Pelajaran #30 (Aljabar dan Analisis Awal, Kelas 11)

Topik pelajaran: Gelar dengan eksponen rasional.

Tujuan pelajaran: 1 . Perluas konsep derajat, berikan konsep derajat dengan indikator rasional; untuk mengajarkan cara menerjemahkan gelar dengan indikator rasional ke akar dan sebaliknya; menghitung kekuatan dengan eksponen rasional.

2. Pengembangan memori, berpikir.

3. Pembentukan aktivitas.

"Biarkan seseorang mencoba mencoret

dari gelar matematika dan dia akan melihat

Anda tidak akan pergi jauh tanpa mereka." M.V. Lomonosov

Selama kelas.

I. Komunikasi topik dan tujuan pelajaran.

II. Pengulangan dan konsolidasi materi yang dibahas.

1. Analisis contoh rumah yang belum terpecahkan.

2. Mengontrol pekerjaan mandiri:

Pilihan 1.

1. Selesaikan persamaan: (2x - 1) = 3x - 12

2. Selesaikan pertidaksamaan: (3x - 2) 4 - x

Pilihan 2.

1. Selesaikan persamaan: 3 - 2x \u003d (7x + 32)

2. Selesaikan pertidaksamaan: (3x + 1) x - 1

AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.

1 . Ingat perpanjangan konsep bilangan: N Z Q R.

Ini paling baik direpresentasikan sebagai diagram di bawah ini:

Alami (N)

Nol

Bilangan non-negatif

Angka negatif

bilangan pecahan

Bilangan bulat (Z)

Irasional

Rasional (Q)

bilangan asli

2. Di kelas yang lebih rendah, konsep derajat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan. a) Ingat definisi derajat a) dengan alam, b) dengan bilangan bulat negatif, c) dengan eksponen nol.Tekankan bahwa ekspresi a n masuk akal untuk semua bilangan bulat n dan semua nilai a, kecuali untuk a=0 dan n≤0.

b) Sebutkan sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat.

3 . pekerjaan lisan.

satu). Hitung: 1 -5 ; 4-3; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Tulis sebagai eksponen negatif:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a9.

3). Bandingkan dengan unit: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Sekarang Anda perlu memahami arti dari ekspresi 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 dll. Untuk melakukan ini, perlu untuk menggeneralisasi konsep derajat sedemikian rupa sehingga semua properti derajat yang terdaftar terpenuhi. Perhatikan persamaan (a m/n ) n = a m . Kemudian, dengan definisi akar ke-n, masuk akal untuk mengasumsikan bahwa a M N akan menjadi akar ke-n dari a m . Definisi derajat dengan eksponen rasional diberikan.

5. Perhatikan contoh 1 dan 2 dari buku teks.

6. Mari kita membuat beberapa pernyataan terkait dengan konsep derajat dengan eksponen rasional.

Catatan 1 : Untuk sembarang a>0 dan bilangan rasional r, bilangan a r>0

Catatan 2 : Dengan sifat dasar pecahan, bilangan rasional m/n dapat ditulis sebagai mk/nk untuk sembarang bilangan asli k. Kemudiannilai derajat tidak bergantung pada bentuk penulisan bilangan rasional, karena a mk/nk = = nk a mk = n a m = a m/n

Catatan 3: Ketika sebuah Mari kita jelaskan ini dengan sebuah contoh. Pertimbangkan (-64) 1/3 = 3 -64 = -4. Di sisi lain: 1/3 = 2/6 dan kemudian (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Kami mendapatkan kontradiksi.

Guru matematika: Nashkenova A.N. Sekolah Menengah Maybalyk Garis besar pelajaran tentang topik "Gelar dengan indikator rasional"

(aljabar, kelas 11)

Tujuan Pelajaran:

Untuk memperluas dan memperdalam pengetahuan siswa tentang derajat bilangan; pengenalan siswa dengan konsep derajat dengan indikator rasional dan sifat-sifatnya;

Mengembangkan pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan menghitung nilai ekspresi dengan menggunakan properti;

Terus bekerja pada pengembangan keterampilan untuk menganalisis, membandingkan, menyoroti hal utama, mendefinisikan dan menjelaskan konsep;

Untuk membentuk kompetensi komunikatif, kemampuan untuk memperdebatkan tindakan mereka, untuk menumbuhkan kemandirian, ketekunan.

Peralatan: buku teks, kartu handout, laptop,bahan presentasi Power Point ;

Jenis pelajaran: pelajaran belajar dan konsolidasi utama pengetahuan baru.

Rencana belajar:

1.Org. momen. - 1 menit

2.Motivasi pelajaran.-2 menit

3. Aktualisasi pengetahuan dasar. - 5 menit.

4. Mempelajari materi baru. - 15 menit.

5. Pendidikan Jasmani menit - 1 menit.

6. Konsolidasi primer dari materi yang dipelajari - 10 menit

7. Pekerjaan mandiri. - 7 menit

8. Pekerjaan rumah. - 2 menit.

9. Refleksi - 1 menit.

10. Hasil pelajaran. - 1 menit

Selama kelas

1. Momen organisasi

Suasana emosional untuk pelajaran.

Saya ingin bekerja, saya ingin

kerja,
Saya berharap Anda sukses hari ini.
Bagaimanapun, di masa depan semua ini untukmu

berguna.
Dan itu akan lebih mudah bagi Anda di masa depan

untuk belajar(Slide #1)

2. Motivasi pelajaran

Operasi menaikkan pangkat dan mengekstrak akar, seperti empat operasi aritmatika, muncul sebagai hasil dari kebutuhan praktis. Jadi, bersamaan dengan tugas menghitung luas persegi, sisisebuah diketahui, terdapat masalah invers: “Berapa panjang sisi persegi agar luasnya sama dengandi. Pada abad 14-15, bank muncul di Eropa Barat, yang memberikan uang dengan bunga kepada pangeran dan pedagang, membiayai perjalanan jarak jauh dan penaklukan dengan suku bunga tinggi. Untuk memudahkan perhitungan bunga majemuk, kami menyusun tabel yang dengannya Anda dapat segera mengetahui berapa banyak yang harus Anda bayarP tahun, jika jumlah itu dipinjamsebuah padaR % setiap tahun. Jumlah yang dibayarkan dinyatakan dengan rumus: s = a(1 + ) P .Kadang-kadang uang dipinjam bukan untuk bilangan bulat tahun, tetapi misalnya untuk 2 tahun 6 bulan. Jika setelah 2,5 tahun jumlahnyasebuah berlaku untuk aq , kemudian dalam 2,5 tahun ke depan akan meningkat lagiq kali dan menjadi samaaq 2 . Setelah 5 tahun:a=(1 + 5 , Itu sebabnya q 2 = (1 + 5 dan cara q =

(Slide 2) .

Dengan demikian, gagasan tentang gelar dengan eksponen pecahan lahir.

3. Aktualisasi pengetahuan dasar.

Pertanyaan:

1. Apa yang dimaksud dengan catatan;sebuah P

2. Apa itu? sebuah ?

3. Apa itu? P ?

4. sebuah -P =?

5. Tuliskan di buku catatan Anda sifat-sifat derajat dengan indikator bilangan bulat.

6. Bilangan apa yang natural, utuh, rasional? Gambar mereka menggunakan lingkaran Euler.(Slide 3)

Jawaban: 1. Derajat dengan eksponen bilangan bulat

2. sebuah- basis

3. P- eksponen

4. sebuah -P =

5. Sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat:

sebuah m *sebuah n = (m+n) ;

sebuah m : sebuah n = (M N) ( pada sebuah bukan sama dengan nol );

(sebuah m ) n = (M N) ;

(a*b) n = n *b n ;

(a/b) n = (a n )/(b n ) (pada b tidak sama dengan nol);

sebuah 1 = sebuah;

sebuah 0 = 1 (ketika sebuah tidak sama dengan nol);

Properti ini akan berlaku untuk semua bilangan a, b dan bilangan bulat apa pun m dan n.

6.1,2,3, …- bilangan positif – himpunan bilangan asli –N

0,-1,-2,-3,.. bilangan O dan bilangan negatif - himpunan bilangan bulat -Z

Q , – bilangan pecahan (negatif dan positif) – himpunan bilangan rasional –Q Z

N

lingkaran Euler (slide 4)

4. Mempelajari materi baru.

Biarkan. sebuah - angka non-negatif dan Anda ingin menaikkannya ke kekuatan pecahan . Tahukah kamu persamaannya?sebuah m ) n = m n (geser 4) , yaitu aturan untuk menaikkan kekuatan menjadi kekuatan. Dalam persamaan di atas, misalkan m = , maka diperoleh: (sebuah ) P = =a (slide 4)

Dari sini dapat disimpulkan bahwasebuah akar P - derajat dari nomorsebuah , yaitu sebuah = . berikut ini (sebuah P ) = P =a (slide 4).

Karena itu sebuah =(a ) m =(a m ) = m . ( geser 4 ).

Dengan demikian, persamaan berikut berlaku:sebuah = m (geser 4)

Definisi: derajat bilangan non-negatif sebuah dengan rasional , di mana - pecahan yang tidak dapat direduksi, nilai akar derajat ke-n dari suatu bilangan disebut sebuah t .

Oleh karena itu, menurut definisi sebuah = m (slide 5)

Mari kita lihat contoh 1 : Tulis eksponen dengan eksponen rasional sebagai akar ke-n:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (slide 6) Keputusan: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( geser 7) Perkalian, pembagian, eksponen, dan ekstraksi akar dapat dilakukan pada pangkat dengan pangkat rasional menurut aturan yang sama seperti pangkat dengan pangkat bilangan bulat dan pangkat dengan basis yang sama:sebuah = + sebuah = sebuah - (sebuah ) = * (a*b) = * di ) = sebuah / di dimana p, q adalah bilangan asli, m, p adalah bilangan bulat. (slide 8) 5. Menit pendidikan jasmani

Putar pandanganmu ke kanan

Putar pandanganmu ke kiri

Melihat langit-langit

Kami semua melihat ke depan.

Satu - tekuk - tekuk,

Dua ─ tekuk - regangkan

Tiga - di tangan tiga tepukan,

Tiga kepala mengangguk.

Lima dan enam duduk dengan tenang.

Dan di jalan lagi! (slide 9)

6. Konsolidasi primer dari bahan yang dipelajari:

Halaman 51, No. 90, No. 91 - lengkapi di buku catatan sendiri,

dengan papan cek

7. Kerja mandiri

Pilihan 1

(Slide 10)

Pilihan 1

(Slide 11)

Lakukan pekerjaan independen dengan peer review.

Jawaban:

Pilihan 1

(Slide 12)

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan konsep derajat dengan eksponen rasional dan belajar bagaimana menulisnya dalam bentuk akar, menerapkan sifat dasar derajat ketika menemukan nilai ekspresi numerik.8. Pekerjaan Rumah: No. 92, No. 93 Informasi pekerjaan rumah

9. Refleksi

(Slide 13)

10. Ringkasan pelajaran:

Apa persamaan dan perbedaan antara derajat dengan indikator bilangan bulat dan derajat dengan indikator pecahan? (kesamaan: semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat juga berlaku untuk gelar dengan eksponen rasional;

perbedaan: derajat)

Sebutkan sifat-sifat derajat dengan eksponen rasional

Pelajaran selesai hari ini
Anda tidak dapat menemukan teman.
Tapi semua orang harus tahu:
Pengetahuan, ketekunan, kerja
Membawa kemajuan dalam hidup.
Terima kasih atas pelajarannya! (slide 14)

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan kekuatan. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti kurung buka, pengurangan suku yang serupa. Dan kemudian kami akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan properti derajat, dll.

Navigasi halaman.

Apa itu Ekspresi Daya?

Istilah "ekspresi kekuatan" praktis tidak ditemukan dalam buku pelajaran matematika sekolah, tetapi sering muncul dalam kumpulan masalah, yang dirancang khusus untuk mempersiapkan Ujian Negara Terpadu dan OGE, misalnya. Setelah menganalisis tugas di mana diperlukan untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi kekuatan, menjadi jelas bahwa ekspresi kekuatan dipahami sebagai ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Oleh karena itu, untuk Anda sendiri, Anda dapat mengambil definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Ayo bawa contoh ekspresi kekuatan. Selain itu, kami akan merepresentasikan mereka sesuai dengan bagaimana perkembangan pandangan dari derajat dengan indikator alami ke derajat dengan indikator nyata berlangsung.

Seperti yang Anda ketahui, pertama ada kenalan dengan derajat suatu bilangan dengan eksponen alami, pada tahap ini ekspresi kekuatan paling sederhana pertama dari tipe 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 2, , a 2 +2 b 3 + c 2 .

Di kelas senior, mereka kembali ke gelar lagi. Di sana, gelar dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang mengarah pada munculnya ekspresi kekuatan yang sesuai: , , dll. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus ke dalam eksponen, dan ada, misalnya, ekspresi seperti itu 2 x 2 +1 atau . Dan setelah berkenalan, ekspresi dengan kekuatan dan logaritma mulai muncul, misalnya, x 2 lgx 5 x lgx.

Jadi, kami menemukan pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuatan. Selanjutnya, kita akan belajar bagaimana mengubahnya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Dengan ekspresi kekuatan, Anda dapat melakukan salah satu dari dasar transformasi identik dari ekspresi. Misalnya, Anda dapat memperluas tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan suku sejenis, dan seterusnya. Secara alami, dalam hal ini perlu untuk mematuhi yang diterima urutan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai dari ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 12) .

Keputusan.

Menurut urutan tindakan, pertama-tama kita melakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kami mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (lihat jika perlu), dan kedua, kami menghitung selisihnya 16−12=4 . Kita punya 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8 , setelah itu kami menghitung produk 8·4=32 . Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Menjawab:

2 3 (4 2 12)=32 .

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya 3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7.

Keputusan.

Jelas, ungkapan ini mengandung seperti istilah 3 a 4 b 7 dan 2 a 4 b 7 , dan kita dapat mereduksinya: .

Menjawab:

3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7 =5 a 4 b 7 1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Keputusan.

Untuk mengatasi tugas memungkinkan representasi angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan penggunaan selanjutnya rumus perkalian disingkat selisih kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat dalam ekspresi kekuasaan. Selanjutnya, kami akan menganalisisnya.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat, di dasar dan / atau indikator yang bukan hanya angka atau variabel, tetapi beberapa ekspresi. Sebagai contoh, mari kita tulis (2+0.3 7) 5−3.7 dan (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi serupa, dimungkinkan untuk mengganti ekspresi di basis derajat dan ekspresi di indikator dengan ekspresi yang sama persis di ODZ variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat secara terpisah mengonversi basis derajat, dan secara terpisah - indikatornya. Jelas bahwa sebagai hasil dari transformasi ini, diperoleh ekspresi yang identik sama dengan yang asli.

Transformasi tersebut memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita butuhkan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat (2+0.3 7) 5−3.7 yang disebutkan di atas, Anda dapat melakukan operasi dengan angka dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda untuk beralih ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka kurung dan membawa suku-suku sejenis ke dalam basis derajat (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) kita mendapatkan ekspresi pangkat dari bentuk yang lebih sederhana a 2·(x+1 ) .

Menggunakan Properti Daya

Salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan kekuatan adalah persamaan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b dan bilangan real sembarang r dan s, sifat-sifat daya berikut berlaku:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, integer, dan positif, pembatasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n, persamaan a m ·a n =a m+n benar tidak hanya untuk a positif , tetapi juga untuk negatif, dan untuk a=0 .

Di sekolah, perhatian utama dalam transformasi ekspresi kekuatan difokuskan tepat pada kemampuan untuk memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan Anda untuk menggunakan properti derajat tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis derajat - rentang nilai variabel yang dapat diterima biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya, yang memungkinkan Anda untuk bebas menggunakan properti derajat. Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin untuk menerapkan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan ODZ dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel. transformasi ekspresi menggunakan sifat-sifat kekuatan. Di sini kita membatasi diri pada beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan ekspresi a 2.5 ·(a 2) 3:a 5.5 sebagai pangkat dengan basis a .

Keputusan.

Pertama, kita ubah faktor kedua (a 2) 3 dengan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) 3 =a 2 (−3) =a 6. Dalam hal ini, ekspresi pangkat awal akan berbentuk a 2.5 ·a 6:a 5.5 . Jelas, tetap menggunakan sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama, kita memiliki
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a 3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Properti daya digunakan saat mengubah ekspresi daya baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai dari ekspresi kekuatan.

Keputusan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r , diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan Anda beralih dari ekspresi asli ke produk bentuk dan selanjutnya. Dan ketika mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya bertambah: .

Dimungkinkan untuk melakukan transformasi ekspresi asli dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diberikan ekspresi pangkat a 1,5 a 0,5 6 , masukkan variabel baru t=a 0,5 .

Keputusan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai 0,5 3 dan selanjutnya berdasarkan sifat derajat dalam derajat (a r) s =a r s diterapkan dari kanan ke kiri, ubahlah menjadi bentuk (a 0,5) 3 . Dengan demikian, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5 , kita mendapatkan t 3 t−6 .

Menjawab:

t 3 t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan

Ekspresi pangkat dapat berisi pecahan dengan pangkat atau mewakili pecahan tersebut. Untuk pecahan seperti itu, salah satu dari yang utama konversi pecahan, yang melekat dalam pecahan apapun. Artinya, pecahan yang mengandung derajat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilangnya dan secara terpisah dengan penyebutnya, dll. Untuk mengilustrasikan kata-kata di atas, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilang, kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang diperoleh setelah itu menggunakan sifat-sifat pangkat, dan dalam penyebut kami menyajikan istilah yang serupa:

Dan kita juga mengubah tanda penyebut dengan menempatkan minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat ke penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional ke penyebut baru. Pada saat yang sama, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan DPV. Untuk mencegah hal ini terjadi, perlu bahwa faktor tambahan tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh.

Pindahkan pecahan ke penyebut baru: a) ke penyebut a, b) ke penyebutnya.

Keputusan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui faktor tambahan apa yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah pengali a 0,3, karena 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), derajat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kami memiliki hak untuk mengalikan pembilang dan penyebut dari pecahan yang diberikan oleh faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat pada penyebut, kami menemukan bahwa

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan memberikan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan. Ekspresi tidak hilang pada kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dan y, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengannya:

Menjawab:

sebuah) , b) .

Juga tidak ada yang baru dalam pengurangan pecahan yang mengandung derajat: pembilang dan penyebut direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebut yang sama dikurangi.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , b).

Keputusan.

a) Pertama, pembilang dan penyebut dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yang sama dengan 15. Juga, jelas, Anda dapat mengurangi x 0,5 +1 dan dengan . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebut yang sama tidak langsung terlihat. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari menguraikan penyebut menjadi faktor-faktor sesuai dengan perbedaan rumus kuadrat:

Menjawab:

sebuah)

b) .

Mengurangi pecahan ke penyebut baru dan mengurangi pecahan terutama digunakan untuk melakukan operasi pada pecahan. Tindakan dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui. Saat menambahkan (mengurangi) pecahan, mereka direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya ditambahkan (dikurangi), dan penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Keputusan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , lalu kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahan:

Jelas, pengurangan dengan kekuatan x 1/2 dimungkinkan, setelah itu kita memiliki .

Anda juga dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Jelas, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, ini memberikan pecahan . Jelas bahwa sesuatu yang lain perlu dilakukan dengan kekuatan x. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk menggunakan properti pembagian kekuatan dengan basis yang sama: . Dan di akhir proses, kita beralih dari produk terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan kami menambahkan bahwa adalah mungkin dan dalam banyak kasus diinginkan untuk mentransfer faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi kekuatan dapat diganti dengan .

Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali dalam ekspresi di mana beberapa transformasi diperlukan, bersama dengan derajat dengan eksponen pecahan, ada juga akar. Untuk mengonversi ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup dengan hanya pergi ke akar atau hanya ke kekuatan. Tetapi karena lebih nyaman untuk bekerja dengan derajat, mereka biasanya berpindah dari akar ke derajat. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda untuk mengganti akar dengan derajat tanpa perlu mengakses modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kami membahas ini secara rinci di bagian artikel, transisi dari akar ke pangkat dan sebaliknya Setelah berkenalan dengan derajat dengan eksponen rasional, gelar dengan indikator irasional diperkenalkan, yang memungkinkan untuk berbicara tentang gelar dengan indikator nyata yang sewenang-wenang.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial, yang secara analitis diberikan oleh derajat, dengan dasar yang ada angka, dan dalam indikator - variabel. Jadi kita dihadapkan dengan ekspresi kekuatan yang mengandung angka di dasar derajat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja muncul kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan saat menyelesaikan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial, dan transformasi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 3 5 x 7 x 14 7 2 x−1 =0.

Pertama, eksponen, di mana eksponen jumlah dari beberapa variabel (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, ditemukan, diganti dengan produk. Ini berlaku untuk istilah pertama dan terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 =0,
5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x =0.

Selanjutnya, kedua bagian persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x , yang hanya mengambil nilai positif pada ODV variabel x untuk persamaan asli (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, kita tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang pecahan dengan kekuatan dibatalkan, yang memberikan .

Akhirnya, rasio pangkat dengan pangkat yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan , yang setara dengan . Transformasi yang dibuat memungkinkan kami untuk memperkenalkan variabel baru, yang mengurangi solusi persamaan eksponensial asli menjadi solusi persamaan kuadrat

I.V. Boikov, L.D. Romanova Kumpulan tugas untuk persiapan ujian. Bagian 1. Penza 2003.