კვადრატული განტოლებები შესწავლილია მე-8 კლასში, ასე რომ, აქ არაფერია რთული. მათი გადაჭრის უნარი აუცილებელია.
კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც კოეფიციენტები a , b და c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.
კონკრეტული ამოხსნის მეთოდების შესწავლამდე აღვნიშნავთ, რომ ყველა კვადრატული განტოლება შეიძლება დაიყოს სამ კლასად:
- არ აქვს ფესვები;
- მათ აქვთ ზუსტად ერთი ფესვი;
- მათ ორი განსხვავებული ფესვი აქვთ.
ეს არის მნიშვნელოვანი განსხვავება კვადრატულ და წრფივ განტოლებებს შორის, სადაც ფესვი ყოველთვის არსებობს და უნიკალურია. როგორ განვსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? ამისთვის არის მშვენიერი რამ - დისკრიმინანტი.
დისკრიმინანტი
მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. მაშინ დისკრიმინანტი არის უბრალოდ რიცხვი D = b 2 − 4ac .
ეს ფორმულა ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. საიდან მოდის, ახლა არ არის მნიშვნელოვანი. მნიშვნელოვანია კიდევ ერთი: დისკრიმინანტის ნიშნით შეგიძლიათ განსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებას. კერძოდ:
- თუ დ< 0, корней нет;
- თუ D = 0, არის ზუსტად ერთი ფესვი;
- თუ D > 0, იქნება ორი ფესვი.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: დისკრიმინანტი მიუთითებს ფესვების რაოდენობას და არა მათ ნიშნებს, როგორც რატომღაც ბევრი ფიქრობს. გადახედე მაგალითებს და შენ თვითონ მიხვდები ყველაფერს:
Დავალება. რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებებს:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტებს პირველი განტოლებისთვის და ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
ასე რომ, დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. ჩვენ ვაანალიზებთ მეორე განტოლებას ანალოგიურად:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. ბოლო განტოლება რჩება:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
დისკრიმინანტი ნულის ტოლია - ფესვი ერთი იქნება.
გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტები დაწერილია თითოეული განტოლებისთვის. დიახ, ეს გრძელია, დიახ, დამღლელი - მაგრამ თქვენ არ აირევთ შანსებს და არ დაუშვებთ სულელურ შეცდომებს. აირჩიეთ თქვენთვის: სიჩქარე ან ხარისხი.
სხვათა შორის, თუ „ხელს ავსებ“, გარკვეული პერიოდის შემდეგ აღარ დაგჭირდებათ ყველა კოეფიციენტის ამოწერა. ასეთ ოპერაციებს შეასრულებ შენს თავში. უმეტესობა ამის კეთებას იწყებს სადღაც 50-70 ამოხსნილი განტოლების შემდეგ - ზოგადად, არც ისე ბევრი.
კვადრატული განტოლების ფესვები
ახლა გადავიდეთ გამოსავალზე. თუ დისკრიმინანტი D > 0, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:
კვადრატული განტოლების ფესვების ძირითადი ფორმულა
როდესაც D = 0, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა - მიიღებთ იგივე რიცხვს, რომელიც იქნება პასუხი. საბოლოოდ, თუ დ< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
პირველი განტოლება:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი:
მეორე განტოლება:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ განტოლებას ისევ ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი
\[\begin(გასწორება) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
და ბოლოს, მესამე განტოლება:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ნებისმიერი ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია. მაგალითად, პირველი:
როგორც მაგალითებიდან ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია. თუ იცით ფორმულები და შეძლებთ დათვლას, პრობლემა არ იქნება. ყველაზე ხშირად, შეცდომები ხდება მაშინ, როდესაც უარყოფითი კოეფიციენტები ჩანაცვლებულია ფორმულაში. აქ, ისევ და ისევ, ზემოთ აღწერილი ტექნიკა დაგეხმარებათ: შეხედეთ ფორმულას სიტყვასიტყვით, დახატეთ თითოეული ნაბიჯი - და თავიდან აიცილეთ შეცდომები ძალიან მალე.
არასრული კვადრატული განტოლებები
ეს ხდება, რომ კვადრატული განტოლება გარკვეულწილად განსხვავდება იმისგან, რაც მოცემულია განმარტებაში. Მაგალითად:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
ადვილი მისახვედრია, რომ ერთ-ერთი ტერმინი აკლია ამ განტოლებებს. ასეთი კვადრატული განტოლებები კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე სტანდარტული: მათ არც კი სჭირდებათ დისკრიმინანტის გამოთვლა. მოდით შემოვიტანოთ ახალი კონცეფცია:
განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლება, თუ b = 0 ან c = 0, ე.ი. x ცვლადის ან თავისუფალი ელემენტის კოეფიციენტი ნულის ტოლია.
რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ძალიან რთული შემთხვევა, როდესაც ორივე ეს კოეფიციენტი ნულის ტოლია: b \u003d c \u003d 0. ამ შემთხვევაში, განტოლება იღებს ცულის 2 \u003d 0 ფორმას. ცხადია, ასეთ განტოლებას აქვს ერთიანი. ფესვი: x \u003d 0.
განვიხილოთ სხვა შემთხვევები. მოდით b \u003d 0, მაშინ მივიღებთ არასრულ კვადრატულ განტოლებას ფორმის ax 2 + c \u003d 0. მოდით ოდნავ გარდავქმნათ იგი:
ვინაიდან არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან, ბოლო ტოლობას აქვს აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც (−c / a ) ≥ 0. დასკვნა:
- თუ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება აკმაყოფილებს უტოლობას (−c / a ) ≥ 0, იქნება ორი ფესვი. ფორმულა მოცემულია ზემოთ;
- თუ (−c/a)< 0, корней нет.
როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტი არ იყო საჭირო - არასრულ კვადრატულ განტოლებებში საერთოდ არ არის რთული გამოთვლები. ფაქტობრივად, არც კი არის აუცილებელი გავიხსენოთ უტოლობა (−c / a ) ≥ 0. საკმარისია გამოვხატოთ x 2-ის მნიშვნელობა და ნახოთ რა არის ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს. თუ არის დადებითი რიცხვი, იქნება ორი ფესვი. თუ უარყოფითია, ფესვები საერთოდ არ იქნება.
ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებებს, რომლებშიც თავისუფალი ელემენტი ნულის ტოლია. აქ ყველაფერი მარტივია: ყოველთვის იქნება ორი ფესვი. საკმარისია მრავალწევრის ფაქტორიზირება:
საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილიდანპროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. აქედან მოდის ფესვები. დასასრულს, ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ამ განტოლებას:
Დავალება. ამოხსენით კვადრატული განტოლებები:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. არ არსებობს ფესვები, რადგან კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.
მიზნები:
- ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაცია და განზოგადება თემაზე: მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებათა ამონახსნები.
- ცოდნის გაღრმავება დავალების სერიის შესრულებით, რომელთაგან ზოგიერთი არ არის ცნობილი არც მათი ტიპისა და არც გადაჭრის მეთოდით.
- მათემატიკისადმი ინტერესის ჩამოყალიბება მათემატიკის ახალი თავების შესწავლით, გრაფიკული კულტურის განათლება განტოლებათა გრაფიკების აგების გზით.
გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული.
აღჭურვილობა:გრაფიკული პროექტორი.
ხილვადობა:ცხრილი "ვიეტას თეორემა".
გაკვეთილების დროს
1. გონებრივი ანგარიში
ა) რა ნაშთია p n (x) მრავალწევრის გაყოფა \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 x-a ორობით?
ბ) რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს კუბურ განტოლებას?
გ) რისი დახმარებით ვხსნით მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებას?
დ) თუ b არის ლუწი რიცხვი კვადრატულ განტოლებაში, მაშინ რა არის D და x 1; x 2
2. დამოუკიდებელი მუშაობა (ჯგუფურად)
შეადგინეთ განტოლება, თუ ფესვები ცნობილია (დავალებების პასუხები დაშიფრულია) გამოიყენეთ "ვიეტას თეორემა"
1 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6
დაწერეთ განტოლება:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d=-12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(ეს განტოლება იხსნება დაფაზე 2 ჯგუფის მიერ)
გამოსავალი . ჩვენ ვეძებთ მთელ ფესვებს 36 რიცხვის გამყოფებს შორის.
p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 რიცხვი 1 აკმაყოფილებს განტოლებას, შესაბამისად =1 არის განტოლების ფესვი. ჰორნერის სქემა
p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36
p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2
p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6
პასუხი: 1; -2; -3; 6 ფესვების ჯამი 2 (P)
2 ჯგუფი
ფესვები: x 1 \u003d -1; x 2 = x 3 =2; x 4 \u003d 5
დაწერეთ განტოლება:
B=-1+2+2+5-8; b=-8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (ჯგუფი 3 ხსნის ამ განტოლებას დაფაზე)
p = ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20
p 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5
პასუხი: -1;2;2;5 ფესვების ჯამი 8(P)
3 ჯგუფი
ფესვები: x 1 \u003d -1; x 2 =1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3
დაწერეთ განტოლება:
B=-1+1-2+3=1;b=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7; s=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(ეს განტოლება იხსნება მოგვიანებით დაფაზე 4 ჯგუფის მიერ)
გამოსავალი. ჩვენ ვეძებთ 6 რიცხვის გამყოფებს შორის მთელ ფესვებს.
p = ±1; ±2; ±3; ±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 -x -6=0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3
პასუხი: -1; 1; -2; 3 ფესვების ჯამი 1 (O)
4 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3
დაწერეთ განტოლება:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36; e=-36
x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(ეს განტოლება იხსნება დაფაზე 5 ჯგუფის მიერ)
გამოსავალი. -36 რიცხვის გამყოფებს შორის ვეძებთ მთელ ფესვებს
p = ±1; ±2; ±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
პასუხი: -2; -2; -3; 3 ფესვების ჯამი-4 (F)
5 ჯგუფი
ფესვები: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4
დაწერეთ განტოლება
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ამ განტოლებას ხსნის მე-6 ჯგუფი დაფაზე)
გამოსავალი . ჩვენ ვეძებთ მთელ ფესვებს 24 რიცხვის გამყოფებს შორის.
p = ±1; ±2; ±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O
p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0
პასუხი: -1; -2; -3; -4 ჯამი-10 (I)
6 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8
დაწერეთ განტოლება
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (ამ განტოლებას ხსნის 1 ჯგუფი დაფაზე)
გამოსავალი . -24 რიცხვის გამყოფებს შორის ვეძებთ მთელ ფესვებს.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8
პასუხი: 1; 1; -3; 8 ჯამი 7 (ლ)
3. განტოლების ამოხსნა პარამეტრით
1. ამოხსენით განტოლება x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; თუ ერთ-ერთი ფესვი არის (-1)
უპასუხეთ ზრდადი თანმიმდევრობით
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
პირობით x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0
x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;
x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;
პასუხი: - 1; -5; 3
ზრდადი მიმდევრობით: -5;-1;3. (ბ ნ წ)
2. იპოვეთ x 3 - 3x 2 + ცული - 2a + 6 მრავალწევრის ყველა ფესვი, თუ მისი დაყოფის ნაშთები x-1 და x + 2 ორწევრებად ტოლია.
გამოსავალი: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)
P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a
P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
x 2 (x-3) -6 (x-3) = 0
(x-3) (x 2 -6) = 0
ორი ფაქტორის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ამ ფაქტორებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორეს აქვს აზრი.
2 ჯგუფი. ფესვები: -3; -2; ერთი; 2;3 ჯგუფი. ფესვები: -1; 2; 6; ათი;
4 ჯგუფი. ფესვები: -3; 2; 2; 5;
5 ჯგუფი. ფესვები: -5; -2; 2; ოთხი;
6 ჯგუფი. ფესვები: -8; -2; 6; 7.
გაიხსენეთ ხარისხის ძირითადი თვისებები. მოდით a > 0, b > 0, n, m იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. მერე
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (აბ) n = a n b n
5) \(\ მარცხენა (\frac(a)(b) \მარჯვნივ)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1 თუ a > 1, n > 0
8) a n 1, n
9) a n > a m, თუ 0
პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება y = a x ფორმის ფუნქციები, სადაც a არის მოცემული დადებითი რიცხვი, x არის ცვლადი. ასეთ ფუნქციებს ე.წ დემონსტრაციული. ეს სახელწოდება აიხსნება იმით, რომ ექსპონენციალური ფუნქციის არგუმენტი არის მაჩვენებელი, ხოლო ხარისხის საფუძველი არის მოცემული რიცხვი.
განმარტება.ექსპონენციალური ფუნქცია არის y = a x ფორმის ფუნქცია, სადაც a არის მოცემული რიცხვი, a > 0, \(a \neq 1\)
ექსპონენციალურ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები
1) ექსპონენციალური ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.
ეს თვისება გამომდინარეობს იქიდან, რომ x ხარისხი, სადაც a > 0 არის განსაზღვრული x ყველა რეალური რიცხვისთვის.
2) ექსპონენციალური ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე.
ამის დასადასტურებლად, ჩვენ უნდა ვაჩვენოთ, რომ განტოლებას a x = b, სადაც a > 0, \(a \neq 1\), არ აქვს ფესვები, თუ \(b \leq 0\), და აქვს ფესვი ნებისმიერი b >სთვის. 0 .
3) ექსპონენციალური ფუნქცია y \u003d a x იზრდება ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე, თუ a > 1, და მცირდება, თუ 0 ეს გამომდინარეობს ხარისხის (8) და (9) თვისებებიდან.
ჩვენ ვაშენებთ y \u003d a x ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკებს a > 0-სთვის და 0-ისთვის განხილული თვისებების გამოყენებით აღვნიშნავთ, რომ y \u003d a x ფუნქციის გრაფიკი a > 0-ზე გადის წერტილში (0; 1) და მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ.
თუ x არის 0.
თუ x > 0 და |x| იზრდება, გრაფიკი სწრაფად იზრდება.
y \u003d a x ფუნქციის გრაფიკი 0-ზე თუ x\u003e 0 და იზრდება, მაშინ გრაფიკი სწრაფად უახლოვდება Ox ღერძს (მისი გადაკვეთის გარეშე). ამრიგად, x-ღერძი არის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.
თუ x 
ექსპონენციალური განტოლებები
განვიხილოთ ექსპონენციალური განტოლების რამდენიმე მაგალითი, ე.ი. განტოლებები, რომლებშიც უცნობი შეიცავს მაჩვენებელს. ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ხშირად მოდის a x = a b განტოლების ამოხსნამდე, სადაც a > 0, \(a\neq 1\), x არის უცნობი. ეს განტოლება ამოხსნილია სიმძლავრის თვისების გამოყენებით: ხარისხები იგივე ფუძით a > 0, \(a \neq 1\) ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი მაჩვენებლები ტოლია.
ამოხსენით განტოლება 2 3x 3 x = 576
ვინაიდან 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, განტოლება შეიძლება დაიწეროს სახით 8 x 3 x \u003d 24 2, ან სახით 24 x \u003d 24 2, საწყისი სადაც x \u003d 2.
პასუხი x = 2
ამოხსენით განტოლება 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
3 x - 2 საერთო ფაქტორის მარცხენა მხარეს ფრჩხილებში ვიღებთ 3 x - 2 (3 3 - 2) \u003d 25, 3 x - 2 25 \u003d 25,
საიდანაც 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
პასუხი x = 2
ამოხსენით განტოლება 3 x = 7 x
ვინაიდან \(7^x \neq 0 \) , განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), საიდანაც \(\left(\frac(3)(7 ) \მარჯვნივ) ^x = 1 \), x = 0
უპასუხე x = 0
ამოხსენით განტოლება 9 x - 4 3 x - 45 = 0
3 x \u003d t შეცვლით, ეს განტოლება მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე t 2 - 4t - 45 \u003d 0. ამ განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ მის ფესვებს: t 1 \u003d 9, t 2 \u003d -5, საიდანაც 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5 .
განტოლებას 3 x = 9 აქვს ფესვი x = 2, ხოლო განტოლებას 3 x = -5 არ აქვს ფესვები, რადგან ექსპონენციალურ ფუნქციას არ შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები.
პასუხი x = 2
ამოხსენით განტოლება 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
განტოლებას ვწერთ ფორმაში
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, საიდანაც
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\ მარცხენა (\frac(2)(5) \მარჯვნივ) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
პასუხი x = 2
ამოხსენით განტოლება 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
ვინაიდან 3 > 0, \(3 \neq 1\), საწყისი განტოლება უდრის განტოლებას |x-1| = |x+3|
ამ განტოლების კვადრატში ვიღებთ მის დასკვნას (x - 1) 2 = (x + 3) 2, საიდანაც
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
შემოწმება აჩვენებს, რომ x = -1 არის საწყისი განტოლების ფესვი.
პასუხი x = -1
ჩვენ გთავაზობთ მოსახერხებელ უფასო ონლაინ კალკულატორი კვადრატული განტოლებების ამოხსნისთვის.თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად მიიღოთ და გაიგოთ, თუ როგორ წყდება ისინი გასაგები მაგალითების გამოყენებით.
წარმოების კვადრატული განტოლების გადაჭრა ონლაინჯერ მიიტანეთ განტოლება ზოგად ფორმაში:
ax2 + bx + c = 0
შესაბამისად შეავსეთ ფორმის ველები:
როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება
| როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება: | ფესვების ტიპები: |
|
1.
მიიტანეთ კვადრატული განტოლება ზოგად ფორმამდე: Axe 2-ის ზოგადი ხედი +Bx+C=0 მაგალითი: 3x - 2x 2 +1=-1 შემცირება -2x 2 +3x+2=0 2.
ვპოულობთ დისკრიმინანტ დ. 3.
ჩვენ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს. |
1.
ნამდვილი ფესვები. და. x1 არ არის x2-ის ტოლი სიტუაცია იქმნება, როდესაც D>0 და A არ არის 0-ის ტოლი. 2.
ნამდვილი ფესვები იგივეა. x1 უდრის x2 3.
ორი რთული ფესვი. x1=d+ei, x2=d-ei, სადაც i=-(1) 1/2 5.
განტოლებას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. 6.
განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. |
ალგორითმის გასამყარებლად, აქ არის კიდევ რამდენიმე კვადრატული განტოლებების ამონახსნების საილუსტრაციო მაგალითები.
მაგალითი 1. ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლების ამოხსნა სხვადასხვა რეალური ფესვებით.
x 2 + 3x -10 = 0
ამ განტოლებაში
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
კვადრატული ფესვი აღინიშნა რიცხვით 1/2!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5
შესამოწმებლად, შევცვალოთ:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
მაგალითი 2. კვადრატული განტოლების ამოხსნა იგივე რეალური ფესვებით.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1, B=-8, C=16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4
შემცვლელი
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16
მაგალითი 3. რთული ფესვებით კვადრატული განტოლების ამოხსნა.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
დისკრიმინანტი უარყოფითია - ფესვები რთული.
X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, სადაც I არის -1-ის კვადრატული ფესვი
აქ არის რეალურად კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ყველა შესაძლო შემთხვევა.
ვიმედოვნებთ, რომ ჩვენი ონლაინ კალკულატორიძალიან სასარგებლო იქნება თქვენთვის.
თუ მასალა სასარგებლო იყო, შეგიძლიათ
