ალგებრულ გამონათქვამს, რომლის ჩანაწერში შეკრების, გამოკლების და გამრავლების ოპერაციებთან ერთად, ასევე გამოიყენება დაყოფა ლიტერატურულ გამონათქვამებად, ეწოდება წილადი ალგებრული გამოხატულება. ასეთია, მაგალითად, გამონათქვამები
ალგებრულ წილადს ვუწოდებთ ალგებრულ გამოსახულებას, რომელსაც აქვს ორი მთელი ალგებრული გამონათქვამის (მაგალითად, მონომების ან მრავალწევრების) გაყოფის ფორმა. ასეთია, მაგალითად, გამონათქვამები
გამოთქმებიდან მესამე).
წილადი ალგებრული გამონათქვამების იდენტობის გარდაქმნები უმეტესწილად გამიზნულია მათი ალგებრული წილადის სახით წარმოსაჩენად. საერთო მნიშვნელის საპოვნელად გამოიყენება წილადების - ტერმინების მნიშვნელების ფაქტორიზაცია მათი უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად. ალგებრული წილადების შემცირებისას შეიძლება დაირღვეს გამონათქვამების მკაცრი იდენტურობა: აუცილებელია გამოირიცხოს რაოდენობების მნიშვნელობები, რომლებზეც ქრება ფაქტორი, რომლითაც ხდება შემცირება.
მოვიყვანოთ წილადი ალგებრული გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნების მაგალითები.
მაგალითი 1: გამოხატვის გამარტივება
ყველა ტერმინი შეიძლება შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე (მოხერხებულია ნიშნის შეცვლა ბოლო ტერმინის მნიშვნელში და მის წინ ნიშანში):
ჩვენი გამოხატულება უდრის ერთს ყველა მნიშვნელობისთვის ამ მნიშვნელობების გარდა, ის არ არის განსაზღვრული და წილადის შემცირება უკანონოა).
მაგალითი 2. გამოთქმის წარმოდგენა ალგებრული წილადის სახით
გადაწყვეტილება. გამოთქმა შეიძლება მივიღოთ როგორც საერთო მნიშვნელი. თანმიმდევრულად ვპოულობთ:
Სავარჯიშოები
1. იპოვეთ ალგებრული გამონათქვამების მნიშვნელობები პარამეტრების მითითებული მნიშვნელობებისთვის:
2. ფაქტორიზაცია.
ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრის ტერმინებს მრავალწევრის წევრები ეწოდება. მონონომები ასევე მოიხსენიება როგორც მრავალწევრები, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.
მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.
ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს სტანდარტული ფორმის მონომიებად:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის პოლინომი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.
უკან მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ასე რომ, ბინომს \(12a^2b - 7b \) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6 \) აქვს მეორე.
ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.
ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:
თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.
თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.
მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).
გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეიძლება მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის გადაქცევა (გამარტივება) მრავალწევრად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.
ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.
მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.
ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.
მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).
ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.
ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.
მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები
ალგებრული გარდაქმნების ზოგიერთ გამონათქვამს უფრო ხშირად უნდა შევეხოთ, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და სხვაობის კვადრატი. თქვენ შენიშნეთ, რომ მითითებული გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, \((a + b)^2 \) არის, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ ჯამის კვადრატი. ა და ბ. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.
გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ადვილად გარდაიქმნება (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ ასეთი დავალება მრავალწევრების გამრავლებისას. :
\((ა + ბ)^2 = (ა + ბ)(ა + ბ) = a^2 + აბ + ბა + ბ^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ორმაგ ნამრავლს.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი არის კვადრატების ჯამი ნამრავლის გაორმაგების გარეშე.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.
ეს სამი იდენტობა საშუალებას აძლევს ტრანსფორმაციას შეცვალოს მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.
ნებისმიერი ენის დახმარებით შეგიძლიათ ერთი და იგივე ინფორმაციის გამოხატვა სხვადასხვა სიტყვებით და ფრაზებით. გამონაკლისი არც მათემატიკური ენაა. მაგრამ ერთი და იგივე გამოთქმა შეიძლება ექვივალენტურად დაიწეროს სხვადასხვა გზით. და ზოგიერთ სიტუაციაში, ერთ-ერთი ჩანაწერი უფრო მარტივია. ამ გაკვეთილზე ვისაუბრებთ გამოთქმების გამარტივებაზე.
ადამიანები ურთიერთობენ სხვადასხვა ენაზე. ჩვენთვის მნიშვნელოვანი შედარებაა წყვილი „რუსული ენა - მათემატიკური ენა“. ერთი და იგივე ინფორმაციის მოხსენება შესაძლებელია სხვადასხვა ენაზე. მაგრამ, გარდა ამისა, ერთ ენაზე სხვაგვარადაც შეიძლება გამოითქმის.
მაგალითად: "პეტრე მეგობრობს ვასიასთან", "ვასია მეგობრობს პეტიასთან", "პეტრე და ვასია მეგობრები არიან". სხვანაირად თქვა, მაგრამ ერთი და იგივე. რომელიმე ამ ფრაზით ჩვენ გავიგებდით რა არის სასწორზე.
მოდით შევხედოთ ამ ფრაზას: "ბიჭი პეტია და ბიჭი ვასია მეგობრები არიან". ჩვენ გვესმის, რა არის სასწორზე. თუმცა, ჩვენ არ მოგვწონს როგორ ჟღერს ეს ფრაზა. არ შეგვიძლია გავამარტივოთ, იგივე ვთქვათ, მაგრამ უფრო მარტივი? "ბიჭი და ბიჭი" - შეგიძლიათ ერთხელ თქვათ: "ბიჭები პეტია და ვასია მეგობრები არიან".
„ბიჭები“... მათი სახელებიდან არ ჩანს, რომ გოგოები არ არიან. ჩვენ ვხსნით "ბიჭებს": "პეტია და ვასია მეგობრები არიან". და სიტყვა "მეგობრები" შეიძლება შეიცვალოს "მეგობრებით": "პეტია და ვასია მეგობრები არიან". შედეგად, პირველი, გრძელი, მახინჯი ფრაზა შეიცვალა ეკვივალენტური დებულებით, რომელიც უფრო ადვილი სათქმელია და გასაგები. ჩვენ გავამარტივეთ ეს ფრაზა. გამარტივება ნიშნავს უფრო იოლად თქმას, მაგრამ არ წაგებას, მნიშვნელობის არ დამახინჯებას.
იგივე ხდება მათემატიკური ენაში. ერთი და იგივე სხვანაირად შეიძლება ითქვას. რას ნიშნავს გამოხატვის გამარტივება? ეს ნიშნავს, რომ ორიგინალური გამონათქვამისთვის არსებობს მრავალი ექვივალენტური გამონათქვამი, ანუ ის, რაც ერთსა და იმავეს ნიშნავს. და მთელი ამ სიმრავლიდან ჩვენ უნდა ავირჩიოთ უმარტივესი, ჩვენი აზრით, ან ყველაზე შესაფერისი ჩვენი შემდგომი მიზნებისთვის.
მაგალითად, განიხილეთ რიცხვითი გამოხატულება. ეს იქნება ტოლი.
ის ასევე იქნება პირველი ორის ექვივალენტი: 
.
გამოდის, რომ ჩვენ გავამარტივეთ გამოთქმები და ვიპოვეთ უმოკლეს ეკვივალენტური გამოთქმა.
რიცხვითი გამონათქვამებისთვის, თქვენ ყოველთვის უნდა გააკეთოთ ყველა სამუშაო და მიიღოთ ექვივალენტური გამოხატულება, როგორც ერთი რიცხვი.
განვიხილოთ პირდაპირი გამოთქმის მაგალითი . ცხადია, ეს უფრო მარტივი იქნება.
ლიტერატურული გამონათქვამების გამარტივებისას, თქვენ უნდა შეასრულოთ ყველა ის მოქმედება, რაც შესაძლებელია.
ყოველთვის საჭიროა გამოხატვის გამარტივება? არა, ზოგჯერ ექვივალენტური, მაგრამ უფრო გრძელი აღნიშვნა ჩვენთვის უფრო მოსახერხებელი იქნება.
მაგალითი: გამოაკლეთ რიცხვი რიცხვს.
გამოთვლა შესაძლებელია, მაგრამ თუ პირველი რიცხვი წარმოდგენილი იქნებოდა მისი ეკვივალენტური აღნიშვნით: , მაშინ გამოთვლები იქნება მყისიერი: .
ანუ გამარტივებული გამოთქმა ყოველთვის არ არის ჩვენთვის მომგებიანი შემდგომი გამოთვლებისთვის.
მიუხედავად ამისა, ძალიან ხშირად ჩვენ წინაშე ვდგავართ დავალების წინაშე, რომელიც უბრალოდ ჟღერს როგორც "გამოხატვის გამარტივება".
გაამარტივე გამოთქმა: .
გადაწყვეტილება
1) შეასრულეთ მოქმედებები პირველ და მეორე ფრჩხილებში: .
2) გამოთვალეთ პროდუქტები: .
ცხადია, ბოლო გამონათქვამს უფრო მარტივი ფორმა აქვს, ვიდრე საწყისს. ჩვენ გავამარტივეთ.
გამოთქმის გასამარტივებლად ის უნდა შეიცვალოს ეკვივალენტით (ტოლი).
ეკვივალენტური გამოხატვის დასადგენად, თქვენ უნდა:
1) შეასრულეთ ყველა შესაძლო მოქმედება,
2) გამოთვლების გასამარტივებლად გამოიყენეთ შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებები.
შეკრების და გამოკლების თვისებები:
1. შეკრების კომუტაციური თვისება: ჯამი არ იცვლება ტერმინების გადალაგებიდან.
2. შეკრების ასოციაციური თვისება: ორი რიცხვის ჯამს მესამე რიცხვის დასამატებლად შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამე რიცხვის ჯამი.
3. რიცხვიდან ჯამის გამოკლების თვისება: რიცხვს რომ გამოაკლოთ ჯამი, შეგიძლიათ გამოაკლოთ თითოეული წევრი ინდივიდუალურად.
გამრავლებისა და გაყოფის თვისებები
1. გამრავლების კომუტაციური თვისება: ნამრავლი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან.
2. ასოციაციური თვისება: რიცხვის გასამრავლებლად ორი რიცხვის ნამრავლზე შეგიძლიათ ჯერ გაამრავლოთ ის პირველ ფაქტორზე, შემდეგ კი მიღებული ნამრავლი გაამრავლოთ მეორე ფაქტორზე.
3. გამრავლების გამანაწილებელი თვისება: რიცხვის ჯამზე გასამრავლებლად საჭიროა თითოეულ წევრზე ცალ-ცალკე გაამრავლოთ.
ვნახოთ, როგორ ვაკეთებთ რეალურად გონებრივ გამოთვლებს.
გამოთვალეთ:
გადაწყვეტილება
1) წარმოიდგინეთ როგორ
2) წარმოვიდგინოთ პირველი მულტიპლიკატორი, როგორც ბიტის წევრთა ჯამი და შევასრულოთ გამრავლება:
3) შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ როგორ და შეასრულოთ გამრავლება:
4) შეცვალეთ პირველი ფაქტორი ექვივალენტური ჯამით:
სადისტრიბუციო კანონი შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპირო მიმართულებითაც: .
Მიყევი ამ ნაბიჯებს:
1) 
2) 
გადაწყვეტილება
1) მოხერხებულობისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ განაწილების კანონი, უბრალოდ გამოიყენეთ იგი საპირისპირო მიმართულებით - ამოიღეთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან.
2) ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან
აუცილებელია ლინოლეუმის შეძენა სამზარეულოში და დერეფანში. სამზარეულო ფართი - დერეფანი -. არსებობს სამი სახის ლინოლეუმი: ამისთვის და რუბლისთვის. რა ღირს სამი ტიპის ლინოლეუმი? (ნახ. 1)
ბრინჯი. 1. პრობლემის მდგომარეობის ილუსტრაცია
გადაწყვეტილება
მეთოდი 1. შეგიძლიათ ცალ-ცალკე გაიგოთ, რა თანხა დასჭირდება სამზარეულოში ლინოლეუმის შესაძენად, შემდეგ კი დერეფანში ჩაამატეთ და მიღებული ნამუშევრები დაამატე.
შენიშვნა 1
ლოგიკური ფუნქცია შეიძლება დაიწეროს ლოგიკური გამოხატვის გამოყენებით, შემდეგ კი შეგიძლიათ გადახვიდეთ ლოგიკურ წრეზე. აუცილებელია ლოგიკური გამონათქვამების გამარტივება, რათა მივიღოთ რაც შეიძლება მარტივი (და შესაბამისად იაფი) ლოგიკური წრე. სინამდვილეში, ლოგიკური ფუნქცია, ლოგიკური გამოხატულება და ლოგიკური წრე სამი განსხვავებული ენაა, რომლებიც საუბრობენ ერთსა და იმავე არსებაზე.
ლოგიკური გამონათქვამების გასამარტივებლად გამოიყენეთ ლოგიკის ალგებრის კანონები.
ზოგიერთი ტრანსფორმაცია კლასიკურ ალგებრაში ფორმულების გარდაქმნების მსგავსია (საერთო ფაქტორის ფრჩხილებში, კომუტაციური და ასოციაციური კანონების გამოყენებით და ა.შ.), ხოლო სხვა ტრანსფორმაციები ეფუძნება თვისებებს, რომლებიც არ გააჩნიათ კლასიკურ ალგებრის ოპერაციებს (განაწილების კანონის გამოყენება შეერთებისთვის, შთანთქმის კანონები, წებოვნება, დე მორგანის წესები და ა.შ.).
ლოგიკის ალგებრის კანონები ჩამოყალიბებულია ძირითადი ლოგიკური ოპერაციებისთვის - "არა" - ინვერსია (უარყოფა), "AND" - შეერთება (ლოგიკური გამრავლება) და "OR" - დისუნქცია (ლოგიკური დამატება).
ორმაგი უარყოფის კანონი ნიშნავს, რომ "NOT" ოპერაცია შექცევადია: თუ მას ორჯერ გამოიყენებთ, საბოლოოდ ლოგიკური მნიშვნელობა არ შეიცვლება.
გამორიცხული შუალედის კანონი ამბობს, რომ ნებისმიერი ლოგიკური გამოთქმა არის ჭეშმარიტი ან მცდარი („მესამე არ არსებობს“). მაშასადამე, თუ $A=1$, მაშინ $\bar(A)=0$ (და პირიქით), რაც ნიშნავს, რომ ამ სიდიდეების შეერთება ყოველთვის ნულის ტოლია, ხოლო დისუნქცია ერთის ტოლია.
$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$
მოდით გავამარტივოთ ეს ფორმულა:
სურათი 3
ეს გულისხმობს, რომ $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.
პასუხი:სტუდენტები $B$, $C$ და $D$ თამაშობენ ჭადრაკს, მაგრამ სტუდენტი $A$ არ თამაშობს.
ლოგიკური გამონათქვამების გამარტივებისას შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობა:
- ჩაანაცვლეთ ყველა „არაძირითადი“ ოპერაცია (ეკვივალენტობა, იმპლიკამენტი, ექსკლუზიური OR და ა.შ.) მათი გამონათქვამებით ინვერსიის, შეერთების და დისიუნქციის ძირითადი ოპერაციებით.
- გააფართოვეთ რთული გამონათქვამების ინვერსიები დე მორგანის წესების მიხედვით ისე, რომ მხოლოდ ცალკეულ ცვლადებს აქვთ უარყოფითი მოქმედებები.
- შემდეგ გაამარტივეთ გამოხატვა ფრჩხილების გაფართოების, საერთო ფაქტორების ფრჩხილებში და ლოგიკის ალგებრის სხვა კანონების გამოყენებით.
მაგალითი 2
აქ თანმიმდევრულად გამოიყენება დე მორგანის წესი, განაწილების კანონი, გამორიცხული შუალედური კანონი, კომუტაციური კანონი, გამეორების კანონი, ისევ კომუტაციური კანონი და შთანთქმის კანონი.
ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.
ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის რა არის მოტყუება.
მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ შეჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწევა. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.
თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ მართებული იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსასრულოდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.
როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:
იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.
ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.
ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:
მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.
ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან მოძრაობის ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (ბუნებრივია, გამოთვლებისთვის მაინც გჭირდებათ დამატებითი მონაცემები, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ). კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.
ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ
ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.
როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მულტისეტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.
ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.
რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.
მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. ჩვენ ავხსნით მათემატიკას, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც დაამტკიცებს, რომ ნაკრები იდენტური ელემენტების გარეშე არ არის ტოლი სიმრავლის იდენტური ელემენტებით. სწორედ აქ იწყება გართობა.
უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...
და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.
ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს კოზირის ტუზს ყდიდან და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.
იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები სხვა ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.
კვირა, 18 მარტი, 2018 წ
რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.
გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.
მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.
1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.
2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.
3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.
4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.
12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.
მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.
როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობის პოვნა მეტრებში და სანტიმეტრებში მოგცემთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს.
ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.
მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.
რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს არის მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებული ზომის ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.
ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?
ქალი... ზემოთ ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.
თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,
მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:
პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.
1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.
