ამ გაკვეთილზე ვისაუბრებთ ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებზე. ისინი ჩვეულებრივ ერთად სწავლობენ, რადგან ისინი ურთიერთშებრუნებული არიან. ჩვენ ვისაუბრებთ ამ ფუნქციების გამოყენებაზე, იმაზე, თუ რატომ არის შერჩეული ეს ფუნქციები შესასწავლად.

ექსპონენციალური ფუნქცია გამოიყენება ყველა იმ ფენომენის აღსაწერად, რომელსაც ჩვენ ვუწოდებთ ზვავის პროცესებს. უფრო ნათლად რომ ვთქვათ, ეს არის პროცესები, სადაც სიდიდის ცვლილება უკვე არსებული სიდიდის პროპორციულია (რაც მეტია, მით უფრო იცვლება; რაც უფრო ნაკლებია, მით ნაკლები იცვლება).

ასეთი პროცესის მაგალითია ბაქტერიების რეპროდუქცია. განვიხილოთ ასეთი ამოცანა. ჭიქაში არის ერთი ბაქტერია. ყოველ წამში ის ორ ბაქტერიად იყოფა, ახალი ბაქტერიებიც ყოველ წამში ორად იყოფა და ა.შ. ერთ წუთში მთელი ჭიქა ბაქტერიებით აივსო. რამდენი ბაქტერია იყო ჭიქაში წამით ადრე?

მინდა ვთქვა, რომ სადღაც სრულ ჭიქაზე ცოტა ნაკლები ივსებოდა, მაგრამ სწორი პასუხია: ნახევარი ჭიქა. თუ ნახევარი ჭიქა გაივსება, მაშინ წამში თითოეული ბაქტერია ნაწილებად გაიყოფა და ისინი მთელ ჭიქას შეავსებენ. როგორც ხედავთ, ჭიქის პირველი ნახევარი წამებში ივსებოდა, მეორე ნახევარი კი მხოლოდ წამში.

მყინვარების დნობა

რა თქმა უნდა, ყველას სმენია პლანეტაზე ყინულის დნობის პრობლემის შესახებ. რატომ ხდება გამყინვარების და, პირიქით, დათბობის ასეთი პროცესები? ისინი ადრეც იყვნენ, თუმცა ახლა ამბობენ, რომ ადამიანის აქტივობა დიდ გავლენას ახდენს მათ სიჩქარეზე. არსებობს სხვადასხვა ჰიპოთეზა, მაგრამ ეს არც ისე მნიშვნელოვანია.

რაც მთავარია, ყინულის რაოდენობის შემცირება ზრდის მზის ენერგიის შთანთქმის რაოდენობას. ანუ რაც უფრო ნაკლები ყინული ხდება, მით უფრო სწრაფად დნება. პროცესი ექსპონენციალურია, ანუ სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თვითგამოძახება, თვითკვება.

აღწერილია ასეთი პროცესი ექსპონენციალური ფუნქცია (ან ექსპონენციალური): (ნახ. 1). - ბაზა, , , და - ექსპონენტი, ცვალებადი მნიშვნელობა.

ბრინჯი. 1. ფუნქციის გრაფიკი

ბევრისთვის ნაცნობი ექსპონენციალური ფუნქციის კიდევ ერთი მაგალითია საერთო ინტერესი. თუ ფულს ბანკში ჩავდებთ ფიქსირებული პროცენტით, ხოლო ფულს არ გამოვიტანთ და პროცენტი ირიცხება მთელ ხელმისაწვდომ თანხაზე, მაშინ თანხა, რომელსაც მივიღებთ პერიოდების განმავლობაში: , სად არის საწყისი ანაბარი, არის საპროცენტო განაკვეთი, არის გავლილი პერიოდების რაოდენობა (წლები, თვეები და ა.შ.). თავდაპირველად, რაოდენობა გაიზრდება ნელა, მაგრამ შემდეგ ზრდა დაჩქარდება.

კიდევ ერთი კარგი მაგალითი. თუ ჩვენ ავწევთ ძალამდე, მაშინ მივიღებთ დაახლოებით, მაგრამ ძალაში ეს პრაქტიკულად არის. თუ ამ მაგალითს პროცენტის სახით წარმოვადგენთ, მაშინ პირველ შემთხვევაში იგი ირიცხება დღეში, მაშინ თანხა გაიზრდება ერთი წლით. ხოლო მეორე შემთხვევაში, დღეში ერთი პროცენტი ამოღებულია, შემდეგ წელიწადში თითქმის არაფერი დარჩება.

ამავდროულად, ექსპონენციალური ფუნქციის ერთ-ერთი დამახასიათებელი მახასიათებელია ის, რომ ასეთი სქემის მიხედვით, ჯამი არ შეიძლება შემცირდეს. ბირთვული ფიზიკის მსგავსი მაგალითია ნახევარგამოყოფის პერიოდი. რადიოაქტიურ ელემენტებს აქვთ ნახევარგამოყოფის პერიოდი, მაგალითად, წლების განმავლობაში ნივთიერების მასა განახევრდება (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2. ზოგიერთი ელემენტის ნახევარგამოყოფის ცხრილი

ანუ ერთი კილოგრამი ნივთიერება რომ გვქონდა, მაშინ პირველ წლებში ერთი გრამი ნივთიერება (საკმაოდ ბევრი) გაქრება, შემდეგ წლებში კი - უკვე გრამი და ა.შ. შემდეგ კი დადგება პერიოდი, როდესაც დაახლოებით ერთი გრამი ნივთიერება გაივლის წლების განმავლობაში. ეს არის კლების მაჩვენებლის მაგალითი.

თუ განვიხილავთ ყველა ფუნქციის სიმრავლეს და მათ შორის ავირჩევთ მათ, რომლებსაც აქვთ შემდეგი თვისება: , მაშინ ის დაკმაყოფილდება ექსპონენციალური ფუნქციებისთვის: .