განმარტებით, ფუნქციის დიფერენციალური (პირველი დიფერენციალი) გამოითვლება ფორმულით
თუ არის დამოუკიდებელი ცვლადი.

მაგალითი.

ვაჩვენოთ, რომ პირველი დიფერენციალური ფორმა უცვლელი რჩება (ის უცვლელია) იმ შემთხვევაშიც კი, როდესაც ფუნქციის არგუმენტი არის თავისთავად ფუნქცია, ანუ რთული ფუნქციისთვის
.

დაე
დიფერენცირებადია, მაშინ განსაზღვრებით

გარდა ამისა, როგორც საჭიროა დასამტკიცებლად.

მაგალითები.

პირველი დიფერენციალური ფორმის დადასტურებული უცვლელობა საშუალებას გვაძლევს ვივარაუდოთ, რომ
ანუ წარმოებული ტოლია ფუნქციის დიფერენციალური თანაფარდობის მიმართ მისი არგუმენტის დიფერენციალი, მიუხედავად იმისა, არგუმენტი დამოუკიდებელი ცვლადია თუ ფუნქცია.

პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის დიფერენციაცია

ნება If ფუნქცია
აქვს გადასაღებ მოედანზე პირიქით, მაშინ
შემდეგ თანასწორობები
კომპლექტზე განსაზღვრული პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქცია, – პარამეტრი (შუალედური ცვლადი).

მაგალითი. დახაზეთ ფუნქცია
.

წ დაახლოებით 1 x

აგებული მრუდი ე.წ ციკლოიდი(სურ. 25) და არის წერტილის ტრაექტორია 1 რადიუსის წრეზე, რომელიც მოძრაობს სრიალის გარეშე OX ღერძის გასწვრივ.

კომენტარი. ზოგჯერ, მაგრამ არა ყოველთვის, პარამეტრი შეიძლება აღმოიფხვრას პარამეტრული მრუდის განტოლებიდან.

მაგალითები.
არის წრის პარამეტრული განტოლებები, ვინაიდან, ცხადია,

არის ელიფსის პარამეტრული განტოლებები, ვინაიდან

არის პარაბოლის პარამეტრული განტოლებები

იპოვეთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული ასევე პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციაა: .

განმარტება. ფუნქციის მეორე წარმოებულს ეწოდება მისი პირველი წარმოებულის წარმოებული.

წარმოებული -ე რიგი არის მისი რიგის წარმოებულის წარმოებული
.

აღნიშნეთ წარმოებულები მეორე და ასეთი შეკვეთა:

მეორე წარმოებულის განსაზღვრებიდან და პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის დიფერენციაციის წესიდან გამომდინარეობს, რომ
მესამე წარმოებულის გამოსათვლელად აუცილებელია მეორე წარმოებულის სახით წარმოდგენა
და კვლავ გამოიყენეთ მიღებული წესი. უფრო მაღალი რიგის წარმოებულები გამოითვლება ანალოგიურად.

მაგალითი. იპოვნეთ ფუნქციის პირველი და მეორე რიგის წარმოებულები

.

დიფერენციალური გამოთვლების ძირითადი თეორემები

თეორემა(ფერმა). დაუშვით ფუნქცია
აქვს წერტილში
ექსტრემალური. თუ არსებობს
, მაშინ

მტკიცებულება. დაე
მაგალითად, არის მინიმალური წერტილი. მინიმალური წერტილის განმარტებით, არსებობს ამ წერტილის მეზობლობა
, რომლის ფარგლებშიც
, ანუ
- მატება
წერტილში
. Განმარტებით
გამოთვალეთ ცალმხრივი წარმოებულები წერტილში
:

უტოლობაში ზღვრულ თეორემაზე გადასვლით,

რადგან

, იმიტომ
მაგრამ პირობით
არსებობს, ამიტომ მარცხენა წარმოებული ტოლია მარჯვენას და ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ

ვარაუდი, რომ
- მაქსიმალური ქულა, იგივეს მივყავართ.

თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა:

თეორემა(როლი). დაუშვით ფუნქცია
უწყვეტი
, დიფერენცირებადი
და
მაშინ არის
ისეთივე როგორც

მტკიცებულება. იმიტომ რომ
უწყვეტი
, შემდეგ ვაიერშტრასის მეორე თეორემით ის აღწევს
მათი უდიდესი
და ყველაზე ნაკლებად
მნიშვნელობები ან უკიდურეს წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

1. მოდით
, მაშინ

2. მოდით
იმიტომ რომ
ან
, ან
მიაღწია უკიდურეს წერტილს
, მაგრამ ფერმას თეორემით
ქ.ე.დ.

თეორემა(ლაგრანჟი). დაუშვით ფუნქცია
უწყვეტი
და დიფერენცირებადი
, მაშინ არსებობს
ისეთივე როგორც
.

თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა:

იმიტომ რომ
, მაშინ სეკანტი ტანგენტის პარალელურია. ამრიგად, თეორემა ამბობს, რომ არსებობს სეკანტის პარალელი, რომელიც გადის A და B წერტილებზე.

მტკიცებულება. პუნქტების მეშვეობით A
და ბ
დახაზეთ სეკანტი AB. მისი განტოლება
განიხილეთ ფუნქცია

- მანძილი შესაბამის წერტილებს შორის გრაფიკზე და სეკანტზე AB.

1.
უწყვეტი
როგორც უწყვეტი ფუნქციების განსხვავება.

2.
დიფერენცირებადი
როგორც დიფერენცირებადი ფუნქციების განსხვავება.

3.

ნიშნავს,
აკმაყოფილებს როლის თეორემის პირობებს, ამიტომ არსებობს
ისეთივე როგორც

თეორემა დადასტურდა.

კომენტარი.ფორმულა ე.წ ლაგრანგის ფორმულა.

თეორემა(კოში). დაუშვით ფუნქციები
უწყვეტი
, დიფერენცირებადი
და
, მაშინ არის წერტილი
ისეთივე როგორც
.

მტკიცებულება. მოდით ვაჩვენოთ ეს
. თუ
, შემდეგ ფუნქცია
დააკმაყოფილებდა როლის თეორემის პირობას, ამიტომ იქნებოდა წერტილი
ისეთივე როგორც
არის პირობის წინააღმდეგობა. ნიშნავს,
და ფორმულის ორივე ნაწილი განსაზღვრულია. განვიხილოთ დამხმარე ფუნქცია.

უწყვეტი
, დიფერენცირებადი
და
, ანუ
აკმაყოფილებს როლის თეორემის პირობებს. მაშინ არის წერტილი
, სადაც
, მაგრამ

ქ.ე.დ.

დადასტურებული ფორმულა ე.წ კოშის ფორმულა.

L'Hopital-ის წესი(თეორემა L'Hopital-Bernoulli). დაუშვით ფუნქციები
უწყვეტი
, დიფერენცირებადი
,
და
. გარდა ამისა, არსებობს სასრული ან უსასრულო
.

მაშინ არის

მტკიცებულება. ვინაიდან პირობის მიხედვით
, შემდეგ განვსაზღვრავთ
წერტილში
, ვარაუდით
მერე
გახდეს უწყვეტი
. მოდით ვაჩვენოთ ეს

მოდი ვიჩვენოთ, რომ
მაშინ არის
ისეთივე როგორც
ფუნქციიდან გამომდინარე
ზე
აკმაყოფილებს როლის თეორემის პირობებს. მაგრამ პირობით
- წინააღმდეგობა. Ამიტომაც

. ფუნქციები
დააკმაყოფილოს კოშის თეორემის პირობები ნებისმიერ სეგმენტზე
, რომელიც შეიცავს
. მოდით დავწეროთ კოშის ფორმულა:

,
.

აქედან გამომდინარე გვაქვს:
, ვინაიდან თუ
, მაშინ
.

ბოლო ლიმიტში ცვლადის სახელის გადარქმევით, მივიღებთ საჭიროს:

შენიშვნა 1. L'Hopital-ის წესი ძალაში რჩება მაშინაც კი, როცა
და
. ეს საშუალებას გაძლევთ გამოავლინოთ არა მხოლოდ ფორმის გაურკვევლობა , არამედ ფორმის :

.

შენიშვნა 2. თუ L'Hopital წესის გამოყენების შემდეგ გაურკვევლობა არ გამოვლინდა, მაშინ ის კვლავ უნდა იქნას გამოყენებული.

მაგალითი.

კომენტარი 3 . L'Hopital-ის წესი არის უნივერსალური გზა გაურკვევლობების გამოსავლენად, მაგრამ არსებობს საზღვრები, რომლებიც შეიძლება გამოვლინდეს მხოლოდ ერთი ადრე შესწავლილი კონკრეტული ტექნიკის გამოყენებით.

მაგრამ აშკარად
, ვინაიდან მრიცხველის ხარისხი ტოლია მნიშვნელის ხარისხზე, ხოლო ზღვარი უდრის კოეფიციენტების თანაფარდობას უფრო მაღალ ხარისხებზე

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალური გამოხატულება იგივეა, იქნება ეს u და v დამოუკიდებელი ცვლადები თუ სხვა დამოუკიდებელი ცვლადების ფუნქციები.

მტკიცებულება ეფუძნება მთლიანი დიფერენციალური ფორმულას

ქ.ე.დ.

5.ფუნქციის ჯამური წარმოებულიარის ტრაექტორიის გასწვრივ ფუნქციის დროის წარმოებული. ფუნქციას ჰქონდეს ფორმა და მისი არგუმენტები დროზე იყოს დამოკიდებული: . შემდეგ სად არის ტრაექტორიის განმსაზღვრელი პარამეტრები. ფუნქციის მთლიანი წარმოებული (წერტილში) ამ შემთხვევაში უდრის ნაწილობრივი დროის წარმოებულს (შესაბამის წერტილში) და შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:

სადაც - ნაწილობრივი წარმოებულები. აღსანიშნავია, რომ აღნიშვნა პირობითია და არანაირი კავშირი არ აქვს დიფერენციალთა დაყოფასთან. გარდა ამისა, ფუნქციის მთლიანი წარმოებული დამოკიდებულია არა მხოლოდ თავად ფუნქციაზე, არამედ ტრაექტორიაზეც.

მაგალითად, ფუნქციის მთლიანი წარმოებული:

აქ არ არსებობს, რადგან თავისთავად („აშკარად“) არ არის დამოკიდებული .

სრული დიფერენციალი

სრული დიფერენციალი

რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადის f (x, y, z, ...) ფუნქციები - გამოხატულება

იმ შემთხვევაში, როდესაც იგი განსხვავდება სრული ნამატისგან

Δf = f(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f(x, y, z, ...)

უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობამდე შედარებით

ზედაპირის ტანგენტური სიბრტყე

(X, Y, Z - ტანგენტის სიბრტყეზე წერტილის მიმდინარე კოორდინატები; - ამ წერტილის რადიუსის ვექტორი; x, y, z - ტანგენტის წერტილის კოორდინატები (შესაბამისად ნორმალური); - ტანგენტის ვექტორები კოორდინატთა ხაზებზე, შესაბამისად v = const, u = const ; )

1.

2.

3.

ზედაპირი ნორმალურია

3.

4.

დიფერენციალური კონცეფცია. დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა. პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა.

განვიხილოთ ფუნქცია y = f(x) დიფერენცირებადი მოცემულ x წერტილში. მისი ნამატი Dy შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

სადაც პირველი წევრი წრფივია Dx-ის მიმართ, ხოლო მეორე წევრი Dx = 0 წერტილში არის Dx-ზე მაღალი რიგის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია. თუ f "(x) No. 0, მაშინ პირველი წევრი არის ნამატის Dy ძირითადი ნაწილი. ნამატის ეს ძირითადი ნაწილი არის არგუმენტის Dx წრფივი ფუნქცია და ეწოდება y \u003d f ფუნქციის დიფერენციალი. x). თუ f "(x) \u003d 0, მაშინ დიფერენციალური ფუნქცია განმარტებით ითვლება ნულამდე.

განმარტება 5 (დიფერენციალური). y = f(x) ფუნქციის დიფერენციალი არის Dy ნამატის ძირითადი ნაწილი, წრფივი Dx-ის მიმართ, წარმოებულის ნამრავლისა და დამოუკიდებელი ცვლადის ნამატის ტოლი.

გაითვალისწინეთ, რომ დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალი უდრის ამ ცვლადის ნამატს dx = Dx. ამიტომ, დიფერენციალური ფორმულა ჩვეულებრივ იწერება შემდეგი ფორმით: dy \u003d f "(x) dx. (4)

მოდით გავარკვიოთ, რა არის დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა. აიღეთ თვითნებური წერტილი M(x, y) ფუნქციის y = f(x) გრაფიკზე (ნახ. 21.). დახაზეთ მრუდის ტანგენსი y = f(x) M წერტილში, რომელიც ქმნის f კუთხეს OX ღერძის დადებითი მიმართულებით, ანუ f "(x) = tgf. MKN მართკუთხა სამკუთხედიდან.

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

ანუ dy = KN.

ამრიგად, ფუნქციის დიფერენციალი არის y = f(x) ფუნქციის გრაფიკზე გამოსახული ტანგენტის ორდინატების ნამატი მოცემულ წერტილში, როდესაც x იზრდება Dx-ით.

ჩვენ აღვნიშნავთ დიფერენციალის ძირითად თვისებებს, რომლებიც მსგავსია წარმოებულის თვისებებთან.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

მოდით აღვნიშნოთ კიდევ ერთი თვისება, რომელიც აქვს დიფერენციალს, მაგრამ წარმოებულს არა. განვიხილოთ ფუნქცია y = f(u), სადაც u = f (x), ანუ განვიხილოთ რთული ფუნქცია y = f(f(x)). თუ თითოეული f და f ფუნქცია დიფერენცირებადია, მაშინ რთული ფუნქციის წარმოებული, თეორემის მიხედვით (3) უდრის y" = f"(u) u". მაშინ ფუნქციის დიფერენციალი

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

ვინაიდან u "dx = du. ანუ, dy = f" (u) du. (5)

ბოლო ტოლობა ნიშნავს, რომ დიფერენციალური ფორმულა არ იცვლება, თუ x-ის ფუნქციის ნაცვლად განვიხილავთ u ცვლადის ფუნქციას. დიფერენციალის ამ თვისებას პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა ეწოდება.

კომენტარი. გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულაში (4) dx = Dx, ხოლო ფორმულაში (5) du არის მხოლოდ u ფუნქციის ნაზრდის წრფივი ნაწილი.

ინტეგრალური კალკულუსი არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ინტეგრალების გამოთვლის თვისებებსა და მეთოდებს და მათ გამოყენებას. Მე და. მჭიდროდ არის დაკავშირებული დიფერენციალურ გამოთვლებთან და მასთან ერთად წარმოადგენს ერთ-ერთ ძირითად ნაწილს

ფუნქციის დიფერენციალი

ფუნქციას ეძახიან ერთ წერტილში დიფერენცირებადი, ლიმიტირება ნაკრებისთვის ე, თუ მისი ნამატი Δ ვ(x 0) არგუმენტის ნამატის შესაბამისი x, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

Δ ვ(x 0) = ა(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

სადაც ω (x - x 0) = შესახებ(x - x 0) ზე x → x 0 .

ჩვენება, ე.წ დიფერენციალურიფუნქციები ვწერტილში x 0 და მნიშვნელობა ა(x 0)თ - დიფერენციალური მნიშვნელობაამ ეტაპზე.

ფუნქციის დიფერენციალური მნიშვნელობისთვის ვმიღებული აღნიშვნა დფან დფ(x 0) თუ გინდათ გაიგოთ, რომელ მომენტში დაითვალეს. Ამგვარად,

დფ(x 0) = ა(x 0)თ.

გაყოფა (1)-ზე x - x 0 და დამიზნება xრომ x 0, მივიღებთ ა(x 0) = ვ"(x 0). ამიტომ გვაქვს

დფ(x 0) = ვ"(x 0)თ. (2)

(1) და (2) შედარებისას ჩვენ ვხედავთ, რომ დიფერენციალური მნიშვნელობა დფ(x 0) (როდესაც ვ"(x 0) ≠ 0) არის ფუნქციის ნაზრდის ძირითადი ნაწილი ვწერტილში x 0 , წრფივი და ერთგვაროვანი ამავე დროს ნამატის მიმართ თ = x - x 0 .

ფუნქციის დიფერენციალურობის კრიტერიუმი

ფუნქციის მიზნით ვიყო დიფერენცირებადი მოცემულ მომენტში x 0, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მას ჰქონდეს სასრულ წარმოებული ამ ეტაპზე.

პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა

Თუ xარის დამოუკიდებელი ცვლადი, მაშინ dx = x - x 0 (ფიქსირებული ზრდა). ამ შემთხვევაში გვაქვს

დფ(x 0) = ვ"(x 0)dx. (3)

Თუ x = φ (ტ) არის დიფერენცირებადი ფუნქცია, მაშინ dx = φ" (ტ 0)dt. შესაბამისად,