Persamaan diferensial biasa disebut persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui dari variabel ini dan turunannya (atau diferensial) dari berbagai ordo.

Orde persamaan diferensial adalah urutan turunan tertinggi yang terkandung di dalamnya.

Selain persamaan diferensial biasa, juga dipelajari persamaan diferensial parsial. Ini adalah persamaan yang berhubungan dengan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui dari variabel-variabel ini dan turunan parsialnya terhadap variabel yang sama. Tapi kami hanya akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa dan karena itu kami akan menghilangkan kata "biasa" untuk singkatnya.

Contoh persamaan diferensial:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Persamaan (1) orde keempat, persamaan (2) orde ketiga, persamaan (3) dan (4) orde kedua, persamaan (5) orde pertama.

persamaan diferensial n orde tidak harus secara eksplisit mengandung suatu fungsi, semua turunannya dari pertama sampai n orde dan variabel bebas. Ini mungkin tidak secara eksplisit mengandung turunan dari beberapa pesanan, fungsi, variabel independen.

Misalnya, dalam persamaan (1) jelas tidak ada turunan dari orde ketiga dan kedua, serta fungsi; dalam persamaan (2) - turunan dan fungsi orde kedua; dalam persamaan (4) - variabel bebas; dalam persamaan (5) - fungsi. Hanya persamaan (3) yang secara eksplisit memuat semua turunan, fungsi, dan variabel bebas.

Dengan menyelesaikan persamaan diferensial fungsi apa pun disebut y = f(x), substitusikan yang ke dalam persamaan, itu berubah menjadi identitas.

Proses mencari solusi persamaan diferensial disebut integrasi.

Contoh 1 Temukan solusi untuk persamaan diferensial.

Keputusan. Kami menulis persamaan ini dalam bentuk . Solusinya adalah mencari fungsi dengan turunannya. Fungsi asal, seperti diketahui dari kalkulus integral, adalah antiturunan untuk, yaitu.

Itulah apa itu solusi dari persamaan diferensial yang diberikan . berubah di dalamnya C, kita akan mendapatkan solusi yang berbeda. Kami menemukan bahwa ada banyak sekali solusi untuk persamaan diferensial orde pertama.

Solusi umum persamaan diferensial n orde ke-2 adalah penyelesaiannya yang dinyatakan secara eksplisit sehubungan dengan fungsi yang tidak diketahui dan mengandung n konstanta arbitrer independen, mis.

Penyelesaian persamaan diferensial pada contoh 1 bersifat umum.

Solusi parsial dari persamaan diferensial solusinya disebut, di mana nilai numerik tertentu diberikan pada konstanta arbitrer.

Contoh 2 Tentukan solusi umum persamaan diferensial dan solusi khusus untuk .

Keputusan. Kami mengintegrasikan kedua sisi persamaan beberapa kali sehingga orde persamaan diferensial sama.

,

.

Akibatnya, kami mendapat solusi umum -

diberikan persamaan diferensial orde ketiga.

Sekarang mari kita cari solusi tertentu di bawah kondisi yang ditentukan. Untuk melakukan ini, kami mengganti nilainya alih-alih koefisien arbitrer dan memperoleh

.

Jika, selain persamaan diferensial, kondisi awal diberikan dalam bentuk , maka masalah seperti itu disebut Masalah Cauchy . Nilai dan disubstitusikan ke dalam solusi umum persamaan dan nilai konstanta arbitrer ditemukan C, dan kemudian solusi khusus dari persamaan untuk nilai yang ditemukan C. Ini adalah solusi untuk masalah Cauchy.

Contoh 3 Memecahkan masalah Cauchy untuk persamaan diferensial dari Contoh 1 di bawah kondisi .

Keputusan. Kami mengganti ke dalam solusi umum nilai-nilai dari kondisi awal kamu = 3, x= 1. Kita dapatkan

Kami menuliskan solusi dari masalah Cauchy untuk persamaan diferensial yang diberikan dari orde pertama:

Memecahkan persamaan diferensial, bahkan yang paling sederhana, membutuhkan keterampilan yang baik dalam mengintegrasikan dan mengambil turunan, termasuk fungsi kompleks. Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut.

Contoh 4 Temukan solusi umum dari persamaan diferensial.

Keputusan. Persamaan ditulis sedemikian rupa sehingga kedua ruas dapat segera diintegralkan.

.

Kami menerapkan metode integrasi dengan mengubah variabel (substitusi). Biarkan , lalu .

Diperlukan untuk mengambil dx dan sekarang - perhatian - kami melakukannya sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi kompleks, karena x dan ada fungsi kompleks ("apel" - mengekstrak akar kuadrat atau, yang sama - meningkatkan pangkat "satu detik", dan "daging cincang" - ekspresi itu sendiri di bawah akar):

Kami menemukan integralnya:

Kembali ke variabel x, kita mendapatkan:

.

Ini adalah solusi umum dari persamaan diferensial tingkat pertama ini.

Tidak hanya keterampilan dari bagian sebelumnya dari matematika yang lebih tinggi akan diperlukan dalam memecahkan persamaan diferensial, tetapi juga keterampilan dari dasar, yaitu matematika sekolah. Seperti yang telah disebutkan, dalam persamaan diferensial dari urutan apa pun mungkin tidak ada variabel independen, yaitu variabel x. Pengetahuan tentang proporsi yang tidak dilupakan (namun, siapa pun menyukainya) dari bangku sekolah akan membantu menyelesaikan masalah ini. Ini adalah contoh selanjutnya.

Dalam beberapa masalah fisika, hubungan langsung antara kuantitas yang menggambarkan proses tidak dapat dibuat. Tetapi ada kemungkinan untuk memperoleh persamaan yang mengandung turunan dari fungsi-fungsi yang diteliti. Ini adalah bagaimana persamaan diferensial muncul dan kebutuhan untuk menyelesaikannya untuk menemukan fungsi yang tidak diketahui.

Artikel ini ditujukan bagi mereka yang dihadapkan pada masalah penyelesaian persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari satu variabel. Teori dibangun sedemikian rupa sehingga dengan pemahaman nol tentang persamaan diferensial, Anda dapat melakukan pekerjaan Anda.

Setiap jenis persamaan diferensial dikaitkan dengan metode solusi dengan penjelasan rinci dan solusi dari contoh dan masalah yang khas. Anda hanya perlu menentukan jenis persamaan diferensial untuk masalah Anda, menemukan contoh analisis serupa dan melakukan tindakan serupa.

Agar berhasil menyelesaikan persamaan diferensial, Anda juga memerlukan kemampuan untuk menemukan himpunan antiturunan (integral tak tentu) dari berbagai fungsi. Jika perlu, kami sarankan Anda merujuk ke bagian tersebut.

Pertama, kami mempertimbangkan jenis persamaan diferensial biasa orde pertama yang dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan, kemudian kami beralih ke ODE orde kedua, kemudian kami memikirkan persamaan orde tinggi dan menyelesaikan dengan sistem persamaan diferensial.

Ingatlah bahwa jika y adalah fungsi dari argumen x .

persamaan diferensial orde satu.

Persamaan diferensial paling sederhana dari bentuk orde pertama.

Mari kita tuliskan beberapa contoh DE . tersebut .

Persamaan Diferensial dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan dengan membagi kedua sisi persamaan dengan f(x) . Dalam hal ini, kita sampai pada persamaan , yang akan ekuivalen dengan persamaan awal untuk f(x) 0 . Contoh ODE tersebut adalah .

Jika ada nilai argumen x yang fungsi f(x) dan g(x) hilang secara bersamaan, maka solusi tambahan akan muncul. Solusi tambahan untuk persamaan diberikan x adalah fungsi apa pun yang ditentukan untuk nilai argumen tersebut. Contoh persamaan diferensial tersebut adalah .

Persamaan diferensial orde dua.

Persamaan Diferensial Homogen Linier Orde Kedua dengan Koefisien Konstan.

LODE dengan koefisien konstan adalah jenis persamaan diferensial yang sangat umum. Solusi mereka tidak terlalu sulit. Pertama, akar persamaan karakteristik ditemukan . Untuk p dan q yang berbeda, tiga kasus dimungkinkan: akar-akar persamaan karakteristik dapat nyata dan berbeda, nyata dan bertepatan atau konjugasi kompleks. Bergantung pada nilai akar persamaan karakteristik, solusi umum persamaan diferensial ditulis sebagai , atau , atau masing-masing.

Misalnya, pertimbangkan persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan. Akar persamaan karakteristiknya adalah k 1 = -3 dan k 2 = 0. Akarnya nyata dan berbeda, oleh karena itu, solusi umum untuk LDE dengan koefisien konstan adalah


Persamaan Diferensial Orde Kedua Linier Nonhomogen dengan Koefisien Konstan.

Solusi umum dari LIDE orde kedua dengan koefisien konstan y dicari sebagai jumlah dari solusi umum dari LODE yang sesuai dan solusi khusus dari persamaan tidak homogen awal, yaitu . Paragraf sebelumnya dikhususkan untuk menemukan solusi umum untuk persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstan. Dan solusi tertentu ditentukan baik dengan metode koefisien tak tentu untuk bentuk tertentu dari fungsi f (x) , berdiri di sisi kanan persamaan asli, atau dengan metode variasi konstanta arbitrer.

Sebagai contoh LIDE orde kedua dengan koefisien konstan, kami menyajikan


Untuk memahami teori dan berkenalan dengan solusi terperinci dari contoh, kami menawarkan Anda di halaman persamaan diferensial tidak homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan.

Persamaan Diferensial Homogen Linier (LODE) dan persamaan diferensial tak homogen linier orde kedua (LNDEs).

Kasus khusus dari persamaan diferensial jenis ini adalah LODE dan LODE dengan koefisien konstan.

Solusi umum LODE pada interval tertentu diwakili oleh kombinasi linier dari dua solusi khusus yang bebas linier y 1 dan y 2 dari persamaan ini, yaitu, .

Kesulitan utama justru terletak pada menemukan solusi parsial bebas linier dari jenis persamaan diferensial ini. Biasanya, solusi tertentu dipilih dari sistem fungsi independen linier berikut:


Namun, solusi tertentu tidak selalu disajikan dalam bentuk ini.

Contoh LODU adalah .

Solusi umum dari LIDE dicari dalam bentuk , dimana adalah solusi umum dari LODE yang sesuai, dan merupakan solusi khusus dari persamaan diferensial asli. Kami baru saja berbicara tentang menemukan, tetapi dapat ditentukan dengan menggunakan metode variasi konstanta arbitrer.

Contoh LNDE adalah .

Persamaan diferensial orde tinggi.

Persamaan diferensial yang mengakui reduksi orde.

Orde persamaan diferensial , yang tidak mengandung fungsi yang diinginkan dan turunannya hingga orde k-1, dapat direduksi menjadi n-k dengan mengganti .

Dalam hal ini , dan persamaan diferensial asli dikurangi menjadi . Setelah menemukan solusinya p(x), ia tetap kembali ke penggantian dan menentukan fungsi y yang tidak diketahui.

Misalnya persamaan diferensial setelah penggantian menjadi persamaan yang dapat dipisahkan , dan urutannya dikurangi dari yang ketiga ke yang pertama.

I. Persamaan Diferensial Biasa

1.1. Konsep dasar dan definisi

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan variabel bebas x, fungsi yang diinginkan kamu dan turunan atau diferensialnya.

Secara simbolis, persamaan diferensial ditulis sebagai berikut:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Suatu persamaan diferensial disebut biasa jika fungsi yang diinginkan bergantung pada satu variabel bebas.

Dengan menyelesaikan persamaan diferensial disebut fungsi yang mengubah persamaan ini menjadi identitas.

Orde persamaan diferensial adalah urutan turunan tertinggi dalam persamaan ini

Contoh.

1. Perhatikan persamaan diferensial orde pertama

Solusi persamaan ini adalah fungsi y = 5 ln x. Memang, dengan mengganti y" ke dalam persamaan, kita mendapatkan - sebuah identitas.

Dan ini berarti bahwa fungsi y = 5 ln x– adalah solusi dari persamaan diferensial ini.

2. Perhatikan persamaan diferensial orde dua y" - 5y" + 6y = 0. Fungsinya adalah solusi dari persamaan ini.

Betulkah, .

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan, kita mendapatkan: , - identitas.

Dan ini berarti bahwa fungsi tersebut adalah solusi dari persamaan diferensial ini.

Integrasi persamaan diferensial adalah proses menemukan solusi untuk persamaan diferensial.

Solusi umum persamaan diferensial disebut fungsi dari bentuk , yang mencakup konstanta arbitrer independen sebanyak orde persamaan.

Solusi parsial dari persamaan diferensial disebut solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk nilai numerik yang berbeda dari konstanta arbitrer. Nilai konstanta arbitrer ditemukan pada nilai awal tertentu dari argumen dan fungsi.

Grafik solusi khusus persamaan diferensial disebut kurva integral.

Contoh

1. Temukan solusi khusus untuk persamaan diferensial orde pertama

xdx + ydy = 0, jika kamu= 4 at x = 3.

Keputusan. Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan

Komentar. Konstanta sembarang C yang diperoleh sebagai hasil integrasi dapat direpresentasikan dalam bentuk apa pun yang sesuai untuk transformasi lebih lanjut. Dalam hal ini, dengan mempertimbangkan persamaan kanonik lingkaran, akan lebih mudah untuk menyatakan konstanta dalam bentuk .

adalah solusi umum dari persamaan diferensial.

Solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal kamu = 4 at x = 3 ditemukan dari umum dengan mensubstitusi kondisi awal ke dalam solusi umum: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Substitusikan C=5 ke dalam solusi umum, kita peroleh x2+y2 = 5 2 .

Ini adalah solusi khusus dari persamaan diferensial yang diperoleh dari solusi umum di bawah kondisi awal yang diberikan.

2. Temukan solusi umum dari persamaan diferensial

Solusi persamaan ini adalah fungsi apa pun dari bentuk , di mana C adalah konstanta arbitrer. Memang, mensubstitusi ke dalam persamaan, kita memperoleh: , .

Oleh karena itu, persamaan diferensial ini memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas, karena untuk nilai konstanta C yang berbeda, persamaan menentukan solusi persamaan yang berbeda.

Misalnya, dengan substitusi langsung, seseorang dapat memverifikasi bahwa fungsi adalah solusi dari persamaan .

Masalah di mana diperlukan untuk menemukan solusi khusus untuk persamaan y" = f(x, y) memenuhi kondisi awal y(x0) = y0, disebut masalah Cauchy.

solusi persamaan y" = f(x, y), memenuhi kondisi awal, y(x0) = y0, disebut solusi untuk masalah Cauchy.

Solusi dari masalah Cauchy memiliki arti geometris sederhana. Memang, menurut definisi ini, untuk memecahkan masalah Cauchy y" = f(x, y) mengingat bahwa y(x0) = y0, berarti menemukan kurva integral dari persamaan y" = f(x, y) yang melalui suatu titik tertentu M0 (x0,y 0).

II. persamaan diferensial orde pertama

2.1. Konsep dasar

Persamaan diferensial orde pertama adalah persamaan yang berbentuk F(x,y,y") = 0.

Persamaan diferensial orde pertama termasuk turunan pertama dan tidak termasuk turunan orde tinggi.

persamaan y" = f(x, y) disebut persamaan orde pertama yang diselesaikan terhadap turunan.

Solusi umum persamaan diferensial orde pertama adalah fungsi dari bentuk , yang berisi satu konstanta arbitrer.

Contoh. Pertimbangkan persamaan diferensial orde pertama.

Solusi persamaan ini adalah fungsi .

Memang, mengganti persamaan ini dengan nilainya, kami memperoleh

yaitu 3x=3x

Oleh karena itu, fungsi tersebut adalah solusi umum persamaan untuk sembarang konstanta C.

Temukan solusi khusus dari persamaan ini yang memenuhi kondisi awal y(1)=1 Substitusi kondisi awal x=1, y=1 ke dalam solusi umum persamaan , kita peroleh dari mana C=0.

Jadi, kami memperoleh solusi khusus dari solusi umum dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan ini, nilai yang dihasilkan C=0 merupakan keputusan pribadi.

2.2. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan adalah persamaan yang berbentuk: y"=f(x)g(y) atau melalui diferensial , di mana f(x) dan g(y) diberikan fungsi.

Untuk itu kamu, dimana , persamaan y"=f(x)g(y) setara dengan persamaan di mana variabel kamu hanya ada di sisi kiri, dan variabel x hanya ada di sisi kanan. Mereka berkata, "dalam persamaan y"=f(x)g(y memisahkan variabel.

Ketik persamaan disebut persamaan variabel terpisah.

Setelah mengintegrasikan kedua bagian persamaan pada x, kita mendapatkan G(y) = F(x) + C adalah solusi umum dari persamaan, di mana G(y) dan F(x) adalah beberapa antiturunan, masing-masing, dari fungsi dan f(x), C konstanta sewenang-wenang.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan

Contoh 1

selesaikan persamaannya y" = xy

Keputusan. Turunan dari suatu fungsi y" ubah dengan

kita pisahkan variabelnya

Mari kita integrasikan kedua bagian persamaan:

Contoh 2

2yy" = 1- 3x 2, jika y 0 = 3 pada x0 = 1

Ini adalah persamaan variabel terpisah. Mari kita nyatakan dalam diferensial. Untuk melakukan ini, kami menulis ulang persamaan ini dalam bentuk Dari sini

Mengintegrasikan kedua bagian dari persamaan terakhir, kami menemukan

Mengganti nilai awal x 0 = 1, y 0 = 3 Temukan Dengan 9=1-1+C, yaitu C = 9.

Oleh karena itu, integral parsial yang diinginkan adalah atau

Contoh 3

Tuliskan persamaan kurva yang melalui suatu titik M(2;-3) dan memiliki garis singgung dengan kemiringan

Keputusan. Sesuai dengan kondisi

Ini adalah persamaan variabel yang dapat dipisahkan. Membagi variabel, kita mendapatkan:

Mengintegrasikan kedua bagian persamaan, kita mendapatkan:

Dengan menggunakan kondisi awal, x=2 dan y=-3 Temukan C:

Oleh karena itu, persamaan yang diinginkan memiliki bentuk

2.3. Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan diferensial linier orde pertama adalah persamaan dengan bentuk y" = f(x)y + g(x)

di mana f(x) dan g(x)- beberapa fungsi yang diberikan.

Jika sebuah g(x)=0 maka persamaan diferensial linier disebut homogen dan berbentuk: y" = f(x)y

Jika maka persamaan y" = f(x)y + g(x) disebut heterogen.

Solusi umum persamaan diferensial homogen linier y" = f(x)y diberikan oleh rumus: dimana Dengan adalah konstanta arbitrer.

Secara khusus, jika C \u003d 0, maka solusinya adalah y=0 Jika persamaan linier homogen berbentuk y" = ky di mana k adalah suatu konstanta, maka solusi umumnya memiliki bentuk: .

Solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen y" = f(x)y + g(x) diberikan oleh rumus ,

itu. sama dengan jumlah solusi umum persamaan homogen linier yang sesuai dan solusi khusus persamaan ini.

Untuk persamaan linier tak homogen berbentuk y" = kx + b,

di mana k dan b- beberapa angka dan solusi tertentu akan menjadi fungsi konstan. Oleh karena itu, solusi umum memiliki bentuk .

Contoh. selesaikan persamaannya y" + 2y +3 = 0

Keputusan. Kami mewakili persamaan dalam bentuk y" = -2y - 3 di mana k=-2, b=-3 Solusi umum diberikan oleh rumus .

Oleh karena itu, di mana C adalah konstanta arbitrer.

2.4. Penyelesaian persamaan diferensial linier orde pertama dengan metode Bernoulli

Menemukan Solusi Umum untuk Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama y" = f(x)y + g(x) direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan diferensial dengan variabel terpisah menggunakan substitusi y=uv, di mana kamu dan v- fungsi yang tidak diketahui dari x. Metode penyelesaian ini disebut metode Bernoulli.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama

y" = f(x)y + g(x)

1. Masukkan substitusi y=uv.

2. Bedakan persamaan ini y"=u"v + uv"

3. Pengganti kamu dan y" ke dalam persamaan ini: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) atau u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Kelompokkan suku-suku persamaan sehingga kamu keluarkan dari kurung:

5. Dari kurung siku, samakan dengan nol, carilah fungsinya

Ini adalah persamaan yang dapat dipisahkan:

Bagilah variabel dan dapatkan:

Di mana . .

6. Ganti nilai yang diterima v ke dalam persamaan (dari item 4):

dan temukan fungsinya Ini adalah persamaan yang dapat dipisahkan:

7. Tulis solusi umum dalam bentuk: , yaitu .

Contoh 1

Temukan solusi khusus untuk persamaan y" = -2y +3 = 0 jika y=1 pada x=0

Keputusan. Mari kita selesaikan dengan substitusi y=uv,.y"=u"v + uv"

Mengganti kamu dan y" ke dalam persamaan ini, kita dapatkan

Mengelompokkan suku kedua dan ketiga di ruas kiri persamaan, kita keluarkan faktor persekutuannya kamu di luar kurung

Kami menyamakan ekspresi dalam tanda kurung menjadi nol dan, setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan fungsinya v = v(x)

Kami mendapat persamaan dengan variabel terpisah. Kami mengintegrasikan kedua bagian dari persamaan ini: Temukan fungsinya v:

Substitusikan nilai yang dihasilkan v ke dalam persamaan Kita mendapatkan:

Ini adalah persamaan variabel terpisah. Kami mengintegrasikan kedua bagian persamaan: Mari kita cari fungsinya u = u(x,c) Mari kita cari solusi umum: Mari kita cari solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal y=1 pada x=0:

AKU AKU AKU. Persamaan diferensial orde tinggi

3.1. Konsep dasar dan definisi

Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan yang mengandung turunan tidak lebih tinggi dari orde kedua. Dalam kasus umum, persamaan diferensial orde kedua ditulis sebagai: F(x,y,y",y") = 0

Solusi umum persamaan diferensial orde kedua adalah fungsi dari bentuk , yang mencakup dua konstanta arbitrer C1 dan C2.

Solusi khusus dari persamaan diferensial orde kedua adalah solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk beberapa nilai konstanta arbitrer C1 dan C2.

3.2. Persamaan diferensial homogen linier orde dua dengan rasio konstan.

Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan disebut persamaan bentuk y" + py" + qy = 0, di mana p dan q adalah nilai-nilai konstan.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen orde kedua dengan koefisien konstan

1. Tulis persamaan diferensial dalam bentuk: y" + py" + qy = 0.

2. Tulis persamaan karakteristiknya, yang menunjukkan y" melalui r2, y" melalui r, kamu dalam 1: r2 + pr +q = 0

persamaan diferensial orde satu. Contoh solusi.
Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Persamaan Diferensial (DE). Dua kata ini biasanya menakutkan orang awam rata-rata. Persamaan diferensial tampaknya menjadi sesuatu yang keterlaluan dan sulit dikuasai bagi banyak siswa. Uuuuuu… persamaan diferensial, bagaimana aku bisa bertahan dari semua ini?!

Pendapat dan sikap seperti itu pada dasarnya salah, karena pada kenyataannya PERSAMAAN DIFERENSIAL SEDERHANA DAN BAHKAN MENYENANGKAN. Apa yang perlu Anda ketahui dan dapat pelajari untuk menyelesaikan persamaan diferensial? Agar berhasil mempelajari perbedaan, Anda harus pandai mengintegrasikan dan membedakan. Semakin baik topik yang dipelajari Turunan dari fungsi satu variabel dan integral tak tentu, semakin mudah untuk memahami persamaan diferensial. Saya akan mengatakan lebih banyak, jika Anda memiliki keterampilan integrasi yang kurang lebih layak, maka topiknya praktis dikuasai! Semakin banyak integral dari berbagai jenis yang dapat Anda selesaikan, semakin baik. Mengapa? Anda harus banyak berintegrasi. Dan membedakan. Juga Sangat disarankan belajar menemukan.

Dalam 95% kasus, ada 3 jenis persamaan diferensial orde pertama dalam makalah tes: persamaan yang dapat dipisahkan, yang akan kita bahas dalam pelajaran ini; persamaan homogen dan persamaan linier tidak homogen. Untuk pemula yang mempelajari diffuser, saya menyarankan Anda untuk membaca pelajaran dalam urutan ini, dan setelah mempelajari dua artikel pertama, tidak ada salahnya untuk mengkonsolidasikan keterampilan Anda di bengkel tambahan - persamaan yang direduksi menjadi homogen.

Bahkan ada jenis persamaan diferensial yang lebih jarang: persamaan dalam diferensial total, persamaan Bernoulli, dan beberapa lainnya. Dari dua jenis terakhir, yang paling penting adalah persamaan diferensial total, karena selain DE ini, saya sedang mempertimbangkan materi baru - integrasi parsial.

Jika Anda hanya memiliki satu atau dua hari tersisa, kemudian untuk persiapan ultra-cepat ada kursus kilat dalam format pdf.

Jadi, landmark sudah ditetapkan - ayo:

Mari kita ingat dulu persamaan aljabar biasa. Mereka berisi variabel dan angka. Contoh paling sederhana: . Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan biasa? Ini berarti menemukan kumpulan angka yang memenuhi persamaan ini. Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan anak-anak memiliki akar tunggal: . Untuk bersenang-senang, mari kita lakukan pemeriksaan, substitusikan akar yang ditemukan ke dalam persamaan kita:

- persamaan yang benar diperoleh, yang berarti bahwa solusi ditemukan dengan benar.

Difus diatur dengan cara yang hampir sama!

persamaan diferensial pesanan pertama secara umum mengandung:
1) variabel bebas;
2) variabel terikat (fungsi);
3) turunan pertama dari fungsi: .

Dalam beberapa persamaan orde 1, mungkin tidak ada "x" atau (dan) "y", tetapi ini tidak esensial - penting sehingga di DU dulu turunan pertama, dan tidak memiliki turunan dari pesanan yang lebih tinggi - , dll.

Apa artinya? Menyelesaikan persamaan diferensial berarti menemukan kumpulan semua fungsi yang memenuhi persamaan ini. Himpunan fungsi seperti itu sering memiliki bentuk ( adalah konstanta arbitrer), yang disebut solusi umum persamaan diferensial.

Contoh 1

Memecahkan persamaan diferensial

Amunisi lengkap. Di mana untuk memulai? keputusan?

Pertama-tama, Anda perlu menulis ulang turunan dalam bentuk yang sedikit berbeda. Kami mengingat kembali notasi yang rumit, yang mungkin dianggap konyol dan tidak perlu oleh banyak dari Anda. Ini adalah aturan di diffusers!

Pada langkah kedua, mari kita lihat apakah itu mungkin membagi variabel? Apa yang dimaksud dengan memisahkan variabel? Secara kasar, di sisi kiri kita harus pergi hanya "permainan", sebuah di sisi kanan mengatur hanya x. Pemisahan variabel dilakukan dengan bantuan manipulasi "sekolah": tanda kurung, transfer istilah dari bagian ke bagian dengan perubahan tanda, transfer faktor dari bagian ke bagian sesuai dengan aturan proporsi, dll.

Diferensial dan merupakan pengganda penuh dan peserta aktif dalam permusuhan. Dalam contoh ini, variabel mudah dipisahkan dengan membalik faktor menurut aturan proporsi:

Variabel dipisahkan. Di sisi kiri - hanya "Game", di sisi kanan - hanya "X".

Tahap selanjutnya - integrasi persamaan diferensial. Sederhana saja, kami menggantung integral di kedua bagian:

Tentu saja, integral harus diambil. Dalam hal ini, mereka adalah tabel:

Seperti yang kita ingat, sebuah konstanta ditetapkan untuk setiap antiturunan. Ada dua integral di sini, tetapi cukup untuk menulis konstanta sekali (karena konstanta + konstanta masih sama dengan konstanta lain). Dalam kebanyakan kasus, itu ditempatkan di sisi kanan.

Sebenarnya, setelah integral diambil, persamaan diferensial dianggap diselesaikan. Satu-satunya hal adalah bahwa "y" kami tidak diekspresikan melalui "x", yaitu, solusinya disajikan secara tersirat membentuk. Solusi implisit dari persamaan diferensial disebut integral umum persamaan diferensial. Artinya, adalah integral umum.

Jawaban dalam formulir ini cukup dapat diterima, tetapi apakah ada pilihan yang lebih baik? Ayo coba dapatkan keputusan bersama.

Sama sama, ingat teknik pertama, ini sangat umum dan sering digunakan dalam tugas-tugas praktis: jika logaritma muncul di sisi kanan setelah integrasi, maka dalam banyak kasus (tetapi tidak selalu!) disarankan juga untuk menulis konstanta di bawah logaritma.

Yaitu, ALIH-ALIH catatan biasanya ditulis .

Mengapa ini dibutuhkan? Dan agar lebih mudah untuk mengekspresikan "y". Kami menggunakan properti logaritma . Pada kasus ini:

Sekarang logaritma dan modul dapat dihapus:

Fungsi tersebut disajikan secara eksplisit. Ini adalah solusi umum.

Menjawab: keputusan bersama: .

Jawaban dari banyak persamaan diferensial cukup mudah untuk diperiksa. Dalam kasus kami, ini dilakukan dengan cukup sederhana, kami mengambil solusi yang ditemukan dan membedakannya:

Kemudian kita substitusikan turunannya ke persamaan semula:

- persamaan yang benar diperoleh, yang berarti bahwa solusi umum memenuhi persamaan , yang harus diperiksa.

Dengan memberikan nilai yang berbeda konstan, Anda bisa mendapatkan jumlah yang tak terbatas dari keputusan pribadi persamaan diferensial. Jelas bahwa salah satu fungsi , , dll. memenuhi persamaan diferensial.

Kadang-kadang solusi umum disebut keluarga fungsi. Dalam contoh ini, solusi umum adalah keluarga fungsi linier, atau lebih tepatnya, keluarga proporsionalitas langsung.

Setelah diskusi rinci tentang contoh pertama, adalah tepat untuk menjawab beberapa pertanyaan naif tentang persamaan diferensial:

1)Dalam contoh ini, kami berhasil memisahkan variabel. Apakah selalu mungkin untuk melakukan ini? Tidak tidak selalu. Dan lebih sering lagi variabel-variabel tersebut tidak dapat dipisahkan. Misalnya, di persamaan orde satu homogen harus diganti dulu. Dalam jenis persamaan lain, misalnya, dalam persamaan linier non-homogen orde pertama, Anda perlu menggunakan berbagai trik dan metode untuk menemukan solusi umum. Persamaan variabel yang dapat dipisahkan yang kita bahas dalam pelajaran pertama adalah jenis persamaan diferensial yang paling sederhana.

2) Apakah selalu mungkin untuk mengintegrasikan persamaan diferensial? Tidak tidak selalu. Sangat mudah untuk menemukan persamaan "mewah" yang tidak dapat diintegrasikan, selain itu, ada integral yang tidak dapat diambil. Tetapi DE seperti itu dapat diselesaikan kira-kira menggunakan metode khusus. D'Alembert dan Cauchy menjamin... ...ugh, lurkmore.to Saya banyak membaca sekarang, saya hampir menambahkan "dari dunia lain."

3) Dalam contoh ini, kami telah memperoleh solusi dalam bentuk integral umum . Apakah selalu mungkin untuk menemukan solusi umum dari integral umum, yaitu, untuk menyatakan "y" dalam bentuk eksplisit? Tidak tidak selalu. Sebagai contoh: . Nah, bagaimana saya bisa mengekspresikan "y" di sini?! Dalam kasus seperti itu, jawabannya harus ditulis sebagai integral umum. Selain itu, kadang-kadang solusi umum dapat ditemukan, tetapi ditulis begitu rumit dan kikuk sehingga lebih baik meninggalkan jawabannya dalam bentuk integral umum.

4) ...mungkin cukup untuk saat ini. Pada contoh pertama, kita bertemu poin penting lainnya, tetapi agar tidak menutupi "boneka" dengan longsoran informasi baru, saya akan membiarkannya sampai pelajaran berikutnya.

Jangan terburu-buru. Remote control sederhana lainnya dan solusi tipikal lainnya:

Contoh 2

Temukan solusi tertentu dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal

Keputusan: sesuai dengan kondisi itu diperlukan untuk menemukan solusi pribadi DE yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Pertanyaan semacam ini juga disebut Masalah Cauchy.

Pertama, kita cari solusi umum. Tidak ada variabel "x" dalam persamaan, tetapi ini tidak boleh memalukan, yang utama adalah ia memiliki turunan pertama.

Kami menulis ulang turunan dalam bentuk yang diperlukan:

Jelas, variabel dapat dibagi, anak laki-laki ke kiri, anak perempuan ke kanan:

Kami mengintegrasikan persamaan:

Integral umum diperoleh. Di sini saya menggambar konstanta dengan aksen bintang, faktanya akan segera berubah menjadi konstanta lain.

Sekarang kita mencoba untuk mengubah integral umum menjadi solusi umum (eksplisitkan "y"). Kami ingat sekolah tua, bagus,: . Pada kasus ini:

Konstanta dalam indikator terlihat entah bagaimana tidak halal, sehingga biasanya diturunkan dari surga ke bumi. Secara rinci, itu terjadi seperti ini. Menggunakan properti derajat, kami menulis ulang fungsi sebagai berikut:

Jika adalah suatu konstanta, maka juga suatu konstanta, atur ulang dengan huruf :

Ingat "penghancuran" sebuah konstanta adalah teknik kedua, yang sering digunakan dalam penyelesaian persamaan diferensial.

Jadi solusi umumnya adalah: Keluarga fungsi eksponensial yang bagus.

Pada tahap akhir, Anda perlu menemukan solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal yang diberikan . Ini juga sederhana.

Apa tugasnya? Perlu dijemput seperti nilai konstanta untuk memenuhi kondisi .

Anda dapat mengaturnya dengan cara yang berbeda, tetapi yang paling bisa dimengerti, mungkin, adalah seperti ini. Dalam solusi umum, alih-alih "x", kami mengganti nol, dan alih-alih "y", dua:



Yaitu,

Versi desain standar:

Sekarang kita substitusikan nilai konstanta yang ditemukan ke dalam solusi umum:
– ini adalah solusi khusus yang kami butuhkan.

Menjawab: solusi pribadi:

Mari kita lakukan pemeriksaan. Verifikasi solusi tertentu mencakup dua tahap:

Pertama, perlu diperiksa apakah solusi khusus yang ditemukan benar-benar memenuhi kondisi awal ? Alih-alih "x" kami mengganti nol dan melihat apa yang terjadi:
- ya, memang, deuce diperoleh, yang berarti bahwa kondisi awal terpenuhi.

Tahap kedua sudah akrab. Kami mengambil solusi khusus yang dihasilkan dan menemukan turunannya:

Substitusi ke persamaan awal:

- persamaan yang benar diperoleh.

Kesimpulan: solusi tertentu ditemukan dengan benar.

Mari beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 3

Memecahkan persamaan diferensial

Keputusan: Kami menulis ulang turunan dalam bentuk yang kami butuhkan:

Menilai apakah variabel dapat dipisahkan? Bisa. Kami memindahkan suku kedua ke ruas kanan dengan perubahan tanda:

Dan kami membalik faktor sesuai dengan aturan proporsi:

Variabel dipisahkan, mari kita integrasikan kedua bagian:

Saya harus memperingatkan Anda, hari penghakiman akan datang. Jika Anda belum belajar dengan baik integral tak tentu, memecahkan beberapa contoh, maka tidak ada tempat untuk pergi - Anda harus menguasainya sekarang.

Integral ruas kiri mudah ditemukan, dengan integral kotangen kita berurusan dengan teknik standar yang kita bahas dalam pelajaran. Integrasi fungsi trigonometri Tahun lalu:

Di sisi kanan, kami memiliki logaritma, dan, menurut rekomendasi teknis pertama saya, konstanta juga harus ditulis di bawah logaritma.

Sekarang kita coba menyederhanakan integral umum. Karena kita hanya memiliki logaritma, sangat mungkin (dan perlu) untuk menghilangkannya. Melalui properti yang diketahui maksimal "kemas" logaritma. Saya akan menulis dengan sangat rinci:

Kemasannya lengkap untuk menjadi compang-camping barbar:

Apakah mungkin untuk mengekspresikan "y"? Bisa. Kedua bagian harus dikuadratkan.

Tapi Anda tidak harus melakukannya.

Tip teknologi ketiga: jika untuk mendapatkan solusi umum Anda perlu menaikkan pangkat atau mengakar, maka Umumnya Anda harus menahan diri dari tindakan ini dan meninggalkan jawabannya dalam bentuk integral umum. Faktanya adalah bahwa solusi umum akan terlihat sangat buruk - dengan akar besar, tanda dan sampah lainnya.

Oleh karena itu, kami menulis jawabannya sebagai integral umum. Dianggap bentuk yang baik untuk menyajikannya dalam bentuk, yaitu, di sisi kanan, jika mungkin, hanya menyisakan konstanta. Tidak perlu melakukan ini, tetapi selalu bermanfaat untuk menyenangkan profesor ;-)

Menjawab: integral umum:

! Catatan: integral umum dari persamaan apa pun dapat ditulis dalam lebih dari satu cara. Jadi, jika hasil Anda tidak sesuai dengan jawaban yang diketahui sebelumnya, maka ini tidak berarti Anda salah menyelesaikan persamaan.

Integral umum juga diperiksa dengan cukup mudah, yang utama adalah dapat menemukan turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan secara implisit. Mari kita bedakan jawabannya:

Kami mengalikan kedua istilah dengan:

Dan kita bagi dengan:

Persamaan diferensial asli diperoleh dengan tepat, yang berarti bahwa integral umum ditemukan dengan benar.

Contoh 4

Temukan solusi khusus dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal. Jalankan cek.

Ini adalah contoh do-it-yourself.

Saya mengingatkan Anda bahwa algoritma terdiri dari dua tahap:
1) menemukan solusi umum;
2) menemukan solusi khusus yang diperlukan.

Pemeriksaan juga dilakukan dalam dua langkah (lihat contoh pada Contoh No. 2), Anda memerlukan:
1) memastikan bahwa solusi tertentu yang ditemukan memenuhi kondisi awal;
2) periksa bahwa solusi tertentu umumnya memenuhi persamaan diferensial.

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Contoh 5

Temukan solusi khusus dari persamaan diferensial , memenuhi kondisi awal . Jalankan cek.

Keputusan: Pertama, mari kita cari solusi umumnya.Persamaan ini sudah mengandung diferensial siap pakai dan , yang berarti bahwa solusinya telah disederhanakan. Memisahkan variabel:

Kami mengintegrasikan persamaan:

Integral di sebelah kiri adalah tabel, integral di sebelah kanan diambil metode menjumlahkan fungsi di bawah tanda diferensial:

Integral umum telah diperoleh, apakah mungkin untuk berhasil mengungkapkan solusi umum? Bisa. Kami menggantung logaritma di kedua sisi. Karena positif, tanda modulo redundan:

(Saya harap semua orang memahami transformasi, hal-hal seperti itu seharusnya sudah diketahui)

Jadi solusi umumnya adalah:

Mari kita cari solusi tertentu yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan .
Dalam solusi umum, alih-alih "x", kami mengganti nol, dan alih-alih "y", logaritma dua:

Desain yang lebih akrab:

Kami mengganti nilai yang ditemukan dari konstanta ke dalam solusi umum.

Menjawab: solusi pribadi:

Periksa: Pertama, periksa apakah kondisi awal terpenuhi:
- semuanya baik.

Sekarang mari kita periksa apakah solusi khusus yang ditemukan memenuhi persamaan diferensial sama sekali. Kami menemukan turunannya:

Mari kita lihat persamaan aslinya: - itu disajikan dalam diferensial. Ada dua cara untuk memeriksa. Diferensial dari turunan yang ditemukan dapat dinyatakan:

Kami mengganti solusi khusus yang ditemukan dan diferensial yang dihasilkan ke dalam persamaan asli :

Kami menggunakan identitas logaritma dasar:

Persamaan yang benar diperoleh, yang berarti bahwa solusi tertentu ditemukan dengan benar.

Cara pemeriksaan kedua dicerminkan dan lebih akrab: dari persamaan nyatakan turunannya, untuk ini kami membagi semua bagian dengan:

Dan dalam DE yang ditransformasikan kita substitusikan solusi partikular yang diperoleh dan turunan yang ditemukan . Sebagai hasil dari penyederhanaan, persamaan yang benar juga harus diperoleh.

Contoh 6

Selesaikan persamaan diferensial. Nyatakan jawabannya sebagai integral umum.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri, solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Kesulitan apa yang menunggu dalam menyelesaikan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan?

1) Tidak selalu jelas (terutama untuk teko) bahwa variabel dapat dipisahkan. Pertimbangkan contoh bersyarat: . Di sini Anda perlu mengeluarkan faktor-faktor dari tanda kurung: dan pisahkan akar-akarnya:. Bagaimana untuk melangkah lebih jauh sudah jelas.

2) Kesulitan dalam integrasi itu sendiri. Integral sering muncul bukan yang paling sederhana, dan jika ada kekurangan dalam keterampilan menemukan integral tak tentu, maka akan sulit dengan banyak diffusers. Selain itu, penyusun kumpulan dan manual populer dengan logika “karena persamaan diferensialnya sederhana, maka paling tidak integralnya akan lebih rumit”.

3) Transformasi dengan konstanta. Seperti yang telah diperhatikan semua orang, konstanta dalam persamaan diferensial dapat ditangani dengan cukup bebas, dan beberapa transformasi tidak selalu jelas bagi pemula. Mari kita lihat contoh hipotetis lainnya: . Di dalamnya, disarankan untuk mengalikan semua istilah dengan 2: . Konstanta yang dihasilkan juga merupakan beberapa jenis konstanta, yang dapat dilambangkan dengan: . Ya, dan karena ada logaritma di ruas kanan, disarankan untuk menulis ulang konstanta tersebut sebagai konstanta lain: .

Masalahnya adalah mereka sering tidak peduli dengan indeks dan menggunakan huruf yang sama. Akibatnya, catatan keputusan mengambil bentuk berikut:

bid'ah apa? Berikut adalah kesalahannya! Tegasnya, ya. Namun dari segi substantif tidak terdapat kesalahan, karena sebagai hasil transformasi suatu konstanta variabel tetap diperoleh konstanta variabel.

Atau contoh lain, misalkan dalam penyelesaian persamaan, diperoleh integral umum. Jawaban ini terlihat jelek, jadi disarankan untuk mengubah tanda setiap istilah: . Secara formal, ada lagi kesalahan - di sebelah kanan, itu harus ditulis . Tetapi secara informal tersirat bahwa "minus ce" masih konstan ( yang juga mengambil nilai apa pun!), jadi menempatkan "minus" tidak masuk akal dan Anda dapat menggunakan huruf yang sama.

Saya akan mencoba menghindari pendekatan yang ceroboh, dan masih meletakkan indeks yang berbeda untuk konstanta saat mengonversinya.

Contoh 7

Selesaikan persamaan diferensial. Jalankan cek.

Keputusan: Persamaan ini mengakui pemisahan variabel. Memisahkan variabel:

Kami mengintegrasikan:

Konstanta di sini tidak harus didefinisikan di bawah logaritma, karena tidak ada hal baik yang akan dihasilkan darinya.

Menjawab: integral umum:

Periksa: Bedakan jawaban (fungsi implisit):

Kami menyingkirkan pecahan, untuk ini kami mengalikan kedua istilah dengan:

Persamaan diferensial asli telah diperoleh, yang berarti bahwa integral umum telah ditemukan dengan benar.

Contoh 8

Temukan solusi khusus DE.
,

Ini adalah contoh do-it-yourself. Satu-satunya petunjuk adalah bahwa di sini Anda mendapatkan integral umum, dan, lebih tepatnya, Anda perlu merancang untuk tidak menemukan solusi khusus, tetapi integral pribadi. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

6.1. KONSEP DAN DEFINISI DASAR

Ketika memecahkan berbagai masalah matematika dan fisika, biologi dan kedokteran, seringkali tidak mungkin untuk segera membangun ketergantungan fungsional dalam bentuk rumus yang menghubungkan variabel yang menggambarkan proses yang dipelajari. Biasanya, kita harus menggunakan persamaan yang mengandung, selain variabel bebas dan fungsi yang tidak diketahui, juga turunannya.

Definisi. Persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui, dan turunannya dari berbagai orde disebut diferensial.

Fungsi yang tidak diketahui biasanya dilambangkan y(x) atau hanya y, dan turunannya adalah y", y" dll.

Notasi lain juga dimungkinkan, misalnya: jika kamu= x(t), maka x"(t), x""(t) adalah turunannya, dan t adalah variabel bebas.

Definisi. Jika fungsi bergantung pada satu variabel, maka persamaan diferensial disebut biasa. Bentuk umum persamaan diferensial biasa:

atau

Fungsi F dan f mungkin tidak mengandung beberapa argumen, tetapi agar persamaan menjadi diferensial, keberadaan turunan sangat penting.

Definisi.Orde persamaan diferensial adalah urutan turunan tertinggi yang termasuk di dalamnya.

Sebagai contoh, x 2 y"- kamu= 0, y" + sin x= 0 adalah persamaan orde pertama, dan y"+ 2 y"+ 5 kamu= x adalah persamaan orde dua.

Saat menyelesaikan persamaan diferensial, operasi integrasi digunakan, yang dikaitkan dengan penampilan konstanta arbitrer. Jika tindakan integrasi diterapkan n kali, maka, jelas, solusinya akan berisi n konstanta arbitrer.

6.2. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER PERTAMA

Bentuk umum persamaan diferensial orde pertama ditentukan oleh ekspresi

Persamaan mungkin tidak secara eksplisit mengandung x dan y, tetapi harus mengandung y".

Jika persamaan dapat ditulis sebagai

maka kita mendapatkan persamaan diferensial orde pertama diselesaikan sehubungan dengan turunan.

Definisi. Solusi umum persamaan diferensial orde pertama (6.3) (atau (6.4)) adalah himpunan solusi , di mana Dengan adalah konstanta arbitrer.

Graf untuk menyelesaikan persamaan diferensial disebut kurva integral.

Memberikan konstanta arbitrer Dengan nilai yang berbeda, adalah mungkin untuk mendapatkan solusi tertentu. Di permukaan xOy solusi umum adalah keluarga kurva integral yang sesuai dengan setiap solusi tertentu.

Jika Anda menetapkan titik A(x0, y0), yang harus dilalui kurva integral, maka, sebagai aturan, dari himpunan fungsi satu dapat dipilih - solusi tertentu.

Definisi.Keputusan pribadi persamaan diferensial adalah penyelesaiannya yang tidak mengandung konstanta sembarang.

Jika sebuah adalah solusi umum, maka dari kondisi

Anda dapat menemukan yang permanen DENGAN. Kondisi tersebut disebut kondisi awal.

Masalah menemukan solusi khusus dari persamaan diferensial (6.3) atau (6.4) yang memenuhi kondisi awal pada ditelepon masalah Cauchy. Apakah masalah ini selalu ada solusinya? Jawabannya terdapat pada teorema berikut.

teorema Cauchy(teorema keberadaan dan keunikan solusi). Biarkan dalam persamaan diferensial y"= f(x, y) fungsi f(x, y) dan dia

turunan parsial didefinisikan dan terus menerus dalam beberapa

daerah D, mengandung titik Kemudian di daerah D ada

satu-satunya solusi persamaan yang memenuhi kondisi awal pada

Teorema Cauchy menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu ada kurva integral yang unik kamu= f(x), melewati suatu titik Poin di mana kondisi teorema tidak terpenuhi

Kucing disebut spesial. Hancur di titik-titik ini f(x,y) atau.

Entah beberapa kurva integral melewati titik tunggal, atau tidak sama sekali.

Definisi. Jika solusi (6.3), (6.4) ditemukan dalam bentuk f(x, y, c)= 0 tidak diperbolehkan terhadap y, maka disebut integral umum persamaan diferensial.

Teorema Cauchy hanya menjamin bahwa solusi itu ada. Karena tidak ada metode tunggal untuk menemukan solusi, kita hanya akan mempertimbangkan beberapa jenis persamaan diferensial orde pertama yang dapat diintegralkan dalam kotak.

Definisi. Persamaan diferensial disebut integral dalam kuadrat, jika pencarian solusinya direduksi menjadi integrasi fungsi.

6.2.1. Persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan

Definisi. Persamaan diferensial orde satu disebut persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan,

Ruas kanan persamaan (6.5) adalah produk dari dua fungsi, yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel.

Misalnya persamaan adalah persamaan dengan pemisahan

melewati variabel
dan persamaan

tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk (6.5).

Mengingat bahwa , kami menulis ulang (6.5) sebagai

Dari persamaan ini kita memperoleh persamaan diferensial dengan variabel terpisah, di mana diferensial berisi fungsi yang hanya bergantung pada variabel yang sesuai:

Mengintegrasikan istilah demi istilah, kami memiliki

dimana C = C 2 - C 1 adalah konstanta arbitrer. Ekspresi (6.6) adalah integral umum dari persamaan (6.5).

Membagi kedua bagian persamaan (6.5) dengan , kita dapat kehilangan solusi yang, Memang, jika pada

kemudian jelas merupakan solusi persamaan (6.5).

Contoh 1 Temukan solusi untuk persamaan yang memuaskan

kondisi: kamu= 6 at x= 2 (kamu(2) = 6).

Keputusan. Ayo ganti pada" untuk kemudian . Kalikan kedua ruas dengan

dx, karena dalam integrasi lebih lanjut tidak mungkin untuk pergi dx dalam penyebut:

dan kemudian membagi kedua bagian dengan kita mendapatkan persamaan,

yang dapat diintegrasikan. Kami mengintegrasikan:

Kemudian ; mempotensiasi, kita mendapatkan y = C . (x + 1) - ob-

larutan.

Berdasarkan data awal, kami menentukan konstanta arbitrer dengan mensubstitusikannya ke dalam solusi umum

Akhirnya kita mendapatkan kamu= 2(x + 1) adalah solusi khusus. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Contoh 2 Temukan solusi untuk persamaan

Keputusan. Mengingat bahwa , kita mendapatkan .

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita memiliki

di mana

Contoh 3 Temukan solusi untuk persamaan Keputusan. Kami membagi kedua bagian persamaan dengan faktor-faktor yang bergantung pada variabel yang tidak bertepatan dengan variabel di bawah tanda diferensial, yaitu, dengan dan mengintegrasikan. Kemudian kita mendapatkan

dan akhirnya

Contoh 4 Temukan solusi untuk persamaan

Keputusan. Mengetahui apa yang akan kita dapatkan. Bagian-

variabel lim. Kemudian

Mengintegrasikan, kita mendapatkan

Komentar. Dalam contoh 1 dan 2, fungsi yang diinginkan kamu dinyatakan secara eksplisit (solusi umum). Dalam contoh 3 dan 4 - secara implisit (integral umum). Di masa depan, bentuk keputusan tidak akan ditentukan.

Contoh 5 Temukan solusi untuk persamaan Keputusan.

Contoh 6 Temukan solusi untuk persamaan memuaskan

kondisi kamu)= 1.

Keputusan. Kami menulis persamaan dalam bentuk

Mengalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan seterusnya, kita dapatkan

Mengintegrasikan kedua ruas persamaan (integral di ruas kanan diambil bagian), kita peroleh

Tapi dengan syarat kamu= 1 at x= e. Kemudian

Substitusikan nilai yang ditemukan Dengan menjadi solusi umum:

Ekspresi yang dihasilkan disebut solusi khusus dari persamaan diferensial.

6.2.2. Persamaan diferensial homogen orde pertama

Definisi. Persamaan diferensial orde pertama disebut homogen jika dapat direpresentasikan sebagai

Kami menyajikan algoritma untuk memecahkan persamaan homogen.

1. Sebagai gantinya kamu perkenalkan fungsi baru Kemudian dan karenanya

2. Dari segi fungsi kamu persamaan (6.7) berbentuk

yaitu, penggantian mengurangi persamaan homogen menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

3. Memecahkan persamaan (6.8), pertama-tama kita cari u, dan kemudian kamu= uk.

Contoh 1 selesaikan persamaannya Keputusan. Kami menulis persamaan dalam bentuk

Kami melakukan substitusi:
Kemudian

Ayo ganti

Kalikan dengan dx: Dibagi dengan x dan terus kemudian

Mengintegrasikan kedua bagian persamaan sehubungan dengan variabel yang sesuai, kami memiliki

atau, kembali ke variabel lama, kita akhirnya mendapatkan

Contoh 2selesaikan persamaannya Keputusan.Biarlah kemudian

Bagilah kedua ruas persamaan dengan x2: Mari kita buka tanda kurung dan mengatur ulang istilah:

Pindah ke variabel lama, kita sampai pada hasil akhir:

Contoh 3Temukan solusi untuk persamaan mengingat bahwa

Keputusan.Melakukan penggantian standar kita mendapatkan

atau

atau

Jadi solusi khusus memiliki bentuk Contoh 4 Temukan solusi untuk persamaan

Keputusan.

Contoh 5Temukan solusi untuk persamaan Keputusan.

kerja mandiri

Temukan solusi untuk persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan (1-9).

Temukan solusi untuk persamaan diferensial homogen (9-18).

6.2.3. Beberapa aplikasi persamaan diferensial orde pertama

Masalah peluruhan radioaktif

Laju peluruhan Ra (radium) pada setiap momen waktu sebanding dengan massa yang tersedia. Temukan hukum peluruhan radioaktif Ra jika diketahui bahwa pada saat awal ada Ra dan waktu paruh Ra adalah 1590 tahun.

Keputusan. Biarkan saat ini massa Ra menjadi x= x(t) g, dan Maka laju peluruhan Ra adalah

Sesuai tugas

di mana k

Memisahkan variabel dalam persamaan terakhir dan mengintegrasikan, kita mendapatkan

di mana

Untuk menentukan C kita menggunakan kondisi awal: .

Kemudian dan maka dari itu,

Faktor proporsionalitas k ditentukan dari syarat tambahan:

Kita punya

Dari sini dan formula yang diinginkan

Masalah kecepatan reproduksi bakteri

Tingkat reproduksi bakteri sebanding dengan jumlah mereka. Pada saat awal ada 100 bakteri. Dalam waktu 3 jam jumlah mereka berlipat ganda. Temukan ketergantungan jumlah bakteri pada waktu. Berapa kali jumlah bakteri bertambah dalam 9 jam?

Keputusan. Biarlah x- jumlah bakteri saat ini t. Kemudian, sesuai dengan kondisi,

di mana k- koefisien proporsionalitas.

Dari sini Diketahui dari kondisi bahwa . Cara,

Dari syarat tambahan . Kemudian

Fungsi yang diperlukan:

Jadi, di t= 9 x= 800, yaitu dalam waktu 9 jam jumlah bakteri meningkat 8 kali lipat.

Tugas meningkatkan jumlah enzim

Dalam kultur ragi bir, laju pertumbuhan enzim aktif sebanding dengan jumlah awalnya. x. Jumlah awal enzim sebuah berlipat ganda dalam waktu satu jam. Temukan ketergantungan

x(t).

Keputusan. Dengan syarat, persamaan diferensial dari proses memiliki bentuk

dari sini

Tetapi . Cara, C= sebuah lalu

Diketahui juga bahwa

Karena itu,

6.3. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER KEDUA

6.3.1. Konsep dasar

Definisi.Persamaan diferensial orde dua disebut relasi yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang diinginkan dan turunan pertama dan kedua.

Dalam kasus khusus, x mungkin tidak ada dalam persamaan, pada atau y". Namun, persamaan orde kedua harus mengandung y". Dalam kasus umum, persamaan diferensial orde kedua ditulis sebagai:

atau, jika mungkin, dalam bentuk yang diperbolehkan untuk turunan kedua:

Seperti dalam kasus persamaan orde pertama, persamaan orde kedua dapat memiliki solusi umum dan khusus. Solusi umum terlihat seperti:

Menemukan solusi pribadi

di bawah kondisi awal - diberikan

nomor) disebut masalah Cauchy. Secara geometris, ini berarti diperlukan untuk menemukan kurva integral pada= y(x), melewati suatu titik tertentu dan memiliki garis singgung pada titik ini, yaitu tentang

garpu dengan arah sumbu positif Sapi sudut yang diberikan. e. (Gbr. 6.1). Masalah Cauchy memiliki solusi unik jika ruas kanan persamaan (6.10), belum

adalah diskontinu dan memiliki turunan parsial kontinu terhadap kamu, kamu" di beberapa lingkungan dari titik awal

Untuk menemukan konstanta termasuk dalam solusi tertentu, perlu untuk memungkinkan sistem

Beras. 6.1. kurva integral