Dalam matematika, salah satu parameter yang menggambarkan posisi suatu garis pada bidang koordinat kartesius adalah koefisien sudut garis tersebut. Parameter ini mencirikan kemiringan garis lurus terhadap sumbu absis. Untuk memahami cara mencari kemiringan, ingat dulu bentuk umum persamaan garis lurus pada sistem koordinat XY.

Secara umum, setiap garis dapat direpresentasikan dengan ekspresi ax+by=c, dimana a, b dan c adalah bilangan real sembarang, tetapi a 2 + b 2 ≠ 0.

Dengan menggunakan transformasi sederhana, persamaan tersebut dapat diubah menjadi bentuk y=kx+d, dengan k dan d adalah bilangan real. Bilangan k adalah kemiringan, dan persamaan garis seperti ini disebut persamaan kemiringan. Ternyata untuk mencari kemiringan, Anda hanya perlu mereduksi persamaan aslinya menjadi bentuk di atas. Untuk pemahaman yang lebih lengkap, perhatikan contoh spesifik:

Soal: Tentukan gradien garis yang diberikan oleh persamaan 36x - 18y = 108

Solusi: Mari kita ubah persamaan aslinya.

Jawaban: Kemiringan garis yang diperlukan adalah 2.

Jika, selama transformasi persamaan, kita menerima ekspresi seperti x = const dan sebagai hasilnya kita tidak dapat menyatakan y sebagai fungsi dari x, maka kita berhadapan dengan garis lurus yang sejajar dengan sumbu X. Koefisien sudut seperti itu garis lurus sama dengan tak terhingga.

Untuk garis yang dinyatakan dengan persamaan seperti y = const, kemiringannya nol. Hal ini khas untuk garis lurus yang sejajar dengan sumbu absis. Misalnya:

Soal: Tentukan gradien garis yang diberikan oleh persamaan 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solusi: Mari kita bawa persamaan awal ke bentuk umum

24x + 12 tahun - 12 tahun + 28 = 4

Tidak mungkin untuk menyatakan y dari ekspresi yang dihasilkan, oleh karena itu koefisien sudut garis ini sama dengan tak terhingga, dan garis itu sendiri akan sejajar dengan sumbu Y.

Arti geometris

Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat gambarnya:

Pada gambar kita melihat grafik fungsi seperti y = kx. Untuk menyederhanakannya, ambil koefisien c = 0. Pada segitiga OAB, perbandingan sisi BA dan AO akan sama dengan koefisien sudut k. Sedangkan perbandingan BA/AO adalah garis singgung sudut lancip α pada segitiga siku-siku OAB. Ternyata koefisien sudut suatu garis lurus sama dengan garis singgung sudut yang dibuat garis lurus tersebut dengan sumbu absis kisi-kisi koordinat.

Memecahkan masalah bagaimana mencari koefisien sudut suatu garis lurus, kita mencari garis singgung sudut antara garis tersebut dan sumbu X dari kisi koordinat. Kasus batas, ketika garis yang dimaksud sejajar dengan sumbu koordinat, konfirmasikan hal di atas. Memang benar, untuk garis lurus yang dijelaskan oleh persamaan y=const, sudut antara garis tersebut dan sumbu absis adalah nol. Garis singgung sudut nol juga nol dan kemiringannya juga nol.

Untuk garis lurus yang tegak lurus sumbu x dan dijelaskan dengan persamaan x=konstanta, sudut antara garis tersebut dengan sumbu X adalah 90 derajat. Garis singgung suatu sudut siku-siku sama dengan tak terhingga, dan koefisien sudut garis lurus yang sebangun juga sama dengan tak terhingga, yang menegaskan apa yang ditulis di atas.

Kemiringan singgung

Tugas umum yang sering ditemui dalam praktik juga adalah mencari kemiringan garis singgung grafik suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Garis singgung adalah garis lurus, oleh karena itu konsep kemiringan juga dapat diterapkan padanya.

Untuk mengetahui cara mencari kemiringan garis singgung, kita perlu mengingat kembali konsep turunan. Turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu adalah suatu konstanta yang secara numerik sama dengan garis singgung sudut yang terbentuk antara garis singgung pada titik tertentu terhadap grafik fungsi tersebut dan sumbu absis. Ternyata untuk menentukan koefisien sudut garis singgung di titik x 0, kita perlu menghitung nilai turunan fungsi awal di titik ini k = f"(x 0). Mari kita lihat contohnya:

Soal: Tentukan gradien garis singgung fungsi y = 12x 2 + 2xe x di x = 0,1.

Solusi: Temukan turunan dari fungsi aslinya dalam bentuk umum

y"(0,1) = 24.0.1 + 2.0.1.e 0.1 + 2.e 0.1

Jawab: Kemiringan yang diperlukan pada titik x = 0,1 adalah 4,831

Pada topik “Koefisien sudut garis singgung sebagai garis singgung sudut kemiringan” diberikan beberapa tugas dalam ujian sertifikasi. Tergantung pada kondisinya, lulusan mungkin diminta untuk memberikan jawaban lengkap atau jawaban singkat. Saat mempersiapkan diri untuk mengikuti Ujian Negara Bersatu dalam matematika, siswa harus mengulangi tugas-tugas yang memerlukan penghitungan kemiringan garis singgung.

Portal pendidikan Shkolkovo akan membantu Anda melakukan ini. Spesialis kami menyiapkan dan menyajikan materi teoretis dan praktis dengan cara yang paling mudah diakses. Setelah mengenalnya, lulusan dengan tingkat pelatihan apa pun akan berhasil memecahkan masalah yang berkaitan dengan turunan yang memerlukan pencarian garis singgung sudut singgung.

Momen dasar

Untuk menemukan solusi yang benar dan rasional terhadap tugas-tugas tersebut dalam Ujian Negara Terpadu, perlu diingat definisi dasar: turunan mewakili laju perubahan suatu fungsi; itu sama dengan garis singgung sudut singgung yang ditarik ke grafik fungsi di suatu titik tertentu. Sama pentingnya untuk menyelesaikan gambar. Ini akan memungkinkan Anda menemukan solusi yang tepat untuk soal USE pada turunan, di mana Anda perlu menghitung garis singgung sudut singgung. Untuk kejelasan, yang terbaik adalah memplot grafik pada bidang OXY.

Jika Anda sudah memahami materi dasar topik turunan dan siap untuk mulai menyelesaikan soal penghitungan garis singgung sudut singgung, mirip dengan tugas Unified State Examination, Anda dapat melakukannya secara online. Untuk setiap tugas, misalnya soal dengan topik “Hubungan turunan dengan kecepatan dan percepatan suatu benda”, kami menuliskan algoritma jawaban dan penyelesaian yang benar. Pada saat yang sama, siswa dapat berlatih melakukan tugas-tugas dengan tingkat kompleksitas yang berbeda-beda. Jika perlu, latihan dapat disimpan di bagian “Favorit” sehingga Anda dapat mendiskusikan solusinya dengan guru nanti.

Belajar mengambil turunan fungsi. Turunan mencirikan laju perubahan suatu fungsi pada titik tertentu yang terletak pada grafik fungsi tersebut. Dalam hal ini grafiknya dapat berupa garis lurus atau kurva. Artinya, turunan mencirikan laju perubahan suatu fungsi pada titik waktu tertentu. Ingat aturan umum pengambilan derivatif, dan baru kemudian lanjutkan ke langkah berikutnya.

• Baca artikel.
• Cara mengambil turunan paling sederhana, misalnya turunan persamaan eksponensial, dijelaskan. Perhitungan yang disajikan pada langkah-langkah berikut akan didasarkan pada metode yang dijelaskan di sini.

Belajar membedakan soal yang kemiringannya harus dihitung melalui turunan suatu fungsi. Soal tidak selalu meminta Anda mencari kemiringan atau turunan suatu fungsi. Misalnya, Anda mungkin diminta mencari laju perubahan suatu fungsi di titik A(x,y). Anda mungkin juga diminta mencari kemiringan garis singgung di titik A(x,y). Dalam kedua kasus tersebut, perlu untuk mengambil turunan dari fungsi tersebut.

Ambil turunan dari fungsi yang diberikan kepada Anda. Tidak perlu membuat grafik di sini - Anda hanya memerlukan persamaan fungsinya. Dalam contoh kita, ambil turunan dari fungsi tersebut f (x) = 2 x 2 + 6 x (\gaya tampilan f(x)=2x^(2)+6x). Ambil turunannya sesuai dengan cara yang diuraikan dalam artikel di atas:

Substitusikan koordinat titik yang diberikan kepada Anda ke dalam turunan yang ditemukan untuk menghitung kemiringan. Turunan suatu fungsi sama dengan kemiringan suatu titik tertentu. Dengan kata lain, f"(x) adalah kemiringan fungsi di titik mana pun (x,f(x)). Dalam contoh kita:

Jika memungkinkan, periksa jawaban Anda pada grafik. Ingatlah bahwa kemiringan tidak dapat dihitung pada setiap titik. Kalkulus diferensial berkaitan dengan fungsi kompleks dan grafik kompleks yang kemiringannya tidak dapat dihitung di setiap titik, dan dalam beberapa kasus, titik-titik tersebut tidak terletak pada grafik sama sekali. Jika memungkinkan, gunakan kalkulator grafik untuk memeriksa apakah kemiringan fungsi yang diberikan sudah benar. Jika tidak, gambarlah garis singgung grafik pada titik yang diberikan kepada Anda dan pikirkan apakah nilai kemiringan yang Anda temukan sesuai dengan yang Anda lihat pada grafik.

• Garis singgungnya akan mempunyai kemiringan yang sama dengan grafik fungsi pada suatu titik tertentu. Untuk menggambar garis singgung pada suatu titik tertentu, gerakkan ke kiri/kanan pada sumbu X (dalam contoh kita, 22 nilai ke kanan), lalu naik satu pada sumbu Y. Tandai titik tersebut, lalu hubungkan ke titik tersebut. poin yang diberikan kepadamu. Dalam contoh kita, hubungkan titik-titik dengan koordinat (4,2) dan (26,3).

Secara numerik sama dengan garis singgung sudut (merupakan putaran terkecil dari sumbu Ox ke sumbu Oy) antara arah positif sumbu absis dan garis lurus tertentu.

Garis singgung suatu sudut dapat dihitung sebagai perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. k selalu sama dengan , yaitu turunan persamaan garis lurus terhadap X.

Untuk nilai kemiringan positif k dan koefisien pergeseran nol B garis lurus akan terletak di kuadran pertama dan ketiga (di mana X Dan kamu positif dan negatif). Pada saat yang sama, nilai koefisien sudut besar k garis lurus yang lebih curam akan berhubungan, dan garis yang lebih datar akan berhubungan dengan garis yang lebih kecil.

Lurus dan tegak lurus jika , dan sejajar jika .

Catatan

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu “Koefisien sudut garis lurus” di kamus lain:

kemiringan (langsung)- - Topik industri minyak dan gas lereng EN... Panduan Penerjemah Teknis

- bilangan (matematis) k dalam persamaan garis lurus pada bidang y = kx+b (lihat Geometri analitik), yang mencirikan kemiringan garis lurus terhadap sumbu x. Dalam sistem koordinat persegi panjang U.K. k = tan φ, dimana φ adalah sudut antara ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Cabang ilmu geometri yang mempelajari benda-benda geometri paling sederhana dengan menggunakan aljabar dasar berdasarkan metode koordinat. Penciptaan geometri analitik biasanya dikaitkan dengan R. Descartes, yang menguraikan dasar-dasarnya dalam bab terakhir karyanya... ... Ensiklopedia Collier

Pengukuran waktu reaksi (RT) mungkin merupakan subjek yang paling dihormati dalam psikologi empiris. Ini berasal dari bidang astronomi, pada tahun 1823, dengan pengukuran perbedaan individu dalam kecepatan persepsi sebuah bintang yang melintasi garis teleskop. Ini … Ensiklopedia Psikologi

Cabang matematika yang menyediakan metode studi kuantitatif berbagai proses perubahan; berkaitan dengan studi tentang laju perubahan (kalkulus diferensial) dan penentuan panjang kurva, luas dan volume bangun yang dibatasi oleh kontur lengkung dan ... Ensiklopedia Collier

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Langsung (arti). Garis lurus merupakan salah satu konsep dasar geometri, yaitu tidak mempunyai definisi universal yang pasti. Dalam penyajian geometri yang sistematis, garis lurus biasanya dianggap sebagai satu... ... Wikipedia

Gambaran garis lurus pada sistem koordinat persegi panjang Garis lurus merupakan salah satu konsep dasar geometri. Dalam penyajian geometri yang sistematis, garis lurus biasanya diambil sebagai salah satu konsep awal, yang hanya didefinisikan secara tidak langsung... ... Wikipedia

Gambaran garis lurus pada sistem koordinat persegi panjang Garis lurus merupakan salah satu konsep dasar geometri. Dalam penyajian geometri yang sistematis, garis lurus biasanya diambil sebagai salah satu konsep awal, yang hanya didefinisikan secara tidak langsung... ... Wikipedia

Jangan bingung dengan istilah "Ellipsis". Elips dan fokusnya Ellipse (kekurangan Yunani kuno ἔλλειψις, dalam arti kurangnya eksentrisitas hingga 1) tempat kedudukan titik M pada bidang Euclidean yang jumlah jarak dari dua titik tertentu adalah F1... ... Wikipedia

Lanjutan topik persamaan garis pada bidang didasarkan pada pembelajaran garis lurus dari pelajaran aljabar. Artikel ini memberikan informasi umum tentang topik persamaan garis lurus dengan kemiringan. Mari kita pertimbangkan definisinya, dapatkan persamaannya sendiri, dan identifikasi hubungannya dengan jenis persamaan lainnya. Semuanya akan dibahas dengan menggunakan contoh pemecahan masalah.

Sebelum menulis persamaan seperti itu, perlu ditentukan sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu O x dengan koefisien sudutnya. Mari kita asumsikan bahwa sistem koordinat Cartesian O x pada bidang diberikan.

Definisi 1

Sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu O x, terletak pada sistem koordinat kartesius O x y pada bidang datar, yaitu sudut yang diukur dari arah positif O x terhadap garis lurus berlawanan arah jarum jam.

Jika garis sejajar dengan O x atau berimpit dengannya, sudut kemiringannya adalah 0. Kemudian sudut kemiringan garis lurus tertentu α ditentukan pada interval [ 0 , π) .

Definisi 2

Kemiringan langsung adalah garis singgung sudut kemiringan suatu garis lurus tertentu.

Sebutan standarnya adalah k. Dari definisi tersebut kita menemukan bahwa k = t g α . Jika garis tersebut sejajar dengan Sapi, dikatakan bahwa kemiringannya tidak ada, karena garis tersebut menuju tak terhingga.

Kemiringannya positif jika grafik fungsinya meningkat dan sebaliknya. Gambar tersebut menunjukkan berbagai variasi letak sudut siku-siku relatif terhadap sistem koordinat dengan nilai koefisien.

Untuk mencari sudut ini, perlu menerapkan definisi koefisien sudut dan menghitung garis singgung sudut kemiringan pada bidang.

Larutan

Dari kondisi kita mendapatkan α = 120°. Menurut definisinya, kemiringan harus dihitung. Mari kita cari dari rumus k = t g α = 120 = - 3.

Menjawab: k = - 3 .

Jika koefisien sudut diketahui, dan perlu dicari sudut kemiringan terhadap sumbu absis, maka nilai koefisien sudut harus diperhitungkan. Jika k > 0, maka sudut siku-siku adalah lancip dan dicari dengan rumus α = a r c t g k. Jika k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Contoh 2

Tentukan sudut kemiringan garis lurus tertentu ke O x dengan koefisien sudut 3.

Larutan

Dari syarat diperoleh koefisien sudut positif yang berarti sudut kemiringan ke O x kurang dari 90 derajat. Perhitungan dilakukan dengan menggunakan rumus α = a r c t g k = a r c t g 3.

Jawaban: α = a r c t g 3 .

Contoh 3

Tentukan sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu O x jika kemiringannya = - 1 3.

Larutan

Jika kita mengambil huruf k sebagai sebutan koefisien sudut, maka α adalah sudut kemiringan suatu garis lurus tertentu dalam arah positif O x. Jadi k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Menjawab: 5 π 6 .

Persamaan yang berbentuk y = kx + b, dimana k adalah kemiringan dan b adalah suatu bilangan real, disebut persamaan garis yang memiliki kemiringan. Persamaan tersebut berlaku untuk setiap garis lurus yang tidak sejajar dengan sumbu O y.

Jika kita perhatikan secara rinci suatu garis lurus pada suatu bidang dalam sistem koordinat tetap, yang ditentukan oleh persamaan dengan koefisien sudut berbentuk y = k x + b. Dalam hal ini, artinya persamaan tersebut sesuai dengan koordinat titik mana pun pada garis. Jika kita substitusikan koordinat titik M, M 1 (x 1, y 1) ke dalam persamaan y = k x + b, maka dalam hal ini garis akan melewati titik tersebut, jika tidak, titik tersebut tidak termasuk dalam garis tersebut.

Contoh 4

Diberikan garis lurus dengan kemiringan y = 1 3 x - 1. Hitung apakah titik M 1 (3, 0) dan M 2 (2, - 2) termasuk dalam garis tertentu.

Larutan

Koordinat titik M 1 (3, 0) perlu disubstitusikan ke dalam persamaan yang diberikan, maka kita mendapatkan 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Persamaan tersebut benar, artinya titik tersebut termasuk dalam garis.

Jika kita substitusikan koordinat titik M 2 (2, - 2), maka diperoleh persamaan bentuk yang salah - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Dapat disimpulkan bahwa titik M 2 tidak termasuk dalam garis.

Menjawab: M 1 termasuk dalam garis, tetapi M 2 tidak.

Diketahui garis didefinisikan oleh persamaan y = k · x + b melalui M 1 (0, b), setelah substitusi diperoleh persamaan bentuk b = k · 0 + b ⇔ b = b. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan garis lurus dengan koefisien sudut y = k x + b pada bidang mendefinisikan garis lurus yang melalui titik 0, b. Membentuk sudut α dengan arah positif sumbu O x, dimana k = t g α.

Mari kita perhatikan, sebagai contoh, sebuah garis lurus yang didefinisikan menggunakan koefisien sudut yang ditentukan dalam bentuk y = 3 x - 1. Didapatkan bahwa garis lurus akan melewati titik berkoordinat 0, - 1 dengan kemiringan α = a r c t g 3 = π 3 radian searah positif sumbu O x. Hal ini menunjukkan bahwa koefisiennya adalah 3.

Persamaan garis lurus dengan kemiringan yang melalui suatu titik tertentu

Soal tersebut perlu diselesaikan dimana perlu diperoleh persamaan garis lurus dengan kemiringan tertentu yang melalui titik M 1 (x 1, y 1).

Persamaan y 1 = k · x + b dianggap sah, karena garis melalui titik M 1 (x 1, y 1). Untuk menghilangkan bilangan b, persamaan tersebut perlu dikurangi dengan kemiringan sisi kiri dan kanan. Oleh karena itu y - y 1 = k · (x - x 1) . Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan tertentu k, melalui koordinat titik M 1 (x 1, y 1).

Contoh 5

Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dengan koordinat (4, - 1), dengan koefisien sudut sama dengan - 2.

Larutan

Dengan syarat kita mendapatkan x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Dari sini persamaan garisnya akan ditulis sebagai berikut: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Menjawab: kamu = - 2 x + 7 .

Contoh 6

Tuliskan persamaan garis lurus dengan koefisien sudut yang melalui titik M 1 dengan koordinat (3, 5), sejajar dengan garis lurus y = 2 x - 2.

Larutan

Dengan syarat, garis sejajar mempunyai sudut kemiringan yang sama, yang berarti koefisien sudutnya sama. Untuk mencari kemiringan persamaan ini, Anda perlu mengingat rumus dasarnya y = 2 x - 2, maka k = 2. Kami membuat persamaan dengan koefisien kemiringan dan mendapatkan:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Menjawab: kamu = 2 x - 1 .

Peralihan dari persamaan garis lurus dengan kemiringan ke jenis persamaan garis lurus lainnya dan sebaliknya

Persamaan ini tidak selalu dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah, karena penulisannya tidak mudah. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyajikannya dalam bentuk yang berbeda. Misalnya, persamaan bentuk y = k x + b tidak memungkinkan kita menuliskan koordinat vektor arah garis lurus atau koordinat vektor normal. Untuk melakukan ini, Anda perlu belajar merepresentasikan dengan persamaan jenis yang berbeda.

Persamaan kanonik suatu garis pada suatu bidang dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan garis dengan koefisien sudut. Kita peroleh x - x 1 a x = y - y 1 a y . Suku b perlu dipindahkan ke ruas kiri dan dibagi dengan ekspresi pertidaksamaan yang dihasilkan. Maka diperoleh persamaan berbentuk y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Persamaan garis dengan kemiringan menjadi persamaan kanonik garis ini.

Contoh 7

Ubah persamaan garis lurus dengan koefisien sudut y = - 3 x + 12 ke bentuk kanonik.

Larutan

Mari kita hitung dan sajikan dalam bentuk persamaan garis kanonik. Kami mendapatkan persamaan bentuk:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Jawaban: x 1 = y - 12 - 3.

Persamaan umum garis lurus paling mudah diperoleh dari y = k · x + b, namun untuk itu perlu dilakukan transformasi: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Transisi dilakukan dari persamaan garis umum ke persamaan jenis lain.

Contoh 8

Diberikan persamaan garis lurus berbentuk y = 1 7 x - 2 . Cari tahu apakah vektor dengan koordinat a → = (- 1, 7) merupakan vektor garis normal?

Larutan

Untuk menyelesaikannya perlu beralih ke bentuk lain dari persamaan ini, untuk ini kita menulis:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koefisien di depan variabel merupakan koordinat vektor normal garis. Mari kita tulis seperti ini: n → = 1 7, - 1, maka 1 7 x - y - 2 = 0. Jelas bahwa vektor a → = (- 1, 7) segaris terhadap vektor n → = 1 7, - 1, karena kita mempunyai hubungan wajar a → = - 7 · n →. Maka vektor asal a → = - 1, 7 merupakan vektor normal garis 1 7 x - y - 2 = 0, artinya dianggap sebagai vektor normal untuk garis y = 1 7 x - 2.

Menjawab: Adalah

Mari kita selesaikan masalah kebalikan dari masalah ini.

Kita perlu berpindah dari bentuk umum persamaan A x + B y + C = 0, di mana B ≠ 0, ke persamaan dengan koefisien sudut. Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan untuk y. Kita peroleh A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Hasilnya adalah persamaan dengan kemiringan sama dengan - A B .

Contoh 9

Diberikan persamaan garis lurus berbentuk 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Dapatkan persamaan garis tertentu dengan koefisien sudut.

Larutan

Berdasarkan kondisi tersebut perlu dicari penyelesaian y, maka diperoleh persamaan berbentuk:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Jawaban: y = 1 6 x + 1 4 .

Persamaan berbentuk x a + y b = 1 diselesaikan dengan cara yang sama, yang disebut persamaan garis lurus dalam segmen, atau kanonik berbentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y. Kita perlu menyelesaikannya untuk y, baru kemudian kita mendapatkan persamaan dengan kemiringan:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Persamaan kanonik dapat direduksi menjadi bentuk dengan koefisien sudut. Untuk ini:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Contoh 10

Ada garis lurus yang diberikan oleh persamaan x 2 + y - 3 = 1. Direduksi menjadi bentuk persamaan dengan koefisien sudut.

Larutan.

Berdasarkan kondisi tersebut perlu dilakukan transformasi, maka diperoleh persamaan berbentuk _rumus_. Kedua ruas persamaan harus dikalikan - 3 untuk mendapatkan persamaan kemiringan yang dibutuhkan. Transformasi, kita mendapatkan:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Menjawab: kamu = 3 2 x - 3 .

Contoh 11

Ubah persamaan garis lurus berbentuk x - 2 2 = y + 1 5 menjadi bentuk dengan koefisien sudut.

Larutan

Ekspresi x - 2 2 = y + 1 5 perlu dihitung sebagai proporsi. Kita peroleh bahwa 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Sekarang Anda harus mengaktifkannya sepenuhnya, untuk melakukan ini:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Jawaban: y = 5 2 x - 6 .

Untuk menyelesaikan soal tersebut, persamaan parametrik garis berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ harus direduksi menjadi persamaan garis kanonik, baru setelah itu kita dapat melanjutkan ke persamaan dengan koefisien kemiringan.

Contoh 12

Tentukan kemiringan garis jika diberikan oleh persamaan parametrik x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Larutan

Hal ini diperlukan untuk beralih dari tampilan parametrik ke kemiringan. Untuk melakukan ini, kita menemukan persamaan kanonik dari persamaan parametrik yang diberikan:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Sekarang persamaan ini perlu diselesaikan terhadap y untuk mendapatkan persamaan garis lurus dengan koefisien sudut. Untuk melakukan ini, mari kita tulis seperti ini:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Maka kemiringan garisnya adalah 2. Ini ditulis sebagai k = 2.

Menjawab: k = 2.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter