• თვისება 1 (სისწორის შენარჩუნება). გადაადგილებისას, სწორ ხაზზე მყოფი სამი წერტილი გადადის სწორ ხაზზე მდებარე სამ წერტილში, ხოლო ორს შორის მდებარე წერტილი გადადის წერტილში, რომელიც მდებარეობს დანარჩენი ორი წერტილის გამოსახულებებს შორის (შენარჩუნებულია მათი ურთიერთ განლაგების რიგი). .

• თვისება 2. მოძრაობის სეგმენტის გამოსახულება არის სეგმენტი.

• თვისება 3. სწორი ხაზის გამოსახულება მოძრაობაში არის სწორი ხაზი, ხოლო სხივის გამოსახულება არის სხივი.

• თვისება 4. გადაადგილებისას სამკუთხედის გამოსახულება არის ტოლი სამკუთხედი, სიბრტყის გამოსახულება არის სიბრტყე და პარალელური სიბრტყეები გამოსახულია პარალელურ სიბრტყეებზე, ნახევარსიბრტყის გამოსახულება არის ნახევრად სიბრტყე.

• თვისება 5. გადაადგილებისას ტეტრაედნის გამოსახულება არის ტეტრაედონი, სივრცის გამოსახულება არის მთელი სივრცე, ნახევარსივრცის გამოსახულება არის ნახევარსივრცე.

• თვისება 6. გადაადგილებისას შენარჩუნებულია კუთხეები, ე.ი. ყველა კუთხე გამოსახულია იმავე ტიპისა და სიდიდის კუთხით. იგივე ეხება დიედრალურ კუთხეებს.

• განმარტება. პარალელური გადაცემა, ან, მოკლედ, ფიგურის გადაცემა, არის მისი ჩვენება, რომელშიც მისი ყველა წერტილი გადაადგილებულია იმავე მიმართულებით თანაბარი მანძილით, ე.ი. თარგმნისას, ფიგურის ყოველი ორი X და Y წერტილი აისახება ისეთ წერტილებზე X" და Y" რომ XX" = YY".

• ძირითადი გადაცემის ქონება:

• პარალელური თარგმანი ინარჩუნებს მანძილებს და მიმართულებებს, ე.ი. X"Y" = XY.

• აქედან გამომდინარეობს, რომ პარალელური გადაცემა არის მოძრაობა, რომელიც ინარჩუნებს მიმართულებას და პირიქით, მოძრაობა, რომელიც ინარჩუნებს მიმართულებას, არის პარალელური გადაცემა.

• ასევე ამ განცხადებებიდან გამომდინარეობს, რომ პარალელური თარგმანების კომპოზიცია არის პარალელური თარგმანი.

• ფიგურის პარალელური თარგმნა მითითებულია შესაბამისი წერტილის ერთი წყვილის მითითებით. მაგალითად, თუ მითითებულია, რომელ A წერტილამდე მიდის მოცემული A წერტილი, მაშინ ეს ტრანსლაცია მოცემულია ვექტორით AA, და ეს ნიშნავს, რომ ყველა წერტილი ერთი და იგივე ვექტორით არის გადაადგილებული, ე.ი. XX" = AA" ყველა X პუნქტისთვის.

• ფიგურის ცენტრალური სიმეტრია O-სთან მიმართებაში არის ამ ფიგურის ისეთი გამოსახვა, რომელიც მის თითოეულ წერტილს უკავშირებს O-ს მიმართ სიმეტრიულ წერტილს.

• მთავარი თვისება: ცენტრალური სიმეტრია ინარჩუნებს მანძილს და ცვლის მიმართულებას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, F ფიგურის ნებისმიერი X და Y წერტილი შეესაბამება X" და Y" წერტილებს, რომ X"Y" = -XY.

• აქედან გამომდინარეობს, რომ ცენტრალური სიმეტრია არის მოძრაობა, რომელიც ცვლის მიმართულებას საპირისპიროდ და პირიქით, მოძრაობა, რომელიც მიმართულებას ცვლის საპირისპიროდ არის ცენტრალური სიმეტრია.

• ფიგურის ცენტრალური სიმეტრია მითითებულია არსებული წერტილების ერთი წყვილის მითითებით: თუ A წერტილი გამოსახულია A-ზე, მაშინ სიმეტრიის ცენტრი არის AA სეგმენტის შუა წერტილი”.

• ფიგურის ასახვას, რომელშიც მისი თითოეული წერტილი შეესაბამება მისთვის სიმეტრიულ წერტილს მოცემული სიბრტყის მიმართ, ეწოდება ფიგურის ასახვას ამ სიბრტყეში (ან სარკის სიმეტრია).

• წერტილები A და A" სიმეტრიულად ითვლება სიბრტყის მიმართ, თუ სეგმენტი AA" ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია და ორად არის გაყოფილი მასზე. სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი (მიიჩნეულია თავისთვის სიმეტრიულად ამ სიბრტყის მიმართ.

• თეორემა 1. სიბრტყეში ასახვა ინარჩუნებს დისტანციებს და, შესაბამისად, არის მოძრაობა.

• თეორემა 2. მოძრაობა, რომელშიც გარკვეული სიბრტყის ყველა წერტილი ფიქსირდება, არის ასახვა ამ სიბრტყეში ან იდენტური გამოსახვა.

• სარკის სიმეტრია მითითებულია შესაბამისი წერტილების ერთი წყვილის მითითებით, რომლებიც არ დევს სიმეტრიის სიბრტყეში: სიმეტრიის სიბრტყე გადის ამ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის შუაზე, მასზე პერპენდიკულარულად.

• ფიგურას ეწოდება რევოლუციის ფიგურა, თუ არსებობს ასეთი სწორი ხაზი, ნებისმიერი ბრუნვა, რომლის ირგვლივ აერთიანებს ფიგურას საკუთარ თავთან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასახავს მას საკუთარ თავზე. ასეთ სწორ ხაზს ფიგურის ბრუნვის ღერძი ეწოდება. რევოლუციის უმარტივესი სხეულები: ბურთი, მარჯვენა წრიული ცილინდრი, მარჯვენა წრიული კონუსი.

სწორი ხაზის გარშემო შემობრუნების განსაკუთრებული შემთხვევაა შემობრუნება 180-ით (. a წრფის ირგვლივ 180-ით მობრუნებისას (თითოეული A წერტილი მიდის ისეთ A წერტილამდე, რომ წრფე a იყოს AA სეგმენტზე პერპენდიკულარული და კვეთს მას. შუაში. ასეთი წერტილები A და A "ამბობენ, რომ ისინი სიმეტრიულია a ღერძის მიმართ. ამიტომ ბრუნვას 180 (დაახლოებით სწორი ხაზი ეწოდება ღერძულ სიმეტრიას სივრცეში.

მოძრაობა

თვითმფრინავის რუკის დახატვა საკუთარ თავზე

• სიბრტყის თითოეული წერტილი დაკავშირებულია იმავე სიბრტყის რაღაც წერტილთან, ხოლო სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი ასოცირდება რაღაც წერტილთან. მერე ამას ამბობენ თვითმფრინავის რუკების დახატვა საკუთარ თავზე.

• ღერძული სიმეტრია არის სიბრტყის რუკა საკუთარ თავზე.

• ცენტრალური სიმეტრია ასევე არის სიბრტყის რუკა საკუთარ თავზე.

მოძრაობის კონცეფცია

• ღერძულ სიმეტრიას აქვს მნიშვნელოვანი თვისება - ეს არის სიბრტყე-თვითმმართველობის რუკა, რომელიც ინარჩუნებს მანძილს წერტილებს შორის.

• სიბრტყის მოძრაობა არის სიბრტყის რუქა თავის თავზე, მანძილის შენარჩუნებით.

• სიბრტყის ცენტრალური სიმეტრია ასევე არის სიბრტყის რუქა თავის თავზე

თეორემა #1

• გადაადგილებისას სეგმენტი ნაჩვენებია სეგმენტზე.

თეორემა #1

• მოცემულია: სეგმენტი MN.

• დადასტურება: 1.MN ნაჩვენებია მოცემულ მოძრაობაზე M1N1 ;2.P ნაჩვენებია P1-ში;

მტკიცებულება

• I.1)MP+PN=MN(მდგომარეობიდან)

• 2) იმიტომ მოძრაობისას მანძილი ინახება =>M1N1=MN, M1P1=MP და N1P1=NP (1)

• =>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1 ეკუთვნის M1N1 =>MN წერტილები ნაჩვენებია M1N1 სეგმენტში

• II დავუშვათ P1 თვითნებური წერტილი M1N1 და წერტილი P მოცემული მოძრაობისთვის გამოსახულია P1-ზე.

• ტოლობის მიმართებიდან (1) და M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>P ეკუთვნის MN.

შედეგი

• No1 თეორემადან გამომდინარეობს, რომ გადაადგილებისას სამკუთხედის თითოეული გვერდი გამოსახულია თანაბარ სეგმენტზე => სამკუთხედი გამოსახულია თანაბარი გვერდების მქონე სამკუთხედზე, ანუ გადაადგილებისას ტოლ სამკუთხედზე. თეორემა No1-დან გამომდინარეობს, რომ გადაადგილებისას:

• 1) სწორი ხაზი გამოსახულია სწორ ხაზზე;

• 2) სხივ-სხივი;

• 3)კუთხე - მის ტოლი კუთხე.

გადაფარვები და მოძრაობები

• ფიგურა Ф უდრის ფიგურას Ф1, თუ ფიგურა Ф შეიძლება გაერთიანდეს ფიგურასთან Ф1. ფ1 ფიგურაზე Ф ფიგურის დაწესებისას ვგულისხმობთ ფიგურის Ф ფიგურას Ф1-ზე. , არა მხოლოდ Ф ფიგურის წერტილები, არამედ სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი დახაზულია სიბრტყის გარკვეულ წერტილზე, ე.ი. გადაფარვა არის სიბრტყის რუქა თავის თავზე.

• გადაფარვები არის სიბრტყის ისეთი გამოსახულებები საკუთარ თავზე, რომლებსაც აქვთ აქსიომებში გამოხატული თვისებები. ისინი საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ დაკისრების ყველა ის თვისება, რომელსაც ვიზუალურად წარმოვიდგენთ და რომელსაც ვიყენებთ პრობლემების გადაჭრისას

თეორემა #2

• გადაფარვისას სხვადასხვა პუნქტები ასახულია სხვადასხვა წერტილზე.

მტკიცებულება

დავუშვათ, რომ ეს ასე არ არის, ე.ი. გარკვეულ პოზიციაზე ნაჩვენებია A და B რამდენიმე წერტილი, Ф2=Ф1-ში, ანუ გარკვეული გადახურვით, Ф2 ნაჩვენებია Ф1-ში. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან გადაფარვა არის დისპლეი და ნებისმიერი დისპლეით, სიბრტყის მხოლოდ ერთი წერტილი ხდება C =>-ის ხაზის გადაფარვისას, სეგმენტი ნაჩვენებია თანაბარ სეგმენტზე. მოდით, ზედმიწევნით, AB სეგმენტის A და B ბოლოები გამოჩნდეს A1 და B1-ში. შემდეგ, AB აისახება A1 B1 => AB = A1B1. ვინაიდან თანაბარ სეგმენტებს აქვთ თანაბარი სიგრძე, მაშინ გადაფარვა არის სიბრტყის რუკა საკუთარ თავზე, მანძილის შენარჩუნებით, ე.ი. ნებისმიერი გადახურვა არის თვითმფრინავის მოძრაობა.

თეორემა #3

• ნებისმიერი მოძრაობა გადაფარვაა.

თეორემა #3

• მოცემული: g-სამკუთხედის თვითნებური მოძრაობა ABC ასახავს სამკუთხედს A1 B1 C1

• f- გადაფარვა, რომელშიც A,B,C წერტილები ნაჩვენებია A1 B1 C1-ში.

• დაამტკიცე: g იგივეა, რაც f.

მტკიცებულება

დავუშვათ, რომ g არ ემთხვევა f=>-ს სიბრტყეზე არის მინიმუმ ერთი წერტილი M, რომელიც, როდესაც g მოძრაობს, აისახება M1-ზე, ხოლო როდესაც f არის ზედმეტად, M2-ზე. იმიტომ რომ მანძილი შენარჩუნებულია f და g გამოსახულებების ქვეშ, შემდეგ AM=A1M1, AM=A1M2, ე.ი. A1 წერტილი თანაბრად დაშორებულია M1-დან და M2=>A1,B1 და C1 დევს M1 M2-ის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე, მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან A1B1C1 სამკუთხედის წვეროები არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე.ამგვარად g ემთხვევა f-ს, ე.ი. მოძრაობა g არის გადაფარვა.

შედეგი

• გადაადგილებისას ნებისმიერი ფიგურა აისახება თანაბარ ფიგურაზე.

პარალელური გადაცემა

• მოდით a იყოს მოცემული ვექტორი. პარალელური გადაცემა a ვექტორზე ეწოდება სიბრტყის დახატვა საკუთარ თავზე, რომელშიც ყოველი წერტილი M არის გამოსახული ისეთ წერტილზე M1, რომ ვექტორი MM1 ტოლია ვექტორის a-ს.

თეორემა #4

• პარალელური თარგმანი მოძრაობაა, ე.ი. თვითმმართველობის რუკაზე, რომელიც ინარჩუნებს დისტანციებს.

თეორემა #4

• მოცემული: a-ზე პარალელური გადაცემით, M და N ასახულია M1-ზე და N1-ზე.

• დამტკიცება:MN=M1N1.

მტკიცებულება

• იმიტომ რომ MM1=a, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 და MM1=NN1 => MM1NN1-პარალელოგრამა =>MN=M1N1, ე.ი. მანძილი M-სა და N-ს შორის = მანძილი M1-სა და N1-ს შორის.

• ამრიგად, პარალელური ტრანსლაცია ინარჩუნებს მანძილს წერტილებს შორის და, შესაბამისად, წარმოადგენს მოძრაობას.

Მობრუნება

თვითმფრინავის შემობრუნებით O წერტილის გარშემო კუთხით აეწოდება სიბრტყის საკუთარ თავზე გამოსახვა, რომელშიც ყოველი წერტილი M არის გამოსახული ისეთ წერტილზე M1, რომ OM = OM1 და კუთხე MOM1 უდრის. ა.ამ შემთხვევაში წერტილი O რჩება ადგილზე, ე.ი. ნაჩვენებია თავისთავად და ყველა სხვა წერტილი ბრუნავს O წერტილის გარშემო იმავე მიმართულებით - საათის ისრის მიმართულებით ან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

თეორემა #5

• შემობრუნება არის მოძრაობა, ე.ი. თვითმფრინავის მანძილის შენახვა საკუთარ თავზე.

თეორემა #5

• მოცემულია: O - ბრუნვის ცენტრი დ-საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ბრუნვის კუთხე

• დადასტურება: MN=M1N1

მტკიცებულება

• დავუშვათ, რომ ეს ბრუნვა ასახავს M და N-ს M1 და N1-ს.

• სამკუთხედი OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, კუთხე MON=კუთხე M1ON1) ამ ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ MN=M1N1, ე.ი. მანძილი M-სა და N-ს შორის = მანძილი M1-სა და N1-ს შორის.

• როტაცია ინარჩუნებს მანძილს წერტილებს შორის და, შესაბამისად, წარმოადგენს მოძრაობას.

მოცემულია: კუთხე AOB და კუთხე A1O1B1.

• მოცემულია: კუთხე AOB და კუთხე A1O1B1.

• დაამტკიცეთ, რომ გადაადგილებისას კუთხე გამოსახულია მის თანაბარ კუთხესთან.

გადაწყვეტილება

მოცემული მოძრაობისას AOB კუთხე აისახოს A1О1В1 კუთხეზე, ხოლო А.О.в წერტილები A1, О1, В1 წერტილებზე შესაბამისად. ვინაიდან მოძრაობის დროს დისტანციები შენარჩუნებულია, შემდეგ OA \u003d O1A1, OB \u003d O1B1. თუ კუთხე AOB არ არის განვითარებული, მაშინ სამკუთხედები AOB და A1O1B1 ტოლია სამი მხრიდან და, შესაბამისად, კუთხე AOB \u003d კუთხე A1O1v1. თუ კუთხე AOB განვითარებულია, მაშინ განვითარებულია კუთხე A1O1B1, ამიტომ ისინი ტოლია.

• დავალება #2

გადაწყვეტილება

• სამკუთხედები ABC და A1B1C1 ტოლია სამ მხარეს. მაშასადამე, არსებობს გადახურვა, ანუ მოძრაობა, რომელშიც A, B და C წერტილები აისახება შესაბამისად A1, B1 და C1 წერტილებზე. ეს მოძრაობა არის ერთადერთი მოძრაობა, რომელშიც A, B და C წერტილები აისახება A1B1 და C1 წერტილებთან. .

• დავალება ნომერი 3. დახაზეთ სამკუთხედი ABC, ვექტორი MM1, რომელიც არ არის პარალელურად სამკუთხედის არცერთ მხარეს და ვექტორი a, რომელიც პარალელურია AC გვერდის. ააგეთ სამკუთხედი A1B1C1, რომელიც მიიღება ABC სამკუთხედიდან პარალელური გადაცემით: ა) ვექტორზე MM1; ბ) ვექტორი ა.

• მოცემული:

• გადაწყვეტილება

ბ) გადაწყვეტილება

• ბ) გადაწყვეტილება

სხვა პრეზენტაციების შეჯამება

"ტრაპეციის საშუალო ხაზი"- ტრაპეციის შუა ხაზი. A. MN არის ABCD ტრაპეციის შუა ხაზი. სამკუთხედში შეგიძლიათ ააწყოთ ... შუა ხაზები. სამკუთხედის შუა ხაზს აქვს თვისება … MN = ? AB. ტრაპეციის შუა ხაზის განმარტება. თეორემა ტრაპეციის შუა ხაზზე. D. განაგრძეთ წინადადება: MN || AB.

"ელიფსის განტოლება"- ავტორები: გოლოლობოვა ო. მე-9 კლასი ნეგროვა ო. მე-9 კლასი დოლგოვა კ. მე-9 კლასი. ელიფსის განმარტება. როგორ არის დაკავშირებული ელიფსის თვისებები სხვა „აღსანიშნავი“ მრუდების თვისებებთან? 2. გამოვიყვანეთ ელიფსის კანონიკური განტოლება. კვლევის პროგრესი. კვლევის შედეგები: 4. ელიფსის ძირითადი პარამეტრების დადგენა: მიზანი: ელიფსის ძირითადი პარამეტრების შესწავლა. 3. ააგეს ელიფსი.

"თალესის თეორემა"- ითვლება, რომ თალესმა პირველმა შეისწავლა მზის მოძრაობა ციურ სფეროში. თალესის თეორემა. გეომეტრიულ თეორემას თალესის სახელი ჰქვია. მოდით გავავლოთ EF წრფე B2 წერტილის A1A3 წრფის პარალელურად. ასტრონომია. გეომეტრია. პარალელოგრამის თვისებით A1A2=FB2, A2A3=B2E. მილესიელი მატერიალისტი. და რადგან A1A2=A2A3, მაშინ FB2=B2E. თალესი ფართოდ ცნობილია როგორც გეომეტრი.

"პრობლემები წრისა და წრის შესახებ"- 2. პასუხი: S=25? სმ2; C=10? იხილეთ პრობლემის გადაჭრა. 1. წრის გარშემოწერილობა და ფართობი.

"რეგულარული პოლიგონების გეომეტრია"- ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედის შესახებ, შეგიძლიათ აღწეროთ წრე და მხოლოდ ერთი. ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას რეგულარული n-გონების კუთხის გამოსათვლელად. აიღეთ A1A2 მრავალკუთხედის ნებისმიერი სამი წვერო...An, მაგალითად A1, A2, A3. ახლა დავამტკიცოთ ასეთი წრის უნიკალურობა. რეგულარული მრავალკუთხედის ცენტრი. თეორემა რეგულარული მრავალკუთხედის ცენტრში. ასეთი წრის უნიკალურობა გამომდინარეობს სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის უნიკალურობიდან.

"მოძრაობის გეომეტრია 9 კლასი"- ღერძული. ღერძული სიმეტრია. ცენტრალური და ღერძული სიმეტრია. თეორემა. მოძრაობების სახეები. Მობრუნება. გადაფარვა. ნებისმიერი მოძრაობა გადაფარვაა. ღერძული სიმეტრია ცენტრალური სიმეტრია პარალელური ტრანსლაცია ბრუნვა. პარალელური გადაცემა. მოძრაობა. ცენტრალური სიმეტრია. მოძრაობის კონცეფცია. გეომეტრია მე-9 კლასი. Მთავარი. გადაადგილებისას სეგმენტი ნაჩვენებია სეგმენტზე.

თვითმფრინავის რუკის დახატვა საკუთარ თავზე

განმარტება 1

თვითმფრინავის რუკის დახატვა საკუთარ თავზე- ეს არის ასეთი შესაბამისობა იმავე სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის სიბრტყის თითოეულ წერტილთან, რომელშიც სიბრტყის თითოეული წერტილი ასოცირდება ნებისმიერ წერტილთან.

სიბრტყის საკუთარ თავზე გამოსახვის მაგალითები შეიძლება იყოს ღერძული სიმეტრია (ნახ. 1ა) და ცენტრალური სიმეტრია (ნახ. 1ბ).

სურათი 1. ა) ღერძული სიმეტრია; ბ) ცენტრალური სიმეტრია

მოძრაობის კონცეფცია

ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ მოძრაობის განმარტებას.

განმარტება 2

სიბრტყის მოძრაობა არის სიბრტყის ისეთი გამოსახვა საკუთარ თავზე, რომელშიც დაცულია დისტანციები (ნახ. 2).

სურათი 2. მოძრაობის მაგალითი

მოძრაობის ცნებასთან დაკავშირებული თეორემები

მტკიცებულება.

მოდით, მოგვცეს სეგმენტი $MN$. მოდით, წერტილი $M$ გამოსახული იყოს ამ სიბრტყის $M_1$ წერტილთან სიბრტყის მოცემული მოძრაობისთვის, ხოლო $N$ წერტილი იყოს გამოსახული ამ სიბრტყის $N_1$ წერტილთან. აიღეთ $MN$ სეგმენტის თვითნებური წერტილი $P$. დაე, ის იყოს გამოსახული ამ სიბრტყის $\ P_1$ წერტილამდე (ნახ. 3).

ნახაზი 3. გადაადგილებისას სეგმენტის სეგმენტზე გადატანა

ვინაიდან წერტილი $P$ ეკუთვნის სეგმენტს $MN$, თანასწორობა

ვინაიდან მოძრაობის განმარტებით დისტანციები შენარჩუნებულია, მაშინ

აქედან გამომდინარე

აქედან გამომდინარე, წერტილი $P_1$ დევს სეგმენტზე $M_1N_1$. $P_1$ წერტილის არჩევის თვითნებობის გამო, მივიღებთ, რომ $MN$ სეგმენტი გადაიტანება $M_1N_1$ სეგმენტზე მოძრაობის დროს. ამ სეგმენტების თანასწორობა დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს მოძრაობის განსაზღვრებიდან.

თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 2

გადაადგილებისას სამკუთხედი გამოსახულია თანაბარ სამკუთხედზე.

მტკიცებულება.

მოდით, მოგვცეს სამკუთხედი $ABC$. თეორემა 1-ით $AB$ სეგმენტი გადადის $A_1B_1$ სეგმენტში, $AC$ სეგმენტი გადადის $A_1C_1$ სეგმენტში, $BC$ სეგმენტი გადადის $B_1C_1$ სეგმენტში და $(AB=A) _1B_1$, $(AC =A)_1C_1$, $(BC=B)_1C_1$. ამიტომ სამკუთხედების ტოლობის III კრიტერიუმის მიხედვით სამკუთხედი $ABC$ გადადის მის ტოლ სამკუთხედში $A_1B_1C_1$.

თეორემა დადასტურდა.

ანალოგიურად, შეიძლება ამის დამტკიცება სხივი გამოსახულია სხივთან, კუთხე კი მის თანაბარ კუთხესთან.

შემდეგი თეორემის ჩამოსაყალიბებლად, ჯერ შემოგთავაზებთ შემდეგ განმარტებას.

განმარტება 3

გადაფარვასიბრტყის ისეთ მოძრაობას უწოდებენ, რომელსაც აქვს შემდეგი აქსიომები:

1. თუ მოძრაობის დროს ორი სეგმენტის ბოლოები ემთხვევა, მაშინ თავად სეგმენტები ემთხვევა.
2. ნებისმიერი სხივის დასაწყისიდან შეგიძლიათ გადადოთ მოცემული სეგმენტის ტოლი სეგმენტი და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.
3. ნებისმიერი სხივის ნებისმიერ ნახევრად სიბრტყეში შეიძლება გამოვყოთ მოცემული გაშლილი კუთხის ტოლი კუთხე და მხოლოდ ერთი.
4. ნებისმიერი ფიგურა უდრის თავის თავს.
5. თუ ფიგურა 1 უდრის ფიგურას 2-ს, მაშინ ფიგურა 2 უდრის ფიგურას 1-ს.
6. თუ ფიგურა 1 უდრის ფიგურას 2-ს, ხოლო ფიგურა 2 უდრის ფიგურას 3-ს, მაშინ ფიგურა 1 უდრის ფიგურას 3-ს.

თეორემა 3

ნებისმიერი მოძრაობა გადაფარვაა.

მტკიცებულება.

განვიხილოთ $ABC$ სამკუთხედის $g$ მოძრაობა. თეორემა 2-ით, როდესაც $g$ მოძრაობს, სამკუთხედი $ABC$ გადადის მის ტოლ სამკუთხედში $A_1B_1C_1$. თანაბარი სამკუთხედების განმარტებით, მივიღებთ, რომ არის $f$ გადაფარვა, რომელიც ასახავს $A,B\ და\ C$ წერტილებს შესაბამისად $A_1,B_1\ და\ C_1$ წერტილებს. მოდით დავამტკიცოთ, რომ $g$ ემთხვევა $f$-ს.

დავუშვათ, რომ პირიქით, $g$ არ არის იგივე, რაც $f$. შემდეგ არის მინიმუმ ერთი წერტილი $M$, რომელიც, როდესაც $g$ მოძრაობს, მიდის $M_1$ წერტილამდე, ხოლო როდესაც $f$ არის ზედმეტად, ის მიდის $M_2$ წერტილამდე. ვინაიდან დისტანციები შენარჩუნებულია $f$ და $g$, ჩვენ გვაქვს

ანუ $A_1$ წერტილი თანაბარი მანძილითაა დაშორებული $M_1$ და $M_2$ წერტილებისგან. ანალოგიურად, მივიღებთ, რომ $B_1\ და\ C_1$ წერტილები თანაბარი მანძილით არის $M_1$ და $M_2$ წერტილებისგან. აქედან გამომდინარე, წერტილები $A_1,B_1\ და\ C_1$ დევს $M_1M_2$ სეგმენტის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე და გადის მის ცენტრში. ეს შეუძლებელია, რადგან წერტილები $A_1,B_1\ და\ C_1$ არ დევს იმავე ხაზზე. ამიტომ, $g$-ის მოძრაობა ემთხვევა $f$-ის დაწესებას.

თეორემა დადასტურდა.

ამოცანის მაგალითი მოძრაობის კონცეფციაზე

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ გადაადგილებისას კუთხე გამოსახულია მის თანაბარ კუთხესთან.

მტკიცებულება.

მოდით, მოგვცეს კუთხე $AOB$. მოდით, წერტილები $A,\ O\ და\ B$ აისახოს $A_1,\ O_1\ და\ B_1$ წერტილებზე მოცემული მოძრაობისთვის. თეორემა 2-ით მივიღებთ, რომ სამკუთხედი $AOB$ გამოსახულია სამკუთხედზე $A_1O_1B_1$ და ეს სამკუთხედები ერთმანეთის ტოლია. ამიტომ, $\კუთხე AOB=\კუთხე A_1O_1B_1$.