Menurut survei sampel, deposan dikelompokkan sesuai dengan ukuran setoran di Sberbank kota:
Mendefinisikan:
1) rentang variasi;
2) jumlah setoran rata-rata;
3) deviasi linier rata-rata;
4) dispersi;
5) standar deviasi;
6) koefisien variasi kontribusi.
Keputusan:
Deret distribusi ini berisi interval terbuka. Dalam deret demikian, nilai interval grup pertama secara konvensional diasumsikan sama dengan nilai interval grup berikutnya, dan nilai interval grup terakhir sama dengan nilai interval grup sebelumnya. satu.
Nilai interval grup kedua adalah 200, oleh karena itu, nilai grup pertama juga 200. Nilai interval grup kedua dari belakang adalah 200, yang berarti bahwa interval terakhir juga akan memiliki nilai sama dengan 200.
1) Tentukan rentang variasi sebagai selisih antara nilai fitur terbesar dan terkecil:
Kisaran variasi dalam ukuran kontribusi adalah 1000 rubel.
2) Besarnya rata-rata kontribusi ditentukan dengan rumus rata-rata tertimbang aritmatika.
Mari kita tentukan terlebih dahulu nilai diskrit atribut di setiap interval. Untuk melakukan ini, menggunakan rumus rata-rata aritmatika sederhana, kami menemukan titik tengah interval.
Nilai rata-rata interval pertama akan sama dengan:
yang kedua - 500, dll.
Mari kita masukkan hasil perhitungan ke dalam tabel:
| Jumlah setoran, gosok. | Jumlah kontributor, f | Tengah interval, x | xf |
|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | 9600 |
| 400-600 | 56 | 500 | 28000 |
| 600-800 | 120 | 700 | 84000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 93600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 96800 |
| Total | 400 | - | 312000 |
Setoran rata-rata di Sberbank kota adalah 780 rubel:
3) Deviasi linier rata-rata adalah rata-rata aritmatika dari deviasi absolut dari nilai individu atribut dari rata-rata total:
Prosedur untuk menghitung deviasi linier rata-rata pada deret distribusi interval adalah sebagai berikut:
1. Rata-rata tertimbang aritmatika dihitung, seperti yang ditunjukkan pada paragraf 2).
2. Deviasi absolut varian dari mean ditentukan:
3. Penyimpangan yang diperoleh dikalikan dengan frekuensi:
4. Jumlah deviasi tertimbang ditemukan tanpa memperhitungkan tanda:
5. Jumlah deviasi tertimbang dibagi dengan jumlah frekuensi:
Lebih mudah menggunakan tabel data yang dihitung:
| Jumlah setoran, gosok. | Jumlah kontributor, f | Tengah interval, x | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 480 | 15360 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 280 | 15680 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 80 | 9600 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 120 | 12480 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 320 | 28160 |
| Total | 400 | - | - | - | 81280 |
Deviasi linier rata-rata dari ukuran setoran klien Sberbank adalah 203,2 rubel.
4) Dispersi adalah mean aritmatika dari kuadrat deviasi setiap nilai fitur dari mean aritmatika.
Perhitungan varians dalam deret distribusi interval dilakukan sesuai dengan rumus:
Prosedur untuk menghitung varians dalam hal ini adalah sebagai berikut:
1. Tentukan rata-rata tertimbang aritmatika, seperti yang ditunjukkan pada paragraf 2).
2. Temukan penyimpangan dari mean:
3. Mengkuadratkan deviasi setiap opsi dari mean:
4. Kalikan deviasi kuadrat dengan bobot (frekuensi):
5. Meringkas karya yang diterima:
6. Jumlah yang dihasilkan dibagi dengan jumlah bobot (frekuensi):
Mari kita masukkan perhitungan ke dalam tabel:
| Jumlah setoran, gosok. | Jumlah kontributor, f | Tengah interval, x | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 230400 | 7372800 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 78400 | 4390400 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 6400 | 768000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 14400 | 1497600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 102400 | 9011200 |
| Total | 400 | - | - | - | 23040000 |
Saat memproses secara statistik hasil studi dari berbagai jenis, nilai yang diperoleh sering dikelompokkan ke dalam urutan interval. Untuk menghitung karakteristik generalisasi dari barisan tersebut, kadang-kadang perlu untuk menghitung tengah selang- "opsi pusat". Metode untuk menghitungnya cukup sederhana, tetapi mereka memiliki beberapa fitur yang muncul baik dari skala yang digunakan untuk mengukur dan dari sifat pengelompokan (interval terbuka atau tertutup).
Petunjuk
Jika intervalnya adalah bagian dari barisan numerik kontinu, maka untuk menemukan tengahnya, gunakan metode matematika biasa untuk menghitung mean aritmatika. Nilai minimum selang(awalnya) tambahkan dengan maksimum (akhir) dan bagi hasilnya menjadi dua - ini adalah salah satu cara untuk menghitung mean aritmatika. Misalnya, aturan ini berlaku dalam hal usia selang X. Katakanlah paruh baya selang dalam kisaran dari 21 tahun hingga 33 tahun akan ada tanda 27 tahun, karena (21 + 33) / 2 = 27.
Kadang-kadang lebih mudah menggunakan metode yang berbeda untuk menghitung rata-rata aritmatika antara batas atas dan bawah. selang. Dalam varian ini, pertama-tama tentukan lebar rentang - kurangi nilai minimum dari nilai maksimum. Kemudian bagi nilai yang dihasilkan menjadi dua dan tambahkan hasilnya ke nilai minimum rentang. Misalnya, jika batas bawah adalah 47,15 dan batas atas adalah 79,13, maka lebar rentangnya adalah 79,13-47,15=31,98. Kemudian tengah selang akan menjadi 63,14, karena 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.
Jika interval bukan bagian dari barisan numerik biasa, maka hitunglah tengah sesuai dengan siklus dan dimensi skala ukur yang digunakan. Misalnya, jika kita berbicara tentang periode sejarah, maka bagian tengahnya selang akan menjadi tanggal kalender tertentu. Sehingga untuk selang Dari 1 Januari 2012 hingga 31 Januari 2012, titik tengahnya adalah 16 Januari 2012.
Selain interval biasa (tertutup), metode penelitian statistik juga dapat beroperasi dengan interval "terbuka". Untuk rentang seperti itu, salah satu batas tidak ditentukan. Misalnya, interval terbuka dapat didefinisikan sebagai "50 tahun atau lebih". Tengah dalam hal ini ditentukan dengan metode analogi - jika semua rentang lain dari urutan yang dipertimbangkan memiliki lebar yang sama, maka diasumsikan bahwa interval terbuka ini memiliki dimensi yang sama. Jika tidak, Anda perlu menentukan dinamika perubahan lebar interval sebelum interval terbuka, dan menurunkan lebar bersyaratnya berdasarkan tren perubahan yang dihasilkan.
Petunjuk
Jika intervalnya adalah bagian dari barisan numerik kontinu, maka untuk menemukan tengahnya, gunakan metode matematika untuk menghitung mean aritmatika. Tambahkan nilai minimum (awalnya) ke maksimum () dan bagi hasilnya menjadi dua - ini adalah salah satu cara untuk menghitung mean aritmatika. Misalnya, ini berlaku dalam hal usia selang X. Katakanlah paruh baya selang dalam kisaran dari 21 tahun hingga 33 tahun akan ada tanda 27 tahun, karena (21 + 33) / 2 = 27.
Kadang-kadang lebih mudah menggunakan metode yang berbeda untuk menghitung rata-rata aritmatika antara batas atas dan bawah. selang. Dalam varian ini, pertama-tama tentukan lebar rentang - kurangi nilai minimum dari nilai maksimum. Kemudian bagi nilai yang dihasilkan menjadi dua dan tambahkan hasilnya ke nilai minimum rentang. Misalnya, jika nilai bawah adalah 47,15 dan nilai atas adalah 79,13, maka lebar rentangnya adalah 79,13-47,15=31,98. Kemudian tengah selang akan menjadi 63,14, karena 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.
Jika interval bukan bagian dari barisan numerik biasa, maka hitunglah tengah sesuai dengan siklus dan dimensi skala ukur yang digunakan. Misalnya, jika kita berbicara tentang periode sejarah, maka bagian tengahnya selang akan menjadi tanggal kalender tertentu. Sehingga untuk selang Dari 1 Januari 2012 hingga 31 Januari 2012, titik tengahnya adalah 16 Januari 2012.
Selain interval biasa (tertutup), metode penelitian statistik juga dapat beroperasi dengan interval "terbuka". Untuk rentang seperti itu, salah satu batas tidak ditentukan. Misalnya, interval terbuka dapat didefinisikan sebagai "50 tahun atau lebih". Tengah dalam hal ini ditentukan dengan metode analogi - jika semua rentang lain dari urutan yang dipertimbangkan memiliki lebar yang sama, maka diasumsikan bahwa interval terbuka ini sama. Jika tidak, Anda perlu menentukan dinamika lebar interval sebelum pembukaan, dan lebar bersyaratnya, berdasarkan tren perubahan yang dihasilkan.
Sumber:
- apa itu interval terbuka?
Saat mempelajari variasi - perbedaan nilai individu suatu sifat dalam satuan populasi yang diteliti - sejumlah indikator absolut dan relatif dihitung. Dalam praktiknya, koefisien variasi telah menemukan aplikasi terbesar di antara indikator-indikator relatif.
Petunjuk
Harap dicatat bahwa koefisien variasi digunakan dalam praktik tidak hanya untuk penilaian komparatif variasi, tetapi juga untuk mengkarakterisasi homogenitas populasi. Jika indikator ini tidak melebihi 0,333, atau 33,3%, variasi sifat dianggap lemah, dan jika lebih dari 0,333 dianggap kuat. Dalam kasus variasi yang kuat, populasi statistik yang diteliti dianggap heterogen, dan nilai rata-rata dianggap atipikal; tidak dapat digunakan sebagai indikator generalisasi populasi ini. Batas bawah koefisien variasi adalah nol; tidak ada batas atas. Namun, seiring dengan peningkatan variasi suatu fitur, nilainya juga meningkat.
Saat menghitung koefisien variasi, Anda harus menggunakan deviasi rata-rata. Ini didefinisikan sebagai akar kuadrat, yang pada gilirannya dapat Anda temukan sebagai berikut: D \u003d (X-Xav) ^ 2 / N. Dengan kata lain, varians adalah kuadrat rata-rata deviasi dari mean aritmatika. menentukan seberapa besar indikator spesifik dari rangkaian tersebut menyimpang secara rata-rata dari nilai rata-ratanya. Ini adalah ukuran absolut dari fluktuasi suatu sifat, dan karena itu ditafsirkan dengan jelas.
Seringkali dalam statistik, ketika menganalisis suatu fenomena atau proses, perlu untuk memperhitungkan tidak hanya informasi tentang tingkat rata-rata dari indikator yang dipelajari, tetapi juga hamburan atau variasi dalam nilai unit individu , yang merupakan karakteristik penting dari populasi yang diteliti.
Harga saham, volume penawaran dan permintaan, tingkat bunga dalam periode waktu yang berbeda dan di tempat yang berbeda tunduk pada variasi terbesar.
Indikator utama yang mencirikan variasi , adalah range, varians, standar deviasi dan koefisien variasi.
Variasi rentang adalah perbedaan antara nilai maksimum dan minimum dari atribut: R = Xmax – Xmin. Kerugian dari indikator ini adalah hanya mengevaluasi batas-batas variasi sifat dan tidak mencerminkan fluktuasinya dalam batas-batas ini.
Penyebaran terlepas dari kekurangan ini. Ini dihitung sebagai kuadrat rata-rata penyimpangan nilai atribut dari nilai rata-ratanya:
Cara sederhana untuk menghitung varians dilakukan dengan menggunakan rumus berikut (sederhana dan berbobot):
Contoh penerapan rumus ini disajikan dalam tugas 1 dan 2.
Indikator yang banyak digunakan dalam praktik adalah simpangan baku :
Standar deviasi didefinisikan sebagai akar kuadrat dari varians dan memiliki dimensi yang sama dengan sifat yang diteliti.
Indikator yang dipertimbangkan memungkinkan untuk memperoleh nilai absolut dari variasi, yaitu mengevaluasinya dalam satuan ukuran sifat yang diteliti. Tidak seperti mereka, koefisien variasi mengukur fluktuasi dalam istilah relatif - relatif terhadap tingkat rata-rata, yang dalam banyak kasus lebih disukai.
Rumus untuk menghitung koefisien variasi.
Contoh pemecahan masalah dengan topik "Indikator variasi dalam statistik"
Tugas 1 . Saat mempelajari pengaruh iklan terhadap ukuran rata-rata simpanan bulanan di bank-bank di wilayah tersebut, 2 bank diperiksa. Hasil berikut diperoleh:
Mendefinisikan:
1) untuk setiap bank: a) rata-rata setoran bulanan; b) penyebaran kontribusi;
2) rata-rata setoran bulanan untuk dua bank bersama-sama;
3) Dispersi deposit untuk 2 bank, tergantung pada iklan;
4) Penyebaran simpanan untuk 2 bank, tergantung pada semua faktor kecuali iklan;
5) Total varians menggunakan aturan penjumlahan;
6) Koefisien determinasi;
7) Hubungan korelasi.
Keputusan
1) Mari kita buat tabel perhitungan untuk bank dengan iklan . Untuk menentukan rata-rata setoran bulanan, kami menemukan titik tengah interval. Dalam hal ini, nilai interval terbuka (yang pertama) secara kondisional disamakan dengan nilai interval yang berdekatan dengannya (yang kedua).
Kami menemukan ukuran rata-rata kontribusi menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang:
29.000/50 = 580 rubel
Dispersi kontribusi ditemukan dengan rumus:
23 400/50 = 468
Kami akan melakukan tindakan serupa untuk bank tanpa iklan :
2) Cari simpanan rata-rata untuk dua bank bersama-sama. Xav \u003d (580 × 50 + 542,8 × 50) / 100 \u003d 561,4 rubel.
3) Varians setoran, untuk dua bank, tergantung pada iklan, kita akan menemukan rumus: 2 = pq (rumus varians dari tanda alternatif). Di sini p=0,5 adalah proporsi faktor yang bergantung pada iklan; q=1-0,5, maka 2 =0,5*0,5=0,25.
4) Karena bagian dari faktor-faktor lain adalah 0,5, maka varians simpanan untuk dua bank, yang bergantung pada semua faktor kecuali iklan, juga 0,25.
5) Tentukan varians total menggunakan aturan penjumlahan.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
2 \u003d 2 fakta + 2 istirahat \u003d 552,08 + 345,96 \u003d 898,04
6) Koefisien determinasi 2 = 2 fakta / 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - besarnya kontribusi bergantung pada iklan sebesar 39%.
7) Rasio korelasi empiris = 2 = 0,39 = 0,62 - hubungannya cukup erat.
Tugas 2 . Ada pengelompokan perusahaan menurut nilai produk yang dapat dipasarkan:
Menentukan: 1) penyebaran nilai produk yang dapat dipasarkan; 2) standar deviasi; 3) koefisien variasi.
Keputusan
1) Dengan syarat, deret distribusi interval disajikan. Itu harus dinyatakan secara diskrit, yaitu, temukan bagian tengah interval (x "). Dalam kelompok interval tertutup, kami menemukan bagian tengahnya dengan mean aritmatika sederhana. Dalam grup dengan batas atas, sebagai perbedaan antara batas atas ini dan setengah ukuran interval yang mengikutinya (200-(400 -200):2=100).
Dalam grup dengan batas bawah - jumlah batas bawah ini dan setengah ukuran interval sebelumnya (800+(800-600):2=900).
Perhitungan nilai rata-rata produk yang dapat dipasarkan dilakukan dengan rumus:
= k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. Di sini a=500 adalah ukuran varian pada frekuensi tertinggi, k=600-400=200 adalah ukuran interval pada frekuensi tertinggi Mari kita letakkan hasilnya dalam tabel:
Jadi, nilai rata-rata output yang dapat dipasarkan untuk periode yang diteliti secara keseluruhan adalah Xav = (-5:37) × 200 + 500 = 472,97 ribu rubel.
2) Kami menemukan dispersi menggunakan rumus berikut:
2 \u003d (33/37) * 2002-(472,97-500) 2 \u003d 35,675,67-730,62 \u003d 34.945,05
3) standar deviasi: = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ±186,94 ribu rubel.
4) koefisien variasi: V \u003d (σ / Xav) * 100 \u003d (186,94 / 472.97) * 100 \u003d 39,52%
Tanda-tanda satuan agregat statistik berbeda artinya, misalnya, upah pekerja dari satu profesi perusahaan tidak sama untuk jangka waktu yang sama, harga pasar untuk produk yang sama berbeda, hasil panen di ladang dari daerah, dll. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai suatu ciri ciri dari seluruh populasi satuan yang diteliti, maka dihitung nilai rata-ratanya.
nilai rata-rata –
itu adalah karakteristik umum dari kumpulan nilai individu dari beberapa sifat kuantitatif.
Populasi yang diteliti dengan atribut kuantitatif terdiri dari nilai individu; mereka dipengaruhi oleh penyebab umum dan kondisi individu. Dalam nilai rata-rata, karakteristik penyimpangan dari nilai individu dibatalkan. Rata-rata, sebagai fungsi dari sekumpulan nilai individu, mewakili seluruh himpunan dengan satu nilai dan mencerminkan hal umum yang melekat pada semua unitnya.
Rata-rata yang dihitung untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang homogen secara kualitatif disebut rata-rata khas. Misalnya, Anda dapat menghitung gaji bulanan rata-rata seorang karyawan dari satu atau kelompok profesional lainnya (penambang, dokter, pustakawan). Tentu saja, tingkat upah bulanan para penambang, karena perbedaan kualifikasi, masa kerja, jam kerja per bulan dan banyak faktor lainnya, berbeda satu sama lain, dan dari tingkat upah rata-rata. Namun, tingkat rata-rata mencerminkan faktor utama yang mempengaruhi tingkat upah, dan saling mengimbangi perbedaan yang muncul karena karakteristik individu karyawan. Upah rata-rata mencerminkan tingkat upah tipikal untuk jenis pekerja ini. Memperoleh rata-rata tipikal harus didahului dengan analisis tentang bagaimana populasi ini secara kualitatif homogen. Jika populasi terdiri dari bagian-bagian yang terpisah, itu harus dibagi menjadi kelompok-kelompok yang khas (suhu rata-rata di rumah sakit).
Nilai rata-rata yang digunakan sebagai ciri-ciri populasi heterogen disebut rata-rata sistem. Misalnya, nilai rata-rata produk domestik bruto (PDB) per kapita, rata-rata konsumsi berbagai kelompok barang per orang dan nilai-nilai lain yang sejenis, yang merupakan ciri umum negara sebagai suatu sistem ekonomi tunggal.
Rata-rata harus dihitung untuk populasi yang terdiri dari jumlah unit yang cukup besar. Kepatuhan terhadap kondisi ini diperlukan agar hukum bilangan besar mulai berlaku, sebagai akibatnya penyimpangan acak dari jumlah individu dari tren umum membatalkan satu sama lain.
Jenis rata-rata dan metode untuk menghitungnya
Pilihan jenis rata-rata ditentukan oleh kandungan ekonomi dari indikator tertentu dan data awal. Namun, setiap nilai rata-rata harus dihitung sehingga ketika menggantikan setiap varian fitur rata-rata, final, generalisasi, atau, seperti yang biasa disebut, tidak berubah. indikator yang menentukan, yang berhubungan dengan rata-rata. Misalnya, ketika mengganti kecepatan sebenarnya pada bagian jalur yang terpisah, kecepatan rata-ratanya tidak boleh mengubah total jarak yang ditempuh kendaraan dalam waktu yang sama; ketika mengganti upah aktual masing-masing karyawan perusahaan dengan upah rata-rata, dana upah tidak boleh berubah. Akibatnya, dalam setiap kasus tertentu, tergantung pada sifat data yang tersedia, hanya ada satu nilai rata-rata sebenarnya dari indikator yang memadai untuk sifat dan esensi dari fenomena sosial-ekonomi yang diteliti.
Yang paling umum digunakan adalah mean aritmatika, mean harmonik, mean geometrik, mean kuadrat, dan mean kubik.
Rata-rata yang terdaftar milik kelas kekuatan rata-rata dan digabungkan dengan rumus umum:
,
di mana adalah nilai rata-rata dari sifat yang dipelajari;
m adalah eksponen dari mean;
– nilai saat ini (varian) dari fitur rata-rata;
n adalah jumlah fitur.
Bergantung pada nilai eksponen m, jenis rata-rata daya berikut dibedakan:
di m = -1 – rata-rata harmonik ;
di m = 0 – rata-rata geometrik ;
di m = 1 – rata-rata aritmatika;
di m = 2 – akar rata-rata kuadrat ;
pada m = 3 - rata-rata kubik.
Bila menggunakan data awal yang sama, semakin besar eksponen m pada rumus di atas, semakin besar nilai nilai rata-ratanya:
.
Properti hukum kekuasaan ini berarti meningkat dengan peningkatan eksponen dari fungsi yang mendefinisikan disebut aturan utama sarana.
Masing-masing dari rata-rata yang ditandai dapat mengambil dua bentuk: sederhana dan tertimbang.
Bentuk tengah yang sederhana berlaku ketika rata-rata dihitung pada data primer (tidak dikelompokkan). bentuk tertimbang– saat menghitung rata-rata untuk data sekunder (dikelompokkan).
Rata-rata aritmatika
Rata-rata aritmatika digunakan ketika volume populasi adalah jumlah dari semua nilai individu dari atribut yang bervariasi. Perlu dicatat bahwa jika jenis rata-rata tidak ditunjukkan, rata-rata aritmatika diasumsikan. Rumus logikanya adalah: 
rata-rata aritmatika sederhana dihitung dengan data yang tidak dikelompokkan
menurut rumus: 
atau ,
di mana nilai individual dari atribut;
j adalah nomor urut unit pengamatan, yang ditandai dengan nilai ;
N adalah jumlah unit pengamatan (ukuran yang ditetapkan).
Contoh. Dalam kuliah “Ringkasan dan pengelompokan data statistik”, hasil mengamati pengalaman kerja tim yang terdiri dari 10 orang dipertimbangkan. Hitung rata-rata pengalaman kerja para pekerja brigade tersebut. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
Menurut rumus rata-rata aritmatika sederhana, seseorang juga menghitung rata-rata kronologis, jika interval waktu di mana nilai karakteristik disajikan sama.
Contoh. Volume produk yang dijual untuk kuartal pertama sebesar 47 den. unit, untuk 54 kedua, untuk 65 ketiga dan untuk 58 sarang keempat. unit Omset triwulanan rata-rata adalah (47+54+65+58)/4 = 56 sarang. unit
Jika indikator sesaat diberikan dalam rangkaian kronologis, maka ketika menghitung rata-rata, mereka diganti dengan setengah jumlah nilai pada awal dan akhir periode.
Jika ada lebih dari dua momen dan interval antara keduanya sama, maka rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus kronologis rata-rata.
,
di mana n adalah jumlah titik waktu
Ketika data dikelompokkan berdasarkan nilai atribut
(yaitu, deret distribusi variasi diskrit dibangun) dengan rata-rata aritmatika berbobot dihitung menggunakan frekuensi , atau frekuensi pengamatan nilai spesifik fitur , yang jumlahnya (k) secara signifikan lebih sedikit daripada jumlah pengamatan (N) .
,
,
di mana k adalah jumlah grup dari deret variasi,
i adalah jumlah grup dari deret variasi.
Sejak , dan , Kami memperoleh rumus yang digunakan untuk perhitungan praktis:
dan
Contoh. Mari kita hitung rata-rata masa kerja tim kerja untuk seri yang dikelompokkan.
a) menggunakan frekuensi:
b) menggunakan frekuensi:
Ketika data dikelompokkan berdasarkan interval
, yaitu disajikan dalam bentuk deret distribusi interval; ketika menghitung rata-rata aritmatika, pertengahan interval diambil sebagai nilai fitur, berdasarkan asumsi distribusi unit populasi yang seragam dalam interval ini. Perhitungan dilakukan sesuai dengan rumus:
dan
di mana adalah tengah interval: ,
di mana dan adalah batas bawah dan atas interval (asalkan batas atas interval ini bertepatan dengan batas bawah interval berikutnya).
Contoh. Mari kita hitung rata-rata aritmatika dari deret variasi interval yang dibangun dari hasil studi tentang upah tahunan 30 pekerja (lihat kuliah "Ringkasan dan pengelompokan data statistik").
Tabel 1 - Variasi interval deret distribusi.
Interval, UAH |
Frekuensi, pers. |
frekuensi, |
Pertengahan interval |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
UAH atau 
UAH
Sarana aritmatika yang dihitung berdasarkan data awal dan seri variasi interval mungkin tidak bertepatan karena distribusi nilai atribut yang tidak merata dalam interval. Dalam hal ini, untuk perhitungan yang lebih akurat dari rata-rata tertimbang aritmatika, seseorang tidak boleh menggunakan bagian tengah interval, tetapi rata-rata sederhana aritmatika yang dihitung untuk setiap kelompok ( rata-rata grup). Rata-rata yang dihitung dari kelompok berarti menggunakan rumus perhitungan berbobot disebut Rata-rata umum.
Rata-rata aritmatika memiliki sejumlah sifat.
1. Jumlah deviasi varian dari mean adalah nol:
.
2. Jika semua nilai opsi bertambah atau berkurang sebesar nilai A, maka nilai rata-rata bertambah atau berkurang dengan nilai A yang sama: 
3. Jika setiap opsi bertambah atau berkurang sebanyak B kali, maka nilai rata-rata juga akan bertambah atau berkurang dengan jumlah yang sama:
atau 
4. Jumlah produk varian dengan frekuensi sama dengan produk nilai rata-rata dengan jumlah frekuensi: 
5. Jika semua frekuensi dibagi atau dikalikan dengan sembarang angka, maka rata-rata aritmatika tidak akan berubah: 
6) jika dalam semua interval frekuensinya sama satu sama lain, maka rata-rata tertimbang aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika sederhana: 
,
di mana k adalah jumlah grup dalam deret variasi.
Menggunakan properti rata-rata memungkinkan Anda menyederhanakan perhitungannya.
Misalkan semua opsi (x) pertama-tama dikurangi dengan angka yang sama A, dan kemudian dikurangi dengan faktor B. Penyederhanaan terbesar dicapai ketika nilai tengah interval dengan frekuensi tertinggi dipilih sebagai A, dan nilai interval sebagai B (untuk baris dengan interval yang sama). Besaran A disebut asal, jadi cara menghitung rata-rata ini disebut jalan b referensi ohm dari nol bersyarat atau cara saat.
Setelah transformasi seperti itu, kami memperoleh deret distribusi variasi baru, variannya sama dengan . Rata-rata aritmatika mereka, disebut momen orde pertama, dinyatakan oleh rumus dan menurut sifat kedua dan ketiga, rata-rata aritmatika sama dengan rata-rata versi aslinya, dikurangi pertama dengan A, dan kemudian B kali, yaitu .
Menerima rata-rata nyata(di tengah baris asli) Anda perlu mengalikan momen orde pertama dengan B dan menambahkan A: 
Perhitungan mean aritmatika dengan metode momen diilustrasikan oleh data pada Tabel. 2.
Tabel 2 - Distribusi karyawan toko perusahaan berdasarkan masa kerja
Pengalaman kerja, tahun |
jumlah pekerja |
Titik tengah interval |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Menemukan momen orde pertama 
. Kemudian, mengetahui bahwa A = 17,5, dan B = 5, kami menghitung pengalaman kerja rata-rata pekerja toko:
bertahun-tahun
Harmonik rata-rata
Seperti yang ditunjukkan di atas, rata-rata aritmatika digunakan untuk menghitung nilai rata-rata fitur dalam kasus di mana variannya x dan frekuensinya f diketahui.
Jika informasi statistik tidak mengandung frekuensi f untuk opsi individu x dari populasi, tetapi disajikan sebagai produk mereka, rumus diterapkan tertimbang harmonik rata-rata. Untuk menghitung rata-rata, tunjukkan , dari mana . Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus rata-rata aritmatika tertimbang, kita memperoleh rumus rata-rata harmonik tertimbang: 
,
dimana adalah volume (berat) dari nilai atribut indikator pada interval dengan angka i (i=1,2, …, k).
Jadi, mean harmonik digunakan dalam kasus di mana bukan opsi itu sendiri yang tunduk pada penjumlahan, tetapi kebalikannya: 
.
Dalam kasus di mana bobot setiap opsi sama dengan satu, mis. nilai individu dari fitur terbalik terjadi sekali, berlaku arti harmonik sederhana:
,
di mana varian individu dari sifat terbalik yang terjadi satu kali;
N adalah jumlah opsi.
Jika ada rata-rata harmonik untuk dua bagian populasi dengan jumlah dan, maka rata-rata total untuk seluruh populasi dihitung dengan rumus: 
dan disebut rata-rata harmonik tertimbang dari kelompok berarti.
Contoh. Tiga kesepakatan dibuat selama jam pertama perdagangan di bursa mata uang. Data jumlah penjualan hryvnia dan nilai tukar hryvnia terhadap dolar AS disajikan dalam Tabel. 3 (kolom 2 dan 3). Tentukan nilai tukar rata-rata hryvnia terhadap dolar AS untuk jam pertama perdagangan.
Tabel 3 - Data jalannya perdagangan di bursa mata uang
Nilai tukar dolar rata-rata ditentukan oleh rasio jumlah hryvnia yang dijual selama semua transaksi dengan jumlah dolar yang diperoleh sebagai hasil dari transaksi yang sama. Jumlah total penjualan hryvnia diketahui dari kolom 2 tabel, dan jumlah dolar yang dibeli dalam setiap transaksi ditentukan dengan membagi jumlah penjualan hryvnia dengan nilai tukarnya (kolom 4). Total $22 juta dibeli selama tiga transaksi. Ini berarti bahwa rata-rata nilai tukar hryvnia untuk satu dolar adalah 
.
Nilai yang dihasilkan adalah nyata, karena substitusi dari nilai tukar hryvnia aktual dalam transaksi tidak akan mengubah jumlah total penjualan hryvnia, yang bertindak sebagai indikator yang menentukan: juta UAH
Jika mean aritmatika digunakan untuk perhitungan, mis. 
hryvnia, maka dengan nilai tukar untuk pembelian 22 juta dolar. UAH 110.660.000 harus dikeluarkan, yang tidak benar.
Rata-rata geometris
Rata-rata geometrik digunakan untuk menganalisis dinamika fenomena dan memungkinkan Anda untuk menentukan tingkat pertumbuhan rata-rata. Saat menghitung rata-rata geometrik, nilai individu dari atribut adalah indikator relatif dari dinamika, dibangun dalam bentuk nilai rantai, sebagai rasio setiap level dengan yang sebelumnya.
Mean sederhana geometrik dihitung dengan rumus: 
,
di mana tanda produknya,
N adalah jumlah nilai rata-rata.
Contoh. Jumlah kejahatan terdaftar selama 4 tahun meningkat 1,57 kali, termasuk untuk yang pertama - sebesar 1,08 kali, untuk yang kedua - sebesar 1,1 kali, untuk yang ketiga - sebesar 1,18 dan yang keempat - 1,12 kali. Maka rata-rata tingkat pertumbuhan tahunan jumlah kejahatan adalah: , yaitu. Jumlah kejahatan terdaftar telah tumbuh rata-rata 12% setiap tahun.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Untuk menghitung mean square weighted, kita tentukan dan masukkan dalam tabel dan. Maka nilai rata-rata penyimpangan panjang produk dari norma yang diberikan sama dengan: 
Rata-rata aritmatika dalam kasus ini tidak cocok, karena sebagai hasilnya, kita akan mendapatkan deviasi nol.
Penggunaan akar rata-rata kuadrat akan dibahas kemudian dalam eksponen variasi.
