Topik 1. Pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar. (18 jam)

Bagian matematika. Melalui garis.

• 
  Angka dan Perhitungan
• 
  Ekspresi dan transformasi

• 
  pecahan aljabar.
• 
  Pengurangan pecahan.
• 
  Operasi dengan pecahan aljabar.

• 
  

Program	^ Jam	Kontrol tanda
U-1. Pelajaran gabungan "Konsep dasar"	1		Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 1 "Ekspresi Angka"
U-2. Pelajaran-kuliah "Sifat utama pecahan aljabar. Pengurangan pecahan"	1		Materi demo "Sifat dasar pecahan aljabar"
U-3. Pelajaran-konsolidasi dari apa yang telah dipelajari	1	Menghitung lisan Pekerjaan mandiri 1.1 “Sifat utama pecahan. Pengurangan Pecahan »	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 2 “Pengurangan Pecahan Aljabar”
U-4. Pelajaran gabungan "Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama"	1
U-5. Pelajaran - pemecahan masalah	1		CD Matematika 5-11 Latihan "Bilangan rasional".
U-6. Pelajaran gabungan "Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda"	1		Materi demo "Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar"
U-7. Pelajaran - pemecahan masalah	1	Menghitung lisan	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 3 "Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar"
U-8. Pelajaran - kerja mandiri	1	Pekerjaan mandiri 1.2 "Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar"
U-9. Pelajaran - pemecahan masalah	1
U-10. Pelajaran - tes	1	Tes No. 1
U-11. Pelajaran gabungan "Perkalian dan pembagian pecahan aljabar. Menaikkan pecahan aljabar ke pangkat"	1
U-12. Pelajaran - pemecahan masalah	2	Pekerjaan mandiri 1.3 "Perkalian dan Pembagian Pecahan"
U-13. Pelajaran gabungan "Konversi ekspresi rasional"	1	Menghitung lisan	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 4 "Perkalian dan pembagian pecahan aljabar"
U-14. Pelajaran - pemecahan masalah	1
U-15. Pelajaran - kerja mandiri	1	Pekerjaan mandiri 1.4 "Mengubah Ekspresi Rasional"
U-16. Pelajaran Lokakarya "Gagasan pertama tentang memecahkan persamaan rasional"	1		CD Matematika 5-11 Laboratorium virtual "Grafik Fungsi".
U-17. Pelajaran - pemecahan masalah	1	Tes 1 "Pecahan Aljabar"
U-18. Pelajaran - pekerjaan kontrol.	1	Ujian No.2

• 
  Pelajari cara mengurangi pecahan aljabar.
• 
  

• 
  Mampu melakukan operasi dasar pecahan aljabar.
• 
  Untuk dapat melakukan latihan gabungan untuk tindakan dengan pecahan aljabar.

Topik 2. Fungsi kuadrat. Fungsi . (18 jam)

 Fungsi

Isi minimal wajib bidang pendidikan matematika

Program. Kontrol atas implementasinya

Program	jumlah per jam	Kontrol tanda	Perangkat lunak komputer pelajaran
U-1. Pelajaran gabungan "Fungsi , sifat dan grafiknya"	1
	1	Menghitung lisan	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 5 "Fungsi" Materi demonstrasi “Parabola. Penerapan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi»
U-3. Pelajaran memecahkan masalah	1	Pekerjaan mandiri 2.1 "Fungsi y = kx 2 »
U-4. Pelajaran-kuliah "Fungsi dan grafiknya"	1		Materi demo "Fungsi, sifat dan grafiknya"
^ U-5. Pelajaran memecahkan masalah	3	Menghitung lisan Pekerjaan mandiri 2.2 "Fungsi"	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 6 "Proporsionalitas terbalik"
U-6.7. Latihan-Pelajaran "Cara membuat grafik suatu fungsi »	2	Kerja praktek
U-8.9. Latihan-Pelajaran "Cara membuat grafik suatu fungsi jika grafik fungsi diketahui »	2		CD "Matematika 5-11 sel." Laboratorium virtual "Grafik fungsi"
^ U-10. Pelajaran - tes	1	Ujian No.3
L-11 Latihan-Pelajaran "Cara menggambar grafik suatu fungsi jika grafik fungsi diketahui »	1		CD "Matematika 5-11 sel." Laboratorium virtual "Grafik fungsi"
L-12 Latihan-Pelajaran "Cara menggambar grafik suatu fungsi jika grafik fungsi diketahui »	1	Pekerjaan mandiri 2.3 "Grafik fungsi"	CD "Matematika 5-11 sel." Laboratorium virtual "Grafik fungsi"
U-13. Pelajaran gabungan "Fungsi , sifat dan grafiknya"	1		Demo "Sifat Fungsi Kuadrat"
U-14. Pelajaran-konsolidasi dari yang dipelajari ..	1	Menghitung lisan	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 7 "Fungsi kuadrat"
U-15. Pelajaran memecahkan masalah	1	Menghitung lisan Pekerjaan mandiri 2.4 "Sifat dan Grafik Fungsi Kuadrat"	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 8 "Sifat fungsi kuadrat"
U-16. Tes pelajaran	1	Tes 2 "Fungsi kuadrat"
^ U-17. Latihan-Pelajaran "Solusi grafis persamaan kuadrat"	1		Materi demo "Solusi grafis persamaan kuadrat"
U-18. Pelajaran - tes	1	Tes kerja No. 4

Persyaratan untuk persiapan matematika

Tingkat pelatihan wajib siswa

Tingkat kemungkinan pelatihan siswa

Topik 3 Fungsi . Sifat-sifat Akar Kuadrat (11 jam)

Bagian matematika. melalui garis

• 
  Angka dan Perhitungan
• 
  Ekspresi dan transformasi
• 
  Fungsi

Isi minimal wajib bidang pendidikan matematika

 Akar kuadrat suatu bilangan. Akar kuadrat aritmatika.

 Konsep bilangan irasional. Irasionalitas suatu bilangan.

 Bilangan nyata.

 Sifat-sifat akar kuadrat dan penerapannya dalam perhitungan.

 Fungsi.

Program. Kontrol atas implementasinya

Program	Qty jam	Kontrol tanda	Perangkat lunak komputer untuk pelajaran
^ U-1. Pelajaran-kuliah "Konsep akar kuadrat dari bilangan non-negatif"	1		Materi demonstrasi "Konsep akar kuadrat"
U-2. Pelajaran - pemecahan masalah	1	Pekerjaan mandiri 3.1 "Akar Kuadrat Aritmatika"
U-3. Pelajaran gabungan "Fungsi , sifat dan grafiknya"	1		Materi demo "Fungsi, sifat dan grafiknya"
^ U-4. Pelajaran - pemecahan masalah	1	Menghitung lisan	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 9 "Akar kuadrat aritmatika"
^ U-5. Pelajaran gabungan "Sifat akar kuadrat"	1		Demo: Menerapkan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika
^ Pelajaran U-6 - pemecahan masalah	1	Menghitung lisan Pekerjaan mandiri 3.2 "Sifat Akar Kuadrat Aritmatika"	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 10 "Akar kuadrat dari produk dan pecahan"
^ U-7.8. Pelajaran-praktik "Konversi ekspresi yang berisi operasi mengekstrak akar kuadrat."	2	Kerja praktek
^ U-9. Pelajaran - pemecahan masalah	1	Menghitung lisan Pekerjaan mandiri 3.3 "Penerapan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika"	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 11 "Akar kuadrat dari derajat"
U-10. Pelajaran - pemecahan masalah	1	Tes 3 "akar kuadrat"
U-11. Pelajaran - pekerjaan kontrol.	1	Ujian No.5

^ Persyaratan untuk persiapan matematika

Tingkat pelatihan wajib siswa

 Temukan dalam kasus-kasus sederhana nilai-nilai akar-akarnya.

 Mengetahui pengertian dan sifat-sifat suatu fungsi , dapat merencanakannya.

 Mampu menerapkan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika untuk menghitung nilai dan transformasi sederhana dari ekspresi numerik yang mengandung akar kuadrat.

Tingkat kemungkinan pelatihan siswa

 Mengetahui konsep akar kuadrat aritmatika.

 Mampu menerapkan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika saat mengonversi ekspresi.

 Mampu menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam memecahkan masalah praktis.

 Mengetahui tentang bilangan irasional dan bilangan real.

^ Topik 4 Persamaan kuadrat (21 jam)

Bagian matematika. melalui garis

 Persamaan dan Pertidaksamaan

Isi minimal wajib bidang pendidikan matematika

 Persamaan Kuadrat: Rumus akar-akar persamaan kuadrat.

 Penyelesaian persamaan rasional.

 Memecahkan masalah teks menggunakan persamaan rasional kuadrat dan pecahan.

Program. Kontrol atas implementasinya

Program	Qty jam	Kontrol tanda	Perangkat lunak komputer pelajaran
^ U-1. Pelajaran-studi materi baru "Konsep dasar".	1		Demo Persamaan Kuadrat
U-2. Pelajaran-konsolidasi dari apa yang telah dipelajari.	1	Menghitung lisan	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 12 "Persamaan kuadrat dan akar-akarnya"
U-3. Pelajaran gabungan "Rumus akar persamaan kuadrat."	1	Pekerjaan mandiri 4.1 "Persamaan kuadrat dan akar-akarnya"
U-4.5. Pelajaran memecahkan masalah	2	Menghitung lisan	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 11 "Memecahkan persamaan kuadrat"
U-6. Pelajaran - kerja mandiri	1	Pekerjaan mandiri 4.2 "Memecahkan persamaan kuadrat dengan rumus"
U-7. Pelajaran gabungan "Persamaan Rasional"	1	Kerja praktek
U-8.9. Pelajaran memecahkan masalah	2	Pekerjaan mandiri 4.3 "Persamaan Rasional"
U-10.11. Pelajaran Praktikum “Persamaan Rasional sebagai Model Matematika dari Situasi Nyata”.	2
U-12. Pelajaran memecahkan masalah	1
U-13. Pelajaran - kerja mandiri	1	Pekerjaan mandiri 4.4 "Pemecahan Masalah dengan Persamaan Kuadrat"
U-14. Pelajaran gabungan "Rumus lain untuk akar persamaan kuadrat."	1
U-15. Pelajaran - pemecahan masalah	1
U-16. Pelajaran gabungan "Teorema Vieta".	1		Demo "Teorema Vieta"
U-17. Pelajaran - pemecahan masalah	1	Menghitung lisan	Tugas untuk menghitung lisan. Latihan 14 "Teorema Vieta"
U-18. Pelajaran gabungan "Persamaan Irasional"	1
U-19. Pelajaran - pemecahan masalah	1
U-20. Pelajaran memecahkan masalah	1	Tes 4 "persamaan kuadrat"	CD Matematika 5-11. Laboratorium virtual "Grafik persamaan dan pertidaksamaan"
U-21. Pelajaran - pekerjaan kontrol.	1	Tes No. 6

^ Persyaratan untuk persiapan matematika

Tingkat pelatihan wajib siswa

 Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat, persamaan rasional dan irasional sederhana.

 Mampu memecahkan masalah kata sederhana dengan menggunakan persamaan.

Tingkat kemungkinan pelatihan siswa

• 
  Memahami bahwa persamaan adalah perangkat matematika untuk memecahkan berbagai masalah dari matematika, bidang pengetahuan terkait, dan praktik.
• 
  Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat, persamaan rasional dan irasional yang direduksi menjadi kuadrat.
• 
  Mampu menerapkan persamaan kuadrat dan persamaan rasional dalam menyelesaikan masalah.

Pelajaran ini membahas tentang konsep pecahan aljabar. Seseorang menghadapi pecahan dalam situasi kehidupan yang paling sederhana: ketika perlu untuk membagi suatu objek menjadi beberapa bagian, misalnya, untuk memotong kue secara merata untuk sepuluh orang. Jelas, semua orang akan mendapatkan sepotong kue. Dalam hal ini, kita dihadapkan pada konsep pecahan numerik, tetapi situasi mungkin terjadi ketika suatu objek dibagi menjadi sejumlah bagian yang tidak diketahui, misalnya, dengan x. Dalam hal ini, konsep ekspresi fraksional muncul. Anda sudah bertemu dengan ekspresi integer (tidak mengandung pembagian menjadi ekspresi dengan variabel) dan propertinya di kelas 7. Selanjutnya, kami akan mempertimbangkan konsep pecahan rasional, serta nilai variabel yang diizinkan.

Subjek:pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran:Konsep dasar

1. Pengertian dan contoh pecahan aljabar

Ekspresi rasional dibagi menjadi ekspresi bilangan bulat dan pecahan.

Definisi. pecahan rasional adalah ekspresi pecahan dari bentuk , di mana polinomial. - pembilang penyebut.

Contoh ekspresi rasional:- ekspresi pecahan; adalah ekspresi bilangan bulat. Dalam ekspresi pertama, misalnya, pembilangnya adalah , dan penyebutnya adalah .

Berarti pecahan aljabar, seperti apapun ekspresi aljabar, tergantung pada nilai numerik dari variabel yang termasuk di dalamnya. Secara khusus, pada contoh pertama nilai pecahan tergantung pada nilai variabel dan , dan pada contoh kedua hanya pada nilai variabel .

2. Perhitungan nilai pecahan aljabar dan dua masalah dasar pada pecahan

Pertimbangkan tugas tipikal pertama: menghitung nilainya pecahan rasional untuk nilai yang berbeda dari variabel yang termasuk di dalamnya.

Contoh 1. Hitung nilai pecahan untuk a), b), c)

Keputusan. Substitusikan nilai-nilai variabel ke dalam pecahan yang ditunjukkan: a), b), c) - tidak ada (karena Anda tidak dapat membagi dengan nol).

Jawaban: 3; satu; tidak ada.

Seperti yang Anda lihat, ada dua masalah umum untuk pecahan apa pun: 1) menghitung pecahan, 2) menemukan nilai yang valid dan tidak valid variabel literal.

Definisi. Nilai Variabel yang Valid adalah nilai dari variabel yang ekspresinya masuk akal. Himpunan semua nilai variabel yang dapat diterima disebut ODZ atau domain.

3. Nilai variabel yang diizinkan (ODZ) dan tidak valid dalam pecahan dengan satu variabel

Nilai variabel literal mungkin tidak valid jika penyebut pecahan untuk nilai-nilai ini adalah nol. Dalam semua kasus lain, nilai variabel valid, karena pecahan dapat dihitung.

Contoh 2. Tentukan berapa nilai variabel pecahan yang tidak masuk akal.

Keputusan. Agar ekspresi ini masuk akal, perlu dan cukup penyebut pecahan tidak sama dengan nol. Dengan demikian, hanya nilai variabel yang penyebutnya sama dengan nol yang tidak valid. Penyebut pecahan, jadi kami memecahkan persamaan linier:

Oleh karena itu, untuk nilai variabel, pecahan tidak masuk akal.

Dari solusi contoh, aturan untuk menemukan nilai variabel yang tidak valid mengikuti - penyebut pecahan sama dengan nol dan akar persamaan yang sesuai ditemukan.

Mari kita lihat beberapa contoh serupa.

Contoh 3. Tentukan berapa nilai variabel pecahan yang tidak masuk akal.

Keputusan. .

Contoh 4. Tentukan berapa nilai variabel pecahan yang tidak masuk akal.

Keputusan..

Ada formulasi lain dari masalah ini - untuk menemukan domain atau rentang nilai ekspresi yang valid (ODZ). Ini berarti - temukan semua nilai variabel yang valid. Dalam contoh kami, ini semua adalah nilai kecuali . Domain definisi mudah digambarkan pada sumbu numerik.

Untuk melakukan ini, kami akan memotong titik di atasnya, seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Dengan demikian, domain pecahan akan menjadi semua angka kecuali 3.

Contoh 5. Tentukan berapa nilai variabel pecahan yang tidak masuk akal.

Keputusan..

Mari kita gambarkan solusi yang dihasilkan pada sumbu numerik:

4. Representasi grafis dari luas yang diizinkan (ODZ) dan nilai variabel yang tidak valid dalam pecahan

Contoh 6. Tentukan berapa nilai variabel pecahan yang tidak masuk akal.

Solusi.. Kami telah memperoleh kesetaraan dua variabel, kami akan memberikan contoh numerik: atau, dll.

Mari kita plot solusi ini pada grafik dalam sistem koordinat Cartesian:

Beras. 3. Grafik suatu fungsi.

Koordinat titik mana pun yang terletak pada grafik ini tidak termasuk dalam area nilai pecahan yang dapat diterima.

5. Kasus seperti "pembagian dengan nol"

Dalam contoh yang dipertimbangkan, kami dihadapkan pada situasi di mana pembagian dengan nol terjadi. Sekarang perhatikan kasus di mana situasi yang lebih menarik muncul dengan pembagian tipe.

Contoh 7. Tentukan berapa nilai variabel pecahan yang tidak masuk akal.

Keputusan..

Ternyata pecahan tidak masuk akal bila . Tetapi dapat dikatakan bahwa ini tidak terjadi, karena: .

Tampaknya jika ekspresi akhir sama dengan 8 untuk , maka ekspresi aslinya juga dapat dihitung, dan, oleh karena itu, masuk akal untuk . Namun, jika kita menggantinya ke dalam ekspresi aslinya, kita mendapatkan - itu tidak masuk akal.

Untuk memahami contoh ini secara lebih rinci, kami memecahkan masalah berikut: untuk nilai berapa pecahan yang ditunjukkan sama dengan nol?

(Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol) . Tetapi persamaan asli harus diselesaikan dengan pecahan, dan itu tidak masuk akal untuk , karena dengan nilai variabel ini, penyebutnya adalah nol. Jadi persamaan ini hanya memiliki satu akar.

6. Aturan untuk menemukan ODZ

Dengan demikian, kita dapat merumuskan aturan pasti untuk menemukan kisaran nilai pecahan yang dapat diterima: untuk menemukan ODZpecahan perlu dan cukup untuk menyamakan penyebutnya dengan nol dan menemukan akar dari persamaan yang dihasilkan.

Kami telah mempertimbangkan dua tugas utama: menghitung nilai pecahan untuk nilai variabel yang ditentukan dan menemukan luas nilai yang dapat diterima dari sebuah pecahan.

Sekarang mari kita pertimbangkan beberapa masalah lagi yang mungkin muncul saat bekerja dengan pecahan.

7. Tugas dan kesimpulan lain-lain

Contoh 8. Buktikan bahwa untuk sembarang nilai variabel, pecahan .

Bukti. Pembilangnya adalah bilangan positif. . Hasilnya, pembilang dan penyebutnya adalah bilangan positif, oleh karena itu, pecahan juga merupakan bilangan positif.

Terbukti.

Contoh 9. Diketahui , cari .

Keputusan. Mari kita membagi istilah pecahan dengan istilah. Kami memiliki hak untuk mengurangi, dengan mempertimbangkan nilai variabel yang tidak valid untuk pecahan ini.

Dalam pelajaran ini, kita melihat konsep dasar yang berhubungan dengan pecahan. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan melihat sifat dasar pecahan.

Bibliografi

1. Bashmakov M. I. Aljabar Tingkat 8. - M.: Pencerahan, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. dkk. Aljabar 8. - Edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Aljabar kelas 8. Buku teks untuk lembaga pendidikan. - M.: Pendidikan, 2006.

1. Festival ide pedagogis.

2. Sekolah tua.

3. Portal internet lib2.podelise. ru.

Pekerjaan rumah

1. No. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al. Aljabar 8. - Edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.

2. Tuliskan pecahan rasional, yang domainnya adalah: a) himpunan, b) himpunan, c) seluruh sumbu numerik.

3. Buktikan bahwa untuk semua nilai variabel yang dapat diterima, nilai pecahan adalah non-negatif.

4. Temukan ruang lingkup ekspresi. Petunjuk: pertimbangkan dua kasus secara terpisah: jika penyebut pecahan bawah sama dengan nol dan penyebut pecahan awal sama dengan nol.

Subjek:

Pelajaran: Mengonversi Ekspresi Rasional

1. Ekspresi rasional dan metode penyederhanaannya

Mari kita ingat dulu definisi ekspresi rasional.

Definisi. ekspresi rasional- ekspresi aljabar yang tidak mengandung akar dan hanya mencakup operasi penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian (perpangkatan).

Dengan istilah "mengubah ekspresi rasional" yang kami maksud, pertama-tama, penyederhanaannya. Dan ini dilakukan dalam urutan tindakan yang kita ketahui: pertama, tindakan dalam tanda kurung, lalu hasil kali bilangan(perpangkatan), pembagian bilangan, dan kemudian operasi penjumlahan/pengurangan.

2. Penyederhanaan ekspresi rasional dengan jumlah/selisih pecahan

Tujuan utama dari pelajaran hari ini adalah untuk mendapatkan pengalaman dalam memecahkan masalah yang lebih kompleks dari penyederhanaan ekspresi rasional.

Contoh 1

Keputusan. Pada awalnya mungkin tampak bahwa pecahan ini dapat direduksi, karena ekspresi pembilang pecahan sangat mirip dengan rumus untuk kuadrat penuh dari penyebutnya yang sesuai. Dalam hal ini, penting untuk tidak terburu-buru, tetapi untuk memeriksa secara terpisah apakah memang demikian.

Mari kita periksa pembilang dari pecahan pertama: . Sekarang pembilang kedua: .

Seperti yang Anda lihat, harapan kami tidak dibenarkan, dan ekspresi dalam pembilangnya bukan kuadrat sempurna, karena mereka tidak memiliki penggandaan produk. Ungkapan seperti itu, jika Anda ingat pelajaran kelas 7, disebut kuadrat tidak lengkap. Anda harus sangat berhati-hati dalam kasus seperti itu, karena membingungkan rumus kuadrat penuh dengan yang tidak lengkap adalah kesalahan yang sangat umum, dan contoh-contoh seperti itu menguji perhatian siswa.

Karena pengurangan tidak mungkin, kami akan melakukan penjumlahan pecahan. Penyebut tidak memiliki faktor persekutuan, jadi mereka hanya mengalikan untuk mendapatkan penyebut yang paling rendah, dan faktor tambahan untuk setiap pecahan adalah penyebut dari pecahan lainnya.

Tentu saja, maka Anda dapat membuka tanda kurung dan kemudian membawa istilah yang serupa, namun, dalam kasus ini, Anda dapat melakukannya dengan sedikit usaha dan perhatikan pembilangnya, istilah pertama adalah rumus jumlah kubus, dan yang kedua untuk jumlah kubus. perbedaan kubus. Untuk kenyamanan, kami mengingat formula ini dalam bentuk umum:

Dalam kasus kami, ekspresi dalam pembilang dilipat sebagai berikut:

, ekspresi kedua serupa. Kita punya:

Menjawab..

Contoh 2 Sederhanakan Ekspresi Rasional .

Keputusan. Contoh ini mirip dengan yang sebelumnya, tetapi segera jelas bahwa ada kuadrat yang tidak lengkap dalam pembilang pecahan, sehingga pengurangan pada tahap awal solusi tidak mungkin. Sama halnya dengan contoh sebelumnya, kita menambahkan pecahan:

Di sini kita, mirip dengan metode yang ditunjukkan di atas, memperhatikan dan menciutkan ekspresi sesuai dengan rumus untuk jumlah dan perbedaan kubus.

Menjawab..

Contoh 3 Sederhanakan ekspresi rasional.

Keputusan. Anda dapat melihat bahwa penyebut pecahan kedua didekomposisi menjadi faktor-faktor sesuai dengan rumus jumlah pangkat tiga. Seperti yang sudah kita ketahui, pemfaktoran penyebut berguna untuk mencari penyebut persekutuan terkecil lebih lanjut.

Mari kita tunjukkan penyebut pecahan terkecil, sama dengan: 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

Menjawab.

3. Penyederhanaan ekspresi rasional dengan pecahan kompleks "bertingkat"

Pertimbangkan contoh yang lebih kompleks dengan pecahan "bertingkat".

Contoh 4 Buktikan identitasnya" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Terbukti.

Dalam pelajaran berikutnya, kita akan melihat lebih dekat pada contoh yang lebih kompleks dari transformasi ekspresi rasional.

Subjek: pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran: Mengonversi Ekspresi Rasional yang Lebih Kompleks

1. Contoh pembuktian identitas menggunakan transformasi ekspresi rasional

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat transformasi ekspresi rasional yang lebih kompleks. Contoh pertama akan dikhususkan untuk bukti identitas.

Contoh 1

Buktikan identitas: .

Bukti:

Pertama-tama, ketika mengonversi ekspresi rasional, perlu untuk menentukan urutan tindakan. Ingatlah bahwa operasi dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu, kemudian perkalian dan pembagian, dan kemudian penambahan dan pengurangan. Oleh karena itu, dalam contoh ini, prosedurnya adalah sebagai berikut: pertama, lakukan tindakan dalam tanda kurung pertama, lalu di tanda kurung kedua, lalu bagi hasilnya, lalu tambahkan pecahan ke ekspresi yang dihasilkan. Sebagai hasil dari tindakan ini, serta penyederhanaan, ekspresi harus diperoleh.

№ p/n	Elemen konten	Mampu untuk memecahkan masalah dan situasi	C-9
26	Daya dengan eksponen bilangan bulat negatif	Eksponen dengan eksponen alami, eksponen dengan eksponen negatif, perkalian, pembagian dan eksponen suatu bilangan	Memiliki representasi derajat dengan eksponen alami, derajat dengan eksponen negatif, perkalian, pembagian dan eksponen bilangan Mampu untuk: - sederhanakan ekspresi menggunakan definisi derajat dengan eksponen negatif dan sifat-sifat derajat; - buat teks gaya ilmiah	S-10
29	Pemeriksaan No. 2 "Transformasi Ekspresi Rasional"		Mampu untuk untuk secara mandiri memilih cara rasional untuk mengubah ekspresi rasional, untuk membuktikan identitas, untuk memecahkan persamaan rasional dengan membebaskan dari penyebut, membuat model matematika dari situasi nyata	K.R. #2

Pertanyaan untuk offset

• 
  Rumuskan sifat utama pecahan.
• 
  Merumuskan
  1. 
     Algoritma untuk mencari faktor tambahan pada pecahan aljabar.
  2. 
     Aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut yang sama.
  3. 
     Algoritma untuk menemukan penyebut umum dari beberapa pecahan
  4. 
     Aturan penjumlahan (pengurangan) pecahan aljabar dengan penyebut berbeda.
  5. 
     Aturan Perkalian untuk Pecahan Aljabar
  6. 
     Aturan pembagian pecahan aljabar.
  7. 
     Aturan untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat.

Dalam pelajaran ini, kita akan terus mempertimbangkan operasi paling sederhana dengan pecahan aljabar - penambahan dan pengurangannya. Hari ini kita akan fokus pada mempertimbangkan contoh di mana bagian terpenting dari solusi akan memfaktorkan penyebut menjadi faktor dengan segala cara yang kita ketahui: dengan menghilangkan faktor persekutuan, metode pengelompokan, pemilihan kuadrat penuh, menggunakan rumus perkalian tereduksi. Selama pelajaran, beberapa masalah yang cukup kompleks tentang pecahan akan dipertimbangkan.

Subjek:pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran:Soal penjumlahan dan pengurangan pecahan

Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan dan menggeneralisasi semua kasus penjumlahan dan pengurangan pecahan: dengan penyebut yang sama dan berbeda. Secara umum, kami akan memecahkan masalah dalam bentuk:

Kita telah melihat bahwa ketika menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar, salah satu operasi terpenting adalah memfaktorkan penyebutnya. Prosedur serupa dilakukan dalam kasus pecahan biasa. Sekali lagi, kita ingat betapa perlunya bekerja dengan pecahan biasa.

Contoh 1 Hitung.

Keputusan. Kami menggunakan, seperti sebelumnya, teorema utama aritmatika bahwa bilangan apa pun dapat didekomposisi menjadi faktor prima: .

Mari kita tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut: - ini akan menjadi penyebut umum dari pecahan, dan, berdasarkan itu, kita akan menentukan faktor tambahan untuk masing-masing pecahan: untuk pecahan pertama , untuk pecahan kedua , untuk pecahan ketiga .

Menjawab..

Dalam contoh ini, kami menggunakan teorema dasar aritmatika untuk memfaktorkan bilangan. Selanjutnya, ketika polinomial bertindak sebagai penyebut, mereka perlu difaktorkan dengan metode berikut yang kita ketahui: mengambil faktor umum, metode pengelompokan, menyoroti kuadrat penuh, menggunakan rumus perkalian yang disingkat.

Contoh 2 Penjumlahan dan pengurangan pecahan .

Keputusan. Penyebut ketiga pecahan adalah ekspresi kompleks yang harus difaktorkan, kemudian temukan penyebut terkecilnya dan tunjukkan faktor tambahan untuk masing-masing pecahan. Mari lakukan semua langkah ini secara terpisah, lalu substitusikan hasilnya ke ekspresi aslinya.

Dalam penyebut pertama, kami mengambil faktor persekutuan: - setelah menghilangkan faktor persekutuan, Anda dapat melihat bahwa ekspresi dalam tanda kurung runtuh sesuai dengan rumus jumlah kuadrat.

Dalam penyebut kedua, kami mengambil faktor persekutuan: - setelah mengambil faktor persekutuan, kami menerapkan rumus untuk perbedaan kuadrat.

Dalam penyebut ketiga kita keluarkan faktor persekutuannya: .

Setelah memfaktorkan penyebut ketiga, Anda dapat melihat bahwa di penyebut kedua Anda dapat memilih faktor untuk pencarian yang lebih mudah untuk penyebut umum terkecil dari pecahan, kami akan melakukan ini dengan menghilangkan minus dari kurung, di kurung kedua kami bertukar istilah untuk bentuk notasi yang lebih nyaman.

Kami mendefinisikan penyebut pecahan yang paling umum sebagai ekspresi yang dibagi oleh semua penyebut pada saat yang sama, itu akan sama dengan:.

Kami menunjukkan faktor tambahan: untuk pecahan pertama , untuk pecahan kedua - minus yang diambil dalam penyebut tidak diperhitungkan, karena kami menuliskannya ke seluruh pecahan, untuk pecahan ketiga .

Sekarang mari kita lakukan tindakan dengan pecahan, dengan mengingat untuk mengubah tanda sebelum pecahan kedua:

Pada tahap terakhir dari solusi, kami membawa istilah serupa dan menuliskannya dalam urutan pangkat yang menurun untuk variabel .

Menjawab..

Pada contoh di atas, kita sekali lagi, seperti pada pelajaran sebelumnya, mendemonstrasikan algoritma penjumlahan/pengurangan pecahan, yaitu sebagai berikut: memfaktorkan penyebut pecahan, mencari penyebut persekutuan terkecil, faktor tambahan, melakukan prosedur penjumlahan/pengurangan dan , jika memungkinkan, sederhanakan ekspresi dan kurangi. Kami akan menggunakan algoritma ini sebagai berikut. Sekarang mari kita perhatikan contoh-contoh yang lebih sederhana.

Contoh 3 pengurangan pecahan .

Keputusan. Dalam contoh ini, penting untuk melihat kemungkinan pengurangan pecahan pertama sebelum membawanya ke penyebut yang sama dengan pecahan kedua. Untuk melakukan ini, kami menguraikan pembilang dan penyebut pecahan pertama menjadi faktor.

Pembilang: - pada langkah pertama, sebagian ekspresi didekomposisi sesuai dengan rumus selisih kuadrat, dan pada langkah kedua, faktor persekutuan dihilangkan.

Penyebut: - pada langkah pertama, sebagian dari ekspresi didekomposisi sesuai dengan rumus kuadrat selisih, dan pada langkah kedua, faktor persekutuan dihilangkan. Substitusi pembilang dan penyebut yang dihasilkan ke dalam ekspresi asli dan kurangi pecahan pertama dengan faktor persekutuan:

Menjawab:.

Contoh 4 Jalankan Tindakan .

Keputusan. Dalam contoh ini, serta yang sebelumnya, penting untuk memperhatikan dan menerapkan pengurangan pecahan sebelum melakukan tindakan. Mari kita memfaktorkan pembilang dan penyebutnya.