Trigonometri. Modulus dan argumen bilangan kompleks

Bilangan kompleks

Imajiner Dan bilangan kompleks. Absis dan ordinat

bilangan kompleks. Konjugasi bilangan kompleks.

Operasi dengan bilangan kompleks. Geometris

representasi bilangan kompleks. bidang kompleks.

Modulus dan argumen bilangan kompleks. trigonometri

bentuk bilangan kompleks. Operasi dengan kompleks

bilangan dalam bentuk trigonometri. Rumus Moivre.

Informasi dasar tentang imajiner Dan bilangan kompleks diberikan di bagian "Bilangan imajiner dan kompleks". Kebutuhan akan bilangan-bilangan tipe baru ini muncul ketika menyelesaikan persamaan kuadrat untuk kasus tersebutD< 0 (здесь Dadalah diskriminan persamaan kuadrat). Untuk waktu yang lama, angka-angka ini tidak menemukan penggunaan fisik, itulah sebabnya mereka disebut angka "imajiner". Namun kini mereka sangat banyak digunakan di berbagai bidang fisika.

dan teknologi: teknik elektro, hidro dan aerodinamika, teori elastisitas, dll.

Bilangan kompleks ditulis sebagai:a+bi. Di Sini A Dan B – bilangan real , A Saya – satuan imajiner. e. Saya 2 = –1. Nomor A ditelepon absis, A b - ordinatbilangan kompleksa+b.Dua bilangan kompleksa+bi Dan a-bi ditelepon mengkonjugasikan bilangan kompleks.

Perjanjian utama:

1. Bilangan riilAbisa juga ditulis dalam bentukbilangan kompleks:sebuah + 0 Saya atau A - 0 Saya. Misalnya, entri 5 + 0Saya dan 5 - 0 Sayaberarti angka yang sama 5 .

2. Bilangan kompleks 0 + duaditelepon murni khayalan nomor. Rekamanduaartinya sama dengan 0 + dua.

3. Dua bilangan kompleksa+bi Danc + didianggap sama jikaa = c Dan b = d. Jika tidak bilangan kompleks tidak sama.

Tambahan. Jumlah bilangan kompleksa+bi Dan c + didisebut bilangan kompleks (a+c ) + (b+d ) Saya .Dengan demikian, ketika ditambahkan bilangan kompleks, absis dan ordinatnya dijumlahkan secara terpisah.

Definisi ini mengikuti aturan dalam menangani polinomial biasa.

Pengurangan. Perbedaan antara dua bilangan kompleksa+bi(dikurangi) dan c + di(dikurangi) disebut bilangan kompleks (a-c ) + (bd ) Saya .

Dengan demikian, saat mengurangkan dua bilangan kompleks, absis dan ordinatnya dikurangi secara terpisah.

Perkalian. Produk bilangan kompleksa+bi Dan c + di disebut bilangan kompleks.

(ac-bd ) + (iklan+bc ) Saya .Definisi ini berasal dari dua persyaratan:

1) angka a+bi Dan c + diharus dikalikan seperti aljabar binomial,

2) nomor Sayamemiliki properti utama:Saya 2 = – 1.

CONTOH ( a+bi )(a-bi) = sebuah 2 +b 2 . Karena itu, bekerja

dua bilangan kompleks konjugasi sama dengan bilangan real

nomor positif.

Divisi. Bagilah bilangan kompleksa+bi (dapat dibagi) ke yang lainc + di(pembagi) - berarti mencari angka ketigae + fi(obrolan), yang bila dikalikan dengan pembagic + di, yang menghasilkan dividena+b.

Jika pembaginya bukan nol, pembagian selalu mungkin dilakukan.

CONTOH Temukan (8+Saya ) : (2 – 3 Saya) .

Solusi Mari kita tulis ulang rasio ini sebagai pecahan:

Mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 2 + 3Saya

DAN setelah melakukan semua transformasi, kita mendapatkan:

Representasi geometris bilangan kompleks. Bilangan real dilambangkan dengan titik-titik pada garis bilangan:

Inilah intinya Aartinya angka -3, titikB adalah angka 2, dan HAI- nol. Sebaliknya, bilangan kompleks direpresentasikan dengan titik-titik pada bidang koordinat. Untuk ini, kita memilih koordinat persegi panjang (Kartesius) dengan skala yang sama pada kedua sumbu. Kemudian bilangan kompleksa+bi akan diwakili oleh sebuah titik P dengan absis a dan ordinat b (lihat gambar). Sistem koordinat ini disebut bidang kompleks .

modul bilangan kompleks disebut panjang vektorop, menggambarkan bilangan kompleks pada koordinat ( terintegrasi) pesawat. Modulus bilangan kompleksa+bi dilambangkan dengan | a+bi| atau surat R

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk z = x + i * y, dimana x dan y adalah real angka, dan i = satuan imajiner (yaitu bilangan yang kuadratnya -1). Untuk mendefinisikan konsep argumen terintegrasi angka, bilangan kompleks perlu dipertimbangkan pada bidang kompleks dalam sistem koordinat kutub.

Petunjuk

Pesawat tempat kompleks itu berada angka, disebut kompleks. Pada bidang ini, sumbu horizontal ditempati oleh sumbu nyata angka(x), dan sumbu vertikal adalah imajiner angka(kamu). Pada bidang seperti itu, bilangan tersebut diberikan oleh dua koordinat z = (x, y). Dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik adalah modulus dan argumennya. Modulnya adalah jarak |z| dari titik ke titik asal. Argumennya adalah sudut antara vektor yang menghubungkan titik dan titik asal serta sumbu horizontal sistem koordinat (lihat gambar).

Dapat dilihat dari gambar bahwa modulnya kompleks angka z = x + i * y ditemukan dengan teorema Pythagoras: |z| = ? (x^2 + y^2). Argumen lebih lanjut angka z ditemukan sebagai sudut lancip segitiga - melalui nilai fungsi trigonometri sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x/? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Misalnya, diberikan bilangan z = 5 * (1 + ?3 * i). Pertama-tama, pilih bagian real dan imajiner: z = 5 +5 * ?3 * i. Ternyata bagian real x = 5, dan bagian imajiner y = 5 * ?3. Hitung Modulus angka: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Selanjutnya cari sinus sudutnya: sin \u003d 5 / 10 \u003d 1 / 2. Ini memberikan argumen angka z adalah 30°.

Contoh 2. Misalkan diberikan bilangan z = 5 * i. Gambar tersebut menunjukkan bahwa sudutnya = 90°. Periksa nilai ini dengan rumus di atas. Tuliskan koordinatnya angka pada bidang kompleks: z = (0, 5). Modul angka|z| = 5. Garis singgung sudut tg = 5 / 5 = 1. Maka = 90°.

Contoh 3 Misalkan kita perlu mencari argumen jumlah dua bilangan kompleks z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Menurut aturan penjumlahan, tambahkan dua kompleks ini angka: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * saya = 3 + 9 * saya. Selanjutnya sesuai skema di atas, hitung argumennya: tg = 9/3 = 3.

Yang mewakili bilangan kompleks tertentu $z=a+bi$ disebut modulus bilangan kompleks tersebut.

Modulus bilangan kompleks tertentu dihitung menggunakan rumus berikut:

Contoh 1

Hitung modulus bilangan kompleks yang diberikan $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Modulus bilangan kompleks $z=a+bi$ dihitung dengan rumus: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Untuk bilangan kompleks asli $z_(1) =13$ kita mendapatkan $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Untuk bilangan kompleks asli $\, z_(2) =4i$ kita mendapatkan $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Untuk bilangan kompleks asli $\, z_(3) =4+3i$ kita mendapatkan $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definisi 2

Sudut $\varphi $ yang dibentuk oleh arah positif sumbu real dan vektor jari-jari $\overrightarrow(OM) $, yang sesuai dengan bilangan kompleks tertentu $z=a+bi$, disebut argumen bilangan ini dan dilambangkan dengan $\arg z$.

Catatan 1

Modulus dan argumen bilangan kompleks tertentu digunakan secara eksplisit saat merepresentasikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri atau eksponensial:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - bentuk trigonometri;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ adalah bentuk eksponensial.

Contoh 2

Tuliskan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri dan eksponensial yang diberikan oleh data berikut: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Gantikan data $r=3;\varphi =\pi $ ke dalam rumus yang sesuai dan dapatkan:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - bentuk trigonometri

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ adalah bentuk eksponensial.

2) Gantikan data $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ ke dalam rumus yang sesuai dan dapatkan:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - bentuk trigonometri

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ adalah bentuk eksponensial.

Contoh 3

Tentukan modulus dan argumen bilangan kompleks yang diberikan:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Kami menemukan modul dan argumen menggunakan rumus untuk menulis bilangan kompleks tertentu dalam bentuk trigonometri dan eksponensial

\ \

1) Untuk bilangan kompleks asli $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ kita mendapatkan $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Untuk bilangan kompleks asli $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ kita dapatkan $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Untuk bilangan kompleks asli $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ kita mendapatkan $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Untuk bilangan kompleks asli $z=13\cdot e^(i\pi ) $ kita mendapatkan $r=13;\varphi =\pi $.

Argumen $\varphi $ dari bilangan kompleks $z=a+bi$ dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]

Dalam praktiknya, untuk menghitung nilai argumen suatu bilangan kompleks $z=a+bi$, biasanya digunakan rumus berikut:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, a

atau memecahkan sistem persamaan

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \end(array)\right.$.(**)

Contoh 4

Hitung argumen bilangan kompleks yang diberikan: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Karena $z=3$, maka $a=3,b=0$. Hitung argumen bilangan kompleks asli menggunakan rumus (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Karena $z=4i$, maka $a=0,b=4$. Hitung argumen bilangan kompleks asli menggunakan rumus (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]

Karena $z=1+i$, maka $a=1,b=1$. Hitung argumen bilangan kompleks asli dengan menyelesaikan sistem (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ persegi(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

Diketahui dari mata kuliah trigonometri bahwa $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ untuk sudut yang sesuai dengan kuadran koordinat pertama dan sama dengan $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Karena $z=-5$, maka $a=-5,b=0$. Hitung argumen bilangan kompleks asli menggunakan rumus (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Karena $z=-2i$, maka $a=0,b=-2$. Hitung argumen bilangan kompleks asli menggunakan rumus (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Catatan 2

Bilangan $z_(3) $ diwakili oleh titik $(0;1)$, oleh karena itu, panjang vektor jari-jari yang bersesuaian adalah 1, yaitu. $r=1$, dan argumen $\varphi =\frac(\pi )(2) $ menurut Catatan 3.

Bilangan $z_(4) $ diwakili oleh titik $(0;-1)$, oleh karena itu, panjang vektor jari-jari yang bersesuaian adalah 1, yaitu. $r=1$, dan argumen $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ menurut Catatan 3.

Bilangan $z_(5) $ diwakili oleh titik $(2;2)$, oleh karena itu, panjang vektor jari-jari yang bersesuaian sama dengan $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, yaitu $r=2\sqrt(2) $, dan argumen $\varphi =\frac(\pi )(4) $ dengan properti segitiga siku-siku.