"Lingkungan politik" - Hubungan aktor sosial tentang kekuasaan negara. Ilmiah dan teoritis. Proses interaksi antara politik dan ekonomi. Bersama negara. Pengaturan hubungan sosial ditentukan oleh kepentingan sosial. Proses interaksi antara politik dan moralitas. Kekuatan negara, persuasi, stimulasi.

"Geometri prisma" - Sebuah prisma segi empat lurus ABCDA1B1C1D1 diberikan. Euclid mungkin mempertimbangkan masalah panduan praktis untuk geometri. Prisma lurus - prisma di mana tepi lateral tegak lurus dengan alas. Prisma dalam geometri. Berdasarkan sifat 2 volume, V=V1+V2, yaitu, V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Jadi segitiga A1B1C1 dan ABC sama panjang pada ketiga sisinya.

"Volume prisma" - Bagaimana menemukan volume prisma lurus? Volume prisma asli sama dengan hasil kali S · h. Langkah-langkah dasar dalam membuktikan teorema prisma langsung? Luas S alas prisma asal. Gambarlah tinggi segitiga ABC. Tugas. prisma langsung. tujuan pelajaran. Konsep prisma. Volume prisma lurus. Solusi dari masalah. Prisma dapat dibagi menjadi prisma segitiga lurus dengan tinggi h.

"Permukaan bola" - Mars. Apakah bola itu bola? Bola dan bola. Bumi. Ensiklopedi. Kami mendukung tim bisbol sekolah menengah kami. Venus. Uranus. Apakah itu bola di gambar? Sedikit sejarah. Suasana. Saya memutuskan untuk melakukan sedikit riset ……. Saturnus. Apakah Anda siap untuk menjawab pertanyaan?

Polihedral berbatas di sekitar bola Sebuah polihedron dikatakan berbatas di sekitar bola jika semua bidang permukaannya menyentuh bola. Bola itu sendiri dikatakan tertulis dalam polihedron. Dalil. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam prisma jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat ditulisi di alasnya, dan tinggi prisma sama dengan diameter lingkaran ini. Dalil. Piramida segitiga apa pun dapat ditulisi dengan bola, dan terlebih lagi, hanya satu.

Latihan 1 Hapus persegi dan gambar dua jajar genjang yang mewakili bagian atas dan bawah kubus. Hubungkan simpul mereka dengan segmen. Dapatkan gambar bola tertulis dalam kubus. Gambarlah sebuah bola yang tertulis dalam sebuah kubus, seperti pada slide sebelumnya. Untuk melakukan ini, gambar elips yang tertulis dalam jajaran genjang yang diperoleh dengan mengompresi lingkaran dan bujur sangkar sebanyak 4 kali. Tandai kutub bola dan titik singgung elips dan jajaran genjang.

Latihan 1 Sebuah bola dimasukkan ke dalam prisma segi empat siku-siku, yang alasnya adalah belah ketupat dengan sisi 1 dan sudut lancip 60 o. Tentukan jari-jari bola dan tinggi prisma. Keputusan. Jari-jari bola adalah setengah tinggi DG alas, mis. Ketinggian prisma sama dengan diameter bola, mis.

Latihan 4 Bola ditulis dalam prisma segi empat siku-siku, yang alasnya adalah segiempat, keliling 4 dan luas 2. Temukan jari-jari r bola yang tertulis. Keputusan. Perhatikan bahwa jari-jari bola sama dengan jari-jari lingkaran yang tertulis di dasar prisma. Mari kita gunakan fakta bahwa jari-jari lingkaran yang tertulis dalam poligon sama dengan luas poligon ini dibagi dengan setengah kelilingnya. Kita mendapatkan

Latihan 3 Temukan jari-jari bola yang terdapat dalam piramida segitiga beraturan, dengan sisi alasnya adalah 2, dan sudut dihedral pada alasnya adalah 60 o. Keputusan. Mari kita gunakan fakta bahwa pusat bola bertulisan adalah titik perpotongan bidang-bidang bagi dua sudut dihedral di dasar piramida. Jari-jari bola OE memenuhi persamaan Oleh karena itu,

Latihan 4 Temukan jari-jari bola pada piramida segitiga beraturan, yang sisi-sisinya sama dengan 1, dan sudut-sudut datar di puncaknya adalah 90 o. Jawaban: Keputusan. Dalam SABC tetrahedron kita memiliki: SD = DE = SE = Dari kesamaan segitiga SOF dan SDE kita memperoleh persamaan, penyelesaian yang, kita temukan

Latihan 1 Temukan jari-jari bola yang tertulis dalam piramida segi empat biasa, semua tepinya sama dengan 1. Mari kita gunakan fakta bahwa untuk jari-jari r lingkaran yang tertulis dalam segitiga, rumusnya berlaku: r = S / p, di mana S adalah luas, p adalah setengah keliling segitiga . Dalam kasus kami S = p = Solusi. Jari-jari bola sama dengan jari-jari lingkaran pada segitiga SEF, di mana SE = SF = EF=1, SG = Oleh karena itu,

Latihan 2 Temukan jari-jari bola yang terdapat dalam piramida segi empat beraturan, yang sisi alasnya sama dengan 1, dan sisi sampingnya adalah 2. Mari kita gunakan fakta bahwa untuk jari-jari r dari sebuah lingkaran yang berbentuk segitiga, rumus terjadi: r = S / p, di mana S - luas, p adalah setengah keliling segitiga. Dalam kasus kami S = p = Solusi. Jari-jari bola sama dengan jari-jari lingkaran pada segitiga SEF, di mana SE = SF = EF=1, SG = Oleh karena itu,

Latihan 3 Temukan jari-jari sebuah bola yang terdapat dalam sebuah piramida segi empat beraturan, yang alasnya adalah 2, dan sudut dihedral pada alasnya adalah 60 o. Keputusan. Mari kita gunakan fakta bahwa pusat bola bertulisan adalah titik perpotongan bidang-bidang bagi dua sudut dihedral di dasar piramida. Jari-jari bola OG memenuhi persamaan Oleh karena itu,

Latihan 4 Bola satuan tertulis dalam piramida segi empat biasa, yang sisi alasnya adalah 4. Temukan tinggi piramida. Mari kita manfaatkan fakta bahwa untuk jari-jari r lingkaran yang tertulis dalam segitiga, rumusnya berlaku: r = S/p, di mana S adalah luasnya, p adalah setengah keliling segitiga. Dalam kasus kami S = 2h, p = Solusi. Mari kita nyatakan tinggi SG piramida sebagai h. Jari-jari bola sama dengan jari-jari lingkaran pada segitiga SEF, di mana SE = SF = EF=4. Oleh karena itu, kami memiliki persamaan dari mana kami menemukan

Latihan 1 Temukan jari-jari bola dalam piramida heksagonal biasa, di mana tepi alasnya adalah 1 dan tepi sampingnya adalah 2. Mari kita gunakan fakta bahwa untuk jari-jari r sebuah lingkaran yang tertulis dalam segitiga, rumusnya berlaku : r \u003d S / p, di mana S adalah luasnya, p adalah setengah keliling segitiga. Dalam kasus kami, S = p = Oleh karena itu, Solusi. Jari-jari bola sama dengan jari-jari lingkaran pada segitiga SPQ, di mana SP = SQ = PQ= SH =

Latihan 2 Temukan jari-jari bola yang terdapat dalam piramida heksagonal beraturan dengan tepi alas sama dengan 1 dan sudut dihedral pada alasnya sama dengan 60 o. Keputusan. Mari kita gunakan fakta bahwa pusat bola bertulisan adalah titik perpotongan bidang-bidang bagi dua sudut dihedral di dasar piramida. Jari-jari bola OH memenuhi persamaan Oleh karena itu,
Latihan Temukan jari-jari bola yang tertulis dalam satuan oktahedron. Jawaban: Keputusan. Jari-jari bola sama dengan jari-jari lingkaran yang tertulis pada belah ketupat SESF, di mana SE = SF = EF=1, SO = Maka tinggi belah ketupat, diturunkan dari titik E, akan sama dengan yang diinginkan jari-jari sama dengan setengah tinggi, dan sama dengan O

Latihan Temukan jari-jari bola yang tertulis dalam satuan ikosahedron. Keputusan. Kami menggunakan fakta bahwa jari-jari OA dari bola yang dibatasi sama dengan dan jari-jari AQ dari lingkaran yang dibatasi tentang segitiga sama sisi dengan sisi 1 Sama dengan teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga siku-siku OAQ, kami mendapatkan Latihan Temukan jari-jari sebuah bola tertulis dalam dodecahedron unit. Keputusan. Kami menggunakan fakta bahwa jari-jari OF dari bola yang dibatasi sama dengan dan jari-jari FQ dari lingkaran yang dibatasi tentang segi lima sama sisi dengan sisi 1 Sama dengan teorema Pythagoras, diterapkan pada segitiga siku-siku OFQ, kami memperoleh

Latihan 1 Dapatkah sebuah bola dituliskan dalam tetrahedron yang terpotong? Keputusan. Perhatikan bahwa pusat O bola yang tertulis dalam tetrahedron terpotong harus bertepatan dengan pusat bola yang tertulis dalam tetrahedron, yang bertepatan dengan pusat bola setengah tertulis dalam tetrahedron terpotong. Jarak d 1, d 2 dari titik O ke wajah heksagonal dan segitiga dihitung menggunakan teorema Pythagoras: di mana R adalah jari-jari bola setengah bertulis, r 1, r 2 adalah jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi enam dan segitiga, masing-masing. Karena r 1 > r 2, maka d 1 r 2, maka d 1

Topik "Berbagai masalah pada polihedra, silinder, kerucut, dan bola" adalah salah satu yang paling sulit dalam kursus geometri kelas 11. Sebelum memecahkan masalah geometri, mereka biasanya mempelajari bagian-bagian yang relevan dari teori yang dirujuk ketika memecahkan masalah. Dalam buku teks karya S. Atanasyan dkk tentang topik ini (hal. 138) orang hanya dapat menemukan definisi polihedron yang dibatasi pada bola, polihedron yang tertulis di dalam bola, bola yang tertulis di dalam polihedron, dan bola yang dibatasi. dekat polihedron. Rekomendasi metodologis untuk buku teks ini (lihat buku "Mempelajari geometri di kelas 10-11" oleh S.M. Saakyan dan V.F. Butuzov, hal. 159) mengatakan kombinasi benda mana yang dipertimbangkan saat menyelesaikan masalah No. 629–646 , dan perhatian ditarik pada fakta bahwa "ketika memecahkan masalah tertentu, pertama-tama, perlu untuk memastikan bahwa siswa memiliki gagasan yang baik tentang posisi relatif tubuh yang ditunjukkan dalam kondisi tersebut." Berikut ini adalah penyelesaian soal No. 638 (a) dan No. 640.

Mempertimbangkan semua hal di atas, dan fakta bahwa tugas yang paling sulit bagi siswa adalah tugas menggabungkan bola dengan benda lain, perlu untuk mensistematisasikan posisi teoritis yang relevan dan mengkomunikasikannya kepada siswa.

Definisi.

1. Sebuah bola disebut bergaris dalam polihedron, dan sebuah polihedron dikatakan berbatas dekat bola, jika permukaan bola menyentuh semua permukaan polihedron.

2. Sebuah bola disebut dibatasi di dekat polihedron, dan polihedron disebut tertulis di dalam bola jika permukaan bola melewati semua simpul polihedron.

3. Sebuah bola disebut terpotong dalam silinder, kerucut terpotong (cone), dan silinder, kerucut terpotong (cone) disebut dibatasi dekat bola, jika permukaan bola menyentuh alas (alas) dan semua generator dari silinder, kerucut terpotong (cone).

(Berikut dari definisi ini bahwa keliling lingkaran besar bola dapat dituliskan di setiap bagian aksial dari benda-benda ini).

4. Sebuah bola disebut berbatas dekat silinder, kerucut terpotong (cone) jika lingkaran alas (lingkaran alas dan atas) termasuk ke dalam permukaan bola.

(Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa tentang setiap bagian aksial dari benda-benda ini, keliling lingkaran bola yang lebih besar dapat dijelaskan).

Pernyataan umum tentang posisi pusat bola.

1. Pusat sebuah bola bertulisan dalam polihedron terletak pada titik potong bidang-bidang bagi semua sudut dihedral dari polihedron. Itu hanya terletak di dalam polihedron.

2. Pusat bola yang dibatasi oleh polihedron terletak pada titik perpotongan bidang yang tegak lurus terhadap semua tepi polihedron dan melalui titik tengahnya. Itu dapat ditempatkan di dalam, di permukaan dan di luar polihedron.

Kombinasi bola dan prisma.

1. Sebuah bola tertulis dalam prisma lurus.

Teorema 1. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam prisma siku-siku jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat diletakkan di dasar prisma dan tinggi prisma sama dengan diameter lingkaran ini.

Konsekuensi 1. Pusat bola yang terdapat pada prisma siku-siku terletak di tengah ketinggian prisma yang melalui pusat lingkaran yang terletak di alasnya.

Konsekuensi 2. Bola, khususnya, dapat ditulis dalam garis lurus: segitiga, teratur, segi empat (di mana jumlah sisi yang berlawanan dari alasnya sama satu sama lain) di bawah kondisi H = 2r, di mana H adalah ketinggian prisma , r adalah jari-jari lingkaran yang tertulis di alas.

2. Sebuah bola digambarkan dekat prisma.

Teorema 2. Sebuah bola dapat dibatasi di sekitar prisma jika dan hanya jika prisma itu lurus dan sebuah lingkaran dapat dibatasi di dekat alasnya.

Akibat wajar 1. Pusat bola yang dibatasi di dekat prisma lurus terletak di tengah ketinggian prisma yang ditarik melalui pusat lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya.

Konsekuensi 2. Sebuah bola, khususnya, dapat dijelaskan: di dekat prisma segitiga siku-siku, di dekat prisma biasa, di dekat persegi panjang sejajar, di dekat prisma segi empat siku-siku, di mana jumlah sudut yang berlawanan dari alasnya adalah 180 derajat.

Dari buku teks oleh L.S. Atanasyan, masalah No. 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b) dapat diajukan untuk kombinasi bola dengan prisma.

Kombinasi bola dengan piramida.

1. Bola digambarkan di dekat piramida.

Teorema 3. Sebuah bola dapat dibatasi di dekat piramida jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat dibatasi di dekat alasnya.

Konsekuensi 1. Pusat bola yang dibatasi di sekitar piramida terletak pada titik perpotongan garis yang tegak lurus dengan alas piramida, melewati pusat lingkaran yang dibatasi di dekat alas ini, dan sebuah bidang yang tegak lurus terhadap setiap sisi yang ditarik melalui bagian tengahnya. dari tepi ini.

Konsekuensi 2. Jika tepi sisi piramida sama satu sama lain (atau sama miringnya dengan bidang alasnya), maka sebuah bola dapat digambarkan di dekat piramida semacam itu.Pusat bola dalam hal ini terletak pada titik perpotongan dari ketinggian piramida (atau kelanjutannya) dengan sumbu simetri tepi samping terletak pada bidang tepi dan tinggi lateral.

Konsekuensi 3. Sebuah bola, khususnya, dapat digambarkan: dekat piramida segitiga, dekat piramida biasa, dekat piramida segi empat, di mana jumlah sudut yang berlawanan adalah 180 derajat.

2. Sebuah bola tertulis dalam piramida.

Teorema 4. Jika sisi-sisi sisi piramida sama-sama condong ke alasnya, maka sebuah bola dapat dituliskan dalam piramida semacam itu.

Konsekuensi 1. Pusat sebuah bola yang tertulis dalam sebuah piramida, yang sisi-sisinya sama-sama condong ke alasnya, terletak pada titik perpotongan ketinggian piramida dengan garis bagi sudut linier dari setiap sudut dihedral di dasar piramida, sisi yang merupakan ketinggian sisi wajah yang ditarik dari puncak piramida.

Konsekuensi 2. Sebuah bola dapat ditulisi dalam piramida biasa.

Dari buku teks oleh L.S. Atanasyan, masalah No. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641 dapat diusulkan untuk kombinasi bola dengan piramida.

Kombinasi bola dengan piramida terpotong.

1. Sebuah bola dibatasi di dekat piramida terpotong biasa.

Teorema 5. Di dekat piramida terpotong biasa, sebuah bola dapat digambarkan. (Kondisi ini cukup tetapi tidak perlu)

2. Sebuah bola tertulis dalam piramida terpotong biasa.

Teorema 6. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida terpotong biasa jika dan hanya jika apotema piramida sama dengan jumlah apotema alasnya.

Hanya ada satu masalah untuk menggabungkan bola dengan piramida terpotong di buku teks L.S. Atanasyan (No. 636).

Kombinasi bola dengan badan bulat.

Teorema 7. Di dekat silinder, kerucut terpotong (lingkaran kanan), kerucut, bola dapat dijelaskan.

Teorema 8. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam silinder (lingkaran kanan) jika dan hanya jika silinder itu sama sisi.

Teorema 9. Sebuah bola dapat ditulisi dalam kerucut apa pun (lingkaran kanan).

Teorema 10. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam kerucut terpotong (lingkaran kanan) jika dan hanya jika generatrixnya sama dengan jumlah jari-jari alasnya.

Dari buku teks karya L.S. Atanasyan, masalah No. 642, 643, 644, 645,646 dapat diajukan untuk kombinasi bola dengan benda bulat.

Untuk studi yang lebih berhasil tentang materi topik ini, perlu untuk memasukkan tugas lisan selama pelajaran:

1. rusuk kubus sama dengan a. Temukan jari-jari bola: tertulis di kubus dan dibatasi di dekatnya. (r = a/2, R = a3).

2. Apakah mungkin untuk menggambarkan sebuah bola (ball) di sekitar: a) sebuah kubus; b) paralelepiped persegi panjang; c) parallelepiped miring, di dasarnya terletak persegi panjang; d) paralelepiped lurus; e) paralelepiped miring? (a) ya; b) ya; c) tidak; d) tidak; e) tidak)

3. Benarkah sebuah bola dapat digambarkan di dekat piramida segitiga mana pun? (Ya)

4. Apakah mungkin untuk menggambarkan sebuah bola di sekitar piramida segi empat? (Tidak, tidak di dekat piramida segi empat)

5. Sifat apa yang harus dimiliki piramida untuk menggambarkan bola di sekitarnya? (Pada dasarnya harus ada poligon, di mana lingkaran dapat digambarkan)

6. Sebuah piramida tertulis di bola, tepi lateral yang tegak lurus dengan alasnya. Bagaimana cara menemukan pusat bola? (Pusat bola adalah titik perpotongan dua tempat geometris titik dalam ruang. Yang pertama adalah garis tegak lurus yang ditarik ke bidang dasar piramida, melalui pusat lingkaran yang dijelaskan di sekitarnya. Yang kedua adalah a bidang tegak lurus ke tepi sisi ini dan ditarik melalui tengahnya)

7. Dalam kondisi apa bola dapat digambarkan di dekat prisma, yang alasnya adalah trapesium? (Pertama, prisma harus lurus, dan kedua, trapesium harus sama kaki sehingga lingkaran dapat digambarkan di sekitarnya)

8. Kondisi apa yang harus dipenuhi sebuah prisma untuk menggambarkan sebuah bola di sekitarnya? (Prisma harus lurus dan alasnya harus berupa poligon di mana lingkaran dapat dibatasi)

9. Sebuah bola digambarkan di dekat prisma segitiga, yang pusatnya terletak di luar prisma. Segitiga apa yang merupakan alas prisma? (segitiga tumpul)

10. Apakah mungkin menggambarkan bola di dekat prisma miring? (Tidak)

11. Dalam kondisi apa pusat bola yang dibatasi pada prisma segitiga siku-siku akan terletak di salah satu sisi sisi prisma? (Alasnya adalah segitiga siku-siku)

12. Dasar piramida adalah trapesium sama kaki Proyeksi ortogonal puncak piramida ke bidang alas adalah titik yang terletak di luar trapesium. Apakah mungkin untuk menggambarkan bola di sekitar trapesium seperti itu? (Ya, Anda bisa. Fakta bahwa proyeksi ortogonal bagian atas piramida terletak di luar alasnya tidak masalah. Adalah penting bahwa di dasar piramida terletak trapesium sama kaki - poligon di mana lingkaran dapat berada dijelaskan)

13. Sebuah bola digambarkan di dekat piramida biasa. Bagaimana pusatnya terletak relatif terhadap unsur-unsur piramida? (Pusat bola berada pada garis tegak lurus yang ditarik ke bidang alas melalui pusatnya)

14. Dalam kondisi apa pusat bola yang dibatasi tentang prisma segitiga siku-siku terletak: a) di dalam prisma; b) di luar prisma? (Pada dasar prisma: a) segitiga lancip; b.segitiga tumpul)

15. Sebuah bola digambarkan di dekat sebuah paralelepiped persegi panjang yang ujung-ujungnya adalah 1 dm, 2 dm dan 2 dm. Hitung jari-jari bola. (1,5 dm)

16. Pada kerucut terpotong manakah sebuah bola dapat ditulisi? (Dalam kerucut terpotong, di bagian aksial yang lingkaran dapat ditulis. Bagian aksial kerucut adalah trapesium sama kaki, jumlah alasnya harus sama dengan jumlah sisi lateralnya. Dengan kata lain, untuk kerucut, jumlah jari-jari alas harus sama dengan generatrix)

17. Sebuah bola tertulis dalam kerucut terpotong. Pada sudut berapakah generatrix kerucut terlihat dari pusat bola? (90 derajat)

18. Sifat apa yang harus dimiliki prisma lurus agar dapat menuliskan sebuah bola di dalamnya? (Pertama, di dasar prisma lurus harus ada poligon di mana lingkaran dapat ditulis, dan, kedua, tinggi prisma harus sama dengan diameter lingkaran yang tertulis di alas)

19. Berikan contoh piramida di mana bola tidak dapat ditulisi? (Misalnya, piramida segi empat, di dasarnya terletak persegi panjang atau jajaran genjang)

20. Sebuah belah ketupat terletak di dasar prisma lurus. Bisakah sebuah bola dituliskan di prisma ini? (Tidak, Anda tidak bisa, karena dalam kasus umum tidak mungkin untuk menggambarkan lingkaran di dekat belah ketupat)

21. Dalam kondisi apa sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam prisma segitiga siku-siku? (Jika tinggi prisma adalah dua kali jari-jari lingkaran yang tertulis di alasnya)

22. Dalam kondisi apa sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida terpotong segi empat biasa? (Jika bagian piramida ini oleh sebuah bidang yang melewati tengah sisi alas yang tegak lurus dengannya adalah trapesium sama kaki di mana sebuah lingkaran dapat ditulisi)

23. Sebuah bola tertulis dalam piramida terpotong segitiga. Apa titik piramida yang merupakan pusat bola? (Pusat bola yang tertulis dalam piramida ini berada di persimpangan tiga bidang sudut bagi dua yang dibentuk oleh sisi sisi piramida dengan alasnya)

24. Apakah mungkin untuk menggambarkan bola di sekitar silinder (lingkaran kanan)? (Ya kamu bisa)

25. Apakah mungkin untuk menggambarkan bola di dekat kerucut, kerucut terpotong (lingkaran kanan)? (Ya, Anda bisa, dalam kedua kasus)

26. Bisakah sebuah bola ditulisi dalam silinder apa pun? Sifat apa yang harus dimiliki sebuah silinder agar sebuah bola dapat tertulis di dalamnya? (Tidak, tidak pada semua orang: bagian aksial silinder harus persegi)

27. Dapatkah sebuah bola ditulisi dalam kerucut apa pun? Bagaimana cara menentukan posisi pusat bola yang tertulis di kerucut? (Ya, di mana saja. Pusat bola tertulis berada di persimpangan ketinggian kerucut dan garis-bagi sudut kemiringan generatrix ke bidang alas)

Penulis percaya bahwa dari tiga pelajaran yang diberikan untuk perencanaan dengan topik “Masalah yang berbeda untuk polihedra, silinder, kerucut, dan bola”, disarankan untuk mengambil dua pelajaran untuk menyelesaikan masalah menggabungkan bola dengan benda lain . Tidak disarankan untuk membuktikan teorema-teorema yang diberikan di atas karena jumlah waktu yang tidak mencukupi dalam pelajaran. Anda dapat menawarkan siswa yang memiliki keterampilan yang cukup untuk membuktikannya dengan menunjukkan (atas kebijaksanaan guru) kursus atau rencana pembuktian.