Minimum teoretis

Integral lengkung dan permukaan sering terjadi dalam fisika. Mereka datang dalam dua varietas, yang pertama dibahas di sini. Ini
jenis integral dibangun sesuai dengan skema umum, yang dengannya integral tertentu, ganda dan rangkap tiga diperkenalkan. Mari kita ingat secara singkat skema ini.
Ada beberapa objek di mana integrasi dilakukan (satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi). Benda ini dipecah menjadi bagian-bagian kecil,
titik dipilih di setiap bagian. Pada masing-masing titik ini, nilai integran dihitung dan dikalikan dengan ukuran bagian yang
titik yang diberikan milik (panjang segmen, area atau volume area parsial). Kemudian semua produk tersebut dijumlahkan, dan batasnya
transisi untuk mempartisi objek menjadi bagian-bagian kecil yang tak terhingga. Batas yang dihasilkan disebut integral.

1. Definisi integral lengkung jenis pertama

Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan pada kurva . Kurva diasumsikan dapat diperbaiki. Ingat apa artinya ini, secara kasar,
bahwa polyline dengan tautan kecil yang sewenang-wenang dapat ditulis dalam kurva, dan dalam batas jumlah tautan yang sangat besar, panjang polyline harus tetap
terakhir. Kurva dibagi menjadi busur parsial panjang dan titik dipilih pada masing-masing busur. Pekerjaan sedang dikompilasi
penjumlahan semua busur parsial . Kemudian lintasan ke batas dilakukan dengan kecenderungan panjang terbesar
dari busur parsial ke nol. Limitnya adalah integral lengkung jenis pertama
.
Fitur penting dari integral ini, yang mengikuti langsung dari definisinya, adalah kemandirian dari arah integrasi, yaitu.
.

2. Definisi integral permukaan jenis pertama

Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan pada permukaan halus yang halus atau sepotong-sepotong. Permukaan dipecah menjadi sebagian wilayah
dengan area , sebuah titik dipilih di setiap area tersebut. Sebuah karya sedang dikompilasi , penjumlahan
atas semua area parsial . Kemudian lintasan ke batas dilakukan dengan kecenderungan diameter terbesar dari semua parsial
daerah menjadi nol. Limitnya adalah integral permukaan jenis pertama
.

3. Perhitungan integral lengkung jenis pertama

Cara menghitung integral lengkung jenis pertama sudah dapat dilihat dari notasi formalnya, tetapi sebenarnya mengikuti langsung dari
definisi. Integral direduksi menjadi integral tertentu, hanya perlu untuk menuliskan diferensial busur kurva di mana integrasi dilakukan.
Mari kita mulai dengan kasus integrasi sederhana sepanjang kurva bidang yang diberikan oleh persamaan eksplisit . Dalam hal ini, diferensial busur
.
Kemudian, dalam integran, variabelnya diubah, dan integralnya berbentuk
,
di mana segmen sesuai dengan perubahan variabel di sepanjang bagian kurva di mana integrasi dilakukan.

Sangat sering kurva diatur secara parametrik, mis. persamaan tipe. Maka diferensial busur
.
Rumus ini sangat mudah untuk dibenarkan. Pada dasarnya, ini adalah teorema Pythagoras. Diferensial busur sebenarnya adalah panjang bagian yang sangat kecil dari kurva.
Jika kurva mulus, maka bagian yang sangat kecil dapat dianggap bujursangkar. Untuk garis lurus, relasi
.
Agar dapat dilakukan untuk busur kecil kurva, seseorang harus beralih dari kenaikan hingga ke diferensial:
.
Jika kurva diberikan secara parametrik, maka perbedaannya cukup dihitung:
dll.
Dengan demikian, setelah mengubah variabel dalam integran, integral lengkung dihitung sebagai berikut:
,
di mana bagian dari kurva di mana integrasi dilakukan sesuai dengan segmen perubahan parameter .

Situasinya agak lebih rumit ketika kurva ditentukan dalam koordinat lengkung. Pertanyaan ini biasanya dibahas dalam kerangka diferensial
geometri. Mari kita berikan rumus untuk menghitung integral sepanjang kurva yang diberikan dalam koordinat kutub dengan persamaan:
.
Mari kita juga memberikan pembenaran untuk diferensial busur dalam koordinat kutub. Diskusi mendetail tentang kisi-kisi sistem koordinat kutub
cm. . Mari kita pilih busur kecil dari kurva yang terletak dalam kaitannya dengan garis koordinat seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1. Karena kecilnya semua
busur lagi, Anda dapat menerapkan teorema Pythagoras dan menulis:
.
Dari sini mengikuti ekspresi yang diinginkan untuk diferensial busur.

Dari sudut pandang teoretis murni, cukup mudah untuk memahami bahwa integral lengkung jenis pertama harus direduksi menjadi kasus khusus -
integral tertentu. Memang, membuat perubahan yang ditentukan oleh parametrisasi kurva di mana integral dihitung, kami menetapkan:
pemetaan satu-ke-satu antara bagian dari kurva yang diberikan dan segmen perubahan parameter. Dan ini adalah pengurangan ke integral
sepanjang garis lurus yang bertepatan dengan sumbu koordinat - integral tertentu.

4. Perhitungan integral permukaan jenis pertama

Setelah poin sebelumnya, harus jelas bahwa salah satu bagian utama dari menghitung integral permukaan jenis pertama adalah menulis elemen permukaan,
dimana integrasi dilakukan. Sekali lagi, mari kita mulai dengan kasus sederhana dari permukaan yang diberikan oleh persamaan eksplisit . Kemudian
.
Sebuah perubahan dibuat pada integran, dan integral permukaan direduksi menjadi integral ganda:
,
di mana adalah daerah bidang di mana bagian dari permukaan diproyeksikan di mana integrasi dilakukan.

Namun, seringkali tidak mungkin untuk menentukan permukaan dengan persamaan eksplisit, dan kemudian ditentukan secara parametrik, yaitu. persamaan bentuk
.
Elemen permukaan dalam hal ini ditulis lebih rumit:
.
Integral permukaan ditulis dengan cara yang sesuai:
,
di mana adalah kisaran parameter yang sesuai dengan bagian permukaan di mana integrasi dilakukan.

5. Arti fisis integral lengkung dan permukaan jenis pertama

Integral yang dibahas memiliki arti fisik yang sangat sederhana dan jelas. Biarkan ada beberapa kurva yang kerapatan liniernya tidak
konstan, dan merupakan fungsi dari titik . Mari kita cari massa kurva ini. Mari kita pecahkan kurva menjadi banyak elemen kecil,
di mana kerapatannya dapat dianggap konstan. Jika panjang bagian kecil dari kurva adalah , maka massanya
, di mana setiap titik dari bagian kurva yang dipilih (apa saja, karena densitasnya berada di dalam
bagian ini diasumsikan kira-kira konstan). Dengan demikian, massa seluruh kurva diperoleh dengan menjumlahkan massa masing-masing bagiannya:
.
Agar persamaan menjadi eksak, seseorang harus melewati batas pemisahan kurva menjadi bagian-bagian yang sangat kecil, tetapi ini adalah integral lengkung jenis pertama.

Demikian pula, pertanyaan tentang muatan total kurva diselesaikan jika kerapatan muatan linier diketahui .

Pertimbangan ini mudah ditransfer ke kasus permukaan bermuatan tidak merata dengan kerapatan muatan permukaan . Kemudian
muatan permukaan adalah integral permukaan jenis pertama
.

Komentar . Rumus rumit untuk elemen permukaan yang diberikan secara parametrik tidak nyaman untuk dihafal. Ekspresi lain diperoleh dalam geometri diferensial,
menggunakan apa yang disebut. bentuk kuadrat pertama dari permukaan.

Contoh menghitung integral lengkung jenis pertama

Contoh 1 Integral sepanjang garis.
Hitung Integral

sepanjang ruas garis yang melalui titik-titik dan .

Pertama, kami menulis persamaan garis lurus di mana integrasi dilakukan: . Mari kita cari ekspresi untuk:
.
Kami menghitung integral:

Contoh 2 Integral sepanjang kurva pada bidang.
Hitung Integral

sepanjang busur parabola dari titik ke titik.

Titik-titik yang diberikan dan memungkinkan kita untuk mengekspresikan variabel dari persamaan parabola: .

Kami menghitung integral:
.

Namun, dimungkinkan untuk melakukan perhitungan dengan cara lain, menggunakan fakta bahwa kurva diberikan oleh persamaan yang diselesaikan sehubungan dengan variabel .
Jika kita mengambil variabel sebagai parameter, maka ini akan menyebabkan sedikit perubahan dalam ekspresi untuk diferensial busur:
.
Dengan demikian, integral akan sedikit berubah:
.
Integral ini mudah dihitung dengan memasukkan variabel di bawah diferensial. Hasilnya adalah integral yang sama seperti pada metode perhitungan pertama.

Contoh 3 Integral sepanjang kurva pada bidang (menggunakan parametrisasi).
Hitung Integral

di sepanjang bagian atas lingkaran .

Anda dapat, tentu saja, menyatakan salah satu variabel dari persamaan lingkaran, dan kemudian melakukan perhitungan lainnya dengan cara standar. Tapi Anda juga bisa menggunakan
definisi kurva parametrik. Seperti yang Anda ketahui, lingkaran dapat didefinisikan dengan persamaan. Setengah lingkaran atas
sesuai dengan mengubah parameter dalam . Hitung diferensial busur:
.
Lewat sini,

Contoh 4 Integral sepanjang kurva dalam bidang yang diberikan dalam koordinat kutub.
Hitung Integral

sepanjang lobus kanan lemniscate .

Gambar di atas menunjukkan lemniscate. Integrasi harus dilakukan di sepanjang lobus kanannya. Mari kita cari diferensial busur untuk kurva :
.
Langkah selanjutnya adalah menentukan batas integrasi atas sudut kutub. Jelas bahwa ketidaksetaraan harus berlaku, dan oleh karena itu
.
Kami menghitung integral:

Contoh 5 Integral sepanjang kurva dalam ruang.
Hitung Integral

sepanjang putaran heliks yang sesuai dengan batas perubahan parameter

Masalah massa kurva. Biarkan pada setiap titik dari kurva bahan halus sepotong-sepotong L: (AB) kepadatannya diberikan. Tentukan massa kurva.

Kami melanjutkan dengan cara yang sama seperti yang kami lakukan ketika menentukan massa daerah datar (integral ganda) dan tubuh spasial (integral rangkap tiga).

1. Atur pembagian daerah-busur L menjadi elemen - busur elementer sehingga elemen-elemen ini tidak memiliki titik interior yang sama dan
(kondisi A )

2. Kami menandai elemen partisi "titik yang ditandai" M i dan menghitung nilai fungsi di dalamnya

3. Bangun jumlah integral
, di mana - panjang busur (biasanya sebutan yang sama untuk busur dan panjangnya diperkenalkan). Ini adalah nilai perkiraan untuk massa kurva. Penyederhanaannya adalah kita mengasumsikan kerapatan busur konstan pada setiap elemen dan mengambil sejumlah elemen yang terbatas.

Melewati batas di bawah kondisi
(kondisi B ), kita memperoleh integral lengkung jenis pertama sebagai limit jumlah integral:

.

teorema keberadaan 10 .

Biarkan fungsinya
kontinu pada busur halus sepotong L 11 . Maka integral lengkung jenis pertama ada sebagai limit jumlah integral.

Komentar. Batas ini tidak bergantung pada

metode pemilihan partisi, selama kondisi A

pemilihan "titik yang ditandai" pada elemen partisi,

metode untuk memperbaiki partisi, selama kondisi B terpenuhi

Sifat-sifat integral lengkung jenis pertama.

1. Linearitas a) sifat superposisi

b) sifat homogenitas
.

Bukti. Mari kita tulis jumlah integral untuk integral di sisi kiri persamaan. Karena jumlah suku dalam jumlah integral terbatas, mari beralih ke jumlah integral untuk ruas kanan persamaan. Kemudian kita melewati batas, menurut teorema tentang perjalanan ke batas dalam kesetaraan, kita memperoleh hasil yang diinginkan.

2. Aditivitas. Jika sebuah
, kemudian
=
+

Bukti. Kami memilih partisi dari domain L sehingga tidak ada elemen partisi (awalnya dan ketika partisi disempurnakan) berisi elemen L 1 dan elemen L 2 secara bersamaan. Hal ini dapat dilakukan dengan adanya teorema (keterangan pada teorema). Selanjutnya, pembuktian dilakukan dalam hal jumlah integral, seperti pada Bagian 1.

3.
.Di Sini - panjang busur .

4. Jika pada busur pertidaksamaan terpenuhi, maka

Bukti. Mari kita tuliskan pertidaksamaan untuk jumlah integral dan lolos ke limit.

Perhatikan bahwa, khususnya, adalah mungkin

5. teorema estimasi.

Jika ada konstanta
, sesuatu

Bukti. Mengintegrasikan ketidaksetaraan
(properti 4), kita dapatkan
. Dengan properti 1 konstanta
dapat diambil dari bawah integral. Menggunakan properti 3, kami mendapatkan hasil yang diinginkan.

6. Teorema rata-rata(nilai integral).

Ada satu titik
, Apa

Bukti. Karena fungsi
kontinu pada himpunan terbatas tertutup , maka infimumnya ada
dan tepi atas
. Ketimpangan terpenuhi. Membagi kedua bagian dengan L, kita dapatkan
. Tapi nomornya
tertutup antara batas bawah dan batas atas fungsi. Karena fungsi
kontinu pada himpunan berbatas tertutup L, maka di suatu titik
fungsi harus mengambil nilai ini. Akibatnya,
.

Kurva AB yang diberikan oleh persamaan parametrik disebut mulus jika fungsi dan memiliki turunan kontinu pada segmen dan, terlebih lagi, jika turunan ini tidak ada pada sejumlah titik pada segmen atau menghilang secara bersamaan, maka kurva disebut mulus sepotong-sepotong . Biarkan AB menjadi kurva bidang, halus atau halus sepotong-sepotong. Misalkan f(M) adalah fungsi yang didefinisikan pada kurva AB atau dalam domain D yang memuat kurva ini. Mari kita pertimbangkan pemisahan kurva A B menjadi beberapa bagian dengan titik-titik (Gbr. 1). Kami memilih titik Mk sembarang pada setiap busur A^At+i dan membuat jumlah di mana Alt adalah panjang busur dan menyebutnya jumlah integral untuk fungsi f(M) terhadap panjang busur kurva . Biarkan D / menjadi yang terbesar dari panjang busur parsial, yaitu Sifat integral lengkung jenis 1 untuk kurva ruang Integral lengkung jenis ke-2 Perhitungan integral lengkung Jika untuk , jumlah integral (I) memiliki limit berhingga, yang tidak bergantung baik pada metode partisi kurva AB menjadi bagian-bagian, atau pada pilihan titik pada setiap busur partisi, maka limit ini disebut integral lengkung dari jenis fungsi ke-\ f (M) sepanjang kurva AB (integral terhadap panjang busur kurva) dan dilambangkan dengan simbol Dalam hal ini, fungsi / (M) disebut integral sepanjang kurva ABU, kurva AB disebut kontur integrasi, A - awal, B - titik akhir integrasi. Jadi, menurut definisi, Contoh 1. Biarkan massa dengan kerapatan linier variabel J(M) didistribusikan sepanjang kurva halus L. Temukan massa m dari kurva L. (2) Mari kita bagi kurva L menjadi n bagian yang berubah-ubah) dan hitung kira-kira massa setiap bagian, dengan asumsi bahwa kerapatan pada masing-masing bagian adalah konstan dan sama dengan kerapatan pada beberapa dari titik-titiknya, misalnya, pada titik paling kiri /(Af*). Kemudian jumlah ksho di mana D/d adalah panjang bagian Dz-th, akan menjadi nilai perkiraan massa m. Jelas bahwa kesalahannya akan semakin kecil, semakin halus pembagian kurva L. Dalam batas seperti yang kita peroleh nilai yang tepat dari massa seluruh kurva L, yaitu Tetapi limit di sebelah kanan adalah integral lengkung jenis pertama. Oleh karena itu, 1.1. Keberadaan Integral Kurvilinear Jenis Pertama Mari kita ambil panjang busur I sebagai parameter pada kurva AB, dihitung dari titik awal A (Gbr. 2). Kemudian kurva AB dapat digambarkan dengan persamaan (3) dimana L adalah panjang kurva AB. Persamaan (3) disebut persamaan alami dari kurva AB. Dengan meneruskan ke persamaan alami, fungsi f(x) y) yang diberikan pada kurva AB akan direduksi menjadi fungsi dari variabel I: / (x(1)) y(1)). Dilambangkan dengan nilai parameter I, sesuai dengan titik Mku, kami menulis ulang jumlah integral (I) dalam bentuk Jadi, (5) Teorema 1. Jika fungsi /(M) kontinu sepanjang kurva mulus AB, maka ada integral lengkung (karena dalam kondisi ini ada integral tertentu di sebelah kanan dalam persamaan (5)). 1.2. Sifat-sifat Integral Kurvilinear Jenis Pertama 1. Dari bentuk jumlah integral (1) diperoleh bahwa yaitu. nilai integral lengkung jenis pertama tidak bergantung pada arah integrasi. 2. Linieritas. Jika untuk masing-masing fungsi /() terdapat integral lengkung sepanjang kurva ABt, maka untuk fungsi a/, di mana a dan /3 adalah sembarang konstanta, terdapat juga integral lengkung sepanjang kurva AB> dan 3. Aditivitas . Jika kurva AB terdiri dari dua bagian dan untuk fungsi /(M) terdapat integral lengkung di atas ABU, maka terdapat integral dan 4. Jika 0 pada kurva AB, maka 5. Jika fungsi tersebut dapat diintegralkan pada kurva AB , maka fungsinya || juga terintegrasi pada A B, dan terlebih lagi b. Rumus nilai rata-rata. Jika fungsi / kontinu sepanjang kurva AB, maka pada kurva ini terdapat titik Mc sedemikian rupa sehingga di mana L adalah panjang kurva AB. 1.3. Perhitungan Integral Kurvilinear Jenis Pertama Biarkan kurva AB diberikan oleh persamaan parametrik, di mana titik A sesuai dengan nilai t = ke, dan titik B sesuai dengan nilai. Kami akan mengasumsikan bahwa fungsi) kontinu pada bersama-sama dengan turunannya dan pertidaksamaan berlaku Kemudian diferensial busur kurva dihitung dengan rumus B - nilai x = 6, kemudian, dengan mengambil x sebagai parameter, kami dapatkan 1.4. Integral Kurvilinear Jenis Pertama untuk Kurva Spasial Definisi integral lengkung jenis pertama yang dirumuskan di atas untuk kurva bidang dapat secara harfiah ditransfer ke kasus ketika fungsi f(M) diberikan sepanjang beberapa kurva spasial AB. Biarkan kurva AB diberikan oleh persamaan parametrik Sifat integral lengkung jenis 1 untuk kurva spasial Integral lengkung integral jenis ke-2 di mana L adalah kontur segitiga dengan simpul pada suatu titik * (Gbr. 3). Dengan sifat aditif, kita memiliki Mari kita menghitung masing-masing integral secara terpisah. Karena pada segmen OA kita memiliki: , maka Pada segmen AH kita memiliki, dari mana dan kemudian Gambar. Akhirnya, Oleh karena itu, Catatan. Saat menghitung integral, kami menggunakan properti 1, yang menurutnya. Integral Kurvilinear Jenis Kedua Biarkan AB menjadi kurva berorientasi halus atau mulus pada bidang xOy dan biarkan menjadi fungsi vektor yang didefinisikan dalam beberapa domain D yang berisi kurva AB. Kami membagi kurva AB menjadi bagian-bagian dengan titik-titik yang koordinatnya kami nyatakan masing-masing dengan (Gbr. 4). Pada setiap busur dasar AkAk+\ kita mengambil titik sembarang dan menjumlahkannya Misalkan D/ adalah panjang busur terbesar Definisi. Jika untuk , jumlah (1) memiliki limit berhingga, yang tidak bergantung pada metode pemisahan kurva AB atau pada pilihan titik rjk) pada busur-busur elementer, maka limit ini disebut integral lengkung dari 2 kota dari fungsi vektor sepanjang kurva AB dan dilambangkan dengan simbol Jadi menurut Teorema 2. Jika fungsi-fungsi tersebut kontinu dalam beberapa domain D yang memuat kurva AB, maka integral lengkung dari 2 kota ada. Membiarkan menjadi vektor jari-jari dari titik M (x, y). Kemudian integral dalam rumus (2) juga dapat direpresentasikan sebagai produk skalar dari vektor F(M) dan dr. Jadi integral dari fungsi vektor jenis ke-2 sepanjang kurva AB dapat ditulis secara singkat sebagai berikut: 2.1. Perhitungan Integral Kurvilinear Jenis ke-2 Biarkan kurva AB diberikan oleh persamaan parametrik, di mana fungsi-fungsi kontinu bersama dengan turunan pada segmen, dan perubahan parameter t dari t0 ke t \ sesuai dengan pergerakan a titik di sepanjang kurva AB dari titik A ke titik B. Jika di suatu daerah D, yang memuat kurva AB, fungsinya kontinu, maka integral lengkung jenis ke-2 direduksi menjadi integral tertentu berikut: Jadi, perhitungan integral lengkung jenis ke-2 juga dapat direduksi menjadi perhitungan integral tertentu. O) Contoh 1. Hitung integral sepanjang segmen garis lurus yang menghubungkan titik-titik 2) sepanjang parabola yang menghubungkan garis tipis yang sama) Persamaan parameter garis, dari mana So 2) Persamaan garis AB: Oleh karena itu, secara umum , tergantung pada bentuk jalur integrasi. 2.2. Sifat-sifat Integral Curvilinear dari Jenis Kedua 1. Linearitas. Jika terdapat Sifat-sifat integral lengkung ke-1 jenis untuk kurva spasial Integral lengkung jenis ke-2 Perhitungan integral lengkung Sifat-sifat Hubungan antara maka untuk setiap real a dan /5 terdapat integral di mana 2. Additenost. Jika kurva AB dibagi menjadi bagian AC dan SB dan terdapat integral lengkung, maka integral tersebut juga ada, berubah tanda menjadi kebalikannya. 2.3. Hubungan antara integral lengkung jenis ke-1 dan ke-2 Perhatikan integral lengkung jenis ke-2 yang berorientasi pada kurva AB) (Gbr. 6). Maka dr atau dimana r = m(1) adalah vektor satuan dari garis singgung kurva AB di titik M(1). Kemudian Perhatikan bahwa integral terakhir dalam rumus ini adalah integral lengkung jenis pertama. Ketika orientasi kurva AB berubah, vektor satuan dari garis singgung r digantikan oleh vektor yang berlawanan (-r), yang menyebabkan perubahan pada tanda integralnya dan, oleh karena itu, tanda integral itu sendiri.

Kuliah 5 Integral lengkung jenis 1 dan 2, sifat-sifatnya..

Masalah massa kurva. Integral lengkung jenis pertama.

Masalah massa kurva. Biarkan pada setiap titik dari kurva bahan halus sepotong-sepotong L: (AB) densitasnya diberikan. Tentukan massa kurva.

Kami melanjutkan dengan cara yang sama seperti yang kami lakukan ketika menentukan massa daerah datar (integral ganda) dan tubuh spasial (integral rangkap tiga).

1. Atur pembagian daerah busur L menjadi elemen - elemen busur dasar sehingga elemen-elemen tersebut tidak memiliki titik interior yang sama dan ( kondisi A )

3. Mari kita membangun jumlah integral , di mana adalah panjang busur (biasanya sebutan yang sama diperkenalkan untuk busur dan panjangnya). Ini adalah nilai perkiraan untuk massa kurva. Penyederhanaannya adalah kita mengasumsikan kerapatan busur konstan pada setiap elemen dan mengambil sejumlah elemen yang terbatas.

Melewati batas di bawah kondisi (kondisi B ), kita memperoleh integral lengkung jenis pertama sebagai limit jumlah integral:

.

Teorema keberadaan.

Biarkan fungsi kontinu pada busur halus sepotong L. Kemudian integral lengkung jenis pertama ada sebagai batas jumlah integral.

Komentar. Batas ini tidak bergantung pada

Sifat-sifat integral lengkung jenis pertama.

1. Linearitas
a) sifat superposisi

b) sifat homogenitas .

Bukti. Mari kita tulis jumlah integral untuk integral di sisi kiri persamaan. Karena jumlah suku dalam jumlah integral terbatas, mari beralih ke jumlah integral untuk ruas kanan persamaan. Kemudian kita melewati batas, menurut teorema tentang perjalanan ke batas dalam kesetaraan, kita memperoleh hasil yang diinginkan.

2. Aditivitas.
Jika sebuah , kemudian = +

3. .Berikut adalah panjang busur .

4. Jika pertidaksamaan dipenuhi pada busur, maka

Bukti. Mari kita tuliskan pertidaksamaan untuk jumlah integral dan lolos ke limit.

Perhatikan bahwa, khususnya, adalah mungkin

5. teorema estimasi.

Jika ada konstanta sehingga , maka

Bukti. Mengintegrasikan ketidaksetaraan (properti 4), kita dapatkan . Dengan properti 1, konstanta dapat diambil dari bawah integral. Menggunakan properti 3, kami mendapatkan hasil yang diinginkan.

6. Teorema rata-rata(nilai integral).

Ada satu titik , Apa

Bukti. Karena fungsi kontinu pada himpunan terbatas tertutup , maka infimumnya ada dan tepi atas . Ketimpangan terpenuhi. Membagi kedua sisi dengan L, kita dapatkan . Tapi nomornya tertutup antara batas bawah dan batas atas fungsi. Karena fungsi kontinu pada himpunan berbatas tertutup L, fungsi tersebut harus mengambil nilai ini di beberapa titik. Akibatnya, .

Perhitungan integral lengkung jenis pertama.

Kami memparametrikan busur L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Misalkan t 0 bersesuaian dengan titik A, dan t 1 bersesuaian dengan titik B. Maka integral lengkung jenis pertama direduksi menjadi integral tertentu ( - rumus yang diketahui dari semester 1 untuk menghitung perbedaan panjang busur):

Contoh. Hitung massa satu putaran heliks homogen (kepadatan sama dengan k): .

Integral lengkung jenis ke-2.

Masalah kerja paksa.

Berapa usaha yang dilakukan gaya tersebut?F(M) saat memindahkan titikMdalam sebuah busurAB? Jika busur AB adalah segmen garis lurus, dan gaya akan tetap besar dan arahnya ketika titik M bergerak sepanjang busur AB, maka usaha dapat dihitung dengan rumus , di mana adalah sudut antara vektor. Dalam kasus umum, rumus ini dapat digunakan untuk membangun jumlah integral, dengan asumsi bahwa gaya konstan pada elemen busur dengan panjang yang cukup kecil. Alih-alih panjang elemen kecil busur, Anda dapat mengambil panjang akord yang menggantikannya, karena jumlah ini adalah jumlah yang sangat kecil yang setara dalam kondisi (semester pertama).

1. Atur pembagian daerah-busur AB menjadi elemen – elemen busur elementer sehingga elemen-elemen tersebut tidak memiliki titik interior yang sama dan ( kondisi A )

2. Kami menandai elemen partisi "titik yang ditandai" M i dan menghitung nilai fungsi di dalamnya

3. Bangun jumlah integral , di mana adalah vektor yang diarahkan sepanjang tali busur yang mendukung -busur .

4. Melewati batas di bawah kondisi (kondisi B ), kita memperoleh integral lengkung jenis kedua sebagai limit jumlah integral (dan kerja gaya):

. Sering disebut

Teorema keberadaan.

Biarkan fungsi vektor kontinu pada busur halus sepotong L. Kemudian integral lengkung jenis kedua ada sebagai batas jumlah integral.

.

Komentar. Batas ini tidak bergantung pada

Sebuah metode untuk memilih partisi, selama kondisi A terpenuhi

Memilih "titik yang ditandai" pada elemen partisi,

Sebuah metode untuk memperbaiki partisi, selama kondisi B terpenuhi

Sifat-sifat integral lengkung jenis ke-2.

1. Linearitas
a) sifat superposisi

b) sifat homogenitas .

Bukti. Mari kita tulis jumlah integral untuk integral di sisi kiri persamaan. Karena jumlah suku dalam jumlah integral terbatas, dengan menggunakan sifat produk skalar, kita beralih ke jumlah integral untuk sisi kanan persamaan. Kemudian kita melewati batas, menurut teorema tentang perjalanan ke batas dalam kesetaraan, kita memperoleh hasil yang diinginkan.

2. Aditivitas.
Jika sebuah , kemudian = + .

Bukti. Mari kita memilih partisi dari domain L sehingga tidak ada elemen partisi (awalnya dan ketika partisi disempurnakan) yang berisi elemen L 1 dan elemen L 2 secara bersamaan. Hal ini dapat dilakukan dengan adanya teorema (keterangan pada teorema). Selanjutnya, pembuktian dilakukan dalam hal jumlah integral, seperti pada Bagian 1.

3. Orientabilitas.

= -

Bukti. Integral busur –L, mis. dalam arah negatif melewati busur, ada batas jumlah integral, dalam hal ada ( ) sebagai gantinya. Mengambil "minus" dari produk skalar dan dari jumlah sejumlah istilah yang terbatas, melewati batas, kami memperoleh hasil yang diperlukan.

Untuk kasus ketika area integrasi adalah segmen dari beberapa kurva yang terletak pada sebuah bidang. Notasi umum integral lengkung adalah sebagai berikut:

di mana f(x, kamu) adalah fungsi dari dua variabel, dan L- kurva, menurut segmen AB dimana integrasi itu terjadi. Jika integralnya sama dengan satu, maka integral lengkungnya sama dengan panjang busur AB .

Seperti biasa dalam kalkulus integral, integral lengkung dipahami sebagai limit jumlah integral dari beberapa bagian yang sangat kecil dari sesuatu yang sangat besar. Apa yang diringkas dalam kasus integral lengkung?

Biarkan ada segmen di pesawat AB beberapa kurva L, dan fungsi dua variabel f(x, kamu) didefinisikan pada titik-titik kurva L. Mari kita lakukan algoritma berikut dengan segmen kurva ini.

1. Membagi Kurva AB pada bagian dengan titik (gambar di bawah).
2. Di setiap bagian, pilih satu titik dengan bebas M.
3. Tentukan nilai fungsi pada titik-titik yang dipilih.
4. Kalikan nilai fungsi dengan
   • panjang bagian dalam kasus: integral lengkung jenis pertama ;
   • proyeksi bagian ke sumbu koordinat dalam kasus ini integral lengkung jenis kedua .
5. Temukan jumlah semua produk.
6. Temukan limit dari jumlah integral yang ditemukan dengan syarat bahwa panjang bagian terpanjang dari kurva cenderung nol.

Jika batas ini ada, maka ini limit dari jumlah integral dan disebut integral lengkung dari fungsi f(x, kamu) sepanjang kurva AB .

jenis pertama

Kasus integral lengkung
jenis kedua

Mari kita perkenalkan notasi berikut.

Msaya ( ζ saya ; η saya)- titik dengan koordinat yang dipilih pada setiap bagian.

fsaya ( ζ saya ; η saya)- nilai fungsi f(x, kamu) pada titik yang dipilih.

Δ ssaya- panjang bagian dari segmen kurva (dalam kasus integral lengkung jenis pertama).

Δ xsaya- proyeksi bagian dari segmen kurva ke sumbu Sapi(dalam kasus integral lengkung jenis kedua).

d= maksΔ s saya adalah panjang bagian terpanjang dari segmen kurva.

Integral lengkung jenis pertama

Berdasarkan limit jumlah integral di atas, integral lengkung jenis pertama ditulis sebagai berikut:

.

Integral lengkung jenis pertama memiliki semua sifat yang integral tertentu. Namun, ada satu perbedaan penting. Untuk integral tertentu, jika batas integrasi dipertukarkan, tandanya berubah menjadi kebalikannya:

Dalam kasus integral lengkung jenis pertama, tidak masalah titik mana dari kurva AB (SEBUAH atau B) pertimbangkan awal segmen, dan akhir yang mana, yaitu

.

Integral lengkung jenis kedua

Berdasarkan apa yang telah dikatakan tentang limit jumlah integral, integral lengkung jenis kedua ditulis sebagai berikut:

.

Dalam kasus integral lengkung jenis kedua, ketika awal dan akhir segmen kurva dibalik, tanda integral berubah:

.

Saat menyusun jumlah integral dari integral lengkung jenis kedua, nilai-nilai fungsi fsaya ( ζ saya ; η saya) juga dapat dikalikan dengan proyeksi bagian-bagian segmen kurva ke sumbu Oy. Kemudian kita dapatkan integralnya

.

Dalam praktiknya, penyatuan integral lengkung jenis kedua biasanya digunakan, yaitu, dua fungsi f = P(x, kamu) dan f = Q(x, kamu) dan integral

,

dan jumlah integral ini

ditelepon integral lengkung umum jenis kedua .

Perhitungan integral lengkung jenis pertama

Perhitungan integral lengkung jenis pertama direduksi menjadi perhitungan integral tertentu. Mari kita pertimbangkan dua kasus.

Biarkan kurva diberikan di pesawat kamu = kamu(x) dan segmen kurva AB sesuai dengan mengubah variabel x dari sebuah sebelum b. Kemudian pada titik-titik kurva integran f(x, kamu) = f(x, kamu(x)) ("y" harus dinyatakan melalui "x"), dan diferensial busur dan integral lengkung dapat dihitung dengan rumus

.

Jika integral lebih mudah diintegrasikan kamu, maka dari persamaan kurva perlu dinyatakan x = x(kamu) ("x" hingga "y"), di mana dan integralnya dihitung dengan rumus

.

Contoh 1

di mana AB- ruas garis antar titik SEBUAH(1; 1) dan B(2; 1) .

Larutan. Buatlah persamaan garis lurus AB, dengan menggunakan rumus (persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan SEBUAH(x1 ; kamu 1 ) dan B(x2 ; kamu 2 ) ):

Dari persamaan garis lurus kita nyatakan kamu melalui x :

Dulu dan sekarang kita dapat menghitung integralnya, karena kita hanya memiliki "x" yang tersisa:

Biarkan kurva diberikan dalam ruang

Kemudian, pada titik-titik kurva, fungsi harus dinyatakan dalam parameter t() dan diferensial busur , sehingga integral lengkung dapat dihitung dengan rumus

Demikian pula, jika kurva diberikan pada bidang

,

maka integral lengkung dihitung dengan rumus

.

Contoh 2 Hitung Integral Kurvilinear

di mana L- bagian dari garis lingkaran

terletak di oktan pertama.

Larutan. Kurva ini adalah seperempat dari garis lingkaran, terletak di bidang z= 3 . Ini sesuai dengan nilai parameter. Karena

maka diferensial busur

Mari kita nyatakan integran dalam hal parameter t :

Sekarang kita memiliki segalanya yang diekspresikan melalui parameter t, kita dapat mereduksi perhitungan integral lengkung ini menjadi integral tertentu:

Perhitungan integral lengkung jenis kedua

Seperti halnya integral lengkung jenis pertama, penghitungan integral jenis kedua direduksi menjadi penghitungan integral tertentu.

Kurva diberikan dalam koordinat persegi panjang Cartesian

Biarkan kurva pada bidang diberikan oleh persamaan fungsi "y", yang dinyatakan melalui "x": kamu = kamu(x) dan busur kurva AB sesuai perubahan x dari sebuah sebelum b. Kemudian kita substitusikan ekspresi "y" melalui "x" ke dalam integran dan tentukan diferensial dari ekspresi "y" ini terhadap "x": . Sekarang, ketika semuanya dinyatakan melalui "x", integral lengkung jenis kedua dihitung sebagai integral tertentu:

Demikian pula, integral lengkung jenis kedua dihitung ketika kurva diberikan oleh persamaan fungsi "x", yang dinyatakan melalui "y": x = x(kamu) , . Dalam hal ini, rumus untuk menghitung integral adalah sebagai berikut:

Contoh 3 Hitung Integral Kurvilinear

, jika

sebuah) L- ruas garis lurus OA, di mana HAI(0; 0) , SEBUAH(1; −1) ;

b) L- busur parabola kamu = x² dari HAI(0; 0) ke SEBUAH(1; −1) .

a) Hitung integral lengkung pada segmen garis lurus (biru pada gambar). Mari kita tulis persamaan garis lurus dan nyatakan "Y" melalui "X":

.

Kita mendapatkan dy = dx. Kami memecahkan integral lengkung ini:

b) jika L- busur parabola kamu = x² , kita dapatkan dy = 2xdx. Kami menghitung integral:

Dalam contoh yang baru saja diselesaikan, kami mendapatkan hasil yang sama dalam dua kasus. Dan ini bukan kebetulan, tetapi hasil dari suatu pola, karena integral ini memenuhi kondisi teorema berikut.

Dalil. Jika fungsi P(x,kamu) , Q(x,kamu) dan turunan parsialnya , - kontinu di daerah D fungsi dan pada titik-titik daerah ini, turunan parsialnya sama, maka integral lengkung tidak bergantung pada jalur integrasi sepanjang garis L terletak di daerah D .

Kurva diberikan dalam bentuk parametrik

Biarkan kurva diberikan dalam ruang

.

dan dalam integral kita substitusikan

ekspresi dari fungsi-fungsi ini melalui parameter t. Kami mendapatkan rumus untuk menghitung integral lengkung:

Contoh 4 Hitung Integral Kurvilinear

,

jika L- bagian dari elips

memenuhi syarat kamu ≥ 0 .

Larutan. Kurva ini merupakan bagian dari elips yang ada pada bidang z= 2 . Ini sesuai dengan nilai parameter.

kita dapat menyatakan integral lengkung sebagai integral tertentu dan menghitungnya:

Diberikan integral lengkung dan L- garis tertutup, maka integral seperti itu disebut integral atas kontur tertutup dan lebih mudah untuk menghitungnya menggunakan rumus hijau .

Lebih Banyak Contoh Menghitung Integral Kurvilinear

Contoh 5 Hitung Integral Kurvilinear

di mana L- ruas garis antara titik perpotongannya dengan sumbu koordinat.

Larutan. Mari kita tentukan titik potong garis lurus dengan sumbu koordinat. Substitusikan garis lurus ke persamaan kamu= 0, kita dapatkan , . Mengganti x= 0, kita dapatkan , . Jadi, titik potong dengan sumbu Sapi - SEBUAH(2; 0 ), dengan sumbu Oy - B(0; −3) .

Dari persamaan garis lurus kita nyatakan kamu :

.

, .

Sekarang kita dapat merepresentasikan integral lengkung sebagai integral tertentu dan mulai menghitungnya:

Dalam integran, kami memilih faktor , kami mengeluarkannya dari tanda integral. Dalam integran yang dihasilkan, kami menggunakan membawa di bawah tanda diferensial dan akhirnya kita dapatkan.