Kursus: Sifat khusus dari fungsi gamma Euler. Radiasi gamma dan sifat-sifatnya

Sinar gamma adalah osilasi elektromagnetik dengan frekuensi sangat tinggi, merambat di ruang angkasa dengan kecepatan cahaya. Radiasi ini dipancarkan oleh inti dalam bentuk bagian-bagian terpisah, yang disebut gamma kuanta atau foton.

Energi kuanta gamma terletak pada kisaran 0,05 hingga 5 MeV. Radiasi gamma dengan energi kurang dari 1 MeV secara kondisional disebut radiasi lunak, dan dengan energi lebih dari 1 MeV - radiasi keras.

Radiasi gamma bukanlah jenis radiasi independen. Biasanya radiasi gamma menyertai peluruhan beta, lebih jarang peluruhan alfa. Dengan mengeluarkan partikel alfa atau beta, inti dibebaskan dari energi berlebih, tetapi masih dapat tetap dalam keadaan tereksitasi. Transisi dari keadaan tereksitasi ke keadaan dasar disertai dengan emisi sinar gamma, sedangkan komposisi inti tidak berubah.

Di udara, sinar gamma merambat dalam jarak jauh, diukur dalam puluhan dan ratusan meter.

Daya tembus sinar gamma 50-100 kali lebih besar dari daya tembus partikel beta dan ribuan kali lebih besar dari daya tembus partikel alfa.

Ionisasi media selama perjalanan sinar gamma melaluinya: hanya dengan elektron sekunder yang muncul sebagai hasil interaksi kuanta gamma dengan atom materi. Kemampuan ionisasi gamma kuanta ditentukan oleh energinya. Secara umum, satu kuantum gamma memberikan pasangan ion sebanyak partikel beta atau alfa dengan energi yang sama. Namun, karena penyerapan sinar gamma yang lebih rendah, ion yang mereka bentuk didistribusikan pada jarak yang lebih jauh. Oleh karena itu, daya pengion spesifik sinar gamma ratusan kali lebih kecil daripada daya pengion spesifik partikel beta, ribuan kali lebih kecil dari daya pengion spesifik partikel alfa dan berjumlah beberapa pasang ion di udara per 1 cm jalur.

Kesimpulan. Radiasi gamma memiliki daya tembus paling tinggi dibandingkan dengan daya tembus jenis radiasi radioaktif lainnya. Pada saat yang sama, radiasi gamma memiliki kapasitas pengion spesifik yang sangat rendah, sebesar beberapa pasang ion di udara per 1 cm jalur sinar gamma.

Radiasi neutron dan sifat utamanya

Radiasi neutron adalah radiasi sel yang terjadi pada proses pembelahan atau peleburan inti.

Neutron memiliki efek merusak yang kuat, karena mereka, tidak memiliki muatan listrik, dengan mudah menembus ke dalam inti atom yang membentuk jaringan hidup dan ditangkap oleh mereka.

Lebih dari 99% dari jumlah total neutron dalam ledakan nuklir dilepaskan dalam waktu 10 -14 s. Neutron ini disebut prompt. Sisanya (sekitar 1%) neutron dipancarkan kemudian oleh beberapa fragmen fisi selama peluruhan beta mereka. Neutron ini disebut tertunda.

Kecepatan rambat neutron mencapai 20.000 km/jam. Waktu yang diperlukan oleh semua neutron untuk menempuh jarak dari titik ledakan ke tempat di mana mereka menimbulkan ancaman kehancuran adalah sekitar satu detik setelah momen ledakan.

Berdasarkan energinya, neutron diklasifikasikan sebagai berikut:

neutron lambat 0-0.1 keV;

neutron energi menengah 0,1-20 keV;

neutron cepat 20 keV-10 MeV;

neutron energi tinggi lebih dari 10 MeV.

Neutron termal - neutron yang berada dalam kesetimbangan termal dengan lingkungan (dengan energi tidak melebihi 1 eV), termasuk dalam wilayah neutron lambat.

Lintasan neutron melalui materi disertai dengan melemahnya intensitasnya. Pelemahan ini disebabkan oleh interaksi neutron dengan inti atom materi.

radiasi sinar-x

Sinar-X dihasilkan ketika elektron cepat membombardir target padat. Tabung sinar-X adalah balon yang dievakuasi dengan beberapa elektroda (Gbr. 1.2). Katoda K yang dipanaskan saat ini berfungsi sebagai sumber elektron bebas yang dipancarkan karena emisi termionik. Elektroda silinder Z dirancang untuk memfokuskan berkas elektron.

Targetnya adalah anoda A, yang juga disebut antikatoda. Terbuat dari logam berat (W, C. Pt, dll.). Elektron dipercepat oleh tegangan tinggi yang dihasilkan antara katoda dan antikatoda. Hampir semua energi elektron dilepaskan pada antikatoda dalam bentuk panas (hanya 1-3% energi yang diubah menjadi radiasi).

Begitu berada di zat antikatoda, elektron mengalami perlambatan yang kuat dan menjadi sumber gelombang elektromagnetik.

Pada kecepatan elektron yang cukup tinggi, selain bremsstrahlung (yaitu, radiasi yang disebabkan oleh perlambatan elektron), radiasi karakteristik juga tereksitasi (disebabkan oleh eksitasi kulit elektron dalam atom antikatoda).

Intensitas radiasi sinar-X dapat diukur baik dengan derajat aksi fotografis maupun dengan ionisasi yang dihasilkannya dalam media gas, khususnya di udara. * Semakin intens radiasi, semakin banyak ionisasi yang dihasilkannya. Menurut mekanisme interaksi dengan materi, sinar-x mirip dengan radiasi-y. Panjang gelombang radiasi sinar-X adalah 10 -10 -10 -6 cm, radiasi gamma -10-9 cm ke bawah.

Saat ini, sinar-x digunakan sebagai alat kontrol. Dengan bantuan sinar-x, mereka mengontrol kualitas pengelasan, keseragaman produk yang sesuai, dll. Dalam pengobatan, sinar-x banyak digunakan untuk diagnosis, dan dalam beberapa kasus sebagai sarana untuk mempengaruhi sel kanker.

Kuliah No. 11 (2 kuliah bisa dilakukan)

FUNGSI GAMMA, fungsi G, adalah fungsi transendental T(z) yang menyebarkan nilai faktorial z! untuk kasus sembarang kompleks z 0, -1, -2, .... G.-f. diperkenalkan oleh L. Euler [(L. Euler), 1729, surat kepada Ch. Goldbach] menggunakan produk tak hingga

dari mana L. Euler memperoleh representasi integral (integral Euler jenis kedua)

benar untuk Re z > 0. Polisemi fungsi x z-1 dihilangkan dengan rumus x z-1 = e (z-1)ln x dengan ln x nyata. Penunjukan (z) dan nama. G.-f. diusulkan oleh A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

Pada seluruh bidang-z dengan titik-titik terlontar z = 0, -1, -2, ... untuk G.-f. representasi integral Hankel valid:

di mana s z-1 = e (z-1)ln s , dan ln s adalah cabang dari logaritma, di mana 0

Hubungan dasar dan sifat-sifat G.-f.

1) Persamaan fungsi Euler:

zГ(z) = (z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, jika n > 0 adalah bilangan bulat, sambil menghitung 0! = (1) = 1.

2) rumus komplemen Euler:

(z)Г(1 - z) = /sin z.

Secara khusus,

jika n > 0 adalah bilangan bulat, maka

y itu nyata.

3) Rumus perkalian Gauss:

Untuk m = 2, ini adalah rumus penggandaan Legendre.

4) Ketika Re z > 0 atau |Im z| > 0, asimtotik ekspansi ln (z) dalam deret Stirling:

dimana B2n adalah bilangan Bernoulli. Apa yang dimaksud dengan kesetaraan?

Secara khusus,

Lebih akurat adalah rumus Sonin:

5) Di area nyata G(x) > 0 untuk x > 0 dan mengambil tanda (-1) k + 1 pada bagian -k - 1

"" > " 2 0,

yaitu, semua cabang baik |Г(x)| dan ln |Г(х)| adalah fungsi cembung. Properti ini logaritmik. konveksitas menentukan G.-f. di antara semua solusi persamaan fungsional

G(1 + x) = xG(x)

sampai faktor konstan.

Beras. 2. Grafik fungsi y \u003d G (x).

Untuk x positif H.-f. memiliki minimum tunggal pada x = 1,4616321... sama dengan 0,885603... . Minimum lokal dari fungsi |Г(х)| sebagai x → -∞ mereka membentuk barisan yang cenderung ke nol.

Beras. 3. Grafik fungsi 1/Г(x).

6) Dalam domain kompleks, untuk Re z > 0, G.-f. menurun dengan cepat sebagai |Im z| → -∞

7) Fungsi 1/Г(z) (lihat Gambar 3) adalah seluruh fungsi tipe maksimum orde 1, dan secara asimtotik sebagai →

log (r) ~ r log r,

Ini dapat diwakili oleh produk Weierstrass tak terbatas:

konvergen mutlak dan seragam pada setiap himpunan kompak dari bidang kompleks (di sini konstanta C-Euler). Representasi Hankel integral adalah valid:

di mana sirkuit C * ditunjukkan pada gambar. 4.

Representasi integral untuk derajat G.-f. diperoleh oleh G. F. Vorony.

Dalam aplikasi, yang disebut fungsi poligami yang merupakan turunan ke-k dari ln (z). Fungsi (fungsi -Gauss)

bersifat meromorfik, memiliki kutub sederhana pada titik z = 0,-1,_-2, ... dan memenuhi persamaan fungsional

(z + 1) - (z) = 1/z.

Dari representasi (z) untuk |z|

rumus ini berguna untuk menghitung (z) di sekitar titik z = 1.

Untuk fungsi poligami lainnya, lihat . Fungsi gamma yang tidak lengkap didefinisikan oleh persamaan

Fungsi (z), (z) adalah fungsi transendental yang tidak memenuhi persamaan diferensial linier dengan koefisien rasional (teorema Hölder).

Peran eksklusif G.-f. dalam matematika. analisis ditentukan oleh fakta bahwa dengan bantuan G.-f. sejumlah besar integral tertentu, produk tak hingga, dan jumlah deret dinyatakan (lihat, misalnya, fungsi Beta). Selain itu, G.-f. menemukan aplikasi luas dalam teori fungsi khusus (fungsi hipergeometrik, di mana G.-f. adalah kasus pembatas, fungsi silinder, dll.), dalam analitik. teori bilangan, dll.

Lit.: Whittaker E. T., Watson J. N., A course in modern analysis, trans. dari bahasa Inggris, vol.2, edisi ke-2., M., 1963; Bateman G., Erdeyi A., Fungsi transendental yang lebih tinggi Fungsi hipergeometrik. Fungsi Legendre, trans. dari bahasa Inggris, M., 1965; Bourbaki N., Fungsi dari variabel nyata. Teori Dasar, terjemahan. dari Prancis, Moskow, 1965; Analisis matematika. Fungsi, Batas, Deret, Pecahan Lanjutan, (Referensi Pustaka Matematika), M., 1961; Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Studi tentang fungsi silinder dan polinomial khusus, Moskow, 1954; Voronoi G.F., Sobr. soch., vol.2, K., 1952, hal. 53-62; Janke E., Emde F., Lesh F., Fungsi khusus. Rumus, grafik, tabel, trans. dari Jerman, edisi ke-2., M., 1968; Ango A., Matematika untuk insinyur listrik dan radio, trans. dari Perancis, edisi ke-2., M., 1967.

L.P. Kuptsov.

Sumber:

Ensiklopedia Matematika. T.1 (A - D). Ed. collegium: I. M. Vinogradov (kepala editor) [dan lainnya] - M., "Ensiklopedia Soviet", 1977, 1152 stb. dari sakit.

Catatan penjelasan tugas mata kuliah ini dibuat sebanyak 36 lembar. Ini berisi tabel nilai fungsi gamma untuk beberapa nilai variabel dan teks program untuk menghitung nilai fungsi gamma dan untuk plot, serta 2 angka.

7 sumber digunakan untuk menulis makalah.

pengantar

Alokasikan kelas fungsi khusus, yang dapat direpresentasikan dalam bentuk integral wajar atau tidak wajar, yang tidak hanya bergantung pada variabel formal, tetapi juga pada parameter.

Fungsi seperti ini disebut integral tak bergantung parameter. Ini termasuk fungsi gamma dan beta Euler.

Fungsi beta diwakili oleh integral Euler jenis pertama:

Fungsi gamma diwakili oleh integral Euler jenis kedua:

Fungsi gamma adalah salah satu fungsi khusus yang paling sederhana dan paling signifikan, pengetahuan tentang sifat-sifat yang diperlukan untuk mempelajari banyak fungsi khusus lainnya, misalnya, silinder, hipergeometrik, dan lainnya.

Berkat pengenalannya, kemampuan kami dalam menghitung integral meningkat secara signifikan. Bahkan dalam kasus di mana rumus akhir tidak mengandung fungsi selain fungsi dasar, memperolehnya masih sering mempermudah penggunaan fungsi , setidaknya dalam perhitungan perantara.

Integral Euler adalah fungsi non-dasar yang dipelajari dengan baik. Masalah dianggap terpecahkan jika direduksi menjadi perhitungan integral Euler.

1. Fungsi beta saya euler

Fungsi beta ditentukan oleh integral Euler jenis pertama:

=(1.1)

Ini mewakili fungsi dari dua parameter variabel

dan : fungsi B. Jika parameter ini memenuhi kondisi dan , maka integral (1.1) akan menjadi integral tak wajar tergantung pada parameter dan , dan titik singular integral ini akan menjadi titik dan

Integral (1.1) konvergen untuk

.Dengan asumsi kita mendapatkan: = -

yaitu argumen

dan masuk secara simetris. Mempertimbangkan identitas

dengan rumus integrasi yang kita miliki

Dimana kita mendapatkan?

Untuk bilangan bulat b = n, berturut-turut menerapkan (1.2)

untuk bilangan bulat

= m,= n, kita memiliki

tapi B(1,1) = 1, jadi:

Kami memasukkan (1.1)

.Sejak grafik fungsi

simetris terhadap garis lurus, maka

dan sebagai hasil dari substitusi

, kita mendapatkan

pengaturan di (1.1)

, dari mana , kita peroleh

membagi integral dengan dua mulai dari 0 hingga 1 dan dari 1 hingga

dan menerapkan substitusi ke integral kedua, kita mendapatkan

2. Fungsi gamma

2.1 Definisi

Tanda seru dalam karya matematika biasanya berarti mengambil faktorial dari beberapa bilangan bulat non-negatif:

n! = 1 2 3 ... n.

Fungsi faktorial juga dapat ditulis sebagai relasi rekursi:

(n+1)! = (n+1) n!.

Relasi ini dapat dianggap tidak hanya untuk nilai integer n.

Perhatikan persamaan selisih

Meskipun notasinya sederhana, persamaan ini tidak dapat diselesaikan dalam fungsi dasar. Solusinya disebut fungsi gamma. Fungsi gamma dapat ditulis sebagai deret atau integral. Untuk mempelajari sifat global dari fungsi gamma, representasi integral biasanya digunakan.

2.2 representasi integral

Mari kita lanjutkan untuk memecahkan persamaan ini. Kami akan mencari solusi dalam bentuk integral Laplace:

Dalam hal ini, ruas kanan persamaan (2.1) dapat ditulis sebagai:

Rumus ini berlaku jika ada batasan untuk suku non-integral. Kita tidak mengetahui sebelumnya perilaku gambar [(G)\tilde](p) sebagai p®±¥. Mari kita asumsikan bahwa gambar fungsi gamma sedemikian rupa sehingga suku di luar integral sama dengan nol. Setelah solusi ditemukan, perlu untuk memeriksa apakah asumsi tentang suku non-integral benar, jika tidak, kita harus mencari G(z) dengan cara lain.

abstrak

Tujuan dari tugas mata kuliah ini adalah untuk mempelajari sifat-sifat khusus dari fungsi Euler Gamma. Selama pekerjaan, fungsi Gamma, properti utamanya dipelajari, dan algoritma perhitungan disusun dengan berbagai tingkat akurasi. Algoritme ditulis dalam bahasa tingkat tinggi - C. Hasil program dibandingkan dengan tabel. Tidak ada perbedaan yang ditemukan dalam nilai-nilai.

7 sumber digunakan untuk menulis makalah.

pengantar

Alokasikan kelas fungsi khusus, yang dapat direpresentasikan dalam bentuk integral wajar atau tidak wajar, yang tidak hanya bergantung pada variabel formal, tetapi juga pada parameter.

Fungsi seperti ini disebut integral tak bergantung parameter. Ini termasuk fungsi gamma dan beta Euler.

Fungsi beta diwakili oleh integral Euler jenis pertama:

Fungsi gamma diwakili oleh integral Euler jenis kedua:

Integral Euler adalah fungsi non-dasar yang dipelajari dengan baik. Masalah dianggap terpecahkan jika direduksi menjadi perhitungan integral Euler.

1. Fungsi beta saya euler

Fungsi beta ditentukan oleh integral Euler jenis pertama:

Ini mewakili fungsi dari dua parameter variabel dan: fungsi B. Jika parameter ini memenuhi kondisi dan , maka integral (1.1) akan menjadi integral tak wajar tergantung pada parameter dan , dan titik singular integral ini akan menjadi titik dan

Integral (1.1) konvergen di .Dengan asumsi kita mendapatkan:

= - =

yaitu argumen dan masukkan secara simetris. Mempertimbangkan identitas

dengan rumus integrasi yang kita miliki

Dimana kita mendapatkan?

Untuk bilangan bulat b = n, berturut-turut menerapkan (1.2)

untuk bilangan bulat = m,= n, kita memiliki

tapi B(1,1) = 1, jadi:

Kami memasukkan (1.1) .Sejak grafik fungsi simetris terhadap garis lurus, maka

dan sebagai hasil dari substitusi, kita mendapatkan

dengan asumsi (1.1) , dari mana , kita dapatkan

membagi integral dengan dua dalam kisaran dari 0 hingga 1 dan dari 1 ke dan menerapkan integral substitusi ke integral kedua, kita dapatkan

2. Fungsi gamma

2.1 Definisi

Tanda seru dalam karya matematika biasanya berarti mengambil faktorial dari beberapa bilangan bulat non-negatif:

n! = 1 2 3 ... n.

Fungsi faktorial juga dapat ditulis sebagai relasi rekursi:

(n+1)! = (n+1) n!.

Relasi ini dapat dianggap tidak hanya untuk nilai integer n.

Perhatikan persamaan selisih

2.2 representasi integral

Mari kita lanjutkan untuk memecahkan persamaan ini. Kami akan mencari solusi dalam bentuk integral Laplace:

Dalam hal ini, ruas kanan persamaan (2.1) dapat ditulis sebagai:

Ruas kiri persamaan (2.1) ditulis sebagai berikut:

Maka persamaan (2.1) untuk citra fungsi gamma berbentuk:

Persamaan ini mudah diselesaikan:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi yang ditemukan [(Γ)\tilde](p) sebenarnya sedemikian rupa sehingga suku non-integral dalam rumus (2.2) sama dengan nol.

Mengetahui gambar fungsi gamma, mudah untuk mendapatkan ekspresi untuk gambar awal:

Ini adalah formula non-kanonik, untuk membawanya ke bentuk yang diperoleh Euler, perlu mengubah variabel integrasi: t = exp(-p), maka integralnya akan berbentuk:

Konstanta C dipilih sehingga untuk nilai integer z fungsi gamma bertepatan dengan fungsi faktorial: (n+1) = n!, maka:

maka C = 1. Akhirnya, kami memperoleh rumus Euler untuk fungsi gamma:

Fungsi ini sangat umum dalam teks matematika. Saat bekerja dengan fungsi khusus, bahkan mungkin lebih sering daripada tanda seru.

Anda dapat memeriksa bahwa fungsi yang didefinisikan oleh rumus (2.3) benar-benar memenuhi persamaan (2.1) dengan mengintegrasikan integral di ruas kanan rumus ini dengan bagian:

2.3 Domain dan kutub

Dalam integral integral (2.3) di , eksponen exp( -tz) untuk R( z) > 0 berkurang jauh lebih cepat daripada fungsi aljabar tumbuh t(z-1) . Singularitas di nol dapat diintegralkan, sehingga integral tak wajar pada (2.3) konvergen secara mutlak dan seragam untuk R (z) > 0. Selain itu, dengan diferensiasi berurutan terhadap parameter z mudah untuk memverifikasi bahwa G( z) adalah fungsi holomorfik untuk R ( z) > 0. Namun, ketidaksesuaian representasi integral (2.3) untuk R ( z) 0 tidak berarti bahwa fungsi gamma itu sendiri tidak didefinisikan di sana - solusi persamaan (2.1).

Mari kita perhatikan perilaku (z) di lingkungan nol. Untuk melakukan ini, mari kita bayangkan:

di mana adalah fungsi holomorfik di lingkungan z = 0. Dari rumus (2.1) berikut ini:

yaitu, (z) memiliki kutub orde pertama di z = 0.

Untuk mendapatkannya juga mudah:

yaitu, di sekitar titik, fungsi ( z) juga memiliki kutub orde pertama.

Dengan cara yang sama, Anda bisa mendapatkan rumus:

Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa titik-titik z = 0,-1,-2,... adalah kutub sederhana dari fungsi gamma dan fungsi ini tidak memiliki kutub lain pada sumbu nyata. Sangat mudah untuk menghitung residu pada titik z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Representasi Hankel melalui integral loop

Cari tahu apakah fungsi gamma memiliki nol. Untuk melakukan ini, pertimbangkan fungsinya

Kutub fungsi ini adalah nol dari fungsi (z).

Persamaan perbedaan untuk I( z) mudah diperoleh dengan menggunakan ekspresi untuk ( z):

Ekspresi untuk menyelesaikan persamaan ini dalam bentuk integral dapat diperoleh dengan cara yang sama seperti ekspresi integral untuk fungsi gamma yang diperoleh - melalui transformasi Laplace. Berikut perhitungannya, keduanya tidak sama dengan paragraf 1) Dan integralnya adalah poin ____________________________________________________________________________

Setelah memisahkan variabel, kita mendapatkan:

Setelah mengintegrasikan kita mendapatkan:

Melewati ke pragambar Laplace memberikan:

Dalam integral yang dihasilkan, kami membuat perubahan variabel integrasi:

Kemudian

Penting untuk dicatat di sini bahwa integran untuk nilai noninteger z memiliki titik cabang t= 0. Pada bidang kompleks variabel t Mari kita menggambar potongan di sepanjang semiaxis real negatif. Kami menyatakan integral di sepanjang semisumbu ini sebagai jumlah integral di sepanjang sisi atas bagian ini dari ke 0 dan integral dari 0 ke sepanjang sisi bawah bagian ini. Agar integral tidak melewati titik cabang, kami mengatur loop di sekitarnya.

Fig1: Loop dalam representasi Hankel integral.

Hasilnya, kita mendapatkan:

Untuk mengetahui nilai konstanta, ingat bahwa I(1) = 1, di sisi lain:

representasi integral

disebut representasi Hankel sehubungan dengan loop.

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi 1/Γ( z) tidak memiliki kutub pada bidang kompleks, maka fungsi gamma tidak memiliki nol.

Dengan menggunakan representasi integral ini, seseorang dapat memperoleh rumus untuk produk fungsi gamma. Untuk melakukan ini, dalam integral kita akan membuat perubahan variabel , maka:

2.5 Bentuk batas Euler

Fungsi gamma dapat direpresentasikan sebagai produk tak hingga. Hal ini dapat dilihat jika pada integral (2.3) kita nyatakan

Maka representasi integral dari fungsi gamma adalah:

Pada rumus ini kita dapat mengubah limit – limit integral pada integral tak wajar dan limit dalam integral. Inilah hasilnya:

Mari kita ambil integral ini dengan bagian:

Jika kita melakukan prosedur ini n kali, kita mendapatkan:

Melewati batas, kami memperoleh bentuk batas Euler untuk fungsi gamma:

2.6 Formula untuk produk

Di bawah ini kita membutuhkan rumus di mana produk dari dua fungsi gamma diwakili melalui satu fungsi gamma. Kami menurunkan rumus ini menggunakan representasi integral dari fungsi gamma.

Kami mewakili integral berulang sebagai integral tak wajar ganda. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan teorema Fubini. Hasilnya, kita mendapatkan:

Integral tak wajar konvergen seragam. Ini dapat dianggap, misalnya, sebagai integral pada segitiga yang dibatasi oleh sumbu koordinat dan garis lurus x + y = R di R. Dalam integral ganda, kita membuat perubahan variabel:

Jacobian pengganti ini

Batas integrasi: kamu berubah dari 0 menjadi , v saat mengubah dari 0 ke 1. Hasilnya, kami mendapatkan:

Kami menulis ulang integral ini lagi sebagai yang berulang, sebagai hasilnya kami mendapatkan:

dimana R p> 0, R v > 0.

2. Turunan dari fungsi gamma

Integral

konvergen untuk setiap , karena , dan integral di konvergen.

Di daerah di mana adalah bilangan positif arbitrer, integral ini konvergen seragam, karena dan kita dapat menerapkan uji Weirstrass. Integral keseluruhan juga konvergen untuk semua nilai karena suku kedua di ruas kanan adalah integral yang pasti konvergen untuk sembarang. Sangat mudah untuk melihat bahwa integral tersebut konvergen pada sembarang domain mana sewenang-wenang. Berlaku untuk semua nilai yang ditentukan dan untuk semua , dan karena konvergen, maka kondisi kriteria Weierstrass terpenuhi. Jadi, di daerah integral konvergen secara merata.

Ini menyiratkan kontinuitas fungsi gamma di. Mari kita buktikan diferensiabilitas fungsi ini di . Perhatikan bahwa fungsi kontinu untuk dan, dan kami menunjukkan bahwa integral:

konvergen secara seragam pada setiap segmen, . Mari kita memilih nomor sehingga ; maka untuk . Oleh karena itu, ada bilangan sedemikian rupa sehingga dan untuk. Tetapi pertidaksamaan berlaku untuk

dan karena integralnya konvergen, integralnya konvergen seragam terhadap . Demikian pula, karena ada bilangan sedemikian rupa sehingga untuk semua pertidaksamaan . Dengan ini dan semua yang kita dapatkan , dimana, berdasarkan kriteria perbandingan, maka integral konvergen seragam terhadap . Akhirnya integral

di mana integran kontinu dalam domain

Jelas, konvergen seragam terhadap . Jadi, untuk integral

konvergen seragam, dan, akibatnya, fungsi gamma terdiferensiasi tak terhingga untuk setiap dan persamaan

Mengenai integral, kita dapat mengulangi alasan yang sama dan menyimpulkan bahwa

Terbukti dengan induksi bahwa fungsi terdiferensial tak terhingga dan turunan ke-i memenuhi persamaan

Sekarang mari kita mempelajari perilaku - fungsi dan membuat sketsa grafiknya. (Lihat Lampiran 1)

Hal ini dapat dilihat dari ekspresi untuk turunan kedua dari -fungsi yaitu untuk semua . Oleh karena itu, meningkat. Karena , maka, dengan teorema Peran pada segmen, turunan untuk dan untuk , yaitu, berkurang secara monoton dan meningkat secara monoton pada . Selanjutnya, karena , kemudian di . Untuk , itu mengikuti dari rumus bahwa untuk .

Persamaan , valid untuk , dapat digunakan saat memperluas fungsi - ke nilai negatif.

Mari kita lakukan untuk itu . Ruas kanan persamaan ini didefinisikan untuk dari (-1,0) . Kami mendapatkan bahwa fungsi dilanjutkan dengan cara ini mengambil (-1,0) nilai negatif dan pada , serta pada fungsi .

Setelah didefinisikan dengan cara ini pada , kita dapat melanjutkannya ke interval (-2,-1) menggunakan rumus yang sama. Pada interval ini, kelanjutan akan menjadi fungsi yang mengambil nilai positif sehingga untuk dan . Melanjutkan proses ini, kami mendefinisikan fungsi yang memiliki diskontinuitas pada titik-titik integer (Lihat Lampiran 1.)

Perhatikan lagi bahwa integral

mendefinisikan fungsi hanya untuk nilai positif dari , kelanjutan ke nilai negatif dilakukan oleh kami secara formal menggunakan rumus reduksi .

4. Perhitungan beberapa integral.

Formula pengadukan

Mari kita terapkan fungsi gamma pada perhitungan integral:

di mana m > -1,n > -1. Dengan asumsi bahwa , kita memiliki

dan berdasarkan (2.8) kita memiliki

Dalam integral

Dimana k > -1,n > 0, cukup untuk menempatkan

Integral

Dimana s > 0, ekspansi secara seri

di mana fungsi zetta Riemann

Pertimbangkan fungsi gamma yang tidak lengkap (fungsi Prim)

terikat oleh ketidaksetaraan

Memperluas, berturut-turut kami memiliki

Beralih ke turunan rumus Stirling, yang memberikan, khususnya, nilai perkiraan n! untuk nilai n yang besar, pertimbangkan terlebih dahulu fungsi bantu

(4.2)

Kontinu pada interval (-1,) secara monoton meningkat dari ke ketika berubah dari ke dan berubah menjadi 0 pada u = 0. Sejak

Jadi turunannya kontinu dan positif di seluruh interval, memenuhi kondisi

Maka dari atas bahwa ada fungsi invers yang didefinisikan pada interval yang kontinu dan meningkat secara monoton dalam interval ini,

Beralih ke 0 pada v=0 dan memenuhi kondisi

Kami mendapatkan rumus Stirling dari persamaan

dengan asumsi kita memiliki

dengan asumsi pada akhirnya, kita mendapatkan

dalam batas di yaitu di (lihat 4.3)

dari mana rumus Stirling berasal?

yang dapat diambil dalam bentuk

dimana

untuk misalkan cukup besar

perhitungannya menggunakan logaritma

jika bilangan bulat positif, maka (4,5) juga berubah menjadi rumus perkiraan untuk menghitung faktorial untuk nilai besar n

kami memberikan tanpa derivasi formula yang lebih tepat

di mana dalam kurung adalah deret yang tidak konvergen.

5. Contoh menghitung integral

Rumus yang dibutuhkan untuk menghitung:

G()

Hitung Integral

BAGIAN PRAKTIS

Untuk menghitung fungsi gamma, pendekatan logaritma digunakan. Untuk mendekati fungsi gamma pada interval x>0, rumus berikut digunakan (untuk kompleks z):

(z+1)=(z+g+0,5) z+0,5 exp(-(z+g+0,5))

Rumus ini mirip dengan aproksimasi Stirling, tetapi memiliki deret koreksi. Untuk nilai g=5 dan n=6, diperiksa kesalahannya ε tidak melebihi 2*10 -10 . Selain itu, kesalahan tidak melebihi nilai ini di seluruh bagian kanan bidang kompleks: z > 0.

Untuk mendapatkan fungsi gamma (nyata) pada interval x>0, digunakan rumus rekursif (z+1)=zГ(z) dan aproksimasi di atas (z+1). Selain itu, dapat dilihat bahwa lebih mudah untuk memperkirakan logaritma fungsi gamma daripada fungsi gamma itu sendiri. Pertama, ini akan membutuhkan memanggil hanya satu fungsi matematika - logaritma, dan bukan dua - eksponen dan derajat (yang terakhir masih menggunakan panggilan logaritma), dan kedua, fungsi gamma berkembang pesat untuk x besar, dan pendekatan dengan logaritma menghilangkan masalah overflow.

Untuk memperkirakan Ln(Г(х) - logaritma fungsi gamma - rumus diperoleh:

log(G(x))=(x+0,5)log(x+5,5)-(x+5,5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Nilai koefisien ck- data tabular (lihat di program).

Fungsi gamma itu sendiri diperoleh dari logaritmanya dengan mengambil eksponen.

Kesimpulan

Fungsi gamma adalah alat yang mudah digunakan untuk menghitung beberapa integral, khususnya banyak integral yang tidak dapat direpresentasikan dalam fungsi dasar.

Karena itu, mereka banyak digunakan dalam matematika dan aplikasinya, dalam mekanika, termodinamika, dan cabang ilmu pengetahuan modern lainnya.

Bibliografi

1. Fungsi khusus dan aplikasinya:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Analisis matematis bagian 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M., "Universitas Moskow", 1987

3. Kumpulan masalah dalam analisis matematis:

Demidovich B.P., M., Nauka, 1966

4. Integral dan deret fungsi khusus:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Fitur Khusus:

Kuznetsov, M.,"Sekolah Menengah", 1965

6. Asimtotik dan fungsi khusus

F. Olver, M., Nauka, 1990.

7. Kebun binatang monster atau pengenalan fitur khusus

O.M. Kiselev,

APLIKASI

Lampiran 1 - Grafik fungsi gamma dari variabel nyata

Lampiran 2 - Grafik Fungsi Gamma

Tabel - tabel nilai fungsi gamma untuk beberapa nilai argumen.

Lampiran 3 adalah daftar program yang menggambar tabel nilai fungsi gamma untuk beberapa nilai argumen.

Lampiran 4 - daftar program yang menggambar grafik fungsi gamma

Abstrak................................................. ...................................................3

Pendahuluan ................................................. . ........................................................4

Bagian teoretis…………………………………………………….5

Fungsi Beta Euler……………………………………………….5

Fungsi gama................................................................. ... ................................... delapan

2.1. Definisi ………………………………………………………….8

2.2. Representasi integral………………………………8

2.3. Domain definisi dan kutub…………………………..10

2.4. Representasi Hankel dalam integral loop………..10

2.5. Bentuk batas Euler……………………………….12

2.6. Rumus produk………………………………..13

Turunan dari fungsi gamma .................................................. ............. ............. lima belas

Perhitungan integral. Formula Pengadukan .................................18

Contoh perhitungan integral .................................................. .................. ......23

Bagian praktis…………………………………………………….24

Kesimpulan................................................. .........................................25

Referensi………………………………………………………..26

Lamaran………………………………………………………………..27

LAMPIRAN 1

Grafik fungsi gamma dari variabel nyata

LAMPIRAN 2

Grafik fungsi gamma

MEJA

X	g(x)

LAMPIRAN 3

#termasuk

kopi ganda statis=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

ganda GammLn (ganda x) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0,5)*log(x+5,5)-(x+5,5)+lg1;

Gamma ganda(x ganda) (

kembali(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

untuk(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0,5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

LAMPIRAN 4

#termasuk

gam ganda (x ganda, eps ganda)

Int I, j, n, nb;

Dze ganda=(1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Gandakan a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf("Data yang anda masukkan salah, silahkan coba lagi\n"); kembali -1.0;

Jika(a==0) kembalikan fc;

Untuk(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

Untuk(n=1;n<=nb;n++)

Untuk(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1.0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

Gandakan dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETEKSI, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Baris(30, getmaxy()-10,30,30);

Baris (20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)sementara (Y>30);

)sementara (X<700);

)sementara (X<=620);

)sementara (y>=30);

X=30+150.0*0.1845;

Untuk9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

Jika (Y<30) continue;

X=30+150.0*308523;

baris(30,30,30,10);

Baris (620.450.640.450);

Baris(30,10,25,15);

Baris (640.450.635.445);

Baris (640.450.635.455);

Baris(170.445.170.455);

Baris (320.445.320.455);

Baris(470.445.470.455);

Baris (620.445.620.455);

Baris (25.366.35.366);

Baris(25.282.35.282);

Baris (25,114,35,114);

Baris(25,30,35,30);

Outtexty(20.465,"0");

Outtexty(165.465, "1";

Outtexty(315.465, "2";

Outtexty(465.465, "3";

Outtexty(615.465, "4";

Outtexty(630.465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15.280, "2";

Outtexty(15.196, "3";

Outtexty(15.112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Secara eksperimental telah ditetapkan bahwa radiasi-g (lihat 255) bukanlah bentuk radioaktivitas independen, tetapi hanya menyertai peluruhan a dan b dan juga muncul selama reaksi nuklir, selama perlambatan partikel bermuatan, peluruhannya, dll. g-spektrum dilapisi. Spektrum-g adalah distribusi energi dari jumlah g-kuanta (interpretasi yang sama dari spektrum-b diberikan dalam 258). Keterpisahan spektrum-g merupakan hal yang sangat penting, karena ini merupakan bukti keterpisahan keadaan energi inti atom.

Sekarang telah dipastikan bahwa radiasi-g dipancarkan oleh inti anak perempuan (bukan ibu). Inti anak pada saat pembentukannya, sedang tereksitasi, masuk ke keadaan dasar dengan emisi radiasi g dalam waktu sekitar 10 -13 - 10 -14 s, yang jauh lebih pendek daripada masa hidup atom tereksitasi. (sekitar 10 -8 detik). Kembali ke keadaan dasar, nukleus yang tereksitasi dapat melewati sejumlah keadaan peralihan, sehingga radiasi-g dari isotop radioaktif yang sama dapat mengandung beberapa kelompok g-kuanta, yang berbeda satu sama lain dalam energinya.

Dengan radiasi-g TETAPI dan Z kernel tidak berubah, sehingga tidak dijelaskan oleh aturan perpindahan apa pun. Radiasi g dari sebagian besar inti memiliki panjang gelombang yang sangat pendek sehingga sifat gelombangnya sangat lemah. Di sini, sifat sel muncul ke permukaan, jadi radiasi-g dianggap sebagai aliran partikel - g-kuanta. Selama peluruhan radioaktif dari berbagai inti, g-kuanta memiliki energi dari 10 keV hingga 5 MeV.

Nukleus, yang dalam keadaan tereksitasi, dapat masuk ke keadaan dasar tidak hanya dengan memancarkan g-kuantum, tetapi juga dengan langsung mentransfer energi eksitasi (tanpa emisi g-kuantum sebelumnya) ke salah satu elektron dari atom yang sama. Dalam hal ini, apa yang disebut elektron konversi dipancarkan. Fenomena itu sendiri disebut konversi internal. Konversi internal adalah proses yang bersaing dengan g-radiasi.

Elektron konversi sesuai dengan nilai energi diskrit, tergantung pada fungsi kerja elektron dari kulit tempat elektron keluar, dan pada energi E , diberikan oleh inti selama transisi dari keadaan tereksitasi ke keadaan dasar. Jika semua energi E dilepaskan dalam bentuk kuantum y, maka frekuensi radiasi v ditentukan dari hubungan yang diketahui E=hv . Jika mereka memancarkan L elektron konversi internal, maka energi mereka sama dengan E-A K, E-A L, ..., di mana A k, A L, ... adalah fungsi kerja elektron dari K - dan kulit L. Sifat monoenergetik elektron konversi memungkinkan untuk membedakannya dari b-elektron, yang spektrumnya kontinu (lihat 258). Kekosongan pada kulit bagian dalam atom yang timbul sebagai akibat dari emisi elektron akan diisi dengan elektron dari kulit di atasnya. Oleh karena itu, konversi internal selalu disertai dengan emisi sinar-X karakteristik.

G-quanta, yang memiliki massa diam nol, tidak dapat melambat dalam suatu medium, oleh karena itu, ketika radiasi-g melewati materi, mereka diserap atau dihamburkan olehnya. g-quanta tidak membawa muatan listrik dan karenanya tidak mengalami pengaruh gaya Coulomb. Ketika seberkas y-quanta melewati suatu zat, energinya tidak berubah, tetapi sebagai akibat dari tumbukan, intensitasnya melemah, perubahannya dijelaskan oleh hukum eksponensial x, m - koefisien penyerapan). Karena radiasi-g adalah radiasi yang paling menembus, m untuk banyak zat adalah nilai yang sangat kecil; m bergantung pada sifat materi dan energi g-kuanta.

g-quanta, melewati zat, dapat berinteraksi baik dengan kulit elektron atom zat, dan dengan inti mereka. Dalam elektrodinamika kuantum, terbukti bahwa proses utama yang menyertai perjalanan radiasi g melalui materi adalah efek fotolistrik, efek Compton (hamburan Compton), dan pembentukan pasangan elektron-positron.

Efek fotolistrik, atau penyerapan fotolistrik sinar-g, adalah proses di mana atom menyerap kuantum-g dan memancarkan elektron. Karena elektron dikeluarkan dari salah satu kulit bagian dalam atom, ruang kosong diisi dengan elektron dari kulit di atasnya, dan efek fotolistrik disertai dengan karakteristik radiasi sinar-X. Efek fotolistrik adalah mekanisme penyerapan dominan di wilayah energi rendah g-quanta (E g< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

Ketika energi g-quanta meningkat (E g » 0,5 MeV), kemungkinan efek fotolistrik sangat kecil, dan mekanisme utama interaksi g-quanta dengan materi adalah hamburan Compton (lihat 206).

Ketika E g >1,02 MeV = 2m e c 2 (m e adalah massa diam elektron), proses pembentukan pasangan elektron-positron dalam medan listrik inti menjadi mungkin. Probabilitas proses ini sebanding dengan Z 2 dan meningkat dengan E g Oleh karena itu, pada E g » 10 MeV, proses utama interaksi radiasi g dalam zat apa pun adalah pembentukan pasangan positron listrik.

Jika energi g-kuantum melebihi energi ikat nukleon dalam nukleus (7-8 MeV), maka sebagai akibat dari penyerapan g-kuantum, efek fotolistrik nuklir dapat diamati - emisi salah satu nukleon dari inti, paling sering neutron.

Daya tembus yang besar dari radiasi-g digunakan dalam deteksi cacat gamma - metode deteksi cacat berdasarkan penyerapan yang berbeda dari radiasi-g ketika merambat pada jarak yang sama di media yang berbeda. Lokasi dan ukuran cacat (rongga, retak, dll.) ditentukan oleh perbedaan intensitas radiasi yang melewati berbagai bagian produk tembus cahaya.

Dampak radiasi g (serta jenis radiasi pengion lainnya) pada suatu zat ditandai dengan dosis radiasi pengion. Berbeda:

Dosis radiasi yang diserap adalah besaran fisika yang sama dengan perbandingan energi radiasi dengan massa zat yang disinari.

Satuan dosis radiasi yang diserap adalah abu-abu (Gy) *: 1 Gy = 1 J / kg - dosis radiasi di mana energi dari setiap radiasi pengion sebesar 1 J ditransfer ke zat yang diiradiasi dengan berat 1 kg.

Dosis paparan radiasi adalah kuantitas fisik yang sama dengan rasio jumlah muatan listrik dari semua ion dengan tanda yang sama, yang diciptakan oleh elektron yang dilepaskan di udara yang diiradiasi (dalam kondisi penggunaan penuh kemampuan pengion elektron), untuk massa udara ini.

Satuan dosis paparan radiasi adalah liontin per kilogram (C/kg); satuan gelap adalah roentgen (R): 1 R=2,58×10 -4 C/kg.

Dosis biologis - nilai yang menentukan efek radiasi pada tubuh.

Satuan dosis biologis adalah ekuivalen biologis dari roentgen (rem): 1 rem adalah dosis dari semua jenis radiasi pengion yang menghasilkan efek biologis yang sama dengan dosis sinar-x atau g radiasi dalam 1 R (1 rem = 10 -2 J/kg).

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

pengantar

pengantar

2. Turunan dari fungsi gamma

Mari kita terapkan fungsi gamma pada perhitungan integral:

Kesimpulan

Bibliografi

1. Fungsi khusus dan aplikasinya:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

ARTIKEL TERKAIT