Kondisi yang cukup untuk ekstrem dari fungsi dua variabel
1. Biarkan fungsi terdiferensiasi secara kontinu di beberapa lingkungan titik dan memiliki turunan parsial orde dua kontinu (murni dan campuran).
2. Dilambangkan dengan determinan orde kedua
fungsi kuliah variabel ekstrem
Dalil
Jika titik dengan koordinat adalah titik stasioner untuk fungsi, maka:
A) Ketika itu adalah titik ekstrem lokal dan, pada maksimum lokal, - minimum lokal;
C) ketika titik tersebut bukan titik ekstrem lokal;
C) jika, mungkin keduanya.
Bukti
Kami menulis rumus Taylor untuk fungsi tersebut, membatasi diri pada dua anggota:
Karena, menurut kondisi teorema, titiknya stasioner, turunan parsial orde kedua sama dengan nol, mis. dan. Kemudian
Menunjukkan
Kemudian kenaikan fungsi akan berbentuk:
Karena kontinuitas turunan parsial orde kedua (murni dan campuran), menurut kondisi teorema pada suatu titik, kita dapat menulis:
Dimana atau; ,
1. Membiarkan dan, yaitu, atau.
2. Kami mengalikan kenaikan fungsi dan membaginya, kami mendapatkan:
3. Lengkapi ekspresi dalam kurung kurawal ke kuadrat penuh dari jumlah:
4. Ekspresi dalam kurung kurawal adalah non-negatif, karena
5. Oleh karena itu, jika dan karenanya, dan, maka dan, oleh karena itu, menurut definisi, titik tersebut adalah titik minimum lokal.
6. Jika dan berarti, dan, maka, menurut definisi, suatu titik dengan koordinat adalah titik maksimum lokal.
2. Pertimbangkan trinomial persegi, diskriminannya, .
3. Jika, maka ada titik-titik sedemikian rupa sehingga polinomial
4. Pertambahan total fungsi pada suatu titik sesuai dengan ekspresi yang diperoleh pada I, kita tuliskan dalam bentuk:
5. Karena kontinuitas turunan parsial orde kedua, dengan syarat teorema pada suatu titik, kita dapat menulis bahwa
oleh karena itu, terdapat lingkungan suatu titik sedemikian rupa sehingga, untuk sembarang titik, trinomial kuadrat lebih besar dari nol:
6. Pertimbangkan - lingkungan titik.
Mari kita pilih nilai apa saja, jadi itu intinya. Dengan asumsi bahwa dalam rumus untuk kenaikan fungsi
Apa yang kami dapatkan:
7. Sejak itu.
8. Berdebat sama untuk akar, kita mendapatkan bahwa di setiap -tetanggaan dari titik ada titik yang, oleh karena itu, di sekitar titik itu tidak mempertahankan tanda, oleh karena itu tidak ada ekstrem pada titik tersebut.
Ekstrem bersyarat dari fungsi dua variabel
Ketika mencari ekstrem dari fungsi dua variabel, masalah sering muncul terkait dengan apa yang disebut ekstrem bersyarat. Konsep ini dapat dijelaskan dengan contoh fungsi dua variabel.
Biarkan fungsi dan garis L diberikan pada bidang 0xy. Tugasnya adalah menemukan titik P (x, y) seperti itu pada garis L, di mana nilai fungsi terbesar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi ini pada titik-titik garis L yang terletak di dekat titik P. Titik-titik P tersebut disebut fungsi titik ekstrem bersyarat pada garis L. Berbeda dengan titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi tidak di semua titik beberapa lingkungannya, tetapi hanya pada yang terletak pada garis L.
Cukup jelas bahwa titik ekstrem biasa (mereka juga mengatakan ekstrem tak bersyarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk setiap garis yang melewati titik ini. Kebalikannya, tentu saja, tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem konvensional. Mari kita ilustrasikan apa yang telah dikatakan dengan sebuah contoh.
Contoh 1. Grafik fungsinya adalah belahan atas (Gbr. 2).
Beras. 2.
Fungsi ini memiliki maksimum di asal; itu sesuai dengan titik M dari belahan bumi. Jika garis L adalah garis lurus yang melalui titik A dan B (persamaannya), maka secara geometris jelas bahwa untuk titik-titik garis ini nilai maksimum fungsi dicapai pada titik yang terletak di tengah-tengah antara titik A dan B. Ini adalah fungsi titik ekstrem bersyarat (maksimum) pada baris ini; itu sesuai dengan titik M 1 di belahan bumi, dan dapat dilihat dari gambar bahwa tidak ada pertanyaan tentang ekstrem biasa di sini.
Perhatikan bahwa di bagian akhir dari masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup, kita harus menemukan nilai ekstrem dari fungsi pada batas daerah ini, yaitu. pada beberapa baris, dan dengan demikian memecahkan masalah untuk ekstrem bersyarat.
Definisi 1. Mereka mengatakan bahwa di mana memiliki maksimum bersyarat atau relatif (minimum) pada titik yang memenuhi persamaan: jika untuk setiap yang memenuhi persamaan, ketidaksetaraan
Definisi 2. Persamaan bentuk disebut persamaan kendala.
Dalil
Jika fungsi dan terdiferensiasi secara kontinu di sekitar suatu titik, dan turunan parsial dan titik tersebut adalah titik ekstrem bersyarat fungsi terhadap persamaan kendala, maka determinan orde kedua sama dengan nol:
Bukti
1. Karena, menurut ketentuan teorema, turunan parsial, dan nilai fungsi, maka dalam beberapa persegi panjang
fungsi implisit didefinisikan
Fungsi kompleks dari dua variabel pada suatu titik akan memiliki ekstrem lokal, oleh karena itu, atau.
2. Memang, menurut properti invarians dari rumus diferensial orde pertama
3. Persamaan koneksi dapat direpresentasikan dalam bentuk ini, yang berarti
4. Kalikan persamaan (2) dengan, dan (3) dengan dan tambahkan mereka
Oleh karena itu, ketika
sewenang-wenang. h.t.d.
Konsekuensi
Pencarian titik ekstrem bersyarat dari fungsi dua variabel dalam praktiknya dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan
Jadi, pada contoh di atas No 1 dari persamaan komunikasi yang kita miliki. Dari sini mudah untuk memeriksa apa yang mencapai maksimum di . Tapi kemudian dari persamaan komunikasi. Kami mendapatkan titik P, ditemukan secara geometris.
Contoh #2. Temukan titik ekstrem bersyarat dari fungsi terhadap persamaan kendala.
Mari kita cari turunan parsial dari fungsi yang diberikan dan persamaan koneksi:
Mari kita buat determinan orde kedua:
Mari kita tuliskan sistem persamaan untuk mencari titik ekstrem bersyarat:
karenanya, ada empat titik ekstrem bersyarat dari fungsi dengan koordinat: .
Contoh #3. Temukan titik ekstrem dari fungsi tersebut.
Menyamakan turunan parsial dengan nol: , kami menemukan satu titik stasioner - titik asal. Di Sini,. Oleh karena itu, titik (0, 0) juga bukan merupakan titik ekstrem. Persamaan tersebut merupakan persamaan paraboloid hiperbolik (Gbr. 3), gambar tersebut menunjukkan bahwa titik (0, 0) bukan merupakan titik ekstrem.
Beras. 3.
Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup
1. Biarkan fungsi didefinisikan dan kontinu dalam domain tertutup terbatas D.
2. Biarkan fungsi memiliki turunan parsial hingga di wilayah ini, kecuali untuk titik individu dari wilayah tersebut.
3. Sesuai dengan teorema Weierstrass, pada daerah ini terdapat titik dimana fungsi mengambil nilai terbesar dan terkecil.
4. Jika titik-titik ini adalah titik-titik interior daerah D, maka jelas bahwa mereka akan memiliki maksimum atau minimum.
5. Dalam hal ini, tempat-tempat menarik bagi kami termasuk di antara titik-titik yang mencurigakan di ekstrem.
6. Namun, fungsi tersebut juga dapat mengambil nilai maksimum atau minimum pada batas daerah D.
7. Untuk menemukan nilai terbesar (terkecil) dari fungsi di area D, Anda perlu menemukan semua titik internal yang mencurigakan untuk sebuah ekstrem, hitung nilai fungsi di dalamnya, lalu bandingkan dengan nilai fungsi di titik batas daerah, dan nilai terbesar dari semua yang ditemukan akan menjadi yang terbesar di daerah tertutup D.
8. Metode menemukan maksimum atau minimum lokal telah dibahas sebelumnya dalam Bagian 1.2. dan 1.3.
9. Tetap mempertimbangkan metode untuk menemukan nilai maksimum dan minimum fungsi pada batas wilayah.
10. Dalam kasus fungsi dua variabel, area biasanya dibatasi oleh sebuah kurva atau beberapa kurva.
11. Sepanjang kurva seperti itu (atau beberapa kurva), variabel dan keduanya bergantung satu sama lain, atau keduanya bergantung pada satu parameter.
12. Jadi, pada batas, fungsi tersebut ternyata bergantung pada satu variabel.
13. Metode menemukan nilai terbesar dari suatu fungsi dari satu variabel telah dibahas sebelumnya.
14. Biarkan batas daerah D diberikan oleh persamaan parametrik:
Kemudian pada kurva ini fungsi dua variabel akan menjadi fungsi kompleks dari parameter: . Untuk fungsi seperti itu, nilai terbesar dan terkecil ditentukan dengan metode penentuan nilai terbesar dan terkecil untuk fungsi satu variabel.
Kondisi perlu dan cukup untuk fungsi ekstrem dari dua variabel. Suatu titik disebut titik minimum (maksimum) suatu fungsi jika dalam beberapa lingkungan dari titik tersebut fungsi tersebut didefinisikan dan memenuhi pertidaksamaan (masing-masing, titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrem dari fungsi tersebut.
Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem. Jika pada titik ekstrem fungsi memiliki turunan parsial pertama, maka fungsi tersebut menghilang pada titik ini. Oleh karena itu, untuk menemukan titik ekstrem dari fungsi seperti itu, seseorang harus menyelesaikan sistem persamaan Titik-titik yang koordinatnya memenuhi sistem ini disebut titik kritis fungsi tersebut. Diantaranya bisa ada poin maksimal, poin minimal, maupun poin yang bukan poin ekstrim.
Kondisi ekstrem yang memadai digunakan untuk memilih titik ekstrem dari kumpulan titik kritis dan tercantum di bawah ini.
Biarkan fungsi memiliki turunan parsial kedua kontinu di titik kritis. Jika pada titik ini,
kondisi, maka merupakan titik minimum di dan titik maksimum pada. Jika pada titik kritis, maka bukan merupakan titik ekstrem. Dalam hal ini, studi yang lebih halus tentang sifat titik kritis diperlukan, yang dalam hal ini mungkin atau mungkin bukan titik ekstrem.
Ekstrem fungsi tiga variabel. Dalam kasus fungsi tiga variabel, definisi titik ekstrem mengulang kata demi kata definisi yang sesuai untuk fungsi dua variabel. Kami membatasi diri untuk menyajikan prosedur untuk mempelajari fungsi untuk ekstrem. Memecahkan sistem persamaan, seseorang harus menemukan titik kritis fungsi, dan kemudian pada setiap titik kritis menghitung kuantitas
Jika ketiga besaran itu positif, maka titik kritis yang dipertimbangkan adalah titik minimum; jika maka titik kritis yang diberikan adalah titik maksimum.
Ekstrem bersyarat dari fungsi dua variabel. Titik tersebut disebut titik minimum (maksimum) bersyarat dari fungsi, asalkan ada lingkungan dari titik di mana fungsi didefinisikan dan di mana (masing-masing) untuk semua titik koordinat yang memenuhi persamaan
Untuk menemukan titik ekstrem bersyarat, gunakan fungsi Lagrange
di mana bilangan tersebut disebut pengali Lagrange. Menyelesaikan sistem tiga persamaan
temukan titik kritis fungsi Lagrange (serta nilai faktor bantu A). Pada titik-titik kritis ini, mungkin ada ekstrem bersyarat. Sistem di atas hanya memberikan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem, tetapi tidak cukup: dapat dipenuhi oleh koordinat titik yang bukan titik ekstrem bersyarat. Namun, berangkat dari esensi masalah, seringkali dimungkinkan untuk menetapkan sifat titik kritis.
Ekstrem bersyarat dari fungsi beberapa variabel. Pertimbangkan fungsi variabel di bawah kondisi bahwa mereka terkait dengan persamaan
EKSTRIM KONDISI
Nilai minimum atau maksimum yang dicapai oleh fungsi tertentu (atau fungsional) asalkan beberapa fungsi lain (fungsional) mengambil nilai dari himpunan yang dapat diterima. Jika tidak ada kondisi yang membatasi perubahan dalam variabel independen (fungsi) dalam arti yang ditunjukkan, maka seseorang berbicara tentang ekstrem tanpa syarat.
Klasik tugas untuk W. e. adalah masalah menentukan minimum suatu fungsi dari beberapa variabel
Asalkan beberapa fungsi lain mengambil nilai yang diberikan:
Dalam masalah ini G, di mana nilai-nilai fungsi vektor g=(g 1 , ..., g m),
termasuk dalam kondisi tambahan (2) adalah titik tetap c=(c 1 , ..., dengan t) dalam ruang Euclidean m-dimensi
Jika pada (2) bersama dengan tanda sama dengan, tanda pertidaksamaan diperbolehkan
Ini mengarah ke masalah pemrograman non-linier(tigabelas). Dalam masalah (1), (3), himpunan G dari nilai-nilai yang dapat diterima dari fungsi vektor g adalah lengkung tertentu , milik (n-m 1)-dimensi permukaan hiper yang didefinisikan oleh m 1 , m 1
Kasus khusus masalah (1), (3) pada U.v. adalah tugas pemrograman linier, di mana semua fungsi yang dipertimbangkan f dan gi linier dalam x l , ... , x hal. Dalam masalah pemrograman linier, himpunan G dari nilai yang mungkin dari fungsi vektor g, termasuk dalam kondisi yang membatasi rentang variabel x 1 , .....xn , adalah , yang termasuk dalam hyperplane dimensi (n-t 1) yang didefinisikan oleh m 1 kondisi tipe kesetaraan dalam (3).
Demikian pula, sebagian besar masalah optimasi untuk fungsi yang mewakili praktis bunga, dikurangi menjadi tugas di U. e. (cm. Masalah isoperimetri, Masalah dering, Masalah Lagrange, Masalah cara).
Sama seperti dalam matematika. pemrograman, masalah utama kalkulus variasi dan teori kontrol optimal adalah masalah cembung e.
Saat memecahkan masalah di U. e., terutama saat mempertimbangkan teoretis. pertanyaan yang berkaitan dengan masalah pada C. e., ternyata sangat berguna untuk menggunakan indefinite pengganda Lagrangian, memungkinkan untuk mengurangi masalah ke U. e. untuk masalah pada kondisi tanpa syarat dan menyederhanakan kondisi optimalitas yang diperlukan. Penggunaan pengganda Lagrange mendasari sebagian besar klasik metode untuk memecahkan masalah di U. e.
menyala.: Hadley J., Nonlinier dan , trans. dari bahasa Inggris, M., 1967; Bliss G.A., Ceramah tentang kalkulus variasi, trans. dari bahasa Inggris, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Proses Optimal Matematika, 2nd ed., M., 1969.
I.B.Vapnyarsky.
ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M. Vinogradov. 1977-1985.
Lihat apa itu "CONDITIONAL EXTREME" di kamus lain:
Ekstrem relatif, ekstrem dari fungsi f (x1,..., xn + m) dari n + m variabel, dengan asumsi bahwa variabel-variabel ini tunduk pada m lebih banyak persamaan (kondisi): k (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k m (*) (lihat Ekstrem).… …
Biarkan himpunan terbuka dan pada diberikan fungsi. Biarkan. Persamaan ini disebut persamaan kendala (terminologi dipinjam dari mekanika). Biarkan suatu fungsi didefinisikan pada G ... Wikipedia
- (dari bahasa Latin ekstrem ekstrem) nilai fungsi kontinu f (x), yang merupakan maksimum atau minimum. Lebih tepatnya: suatu fungsi f(x) kontinu di titik x0 memiliki maksimum (minimum) di x0 jika ada lingkungan (x0 + , x0 ) dari titik ini, ... ... Ensiklopedia Besar Soviet
Istilah ini memiliki arti lain, lihat Ekstrim (makna). Ekstrem (Latin extremum extreme) dalam matematika adalah nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pada suatu himpunan tertentu. Titik di mana ekstrem tercapai adalah ... ... Wikipedia
Sebuah fungsi yang digunakan dalam memecahkan masalah untuk fungsi ekstrem bersyarat dari beberapa variabel dan fungsi. Dengan bantuan L. f. kondisi optimalitas yang diperlukan ditulis dalam masalah untuk ekstrem bersyarat. Tidak perlu hanya mengekspresikan variabel ... Ensiklopedia Matematika
Suatu disiplin matematika yang dikhususkan untuk menemukan nilai ekstrem (maksimum dan minimum) dari fungsi variabel tergantung pada pilihan satu atau lebih fungsi. Di dan. adalah perkembangan alami dari bab itu ... ... Ensiklopedia Besar Soviet
Variabel, dengan bantuan yang fungsi Lagrange dibangun dalam studi masalah untuk ekstrem bersyarat. Penggunaan L.m. dan fungsi Lagrange memungkinkan untuk memperoleh kondisi optimalitas yang diperlukan dengan cara yang seragam dalam masalah untuk ekstrem bersyarat ... Ensiklopedia Matematika
Kalkulus variasi adalah cabang dari analisis fungsional yang mempelajari variasi fungsi. Tugas paling umum dari kalkulus variasi adalah menemukan fungsi di mana fungsi tertentu mencapai ... ... Wikipedia
Bagian matematika yang dikhususkan untuk mempelajari metode untuk menemukan fungsi ekstrem yang bergantung pada pilihan satu atau lebih fungsi di bawah berbagai jenis pembatasan (fase, diferensial, integral, dll.) yang dikenakan pada ini ... ... Ensiklopedia Matematika
Kalkulus variasi adalah cabang matematika yang mempelajari variasi fungsi. Tugas yang paling umum dari kalkulus variasi adalah untuk menemukan fungsi di mana fungsional mencapai nilai ekstrim. Metode ... ... Wikipedia
Buku
- Kuliah teori kontrol. Volume 2. Kontrol Optimal, V. Boss. Masalah klasik dari teori kontrol optimal dipertimbangkan. Presentasi dimulai dengan konsep dasar optimasi dalam ruang berdimensi hingga: ekstrem bersyarat dan tak bersyarat, ...
definisi1: Suatu fungsi dikatakan mempunyai maksimum lokal di suatu titik jika terdapat tetangga dari titik tersebut sehingga untuk sembarang titik M dengan koordinat (x, y) ketidaksamaan terpenuhi: . Dalam hal ini, yaitu, kenaikan fungsi< 0.
definisi2: Suatu fungsi dikatakan memiliki minimum lokal di suatu titik jika terdapat lingkungan dari titik tersebut sehingga untuk sembarang titik M dengan koordinat (x, y) ketidaksamaan terpenuhi: . Dalam hal ini, yaitu kenaikan fungsi > 0.
Definisi 3: Titik minimum dan maksimum lokal disebut titik ekstrim.
Ekstrem Bersyarat
Ketika mencari ekstrem dari fungsi banyak variabel, masalah sering muncul terkait dengan apa yang disebut ekstrim bersyarat. Konsep ini dapat dijelaskan dengan contoh fungsi dua variabel.
Biarkan fungsi dan garis diberikan L di permukaan 0xy. Tugasnya adalah berbaris L temukan titik seperti itu P(x, y), di mana nilai fungsi terbesar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi ini pada titik-titik garis L terletak di dekat titik P. Poin seperti itu P ditelepon titik ekstrem bersyarat fungsi garis L. Berbeda dengan titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi tidak pada semua titik dari beberapa lingkungannya, tetapi hanya pada titik yang terletak pada garis. L.
Cukup jelas bahwa titik ekstrem yang biasa (mereka juga mengatakan ekstrim tanpa syarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk setiap garis yang melalui titik ini. Kebalikannya, tentu saja, tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem konvensional. Mari saya jelaskan ini dengan contoh sederhana. Grafik fungsinya adalah belahan atas (Lampiran 3 (Gbr. 3)).
Fungsi ini memiliki maksimum di asal; itu sesuai dengan atas M belahan otak. Jika garis L ada garis yang melalui titik TETAPI dan PADA(persamaan nya x+y-1=0), maka secara geometris jelas bahwa untuk titik-titik garis ini nilai maksimum fungsi dicapai pada titik yang terletak di tengah antara titik-titik TETAPI dan PADA. Ini adalah titik ekstrem bersyarat (maksimum) dari fungsi pada garis yang diberikan; itu sesuai dengan titik M 1 di belahan bumi, dan dapat dilihat dari gambar bahwa tidak ada pertanyaan tentang ekstrem biasa di sini.
Perhatikan bahwa di bagian akhir dari masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup, kita harus menemukan nilai ekstrem dari fungsi pada batas daerah ini, yaitu. pada beberapa baris, dan dengan demikian memecahkan masalah untuk ekstrem bersyarat.
Mari kita lanjutkan ke pencarian praktis untuk titik-titik ekstrem bersyarat dari fungsi Z= f(x, y) asalkan variabel x dan y dihubungkan oleh persamaan (x, y) = 0. Hubungan ini akan menjadi disebut persamaan kendala. Jika dari persamaan koneksi y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam bentuk x: y \u003d (x), kita mendapatkan fungsi satu variabel Z \u003d f (x, (x)) \u003d (x).
Setelah menemukan nilai x di mana fungsi ini mencapai ekstrem, dan kemudian menentukan nilai y yang sesuai dari persamaan koneksi, kita akan mendapatkan titik ekstrem bersyarat yang diinginkan.
Jadi, dalam contoh di atas, dari persamaan komunikasi x+y-1=0 kita memiliki y=1-x. Dari sini
Sangat mudah untuk memeriksa bahwa z mencapai maksimum pada x = 0,5; tetapi kemudian dari persamaan koneksi y = 0,5, dan kita mendapatkan tepat titik P, yang ditemukan dari pertimbangan geometris.
Masalah ekstrem bersyarat diselesaikan dengan sangat sederhana bahkan ketika persamaan kendala dapat diwakili oleh persamaan parametrik x=x(t), y=y(t). Mensubstitusikan ekspresi untuk x dan y ke dalam fungsi ini, kita kembali ke masalah menemukan ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel.
Jika persamaan kendala memiliki bentuk yang lebih kompleks dan kita tidak dapat secara eksplisit menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain, atau menggantinya dengan persamaan parametrik, maka masalah menemukan ekstrem bersyarat menjadi lebih sulit. Kami akan terus mengasumsikan bahwa dalam ekspresi fungsi z= f(x, y) variabel (x, y) = 0. Turunan total dari fungsi z= f(x, y) sama dengan:
Dimana turunan y`, ditemukan oleh aturan diferensiasi fungsi implisit. Pada titik ekstrem bersyarat, turunan total yang ditemukan harus sama dengan nol; ini memberikan satu persamaan yang berhubungan x dan y. Karena mereka juga harus memenuhi persamaan kendala, kita mendapatkan sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui
Mari kita ubah sistem ini menjadi sistem yang jauh lebih nyaman dengan menulis persamaan pertama sebagai proporsi dan memperkenalkan bantu baru yang tidak diketahui:
(tanda minus ditempatkan di depan untuk kenyamanan). Sangat mudah untuk berpindah dari persamaan ini ke sistem berikut:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
yang, bersama-sama dengan persamaan kendala (x, y) = 0, membentuk sistem tiga persamaan dengan x, y, dan yang tidak diketahui.
Persamaan ini (*) paling mudah diingat menggunakan aturan berikut: untuk menemukan titik yang dapat menjadi titik ekstrem bersyarat dari fungsi
Z= f(x, y) dengan persamaan kendala (x, y) = 0, Anda perlu membentuk fungsi bantu
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
Di mana beberapa konstanta, dan tulis persamaan untuk menemukan titik ekstrem dari fungsi ini.
Sistem persamaan yang ditentukan memberikan, sebagai suatu peraturan, hanya kondisi yang diperlukan, yaitu. tidak setiap pasangan nilai x dan y yang memenuhi sistem ini tentu merupakan titik ekstrem bersyarat. Saya tidak akan memberikan kondisi yang cukup untuk poin ekstrem bersyarat; sangat sering konten spesifik dari masalah itu sendiri menunjukkan apa poin yang ditemukan. Teknik yang dijelaskan untuk memecahkan masalah untuk ekstrem bersyarat disebut metode pengali Lagrange.
Ekstrem bersyarat.
Ekstrem dari Fungsi Beberapa Variabel
Metode kuadrat terkecil.
Ekstrem lokal FNP
Biarkan fungsinya dan= f(P), RÎDÌR n dan biarkan titik 0 ( sebuah 1 , sebuah 2 , ..., sebuah p) –intern titik himpunan D
Definisi 9.4.
1) Titik P 0 disebut titik maksimum fungsi dan= f(P) jika terdapat lingkungan dari titik ini U(P 0) D sedemikian rupa sehingga untuk sembarang titik P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0 ), 0 , kondisi f(P) £ f(P0) . Berarti f(P 0) fungsi pada titik maksimum disebut fungsi maksimal dan dilambangkan f(P 0) = maks f(P) .
2) Titik P 0 disebut titik minimum fungsi dan= f(P) jika terdapat lingkungan dari titik ini U(P 0)Ì D sedemikian rupa sehingga untuk sembarang titik P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), 0 , kondisi f(P)³ f(P0) . Berarti f(P 0) fungsi pada titik minimum disebut fungsi minimum dan dilambangkan f(P 0) = min f(P).
Titik minimum dan maksimum suatu fungsi disebut titik ekstrim, nilai fungsi pada titik ekstrem disebut fungsi ekstrim.
Sebagai berikut dari definisi, ketidaksetaraan f(P) £ f(P0) , f(P)³ f(P 0) harus dilakukan hanya di lingkungan tertentu dari titik P 0 , dan tidak di seluruh domain fungsi, yang berarti bahwa fungsi tersebut dapat memiliki beberapa ekstrem dari jenis yang sama (beberapa minimal, beberapa maksimal). Oleh karena itu, ekstrem yang didefinisikan di atas disebut lokal ekstrim (lokal).
Teorema 9.1 (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dari FNP)
Jika fungsi dan= f(X 1 , X 2 , ..., x n) memiliki ekstrem pada titik P 0 , maka turunan parsial orde pertama pada titik ini sama dengan nol atau tidak ada.
Bukti. Misalkan pada titik 0 ( sebuah 1 , sebuah 2 , ..., sebuah p) fungsi dan= f(P) memiliki ekstrim, seperti maksimum. Mari kita perbaiki argumennya X 2 , ..., x n, menempatkan X 2 =sebuah 2 ,..., x n = sebuah p. Kemudian dan= f(P) = f 1 ((X 1 , sebuah 2 , ..., sebuah p) adalah fungsi dari satu variabel X satu . Karena fungsi ini memiliki X 1 = sebuah 1 ekstrem (maksimum), maka f 1 =0 atau tidak ada ketika X 1 =sebuah 1 (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem dari fungsi satu variabel). Tapi , maka atau tidak ada pada titik P 0 - titik ekstrem. Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan turunan parsial sehubungan dengan variabel lain. CHTD.
Titik-titik daerah asal suatu fungsi di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol atau tidak ada disebut titik kritis fungsi ini.
Sebagai berikut dari Teorema 9.1, titik-titik ekstrem dari FNP harus dicari di antara titik-titik kritis dari fungsi tersebut. Namun, untuk fungsi satu variabel, tidak setiap titik kritis merupakan titik ekstrem.
Teorema 9.2
Biarkan 0 menjadi titik kritis dari fungsi dan= f(P) dan 
adalah diferensial orde dua dari fungsi ini. Kemudian
dan jika d 2 kamu(P 0) > 0 untuk , maka 0 adalah titik minimum fungsi dan= f(P);
b) jika d 2 kamu(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum fungsi dan= f(P);
c) jika d 2 kamu(P 0) tidak ditentukan oleh tanda, maka P 0 bukan titik ekstrem;
Kami menganggap teorema ini tanpa bukti.
Perhatikan bahwa teorema tidak mempertimbangkan kasus ketika d 2 kamu(P 0) = 0 atau tidak ada. Ini berarti bahwa pertanyaan tentang keberadaan ekstrem pada titik P 0 dalam kondisi seperti itu tetap terbuka - studi tambahan diperlukan, misalnya, studi peningkatan fungsi pada titik ini.
Dalam mata kuliah matematika yang lebih rinci, terbukti bahwa, khususnya, untuk fungsi z = f(x,kamu) dari dua variabel yang diferensial orde kedua adalah jumlah dari bentuk
studi tentang keberadaan ekstrem pada titik kritis 0 dapat disederhanakan.
Dilambangkan , , . Buatlah determinannya
.
Ternyata:
d 2 z> 0 pada titik P 0 , yaitu P 0 - poin minimum, jika A(P 0) > 0 dan D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
jika D(P 0)< 0, то d 2 z di sekitar titik 0 berubah tanda dan tidak ada titik ekstrem di titik 0;
jika D(Р 0) = 0, maka studi tambahan tentang fungsi di sekitar titik kritis 0 juga diperlukan.
Jadi, untuk fungsi z = f(x,kamu) dari dua variabel, kami memiliki algoritma berikut (sebut saja "algoritma D") untuk menemukan ekstrem:
1) Temukan domain definisi D( f) fungsi.
2) Temukan titik kritis, mis. poin dari D( f) yang dan sama dengan nol atau tidak ada.
3) Pada setiap titik kritis 0 periksa kondisi yang cukup untuk ekstrem. Untuk melakukan ini, temukan , Dimana , , dan hitung D(Р 0) dan TETAPI(P 0). Maka:
jika D(Р 0) >0, maka terdapat ekstrem di titik 0, apalagi jika TETAPI(P 0) > 0 - maka ini adalah minimum, dan jika TETAPI(P 0)< 0 – максимум;
jika D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Jika D(Р 0) = 0, maka diperlukan studi tambahan.
4) Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem yang ditemukan.
Contoh 1.
Temukan ekstrem dari suatu fungsi z = x 3 + 8kamu 3 – 3xy .
Keputusan. Domain dari fungsi ini adalah seluruh bidang koordinat. Mari kita temukan titik kritisnya.
, 
, 
0 (0,0) , .
Mari kita periksa pemenuhan kondisi ekstrem yang cukup. Ayo temukan
6X, = -3, = 48pada dan 
= 288hu – 9.
Kemudian D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - ada ekstrem di titik 1, dan karena TETAPI(P 1) = 3 >0, maka ekstrem ini adalah minimum. jadi min z=z(P1) = 
.
Contoh 2
Temukan ekstrem dari suatu fungsi 
.
Solusi: D( f) = R2 . Poin kritis: 
; tidak ada di pada= 0, jadi P 0 (0,0) adalah titik kritis dari fungsi ini.
2, = 0, = , = , tetapi D(Р 0) tidak terdefinisi, sehingga tidak mungkin untuk mempelajari tandanya.
Untuk alasan yang sama, tidak mungkin untuk menerapkan Teorema 9.2 secara langsung d 2 z tidak ada pada titik ini.
Pertimbangkan kenaikan fungsi f(x, kamu) pada titik 0 . Jika D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, maka P 0 adalah titik minimum, jika D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Kami memiliki dalam kasus kami
D f = f(x, kamu) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D kamu) – f(0, 0) = .
Di D x= 0,1 dan D kamu= -0,008 kita mendapatkan D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 dan D kamu= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, mis. di sekitar titik 0 baik kondisi D f <0 (т.е. f(x, kamu) < f(0, 0) dan, oleh karena itu, P 0 bukan titik maksimum), atau kondisi D f>0 (mis. f(x, kamu) > f(0, 0) dan kemudian 0 bukan titik minimum). Oleh karena itu, menurut definisi ekstrem, fungsi ini tidak memiliki ekstrem.
Ekstrem bersyarat.
Ekstrem yang dipertimbangkan dari fungsi disebut tak bersyarat, karena tidak ada batasan (kondisi) yang dikenakan pada argumen fungsi.
Definisi 9.2. Fungsi ekstrem dan = f(X 1 , X 2 , ... , x n), ditemukan dengan syarat bahwa argumennya X 1 , X 2 , ... , x n memenuhi persamaan j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, dimana P ( X 1 , X 2 , ... , x n) D( f), disebut ekstrem bersyarat .
persamaan j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, disebut persamaan koneksi.
Pertimbangkan fungsinya z = f(x,kamu) dari dua variabel. Jika hanya ada satu persamaan kendala, yaitu , kemudian menemukan ekstrem bersyarat berarti bahwa ekstrem tidak dicari di seluruh domain fungsi, tetapi pada beberapa kurva yang terletak di D( f) (yaitu, bukan titik tertinggi atau terendah dari permukaan yang dicari z = f(x,kamu), dan titik tertinggi atau terendah di antara titik perpotongan permukaan ini dengan silinder , Gambar 5).
Ekstrem bersyarat dari fungsi z = f(x,kamu) dari dua variabel dapat ditemukan dengan cara berikut( metode eliminasi). Dari persamaan, nyatakan salah satu variabel sebagai fungsi variabel lain (misalnya, tulis ) dan, substitusikan nilai variabel ini ke dalam fungsi , tulis yang terakhir sebagai fungsi dari satu variabel (dalam kasus yang dipertimbangkan 
). Temukan ekstrem dari fungsi yang dihasilkan dari satu variabel.
