Topik tutorial video ini adalah properti gerak, serta terjemahan paralel. Di awal pelajaran, kita akan sekali lagi mengulangi konsep gerakan, tipe utamanya - simetri aksial dan sentral. Setelah itu, kami mempertimbangkan semua sifat gerak. Mari kita menganalisis konsep "transfer paralel", untuk apa itu digunakan, beri nama propertinya.

Tema: Gerakan

Pelajaran: Gerakan. Properti Gerak

Mari kita buktikan teorema: saat bergerak, segmen masuk ke segmen.

Mari kita menguraikan rumusan teorema dengan bantuan Gambar. 1. Jika ujung segmen tertentu MN selama pergerakan ditampilkan di beberapa titik M 1 dan N 1, maka setiap titik P dari segmen MN harus menuju ke beberapa titik P 1 dari segmen M 1 N 1, dan sebaliknya, untuk setiap titik Q 1 dari segmen M 1 N 1 beberapa titik Q dari segmen MN akan ditampilkan.

Bukti.

Seperti dapat dilihat dari gambar, MN = MP + PN.

Biarkan titik P pergi ke beberapa titik P 1 "dari bidang. Definisi gerak menyiratkan kesetaraan panjang segmen MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Dari persamaan tersebut didapat bahwa M 1 1 ", M 1 1 "+ 1 "N 1 = MP + N = MN = M 1 N 1, yaitu titik 1 " termasuk ke dalam ruas M 1 N 1 dan berimpit dengan titik P 1, jika tidak persamaan di atas, pertidaksamaan segitiga M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 adalah benar. Artinya, kita buktikan bahwa ketika bergerak, setiap titik, setiap titik P dari segmen MN pasti akan menuju ke beberapa titik P 1 dari segmen M 1 N 1. Bagian kedua dari teorema (mengenai titik Q 1) dibuktikan dengan cara yang persis sama .

Teorema terbukti berlaku untuk setiap gerakan!

Dalil: saat bergerak, sudut tersebut membentuk sudut yang sama besar.

Biarkan RAOB diberikan (Gbr. 2). Dan biarkan beberapa gerakan diberikan, di mana titik menuju ke titik 1 , dan titik A dan B - masing-masing ke titik 1 dan 1 .

Perhatikan segitiga AOB dan A 1 O 1 B 1 . Menurut kondisi teorema, titik A, O dan B bergerak masing-masing ketika bergerak ke titik A1, O1 dan B1. Oleh karena itu, ada persamaan panjang AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 dan AB \u003d A 1 B 1. Jadi, AOB \u003d A 1 O 1 B 1 di tiga sisi. Dari persamaan segitiga berikut persamaan sudut yang bersesuaian O dan O 1.

Jadi, setiap gerakan mempertahankan sudut.

Banyak konsekuensi mengikuti dari sifat-sifat dasar gerak, khususnya, bahwa setiap sosok selama gerakan dipetakan ke sosok yang setara dengannya.

Pertimbangkan jenis gerakan lain - transfer paralel.

Transfer paralel ke beberapa vektor tertentu disebut pemetaan bidang ke dirinya sendiri, di mana setiap titik M dari bidang menuju ke titik M 1 dari bidang yang sama (Gbr. 3).

Ayo buktikan terjemahan paralel adalah gerakan.

Bukti.

Pertimbangkan segmen sewenang-wenang MN (Gbr. 4). Biarkan titik M bergerak ke titik M 1 selama transfer paralel, dan titik N - ke titik N 1. Dalam hal ini, kondisi transfer paralel terpenuhi: dan . Pertimbangkan segi empat

MM 1 N 1 N. Dua sisi yang berlawanan (MM 1 dan NN 1) adalah sama dan sejajar, seperti yang ditentukan oleh kondisi terjemahan paralel. Oleh karena itu, segiempat ini adalah jajaran genjang menurut salah satu tanda yang terakhir. Ini menyiratkan bahwa dua sisi lainnya (MN dan M 1 N 1) dari jajaran genjang memiliki panjang yang sama, yang harus dibuktikan.

Dengan demikian, transfer paralel memang merupakan gerakan.

Mari kita rangkum. Kita sudah mengenal tiga jenis gerak: simetri aksial, simetri pusat, dan translasi paralel. Kami telah membuktikan bahwa ketika bergerak, sebuah segmen masuk ke dalam segmen, dan sebuah sudut menjadi sudut yang sama besar. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa garis lurus melewati garis lurus ketika bergerak, dan sebuah lingkaran melewati lingkaran dengan jari-jari yang sama.

1. Atanasyan L. S. dan lain-lain.Geometri kelas 7-9. Buku teks untuk lembaga pendidikan. - M.: Pendidikan, 2010.

2. Tes Geometri Farkov A.V.: Grade 9. Untuk buku teks L. S. Atanasyan dan lainnya - M.: Ujian, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometri, akun. untuk 7-11 sel. umum inst. - M.: Pencerahan, 1995.

1. Portal pendidikan Rusia ().

2. Festival ide pedagogis "Pelajaran Terbuka" ().

1. Atanasyan (lihat referensi), hal 293, 1, butir 114.

Sifat 1. Misalkan f adalah gerak titik-titik pada bidang, A", B" dan C" adalah bayangan titik A, B dan C selama gerak f. Maka titik A", B" dan C" terletak pada satu garis lurus jika dan hanya jika titik A, B, dan C segaris.

Sifat 4. Saat bergerak, ia berubah menjadi segmen yang sama dengannya Sifat 5. Saat bergerak, sinar berubah menjadi sinar.

Sifat 7. Misalkan sebuah lingkaran berjari-jari r berpusat di titik O. Kemudian, ketika bergerak, lingkaran itu berubah menjadi lingkaran dengan jari-jari yang sama, berpusat di sebuah titik yang bertepatan dengan bayangan pusat O.

Yang kami maksud dengan kerangka bidang affine adalah tripel terurut dari titik-titik nonkolinier. Properti 7. Saat bergerak, bingkai diubah menjadi bingkai, dan bingkai ortonormal menjadi bingkai ortonormal.

Teorema (Teorema dasar gerak). Biarkan bingkai ortonormal u diberikan pada bidang. Lalu ada gerakan unik g yang membawa frame R ke R": .

Konsekuensi. Jika f adalah gerak bidang: menerjemahkan kerangka ortonormal R ke kerangka ortonormal R", maka setiap titik M pada bidang dengan koordinat x dan y relatif terhadap R sesuai dengan titik M"= f(M) dengan koordinat yang sama koordinat x dan y relatif terhadap R".

"Investigasi gerakan pesawat dan beberapa sifat mereka". halaman 21 dari 21

Investigasi gerakan pesawat

dan beberapa propertinya

Isi

Dari sejarah perkembangan teori gerak.

Pengertian dan sifat-sifat gerak.

Kesesuaian angka.

Jenis-jenis gerakan.

4.1. Perpindahan paralel.

4.2. Berbelok.

4.3. Simetri tentang garis lurus.

4.4. Simetri geser.

5. Studi sifat khusus simetri aksial.

6. Penyelidikan kemungkinan adanya jenis gerakan lain.

7. Teorema mobilitas. Dua macam gerakan.

8. Klasifikasi gerakan. teorema Chall.

Gerakan sebagai sekelompok transformasi geometris.

Penerapan gerakan dalam pemecahan masalah.

Literatur.

Sejarah perkembangan teori gerak.

Yang pertama mulai membuktikan beberapa proposisi geometris dianggap sebagai ahli matematika Yunani kuno Thales dari Miletus(625-547 SM). Berkat Thales, geometri mulai berubah dari seperangkat aturan praktis menjadi sains sejati. Sebelum Thales, bukti sama sekali tidak ada!

Bagaimana Thales melakukan pembuktiannya? Untuk tujuan ini, ia menggunakan gerakan.

Gerakan - ini adalah transformasi angka, di mana jarak antara titik dipertahankan. Jika dua angka digabungkan secara tepat satu sama lain melalui gerakan, maka angka-angka ini sama, sama.

Dengan cara inilah Thales membuktikan sejumlah teorema geometri pertama. Jika pesawat diputar sebagai satu kesatuan yang kaku di sekitar suatu titik HAI 180 o, balok OA akan pergi ke kelanjutannya OA ’ . Dengan seperti itu berputar (disebut juga simetri pusat terpusat HAI ) setiap titik TETAPI bergerak ke satu titik TETAPI ’ , Apa HAI adalah titik tengah segmen A A ’ (Gbr. 1).

Gbr.1 Gbr.2

Biarlah HAI - simpul umum dari sudut vertikal AOB dan TETAPI ’ OV ’ . Tetapi kemudian jelas bahwa ketika berbelok melalui 180 °, sisi salah satu dari dua sudut vertikal hanya akan melewati sisi yang lain, yaitu. kedua sudut ini sejajar. Ini berarti bahwa sudut vertikalnya sama (Gbr. 2).

Membuktikan persamaan sudut pada alas segitiga sama kaki, digunakan Thales simetri aksial : ia menggabungkan dua bagian segitiga sama kaki dengan menekuk gambar di sepanjang garis bagi sudut di puncak (Gbr. 3). Dengan cara yang sama, Thales membuktikan bahwa diameter membagi dua lingkaran.

Gbr.3 Gbr.4

Thales Terapan dan gerakan lain - transfer paralel , di mana semua titik pada gambar dipindahkan ke arah tertentu dengan jarak yang sama. Dengan bantuannya, ia membuktikan teorema yang sekarang menyandang namanya:

jika ruas-ruas yang sama disisihkan pada satu sisi sudut dan garis-garis sejajar ditarik melalui ujung-ujung ruas tersebut hingga berpotongan dengan sisi kedua sudut tersebut, maka ruas-ruas yang sama juga akan diperoleh pada sisi lain dari sudut tersebut.(Gbr. 4).

Pada zaman dahulu, ide gerakan juga digunakan oleh orang-orang terkenal Euclid, penulis "Awal" - sebuah buku yang telah bertahan lebih dari dua milenium. Euclid adalah kontemporer Ptolemy I, yang memerintah di Mesir, Suriah dan Makedonia dari 305-283 SM.

Gerakan-gerakan secara implisit hadir, misalnya, dalam penalaran Euclid ketika membuktikan tanda-tanda persamaan segitiga: "Mari kita memaksakan satu segitiga pada yang lain dengan cara ini dan itu." Menurut Euclid, dua angka disebut sama jika mereka dapat "digabungkan" oleh semua titiknya, yaitu. dengan menggerakkan satu gambar sebagai satu kesatuan yang solid, seseorang dapat secara akurat menempatkannya pada gambar kedua. Bagi Euclid, gerakan belum merupakan konsep matematika. Sistem aksioma yang pertama kali dikemukakan olehnya dalam “Principles” menjadi dasar teori geometri yang disebut Geometri Euclidean.

Di zaman modern ini, perkembangan disiplin ilmu matematika terus berlanjut. Geometri analitik diciptakan pada abad ke-11. Profesor Matematika di Universitas Bologna Bonaventura Cavalieri(1598-1647) menerbitkan esai "Geometri, dinyatakan dengan cara baru dengan bantuan kontinu tak terpisahkan." Menurut Cavalieri, bangun datar apa pun dapat dianggap sebagai sekumpulan garis paralel atau "jejak" yang ditinggalkan sebuah garis ketika bergerak sejajar dengan dirinya sendiri. Demikian pula, sebuah ide diberikan tentang tubuh: mereka terbentuk selama pergerakan pesawat.

Perkembangan lebih lanjut dari teori gerak dikaitkan dengan nama matematikawan dan sejarawan sains Prancis Michel Chall(1793-1880). Pada tahun 1837, ia menerbitkan karya "Tinjauan sejarah tentang asal usul dan pengembangan metode geometris." Dalam proses penelitian geometrinya sendiri, Schall membuktikan teorema yang paling penting:

setiap gerak mempertahankan orientasi suatu bidang adalah

translasi paralel atau rotasi,

setiap gerakan yang mengubah orientasi dari sebuah bidang adalah aksial

simetri atau simetri geser.

Pembuktian teorema Chall sepenuhnya dilakukan pada butir 8 abstrak ini.

Sebuah pengayaan penting bahwa geometri berutang pada abad ke-19 adalah penciptaan teori transformasi geometris, khususnya, teori matematika gerak (perpindahan). Pada saat ini, ada kebutuhan untuk memberikan klasifikasi semua sistem geometrik yang ada. Masalah ini diselesaikan oleh seorang matematikawan Jerman Christian Felix Klein(1849-1925).

Pada tahun 1872, dengan asumsi jabatan profesor di Universitas Erlangen, Klein memberikan kuliah tentang "Tinjauan Komparatif Penelitian Geometris Terbaru". Gagasan yang diajukan olehnya untuk memikirkan kembali semua geometri berdasarkan teori gerak disebut "Program Erlangen".

Menurut Klein, untuk membangun geometri tertentu, Anda perlu menentukan satu set elemen dan sekelompok transformasi. Tugas geometri adalah mempelajari hubungan-hubungan antara unsur-unsur yang tetap invarian di bawah semua transformasi suatu golongan tertentu. Misalnya, geometri Euclid mempelajari sifat-sifat figur yang tetap tidak berubah selama gerakan. Dengan kata lain, jika satu bangun diperoleh dari yang lain dengan gerakan (angka seperti itu disebut kongruen), maka angka-angka ini memiliki sifat geometris yang sama.

Dalam pengertian ini, gerakan membentuk dasar geometri, dan lima aksioma keselarasan dipilih oleh kelompok independen dalam sistem aksioma geometri modern. Sistem aksioma yang lengkap dan cukup ketat ini, yang merangkum semua penelitian sebelumnya, diusulkan oleh ahli matematika Jerman. David Gilbert(1862-1943). Sistem dua puluh aksiomanya, dibagi menjadi lima kelompok, pertama kali diterbitkan pada tahun 1899 dalam buku "Dasar Geometri".

Pada tahun 1909 seorang matematikawan Jerman Friedrich Schur(1856-1932), mengikuti ide-ide Thales dan Klein, mengembangkan sistem lain dari aksioma geometri - berdasarkan pertimbangan gerakan. Dalam sistemnya, khususnya, alih-alih kelompok aksioma keselarasan Hilbert, kelompok tiga aksioma gerak.

Jenis dan beberapa sifat penting dari gerakan dibahas secara rinci dalam esai ini, tetapi secara singkat dapat diungkapkan sebagai berikut: gerakan membentuk kelompok yang mendefinisikan dan menentukan geometri Euclidean.

Pengertian dan sifat-sifat gerak.

Dengan menggeser setiap titik dari gambar ini dalam beberapa cara, gambar baru diperoleh. Dikatakan bahwa angka ini diperoleh transformasi dari yang satu ini. Transformasi dari satu sosok ke yang lain disebut gerakan jika mempertahankan jarak antara titik, yaitu. menerjemahkan setiap dua poin X dan kamu satu bentuk per titik X ’ dan kamu ’ sosok lain sehingga XY = X ’kamu ’.

Definisi. Transformasi bentuk yang menjaga jarak

antara titik disebut gerakan gambar ini.

! Komentar: konsep gerakan dalam geometri terhubung dengan gagasan perpindahan yang biasa. Tetapi jika, berbicara tentang perpindahan, kita membayangkan proses yang berkelanjutan, maka dalam geometri hanya posisi awal dan akhir (gambar) dari gambar yang akan menjadi masalah bagi kita. Pendekatan geometris ini berbeda dengan pendekatan fisik.

Saat bergerak, titik yang berbeda sesuai dengan gambar yang berbeda, dan setiap titik X satu angka dimasukkan ke dalam korespondensi dengan satu-satunya dot X ’ sosok lain. Jenis transformasi ini disebut satu-ke-satu atau bijektif.

Berkenaan dengan gerakan, alih-alih istilah "persamaan" angka (garis lurus, segmen, bidang, dll.), istilah ini digunakan "kesesuaian" dan simbol yang digunakan  . Simbol digunakan untuk menunjukkan kepemilikan.Dengan mengingat hal ini, kita dapat memberikan definisi yang lebih tepat tentang gerakan:

Gerak adalah transformasi bijektif dari bidang , di mana untuk sembarang

berbagai titik X, Y є π hubungan XY  φ (X ) φ (kamu ).

Hasil eksekusi dua gerakan secara berurutan disebut komposisi. Jika gerakan dilakukan terlebih dahulu φ , diikuti dengan gerakan ψ , maka komposisi gerak tersebut dilambangkan dengan ψ ◦ φ .

Contoh paling sederhana dari gerakan adalah tampilan identitas (biasanya untuk menunjukkan - ε ), di mana setiap titik X , milik pesawat, titik ini sendiri dibandingkan, yaitu. ε (X ) = X .

Mari kita pertimbangkan beberapa sifat penting dari gerakan.

C Properti 1.

Lemma 2. 1. Komposisiφ ◦ ψ dua gerakanψ , φ adalah sebuah gerakan.

Bukti.

Biarkan sosok itu F diterjemahkan oleh gerakan ψ menjadi sosok F ', dan sosoknya F ' diterjemahkan dengan gerakan φ menjadi sosok F ''. Biar intinya X angka-angka F langsung ke intinya X ' angka F ' , dan selama gerakan kedua, intinya X ' angka F ' menuju titik X '' bentuk F ''. Kemudian transformasi gambar F menjadi sosok F '', di mana titik sewenang-wenang X angka-angka F langsung ke intinya X '' bentuk F '', mempertahankan jarak antara titik, dan karena itu juga merupakan gerakan.

Perhatikan bahwa perekaman komposisi selalu dimulai dari gerakan terakhir, karena hasil komposisi adalah gambar akhir - ditempatkan sesuai dengan aslinya:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C Properti 2.

Lemma 2.2 . Jika sebuahφ – gerakan, lalu transformasiφ -1 juga merupakan gerakan.

Bukti.

Biarkan bentuk transformasi F menjadi sosok F ' menerjemahkan berbagai poin dari gambar F di berbagai titik pada gambar F '. Biarkan titik sewenang-wenang X angka-angka F di bawah transformasi ini menuju titik X ' angka F ’.

Transformasi bentuk F ' menjadi sosok F , di mana titik X ' menuju titik X , disebut transformasi berbanding terbalik dengan yang diberikan. Untuk setiap gerakan φ adalah mungkin untuk menentukan gerakan terbalik, yang dilambangkan φ -1 .

Berdebat mirip dengan bukti properti 1, kita dapat memverifikasi bahwa transformasi kebalikan dari gerak juga merupakan gerak.

Jelas bahwa transformasi φ -1 memenuhi persamaan:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , di mana ε adalah tampilan yang identik.

Properti 3 (asosiasi komposisi).

Lemma 2.3. Biarkan 1 , φ 2 , φ 3 - gerakan sukarela. Kemudian 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Fakta bahwa komposisi gerakan memiliki sifat asosiatif memungkinkan kita untuk menentukan derajat φ dengan indikator alami n .

Mari kita taruh φ 1 = φ dan φ n+1 = φ n ◦ φ , jika n ≥ 1 . Demikian gerakan φ n diperoleh oleh n -beberapa aplikasi gerakan berurutan φ .

C Properti 4 (menjaga kelurusan).

Teorema 2. 1. Titik-titik yang terletak pada garis lurus yang sama, ketika bergerak, melewati titik-titik,

Gerakan benda di bawah pengaruh gravitasi

Kursus >> Fisika

Jenis lintasan mereka gerakan menegaskan peningkatan ... aero- dan hidrodinamika adalah belajar gerakan padatan dalam gas dan ... gesekan) adalah Properti cairan nyata menolak ... barel dan pesawat terbang lengan cakrawala dibuat beberapa injeksi, ...

Belajar distribusi konduktivitas listrik dalam gelombang detonasi terkompresi dalam bahan peledak kental

Pekerjaan diploma >> Kimia

... riset elektrofisika properti... hasil dan mereka analisis 2.1 ... produk detonasi di pesawat terbang Chapman-Jouguet ... memungkinkan Anda menghitung gerakan elektron semi klasik. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O beberapa kesalahan sistematis dalam pengukuran konduktivitas ...

Properti bahan teknik (2)

Kerja Praktek >> Industri, produksi

BAGIAN I Baja struktural dan paduannya Baja struktural adalah baja yang dimaksudkan untuk pembuatan bagian-bagian mesin (baja bangunan mesin), struktur dan struktur (baja bangunan). Baja Struktural Karbon Baja Struktur...

Pengantar.

Transformasi geometris adalah cabang matematika yang agak terlambat. Transformasi geometris pertama mulai dipertimbangkan pada abad ke-17, sedangkan transformasi proyektif baru muncul pada awal abad ke-19.

Dalam aljabar, berbagai fungsi dipertimbangkan. Fungsi f menetapkan ke setiap bilangan x dari domain fungsi suatu bilangan tertentu f(x) - nilai fungsi f pada titik x. Dalam geometri, fungsi dianggap memiliki domain definisi dan himpunan nilai lain. Mereka menetapkan titik untuk setiap titik. Fungsi-fungsi ini disebut transformasi geometris.

Transformasi geometris sangat penting dalam geometri. Dengan bantuan transformasi geometris, konsep geometris penting seperti persamaan dan kesamaan angka didefinisikan. Berkat transformasi geometris, banyak fakta geometri yang berbeda masuk ke dalam teori yang koheren.

Secara abstrak, terutama, kita akan berbicara tentang transformasi ruang. Semua gerakan, persamaan, transformasi ruang melingkar dan affine, serta transformasi affine dan proyektif bidang akan dipertimbangkan. Untuk setiap transformasi, sifat-sifatnya dan contoh penerapannya pada solusi masalah geometris akan dipertimbangkan.

Pertama, mari kita lihat beberapa konsep dasar yang kita perlukan untuk bekerja dengan transformasi. Mari kita membahas dua istilah: jarak dan transformasi. Jadi apa yang kita maksud dengan kata-kata ini:

Definisi. Jarak antara dua titik kita akan menyebut panjang segmen dengan ujung di titik-titik ini.

Definisi. Transformasi himpunan disebut pemetaan satu-ke-satu dari himpunan ini ke dirinya sendiri.

Sekarang mari kita beralih ke pertimbangan jenis transformasi geometris tertentu.

Bagian I. Pergerakan ruang.

Sifat umum gerakan.

Definisi. Transformasi ruang disebut pergerakan, jika mempertahankan jarak antar titik.

Sifat gerakan.

1. Transformasi kebalikan dari gerak adalah gerak.
2. Komposisi gerakan adalah gerakan.
3. Saat bergerak, garis lurus berubah menjadi garis lurus, sinar menjadi sinar, segmen menjadi segmen, bidang menjadi bidang, setengah bidang menjadi setengah bidang.
4. Bayangan sudut bidang yang bergerak adalah sudut bidang yang besarnya sama.
5. Gerakan mempertahankan sudut antara garis lurus, antara garis lurus dan bidang, antara bidang.
6. Gerakan mempertahankan paralelisme garis lurus, garis lurus dan bidang, bidang.

Bukti properti.

1 dan 2. Ikuti dari definisi gerak.

1. Misalkan titik A, X dan B terletak pada garis lurus yang sama, dan titik X terletak di antara A dan B. Maka AX + XB = AB. Biarkan titik-titik , , menjadi bayangan dari titik-titik , , selama gerak. Maka +Х´В´=А´В´ (dari definisi gerak). Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa titik-titik A´, X´, B´ terletak pada satu garis lurus, dan X´ terletak di antara A´ dan B´.
   Dari pernyataan yang terbukti segera berikut bahwa ketika bergerak, garis lurus berubah menjadi garis lurus, sinar menjadi sinar, segmen menjadi segmen.

Untuk pesawat, pembuktiannya dapat dilakukan sebagai berikut. Misalkan a, b adalah dua garis yang berpotongan pada bidang kita , a´, b´ bayangannya. Jelas, a´ dan b´ berpotongan. Misalkan adalah bidang yang memuat garis-garis a´, b´. Buktikan bahwa adalah bayangan bidang . Misalkan adalah titik sembarang pada bidang yang tidak terletak pada garis a dan b. Mari kita tarik garis c melalui M yang memotong garis a dan b di titik yang berbeda. Bayangan garis tersebut adalah garis c´ yang memotong garis a´, b´ pada titik yang berbeda. Ini berarti bahwa M´, bayangan titik M, juga terletak pada bidang . Jadi, bayangan setiap titik pada bidang terletak pada bidang . Dibuktikan dengan cara yang sama bahwa bayangan awal dari sembarang titik pada bidang terletak pada bidang . Jadi adalah bayangan bidang .

Sekarang tidak sulit untuk membuktikan pernyataan untuk setengah bidang juga. Hanya perlu melengkapi setengah bidang menjadi sebuah bidang, perhatikan garis a yang membatasi setengah bidang, dan bayangannya a´, dan kemudian buktikan dengan kontradiksi bahwa bayangan dua titik dari setengah bidang terletak pada sisi yang sama dari .

1. Mengikuti dari properti 3.
2. Ini mengikuti dari properti 4 dan definisi sudut antara garis (garis dan bidang, dua bidang) di ruang angkasa.
3. Asumsikan sebaliknya, mis. biarkan gambar garis sejajar kita (garis dan bidang, bidang) berpotongan (dalam kasus garis paralel, masih perlu untuk menunjukkan bahwa gambar mereka tidak dapat berupa garis miring, tetapi ini segera mengikuti fakta bahwa bidang yang berisi garis-garis ini akan masuk ke pesawat). Kemudian pertimbangkan poin umum mereka. Ini akan memiliki dua prototipe, yang tidak mungkin menurut definisi transformasi.

Definisi. Gambar F disebut setara gambar , jika ada gerakan yang mengubah menjadi .

Jenis-jenis gerakan.

3.1. Transformasi identitas.

Definisi. Transformasi identitas Ruang E disebut transformasi di mana setiap titik ruang masuk ke dalam dirinya sendiri.

Jelas, transformasi identik adalah gerakan.

3.2. Perpindahan paralel.

Definisi. Biarkan vektor diberikan dalam ruang. Transfer paralel ruang ke vektor disebut transformasi di mana setiap titik M dipetakan ke titik M´ sedemikian rupa sehingga .

Teorema 3.2. Transfer paralel - gerakan.

Bukti. Biarkan , menjadi gambar dari titik , di bawah transfer paralel ke vektor . Cukup untuk menunjukkan bahwa AB=A´B´, yang mengikuti dari persamaan:

Pindahkan properti. Terjemahan paralel menerjemahkan garis (bidang) ke dalam dirinya sendiri atau menjadi garis yang sejajar dengannya (bidang).

Bukti. Dalam membuktikan Teorema 3.2, kami membuktikan bahwa vektor dipertahankan di bawah terjemahan paralel. Ini berarti bahwa vektor arah garis dan vektor normal bidang dipertahankan. Di sinilah pernyataan kami berikut.

simetri sentral.

Definisi. Simetri terhadap titik O ( simetri pusat) ruang adalah transformasi ruang yang memetakan titik O ke dirinya sendiri, dan memetakan titik M lainnya ke titik M´ sedemikian rupa sehingga titik O adalah titik tengah segmen MM´. Titik O disebut pusat simetri.

Teorema 3.4. Simetri pusat - gerakan.

Bukti.

Misalkan A, B adalah dua titik sembarang, A´, B´ bayangannya, pusat simetri. Kemudian .

sifat simetri pusat. Simetri pusat mengambil garis (bidang) ke dalam dirinya sendiri atau ke dalam garis yang sejajar dengannya (bidang).

Bukti. Saat membuktikan Teorema 3.4, kami membuktikan bahwa vektor dibalik di bawah terjemahan paralel. Ini berarti bahwa vektor pengarah garis dan vektor normal bidang dengan simetri pusat hanya berubah arah. Di sinilah pernyataan kami berikut.

Teorema tentang tugas gerak.

Teorema 5.1. (teorema tentang spesifikasi gerak) Diberikan dua buah tetrahedra ABCD dan A´B´C´D´ yang masing-masing rusuknya sama, maka terdapat satu dan hanya satu gerak ruang yang memetakan titik A, B, C, D masing-masing ke titik A´, B´, C´, D .

Bukti.

SAYA. Adanya. Jika A bertepatan dengan A´, B bertepatan dengan B´, C bertepatan dengan C, D bertepatan dengan D´, maka cukup diberikan transformasi identitas. Jika tidak, maka kita asumsikan secara pasti bahwa A tidak bertepatan dengan A´. Perhatikan bidang simetri dari titik A dan A´. Biarkan simetri S mengambil tetrahedron ABCD ke dalam tetrahedron A´B 1 C 1 D 1 .

Sekarang, jika 1 bertepatan dengan , 1 - dengan , D 1 - dengan D´, maka pembuktiannya lengkap. Jika tidak, maka kita dapat mengasumsikan tanpa kehilangan keumuman bahwa titik dan 1 tidak bertepatan. Perhatikan bidang simetri dari titik B 1 dan B´. Titik A´ berjarak sama dari titik B1 dan B´, oleh karena itu terletak pada bidang . Biarkan simetri S mengambil tetrahedron A´B 1 C 1 D 1 ke dalam tetrahedron A´B´C 2 D 2 .

Sekarang, jika 2 bertepatan dengan , dan D 2 bertepatan dengan D´, maka pembuktiannya lengkap. Jika tidak, maka kita dapat mengasumsikan tanpa kehilangan keumuman bahwa titik dan 2 tidak bertepatan. Perhatikan bidang simetri dari titik 2 dan . Titik , berjarak sama dari titik 2 dan , oleh karena itu terletak pada bidang . Biarkan simetri S mengambil tetrahedron A´B´C 2 D 2 ke dalam tetrahedron A´B´C´D 3 .

Sekarang, jika D 3 bertepatan dengan D´, maka pembuktiannya lengkap. Jika tidak, maka perhatikan bidang simetri dari titik D 3 dan D´. Titik , , berjarak sama dari titik D 3 dan D´, oleh karena itu terletak pada bidang . Oleh karena itu, simetri S mengambil tetrahedron A´B´C´D 3 ke dalam tetrahedron A´B´C´D´.

Dengan demikian, komposisi jumlah simetri cermin yang dikurangi mengubah tetrahedron ABCD menjadi tetrahedron A´B´C´D´. Dan transformasi ini adalah gerakan (sifat 2 gerakan).

II. Keunikan. Misalkan ada 2 gerakan f dan g yang membawa A ke A´, B ke B´, C ke C´, D ke D´. Maka gerak adalah transformasi yang identik, karena meninggalkan titik A, B, C, D tetap. Jadi f = g.

Dalam pembuktian Teorema 5.1 (eksistensi), sebenarnya,

Teorema 5.2. Setiap gerakan ruang adalah komposisi tidak lebih dari empat simetri cermin.

Kesamaan ruang.

Mari kita pertama-tama mempertimbangkan kasus kesamaan yang penting, homothety.

Definisi. Homotetis dengan pusat O dan koefisien adalah transformasi ruang, di mana bayangan setiap titik X adalah titik X´ sedemikian rupa sehingga .

Sifat-sifat homotetis.

Bukti properti.

1 dan 2. Ikuti dari definisi homothety.

3. Hal ini terbukti mirip dengan teorema yang sesuai di pesawat. Memang, jika kita mempertimbangkan titik X sewenang-wenang dari ruang, itu akan cukup bagi kita untuk membuktikan teorema kita untuk pesawat (AXB).

4. Dibuktikan dengan kontradiksi.

1. Mengikuti dari properti 1.

sifat kesamaan.

Teorema 2.1. Kesamaan ruang dapat diwakili oleh komposisi homothety dan pergerakan f:

Bukti. Mari kita membuat homothety berpusat pada titik sewenang-wenang. Pertimbangkan transformasi f sedemikian rupa sehingga (keberadaan transformasi seperti itu mengikuti definisi transformasi). Transformasi f akan menjadi gerak menurut definisi gerak.

Perhatikan bahwa dengan memilih f gerakan , kita bisa mendapatkan representasi kesamaan kita dalam bentuk ini juga.

sifat kesamaan.

Bukti properti.

1 dan 2. Akibat wajar dari Teorema 2.1.

3. Mengikuti dari definisi kesamaan.

4. Untuk kubus, teorema ini jelas benar. Untuk benda yang terdiri dari kubus tentunya juga demikian.

Sebuah polihedron sewenang-wenang M dapat dikenakan pada kisi kubik. Kami akan menggiling kisi ini. Karena sisi satu kubus dari kisi-kisi kita cenderung nol, volume dua benda: tubuh I, terdiri dari kubus-kubus yang terletak sepenuhnya di dalam M, dan tubuh S, yang terdiri dari kubus-kubus yang memiliki titik-titik yang sama dengan M, cenderung ke volume dari polihedron M (ini mengikuti dari fakta bahwa untuk setiap wajah polihedron M kami, volume kubus yang melintasi wajah ini akan cenderung nol). Pada saat yang sama, untuk gambar M´ dari polihedron M dengan kesamaan kami, volume benda I´, S´ (gambar benda I, S) cenderung ke volume polihedron M´. Untuk benda I dan S, teorema kita benar, yang berarti juga berlaku untuk polihedron M.

Volume benda sewenang-wenang ditentukan dalam hal volume polihedra yang sesuai, sehingga teorema ini juga berlaku untuk benda sewenang-wenang.

Teorema 2.2. (pada pengaturan kesamaan ruang) Jika dua tetrahedra ABCD dan A´B´C´D´ diberikan sedemikian rupa sehingga , maka terdapat tepat satu kesamaan ruang dimana A→A´, B→B´, →С´, D→D´.

Bukti. Bahwa kesamaan seperti itu ada mengikuti dari Teorema 2.1 dan teorema tentang menentukan gerak ruang (Bagian I, Teorema 5.1). Biarkan ada dua transformasi seperti itu: P dan . Maka transformasinya adalah gerak yang mempunyai titik tetap A, B, C, D, yaitu f adalah transformasi identitas. Jadi P = P´.

Tugas 1.

Titik M, N, P terletak pada sisi AB, BC, AC dari segitiga ABC. Titik-titik M´, N´, P´ simetris dengan titik-titik M, N, P terhadap sisi-sisi AB, BC, AC. Buktikan bahwa luas segitiga MNP dan M´N´P´ sama besar.

Keputusan.

Untuk segitiga biasa, pernyataannya jelas.

Dengan cara yang sama, setiap trapesium dapat diubah menjadi sama kaki dengan transformasi affine, yaitu. itu cukup untuk membuktikan setiap pernyataan affine untuk trapesium sama kaki.

Tugas 2.

Pada trapesium ABCD dengan alas AD dan BC, dibuat sebuah garis yang melalui titik B sejajar dengan sisi CD dan memotong diagonal AC di titik P, dan melalui titik C, sebuah garis yang sejajar dengan sisi AB dan memotong diagonal BD di titik Q. Buktikan bahwa garis PQ sejajar dengan alas trapesium.

Keputusan.

Untuk trapesium sama kaki, pernyataannya jelas.

Kompresi ke garis lurus.

Definisi. Kompresi ke garis lurus dengan koefisien k () adalah transformasi yang mengambil sembarang titik M ke titik M´ sehingga dan , Dimana .

Teorema 2.1. Kontraksi ke garis lurus adalah transformasi affine.

Bukti. Dengan pemeriksaan langsung, kami memastikan bahwa garis lurus masuk ke garis lurus. Anda bahkan dapat memperhatikan bahwa menyusut ke garis lurus adalah kasus khusus dari proyeksi paralel (ketika arah proyeksi tegak lurus dengan garis perpotongan bidang).

Teorema 2.2. Untuk setiap transformasi affine, ada kisi persegi, yang, di bawah transformasi ini, berubah menjadi kisi persegi panjang.

Bukti. Mari kita ambil kisi persegi sewenang-wenang dan pertimbangkan salah satu kuadratnya OABS. Dengan transformasi kami, itu akan berubah menjadi jajar genjang . Jika O´A´B´C´ adalah persegi panjang, maka pembuktian kita lengkap. Jika tidak, kita asumsikan untuk kepastian bahwa sudut adalah lancip. Kami akan memutar persegi OABS dan seluruh kisi di sekitar titik O. Ketika OABS persegi menyala (jadi titik A telah pindah ke titik B), titik A´ akan menuju titik B´, dan B´ ke titik sudut jajaran genjang berdekatan dengan O´A´ W´S´. Itu. sudut A´O´B´ menjadi tumpul. Menurut prinsip kontinuitas, pada titik tertentu dia lurus. Pada saat ini, OABS persegi berubah menjadi persegi panjang, dan kisi kami menjadi kisi persegi panjang, dll.

Teorema 2.3. Transformasi affine dapat diwakili oleh komposisi kontraksi menjadi garis lurus dan kesamaan.

Bukti. Mengikuti dari Teorema 2.2.

Teorema 2.4. Transformasi affine yang mengubah lingkaran tertentu menjadi lingkaran adalah kesamaan.

Bukti. Kami menggambarkan persegi di dekat lingkaran kami dan memutarnya sehingga berubah menjadi persegi panjang selama transformasi kami (Teorema 2.2.). Lingkaran kita akan masuk ke dalam lingkaran yang tertulis dalam persegi panjang ini, jadi persegi panjang ini adalah persegi. Sekarang kita dapat menentukan kotak persegi yang akan diubah oleh transformasi kita menjadi kotak persegi. Jelas, transformasi kami adalah kesamaan.

3. Transformasi ruang yang samar.

Definisi. affine transformasi ruang adalah transformasi ruang yang mengubah setiap bidang menjadi bidang.

Properti.

1. Di bawah transformasi affine, garis lurus menjadi garis lurus.
2. Transformasi affine ruang menginduksi pemetaan affine setiap bidang ke dalam gambarnya.
3. Di bawah transformasi affine, bidang paralel (garis lurus) melewati bidang paralel (garis lurus).

Bukti properti.

1. Ini mengikuti dari fakta bahwa garis lurus adalah persimpangan dua bidang, dan dari definisi transformasi affine.
2. Ini mengikuti dari definisi transformasi affine dan properti 1.
3. Untuk pesawat itu dibuktikan dengan kontradiksi, untuk garis lurus - melalui properti 2 dan properti transformasi affine dari pesawat.

Teorema 3.1. (untuk menentukan transformasi ruang affine) Untuk sembarang tetrahedra ABCD dan A´B´C´D´ ada transformasi affine unik yang mengambil A ke A´, B ke B´, C ke C´, D ke D´.

Bukti. Buktinya mirip dengan Teorema 1.1. (kisi parallelepipeds dibangun).

Dari pembuktian Teorema 3.1, diperoleh bahwa jika kita memiliki sistem koordinat miring W, dan W´ adalah bayangannya di bawah transformasi affine, maka koordinat titik sembarang dalam ruang dalam sistem koordinat W sama dengan koordinat titiknya. gambar dalam sistem koordinat W´.

Dari ini segera mengikuti beberapa lagi properti transformasi afin.

1. Transformasi affine adalah affine.
2. Transformasi affine mempertahankan rasio panjang segmen paralel.

Sekarang biarkan sistem koordinat (O, , , ) diberikan dalam ruang dan transformasi affine f membawa O ke O´ , dan vektor basis ke vektor , , masing-masing. Mari kita cari koordinat x´, y´, z´ dari bayangan M´(x´,y´,z´) dari titik M(x,y,z) di bawah transformasi f.

Kami akan melanjutkan dari fakta bahwa titik M dalam sistem koordinat (О, , , ) memiliki koordinat yang sama dengan titik dalam sistem koordinat (О´, , , ). Dari sini

Oleh karena itu, kami memiliki persamaan (*):

Perlu juga dicatat bahwa , karena vektor , , adalah bebas linier.

Penentu ini disebut determinan transformasi affine.

Teorema 3.2. Transformasi yang diberikan oleh persamaan (*) di adalah affine.

Bukti. Cukuplah untuk memeriksa bahwa transformasi kebalikan dari transformasi(*) adalah affine (properti 4). Ambil bidang sembarang x´+Вy´+Сz´+D=0, di mana , , tidak sama dengan nol pada waktu yang sama. Melakukan substitusi (*), kami memperoleh persamaan preimage-nya:

Tinggal memeriksa bahwa koefisien pada x, y, z dalam persamaan yang dihasilkan tidak secara bersamaan sama dengan nol. Ini benar, karena sebaliknya sistem

dengan determinan bukan nol hanya akan memiliki solusi nol: A=B=C=0, yang tidak benar.

Teorema 3.3. Untuk volume V dan V´ benda-benda yang berhubungan dengan transformasi affine, terdapat ketergantungan .

Bukti. Biarkan vektor non-koplanar , , membentuk basis vektor ruang, dan biarkan vektor , dan . Menghitung produk campuran dari vektor-vektor ini, kita mendapatkan:

.

Mari kita gunakan fakta bahwa volume paralelepiped berorientasi yang dibangun di atas vektor seperti pada tepi sama dengan produk campuran dari vektor-vektor ini:

,

di mana V 0 adalah volume paralelepiped yang dibangun di atas basis vektor.

Transformasi affine tidak mengubah koordinat vektor-vektor yang bersesuaian di basis-basis yang bersesuaian. Oleh karena itu, untuk volume V´ dari gambar paralelepiped volume V, kami memiliki:

,

di mana adalah volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor seperti di tepi.

Dari sini kita mendapatkan: . Lebih jauh , jadi untuk volume yang tidak berorientasi kita miliki . Kesetaraan ini dapat diperluas ke semua benda dengan cara yang serupa dengan pembuktian sifat 4 persamaan (Bagian II, 2).

Tugas.

Titik puncak paralelepiped terhubung ke pusat tiga wajah yang tidak mengandungnya. Temukan rasio volume tetrahedron yang dihasilkan dengan volume paralelepiped yang diberikan.

Keputusan.

Mari kita hitung rasio ini untuk sebuah kubus dan, setelah mengubah kubus menjadi paralelepiped dengan transformasi affine, kita akan menggunakan fakta bahwa transformasi affine mempertahankan rasio volume. Untuk sebuah kubus, rasionya mudah dihitung. Ini sama dengan 1:12.

Menjawab: 1:12.

Hubungan ruang.

Definisi. Transformasi affine ruang yang memiliki bidang titik-titik tetap disebut transformasi terkait (kekerabatan), dan bidang titik-titik tetapnya disebut pesawat kekerabatan. Unsur-unsur yang berhubungan disebut terkait.

Definisi. Arah garis yang menghubungkan titik-titik yang berhubungan disebut arah kekerabatan.

sifat kekerabatan.

1. Garis terkait (bidang) berpotongan pada bidang kekerabatan atau sejajar dengannya.
2. (Kebenaran dalam menentukan arah kekerabatan) Garis, yang masing-masing menghubungkan dua titik terkait, adalah paralel.
3. Jika arah hubungan tidak sejajar dengan bidang hubungan ini, maka setiap ruas yang menghubungkan dua titik yang berhubungan dibagi dengan bidang hubungan dengan perbandingan yang sama.
4. Setiap bidang yang sejajar dengan arah kekerabatan tidak bergerak dalam kekerabatan ini. Di dalamnya, hubungan bidang diinduksi (transformasi affine yang memiliki garis titik-titik tetap, yang disebut sumbu hubungan), yang sumbunya adalah garis perpotongannya dengan bidang hubungan ruang yang diberikan.

Bukti properti.

1. Pembuktian serupa dengan pembuktian sifat simetri cermin (Bagian I, 3.5).

2. Misalkan A, B adalah dua titik berbeda; A´, B´ adalah bayangan mereka dalam hubungan, adalah bidang hubungan. Biarlah. Kemudian (properti dari transformasi affine), mis. AA´||BB´, dll.

3 dan 4. Ikuti dari bukti properti 2.

Definisi. Permukaan diwakili oleh persamaan , disebut elips. Kasus khusus ellipsoid adalah bola.

Fakta berikut terjadi, yang tidak akan kita buktikan, namun, dalam pembuktian teorema berikut, kita akan membutuhkannya:

Teorema 4.1. Transformasi affine mengubah ellipsoid menjadi ellipsoid.

Teorema 4.2. Transformasi afinitas ruang yang sewenang-wenang dapat diwakili oleh komposisi kesamaan dan hubungan.

Bukti. Biarkan transformasi afin f memetakan bola ke elipsoid . Ini mengikuti dari Teorema 3.1 bahwa f dapat diberikan oleh angka-angka ini. Pertimbangkan sebuah bidang yang memuat pusat ellipsoid dan memotongnya sepanjang beberapa lingkaran (keberadaan bidang seperti itu dapat dengan mudah dibuktikan dari pertimbangan kontinuitas). Biarkan menjadi bayangan awal , menjadi bayangan awal , dan menjadi bola yang memiliki lingkaran sebagai lingkaran diameternya. Ada hubungan pemetaan ke dan ada kesamaan pemetaan P ke . Kemudian adalah representasi yang diperlukan.

Teorema 4.3 segera mengikuti dari bukti teorema sebelumnya:

Teorema 4.3. Transformasi affine yang mempertahankan bola adalah kesamaan.

Bagian IV. Transformasi proyektif.

1. Transformasi proyektif pesawat.

Definisi. Pesawat proyektif– bidang (Euclidean) biasa, dilengkapi dengan titik-titik di tak terhingga dan garis lurus di tak terhingga, juga disebut elemen yang tidak tepat. Dalam hal ini, setiap garis lurus dilengkapi dengan satu titik yang tidak tepat, seluruh bidang - dengan satu garis lurus yang tidak tepat; garis paralel dilengkapi dengan titik umum yang tidak tepat, non-paralel - dengan yang berbeda; titik yang tidak tepat melengkapi semua garis yang mungkin dari pesawat milik garis yang tidak tepat.

Definisi. Transformasi bidang proyektif yang mengambil garis apa pun ke garis disebut proyektif.

Konsekuensi. Transformasi proyektif yang mempertahankan garis pada tak terhingga adalah affine; setiap transformasi affine bersifat proyektif, mempertahankan garis di tak terhingga.

Definisi. desain pusat bidang ke bidang yang berpusat pada titik O yang tidak terletak pada bidang-bidang ini disebut pemetaan yang menghubungkan setiap titik A pada bidang dengan titik A´ pada perpotongan garis OA dengan bidang .

Selain itu, jika bidang dan tidak sejajar, maka pada bidang terdapat garis sehingga bidang yang melalui titik O dan garis sejajar dengan bidang . Kami akan mengasumsikan bahwa selama proyeksi kami menuju ke garis di tak terhingga bidang (dalam hal ini, setiap titik B dari garis menuju ke titik garis itu di tak terhingga, yang melengkapi garis lurus yang sejajar dengan OB). Pada bidang terdapat garis sehingga bidang yang melalui titik O dan garis sejajar dengan bidang . Kami akan mempertimbangkan gambar garis lurus di tak terhingga. Garis dan akan disebut berdedikasi.

Kita dapat mengatakan bahwa transformasi sederhana dari bidang proyeksi diberikan (jika kita menggabungkan bidang dan ).

Ini segera mengikuti dari definisi properti proyeksi pusat:

1. Desain sentral adalah transformasi proyektif.
2. Transformasi kebalikan dari desain sentral adalah desain sentral dengan pusat yang sama.
3. Garis sejajar dengan yang dipilih menjadi sejajar.

Definisi. Biarkan titik A, B, C, D terletak pada garis yang sama. sikap ganda(AB; CD) dari titik-titik ini disebut nilai. Jika salah satu titik berada di tak hingga, maka panjang segmen, yang ujungnya adalah titik ini, dapat dipersingkat.

Teorema 1.1. Proyeksi pusat mempertahankan hubungan ganda.

Bukti. Biarkan menjadi pusat proyeksi, , , , D – empat titik yang terletak pada satu garis lurus, A´, B´, C´, D´ – bayangannya.

Demikian pula .

Membagi satu persamaan dengan yang lain, kita mendapatkan .

Demikian pula, alih-alih titik C, dengan mempertimbangkan titik D, kita mendapatkan .

Dari sini , yaitu .

Untuk melengkapi pembuktian, perlu diperhatikan bahwa semua segmen, luas, dan sudut dapat dianggap berorientasi.

Teorema 1.2. Misalkan empat titik A, B, C, D pada bidang tidak terletak pada satu garis dan diberikan empat titik M, N, P, Q pada bidang yang tidak terletak pada satu garis. Kemudian ada susunan proyeksi pusat (paralel) dan kesamaan yang memetakan A ke M, B ke N, C ke P, D ke Q.

Bukti.

Untuk memudahkan, kita akan mengatakan bahwa ABCD dan MNPQ adalah segi empat, meskipun sebenarnya ini tidak perlu (misalnya, segmen AB dan CD dapat berpotongan). Akan terlihat dari bukti bahwa kita tidak pernah menggunakan titik A, B, C, D dan M, N, P, Q membentuk segi empat dalam urutan ini.

.

Sekarang mari kita tarik garis AK, BL, CF, DG melalui titik A, B, C, D sejajar dengan X 1 X 2 (K, L terletak pada DC; G, F terletak pada AB), dan melalui titik N, M - garis NT , MS sejajar dengan Y 1 Y 2 (T, S terletak di PQ). Menggunakan proyeksi pusat (paralel) f, kami mengubah trapesium ABLK menjadi trapesium A´B´L´K´ bidang , yang mirip dengan trapesium MNTS (ini dimungkinkan menurut bagian I dari bukti kami) . Selain itu, dari pemilihan titik X 1 , X 2 maka garis X 1 X 2 merupakan garis yang dibedakan dari bidang . Mari kita tandai titik С´, D´ pada garis L´K´ sedemikian rupa sehingga trapesium ABCD serupa dengan trapesium A´B´C´D´. Gambar garis C´F´, D´G´ sejajar dengan garis B´L´ (F´, G´ terletak pada ) dan tandai titik Y 1 pada garis A´B´ sedemikian rupa sehingga , . Pada garis C´D´ tandai sebuah titik Y 2 sedemikian rupa sehingga Y 1 Y 2 ||A´K´ (lihat gambar). Dari pemilihan titik Y 1 dan Y 2 maka garis Y 1 Y 2 merupakan garis yang dibedakan dari bidang . Di bawah transformasi f, titik E menuju ke titik E´ dari perpotongan garis A´B´ dan L´K´. Titik menuju ke suatu titik 0 dari garis lurus D´.

Mari kita buktikan bahwa 0 bertepatan dengan . Dari fakta bahwa X 2 di bawah transformasi f menuju titik di tak hingga dari garis C´D´, dan Y 2 adalah bayangan dari titik di tak hingga dari garis CD dan proyeksi pusat mempertahankan hubungan ganda, berikut ini itu , di mana . Sekarang perhatikan transformasi g, komposisi proyeksi pusat dan kesamaan, yang membawa trapesium CDGF ke trapesium C´D´G´F´. Untuk transformasi g, dapat juga ditunjukkan bahwa . Dari sini akan mengikuti bahwa titik 0 dan bertepatan. Demikian pula, seseorang dapat menunjukkan bahwa D 0 - bayangan titik D di bawah transformasi f - bertepatan dengan D´. Dengan demikian, transformasi f mengubah segi empat ABCD menjadi segi empat A´B´C´D´ yang serupa dengan MNPQ segi empat, sebagaimana diperlukan.

Teorema 1.3. Biarkan empat titik diberikan, tidak ada tiga yang terletak pada garis lurus yang sama: A, B, C, D dan A´, B´, C´, D´. Kemudian ada transformasi proyektif unik yang mengambil A ke A´, B ke B´, C ke C´, D ke D´.

Adanya transformasi seperti itu mengikuti dari Teorema 1.1.

keunikan dapat dibuktikan dengan cara yang sama seperti keunikan transformasi affine (Teorema 1.1, Bagian III): pertimbangkan kisi persegi, bangun citranya, lalu perbaiki. Mengatasi kesulitan yang kita hadapi

Teorema tentang gerak pusat massa.

Dalam beberapa kasus, untuk menentukan sifat gerak suatu sistem (khususnya benda tegar), cukup mengetahui hukum gerak pusat massanya. Misalnya, jika Anda melempar batu ke sasaran, Anda tidak perlu tahu sama sekali bagaimana batu itu akan jatuh selama penerbangan, penting untuk memastikan apakah batu itu akan mengenai sasaran atau tidak. Untuk melakukan ini, cukup mempertimbangkan pergerakan beberapa titik tubuh ini.

Untuk menemukan hukum ini, kita beralih ke persamaan gerak sistem dan menambahkan bagian kiri dan kanannya suku demi suku. Kemudian kita mendapatkan:

Mari kita ubah sisi kiri persamaan. Dari rumus vektor jari-jari pusat massa, kita peroleh:

Mengambil dari kedua bagian persamaan ini turunan kedua kalinya dan memperhatikan bahwa turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, kita menemukan:

dimana adalah percepatan pusat massa sistem. Karena, menurut properti gaya internal sistem , kemudian, dengan mengganti semua nilai yang ditemukan, kami akhirnya mendapatkan:

Persamaan dan menyatakan teorema tentang gerak pusat massa sistem: hasil kali massa sistem dan percepatan pusat massanya sama dengan jumlah geometrik semua gaya luar yang bekerja pada sistem. Membandingkan dengan persamaan gerak titik material, kita memperoleh ekspresi lain dari teorema: pusat massa sistem bergerak sebagai titik material, yang massanya sama dengan massa seluruh sistem dan di mana semua gaya eksternal yang bekerja pada sistem diterapkan.

Memproyeksikan kedua sisi persamaan ke sumbu koordinat, kita mendapatkan:

persamaan tersebut adalah persamaan diferensial gerak pusat massa dalam proyeksi pada sumbu sistem koordinat Cartesian.

Arti dari teorema terbukti adalah sebagai berikut.

1) Teorema memberikan pembenaran untuk metode dinamika titik. Hal ini dapat dilihat dari persamaan bahwa solusi yang kita dapatkan, dengan mempertimbangkan benda yang diberikan sebagai titik material, tentukan hukum gerak pusat massa benda ini, itu. memiliki arti yang sangat spesifik.

Secara khusus, jika tubuh bergerak maju, maka gerakannya sepenuhnya ditentukan oleh gerakan pusat massa. Dengan demikian, benda yang bergerak secara progresif selalu dapat dianggap sebagai titik material dengan massa yang sama dengan massa benda. Dalam kasus lain, tubuh dapat dianggap sebagai titik material hanya jika, dalam praktiknya, untuk menentukan posisi tubuh, cukup untuk mengetahui posisi pusat massanya.

2) Teorema memungkinkan, ketika menentukan hukum gerak pusat massa sistem apa pun, untuk mengecualikan semua gaya internal yang sebelumnya tidak diketahui dari pertimbangan. Ini adalah nilai praktisnya.

Jadi pergerakan mobil pada bidang horizontal hanya dapat terjadi di bawah aksi gaya eksternal, gaya gesekan yang bekerja pada roda dari sisi jalan. Dan pengereman mobil juga hanya dimungkinkan oleh gaya-gaya ini, dan bukan oleh gesekan antara bantalan rem dan tromol rem. Jika jalannya mulus, tidak peduli berapa banyak roda direm, mereka akan meluncur dan tidak akan menghentikan mobil.

Atau setelah ledakan proyektil terbang (di bawah pengaruh kekuatan internal), fragmennya akan menyebar sehingga pusat massanya akan bergerak di sepanjang lintasan yang sama.

Teorema tentang gerak pusat massa sistem mekanik harus digunakan untuk memecahkan masalah dalam mekanika yang membutuhkan:

Menurut gaya yang diterapkan pada sistem mekanis (paling sering pada benda padat), tentukan hukum gerak pusat massa;

Menurut hukum gerak yang diberikan dari benda-benda yang termasuk dalam sistem mekanis, temukan reaksi kendala eksternal;

Berdasarkan gerak timbal balik yang diberikan dari benda-benda yang termasuk dalam sistem mekanis, tentukan hukum gerak benda-benda ini relatif terhadap beberapa kerangka acuan tetap.

Dengan menggunakan teorema ini, salah satu persamaan gerak sistem mekanik dengan beberapa derajat kebebasan dapat disusun.

Saat memecahkan masalah, konsekuensi dari teorema pada gerak pusat massa sistem mekanis sering digunakan.

Akibat wajar 1. Jika vektor utama gaya luar yang diterapkan pada sistem mekanis sama dengan nol, maka pusat massa sistem tersebut diam atau bergerak lurus dan beraturan. Karena percepatan pusat massa adalah nol, .

Akibat wajar 2. Jika proyeksi vektor utama gaya eksternal pada sumbu apa pun sama dengan nol, maka pusat massa sistem tidak mengubah posisinya relatif terhadap sumbu ini, atau bergerak secara seragam relatif terhadapnya.

Misalnya, jika dua gaya mulai bekerja pada tubuh, membentuk sepasang gaya (Gbr. 38), maka pusat massa Dengan itu akan bergerak di sepanjang lintasan yang sama. Dan tubuh itu sendiri akan berputar di sekitar pusat massa. Dan tidak masalah di mana beberapa kekuatan diterapkan.

Omong-omong, dalam statika kami membuktikan bahwa efek pasangan pada benda tidak bergantung pada tempat penerapannya. Di sini kami telah menunjukkan bahwa rotasi tubuh akan berada di sekitar sumbu pusat Dengan.

Gbr.38

Teorema tentang perubahan momen kinetik.

Momen kinetik sistem mekanik relatif terhadap pusat tetap HAI adalah ukuran gerak sistem di sekitar pusat ini. Saat memecahkan masalah, biasanya bukan vektor itu sendiri yang digunakan, tetapi proyeksinya pada sumbu sistem koordinat tetap, yang disebut momen kinetik terhadap sumbu. Misalnya, - momen kinetik sistem relatif terhadap sumbu tetap Ons .

Momen kinetik suatu sistem mekanis adalah jumlah momen kinetik dari titik-titik dan benda-benda yang termasuk dalam sistem ini. Pertimbangkan metode untuk menentukan momentum sudut titik material dan benda tegar dalam berbagai kasus gerakannya.

Untuk titik material dengan massa yang memiliki kecepatan, momentum sudut terhadap beberapa sumbu Ons didefinisikan sebagai momen vektor momentum titik ini terhadap sumbu yang dipilih:

Momentum sudut suatu titik dianggap positif jika, dari arah sumbu positif, pergerakan titik terjadi berlawanan arah jarum jam.

Jika suatu titik membuat gerakan kompleks, untuk menentukan momentum sudutnya, vektor momentum harus dianggap sebagai jumlah dari jumlah gerakan relatif dan portabel (Gbr. 41)

Tapi , di mana jarak dari titik ke sumbu rotasi, dan

Beras. 41

Komponen kedua dari vektor momentum sudut dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti momen gaya terhadap sumbu. Adapun momen gaya bernilai nol jika vektor kecepatan relatif terletak pada bidang yang sama dengan sumbu rotasi translasi.

Momentum benda tegar relatif terhadap pusat tetap dapat didefinisikan sebagai jumlah dari dua komponen: yang pertama mencirikan bagian translasi dari gerak benda bersama dengan pusat massanya, yang kedua mencirikan gerakan sistem di sekitar pusat massa:

Jika benda melakukan gerak translasi, maka komponen kedua sama dengan nol

Momen kinetik benda tegar paling sederhana dihitung ketika berputar di sekitar sumbu tetap

dimana adalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi.

Teorema tentang perubahan momentum sudut sistem mekanik saat bergerak di sekitar pusat tetap dirumuskan sebagai berikut: turunan waktu total dari vektor momentum sudut sistem mekanik terhadap beberapa pusat tetap HAI besar dan arahnya sama dengan momen utama gaya eksternal yang diterapkan pada sistem mekanis, yang didefinisikan relatif terhadap pusat yang sama

di mana - momen utama dari semua kekuatan eksternal tentang pusat HAI.

Ketika memecahkan masalah di mana benda dianggap berputar di sekitar sumbu tetap, mereka menggunakan teorema tentang perubahan momentum sudut relatif terhadap sumbu tetap.

Adapun teorema tentang gerak pusat massa, teorema tentang perubahan momentum sudut memiliki konsekuensi.

Akibat wajar 1. Jika momen utama semua gaya eksternal relatif terhadap beberapa pusat tetap sama dengan nol, maka momen kinetik sistem mekanis relatif terhadap pusat ini tetap tidak berubah.

Akibat wajar 2. Jika momen utama semua gaya luar terhadap beberapa sumbu tetap sama dengan nol, maka momen kinetik sistem mekanis terhadap sumbu ini tetap tidak berubah.

Teorema perubahan momentum digunakan untuk memecahkan masalah di mana gerakan sistem mekanis dipertimbangkan, yang terdiri dari benda pusat yang berputar di sekitar sumbu tetap, dan satu atau lebih benda, yang gerakannya terkait dengan benda pusat. dilakukan dengan menggunakan ulir, benda dapat bergerak di sepanjang permukaan benda pusat atau di salurannya karena kekuatan internal. Dengan menggunakan teorema ini, seseorang dapat menentukan ketergantungan hukum rotasi tubuh pusat pada posisi atau gerakan tubuh yang tersisa.