Dan Savelyeva.

Selama gerak maju suatu benda (§ 60 dalam buku teks oleh E.M. Nikitin), semua titiknya bergerak sepanjang lintasan yang sama dan pada setiap momen tertentu mereka memiliki kecepatan dan percepatan yang sama.

Oleh karena itu, gerak translasi suatu benda ditentukan oleh pergerakan suatu titik, biasanya pergerakan pusat gravitasi.

Saat mempertimbangkan pergerakan mobil (soal 147) atau lokomotif diesel (soal 141) dalam soal apa pun, sebenarnya kita mempertimbangkan pergerakan pusat gravitasinya.

Gerakan rotasi suatu benda (E.M. Nikitin, § 61) tidak dapat diidentikkan dengan pergerakan salah satu titiknya. Sumbu setiap benda yang berputar (roda gila diesel, rotor motor listrik, poros mesin, bilah kipas, dll.) selama pergerakan menempati tempat yang sama dalam ruang relatif terhadap benda diam di sekitarnya.

Pergerakan suatu titik material atau gerakan maju tubuh dikarakterisasi tergantung pada waktu besaran linier s (jalur, jarak), v (kecepatan) dan a (percepatan) dengan komponennya a t dan a n.

Gerakan rotasi tubuh tergantung pada waktu t mengkarakterisasi nilai sudut: φ (sudut rotasi dalam radian), ω (kecepatan sudut dalam rad/detik) dan ε (percepatan sudut dalam rad/detik 2).

Hukum gerak rotasi suatu benda dinyatakan dengan persamaan
φ = f(t).

Kecepatan sudut- besaran yang mencirikan kecepatan rotasi suatu benda didefinisikan dalam kasus umum sebagai turunan dari sudut rotasi terhadap waktu
ω = dφ/dt = f" (t).

Akselerasi sudut- besaran yang mencirikan laju perubahan kecepatan sudut didefinisikan sebagai turunan dari kecepatan sudut
ε = dω/dt = f"" (t).

Ketika mulai menyelesaikan soal gerak rotasi suatu benda, perlu diingat bahwa dalam perhitungan dan soal teknis, sebagai suatu peraturan, perpindahan sudut dinyatakan bukan dalam radian φ, tetapi dalam putaran φ tentang.

Oleh karena itu, diperlukan kemampuan untuk berpindah dari jumlah putaran ke pengukuran radian perpindahan sudut dan sebaliknya.

Karena satu putaran penuh sama dengan 2π rad, maka
φ = 2πφ tentang dan φ tentang = φ/(2π).

Kecepatan sudut dalam perhitungan teknis sering kali diukur dalam putaran yang dihasilkan per menit (rpm), sehingga perlu dipahami dengan jelas bahwa ω rad/detik dan n rpm menyatakan konsep yang sama - kecepatan putaran suatu benda (kecepatan sudut). tetapi dalam satuan yang berbeda - dalam rad/detik atau dalam rpm.

Transisi dari satu satuan kecepatan sudut ke satuan kecepatan sudut lainnya dilakukan sesuai dengan rumus
ω = πn/30 dan n = 30ω/π.

Selama gerak rotasi suatu benda, semua titiknya bergerak melingkar, yang pusat-pusatnya terletak pada satu garis lurus tetap (sumbu benda yang berputar). Saat memecahkan masalah yang diberikan dalam bab ini, sangat penting untuk memahami dengan jelas hubungan antara besaran sudut φ, ω dan ε, yang mencirikan gerak rotasi suatu benda, dan besaran linier s, v, at dan an, yang mencirikan pergerakan berbagai titik pada benda tertentu (Gbr. 205).

Jika R adalah jarak dari sumbu geometri benda yang berputar ke sembarang titik A (pada Gambar 205 R = OA), maka hubungan antara φ - sudut rotasi benda dan s - jarak yang ditempuh suatu titik tubuh pada waktu yang sama dinyatakan sebagai berikut:
s = φR.

Hubungan antara kecepatan sudut suatu benda dan kecepatan suatu titik pada setiap momen tertentu dinyatakan dengan persamaan
v = ωR.

Percepatan tangensial suatu titik bergantung pada percepatan sudut dan ditentukan oleh rumus
pada = εR.

Percepatan normal suatu titik bergantung pada kecepatan sudut benda dan ditentukan oleh hubungan
sebuah = ω 2 R.

Saat menyelesaikan soal yang diberikan dalam bab ini, perlu dipahami dengan jelas bahwa rotasi adalah gerak benda tegar, bukan suatu titik. Sebuah titik material tidak berputar, tetapi bergerak dalam lingkaran - ia membuat gerakan lengkung.

§ 33. Gerak rotasi beraturan

Jika kecepatan sudut = konstan, maka gerak rotasi disebut beraturan.

Persamaan rotasi seragam memiliki bentuk
φ = φ 0 + ωt.

Dalam kasus tertentu ketika sudut rotasi awal φ 0 =0,
φ = ωt.

Kecepatan sudut benda yang berputar beraturan
ω = φ/t
dapat diungkapkan seperti ini:
ω = 2π/T,
dimana T adalah periode rotasi benda; φ=2π - sudut rotasi untuk satu periode.

§ 34. Gerak rotasi bolak-balik seragam

Gerak rotasi dengan kecepatan sudut variabel disebut tidak rata (lihat di bawah § 35). Jika percepatan sudut ε=konstanta, maka gerak rotasi disebut sama variabelnya. Jadi, rotasi seragam suatu benda adalah kasus khusus dari gerak rotasi tidak seragam.

Persamaan rotasi seragam
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
dan persamaan yang menyatakan kecepatan sudut suatu benda pada suatu waktu,
(2) ω = ω 0 + εt
mewakili sekumpulan rumus dasar gerak rotasi seragam suatu benda.

Rumus ini hanya mencakup enam besaran: tiga konstanta untuk soal tertentu φ 0, ω 0 dan ε dan tiga variabel φ, ω dan t. Oleh karena itu, kondisi setiap soal untuk rotasi seragam harus memuat paling sedikit empat besaran tertentu.

Untuk memudahkan penyelesaian beberapa masalah, dua rumus tambahan lagi dapat diperoleh dari persamaan (1) dan (2).

Mari kita kecualikan percepatan sudut ε dari (1) dan (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Mari kita kecualikan waktu t dari (1) dan (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

Dalam kasus khusus rotasi dipercepat beraturan yang dimulai dari keadaan diam, φ 0 =0 dan ω 0 =0. Oleh karena itu, rumus dasar dan rumus bantu di atas berbentuk sebagai berikut:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Gerak rotasi tidak rata

Mari kita perhatikan contoh penyelesaian masalah di mana gerak rotasi tidak seragam suatu benda ditentukan.

Gerak rotasi benda tegar mengelilingi sumbu tetap adalah gerak di mana dua titik milik benda (atau selalu terkait dengannya) tetap tidak bergerak sepanjang gerakan.(Gbr. 2.2) .

Gambar 2.2

Melewati titik-titik tetap A Dan DI DALAM garis lurus disebut sumbu rotasi. Karena jarak antara titik-titik suatu benda tegar harus tetap tidak berubah, jelaslah bahwa selama gerak rotasi, semua titik yang termasuk dalam sumbu tidak akan bergerak, dan titik-titik lainnya akan menggambarkan lingkaran, yang bidang-bidangnya tegak lurus terhadap sumbu rotasi, dan pusatnya terletak pada sumbu ini. Untuk menentukan posisi benda yang berputar, kita menggambar sumbu rotasi yang sepanjang sumbunya diarahkan Az, setengah bidang І – tetap dan setengah bidang ІІ tertanam di dalam tubuh itu sendiri dan berputar bersamanya. Kemudian posisi benda pada setiap saat ditentukan secara unik oleh sudut yang diambil dengan tanda yang sesuai φ antara pesawat-pesawat ini, yang kita sebut sudut putaran tubuh. Kami akan mempertimbangkan sudutnya φ positif jika ditunda dari bidang tetap dengan arah berlawanan jarum jam (untuk pengamat yang melihat dari ujung positif sumbu Az), dan negatif jika searah jarum jam. Ukur sudut φ Kita akan berada dalam radian. Untuk mengetahui posisi suatu benda pada suatu waktu, perlu diketahui ketergantungan sudut φ dari waktu T, yaitu

.

Persamaan ini mengungkapkan hukum gerak rotasi benda tegar pada sumbu tetap.

Ciri-ciri kinematik utama gerak rotasi suatu benda tegar adalah kecepatan sudutnya ω dan percepatan sudut ε.

9.2.1. Kecepatan sudut dan percepatan sudut suatu benda

Besaran yang mencirikan laju perubahan sudut rotasi terhadap waktu disebut kecepatan sudut.

Jika dalam jangka waktu tertentu
tubuh berputar melalui suatu sudut
, maka kecepatan sudut rata-rata benda secara numerik selama periode waktu tertentu adalah
. Dalam batas di
kita mendapatkan

Dengan demikian, nilai numerik kecepatan sudut suatu benda pada waktu tertentu sama dengan turunan pertama sudut rotasi terhadap waktu.

Aturan Tanda: Ketika rotasi terjadi berlawanan arah jarum jam, ω> 0, dan jika searah jarum jam, maka ω< 0.

atau, karena radian adalah besaran tak berdimensi,
.

Dalam perhitungan teoretis, lebih mudah menggunakan vektor kecepatan sudut , yang modulusnya sama dengan dan yang diarahkan sepanjang sumbu rotasi benda ke arah mana rotasi terlihat berlawanan arah jarum jam. Vektor ini segera menentukan besarnya kecepatan sudut, sumbu rotasi, dan arah rotasi pada sumbu tersebut.

Besaran yang mencirikan laju perubahan kecepatan sudut terhadap waktu disebut percepatan sudut benda.

Jika dalam jangka waktu tertentu
pertambahan kecepatan sudut sama dengan
, lalu hubungannya
, yaitu menentukan nilai percepatan rata-rata benda yang berputar terhadap waktu
.

Saat berusaha
kita memperoleh besarnya percepatan sudut saat ini T:

Dengan demikian, nilai numerik percepatan sudut suatu benda pada waktu tertentu sama dengan turunan pertama kecepatan sudut atau turunan kedua sudut rotasi benda terhadap waktu.

Satuan pengukuran biasanya digunakan atau, yang juga,
.

Jika modulus kecepatan sudut bertambah seiring waktu, disebut rotasi benda dipercepat, dan jika berkurang, - lambat. Ketika nilai-nilai ω Dan ε mempunyai tanda yang sama maka putarannya akan dipercepat, bila berbeda tandanya akan diperlambat. Dengan analogi kecepatan sudut, percepatan sudut juga dapat direpresentasikan sebagai vektor , diarahkan sepanjang sumbu rotasi. Di mana

.

Jika suatu benda berputar dengan arah yang dipercepat bertepatan dengan , dan sebaliknya dengan putaran lambat.

Jika kecepatan sudut suatu benda tetap konstan selama bergerak ( ω= konstanta), maka putaran benda disebut seragam.

Dari
kita punya
. Oleh karena itu, mengingat hal itu pada saat-saat awal
sudut
, dan mengambil integral di sebelah kiri sebelum , dan di sebelah kanan dari 0 hingga T, akhirnya kita akan mendapatkannya

.

Dengan rotasi seragam, kapan =0,
Dan
.

Kecepatan putaran seragam sering kali ditentukan oleh jumlah putaran per menit, yang dilambangkan dengan nilai ini N rpm Mari kita temukan hubungan antara N rpm dan ω 1/dtk. Dengan satu putaran benda akan berputar sebesar 2π, dan dengan N rpm pada 2π N; giliran ini dilakukan dalam 1 menit, mis. T= 1 menit=60 detik. Oleh karena itu

.

Jika percepatan sudut suatu benda tetap konstan sepanjang geraknya (ε = konstanta), maka rotasi disebut sama variabelnya.

Pada saat awal waktu T=0 sudut
, dan kecepatan sudut
(- kecepatan sudut awal).
;
=ε
. Mengintegrasikan sisi kiri sebelum , dan yang kanan dari 0 sampai T, kita akan menemukannya

Kecepatan sudut ω dari rotasi ini
. Jika ω dan ε mempunyai tanda yang sama, maka rotasinya adalah dipercepat secara seragam, dan jika berbeda – sama lambatnya.

Gerak suatu benda tegar disebut rotasi jika selama gerak semua titik benda yang terletak pada suatu garis lurus tertentu yang disebut sumbu rotasi tetap tidak bergerak.(Gbr. 2.15).

Posisi tubuh selama gerakan rotasi biasanya ditentukan sudut rotasi tubuh , yang diukur sebagai sudut dihedral antara bidang tetap dan bidang bergerak yang melewati sumbu rotasi. Selain itu, bidang bergerak dihubungkan dengan benda yang berputar.

Mari kita mempertimbangkan sistem koordinat bergerak dan tetap, yang asal usulnya akan ditempatkan pada titik sembarang O pada sumbu rotasi. Sumbu Oz, yang umum pada sistem koordinat bergerak dan tetap, akan diarahkan sepanjang sumbu rotasi, yaitu sumbu Oh dari sistem koordinat tetap, kita arahkan tegak lurus terhadap sumbu Oz sehingga terletak pada bidang tetap yaitu sumbu Oh 1 Mari kita arahkan sistem koordinat bergerak tegak lurus terhadap sumbu Oz sehingga terletak pada bidang bergerak (Gbr. 2.15).

Jika kita menganggap suatu bagian suatu benda pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi, maka sudut rotasinya φ dapat didefinisikan sebagai sudut antara sumbu tetap Oh dan sumbu yang dapat digerakkan Oh 1, selalu dikaitkan dengan benda yang berputar (Gbr. 2.16).

Arah acuan sudut rotasi benda diterima φ berlawanan arah jarum jam dianggap positif jika dilihat dari arah positif sumbu Oz.

Persamaan φ = φ(t), menggambarkan perubahan sudut φ terhadap waktu disebut hukum atau persamaan gerak rotasi benda tegar.

Kecepatan dan arah perubahan sudut rotasi suatu benda tegar dicirikan oleh kecepatan sudut. Nilai absolut kecepatan sudut biasanya dilambangkan dengan huruf alfabet Yunani ω (akhir). Nilai aljabar kecepatan sudut biasanya dilambangkan dengan . Nilai aljabar kecepatan sudut sama dengan turunan pertama kali sudut rotasi:

. (2.33)

Satuan kecepatan sudut sama dengan satuan sudut dibagi satuan waktu, misalnya derajat/menit, rad/jam. Dalam sistem SI, satuan ukuran kecepatan sudut adalah rad/s, namun lebih sering nama satuan ukuran ini ditulis 1/s.

Jika > 0, maka benda berputar berlawanan arah jarum jam jika dilihat dari ujung sumbu koordinat sejajar dengan sumbu rotasi.

Jika< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Kecepatan dan arah perubahan kecepatan sudut dicirikan oleh percepatan sudut. Nilai mutlak percepatan sudut biasanya dilambangkan dengan huruf abjad Yunani e (epsilon). Nilai aljabar percepatan sudut biasanya dilambangkan dengan . Nilai aljabar percepatan sudut sama dengan turunan pertama terhadap waktu nilai aljabar kecepatan sudut atau turunan kedua sudut rotasi:

Satuan percepatan sudut sama dengan satuan sudut dibagi satuan waktu kuadrat. Misalnya, derajat/s 2, rad/h 2. Dalam sistem SI, satuan besaran percepatan sudut adalah rad/s 2, namun lebih sering nama satuan besaran ini ditulis 1/s 2.

Jika nilai aljabar kecepatan sudut dan percepatan sudut mempunyai tanda yang sama, maka besarnya kecepatan sudut bertambah seiring waktu, dan jika berbeda maka menurun.

Jika kecepatan sudutnya konstan ( ω = konstanta), maka biasanya dikatakan bahwa putaran benda itu beraturan. Pada kasus ini:

φ = t + φ 0, (2.35)

Di mana φ 0 - sudut rotasi awal.

Jika percepatan sudutnya konstan (e = const), maka biasanya dikatakan bahwa rotasi benda dipercepat secara seragam (lambat secara seragam). Pada kasus ini:

Di mana 0 - kecepatan sudut awal.

Dalam kasus lain, untuk menentukan ketergantungan φ dari Dan perlu untuk mengintegrasikan ekspresi (2.33), (2.34) dalam kondisi awal tertentu.

Dalam gambar, arah putaran suatu benda terkadang ditunjukkan dengan panah melengkung (Gbr. 2.17).

Seringkali dalam mekanika, kecepatan sudut dan percepatan sudut dianggap sebagai besaran vektor Dan . Kedua vektor ini diarahkan sepanjang sumbu rotasi benda. Apalagi vektornya diarahkan satu arah dengan vektor satuan, yang menentukan arah sumbu koordinat yang berimpit dengan sumbu rotasi, jika >0, dan sebaliknya jika
Arah vektor dipilih dengan cara yang sama (Gbr. 2.18).

Selama gerak rotasi suatu benda, setiap titiknya (kecuali titik-titik yang terletak pada sumbu rotasi) bergerak sepanjang suatu lintasan, yaitu lingkaran yang berjari-jari sama dengan jarak terpendek dari titik ke sumbu rotasi (Gbr. .2.19).

Karena garis singgung lingkaran di sembarang titik membentuk sudut 90° terhadap jari-jari, maka vektor kecepatan suatu titik pada suatu benda yang mengalami gerak rotasi akan berarah tegak lurus jari-jari dan terletak pada bidang lingkaran, yaitu lintasan pergerakan titik tersebut. Komponen tangensial percepatan akan terletak pada garis yang sama dengan kecepatan, dan komponen normal akan diarahkan secara radial menuju pusat lingkaran. Oleh karena itu, kadang-kadang komponen percepatan tangensial dan normal selama gerak rotasi disebut masing-masing rotasi dan sentripetal (aksial) komponen (Gbr. 2.19)

Nilai aljabar kecepatan suatu titik ditentukan oleh persamaan:

, (2.37)

dimana R = OM adalah jarak terpendek dari titik ke sumbu rotasi.

Nilai aljabar komponen percepatan tangensial ditentukan oleh ekspresi:

. (2.38)

Modulus komponen percepatan normal ditentukan oleh ekspresi:

. (2.39)

Vektor percepatan suatu titik selama gerak rotasi ditentukan oleh aturan jajar genjang sebagai jumlah geometri komponen singgung dan komponen normal. Oleh karena itu, modulus percepatan dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras:

Jika kecepatan sudut dan percepatan sudut didefinisikan sebagai besaran vektor , , maka vektor-vektor kecepatan, tangensial, dan komponen percepatan normal dapat ditentukan dengan rumus:

di mana adalah vektor jari-jari yang ditarik ke titik M dari suatu titik sembarang pada sumbu rotasi (Gbr. 2.20).

Menyelesaikan masalah yang melibatkan gerak rotasi suatu benda biasanya tidak menimbulkan kesulitan. Dengan menggunakan rumus (2.33)-(2.40), Anda dapat dengan mudah menentukan parameter yang tidak diketahui.

Kesulitan tertentu muncul ketika memecahkan masalah yang berkaitan dengan studi tentang mekanisme yang terdiri dari beberapa benda yang saling berhubungan yang melakukan gerak rotasi dan translasi.

Pendekatan umum untuk memecahkan masalah tersebut adalah bahwa gerakan dari satu benda ke benda lain ditransmisikan melalui satu titik - titik kontak. Selain itu, benda-benda yang bersentuhan memiliki kecepatan dan komponen percepatan tangensial yang sama pada titik kontak. Komponen normal percepatan benda yang bersentuhan pada titik kontak berbeda-beda; komponen tersebut bergantung pada lintasan titik-titik benda tersebut.

Saat memecahkan masalah jenis ini, akan lebih mudah, tergantung pada keadaan spesifik, untuk menggunakan rumus yang diberikan di Bagian 2.3 dan rumus untuk menentukan kecepatan dan percepatan suatu titik ketika menentukan pergerakannya sebagai gerak alami (2.7), (2.14 ) (2.16) atau metode koordinat (2.3), (2.4), (2.10), (2.11). Apalagi jika gerak benda yang memiliki titik tersebut bersifat rotasi, maka lintasan titik tersebut akan berbentuk lingkaran. Jika gerak benda bersifat translasi bujursangkar, maka lintasan suatu titik akan berupa garis lurus.

Contoh 2.4. Tubuh berputar pada sumbu tetap. Sudut putaran benda berubah menurut hukum φ = π t 3 senang. Untuk suatu titik yang terletak pada jarak OM = R = 0,5 m dari sumbu rotasi, tentukan kecepatan, garis singgung, komponen normal percepatan dan percepatan pada momen waktu t 1= 0,5 detik. Tunjukkan arah vektor-vektor ini pada gambar.

Mari kita perhatikan suatu bagian suatu benda oleh sebuah bidang yang melalui titik O tegak lurus terhadap sumbu rotasi (Gbr. 2.21). Pada gambar ini, titik O adalah titik potong sumbu rotasi dan bidang potong, titik M o Dan M 1- masing-masing posisi awal dan saat ini dari titik M. Melalui titik O dan M o menggambar sumbu tetap Oh, dan melalui titik O dan M 1 - sumbu yang dapat digerakkan Oh 1. Sudut antara sumbu-sumbu ini akan sama dengan

Kita menemukan hukum perubahan kecepatan sudut suatu benda dengan membedakan hukum perubahan sudut rotasi:

Saat ini t 1 kecepatan sudut akan sama dengan

Kita akan menemukan hukum perubahan percepatan sudut benda dengan membedakan hukum perubahan kecepatan sudut:

Saat ini t 1 percepatan sudut akan sama dengan:

1/dtk 2,

Kita mencari nilai aljabar vektor kecepatan, komponen percepatan tangensial, modulus komponen percepatan normal, dan modulus percepatan menggunakan rumus (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

M/dtk 2 ;

m/s 2 .

Sejak sudutnya φ 1>0, maka kita akan memindahkannya dari sumbu Ox berlawanan arah jarum jam. Dan sejak itu > 0, lalu vektor akan diarahkan tegak lurus terhadap jari-jari OM 1 sehingga kita melihatnya berputar berlawanan arah jarum jam. Vektor akan diarahkan sepanjang radius OM 1 ke sumbu rotasi. Vektor Mari kita membangun menurut aturan jajaran genjang pada vektor τ Dan .

Contoh 2.5. Menurut persamaan gerak translasi bujursangkar yang diberikan dari beban 1 x = 0,6T 2 - 0,18 (m) tentukan kelajuan, serta tangensial, komponen normal percepatan dan percepatan titik M dari mekanisme pada momen waktu t 1, bila lintasan yang dilalui beban 1 adalah s = 0,2 m. Saat menyelesaikan soal, kita asumsikan tidak ada selip pada titik kontak benda 2 dan 3, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (Gbr. 2.22).

Hukum gerak translasi bujursangkar beban 1 diberikan dalam bentuk koordinat. Mari kita tentukan momennya t 1, dimana lintasan yang dilalui oleh beban 1 akan sama dengan s

s = x(tl)-x(0),

dari mana kita mendapatkan:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Karena itu,

Setelah membedakan persamaan gerak terhadap waktu, kita temukan proyeksi kecepatan dan percepatan beban 1 pada sumbu Ox:

MS 2 ;

Saat ini t = t 1 proyeksi kecepatan beban 1 akan sama dengan:

artinya akan lebih besar dari nol, begitu pula proyeksi percepatan beban 1. Oleh karena itu, beban 1 akan berada pada saat t 1 bergerak ke bawah dengan percepatan seragam, masing-masing, benda 2 akan berputar dengan percepatan seragam berlawanan arah jarum jam, dan benda 3 akan berputar searah jarum jam.

Badan 2 digerakkan ke dalam rotasi oleh badan 1 melalui lilitan benang pada snare drum. Oleh karena itu, modul kecepatan titik-titik benda 1, ulir dan permukaan snare drum benda 2 adalah sama, dan modul percepatan titik-titik benda 1, ulir dan komponen percepatan tangensial titik-titik pada permukaan snare drum benda 2 juga akan sama. Oleh karena itu, modul kecepatan sudut benda 2 dapat didefinisikan sebagai

Modulus percepatan sudut benda 2 akan sama dengan:

1/dtk 2 .

Mari kita tentukan modul kecepatan dan komponen percepatan tangensial untuk titik K benda 2 - titik kontak benda 2 dan 3:

MS, MS 2

Karena benda 2 dan 3 berputar tanpa saling tergelincir, besaran kecepatan dan komponen tangensial percepatan titik K - titik kontak benda-benda tersebut akan sama.

mari kita arahkan tegak lurus jari-jari ke arah putaran benda, karena benda 3 berputar dengan percepatan seragam

DEFINISI: Gerak rotasi suatu benda tegar kita akan menyebut gerak yang semua titik pada benda bergerak melingkar, yang pusat-pusatnya terletak pada garis lurus yang sama, yang disebut sumbu rotasi.

Untuk mempelajari dinamika rotasi, kita menambahkan besaran kinematik yang diketahui dua besaran: momen kekuasaan(L) dan momen inersia(J).

1. Diketahui dari pengalaman: percepatan gerak rotasi tidak hanya bergantung pada besarnya gaya yang bekerja pada benda, tetapi juga pada jarak dari sumbu rotasi ke garis sepanjang gaya bekerja. Untuk mengkarakterisasi keadaan ini, besaran fisika disebut momen kekuatan.

Mari kita pertimbangkan kasus paling sederhana.

DEFINISI: Momen gaya terhadap suatu titik “O” merupakan besaran vektor yang didefinisikan dengan persamaan , dimana adalah vektor jari-jari yang ditarik dari titik “O” ke titik penerapan gaya.

Dari definisinya berikut ini adalah vektor aksial. Arahnya dipilih sedemikian rupa sehingga perputaran vektor di sekitar titik “O” searah gaya dan vektor tersebut membentuk sistem siku-siku. Modulus momen gaya sama dengan , dimana a adalah sudut antara arah vektor dan , dan aku= r dosa a adalah panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik “O” ke garis lurus yang dilalui gaya (disebut bahu kekuatan relatif terhadap titik “O”) (Gbr. 4.2).

2. Data eksperimen menunjukkan bahwa besarnya percepatan sudut tidak hanya dipengaruhi oleh massa benda yang berputar, tetapi juga oleh distribusi massa relatif terhadap sumbu rotasi. Besaran yang memperhitungkan keadaan ini disebut momen inersia relatif terhadap sumbu rotasi.

DEFINISI: Sebenarnya, momen inersia suatu benda relatif terhadap sumbu rotasi tertentu disebut nilai J, sama dengan jumlah hasil kali massa dasar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu tertentu.

Penjumlahan dilakukan terhadap semua massa dasar yang menjadi tempat pembagian benda tersebut. Perlu diingat bahwa besaran ini (J) ada terlepas dari rotasi (walaupun konsep momen inersia diperkenalkan ketika mempertimbangkan rotasi benda tegar).

Setiap benda, baik diam atau berputar, mempunyai momen inersia tertentu terhadap sumbu mana pun, sama seperti benda mempunyai massa, baik bergerak atau diam.

Mengingat , momen inersia dapat direpresentasikan sebagai: . Hubungan ini merupakan perkiraan dan semakin kecil volume dasar dan massa unsur yang bersesuaian, maka akan semakin akurat. Oleh karena itu, tugas mencari momen inersia direduksi menjadi integrasi: . Di sini integrasi dilakukan pada seluruh volume tubuh.

Mari kita tuliskan momen inersia beberapa benda yang bentuknya geometris beraturan.

1. Batang panjang seragam.
Beras. 4.3	Momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melewati bagian tengahnya adalah sama dengan
2. Silinder atau piringan padat.
Beras. 4.4	Momen inersia terhadap sumbu yang berimpit dengan sumbu geometri adalah .
3. Silinder berdinding tipis berjari-jari R.
Beras. 4.5
4. Momen inersia bola berjari-jari R terhadap sumbu yang melalui pusatnya
Beras. 4.6
5. Momen inersia piringan tipis (ketebalan b<
Beras. 4.7
6. Momen inersia balok
Beras. 4.8
7. Momen inersia cincin
Beras. 4.9

Perhitungan momen inersia disini cukup sederhana, karena Benda diasumsikan homogen dan simetris, dan momen inersia ditentukan relatif terhadap sumbu simetri.

Untuk menentukan momen inersia suatu benda terhadap suatu sumbu, perlu menggunakan teorema Steiner.

DEFINISI: Momen inersia J terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia J c terhadap sumbu yang sejajar dengan sumbu tertentu dan melalui pusat inersia benda, dan hasil kali massa benda dengan kuadrat jarak antara sumbu (Gbr. .4.10).

Rotasi suatu benda tegar pada sumbu tetap adalah suatu gerakan di mana dua titik benda tetap tidak bergerak sepanjang waktu gerak. Dalam hal ini, semua titik benda yang terletak pada garis lurus yang melalui titik tetapnya juga tetap tidak bergerak. Baris ini disebut sumbu putaran tubuh .

Misalkan titik A dan B stasioner. Mari kita arahkan sumbu sepanjang sumbu rotasi. Melalui sumbu rotasi kita menggambar bidang diam dan bidang bergerak, melekat pada benda yang berputar (di ).

Posisi bidang dan benda itu sendiri ditentukan oleh sudut dihedral antara bidang dan . Mari kita nyatakan . Sudutnya disebut sudut putaran tubuh .

Posisi benda relatif terhadap kerangka acuan yang dipilih ditentukan secara unik setiap saat jika persamaan diberikan, di mana ada fungsi waktu yang terdiferensiasi dua kali. Persamaan ini disebut persamaan rotasi benda tegar pada sumbu tetap .

Sebuah benda yang berputar pada sumbu tetap memiliki satu derajat kebebasan, karena posisinya ditentukan dengan menentukan hanya satu parameter - sudut.

Suatu sudut dianggap positif jika diletakkan berlawanan arah jarum jam, dan negatif jika berlawanan arah. Lintasan titik-titik suatu benda ketika berputar pada sumbu tetap adalah lingkaran yang terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

Untuk mengkarakterisasi gerak rotasi benda tegar di sekitar sumbu tetap, kami memperkenalkan konsep kecepatan sudut dan percepatan sudut.

Kecepatan sudut aljabar suatu benda pada suatu saat disebut turunan pertama terhadap waktu dari sudut rotasi pada saat itu, yaitu.

Kecepatan sudut bernilai positif jika benda berputar berlawanan arah jarum jam, karena sudut rotasi bertambah seiring waktu, dan negatif jika benda berputar searah jarum jam, karena sudut rotasi berkurang.

Dimensi kecepatan sudut menurut definisi:

Dalam bidang teknik, kecepatan sudut adalah kecepatan rotasi yang dinyatakan dalam putaran per menit. Dalam satu menit benda akan berputar membentuk sudut , dimana n adalah jumlah putaran per menit. Membagi sudut ini dengan jumlah detik dalam satu menit, kita peroleh

Percepatan sudut aljabar benda disebut turunan pertama terhadap waktu kecepatan sudut, yaitu turunan kedua dari sudut rotasi, yaitu.

Dimensi percepatan sudut menurut definisi:

Mari kita perkenalkan konsep vektor kecepatan sudut dan percepatan sudut suatu benda.

Dan , dimana adalah vektor satuan sumbu rotasi. Vektor dan dapat digambarkan pada titik mana pun pada sumbu rotasi;

Kecepatan sudut aljabar adalah proyeksi vektor kecepatan sudut ke sumbu rotasi. Percepatan sudut aljabar adalah proyeksi vektor percepatan sudut kecepatan pada sumbu rotasi.

Jika pada , maka kecepatan sudut aljabar meningkat seiring waktu dan, oleh karena itu, benda berputar dipercepat pada saat itu ke arah positif. Arah vektor-vektor tersebut berhimpitan, keduanya berarah positif terhadap sumbu rotasi.

Ketika dan benda berputar cepat ke arah negatif. Arah vektor-vektornya bertepatan dan keduanya berarah ke sisi negatif sumbu rotasi.