Pada bagian pertama, kami mempertimbangkan beberapa materi teoretis, metode substitusi, serta metode penambahan suku demi suku dari persamaan sistem. Untuk semua orang yang datang ke situs melalui halaman ini, saya sarankan Anda membaca bagian pertama. Mungkin, beberapa pengunjung akan menganggap materinya terlalu sederhana, tetapi dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, saya membuat sejumlah komentar dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematika secara umum.
Dan sekarang kita akan menganalisis aturan Cramer, serta solusi dari sistem persamaan linier menggunakan matriks terbalik (metode matriks). Semua materi disajikan secara sederhana, rinci dan jelas, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode di atas.
Kami pertama-tama mempertimbangkan aturan Cramer secara rinci untuk sistem dua persamaan linier dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? “Bagaimanapun, sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan metode sekolah, dengan penambahan suku demi suku!
Faktanya adalah bahwa meskipun kadang-kadang, tetapi ada tugas seperti itu - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami bagaimana menggunakan aturan Cramer untuk kasus yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.
Selain itu, ada sistem persamaan linier dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan dengan tepat sesuai dengan aturan Cramer!
Perhatikan sistem persamaan
Pada langkah pertama, kami menghitung determinan , itu disebut penentu utama sistem.
metode Gauss.
Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk mencari akarnya, kita harus menghitung dua determinan lagi:
dan
Dalam praktiknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf Latin.
Akar persamaan ditemukan dengan rumus:
,
Contoh 7
Memecahkan sistem persamaan linear 
Keputusan: Kita melihat bahwa koefisien persamaannya cukup besar, di sebelah kanan ada pecahan desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang agak jarang dalam tugas-tugas praktis dalam matematika; Saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.
Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba mengekspresikan satu variabel dalam bentuk variabel lain, tetapi dalam kasus ini, Anda pasti akan mendapatkan pecahan mewah yang mengerikan, yang sangat tidak nyaman untuk digunakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan mengurangi suku dengan suku, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.
Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.
;
;
Menjawab: ,
Kedua akar memiliki ekor tak terbatas dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan biasa) untuk masalah ekonometrika.
Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan sesuai dengan formula yang sudah jadi, namun, ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib Fragmen tugas adalah fragmen berikut: "jadi sistem memiliki solusi unik". Jika tidak, peninjau dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.
Tidak akan berlebihan untuk memeriksa, yang nyaman untuk dilakukan pada kalkulator: kami mengganti nilai perkiraan di sisi kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan kesalahan kecil, angka yang berada di sisi kanan harus diperoleh.
Contoh 8
Nyatakan jawabanmu dalam pecahan biasa biasa. Buat cek.
Ini adalah contoh untuk solusi independen (contoh desain yang bagus dan jawaban di akhir pelajaran).
Kami beralih ke pertimbangan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui: 
Kami menemukan determinan utama sistem: 
Jika , maka sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu, Anda perlu menggunakan metode Gauss.
Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung tiga determinan lagi: 
, 
, 
Dan akhirnya, jawabannya dihitung dengan rumus: 
Seperti yang Anda lihat, kasus "tiga per tiga" pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus "dua per dua", kolom istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang kolom determinan utama.
Contoh 9
Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer. 
Keputusan: Mari kita selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer. 
, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.
Menjawab: 
.
Sebenarnya, tidak ada yang istimewa untuk dikomentari lagi di sini, mengingat keputusan dibuat sesuai dengan formula yang sudah jadi. Tapi ada beberapa catatan.
Kebetulan sebagai hasil perhitungan, diperoleh pecahan "buruk" yang tidak dapat direduksi, misalnya: .
Saya merekomendasikan algoritma "pengobatan" berikut. Jika tidak ada komputer, kami melakukan ini:
1) Mungkin ada kesalahan dalam perhitungan. Segera setelah Anda menemukan tembakan "buruk", Anda harus segera memeriksa apakah apakah kondisinya ditulis ulang dengan benar. Jika kondisinya ditulis ulang tanpa kesalahan, maka Anda perlu menghitung ulang determinan menggunakan ekspansi di baris (kolom) lain.
2) Apabila hasil pemeriksaan tidak ditemukan kesalahan, maka kemungkinan besar terjadi kesalahan ketik pada kondisi penugasan. Dalam hal ini, selesaikan tugas dengan tenang dan HATI-HATI sampai akhir, dan kemudian pastikan untuk memeriksa dan menggambarnya pada salinan bersih setelah keputusan. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melemahkan bagi guru, yang, yah, sangat suka memberi nilai minus untuk hal buruk seperti apa pun. Cara menangani pecahan dirinci dalam jawaban untuk Contoh 8.
Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Omong-omong, yang paling menguntungkan adalah menggunakan program segera (bahkan sebelum memulai solusi), Anda akan segera melihat langkah perantara di mana Anda melakukan kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem menggunakan metode matriks.
Komentar kedua. Dari waktu ke waktu ada sistem dalam persamaan yang beberapa variabelnya hilang, misalnya: 
Di sini, di persamaan pertama tidak ada variabel, di persamaan kedua tidak ada variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan dengan benar dan HATI-HATI penentu utama: 
– angka nol menggantikan variabel yang hilang.
Omong-omong, rasional untuk membuka determinan dengan nol di baris (kolom) di mana nol berada, karena ada lebih sedikit perhitungan.
Contoh 10
Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer. 
Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (contoh penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).
Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis menurut prinsip yang sama. Anda dapat melihat contoh langsung dalam pelajaran Properti Determinan. Mengurangi urutan determinan - lima determinan urutan ke-4 cukup dapat dipecahkan. Meski tugas tersebut sudah sangat mengingatkan kita pada sepatu profesor di dada mahasiswa yang beruntung.
Solusi sistem menggunakan matriks terbalik
Metode matriks terbalik pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).
Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus dapat memperluas determinan, menemukan matriks invers, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring berjalannya penjelasan.
Contoh 11
Selesaikan sistem dengan metode matriks 
Keputusan: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, di mana 
Perhatikan sistem persamaan dan matriksnya. Dengan prinsip apa kami menulis elemen ke dalam matriks, saya pikir semua orang mengerti. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dalam persamaan, maka nol harus diletakkan di tempat yang sesuai dalam matriks.
Kami menemukan matriks terbalik dengan rumus:
, Dimana adalah matriks transpos dari komplemen aljabar dari elemen yang sesuai dari matriks .
Pertama, mari kita berurusan dengan determinan:
Di sini determinan diperluas oleh baris pertama.
Perhatian! Jika , maka matriks invers tidak ada, dan sistem tidak mungkin diselesaikan dengan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan eliminasi yang tidak diketahui (metode Gauss).
Sekarang Anda perlu menghitung 9 anak di bawah umur dan menuliskannya ke dalam matriks anak di bawah umur 
Referensi: Hal ini berguna untuk mengetahui arti dari subscript ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor baris di mana elemen berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen berada: 
Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa elemen ada di baris pertama, kolom ketiga, sedangkan, misalnya, elemen ada di baris ke-3, kolom ke-2
Untuk menguasai paragraf ini, Anda harus dapat membuka kualifikasi "dua per dua" dan "tiga per tiga". Jika kualifikasinya buruk, silakan pelajari pelajarannya Bagaimana cara menghitung determinannya?
Kami pertama-tama mempertimbangkan aturan Cramer secara rinci untuk sistem dua persamaan linier dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? “Bagaimanapun, sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan metode sekolah, dengan penambahan suku demi suku!
Faktanya adalah bahwa meskipun kadang-kadang, tetapi ada tugas seperti itu - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami bagaimana menggunakan aturan Cramer untuk kasus yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.
Selain itu, ada sistem persamaan linier dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan dengan tepat sesuai dengan aturan Cramer!
Perhatikan sistem persamaan
Pada langkah pertama, kami menghitung determinan , itu disebut penentu utama sistem.
metode Gauss.
Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk mencari akarnya, kita harus menghitung dua determinan lagi:
dan
Dalam praktiknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf Latin.
Akar persamaan ditemukan dengan rumus:
,
Contoh 7
Memecahkan sistem persamaan linear 
Keputusan: Kita melihat bahwa koefisien persamaannya cukup besar, di sebelah kanan ada pecahan desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang agak jarang dalam tugas-tugas praktis dalam matematika; Saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.
Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba mengekspresikan satu variabel dalam bentuk variabel lain, tetapi dalam kasus ini, Anda pasti akan mendapatkan pecahan mewah yang mengerikan, yang sangat tidak nyaman untuk digunakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan mengurangi suku dengan suku, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.
Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.
;
;
Menjawab: ,
Kedua akar memiliki ekor tak terbatas dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan biasa) untuk masalah ekonometrika.
Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan sesuai dengan formula yang sudah jadi, namun, ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib Fragmen tugas adalah fragmen berikut: "jadi sistem memiliki solusi unik". Jika tidak, peninjau dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.
Tidak akan berlebihan untuk memeriksa, yang nyaman untuk dilakukan pada kalkulator: kami mengganti nilai perkiraan di sisi kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan kesalahan kecil, angka yang berada di sisi kanan harus diperoleh.
Contoh 8
Nyatakan jawabanmu dalam pecahan biasa biasa. Buat cek.
Ini adalah contoh untuk solusi independen (contoh desain yang bagus dan jawaban di akhir pelajaran).
Kami beralih ke pertimbangan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui: 
Kami menemukan determinan utama sistem: 
Jika , maka sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu, Anda perlu menggunakan metode Gauss.
Jika , maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung tiga determinan lagi: 
, 
,
Dan akhirnya, jawabannya dihitung dengan rumus: 
Seperti yang Anda lihat, kasus "tiga per tiga" pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus "dua per dua", kolom istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang kolom determinan utama.
Contoh 9
Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer. 
Keputusan: Mari kita selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer. 
, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.
Menjawab: 
.
Sebenarnya, tidak ada yang istimewa untuk dikomentari lagi di sini, mengingat keputusan dibuat sesuai dengan formula yang sudah jadi. Tapi ada beberapa catatan.
Kebetulan sebagai hasil perhitungan, diperoleh pecahan "buruk" yang tidak dapat direduksi, misalnya: .
Saya merekomendasikan algoritma "pengobatan" berikut. Jika tidak ada komputer, kami melakukan ini:
1) Mungkin ada kesalahan dalam perhitungan. Segera setelah Anda menemukan tembakan "buruk", Anda harus segera memeriksa apakah apakah kondisinya ditulis ulang dengan benar. Jika kondisinya ditulis ulang tanpa kesalahan, maka Anda perlu menghitung ulang determinan menggunakan ekspansi di baris (kolom) lain.
2) Apabila hasil pemeriksaan tidak ditemukan kesalahan, maka kemungkinan besar terjadi kesalahan ketik pada kondisi penugasan. Dalam hal ini, selesaikan tugas dengan tenang dan HATI-HATI sampai akhir, dan kemudian pastikan untuk memeriksa dan menggambarnya pada salinan bersih setelah keputusan. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melemahkan bagi guru, yang, yah, sangat suka memberi nilai minus untuk hal buruk seperti apa pun. Cara menangani pecahan dirinci dalam jawaban untuk Contoh 8.
Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Omong-omong, yang paling menguntungkan adalah menggunakan program segera (bahkan sebelum memulai solusi), Anda akan segera melihat langkah perantara di mana Anda melakukan kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem menggunakan metode matriks.
Komentar kedua. Dari waktu ke waktu ada sistem dalam persamaan yang beberapa variabelnya hilang, misalnya: 
Di sini, di persamaan pertama tidak ada variabel, di persamaan kedua tidak ada variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan dengan benar dan HATI-HATI penentu utama: 
– angka nol menggantikan variabel yang hilang.
Omong-omong, rasional untuk membuka determinan dengan nol di baris (kolom) di mana nol berada, karena ada lebih sedikit perhitungan.
Contoh 10
Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.
Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (contoh penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).
Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis menurut prinsip yang sama. Anda dapat melihat contoh langsung dalam pelajaran Properti Determinan. Mengurangi urutan determinan - lima determinan urutan ke-4 cukup dapat dipecahkan. Meski tugas tersebut sudah sangat mengingatkan kita pada sepatu profesor di dada mahasiswa yang beruntung.
Solusi sistem menggunakan matriks terbalik
Metode matriks terbalik pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).
Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus dapat memperluas determinan, menemukan matriks invers, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring berjalannya penjelasan.
Contoh 11
Selesaikan sistem dengan metode matriks
Keputusan: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, di mana 
Perhatikan sistem persamaan dan matriksnya. Dengan prinsip apa kami menulis elemen ke dalam matriks, saya pikir semua orang mengerti. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dalam persamaan, maka nol harus diletakkan di tempat yang sesuai dalam matriks.
Kami menemukan matriks terbalik dengan rumus:
, Dimana adalah matriks transpos dari komplemen aljabar dari elemen yang sesuai dari matriks .
Pertama, mari kita berurusan dengan determinan:
Di sini determinan diperluas oleh baris pertama.
Perhatian! Jika , maka matriks invers tidak ada, dan sistem tidak mungkin diselesaikan dengan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan eliminasi yang tidak diketahui (metode Gauss).
Sekarang Anda perlu menghitung 9 anak di bawah umur dan menuliskannya ke dalam matriks anak di bawah umur 
Referensi: Hal ini berguna untuk mengetahui arti dari subscript ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor baris di mana elemen berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen berada: 
Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa elemen ada di baris pertama, kolom ketiga, sedangkan, misalnya, elemen ada di baris ke-3, kolom ke-2
Dalam proses penyelesaian, lebih baik untuk menggambarkan perhitungan anak di bawah umur secara rinci, meskipun, dengan pengalaman tertentu, mereka dapat disesuaikan untuk menghitung kesalahan secara lisan.
Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam memecahkan sistem persamaan linier. Ini sangat mempercepat proses solusi.
Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sebanyak yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaian; jika sama dengan nol, maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang memiliki solusi unik.
Definisi. Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).
Determinan
diperoleh dengan mengganti koefisien pada variabel yang tidak diketahui yang bersesuaian dengan suku bebas:
;
.
teorema Cramer. Jika determinan sistemnya bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi tunggal, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebut berisi determinan sistem, dan pembilang berisi determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dengan yang tidak diketahui dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linier dengan orde apa pun.
Contoh 1 Memecahkan sistem persamaan linear:
Berdasarkan teorema Cramer kita punya:
Jadi, solusi dari sistem (2):
kalkulator online, metode solusi Cramer.
Tiga kasus dalam memecahkan sistem persamaan linear
Seperti yang terlihat dari Teorema Cramer, ketika memecahkan sistem persamaan linier, tiga kasus dapat terjadi:
Kasus pertama: sistem persamaan linier memiliki solusi unik
(sistemnya konsisten dan pasti)
Kasus kedua: sistem persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terbatas
(sistem konsisten dan tak tentu)
** 
,
itu. koefisien yang tidak diketahui dan istilah bebasnya proporsional.
Kasus ketiga: sistem persamaan linier tidak memiliki solusi
(sistem tidak konsisten)
Jadi sistemnya m persamaan linier dengan n variabel disebut tidak cocok jika tidak memiliki solusi, dan persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem gabungan persamaan yang hanya memiliki satu solusi disebut yakin, dan lebih dari satu tidak pasti.
Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer
Biarkan sistem
.
Berdasarkan teorema Cramer
………….
,
di mana 
-
pengenal sistem. Determinan yang tersisa diperoleh dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang sesuai (tidak diketahui) dengan anggota bebas:
Contoh 2
.
Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinannya
Dengan rumus Cramer kita menemukan:
Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi untuk sistem.
Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.
Jika tidak ada variabel dalam sistem persamaan linier dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam determinan elemen-elemen yang bersesuaian dengannya sama dengan nol! Ini adalah contoh selanjutnya.
Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:
.
Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:
Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban atas pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi, determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui
Dengan rumus Cramer kita menemukan:
Jadi, solusi sistemnya adalah (2; -1; 1).
Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.
Bagian atas halaman
Kami terus memecahkan sistem menggunakan metode Cramer bersama-sama
Seperti yang telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.
Contoh 6 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:
Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:
Determinan sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk memperjelas, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui
Determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.
Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.
Pada soal-soal sistem persamaan linier juga terdapat yang selain huruf-huruf yang menyatakan variabel juga terdapat huruf-huruf lainnya. Huruf-huruf ini mewakili beberapa nomor, paling sering bilangan real. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan seperti itu menyebabkan masalah untuk menemukan sifat umum dari setiap fenomena dan objek. Artinya, Anda menemukan beberapa bahan atau perangkat baru, dan untuk menggambarkan sifat-sifatnya, yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah salinan, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, di mana alih-alih beberapa koefisien untuk variabel ada huruf. Tidak perlu jauh-jauh mencari contoh.
Contoh berikutnya adalah untuk masalah yang sama, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan beberapa bilangan real yang bertambah.
Contoh 8 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:
Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:
Menemukan determinan untuk yang tidak diketahui
