Contoh 1

Referensi: Cara-cara berikut untuk menotasikan suatu fungsi adalah ekivalen: Dalam beberapa tugas, akan lebih mudah untuk menetapkan fungsi sebagai "pemain", dan dalam beberapa tugas sebagai "ef dari x".

Pertama kita cari turunannya:

Contoh 2

Hitung turunan suatu fungsi di suatu titik

, , studi fungsi penuh dan sebagainya.

Contoh 3

Hitung turunan fungsi di titik . Mari kita cari turunannya dulu:

Nah, itu masalah yang sama sekali berbeda. Hitung nilai turunan di titik :

Jika Anda tidak mengerti bagaimana turunannya ditemukan, kembalilah ke dua pelajaran pertama dari topik tersebut. Jika ada kesulitan (kesalahpahaman) dengan busur tangen dan artinya, perlu mempelajari materi metodologi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar- paragraf terakhir. Karena masih ada cukup arctangents untuk usia siswa.

Contoh 4

Hitung turunan fungsi di titik .

Persamaan garis singgung grafik fungsi

Untuk mengkonsolidasikan paragraf sebelumnya, pertimbangkan masalah menemukan garis singgung untuk grafik fungsi pada saat ini. Kami memenuhi tugas ini di sekolah, dan itu juga ditemukan dalam pelajaran matematika yang lebih tinggi.

Pertimbangkan contoh dasar "demonstrasi".

Tulis persamaan garis singgung grafik fungsi di titik dengan absis. Saya akan segera memberikan solusi grafis yang sudah jadi untuk masalah tersebut (dalam praktiknya, ini tidak diperlukan dalam banyak kasus):

Definisi ketat dari garis singgung diberikan oleh definisi turunan fungsi, tetapi untuk saat ini kami akan menguasai bagian teknis dari masalah ini. Tentunya hampir semua orang secara intuitif memahami apa itu tangen. Jika Anda menjelaskan "pada jari", maka garis singgung grafik fungsi tersebut adalah lurus, yang menyangkut grafik fungsi dalam satu-satunya titik. Dalam hal ini, semua titik terdekat dari garis lurus terletak sedekat mungkin dengan grafik fungsi.

Seperti yang diterapkan pada kasus kami: di , garis singgung (notasi standar) menyentuh grafik fungsi pada satu titik.

Dan tugas kita adalah menemukan persamaan garis lurus.

Turunan suatu fungsi di suatu titik

Bagaimana cara mencari turunan suatu fungsi di suatu titik? Dua poin yang jelas dari tugas ini mengikuti dari kata-katanya:

1) Hal ini diperlukan untuk menemukan turunannya.

2) Penting untuk menghitung nilai turunan pada titik tertentu.

Contoh 1

Hitung turunan suatu fungsi di suatu titik

Bantuan: Cara notasi fungsi berikut ini setara:


Dalam beberapa tugas, akan lebih mudah untuk menetapkan fungsi sebagai "pemain", dan dalam beberapa tugas sebagai "ef dari x".

Pertama kita cari turunannya:

Saya berharap banyak yang sudah beradaptasi untuk menemukan turunan seperti itu secara lisan.

Pada langkah kedua, kami menghitung nilai turunan pada titik :

Contoh pemanasan kecil untuk solusi independen:

Contoh 2

Hitung turunan suatu fungsi di suatu titik

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Kebutuhan untuk menemukan turunan pada suatu titik muncul dalam tugas-tugas berikut: membangun garis singgung pada grafik suatu fungsi (paragraf berikutnya), studi tentang fungsi untuk ekstrem , mempelajari fungsi infleksi grafik , studi fungsi penuh dan sebagainya.

Tapi tugas yang sedang dipertimbangkan ditemukan di kertas kontrol dan dengan sendirinya. Dan, sebagai aturan, dalam kasus seperti itu, fungsi yang diberikan cukup kompleks. Dalam hal ini, pertimbangkan dua contoh lagi.

Contoh 3

Hitung turunan dari suatu fungsi pada titik.
Mari kita cari turunannya dulu:

Derivatif, pada prinsipnya, ditemukan, dan nilai yang diperlukan dapat diganti. Tapi aku tidak benar-benar ingin melakukan apapun. Ekspresinya sangat panjang, dan nilai "x" adalah pecahan. Oleh karena itu, kami mencoba untuk menyederhanakan turunan kami sebanyak mungkin. Dalam hal ini, mari kita coba mengurangi tiga suku terakhir menjadi penyebut yang sama: pada titik.

Ini adalah contoh do-it-yourself.

Bagaimana mencari nilai turunan dari fungsi F(x) di titik Ho? Bagaimana cara mengatasinya secara umum?

Jika rumus diberikan, cari turunannya dan substitusikan X-nol, bukan X. menghitung
Jika kita berbicara tentang PENGGUNAAN b-8, grafik, maka Anda perlu menemukan garis singgung dari sudut (lancip atau tumpul), yang membentuk garis singgung pada sumbu X (menggunakan konstruksi mental segitiga siku-siku dan menentukan garis singgung dari sudut)

Timur adilkhodzhaev

Pertama, Anda perlu memutuskan tandanya. Jika titik x0 berada di bagian bawah bidang koordinat, maka tanda jawabannya adalah minus, dan jika lebih tinggi, maka +.
Kedua, Anda perlu tahu apa itu tange dalam persegi panjang. Dan ini adalah rasio sisi yang berlawanan (kaki) dengan sisi yang berdekatan (juga kaki). Biasanya ada beberapa tanda hitam pada lukisan itu. Dari tanda ini Anda membuat segitiga siku-siku dan menemukan tange.

Bagaimana cara mencari nilai turunan fungsi f x di titik x0?

tidak ada pertanyaan khusus - 3 tahun lalu

Dalam kasus umum, untuk menemukan nilai turunan suatu fungsi terhadap beberapa variabel di sembarang titik, perlu untuk membedakan fungsi yang diberikan sehubungan dengan variabel ini. Dalam kasus Anda, dengan variabel X. Dalam ekspresi yang dihasilkan, alih-alih X, letakkan nilai x pada titik di mana Anda perlu menemukan nilai turunannya, mis. dalam kasus Anda, gantikan nol X dan hitung ekspresi yang dihasilkan.

Nah, keinginan Anda untuk memahami masalah ini, menurut pendapat saya, tidak diragukan lagi layak +, yang saya tempatkan dengan hati nurani yang bersih.

Rumusan masalah menemukan turunan seperti itu sering diajukan untuk memperbaiki materi tentang makna geometris turunan. Sebuah grafik fungsi tertentu diusulkan, sepenuhnya arbitrer dan tidak diberikan oleh persamaan, dan diperlukan untuk menemukan nilai turunan (bukan turunan itu sendiri!) pada titik X0 yang ditentukan. Untuk melakukan ini, garis singgung ke fungsi yang diberikan dibangun dan titik-titik perpotongannya dengan sumbu koordinat ditemukan. Kemudian persamaan garis singgung ini dibuat dalam bentuk y=kx+b.

Dalam persamaan ini, koefisien k dan akan menjadi nilai turunannya. tinggal mencari nilai koefisien b. Untuk melakukan ini, kami menemukan nilai y di x \u003d o, biarkan sama dengan 3 - ini adalah nilai koefisien b. Kami mengganti nilai X0 dan Y0 ke dalam persamaan asli dan menemukan k - nilai turunan kami pada titik ini.

Dalam masalah B9, diberikan grafik fungsi atau turunan, yang darinya diperlukan untuk menentukan salah satu besaran berikut:

1. Nilai turunan di suatu titik x 0,
2. Titik tinggi atau rendah (titik ekstrem),
3. Interval fungsi naik dan turun (interval monotonisitas).

Fungsi dan turunan yang disajikan dalam masalah ini selalu kontinu, yang sangat menyederhanakan solusinya. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas itu termasuk dalam bagian analisis matematis, itu cukup dalam kekuatan bahkan siswa yang paling lemah, karena tidak diperlukan pengetahuan teoretis yang mendalam di sini.

Untuk mencari nilai turunan, titik ekstrem dan interval monoton, ada algoritma sederhana dan universal - semuanya akan dibahas di bawah ini.

Baca dengan cermat kondisi masalah B9 agar tidak membuat kesalahan bodoh: terkadang teks yang cukup banyak muncul, tetapi ada beberapa kondisi penting yang memengaruhi jalannya solusi.

Perhitungan nilai turunan. Metode dua titik

Jika masalah diberikan grafik fungsi f(x), bersinggungan dengan grafik ini di beberapa titik x 0 , dan diperlukan untuk menemukan nilai turunan pada titik ini, algoritma berikut diterapkan:

1. Temukan dua titik "memadai" pada grafik singgung: koordinatnya harus bilangan bulat. Mari kita nyatakan titik-titik ini sebagai A (x 1 ; y 1) dan B (x 2 ; y 2). Tuliskan koordinat dengan benar - ini adalah poin kunci dari solusi, dan kesalahan apa pun di sini mengarah pada jawaban yang salah.
2. Mengetahui koordinat, mudah untuk menghitung kenaikan argumen x = x 2 x 1 dan kenaikan fungsi y = y 2 y 1 .
3. Akhirnya, kami menemukan nilai turunan D = y/x. Dengan kata lain, Anda perlu membagi kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen - dan ini akan menjadi jawabannya.

Sekali lagi, kita perhatikan: titik A dan B harus dicari tepat pada garis singgung, dan bukan pada grafik fungsi f(x), seperti yang sering terjadi. Garis singgung harus mengandung setidaknya dua titik seperti itu, jika tidak, masalahnya dirumuskan secara tidak benar.

Pertimbangkan titik A (−3; 2) dan B (−1; 6) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Mari kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 4/2 = 2.

Tugas. Gambar menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Perhatikan titik A (0; 3) dan B (3; 0), cari pertambahan:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Sekarang kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 3/3 = 1.

Tugas. Gambar menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Pertimbangkan poin A (0; 2) dan B (5; 2) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Tetap mencari nilai turunannya: D = y/x = 0/5 = 0.

Dari contoh terakhir, kita dapat merumuskan aturan: jika garis singgung sejajar dengan sumbu OX, turunan fungsi pada titik singgung sama dengan nol. Dalam hal ini, Anda bahkan tidak perlu menghitung apa pun - lihat saja grafiknya.

Menghitung Poin Tinggi dan Rendah

Kadang-kadang alih-alih grafik fungsi dalam masalah B9, grafik turunan diberikan dan diperlukan untuk menemukan titik maksimum atau minimum dari fungsi tersebut. Dalam skenario ini, metode dua titik tidak berguna, tetapi ada algoritma lain yang lebih sederhana. Pertama, mari kita definisikan terminologinya:

1. Titik x 0 disebut titik maksimum fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).
2. Titik x 0 disebut titik minimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).

Untuk mencari titik maksimum dan minimum pada grafik turunan, cukup melakukan langkah-langkah berikut:

1. Gambar ulang grafik turunan, hapus semua informasi yang tidak perlu. Seperti yang ditunjukkan oleh praktik, data tambahan hanya mengganggu solusi. Oleh karena itu, kami menandai nol dari turunan pada sumbu koordinat - dan hanya itu.
2. Cari tahu tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Jika untuk suatu titik x 0 diketahui f'(x 0) 0, maka hanya dua pilihan yang mungkin: f'(x 0) 0 atau f'(x 0) 0. Tanda turunannya adalah mudah ditentukan dari gambar aslinya: jika graf turunan terletak di atas sumbu OX, maka f'(x) 0. Sebaliknya, jika graf turunan terletak di bawah sumbu OX, maka f'(x) 0.
3. Kami kembali memeriksa nol dan tanda-tanda turunannya. Di mana tanda berubah dari minus ke plus, ada titik minimum. Sebaliknya, jika tanda turunannya berubah dari plus ke minus, ini adalah titik maksimumnya. Penghitungan selalu dilakukan dari kiri ke kanan.

Skema ini hanya berfungsi untuk fungsi kontinu - tidak ada yang lain dalam masalah B9.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−5; 5]. Temukan titik minimum dari fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu - kita hanya akan meninggalkan perbatasan [−5; 5] dan nol dari turunan x = 3 dan x = 2.5. Perhatikan juga tanda-tandanya:

Jelasnya, pada titik x = 3, tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus. Ini adalah titik minimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−3; 7]. Temukan titik maksimum fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita menggambar ulang grafik, hanya menyisakan batas [−3; 7] dan nol dari turunan x = 1.7 dan x = 5. Perhatikan tanda-tanda turunan pada grafik yang dihasilkan. Kita punya:

Jelas, pada titik x = 5, tanda turunan berubah dari plus ke minus - ini adalah titik maksimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−6; 4]. Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) yang termasuk dalam interval [−4; 3].

Dari kondisi masalah, maka cukup untuk mempertimbangkan hanya bagian dari grafik yang dibatasi oleh segmen [−4; 3]. Oleh karena itu, kami membangun grafik baru, di mana kami hanya menandai batas [−4; 3] dan nol turunan di dalamnya. Yaitu, titik x = 3.5 dan x = 2. Kita peroleh:

Pada grafik ini, hanya ada satu titik maksimum x = 2. Di dalamnya tanda turunan berubah dari plus ke minus.

Catatan kecil tentang titik dengan koordinat non-bilangan bulat. Misalnya, pada soal terakhir, titik x = 3.5 telah dipertimbangkan, tetapi dengan keberhasilan yang sama kita dapat mengambil x = 3.4. Jika masalah dirumuskan dengan benar, perubahan seperti itu seharusnya tidak mempengaruhi jawaban, karena poin "tanpa tempat tinggal tetap" tidak terlibat langsung dalam menyelesaikan masalah. Tentu saja, dengan poin integer, trik seperti itu tidak akan berhasil.

Menemukan interval kenaikan dan penurunan fungsi

Dalam masalah seperti itu, seperti titik maksimum dan minimum, diusulkan untuk menemukan area di mana fungsi itu sendiri meningkat atau menurun dari grafik turunan. Pertama, mari kita definisikan apa itu ascending dan descending:

1. Suatu fungsi f(x) disebut meningkat pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Dengan kata lain, semakin besar nilai argumen, semakin besar nilai fungsinya.
2. Suatu fungsi f(x) disebut menurun pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Itu. nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Kami merumuskan kondisi yang cukup untuk naik dan turun:

1. Agar fungsi kontinu f(x) meningkat pada segmen , cukup turunannya di dalam segmen menjadi positif, mis. f'(x) 0.
2. Agar fungsi kontinu f(x) berkurang pada segmen , cukup bahwa turunannya di dalam segmen negatif, mis. f'(x) 0.

Kami menerima pernyataan ini tanpa bukti. Dengan demikian, kami memperoleh skema untuk menemukan interval kenaikan dan penurunan, yang dalam banyak hal mirip dengan algoritma untuk menghitung titik ekstrem:

1. Hapus semua informasi yang berlebihan. Pada grafik asli turunan, kami terutama tertarik pada nol dari fungsi, jadi kami hanya meninggalkannya.
2. Tandai tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Dimana f'(x) 0, fungsi meningkat, dan dimana f'(x) 0, fungsi menurun. Jika masalah memiliki batasan pada variabel x, kami juga menandainya pada bagan baru.
3. Sekarang kita mengetahui perilaku fungsi dan kendala, tinggal menghitung nilai yang diperlukan dalam masalah.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−3; 7.5]. Tentukan interval fungsi menurun f(x). Dalam jawaban Anda, tulis jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Seperti biasa, kita menggambar ulang grafik dan menandai batas [−3; 7.5], serta nol dari turunan x = 1.5 dan x = 5.3. Kemudian kita tandai tanda-tanda turunannya. Kita punya:

Karena turunannya negatif pada interval (− 1,5), ini adalah interval fungsi menurun. Tetap menjumlahkan semua bilangan bulat yang ada di dalam interval ini:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−10; 4]. Carilah interval dari peningkatan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tuliskan panjang yang terbesar.

Mari kita singkirkan informasi yang berlebihan. Kami hanya meninggalkan batas [−10; 4] dan nol dari turunannya, yang kali ini menjadi empat: x = 8, x = 6, x = 3 dan x = 2. Perhatikan tanda-tanda turunan dan dapatkan gambar berikut:

Kami tertarik pada interval fungsi yang meningkat, yaitu di mana f'(x) 0. Ada dua interval seperti itu pada grafik: (−8; 6) dan (−3; 2). Mari kita hitung panjangnya:
l 1 = 6 (−8) = 2;
l 2 = 2 (−3) = 5.

Karena diperlukan untuk menemukan panjang interval terbesar, kami menulis nilai l 2 = 5 sebagai tanggapan.