$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Dikatakan bahwa $f$ memiliki maksimum lokal pada titik $x_(0) \dalam E$ jika ada lingkungan $U$ dari titik $x_(0)$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x \dalam U$ pertidaksamaan $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Maksimum lokal disebut ketat , jika lingkungan $U$ dapat dipilih sehingga untuk semua $x \dalam U$ yang berbeda dari $x_(0)$, ada $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definisi
Biarkan $f$ menjadi fungsi nyata pada himpunan terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Dikatakan bahwa $f$ memiliki minimum lokal pada titik $x_(0) \dalam E$ jika ada lingkungan $U$ dari titik $x_(0)$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x \dalam U$ pertidaksamaan $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Minimum lokal dikatakan ketat jika lingkungan $U$ dapat dipilih sehingga untuk semua $x \dalam U$ berbeda dari $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\kanan)$.

Ekstrem lokal menggabungkan konsep minimum lokal dan maksimum lokal.

Teorema (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dari fungsi terdiferensiasi)
Biarkan $f$ menjadi fungsi nyata pada himpunan terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jika pada titik $x_(0) \dalam E$ fungsi $f$ memiliki ekstrem lokal pada titik ini juga, maka $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Persamaan ke nol diferensial setara dengan fakta bahwa semua sama dengan nol, yaitu $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Dalam kasus satu dimensi, ini adalah . Tunjukkan $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, di mana $h$ adalah vektor arbitrer. Fungsi $\phi$ didefinisikan untuk nilai modulo yang cukup kecil dari $t$. Selain itu, sehubungan dengan , itu dapat dibedakan, dan $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Biarkan $f$ memiliki maksimum lokal pada x $0$. Oleh karena itu, fungsi $\phi$ pada $t = 0$ memiliki maksimum lokal dan, menurut teorema Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Jadi, kita mendapatkan $df \left(x_(0)\right) = 0$, mis. fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ sama dengan nol pada sembarang vektor $h$.

Definisi
Titik-titik di mana diferensial sama dengan nol, mis. yang semua turunan parsialnya sama dengan nol disebut stasioner. titik kritis fungsi $f$ adalah titik-titik di mana $f$ tidak terdiferensialkan, atau sama dengan nol. Jika titik tersebut stasioner, maka fungsi tersebut belum memiliki titik ekstrem pada titik ini.

Contoh 1
Misal $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Kemudian $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, jadi $\left(0,0\right)$ adalah titik stasioner, tetapi fungsi tersebut tidak memiliki ekstrem pada titik ini. Memang, $f \left(0,0\right) = 0$, tetapi mudah untuk melihat bahwa di lingkungan mana pun dari titik $\left(0,0\right)$ fungsi mengambil nilai positif dan negatif.

Contoh 2
Fungsi $f \left(x,y\right) = x^(2) y^(2)$ memiliki titik asal koordinat sebagai titik stasioner, tetapi jelas bahwa tidak ada titik ekstrem pada titik ini.

Teorema (kondisi yang cukup untuk suatu ekstrem).
Misalkan suatu fungsi $f$ terdiferensialkan dua kali secara kontinu pada himpunan terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Biarkan $x_(0) \dalam E$ menjadi titik stasioner dan $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\parsial^(2) f)(\parsial x_(i) \parsial x_(j)) \left(x_(0)\kanan)h^(i)h^(j).$ $ Kemudian

1. jika $Q_(x_(0))$ adalah , maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ memiliki ekstrem lokal, yaitu minimum jika bentuknya berdefinisi positif dan maksimum jika bentuknya adalah negatif-pasti;
2. jika bentuk kuadrat $Q_(x_(0))$ tidak tentu, maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ tidak memiliki ekstrem.

Mari kita gunakan ekspansi menurut rumus Taylor (12,7 hal. 292) . Dengan mempertimbangkan bahwa turunan parsial orde pertama pada titik $x_(0)$ sama dengan nol, kita mendapatkan $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\parsial^(2) f)(\parsial x_(i) \ parsial x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ di mana $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, dan $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ untuk $h \rightarrow 0$, maka ruas kanan adalah positif untuk sembarang vektor $h$ dengan panjang yang cukup kecil.
Jadi, kita sampai pada kesimpulan bahwa di beberapa lingkungan dari titik $x_(0)$ pertidaksamaan $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ dipenuhi jika hanya $ x \neq x_ (0)$ (kita masukkan $x=x_(0)+h$\kanan). Ini berarti bahwa pada titik $x_(0)$ fungsi memiliki minimum lokal yang ketat, dan dengan demikian bagian pertama dari teorema kita terbukti.
Misalkan sekarang $Q_(x_(0))$ adalah bentuk tak tentu. Kemudian ada vektor $h_(1)$, $h_(2)$ sehingga $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Kemudian kita mendapatkan $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Untuk $t>0$ yang cukup kecil, sisi kanannya adalah positif. Ini berarti bahwa di setiap lingkungan dari titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai $f \left(x\right)$ lebih besar dari $f \left(x_(0)\right)$.
Demikian pula, kami memperoleh bahwa di setiap lingkungan dari titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai kurang dari $f \left(x_(0)\right)$. Ini, bersama dengan yang sebelumnya, berarti bahwa fungsi $f$ tidak memiliki ekstrem pada titik $x_(0)$.

Mari kita pertimbangkan kasus khusus dari teorema ini untuk fungsi $f \left(x,y\right)$ dari dua variabel yang didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik $\left(x_(0),y_(0)\right) $ dan memiliki turunan parsial kontinu dari pesanan pertama dan kedua. Misalkan $\left(x_(0),y_(0)\right)$ menjadi titik stasioner dan misalkan $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\kanan), a_(22)=\frac(\parsial^(2) f)(\parsial y^(2)) \kiri(x_(0), y_(0)\kanan ). $$ Kemudian teorema sebelumnya mengambil bentuk berikut.

Dalil
Biarkan $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) a_(12)^2$. Kemudian:

1. jika $\Delta>0$, maka fungsi $f$ memiliki ekstrem lokal pada titik $\left(x_(0),y_(0)\right)$, yaitu, minimum jika $a_(11)> 0$ , dan maksimum jika $a_(11)<0$;
2. jika $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Contoh pemecahan masalah

Algoritma untuk menemukan ekstrem dari fungsi banyak variabel:

1. Kami menemukan titik stasioner;
2. Kami menemukan diferensial dari urutan ke-2 di semua titik stasioner
3. Menggunakan kondisi yang cukup untuk ekstrem dari fungsi beberapa variabel, kami mempertimbangkan diferensial orde kedua pada setiap titik stasioner

1. Selidiki fungsi hingga ekstrem $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Keputusan

   Cari turunan parsial dari orde ke-1: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Tulis dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Panah kanan \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Panah kanan \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Dari persamaan ke-2, kita ekspresikan $x=4 \cdot y^(2)$ — substitusikan ke persamaan ke-1: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Hasilnya, diperoleh 2 titik stasioner:
   1) $y=0 \Panah kanan x = 0, M_(1) = \kiri(0, 0\kanan)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\kanan)$
   Mari kita periksa pemenuhan kondisi ekstrem yang cukup:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\parsial^(2) f)(\parsial x \parsial y)=-6; \frac(\parsial^(2) f)(\parsial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Untuk titik $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\parsial^(2) f)(\parsial x \parsial y) \left(0,0\kanan)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Untuk poin $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, jadi ada ekstrem pada titik $M_(2)$, dan karena $A_(2)>0 $, maka ini adalah minimum.
   Jawaban: Titik $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ adalah titik minimum dari fungsi $f$.
   

2. Selidiki fungsi ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Keputusan

   Cari titik stasioner: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Tulis dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Panah kanan \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(kasus) \Panah kanan x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ adalah titik stasioner.
   Mari kita periksa pemenuhan kondisi ekstrem yang cukup: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Jawaban: tidak ada ekstrim.
   

Batas waktu: 0

Navigasi (hanya nomor pekerjaan)

0 dari 4 tugas selesai

Informasi

Ikuti kuis ini untuk menguji pengetahuan Anda tentang topik yang baru saja Anda baca, Ekstrem Lokal Fungsi Banyak Variabel.

Anda telah mengikuti tes sebelumnya. Anda tidak dapat menjalankannya lagi.

Tes sedang dimuat...

Anda harus login atau mendaftar untuk memulai tes.

Anda harus menyelesaikan tes berikut untuk memulai yang satu ini:

hasil

Jawaban yang benar: 0 dari 4

Waktumu:

Waktu sudah habis

Anda mencetak 0 dari 0 poin (0)

Skor Anda telah dicatat di papan peringkat

1. Dengan jawaban
2. Memeriksa

Tugas 1 dari 4

1 .

Jumlah poin: 1

Selidiki fungsi $f$ untuk ekstrem: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Benar


Tidak benar


1. Tugas 2 dari 4

   2 .

   Jumlah poin: 1

   Apakah fungsi $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

Perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu dan didefinisikan sebagai limit kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, yang cenderung nol. Untuk menemukannya, gunakan tabel turunan. Misalnya, turunan dari fungsi y = x3 akan sama dengan y’ = x2.

Samakan turunan ini dengan nol (dalam hal ini x2=0).

Temukan nilai dari variabel yang diberikan. Ini akan menjadi nilai ketika turunan ini akan sama dengan 0. Untuk melakukan ini, gantikan angka arbitrer dalam ekspresi alih-alih x, di mana seluruh ekspresi akan menjadi nol. Sebagai contoh:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Terapkan nilai yang diperoleh pada garis koordinat dan hitung tanda turunan untuk masing-masing yang diperoleh. Titik ditandai pada garis koordinat, yang diambil sebagai titik asal. Untuk menghitung nilai dalam interval, gantikan nilai arbitrer yang sesuai dengan kriteria. Misalnya, untuk fungsi sebelumnya hingga interval -1, Anda dapat memilih nilai -2. Untuk -1 ke 1, Anda dapat memilih 0, dan untuk nilai yang lebih besar dari 1, pilih 2. Substitusikan angka-angka ini ke dalam turunan dan cari tahu tanda turunannya. Dalam hal ini, turunan dengan x = -2 akan sama dengan -0,24, mis. negatif dan akan ada tanda minus pada interval ini. Jika x=0, maka nilainya akan sama dengan 2, dan pada interval ini diberi tanda. Jika x=1, maka turunannya juga akan sama dengan -0,24 dan minus diletakkan.

Jika, ketika melewati suatu titik pada garis koordinat, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka ini adalah titik minimum, dan jika dari plus ke minus, maka ini adalah titik maksimum.

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Untuk mencari turunannya, ada layanan online yang menghitung nilai yang dibutuhkan dan menampilkan hasilnya. Di situs tersebut, Anda dapat menemukan turunan hingga 5 pesanan.

Sumber:

• Salah satu layanan untuk menghitung turunan
• titik maksimum fungsi

Titik maksimum fungsi bersama dengan titik minimum disebut titik ekstrem. Pada titik ini, fungsi mengubah perilakunya. Ekstrem ditentukan pada interval numerik terbatas dan selalu lokal.

Petunjuk

Proses mencari ekstrem lokal disebut fungsi dan dilakukan dengan menganalisis turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. Sebelum memulai eksplorasi, pastikan rentang nilai argumen yang ditentukan termasuk dalam nilai yang diizinkan. Misalnya, untuk fungsi F=1/x, nilai argumen x=0 tidak valid. Atau untuk fungsi Y=tg(x), argumen tidak boleh memiliki nilai x=90°.

Pastikan fungsi Y terdiferensialkan pada seluruh interval yang diberikan. Temukan turunan pertama Y". Jelas bahwa sebelum mencapai titik maksimum lokal, fungsi meningkat, dan ketika melewati maksimum, fungsi menjadi menurun. Turunan pertama dalam arti fisiknya mencirikan laju perubahan dari fungsi. Sementara fungsi meningkat, laju proses ini adalah nilai positif. Ketika melewati maksimum lokal, fungsi mulai menurun, dan laju proses perubahan fungsi menjadi negatif. Transisi laju perubahan fungsi melalui nol terjadi pada titik maksimum lokal.

Fungsi dikatakan memiliki titik internal
daerah D maksimum lokal(minimum) jika ada lingkungan titik seperti itu
, untuk setiap titik
yang memenuhi pertidaksamaan

Jika fungsi memiliki titik
maksimum lokal atau minimum lokal, maka kami mengatakan bahwa ia memiliki pada titik ini ekstrem lokal(atau hanya ekstrim).

Dalil (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem). Jika fungsi yang dapat diturunkan mencapai titik ekstrem pada titik
, maka setiap turunan parsial orde pertama dari fungsi menghilang pada titik ini.

Titik di mana semua turunan parsial orde pertama menghilang disebut titik stasioner dari fungsi
. Koordinat titik-titik ini dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem dari persamaan

.

Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem dalam kasus fungsi terdiferensiasi dapat dirumuskan secara singkat sebagai berikut:

Ada kasus ketika di beberapa titik beberapa turunan parsial memiliki nilai tak hingga atau tidak ada (sementara sisanya sama dengan nol). Titik-titik seperti itu disebut titik kritis fungsi. Poin-poin ini juga harus dianggap sebagai "mencurigakan" untuk ekstrem, serta yang stasioner.

Dalam kasus fungsi dua variabel, kondisi yang diperlukan untuk ekstrem, yaitu persamaan dengan nol dari turunan parsial (diferensial) pada titik ekstrem, memiliki interpretasi geometris: bidang singgung ke permukaan
pada titik ekstrem harus sejajar dengan bidang
.

20. Kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem

Pemenuhan kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem di beberapa titik sama sekali tidak menjamin keberadaan ekstrem di sana. Sebagai contoh, kita dapat mengambil fungsi terdiferensiasi di mana-mana
. Baik turunan parsialnya maupun fungsi itu sendiri menghilang di titik
. Namun, di lingkungan mana pun dari titik ini, ada keduanya positif (besar
) dan negatif (lebih kecil
) nilai fungsi ini. Oleh karena itu, pada titik ini, menurut definisi, tidak ada ekstrem. Oleh karena itu, perlu diketahui kondisi cukup dimana suatu titik yang diduga ekstrem merupakan titik ekstrem dari fungsi yang diteliti.

Pertimbangkan kasus fungsi dua variabel. Mari kita asumsikan bahwa fungsi
didefinisikan, kontinu, dan memiliki turunan parsial kontinu hingga dan termasuk orde kedua di lingkungan beberapa titik
, yang merupakan titik stasioner dari fungsi
, yaitu memenuhi syarat

,
.

Mari kita perkenalkan notasi:

Dalil (kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem). Biarkan fungsinya
memenuhi kondisi di atas, yaitu: terdiferensiasi di beberapa lingkungan titik stasioner
dan terdiferensialkan dua kali pada titik itu sendiri
. Lalu jika

Jika
maka fungsinya
pada intinya
mencapai

maksimum lokal pada
dan

minimum lokal pada
.

Secara umum, untuk suatu fungsi
kondisi yang cukup untuk keberadaan di suatu titik
lokalminimum(maksimum) adalah positif(negatif) kepastian diferensial kedua.

Dengan kata lain, pernyataan berikut ini benar.

Dalil . Jika pada titik
untuk fungsi

untuk setiap yang tidak sama dengan nol pada saat yang sama
, maka pada titik ini fungsi tersebut memiliki minimum(serupa maksimum, jika
).

Contoh 18.Menemukan titik ekstrem lokal dari suatu fungsi

Keputusan. Temukan turunan parsial dari fungsi tersebut dan samakan dengan nol:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan dua kemungkinan titik ekstrem:

Mari kita cari turunan parsial orde kedua untuk fungsi ini:

Oleh karena itu, pada titik stasioner pertama , dan
Oleh karena itu, diperlukan penelitian lebih lanjut untuk hal ini. Nilai fungsi
pada titik ini adalah nol:
Lebih jauh,

pada

sebuah

pada

Oleh karena itu, di lingkungan titik mana pun
fungsi
mengambil nilai sama besar
, dan lebih kecil
, dan karenanya pada titik
fungsi
, menurut definisi, tidak memiliki ekstrem lokal.

Pada titik stasioner kedua



oleh karena itu, oleh karena itu, karena
kemudian pada titik
fungsi tersebut memiliki maksimum lokal.

POIN MAKSIMUM DAN MINIMUM

titik di mana dibutuhkan nilai terbesar atau terkecil dalam domain definisi; titik-titik seperti itu disebut juga titik maksimum mutlak atau minimum mutlak. Jika f didefinisikan pada topologi ruang X, maka titik x 0 ditelepon titik maksimum lokal (minimum lokal), jika titik seperti itu ada x 0, bahwa untuk pembatasan fungsi yang sedang dipertimbangkan untuk lingkungan ini, intinya x 0 adalah titik maksimum (minimum) mutlak. Bedakan titik maksimum ketat dan tidak ketat (mini m m a) (mutlak dan lokal). Misalnya, titik yang disebut titik maksimum lokal tidak ketat (ketat) dari fungsi f, jika ada lingkungan seperti itu dari titik x 0, yang berlaku untuk semua (masing-masing, f(x) x0). )/

Untuk fungsi yang didefinisikan pada domain berdimensi hingga, dalam hal kalkulus diferensial, ada kondisi dan kriteria untuk titik yang diberikan menjadi titik maksimum (minimum) lokal. Biarkan fungsi f didefinisikan di lingkungan tertentu dari kotak x 0 dari sumbu nyata. Jika sebuah x 0 - titik maksimum lokal tidak ketat (minimum) dan pada titik ini terdapat f"( x0), maka sama dengan nol.

Jika suatu fungsi f dapat diturunkan di lingkungan suatu titik x 0 , kecuali, mungkin, untuk titik ini sendiri, yang kontinu, dan turunan f" di setiap sisi titik x0 mempertahankan tanda konstan di lingkungan ini, maka untuk x0 adalah titik maksimum lokal yang ketat (minimum lokal), perlu dan cukup bahwa turunannya berubah tanda dari plus ke minus, yaitu bahwa f "(x)> 0 di x<.x0 dan f"(x)<0 при x>x0(masing-masing dari minus ke plus: f"(X) <0 di x<x0 dan f"(x)>0 ketika x>x 0). Akan tetapi, tidak untuk setiap fungsi yang terdiferensialkan dalam lingkungan suatu titik x 0 , seseorang dapat berbicara tentang perubahan tanda turunan pada titik ini. . "

Jika fungsi f ada di titik x 0 t derivatif, apalagi, untuk x 0 adalah titik maksimum lokal ketat, perlu dan cukup bahwa genap dan f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Misalkan fungsi f( x 1 ..., x p] didefinisikan dalam lingkungan n-dimensi suatu titik dan terdiferensiasi pada titik ini. Jika x (0) adalah titik maksimum (minimum) lokal yang tidak tegas, maka fungsi f pada titik ini sama dengan nol. Kondisi ini ekuivalen dengan persamaan dengan nol pada titik ini dari semua turunan parsial dari fungsi f orde pertama. Jika suatu fungsi memiliki turunan parsial kontinu ke-2 di x(0) , semua turunan pertamanya hilang di x(0) dan diferensial orde ke-2 di x(0) adalah bentuk kuadrat negatif (positif), maka x(0) adalah titik maksimum lokal yang ketat (minimum). Kondisi diketahui untuk fungsi terdiferensiasi M. dan M.T, ketika pembatasan tertentu dikenakan pada perubahan argumen: persamaan kendala terpenuhi. Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk maksimum (minimum) dari fungsi nyata, yang memiliki struktur yang lebih kompleks, dipelajari dalam cabang khusus matematika: misalnya, dalam analisis cembung, pemrograman matematika(Lihat juga Maksimalisasi dan minimalisasi fungsi). Fungsi M. dan m.t. yang didefinisikan pada manifold dipelajari dalam kalkulus variasi secara umum, dan M. dan m.t. untuk fungsi yang didefinisikan pada ruang fungsi, yaitu, untuk fungsi, di kalkulus variasi. Ada juga berbagai metode untuk menemukan perkiraan numerik M. dan m.t.

menyala.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3rd ed., Part 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apa itu "POIN MAKSIMUM DAN MINIMUM" di kamus lain:

Prinsip maksimum Pontryagin Diskrit untuk proses kontrol waktu-diskrit. Untuk proses seperti itu, M. p. mungkin tidak terpenuhi, meskipun untuk analog kontinunya, yang diperoleh dengan mengganti operator beda hingga dengan operator diferensial ... ... Ensiklopedia Matematika

Teorema yang mengungkapkan salah satu sifat utama modul analitik. fungsi. Misalkan f(z) adalah fungsi analitik reguler, atau holomorfik, dari variabel p-kompleks dalam domain D dari ruang bilangan kompleks selain konstanta, M. m.s. di ... ... Ensiklopedia Matematika

Nilai terbesar dan, karenanya, nilai terkecil dari suatu fungsi yang mengambil nilai riil. Titik domain definisi fungsi yang bersangkutan, di mana dibutuhkan maksimum atau minimum, disebut. masing-masing titik maksimum atau titik minimum ... ... Ensiklopedia Matematika

Lihat Maksimum dan minimum suatu fungsi, Maksimum dan minimum suatu titik... Ensiklopedia Matematika

Nilai fungsi kontinu yaitu maksimum atau minimum (lihat Poin Maksimum dan Minimum). Istilahnya LE... Ensiklopedia Matematika

Indikator- (Indikator) Indikator adalah sistem informasi, zat, perangkat, perangkat yang menampilkan perubahan parameter apa pun Indikator grafik pasar mata uang Forex, apa itu dan di mana mereka dapat diunduh? Deskripsi indikator MACD, ... ... Ensiklopedia investor

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Ekstrim (makna). Ekstrem (Latin extremum extreme) dalam matematika adalah nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pada suatu himpunan tertentu. Titik di mana ekstrem tercapai adalah ... ... Wikipedia

Kalkulus diferensial adalah cabang dari analisis matematika yang mempelajari konsep turunan dan diferensial dan bagaimana mereka dapat diterapkan pada studi fungsi. Daftar Isi 1 Kalkulus Diferensial Fungsi Satu Variabel ... Wikipedia

Lemniscate dan triknya Lemniscate Bernoulli adalah kurva aljabar bidang. Didefinisikan sebagai tempat kedudukan poin, produk ... Wikipedia

Perbedaan- (Divergence) Divergence sebagai indikator Strategi trading dengan MACD divergence Daftar Isi Isi Bagian 1. pada. Bagian 2. Divergensi bagaimana. Divergensi adalah istilah yang digunakan dalam ekonomi untuk merujuk pada pergerakan sepanjang divergen ... ... Ensiklopedia investor

Untuk suatu fungsi f(x) dari banyak variabel, titik x adalah vektor, f'(x) adalah vektor turunan pertama (gradien) dari fungsi f(x), f (x) adalah matriks simetris turunan parsial kedua (matriks Hesse Hessian) fungsi f(x).
Untuk fungsi beberapa variabel, kondisi optimalitas dirumuskan sebagai berikut.
Kondisi yang diperlukan untuk optimalitas lokal. Misalkan f(x) terdiferensial di titik x * R n . Jika x * adalah titik ekstrem lokal, maka f'(x *) = 0.
Seperti sebelumnya, titik-titik yang merupakan solusi dari sistem persamaan disebut stasioner. Sifat dari titik stasioner x * berhubungan dengan ketegasan tanda dari matriks Hessian f′ (x).
Ketepatan tanda dari matriks A bergantung pada tanda-tanda bentuk kuadrat Q(α)=< α A, α >untuk semua bukan nol R n .
Di sini dan selanjutnya melalui produk skalar dari vektor x dan y dinotasikan. A-prioritas,

Suatu matriks A terdefinisi positif (non-negatif) jika Q(α)>0 (Q(α)≥0) untuk semua tak-nol R n ; negatif (nonpositif) pasti jika Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 untuk beberapa bukan nol R n dan Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Kondisi yang cukup untuk optimalitas lokal. Misal f(x) terdiferensialkan dua kali pada titik x * R n , dan f’(x *)=0 , mis. x * titik stasioner. Kemudian, jika matriks f (x *) positif (negatif) pasti, maka x * adalah titik minimum (maksimum) lokal; jika matriks f′′(x *) tak tentu, maka x * adalah titik pelana.
Jika matriks f′′(x *) definit non-negatif (non-positif), maka untuk menentukan sifat stasioner titik x *, diperlukan studi turunan orde tinggi.
Untuk memeriksa ketegasan tanda dari suatu matriks, biasanya digunakan kriteria Sylvester. Menurut kriteria ini, matriks simetris A pasti positif jika dan hanya jika semua minor sudutnya positif. Dalam hal ini, sudut minor dari matriks A adalah determinan matriks yang dibangun dari elemen-elemen matriks A, berdiri di persimpangan baris dan kolom dengan angka yang sama (dan yang pertama). Untuk memeriksa matriks simetris A untuk kepastian negatif, kita harus memeriksa matriks (−A) untuk kepastian positif.
Jadi, algoritma untuk menentukan titik-titik ekstrem lokal dari suatu fungsi banyak variabel adalah sebagai berikut.
1. Temukan f′(x).
2. Sistem terpecahkan

Akibatnya, titik stasioner x i dihitung.
3. Temukan f′′(x), himpunan i=1.
4. Temukan f′′(x i)
5. Minor sudut dari matriks f′′(x i) dihitung. Jika tidak semua minor sudut bukan nol, maka untuk menentukan sifat stasioner titik x i, diperlukan studi turunan orde tinggi. Dalam hal ini, transisi ke item 8 dilakukan.
Jika tidak, lanjutkan ke langkah 6.
6. Tanda-tanda dari minor sudut f′′(x i) dianalisis. Jika f′′(x i) pasti positif, maka x i adalah titik minimum lokal. Dalam hal ini, transisi ke item 8 dilakukan.
Jika tidak, lanjutkan ke item 7.
7. Minor sudut dari matriks -f′′(x i) dihitung dan tanda-tandanya dianalisis.
Jika -f′′(x i) definit positif, maka f′′(x i) definit negatif dan x i adalah titik maksimum lokal.
Jika tidak, f′′(x i) tidak tentu dan x i adalah titik pelana.
8. Kondisi untuk menentukan sifat semua titik stasioner i=N diperiksa.
Jika memenuhi, maka perhitungan selesai.
Jika kondisi tidak terpenuhi, maka i=i+1 diasumsikan dan transisi ke langkah 4 dilakukan.

Contoh 1. Tentukan titik ekstrem lokal dari fungsi f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2









Karena semua minor sudut bukan nol, karakter x 2 ditentukan oleh f′′(x).
Karena matriks f′′(x 2) adalah pasti positif, x 2 adalah titik minimum lokal.
Jawaban: fungsi f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 memiliki minimum lokal di titik x = (5/3; 8/3).