თქვენ შეგიძლიათ შეუკვეთოთ თქვენი პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა !!!

რომ გავიგოთ რა არის ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემათქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეო გაკვეთილი იმავე მაგალითისთვის დაწკაპუნებით. ახლა მოდით გადავიდეთ ყველა საჭირო სამუშაოს აღწერაზე. ეს დაგეხმარებათ უფრო დეტალურად გაიგოთ ამ საკითხის არსი.

როგორ მოვძებნოთ წრფივი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა?

მაგალითად ავიღოთ წრფივი განტოლებების შემდეგი სისტემა:

მოდი ვიპოვოთ განტოლებათა ამ წრფივი სისტემის ამონახსნი. დასაწყისისთვის ჩვენ ჩამოწერეთ სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა.

გადავიყვანოთ ეს მატრიცა სამკუთხედად.ჩვენ გადავიწერთ პირველ სტრიქონს ცვლილებების გარეშე. და ყველა ელემენტი, რომელიც $a_(11)$-ის ქვეშ არის, უნდა იყოს ნული. იმისათვის, რომ ნული გააკეთოთ $a_(21)$ ელემენტის ადგილას, თქვენ უნდა გამოაკლოთ პირველი მეორე სტრიქონს და დაწეროთ განსხვავება მეორე სტრიქონში. იმისათვის, რომ ნული გააკეთოთ $a_(31)$ ელემენტის ადგილას, თქვენ უნდა გამოაკლოთ პირველი მესამე მწკრივს და დაწეროთ სხვაობა მესამე რიგში. იმისათვის, რომ ნული გააკეთოთ $a_(41)$ ელემენტის ნაცვლად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ პირველი გამრავლებული 2-ზე მეოთხე სტრიქონს და დაწეროთ განსხვავება მეოთხე სტრიქონში. $a_(31)$ ელემენტის ნაცვლად ნულის შესაქმნელად, მეხუთე სტრიქონს გამოაკელით პირველი გამრავლებული 2-ზე და ჩაწერეთ სხვაობა მეხუთე სტრიქონში.

პირველ და მეორე სტრიქონებს გადავიწერთ ცვლილებების გარეშე. და ყველა ელემენტი, რომელიც $a_(22)$-ის ქვეშაა, უნდა იყოს ნული. $a_(32)$ ელემენტის ადგილას ნულის გასაკეთებლად საჭიროა მესამე მწკრივს გამოვაკლოთ მეორე გამრავლებული 2-ზე და ჩავწეროთ სხვაობა მესამე რიგში. $a_(42)$ ელემენტის ადგილას ნულის გასაკეთებლად საჭიროა მეოთხე სტრიქონს გამოვაკლოთ მეორე გამრავლებული 2-ზე და დავაწეროთ სხვაობა მეოთხე სტრიქონში. $a_(52)$ ელემენტის ნაცვლად ნულის გასაკეთებლად მეხუთე სტრიქონს გამოაკელით 3-ზე გამრავლებული მეორე და ჩაწერეთ სხვაობა მეხუთე სტრიქონში.

ჩვენ ამას ვხედავთ ბოლო სამი ხაზი იგივეა, ასე რომ, თუ მეოთხეს და მეხუთეს გამოაკლებთ მესამეს, მაშინ ისინი გახდებიან ნული.

ამ მატრიცისთვის ჩამოწერეთ განტოლებათა ახალი სისტემა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ გვაქვს მხოლოდ სამი წრფივად დამოუკიდებელი განტოლება და ხუთი უცნობი, ამიტომ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ორი ვექტორისგან. ასე რომ ჩვენ გადაიტანეთ ბოლო ორი უცნობი მარჯვნივ.

ახლა, ჩვენ ვიწყებთ იმ უცნობის გამოხატვას, რომელიც არის მარცხენა მხარეს, მარჯვენა მხარეს მყოფთა მეშვეობით. ვიწყებთ ბოლო განტოლებით, ჯერ გამოვხატავთ $x_3$, შემდეგ მიღებულ შედეგს ვცვლით მეორე განტოლებაში და გამოვხატავთ $x_2$, შემდეგ კი პირველ განტოლებაში და აქ გამოვხატავთ $x_1$. ამრიგად, ჩვენ გამოვხატეთ ყველა უცნობი, რომელიც არის მარცხენა მხარეს, მარჯვენა მხარეს მყოფი უცნობის მეშვეობით.

ამის შემდეგ, $x_4$ და $x_5$-ის ნაცვლად, შეგიძლიათ შეცვალოთ ნებისმიერი რიცხვი და იპოვოთ $x_1$, $x_2$ და $x_3$. ყოველი ასეთი ხუთი რიცხვი იქნება ჩვენი თავდაპირველი განტოლების სისტემის ფესვები. ვიპოვოთ ვექტორები, რომლებიც შედის FSRჩვენ უნდა ჩავანაცვლოთ 1 $x_4$-ის ნაცვლად და 0 ჩავანაცვლოთ $x_5$-ის ნაცვლად, ვიპოვოთ $x_1$, $x_2$ და $x_3$ და შემდეგ პირიქით $x_4=0$ და $x_5=1$.

ჩვენ გავაგრძელებთ ტექნიკის გაპრიალებას ელემენტარული გარდაქმნებიზე წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა.
პირველი აბზაცების მიხედვით, მასალა შეიძლება მოსაწყენი და ჩვეულებრივი ჩანდეს, მაგრამ ეს შთაბეჭდილება მატყუარაა. ტექნიკის შემდგომი განვითარების გარდა, ბევრი ახალი ინფორმაცია იქნება, ამიტომ გთხოვთ, ეცადეთ, უგულებელყოთ ამ სტატიაში მოცემული მაგალითები.

რა არის წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა?

პასუხი თავისთავად გვთავაზობს. წრფივი განტოლებათა სისტემა ერთგვაროვანია, თუ თავისუფალი წევრია ყველასსისტემის განტოლება არის ნული. Მაგალითად:

სავსებით ნათელია, რომ ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ანუ ყოველთვის აქვს გამოსავალი. და, პირველ რიგში, ე.წ ტრივიალურიგამოსავალი . ტრივიალური, მათთვის, ვისაც საერთოდ არ ესმის ზედსართავი სახელის მნიშვნელობა, ნიშნავს bespontovoe. აკადემიურად არა, რა თქმა უნდა, მაგრამ გასაგებად =) ... რატომ სცემეს ბუჩქის გარშემო, მოდით გავარკვიოთ აქვს თუ არა ამ სისტემას სხვა გადაწყვეტილებები:

მაგალითი 1

გამოსავალი: ერთგვაროვანი სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა ჩაწერა სისტემის მატრიცადა ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით მიიყვანეთ იგი საფეხურზე. გაითვალისწინეთ, რომ აქ არ არის საჭირო თავისუფალი წევრების ვერტიკალური ზოლის და ნულოვანი სვეტის ჩაწერა - რადგან რასაც არ უნდა აკეთებთ ნულებთან, ისინი დარჩება ნულოვანი:

(1) პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -3-ზე.

(2) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე.

მესამე რიგის 3-ზე გაყოფას დიდი აზრი არ აქვს.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ეკვივალენტური ერთგვაროვანი სისტემა და, გაუსიანი მეთოდის საპირისპირო სვლის გამოყენებით, ადვილია იმის გადამოწმება, რომ ამოხსნა უნიკალურია.

უპასუხე:

მოდით ჩამოვაყალიბოთ აშკარა კრიტერიუმი: წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა აქვს მხოლოდ ტრივიალური გამოსავალი, თუ სისტემის მატრიცის რანგი(ამ შემთხვევაში 3) უდრის ცვლადების რაოდენობას (ამ შემთხვევაში 3 ცალი).

ჩვენ ვათბობთ და ვარეგულირებთ ჩვენს რადიოს ელემენტარული გარდაქმნების ტალღას:

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა

ალგორითმის საბოლოოდ დასაფიქსირებლად, მოდით გავაანალიზოთ საბოლოო დავალება:

მაგალითი 7

ამოხსენით ერთგვაროვანი სისტემა, დაწერეთ პასუხი ვექტორული სახით.

გამოსავალი: ვწერთ სისტემის მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ საფეხურზე:

(1) პირველი ხაზის ნიშანი შეიცვალა. კიდევ ერთხელ ვამახვილებ ყურადღებას არაერთხელ შესრულებულ ტექნიკაზე, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ შემდეგი მოქმედება.

(1) პირველი ხაზი დაემატა მე-2 და მე-3 სტრიქონებს. მე-4 სტრიქონს დაემატა 2-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

(3) ბოლო სამი ხაზი პროპორციულია, მათგან ორი ამოღებულია.

შედეგად, მიიღება სტანდარტული საფეხურების მატრიცა და გამოსავალი გრძელდება დახვეული ბილიკის გასწვრივ:

– ძირითადი ცვლადები;
უფასო ცვლადებია.

ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით. მე-2 განტოლებიდან:

- ჩანაცვლება პირველ განტოლებაში:

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

ვინაიდან განხილულ მაგალითში სამი თავისუფალი ცვლადია, ფუნდამენტური სისტემა შეიცავს სამ ვექტორს.

ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობების სამმაგი ზოგად ამოხსნაში და მიიღეთ ვექტორი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს ერთგვაროვანი სისტემის თითოეულ განტოლებას. და კიდევ ვიმეორებ, რომ ძალიან სასურველია თითოეული მიღებული ვექტორის შემოწმება - ამდენი დრო არ დასჭირდება, მაგრამ ასი პროცენტით დაზოგავს შეცდომებს.

ღირებულებების სამმაგისთვის იპოვნეთ ვექტორი

და ბოლოს სამეულისთვის ვიღებთ მესამე ვექტორს:

უპასუხე: , სად

მათ, ვისაც სურს წილადური მნიშვნელობების თავიდან აცილება, შეიძლება განიხილოს სამეული და მიიღეთ პასუხი ექვივალენტური ფორმით:

წილადებზე საუბარი. გადავხედოთ ამოცანაში მიღებულ მატრიცას და დასვით კითხვა - შესაძლებელია თუ არა შემდგომი გადაწყვეტის გამარტივება? აქ ხომ ჯერ ძირითადი ცვლადი გამოვხატეთ წილადებით, შემდეგ ძირითადი ცვლადი წილადებით და, უნდა ითქვას, რომ ეს პროცესი არც უმარტივესი და არც სასიამოვნო იყო.

მეორე გამოსავალი:

იდეა არის ცდა აირჩიეთ სხვა ძირითადი ცვლადები. მოდით შევხედოთ მატრიცას და შევამჩნიოთ ორი ერთი მესამე სვეტში. მაშ, რატომ არ მიიღოთ ნული ზევით? მოდით გავაკეთოთ კიდევ ერთი ელემენტარული ტრანსფორმაცია:

ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია და აქვს ტრივიალური გადაწყვეტა
. არატრივიალური ამოხსნის არსებობისთვის აუცილებელია მატრიცის რანგი იყო უცნობის რაოდენობაზე ნაკლები:

.

ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა ერთგვაროვანი სისტემა
ვუწოდოთ ამონახსნების სისტემა სვეტის ვექტორების სახით
, რომლებიც შეესაბამება კანონიკურ საფუძველს, ე.ი. საფუძველი, რომელშიც თვითნებური მუდმივები
მონაცვლეობით დაყენებულია ერთის ტოლი, დანარჩენები კი ნულის ტოლია.

შემდეგ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგად გადაწყვეტას აქვს ფორმა:

სადაც
არის თვითნებური მუდმივები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ზოგადი ამონახსნები არის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის წრფივი კომბინაცია.

ამრიგად, ძირითადი ამონახსნები შეიძლება მივიღოთ ზოგადი ამონახსნებიდან, თუ თავისუფალ უცნობებს მონაცვლეობით მიენიჭებათ ერთიანობის მნიშვნელობა, თუ ვივარაუდებთ, რომ ყველა დანარჩენი ნულის ტოლია.

მაგალითი. მოდი ვიპოვოთ სისტემის გამოსავალი

ჩვენ ვიღებთ , შემდეგ ვიღებთ გამოსავალს ფორმაში:

ახლა ავაშენოთ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა:

.

ზოგადი გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემის ამონახსნებს აქვთ შემდეგი თვისებები:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთგვაროვანი სისტემის ხსნარების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია კვლავ გამოსავალია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მათემატიკოსებს აინტერესებთ რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში. პირველი შედეგები მიიღეს XVIII საუკუნეში. 1750 წელს გ.კრამერმა (1704–1752) გამოაქვეყნა თავისი ნაშრომები კვადრატული მატრიცების განმსაზღვრელზე და შესთავაზა ალგორითმი შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად. 1809 წელს გაუსმა გამოაქვეყნა გადაწყვეტის ახალი მეთოდი, რომელიც ცნობილია როგორც აღმოფხვრის მეთოდი.

გაუსის მეთოდი, ან უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, შედგება იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურიანი (ან სამკუთხა) ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე. ასეთი სისტემები საშუალებას გაძლევთ თანმიმდევრულად იპოვოთ ყველა უცნობი გარკვეული თანმიმდევრობით.

დავუშვათ, რომ სისტემაში (1)
(რაც ყოველთვის შესაძლებელია).

(1)

პირველი განტოლების რიგრიგობით გამრავლება ე.წ შესაფერისი ნომრები

და სისტემის შესაბამის განტოლებთან გამრავლების შედეგის მიმატებით მივიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას, რომელშიც ყველა განტოლებას, გარდა პირველისა, უცნობი არ ექნება. X 1

(2)

ჩვენ ვამრავლებთ სისტემის მეორე განტოლებას (2) შესაბამის რიცხვებზე, თუ ვივარაუდებთ, რომ

,

და დავამატოთ ის ქვედა პირობა, ჩვენ აღმოვფხვრათ ცვლადი ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

ამ პროცესის გაგრძელების შემდეგ
ნაბიჯებს ვიღებთ:

(3)

თუ ერთი რიცხვი მაინც
არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი ტოლობა არათანმიმდევრულია და სისტემა (1) არათანმიმდევრულია. პირიქით, ნებისმიერი ერთობლივი რიცხვითი სისტემისთვის
ნულის ტოლია. ნომერი სხვა არაფერია, თუ არა სისტემის მატრიცის რანგი (1).

(1) სისტემიდან (3)-ზე გადასვლა ეწოდება სწორ ხაზზე გაუსის მეთოდი და უცნობის პოვნა (3) - უკუღმა .

კომენტარი : უფრო მოსახერხებელია გარდაქმნების შესრულება არა თავად განტოლებებით, არამედ სისტემის გაფართოებული მატრიცით (1).

მაგალითი. მოდი ვიპოვოთ სისტემის გამოსავალი

.

მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა:

.

2,3,4 სტრიქონებს დავუმატოთ პირველი, გამრავლებული (-2), (-3), (-2) შესაბამისად:

.

მოდით შევცვალოთ მე-2 და მე-3 რიგები, შემდეგ მიღებულ მატრიცაში დავამატოთ მე-2 მწკრივი მე-4 მწკრივს, გავამრავლოთ :

.

დაამატეთ 4 სტრიქონს 3 სტრიქონი გამრავლებული
:

.

აშკარაა რომ
, შესაბამისად, სისტემა თავსებადია. მიღებული განტოლებათა სისტემიდან

ჩვენ ვპოულობთ გამოსავალს საპირისპირო ჩანაცვლებით:

,
,
,
.

მაგალითი 2იპოვნეთ სისტემის გადაწყვეტა:

.

აშკარაა, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია, რადგან
, ა
.

გაუსის მეთოდის უპირატესობები :

ნაკლებად შრომატევადი ვიდრე კრამერის მეთოდი.

ცალსახად ადგენს სისტემის თავსებადობას და საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გამოსავალი.

იძლევა ნებისმიერი მატრიცის რანგის განსაზღვრის შესაძლებლობას.

წრფივი განტოლება ე.წ ერთგვაროვანითუ მისი კვეთა არის ნულოვანი, ხოლო არაერთგვაროვანი სხვა შემთხვევაში. სისტემას, რომელიც შედგება ერთგვაროვანი განტოლებისგან, ეწოდება ერთგვაროვანი და აქვს ზოგადი ფორმა:

ცხადია, ნებისმიერი ერთგვაროვანი სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს ნულოვანი (ტრივიალური) გადაწყვეტა. ამიტომ, როგორც გამოიყენება წრფივი განტოლებების ერთგვაროვან სისტემებზე, ხშირად უნდა მოძებნოთ პასუხი კითხვაზე არანულოვანი ამონახსნების არსებობის შესახებ. ამ კითხვაზე პასუხი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი თეორემის სახით.

თეორემა . წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე. .

მტკიცებულება: დავუშვათ, სისტემას, რომლის რანგი ტოლია, აქვს არანულოვანი ამონახსნი. ცხადია, არ აღემატება. იმ შემთხვევაში, თუ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ვინაიდან ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემას ყოველთვის აქვს ნულოვანი ამონახსნი, სწორედ ნულოვანი ამონახსნი იქნება ეს უნიკალური ამონახსნი. ამრიგად, არანულოვანი გადაწყვეტილებები შესაძლებელია მხოლოდ .

დასკვნა 1 : განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას, რომელშიც განტოლებათა რაოდენობა უცნობის რაოდენობაზე ნაკლებია, ყოველთვის აქვს არანულოვანი ამონახსნი.

მტკიცებულება: თუ განტოლებათა სისტემას აქვს , მაშინ სისტემის რანგი არ აღემატება განტოლებათა რაოდენობას , ე.ი. . ამრიგად, პირობა დაკმაყოფილებულია და, შესაბამისად, სისტემას აქვს არანულოვანი გამოსავალი.

შედეგი 2 : უცნობებთან განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

მტკიცებულება: დავუშვათ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა, რომლის მატრიცას განმსაზღვრელთან აქვს არანულოვანი ამონახსნი. შემდეგ, დადასტურებული თეორემის მიხედვით, რაც ნიშნავს, რომ მატრიცა არის გადაგვარებული, ე.ი. .

კრონეკერ-კაპელის თეორემა: SLE თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი უდრის ამ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგის. სისტემას ur-th ეწოდება თავსებადი, თუ მას აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი.

წრფივი ალგებრული განტოლებათა ჰომოგენური სისტემა.

m წრფივი განტოლებათა სისტემას n ცვლადით ეწოდება წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა, თუ ყველა თავისუფალი წევრი უდრის 0-ს. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა ყოველთვის თავსებადია, რადგან მას ყოველთვის აქვს მინიმუმ ნულოვანი გამოსავალი. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი კოეფიციენტების მატრიცის რანგი ცვლადებზე ნაკლებია ცვლადების რაოდენობაზე, ე.ი. წოდებისთვის A (n. ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია

ხაზების სისტემის გადაწყვეტილებები. ერთგვაროვანი ur-ii ასევე გამოსავალია ამ სისტემისთვის.

წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნების სისტემას e1, e2,…,ek ეწოდება ფუნდამენტური, თუ სისტემის თითოეული ამონახსნი არის ამონახსნების წრფივი კომბინაცია. თეორემა: თუ კოეფიციენტთა მატრიცის რანგი r წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის ცვლადებში ნაკლებია n ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის ამონახსნების ნებისმიერი ფუნდამენტური სისტემა შედგება n-r ამონახსნებისაგან. აქედან გამომდინარე, ხაზების სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა. მარტოხელა ur-th-ს აქვს ფორმა: c1e1+c2e2+…+ckek, სადაც e1, e2,…, ek არის ამონახსნების ნებისმიერი ფუნდამენტური სისტემა, c1, c2,…,ck არის თვითნებური რიცხვები და k=n-r. m წრფივი განტოლებათა სისტემის n ცვლადის ზოგადი ამონახსნი უდრის ჯამს

მის შესაბამისი სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა ერთგვაროვანია. წრფივი განტოლებები და ამ სისტემის თვითნებური კონკრეტული ამოხსნა.

7. ხაზოვანი სივრცეები. ქვესივრცეები. საფუძველი, განზომილება. ხაზოვანი გარსი. წრფივი სივრცე ეწოდება n-განზომილებიანი, თუ იგი შეიცავს წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემას და მეტი ვექტორის ნებისმიერი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. ნომერზე იწოდება განზომილება (გაზომვების რაოდენობა)წრფივი სივრცე და აღინიშნება . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სივრცის განზომილება არის ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა ამ სივრცეში. თუ ასეთი რიცხვი არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ სივრცე სასრულ განზომილებიანია. თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის n სივრცეში არის სისტემა, რომელიც შედგება წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორებისგან, მაშინ ასეთ სივრცეს უსასრულო-განზომილებიანი ეწოდება (იწერება: ). შემდგომში, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, განიხილება სასრული განზომილებიანი სივრცეები.

n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის საფუძველი არის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მოწესრიგებული ნაკრები ( საბაზისო ვექტორები).

თეორემა 8.1 ვექტორის გაფართოების შესახებ საფუძვლის თვალსაზრისით. თუ ეს არის n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის საფუძველი, მაშინ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
და მით უმეტეს, უნიკალური სახით, ე.ი. კოეფიციენტები ცალსახად არის განსაზღვრული.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სივრცის ვექტორი შეიძლება გაფართოვდეს საფუძვლად და, უფრო მეტიც, უნიკალური გზით.

მართლაც, სივრცის განზომილება არის . ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია (ეს არის საფუძველი). ნებისმიერი ვექტორის საფუძველთან შეერთების შემდეგ მივიღებთ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას (რადგან ეს სისტემა შედგება ვექტორებისგან n-განზომილებიან სივრცეში). 7 წრფივად დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორის თვისებით ვიღებთ თეორემის დასკვნას.

სკოლაშიც კი თითოეული ჩვენგანი სწავლობდა განტოლებებს და, რა თქმა უნდა, განტოლებათა სისტემებს. მაგრამ ბევრმა არ იცის, რომ მათი გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ყველა მეთოდს, რომელიც შედგება ორზე მეტი ტოლობისგან.

ამბავი

დღეს ცნობილია, რომ განტოლებების და მათი სისტემების ამოხსნის ხელოვნება წარმოიშვა ძველ ბაბილონსა და ეგვიპტეში. თუმცა, თანასწორობა ჩვეულ ფორმაში გაჩნდა ტოლობის ნიშნის "=""-ის გამოჩენის შემდეგ, რომელიც შემოიღო 1556 წელს ინგლისელმა მათემატიკოსმა რეკორდმა. სხვათა შორის, ეს ნიშანი შეირჩა მიზეზით: ეს ნიშნავს ორ პარალელურ თანაბარ სეგმენტს. მართლაც, არ არსებობს თანასწორობის უკეთესი მაგალითი.

უცნობის თანამედროვე ასოების აღნიშვნებისა და ხარისხების ნიშნების ფუძემდებელი ფრანგი მათემატიკოსია, თუმცა მისი აღნიშვნები მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდა დღევანდელისაგან. მაგალითად, უცნობი რიცხვის კვადრატს აღნიშნა Q ასოთი (ლათ. „quadratus“), კუბი კი ასო C-ით (ლათ. „cubus“). ეს აღნიშვნები ახლა უხერხულად გამოიყურება, მაგრამ მაშინ ეს იყო ყველაზე გასაგები გზა წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების დასაწერად.

თუმცა, გადაწყვეტის მაშინდელი მეთოდების ნაკლი ის იყო, რომ მათემატიკოსები მხოლოდ დადებით ფესვებს თვლიდნენ. შესაძლოა, ეს გამოწვეულია იმით, რომ უარყოფით მნიშვნელობებს პრაქტიკული გამოყენება არ ჰქონდათ. ასეა თუ ისე, ეს იყო იტალიელი მათემატიკოსები ნიკოლო ტარტალია, ჯეროლამო კარდანო და რაფაელ ბომბელი, ვინც პირველებმა განიხილეს უარყოფითი ფესვები მე-16 საუკუნეში. ხოლო თანამედროვე შეხედულება, ძირითადი გადაწყვეტის მეთოდი (დისკრიმინანტის საშუალებით) შეიქმნა მხოლოდ მე-17 საუკუნეში დეკარტისა და ნიუტონის ნაშრომის წყალობით.

მე-18 საუკუნის შუა ხანებში შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა გაბრიელ კრამერმა იპოვა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ახალი გზა. ამ მეთოდს შემდგომში მისი სახელი დაარქვეს და დღემდე ვიყენებთ. მაგრამ კრამერის მეთოდზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ, მაგრამ ჯერ-ჯერობით განვიხილავთ წრფივ განტოლებებს და მათ ამოხსნის მეთოდებს სისტემისგან განცალკევებით.

წრფივი განტოლებები

წრფივი განტოლებები არის უმარტივესი ტოლობები ცვლად(ებ)ებთან. ისინი კლასიფიცირდება როგორც ალგებრული. დაწერეთ ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... და n * x n \u003d b. მათი წარმოდგენა ამ ფორმით დაგვჭირდება შემდგომი სისტემებისა და მატრიცების შედგენისას.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები

ამ ტერმინის განმარტება ასეთია: ეს არის განტოლებათა ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ საერთო უცნობი და საერთო ამონახსნები. როგორც წესი, სკოლაში ყველაფერს ხსნიდნენ სისტემებით ორი ან თუნდაც სამი განტოლებით. მაგრამ არსებობს სისტემები ოთხი ან მეტი კომპონენტით. ჯერ გავარკვიოთ, როგორ ჩავწეროთ ისინი, რათა შემდგომში მოსახერხებელი იყოს მათი გადაჭრა. პირველი, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები უკეთესად გამოიყურებიან, თუ ყველა ცვლადი დაიწერება x-დ შესაბამისი ინდექსით: 1,2,3 და ა.შ. მეორეც, ყველა განტოლება უნდა მივიღოთ კანონიკურ ფორმამდე: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

ყველა ამ მოქმედების შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ საუბარი იმაზე, თუ როგორ მოვძებნოთ ამოხსნა წრფივი განტოლებების სისტემებისთვის. მატრიცები ძალიან სასარგებლოა ამისთვის.

მატრიცები

მატრიცა არის ცხრილი, რომელიც შედგება რიგებისა და სვეტებისგან და მათ კვეთაზე არის მისი ელემენტები. ეს შეიძლება იყოს კონკრეტული მნიშვნელობები ან ცვლადები. ყველაზე ხშირად, ელემენტების დასანიშნად, ხელმოწერები მოთავსებულია მათ ქვეშ (მაგალითად, 11 ან 23). პირველი ინდექსი ნიშნავს მწკრივის ნომერს, ხოლო მეორე - სვეტის ნომერს. მატრიცებზე, ისევე როგორც ნებისმიერ სხვა მათემატიკურ ელემენტზე, შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა ოპერაციები. ამრიგად, თქვენ შეგიძლიათ:

2) გაამრავლეთ მატრიცა რომელიმე რიცხვზე ან ვექტორზე.

3) ტრანსპოზირება: გადააქციეთ მატრიცის რიგები სვეტებად და სვეტები მწკრივად.

4) გაამრავლეთ მატრიცები, თუ ერთი მათგანის მწკრივების რაოდენობა უდრის მეორის სვეტების რაოდენობას.

ყველა ამ ტექნიკას უფრო დეტალურად განვიხილავთ, რადგან ისინი მომავალში გამოგვადგება. მატრიცების გამოკლება და დამატება ძალიან მარტივია. ვინაიდან ჩვენ ვიღებთ ერთი და იგივე ზომის მატრიცებს, ერთი ცხრილის თითოეული ელემენტი შეესაბამება მეორის თითოეულ ელემენტს. ამრიგად, ჩვენ ვამატებთ (გამოვაკლებთ) ამ ორ ელემენტს (მნიშვნელოვანია, რომ ისინი ერთსა და იმავე ადგილებში იყვნენ თავიანთ მატრიცებში). მატრიცის რიცხვზე ან ვექტორზე გამრავლებისას, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე (ან ვექტორზე). ტრანსპოზიცია ძალიან საინტერესო პროცესია. ძალიან საინტერესოა ხანდახან მისი ნახვა რეალურ ცხოვრებაში, მაგალითად, ტაბლეტის ან ტელეფონის ორიენტაციის შეცვლისას. დესკტოპის ხატები არის მატრიცა და როცა პოზიციის შეცვლას ახდენთ, ის ტრანსპონირდება და ფართოვდება, მაგრამ სიმაღლეში იკლებს.

მოდით გავაანალიზოთ ისეთი პროცესი, როგორიც არის, მიუხედავად იმისა, რომ ის ჩვენთვის სასარგებლო არ იქნება, ამის ცოდნა მაინც სასარგებლო იქნება. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი მატრიცა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ ცხრილში სვეტების რაოდენობა უდრის მეორეში მწკრივების რაოდენობას. ახლა ავიღოთ ერთი მატრიცის მწკრივის ელემენტები და მეორის შესაბამისი სვეტის ელემენტები. ვამრავლებთ მათ ერთმანეთზე და შემდეგ ვამატებთ (ანუ, მაგალითად, a 11 და a 12 ელემენტების ნამრავლი b 12-ზე და b 22-ზე ტოლი იქნება: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . ამრიგად, მიიღება ცხრილის ერთი ელემენტი და იგი შემდგომში ივსება მსგავსი მეთოდით.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ განხილვა, თუ როგორ არის ამოხსნილი წრფივი განტოლებათა სისტემა.

გაუსის მეთოდი

ეს თემა სკოლაში იწყება. ჩვენ კარგად ვიცით „ორი წრფივი განტოლების სისტემის“ ცნება და ვიცით მათი ამოხსნა. მაგრამ რა მოხდება, თუ განტოლებების რაოდენობა ორზე მეტია? ეს დაგვეხმარება

რა თქმა უნდა, ეს მეთოდი მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, თუ თქვენ გააკეთებთ მატრიცას სისტემიდან. მაგრამ თქვენ არ შეგიძლიათ მისი გარდაქმნა და მისი სუფთა სახით გადაჭრა.

მაშ, როგორ იხსნება ხაზოვანი გაუსის განტოლებათა სისტემა ამ მეთოდით? სხვათა შორის, მიუხედავად იმისა, რომ ეს მეთოდი მის სახელს ატარებს, ის ძველ დროში აღმოაჩინეს. გაუსი გვთავაზობს შემდეგს: ოპერაციების განხორციელება განტოლებებით, რათა საბოლოოდ შევიყვანოთ მთელი ნაკრები საფეხურზე. ანუ აუცილებელია, რომ ზემოდან ქვევით (თუ სწორად არის მოთავსებული) პირველი განტოლებიდან ბოლომდე ერთი უცნობი შემცირდეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ მივიღოთ, ვთქვათ, სამი განტოლება: პირველში - სამი უცნობი, მეორეში - ორი, მესამეში - ერთი. შემდეგ ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ პირველ უცნობს, ვცვლით მის მნიშვნელობას მეორე ან პირველ განტოლებაში და შემდეგ ვიპოვით დარჩენილ ორ ცვლადს.

კრამერის მეთოდი

ამ მეთოდის დასაუფლებლად სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია მატრიცების შეკრების, გამოკლების უნარების დაუფლება და ასევე უნდა შეძლოთ დეტერმინანტების პოვნა. ამიტომ, თუ ამ ყველაფერს ცუდად აკეთებთ ან საერთოდ არ იცით როგორ, მოგიწევთ ისწავლოთ და ივარჯიშოთ.

რა არის ამ მეთოდის არსი და როგორ გავაკეთოთ ის ისე, რომ მივიღოთ წრფივი კრამერის განტოლებათა სისტემა? ყველაფერი ძალიან მარტივია. ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის რიცხვითი (თითქმის ყოველთვის) კოეფიციენტებიდან უნდა ავაშენოთ მატრიცა. ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ რიცხვებს უცნობის წინ და ვათავსებთ ცხრილში იმ თანმიმდევრობით, როგორიც სისტემაშია ჩაწერილი. თუ რიცხვს წინ უძღვის "-" ნიშანი, მაშინ ჩავწერთ უარყოფით კოეფიციენტს. ასე რომ, ჩვენ შევადგინეთ პირველი მატრიცა უცნობის კოეფიციენტებიდან, ტოლობის ნიშნების შემდეგ რიცხვების გარეშე (ბუნებრივია, განტოლება უნდა შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე, როდესაც მხოლოდ რიცხვია მარჯვნივ და ყველა უცნობი კოეფიციენტები მარცხნივ). შემდეგ თქვენ უნდა შექმნათ კიდევ რამდენიმე მატრიცა - თითო თითოეული ცვლადი. ამისათვის პირველ მატრიცაში, თავის მხრივ, თითოეულ სვეტს ვანაცვლებთ კოეფიციენტებით რიცხვების სვეტით ტოლობის ნიშნის შემდეგ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე მატრიცას და შემდეგ ვპოულობთ მათ დეტერმინანტებს.

მას შემდეგ რაც ჩვენ ვიპოვეთ განმსაზღვრელი, საქმე მცირეა. ჩვენ გვაქვს საწყისი მატრიცა და არის რამდენიმე მიღებული მატრიცა, რომლებიც შეესაბამება სხვადასხვა ცვლადებს. სისტემის ამონახსნების მისაღებად მიღებული ცხრილის განმსაზღვრელს ვყოფთ საწყისი ცხრილის განმსაზღვრელზე. შედეგად მიღებული რიცხვი არის ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ყველა უცნობს.

სხვა მეთოდები

არსებობს კიდევ რამდენიმე მეთოდი წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მისაღებად. მაგალითად, ეგრეთ წოდებული გაუს-იორდანიის მეთოდი, რომელიც გამოიყენება კვადრატული განტოლებათა სისტემის ამონახსნების მოსაძებნად და ასევე ასოცირდება მატრიცების გამოყენებასთან. ასევე არსებობს ჯაკობის მეთოდი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნისთვის. კომპიუტერთან ადაპტაცია ყველაზე მარტივია და გამოიყენება კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში.

რთული შემთხვევები

სირთულე ჩვეულებრივ წარმოიქმნება, როდესაც განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია. მაშინ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ან სისტემა არათანმიმდევრულია (ანუ მას არ აქვს ფესვები), ან მისი ამონახსნების რიცხვი მიდრეკილია უსასრულობისკენ. თუ გვაქვს მეორე შემთხვევა, მაშინ უნდა ჩავწეროთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები. ის შეიცავს მინიმუმ ერთ ცვლადს.

დასკვნა

აქ მივედით ბოლომდე. მოდით შევაჯამოთ: ჩვენ გავაანალიზეთ რა არის სისტემა და მატრიცა, ვისწავლეთ როგორ მოვძებნოთ ზოგადი ამონახსნები წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის. გარდა ამისა, განიხილებოდა სხვა ვარიანტებიც. გავარკვიეთ, როგორ იხსნება წრფივი განტოლებათა სისტემა: გაუსის მეთოდი და ვისაუბრეთ რთულ შემთხვევებზე და ამონახსნების სხვა გზებზე.

ფაქტობრივად, ეს თემა ბევრად უფრო ვრცელია და თუ მისი უკეთ გაგება გსურთ, მაშინ გირჩევთ, წაიკითხოთ უფრო სპეციალიზებული ლიტერატურა.