimbangkan kondisi batas (8.5), dalam kasus paling sederhana memiliki bentuk:
(x) = A sin (kx)
dimana k = (n )/ l
untuk nilai bilangan bulat n.
Dari ekspresi (8.8) dan (8.10) berikut ini:
E n = (n 2 2 2) / (2m l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
itu. energi keadaan stasioner bergantung pada bilangan bulat n (disebut bilangan kuantum) dan memiliki nilai diskrit tertentu, yang disebut tingkat energi.
Akibatnya, partikel mikro dalam "sumur potensial" dengan "dinding" yang sangat tinggi hanya dapat berada pada tingkat energi tertentu E n , yaitu dalam keadaan kuantum diskrit n.
Mengganti ekspresi (8.10) menjadi (8.9) kita menemukan fungsi eigen
n (x) = A sin (nπ / l) x
Konstanta integrasi A dapat ditemukan dari kondisi normalisasi mekanika kuantum (probabilistik)
yang untuk kasus ini dapat ditulis sebagai:
Dari mana, sebagai hasil integrasi, kita mendapatkan = (2 / l) dan kita memiliki
n (x) = (√ (2 / l)) sin (nπ / l) x (n = 1, 2, 3 ...)
Grafik fungsi n (x) tidak memiliki arti fisis, sedangkan grafik fungsi | n | 2 menunjukkan distribusi densitas probabilitas untuk mendeteksi partikel pada jarak yang berbeda dari "dinding lubang" (Gbr. 8.1). Hanya grafik ini (serta n (x) - untuk perbandingan) dipelajari dalam karya ini dan dengan jelas menunjukkan bahwa gagasan tentang lintasan partikel dalam mekanika kuantum tidak dapat dipertahankan.
Dari ekspresi (8.11) berikut bahwa interval energi antara dua tingkat yang berdekatan adalah sama dengan
E n = E n-1 - E n = (π 2 2) / (2m l 2) (2n + 1)
Dari sini dapat dilihat bahwa untuk mikropartikel (seperti elektron) dengan ukuran "sumur" yang besar (l≈ 10 -1 m), tingkat energinya sangat dekat sehingga membentuk spektrum yang hampir kontinu. Keadaan seperti itu terjadi, misalnya, untuk elektron bebas dalam logam. Jika dimensi "lubang" sepadan dengan dimensi atom (l 10 -10 m), maka spektrum energi diskrit (spektrum garis) diperoleh. Jenis spektrum ini juga dapat dipelajari dalam karya ini untuk berbagai mikropartikel.
Kasus lain dari perilaku mikropartikel (serta sistem mikro - pendulum), yang sering ditemui dalam praktik (dan dipertimbangkan dalam karya ini), adalah masalah osilator harmonik linier dalam mekanika kuantum.
Seperti diketahui, energi potensial osilator harmonik satu dimensi dengan massa m adalah sama dengan
U (x) = (m 0 2 x 2)/ 2
dimana 0 adalah frekuensi osilasi alami dari osilator 0 = (k / m);
k - koefisien elastisitas osilator.
Ketergantungan (8.17) berbentuk parabola, mis. "sumur potensial" dalam hal ini adalah parabola (Gbr. 8.2).
Osilator harmonik kuantum dijelaskan oleh persamaan Schrödinger (8.2), yang memperhitungkan ekspresi (8.17) untuk energi potensial. Solusi persamaan ini ditulis sebagai:
n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) H n (x)
di mana N n adalah faktor normalisasi konstan tergantung pada bilangan bulat n;
= (m 0) / ;
H n (x) adalah polinomial derajat n, koefisien yang dihitung menggunakan rumus rekursif untuk berbagai bilangan bulat n.
Dalam teori persamaan diferensial, dapat dibuktikan bahwa persamaan Schrödinger memiliki solusi (8.18) hanya untuk nilai eigen energi:
E n = (n + (1 / 2)) 0
di mana n = 0, 1, 2, 3... adalah bilangan kuantum.
Ini berarti bahwa energi osilator kuantum hanya dapat mengambil nilai diskrit, yaitu terkuantisasi. Untuk n = 0, E 0 = (ħ ∙ 0) / 2 terjadi, yaitu. energi osilasi nol, yang khas untuk sistem kuantum dan merupakan konsekuensi langsung dari hubungan ketidakpastian.
Seperti yang ditunjukkan oleh penyelesaian rinci persamaan Schrödinger untuk osilator kuantum, setiap nilai eigen energi pada n yang berbeda memiliki fungsi gelombangnya sendiri, karena faktor normalisasi konstan tergantung pada n
dan juga H n (x) adalah polinomial Chebyshev-Hermite berderajat n.
Selain itu, dua polinomial pertama adalah sama:
H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x
Setiap polinomial berikutnya terkait dengan mereka dengan rumus rekursif berikut:
H n+1 (x) = 2x H n (x) - 2n H n-1 (x)
Fungsi eigen tipe (8.18) memungkinkan untuk menemukan osilator kuantum kepadatan probabilitas menemukan mikropartikel sebagai | n (x) | 2 dan jelajahi perilakunya pada berbagai tingkat energi. Solusi dari masalah ini sulit karena kebutuhan untuk menggunakan rumus rekursif. Masalah ini dapat diselesaikan dengan sukses hanya dengan menggunakan komputer, yang dilakukan dalam pekerjaan ini.
