რთული ცვლადის ფუნქციები. რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია

1. წარმოებული და დიფერენციალური. რთული ცვლადის ფუნქციის წარმოებულისა და დიფერენციალური განმარტებები სიტყვასიტყვით ემთხვევა ერთი რეალური ცვლადის ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს.

დაუშვით ფუნქცია w = f(z) = და + ivგანსაზღვრულია ზოგიერთ უბანში უქულები ზო.მოდით მივცეთ დამოუკიდებელი ცვლადი z = x + გუმატება A ზ= A.g + გაუ,არ გადის მიმდებარე ტერიტორიის გარეთ უ.შემდეგ ფუნქცია w = f(z)მიიღებს შესაბამის დანამატს Aw = = f(z 0 +დგ) - f(z 0).

w = f(z) ფუნქციის წარმოებული zq წერტილშიეწოდება ფუნქციის ზრდის კოეფიციენტის ზღვარი აუარგუმენტის მატებამდე ა ზსწრაფვისას აზნულამდე (თვითნებურად).

წარმოებული აღინიშნება f"(z Q), wან y-. წარმოებულის განმარტება შეიძლება დაიწეროს როგორც

ლიმიტი (6.1) შეიძლება არ არსებობდეს; შემდეგ ამბობენ, რომ ფუნქცია w = f(z)არ აქვს წარმოებული zq წერტილში.

ფუნქცია ვ = f(z)დაურეკა დიფერენცირებადი Zq წერტილის შესახებ, თუ იგი განსაზღვრულია რომელიმე უბანში უქულები zq და მისი ზრდა აუშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით

სად არის რთული რიცხვი ლარ არის დამოკიდებული A g-ზე და ფუნქცია a(Ag) არის უსასრულოდ მცირე at აზ-» 0, ე.ი. Pm a(Ag) = 0.

ისევე, როგორც რეალური ცვლადის ფუნქციებისთვის, დადასტურებულია, რომ ფუნქცია f(z)წერტილში დიფერენცირებადი zq თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას აქვს წარმოებული ზო. და A = f" (zo).გამოხატულება ვ"(ზო)აზდაურეკა f(z) ფუნქციის დიფერენციალი Zq წერტილშიდა დანიშნულია dwან df (zo).ამ შემთხვევაში, ზრდა აზდამოუკიდებელი ცვლადის -r ასევე ეწოდება r და ცვლადის დიფერენციალს

აღინიშნება ძ.ამრიგად,

დიფერენციალი არის ფუნქციის ზრდის მთავარი წრფივი ნაწილი.

მაგალითი 6.1. გამოიკვლიეთ აქვს თუ არა ფუნქცია ვ= /(რ) = რ ეზწარმოებული თვითნებურ წერტილში Zq.

გამოსავალი. პირობით, w = Rea = X.წარმოებულის განსაზღვრებიდან გამომდინარე, ლიმიტი (C.1) არ უნდა იყოს დამოკიდებული რომელ გზაზე

წერტილი z = Zq + Azახლოვდება ეა ზ-? 0. ჯერ ავიღოთ ა ზ - აჰ(სურ. 15, ა). იმიტომ რომ აუ = აჰ.მაშინ = 1. თუ

აიღე ა ზ = აიი(ნახ. 15, ბ), ეს ოჰ= 0 და შესაბამისად აუ = 0.

ეს ნიშნავს u = 0. მაშასადამე, ურთიერთობას უღალატებენ, როცა აზ-> 0 არა A ზა ზ

არსებობს და შესაბამისად ფუნქცია ვ= რე გ = Xარავითარი წარმოებული არ აქვს.

ამავე დროს ფუნქცია w = z = X + iy,აშკარად აქვს წარმოებული ნებისმიერ წერტილში r და /"(th) = 1. აქედან ირკვევა, რომ f(r) დიფერენცირებადი ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები არ შეიძლება იყოს თვითნებური; მათ უნდა უკავშირდებოდეს რაიმე დამატებითი ურთიერთობა. ეს ურთიერთობები წარმოიქმნება იმის გამო, რომ წარმოებულის არსებობის პირობა /"(0) მნიშვნელოვნად უფრო შემზღუდველია, ვიდრე ერთი რეალური ცვლადის ფუნქციების წარმოებულის ან რამდენიმე რეალური ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულის არსებობის პირობა: საჭიროა, რომ ლიმიტი (6.1) არსებობს და არ არის დამოკიდებული გზაზე, რომლის მიხედვითაც წერტილი r = r + Ar უახლოვდება r როგორც Ar 0. ამ მიმართებების გამოსატანად გავიხსენოთ ორი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალურობის განმარტება.

რეალური ფუნქცია u = u(x,y)რეალური ცვლადები Xდა ზეეწოდება დიფერენცირებადი წერტილში რო (ჰო, ოჰ),თუ ის განსაზღვრულია D> წერტილის რომელიმე მიმდებარე ტერიტორიაზე და მისი ჯამური ნამატია A და = მათი o + Ოჰ ოჰ+ ა y) - და (ჰო, უო)წარმომადგენლობითი სახით

სად INდა თან- ჯ-სგან დამოუკიდებელი რეალური რიცხვები , აი,ა {3 ოჰდა აი,მიდრეკილება ნულისკენ ოჰ -» 0, აი-> 0.

თუ ფუნქცია დადიფერენცირებადია Po წერტილში, მაშინ მას აქვს a

G, " დი(P 0)^ დი (რო)გტ ,

ny წარმოებულები Po, და IN= ---, C = ---. მაგრამ (სხვა

ოჰ ოჰ

ერთი ცვლადის ფუნქციებიდან) ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების არსებობიდან u(x,y)მისი დიფერენციალურობა ჯერ არ მოჰყვება.

2. კოში-რიმანის პირობები.

თეორემა 6.1. მოდით ფუნქცია w = z კომპლექსური ცვლადის f(z).= (ვ, y) განისაზღვრება წერტილის მიმდებარედ, zq= (ჯო, y o) და f(z) = u(x,y) +iv(x, y). იმისათვის, რომ f(z) დიფერენცირებადი იყოს Zq წერტილში, აუცილებელია და საკმარისია, რომ u(x, y) XI v(x, y) ფუნქციები იყოს დიფერენცირებადი წერტილში.(ჯო, ოო) და რომ ამ ეტაპზე პირობები დაკმაყოფილებულია

ტოლობები (6.4) ეწოდება კოში-რიმანის პირობები .

მტკიცებულება. აუცილებლობა. დაუშვით ფუნქცია w = f(z)დიფერენცირებადია zq წერტილში, ე.ი.

აღვნიშნოთ ვ"(ზო) = ა + იბ a (Dg) = fi (Axe, Ау)+ g7 (J, აი); აზ = აჰ + (აი,სად /3 და 7 - ცვლადების რეალური ფუნქციები აჰ, ოჰ,მიდრეკილება ნულისკენ, როგორც J -> 0, აუ -> 0. ამ ტოლობების (6.5) ჩანაცვლებით და რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გამოყოფით მივიღებთ:

ვინაიდან რთული რიცხვების ტოლობა უდრის მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების ტოლობას, მაშინ (6.6) ტოლია ტოლობების სისტემის ტოლფასი.

ტოლობები (6.7) ნიშნავს, რომ ფუნქციები u(x,y), v(x,y)აკმაყოფილებს პირობას (6.3) და, შესაბამისად, დიფერენცირებადია. ვინაიდან კოეფიციენტები J და აიუდრის ნაწილობრივ წარმოებულებს w და ზეშესაბამისად, მაშინ (6.7)-დან ვიღებთ

საიდანაც მოჰყვება პირობები (6.4).

ადეკვატურობა. ახლა დავუშვათ, რომ ფუნქციები u(x, y)და v(x,y)ერთ წერტილში დიფერენცირებადი (ჰოოო)და u(x,y)და პირობები (6.4) დაკმაყოფილებულია.

a = ^, 6 = -^ აღსანიშნავად და (6.4) გამოყენებით მივდივართ ტოლობებამდე (6.8). (6.8)-დან და ფუნქციების დიფერენციალურობის პირობა u(x,y), v(x,y)ჩვენ გვაქვს

სადაც ft, 7i, ft, დ-2 - ნულისკენ მიდრეკილი ფუნქციები, როგორც აჰ -> 0, აუ ->-> 0. აქედან

ან + iAv= (o + იბ) (აჰ + აი)+ (ft + ift) Axe + (71 + *72) აი.(6.9) განვსაზღვროთ ფუნქცია a(Dr) ტოლობით

და დააყენე ა = ა 4- იბ.შემდეგ (6.9) გადაიწერება ტოლობის სახით

რომელიც ემთხვევა (6.2). განსხვავებულობის დადასტურების დღე

ფუნქციები f(z)რჩება იმის ჩვენება, რომ lim a(Az) = 0. ტოლობიდან

ამას მოჰყვება ოჰ^ |Dg|, აი^ |დგ|. Ამიტომაც

თუ აზ-? 0, მაშინ ოჰ-? 0, აი-> 0, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციები ft, ft, 71, 72 ნულისკენ მიდრეკილია. ამიტომ a(Dr) -> 0 at აზ-> 0 და თეორემა 6.1-ის დადასტურება დასრულებულია.

მაგალითი 6.2. გაარკვიეთ არის თუ არა ფუნქცია ვ = ზ 2 დიფერენცირებადი; თუ ასეა, რა წერტილებში?

გამოსავალი, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2ixy,სადაც და = = x 2 - y 2, V = 2xy.აქედან გამომდინარე,

ამრიგად, კოში-რიმანის პირობები (6.4) დაკმაყოფილებულია თითოეულ წერტილში; ეს ნიშნავს ფუნქციას w = გ 2 დიფერენცირებადი იქნება C-ში.

მაგალითი 6.3. გამოიკვლიეთ ფუნქციის დიფერენციალურობა ვ = - z - x - iy.

გამოსავალი. w = u + iv = x - iy,სადაც u = x, v = -yდა

ამრიგად, კოში-რიმანის პირობები არ არის დაკმაყოფილებული არცერთ მომენტში და, შესაბამისად, ფუნქცია w = zარსად არ განსხვავდება.

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ფუნქციის დიფერენციალურობა და იპოვოთ წარმოებულები პირდაპირ ფორმულის გამოყენებით (6.1).

მაგალითი 6.4. ფორმულის გამოყენებით (6.1) გამოიკვლიეთ ფუნქციის დიფერენცირებადობა IV = z 2.

გამოსავალი. ა w- (zq + A ჩ) 2- Zq = 2 zqAz -I- (A ზ) 2,სადაც

ამიტომ ფუნქცია ვ = ზრდიფერენცირებადია ნებისმიერ წერტილში 2o და მისი წარმოებული f"(zo) =2 ზო-

ვინაიდან ლიმიტების შესახებ ძირითადი თეორემები შენარჩუნებულია რთული ცვლადის ფუნქციებისთვის და რთული ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის განმარტება ასევე არ განსხვავდება რეალური ცვლადის ფუნქციების შესაბამისი განმარტებისგან, მაშინ კარგად ცნობილი წესები ჯამის, სხვაობის, ნამრავლის, კოეფიციენტისა და კომპლექსის ფუნქციის დიფერენცირება მოქმედი რჩება რთული ცვლადის ფუნქციებისთვის. ანალოგიურად, ასევე შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ ფუნქცია f(z)წერტილში დიფერენცირებადი ზო.მაშინ ის უწყვეტია ამ ეტაპზე; საპირისპირო არ არის სიმართლე.

3. ანალიტიკური ფუნქციები. ფუნქცია ვ= /(^ დიფერენცირებადია მხოლოდ თავად წერტილში zq, არამედ ამ წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში, ე.წ ანალიტიკური zq წერტილში.თუ f(z)არის ანალიტიკური რეგიონის ყველა წერტილში D,მაშინ მას ეძახიან ანალიტიკური (რეგულარული, ჰოლომორფული) დომენში D.

წარმოებულების თვისებებიდან მაშინვე გამოდის, რომ თუ f(z)და გ(ზ)- ანალიტიკური ფუნქციები სფეროში D,შემდეგ ფუნქციები f(z) + გ(ზ), ფ(ზ) - გ(ზ), f(z) გ(ზ)ასევე ანალიტიკური ამ სფეროში D,და კოეფიციენტი f(z)/g(z)ანალიტიკური ფუნქცია რეგიონის ყველა წერტილში დ.რომელშიც გ(ზ) ვ 0. მაგალითად, ფუნქცია

ანალიტიკურია C სიბრტყეში ჩამოშვებული წერტილებით ზ= = 1 და ზ - ი.

რთული ფუნქციის წარმოებულის თეორემადან გამომდინარეობს შემდეგი დებულება: თუ ფუნქცია და = u(z) არის ანალიტიკური დომენში დდა აჩვენებს დრეგიონისკენ დ"ცვლადი და, და ფუნქცია ვ = f(u)ანალიტიკური სფეროში დ", შემდეგ რთული ფუნქცია ვ = f(u(z))ცვლადი ზანალიტიკური წელს დ.

მოდით წარმოვიდგინოთ ფუნქციის კონცეფცია, რომელიც ანალიტიკურია დახურულ დომენში დ.განსხვავება ღია რეგიონისგან აქ არის ის, რომ ემატება სასაზღვრო პუნქტები, რომლებსაც არ აქვთ სამეზობლო კუთვნილება დ;ამიტომ წარმოებული ამ წერტილებში არ არის განსაზღვრული. ფუნქცია f(z)დაურეკა ანალიტიკური (რეგულარული, ჰოლომორფული) დახურულ რეგიონში დ, თუ ეს ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს უფრო ფართო ზონაში დმე შეიცავს D,ანალიტიკურამდე დფუნქციები.

პირობები (6.4) ჯერ კიდევ მე-18 საუკუნეში იყო შესწავლილი. დ'ალბერტი და ეილერი. ამიტომ მათ ზოგჯერ დ'ალმბერ-ეილერის პირობებსაც უწოდებენ, რაც ისტორიული თვალსაზრისით უფრო სწორია.

დაუშვით ფუნქცია ვ = ვ(ზ) მოცემულია რაღაც კომპლექტზე და ზ 0 , ეკუთვნის ე, ამ ნაკრების ზღვრული წერტილი. დავამატოთ ზ 0 = x 0 + მე· წ 0 ნამატი Δ ზ = Δ x+ მე· Δ წმიუთითოს ზ = ზ 0 + Δ ზბევრს ეკუთვნოდა ე. შემდეგ ფუნქცია ვ = u+ მე· ვ = ვ(ზ) = u(x, წ)+ მე· ვ(x, წ). ჩვენ ვიღებთ ნამატს Δ ვ = Δ u+ მე· Δ ვ = ვ(ზ 0 + Δ ზ) - ვ(ზ 0 ) = Δ ვ(ზ 0 ) ,
.

თუ არსებობს სასრული ზღვარი
, მაშინ ე.წ ფუნქციის წარმოებულივ(ზ) წერტილშიზ 0 ბევრის მიერე, და აღინიშნება
,
,
, ვ" .

ფორმალურად, რთული ცვლადის წარმოებული ფუნქცია განისაზღვრება ზუსტად ისე, როგორც რეალური ცვლადის წარმოებული ფუნქცია, მაგრამ მათი შინაარსი განსხვავებულია.

ფუნქციის წარმოებულის განმარტებაში ვ(x) რეალური ცვლადი წერტილში X 0 , x→ x 0 სწორი ხაზის გასწვრივ. რთული ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში ვ(ზ), ზშეიძლება ისწრაფოდეს ზ 0 ნებისმიერი სიბრტყის ბილიკის გასწვრივ, რომელიც მიდის წერტილამდე ზ 0 .

ამიტომ რთული ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის არსებობის მოთხოვნა ძალიან მკაცრია. ეს განმარტავს, რომ რთული ცვლადის მარტივ ფუნქციებსაც კი არ აქვთ წარმოებული.

მაგალითი.

განიხილეთ ფუნქცია ვ = = x- მე· წ. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ამ ფუნქციას არ აქვს წარმოებული არც ერთ წერტილში. ავიღოთ ნებისმიერი წერტილი ზ 0 = x 0 + მე· წ 0 , მივცეთ მას ნამატი Δ ზ = Δ x+ მე· Δ წ, მაშინ ფუნქცია გაიზრდება. ნიშნავს

,
,

ჯერ განვიხილავთ Δ ზ = Δ x + მე· Δ წისეთი, რომ Δ x → 0 და Δ წ = 0 , ანუ წერტილი ზ 0 + Δ ზ → ზ 0 ჰორიზონტალური სწორი ხაზის გასწვრივ. ამ შემთხვევაში მივიღებთ ამას

ახლა განვიხილავთ ნამატს ∆ ზისეთი, რომ ∆ x = 0 , და ∆ წ → 0 , ე.ი. Როდესაც ზ 0 + ∆ ზ→ ზ 0 ვერტიკალური სწორი ხაზის გასწვრივ და ეს აშკარა იქნება
.

შედეგად მიღებული ლიმიტები განსხვავებულია, ამიტომ თანაფარდობა არ აქვს ლიმიტი ∆ ზ → 0 , ანუ ფუნქცია
არავითარი წარმოებული არ აქვს ზ 0 .

მოდით გავარკვიოთ წარმოებულის მნიშვნელობა სიმრავლის მიმართ. დაე ეარის რეალური ღერძი და ვ = ვ(ზ) = x, მაშინ ეს არის რეალური ცვლადის ჩვეულებრივი რეალური ფუნქცია ვ(x) = xდა მისი წარმოებული ტოლი იქნება 1 (
).

დაე, ახლავე ე- ეს არის მთელი თვითმფრინავი (Z). მოდით ვაჩვენოთ, რომ ფუნქცია ვ(ზ) = xამ შემთხვევაში არ აქვს წარმოებული არც ერთ წერტილში. მართლაც, ამ შემთხვევაში
.აქედან ირკვევა, რომ თუ
ა
, ეს
. თუ
, ა
, ეს
.აქედან გამომდინარე, დამოკიდებულება არ აქვს ლიმიტი
, ასე რომ ფუნქცია ვ(ზ) = xარავითარი წარმოებული არ აქვს
.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ განიხილება რეალური ცვლადის კომპლექსური მნიშვნელობის ფუნქცია, მაშინ წარმოებულის განმარტებიდან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ
მაშასადამე, (ეს არის წარმოებული რეალური ღერძის გასწვრივ).

ფუნქციების გაზრდის ფორმულა.

დაუშვით ფუნქცია ვ = ვ(ზ) აქვს წერტილში ზ 0 წარმოებული
. მოდით ვაჩვენოთ, რომ წარმოდგენა (1) მოქმედებს, სადაც არის რაოდენობა
, Როდესაც
.

მართლაც, წარმოებულის განმარტებით გვაქვს
მაშასადამე, ღირებულება
, Როდესაც
. ამრიგად, წარმოდგენა (1) ხდება (გამრავლეთ ორივე მხარე
და გადაიტანეთ იგი
მარცხენა მხარეს).

ლექცია No8 რთული ცვლადის ფუნქციის დიფერენციაცია და დიფერენციაცია

ფუნქცია ვ = ვ(ზ) დაურეკა წერტილში დიფერენცირებადიზ 0 , თუ ამ ეტაპზე ხდება წარმოდგენა (2), სადაც ა არის ფიქსირებული რთული რიცხვი და რაოდენობა
მიდრეკილია ნულისკენ როცა
.

თუ ფუნქცია ვ = ვ(ზ) წერტილში დიფერენცირებადი ზ 0 , მაშინ ძირითადი წრფივი შედარებით
მისი ნაწილი ა·
მატება
წერტილში ზ 0 დაურეკა დიფერენციალური ფუნქცია ვ(ზ) წერტილში და დანიშნულია
.

თეორემა მოქმედებს.

თეორემა.

ფუნქციის მიზნითვ = ვ(ზ) იყო დიფერენცირებადი იმ წერტილშიზ 0 , აუცილებელია და საკმარისია, რომ მას ჰქონდეს სასრულ წარმოებული ამ ეტაპზე
და ყოველთვის გამოდის, რომ წარმოდგენაში (2)
.

მტკიცებულება.

აუცილებლობა.დაე, ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი წერტილში ზ 0 . მოდით ვაჩვენოთ, რომ მას აქვს სასრული წარმოებული ამ ეტაპზე და რომ ეს წარმოებული ტოლია რიცხვის ა. დიფერენციაციის გამო ვ(ზ) წერტილში ზ 0 წარმოდგენა (2) ხდება, რაც ნიშნავს
(3). ლიმიტზე გადასვლა აქ ზე
ჩვენ ამას ვიღებთ
, ნიშნავს
.

ადეკვატურობა.დაუშვით ფუნქცია ვ(ზ) აქვს წერტილში ზ 0 საბოლოო წარმოებული
. მოდით ვაჩვენოთ, რომ წარმოდგენა (2) მოქმედებს. წარმოებულის არსებობის გამო
წარმოდგენა (1) ხდება, მაგრამ ეს ასევე არის წარმოდგენა (2), რომელშიც ა =
. საკმარისობა დადგენილია.

როგორც ვიცით, დიფერენციალი, დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალურად აღებული ზ მისი ზრდა
, ანუ ვარაუდით
, შეგვიძლია დავწეროთ
და, შესაბამისად
(ეს არის დიფერენციალთა მიმართება და არა ერთი სიმბოლო).

მოდით ფუნქცია = u(x, y)+iv(x, y) განისაზღვრება წერტილის სიახლოვეს ზ = x+iy. თუ ცვლადი ზმატება  ზ= x+მე წ, შემდეგ ფუნქცია
მიიღებს დანამატს


= (ზ+ ზ)–
=u(x+ x, წ+ წ)+

+ iv(x+ x, წ+ წ) - u(x, y) - iv(x, y) = [u(x+ x, წ+ წ) –

– u(x, y)] + მე[ვ(x+ x, წ+ წ) - ვ(x, y)] =

= u(x, y) + მე ვ(x, y).

განმარტება. თუ არის ზღვარი

=

,

მაშინ ამ ზღვარს ფუნქციის წარმოებული ეწოდება
წერტილში ზდა აღინიშნება ვ(ზ) ან
. ამრიგად, განსაზღვრებით,

=

=

. (1.37)

თუ ფუნქცია
აქვს წარმოებული წერტილი ზ, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია
წერტილში დიფერენცირებადი ზ. ცხადია, ფუნქციის დიფერენციალურობისთვის
აუცილებელია, რომ ფუნქციები u(x, y) და ვ(x, y) იყო დიფერენცირებადი. თუმცა, ეს საკმარისი არ არის წარმოებულის არსებობისთვის ვ(ზ). მაგალითად, ფუნქციისთვის ვ== x–iyფუნქციები u(x, y)=x

და ვ(x, y)=–წდიფერენცირებადი ყველა წერტილში M( x, y), მაგრამ თანაფარდობის ზღვარი
ზე  x0,  წ0 არ არსებობს, რადგან თუ  წ= 0,  x 0, მაშინ  ვ/ ზ= 1,

თუ  x = 0,  წ 0, მაშინ  ვ/ზ = -1.

არ არსებობს ერთი ლიმიტი. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია

ვ= არავითარი წარმოებული არ აქვს ზ. რთული ცვლადის ფუნქციის წარმოებული რომ არსებობდეს, საჭიროა დამატებითი პირობები. კონკრეტულად რომელი? ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა.დაუშვით ფუნქციები u(x, y) და ვ(x, y) დიფერენცირებადია M წერტილში ( x, y). შემდეგ ფუნქციის მიზნით

= u(x, y) + iv(x, y)

ჰქონდა წარმოებული წერტილი ზ = x+iy, აუცილებელია და საკმარისია თანასწორობის შესანარჩუნებლად

ტოლებს (1.38) უწოდებენ კოში-რიმანის პირობებს.

მტკიცებულება. 1) აუცილებლობა. დაუშვით ფუნქცია
აქვს წარმოებული z წერტილში, ანუ არის ზღვარი

=

=
.(1.39)

ტოლობის მარჯვენა მხარეს ლიმიტი (1.39) არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელ გზას გადის წერტილი  ზ =  x+მე წისწრაფვის

0-მდე. კერძოდ, თუ y = 0, x  0 (ნახ. 1.10), მაშინ

თუ x = 0, y  0 (ნახ. 1.11), მაშინ

(1.41)

სურ.1.10 ნახ. 1.11

მარცხენა გვერდები ტოლობაში (1.40) და (1.41) ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ მარჯვენა მხარეები ასევე თანაბარია

Აქედან გამომდინარეობს, რომ

ამრიგად, წარმოებულის არსებობის დაშვებიდან ვ(ზ) თანასწორობა (1.38) მოდის, ანუ წარმოებულის არსებობისთვის აუცილებელია კოში-რიმანის პირობები. ვ(ზ).

1) საკმარისობა. ახლა დავუშვათ, რომ ტოლობები (1.38) დაკმაყოფილებულია:

და დაამტკიცეთ, რომ ამ შემთხვევაში ფუნქცია
აქვს წარმოებული წერტილი ზ= x+iy, ანუ ლიმიტი (1.39)

=

არსებობს.

ფუნქციებიდან გამომდინარე u(x, y) და ვ(x, y) დიფერენცირებადია M წერტილში ( x, y), მაშინ ამ ფუნქციების მთლიანი ზრდა M წერტილში ( x, y) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით

სადაც  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 -ზე x0, წ0.

ვინაიდან, (1.38) ძალით,

აქედან გამომდინარე,

=
,

 1 =  1 +მე 1 0,  2 =  2 +მე 2 0 z = -ზე x+მეწ0.

ამრიგად,

ვინაიდან  ზ 2 =  x 2 + წ 2 , შემდეგ  x/ ზ1,  წ/ზ1. Ამიტომაც

-ზე ზ  0.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ტოლობის (1.42) მარჯვენა მხარეს აქვს ზღვარი  ზ 0, შესაბამისად, მარცხენა მხარეს ასევე აქვს ლიმიტი  ზ 0, და ეს ზღვარი არ არის დამოკიდებული რომელ გზაზე  ზმიდრეკილია 0-მდე. ამრიგად დადასტურდა, რომ თუ წერტილში M(x,y) პირობები (1.38) დაკმაყოფილებულია, შემდეგ ფუნქცია
აქვს წარმოებული წერტილი ზ = x+iy, და

თეორემა სრულიად დადასტურებულია.

თეორემის დამტკიცების პროცესში მიიღეს ორი ფორმულა (1.40) და (1.42) რთული ცვლადის ფუნქციის წარმოებულისთვის.

ფორმულების გამოყენებით (1.38) შეგვიძლია მივიღოთ კიდევ ორი ფორმულა

, (1.43)

. (1.44)

თუ ფუნქცია ვ(ზ) აქვს წარმოებული D რეგიონის ყველა წერტილში, მაშინ ვამბობთ, რომ ფუნქცია
დიფერენცირებადია D დომენში. ამისათვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილდეს D დომენის ყველა წერტილში.

მაგალითი.შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობები

ფუნქციები ე ზ .

იმიტომ რომ ე ზ = ე x+iy = ე x(კოს წ + მეცოდვა წ),

რომ u(x, წ) = რე ე ზ = ე x cos წ, ვ(x, წ) = მე ე ზ = ე xცოდვა წ,

,
,

აქედან გამომდინარე,

კოში-რიმანის პირობები ფუნქციისთვის ე ზშესრულებულია ყველა პუნქტში z. ასე რომ ფუნქცია ე ზდიფერენცირებადია რთული ცვლადის მთელ სიბრტყეზე და

განსხვავებულობა დადასტურებულია ზუსტად იგივე გზით

ფუნქციები ზ ნ , cos ზ, ცოდვა ზ, ჩვ ზ,შ ზ, Ln ზდა ფორმულების ვალიდობა

(ზ ნ) = n z n-1, (კოს ზ) = -ცოდვა ზ, (ცოდვა ზ) = კოს ზ,

(ჩვ ზ) = შ ზ, (შ ზ) = ქ ზ, (Ln ზ) = 1/ზ.

რთული ცვლადის ფუნქციებისთვის ძალაში რჩება რეალური ცვლადის ფუნქციების დიფერენცირების ყველა წესი. ამ წესების დადასტურება გამომდინარეობს წარმოებულის განმარტებიდან ისევე, როგორც რეალური ცვლადის ფუნქციებისთვის.

თეორემა

ფუნქციის მიზნით ვ = ვ(ზ) , განსაზღვრულია ზოგიერთ ტერიტორიაზე დრთული თვითმფრინავი, იყო დიფერენცირებადი წერტილში ზ 0 = x 0 + მეწ 0 რთული ცვლადის ფუნქციად ზ, აუცილებელია და საკმარისია მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები uდა ვიყო დიფერენცირებული იმ ეტაპზე ( x 0 ,წ 0) როგორც რეალური ცვლადების ფუნქციები xდა წდა რომ, გარდა ამისა, ამ ეტაპზე კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია:

; ;

თუ კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ წარმოებული ვ"(ზ) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რომელიმე შემდეგი ფორმით:

მტკიცებულება

შედეგები

ამბავი

ეს პირობები პირველად გამოჩნდა დ'ალმბერის ნაშრომში (1752) ოილერის ნაშრომში, რომელიც მოხსენებულია სანქტ-პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიაში 1777 წელს, პირობებმა პირველად მიიღო ფუნქციების ანალიტიკურობის ზოგადი ნიშანი გამოიყენა ეს ურთიერთობები ფუნქციების თეორიის ასაგებად, დაწყებული მემუარით, რომელიც წარდგენილ იქნა პარიზის მეცნიერებათა აკადემიაში 1814 წელს. რიმანის ცნობილი დისერტაცია ფუნქციათა თეორიის საფუძვლებზე თარიღდება 1851 წლით.

ლიტერატურა

შაბათი B.V.კომპლექსური ანალიზის შესავალი. - მ.: მეცნიერება, . - 577 გვ.
ტიჩმარშ ე.ფუნქციების თეორია: თარგმანი. ინგლისურიდან - მე-2 გამოცემა, შესწორებული. - მ.: მეცნიერება, . - 464 წ.
პრივალოვი I.I.კომპლექსური ცვლადის ფუნქციების თეორიის შესავალი: სახელმძღვანელო უმაღლესი განათლებისთვის. - მ.-ლ.: სახელმწიფო გამომცემლობა, . - 316 წ.
ევგრაფიოვი M.A.ანალიტიკური ფუნქციები. - მე-2 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი - მ.: მეცნიერება, . - 472 წ.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის „კოში-რიმანის პირობები“ სხვა ლექსიკონებში:

რიმანი, რომელსაც ასევე უწოდებენ დ'ალმბერ ეილერის პირობებს, ურთიერთობები, რომლებიც აკავშირებს რთული ცვლადის ნებისმიერი დიფერენცირებადი ფუნქციის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს. სარჩევი 1 ფორმულირება ... ვიკიპედია

კოში-რიმანის პირობები, ან დ'ალბერტ ეილერის პირობები, პირობები რთული ცვლადის ფუნქციის რეალურ u = u(x,y) და წარმოსახვითი v = v(x,y) ნაწილებზე, რაც უზრუნველყოფს f(-ის უსასრულო უწყვეტ დიფერენციალურობას. ჩ) კომპლექსის ფუნქცია... ... ვიკიპედია

დ ალემბერ ეილერის პირობები, პირობები რეალურ u=u(x, y) და წარმოსახვითი v=v(x, y). რთული ცვლადის ფუნქციის ნაწილები, რომლებიც უზრუნველყოფენ f(z) ფუნქციის მონოგენურობას და ანალიტიურობას. რთული ცვლადის. იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს w=f(z),…… მათემატიკური ენციკლოპედია

ავგუსტინ ლუი კოში ავგუსტინ ლუი კოში ... ვიკიპედია

ავგუსტინ ლუი კოში (ფრანგ. Augustin Louis Cauchy; 21 აგვისტო, 1789, პარიზი, 23 მაისი, 1857, Saux (Eau de Seine)) ფრანგმა მათემატიკოსმა, პარიზის მეცნიერებათა აკადემიის წევრმა, შეიმუშავა მათემატიკური ანალიზის საფუძველი და თავად შექმნა. დიდი წვლილი შეიტანა ანალიზში... ვიკიპედია

რთული ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია

პირველ რიგში, მოდით განვაახლოთ ჩვენი ცოდნა ერთი ცვლადის სკოლის ფუნქციის შესახებ:

ერთი ცვლადის ფუნქცია არის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა (განსაზღვრების სფეროდან) შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას. ბუნებრივია, "x" და "y" რეალური რიცხვებია.

რთულ შემთხვევაში, ფუნქციური დამოკიდებულება მითითებულია ანალოგიურად:

რთული ცვლადის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია არის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის ყოველი კომპლექსური მნიშვნელობა (განსაზღვრების სფეროდან) შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ კომპლექსურ მნიშვნელობას. თეორია ასევე განიხილავს მრავალმნიშვნელოვან და სხვა ტიპის ფუნქციებს, მაგრამ სიმარტივისთვის მე ყურადღებას გავამახვილებ ერთ განმარტებაზე.

რა განსხვავებაა რთული ცვლადის ფუნქციას შორის?

მთავარი განსხვავება: რთული რიცხვები. არ ვარ ირონიული. ასეთი კითხვები ხშირად ტოვებს ხალხს სისულელეში, სტატიის ბოლოს მოგიყვებით სასაცილო ამბავს. გაკვეთილზე რთული რიცხვები დუმებისთვისჩვენ განვიხილეთ კომპლექსური რიცხვი სახით. ვინაიდან ასო „z“ გახდა ცვლადი, ჩვენ მას შემდეგნაირად აღვნიშნავთ: , ხოლო „x“ და „y“ შეიძლება მიიღონ სხვადასხვა რეალური მნიშვნელობა. უხეშად რომ ვთქვათ, რთული ცვლადის ფუნქცია დამოკიდებულია ცვლადებზე და , რომლებიც იღებენ „ჩვეულებრივ“ მნიშვნელობებს. ამ ფაქტიდან ლოგიკურად გამომდინარეობს შემდეგი პუნქტი:

რთული ცვლადის ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილი

რთული ცვლადის ფუნქცია შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
, სადაც და არის ორი რეალური ცვლადის ორი ფუნქცია.

ფუნქციას ეწოდება ფუნქციის რეალური ნაწილი.
ფუნქციას ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი ეწოდება.

ანუ რთული ცვლადის ფუნქცია დამოკიდებულია ორ რეალურ ფუნქციაზე და . ყველაფრის საბოლოოდ გასარკვევად, მოდით შევხედოთ პრაქტიკულ მაგალითებს:

ამოხსნა: დამოუკიდებელი ცვლადი “zet”, როგორც გახსოვთ, იწერება სახით, შესაბამისად:

(1) ჩვენ შევცვალეთ.

(2) პირველი ტერმინისთვის გამოყენებული იქნა გამრავლების შემოკლებული ფორმულა. ტერმინში ფრჩხილები გაიხსნა.

(3) ფრთხილად კვადრატში, არ დაგავიწყდეს ეს

(4) ტერმინების გადაჯგუფება: ჯერ ხელახლა ვწერთ ტერმინებს, რომლებშიც არ არის წარმოსახვითი ერთეული (პირველი ჯგუფი), შემდეგ ტერმინები სადაც არის (მეორე ჯგუფი). უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინების არევა საჭირო არ არის და ეს ნაბიჯი შეიძლება გამოტოვოთ (ნამდვილად ზეპირად გაკეთებით).

(5) მეორე ჯგუფისთვის ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან.

შედეგად, ჩვენი ფუნქცია ფორმაში იყო წარმოდგენილი

პასუხი:
- ფუნქციის რეალური ნაწილი.
- ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.

რა სახის ფუნქციები აღმოჩნდა ეს? ორი ცვლადის ყველაზე ჩვეულებრივი ფუნქცია, საიდანაც შეგიძლიათ იპოვოთ ასეთი პოპულარული ნაწილობრივი წარმოებულები. მოწყალების გარეშე, ჩვენ მას ვიპოვით. მაგრამ ცოტა მოგვიანებით.

მოკლედ, ამოხსნილი პრობლემის ალგორითმი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: ჩვენ ვცვლით , თავდაპირველ ფუნქციას, ვახორციელებთ გამარტივებებს და ვყოფთ ყველა ტერმინს ორ ჯგუფად - წარმოსახვითი ერთეულის გარეშე (რეალური ნაწილი) და წარმოსახვითი ერთეულით (წარმოსახვითი ნაწილი) .

იპოვნეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სანამ რთულ სიბრტყეზე ბრძოლაში შეხვალთ ჩექმებით, ნება მომეცით მოგცეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი რჩევა თემაზე:

ᲤᲠᲗᲮᲘᲚᲐᲓ ᲘᲧᲐᲕᲘ! ფრთხილად უნდა იყოთ, რა თქმა უნდა, ყველგან, მაგრამ კომპლექსურ რიცხვებში უფრო ფრთხილად უნდა იყოთ, ვიდრე ოდესმე! გახსოვდეთ, რომ ფრთხილად გახსენით ფრჩხილები, არაფერი დაკარგოთ. ჩემი დაკვირვებით, ყველაზე გავრცელებული შეცდომა ნიშნის დაკარგვაა. Არ იჩქარო!

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კუბი. გამრავლების შემოკლებული ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ გამოვიყვანთ:
.

ფორმულები ძალიან მოსახერხებელია პრაქტიკაში გამოსაყენებლად, რადგან ისინი მნიშვნელოვნად აჩქარებენ გადაწყვეტის პროცესს.

რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია.
კოში-რიმანის პირობები

ორი ამბავი მაქვს: კარგი და ცუდი. დავიწყებ კარგით. რთული ცვლადის ფუნქციისთვის მოქმედებს დიფერენცირების წესები და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. ამრიგად, წარმოებული აღებულია ზუსტად ისე, როგორც რეალური ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში.

ცუდი ამბავი ის არის, რომ რთული ცვლადის მრავალი ფუნქციისთვის საერთოდ არ არსებობს წარმოებული და თქვენ უნდა გაარკვიოთ არის თუ არა კონკრეტული ფუნქცია დიფერენცირებადი. და „გააზრება“ თუ როგორ გრძნობს თქვენი გული, დაკავშირებულია დამატებით პრობლემებთან.

განვიხილოთ რთული ცვლადის ფუნქცია. იმისათვის, რომ ეს ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი, აუცილებელია და საკმარისი:

1) ისე რომ არსებობდეს პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები. დაუყოვნებლივ დაივიწყეთ ეს აღნიშვნები, რადგან რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიაში ტრადიციულად გამოიყენება განსხვავებული აღნიშვნა: .

2) ასე რომ, ე.წ. კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია:

მხოლოდ ამ შემთხვევაში იარსებებს წარმოებული!

განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები . შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. თუ კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

გამოსავალი დაყოფილია სამ თანმიმდევრულ ეტაპად:

1) ვიპოვოთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. ეს დავალება განხილული იყო წინა მაგალითებში, ამიტომ მას კომენტარის გარეშე დავწერ:

Მას შემდეგ:

ამრიგად:
– ფუნქციის რეალური ნაწილი;
- ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.

კიდევ ერთ ტექნიკურ საკითხზე შევჩერდები: რა თანმიმდევრობით უნდა ჩავწეროთ ტერმინები რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებში? დიახ, პრინციპში, არ აქვს მნიშვნელობა. მაგალითად, რეალური ნაწილი შეიძლება დაიწეროს ასე: , ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი ასე: .

3) შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. ორი მათგანია.

დავიწყოთ მდგომარეობის შემოწმებით. Ჩვენ ვიპოვეთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

ამრიგად, პირობა დაკმაყოფილებულია.

რა თქმა უნდა, კარგი ამბავი ის არის, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები თითქმის ყოველთვის ძალიან მარტივია.

ჩვენ ვამოწმებთ მეორე პირობის შესრულებას:

შედეგი იგივეა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნებით, ანუ პირობაც შესრულებულია.

კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ფუნქცია დიფერენცირებადია.

3) ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული. წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია და გვხვდება ჩვეულებრივი წესების მიხედვით:

წარმოსახვითი ერთეული დიფერენცირებისას მუდმივად ითვლება.

პასუხი: - რეალური ნაწილი, - წარმოსახვითი ნაწილი.
კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.

FKP ინტეგრალი. კოშის თეორემა.

ფორმულა ( 52 ) ეწოდება კოშის ინტეგრალური ფორმულა ან კოშის ინტეგრალი. თუ კონტურის სახით ( 52 ) აირჩიეთ წრე, შემდეგ, შეცვალეთ და იმის გათვალისწინებით, რომ არის რკალის სიგრძის დიფერენციალი, კოშის ინტეგრალი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს საშუალო მნიშვნელობის ფორმულის სახით:

ქოშის ინტეგრალური ფორმულის დამოუკიდებელი მნიშვნელობის გარდა, ( 52 ), (54 ) რეალურად იძლევა ძალიან მოსახერხებელ გზას კონტურის ინტეგრალების გამოსათვლელად, რომელიც, როგორც ჩანს, გამოიხატება ინტეგრანის „დარჩენის“ მნიშვნელობით იმ წერტილში, სადაც ამ ფუნქციას აქვს სინგულარობა.

მაგალითი 3-9. გამოთვალეთ ფუნქციის ინტეგრალი კონტურის გასწვრივ (სურ.20).

გამოსავალი. წერტილი, რომელშიც ფუნქციას აქვს სინგულარობა, მაგალითი 4-1-ისგან განსხვავებით, მდებარეობს წრის შიგნით. მოდით წარმოვადგინოთ ინტეგრალი სახით ( 52 ):

კოშის ფორმულა.

მოდით იყოს რეგიონი კომპლექსურ სიბრტყეზე ნაწილებად გლუვი საზღვრით, ფუნქცია ჰოლომორფულია და იყოს წერტილი რეგიონის შიგნით. მაშინ მოქმედია შემდეგი კოშის ფორმულა:

ფორმულა ასევე მოქმედებს, თუ ვივარაუდებთ, რომ ის შიგნით არის ჰოლომორფული და დახურვისას უწყვეტი, და ასევე, თუ საზღვარი არ არის ნაწილებად გლუვი, მაგრამ მხოლოდ გასწორებადია (ჰოლომორფული ფუნქცია არის კომპლექსური რიცხვის ფუნქცია, ნაწილებად გლუვი არის ფუნქცია რეალური რიცხვი)

ელემენტარული FKP: ტეილორის ფუნქცია, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ჰიპერბოლური ფუნქციები, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ლოგარითმული ფუნქციები, კოშის ფორმულა.

პორტალი სკოლის მოსწავლეებისთვის. თვით მომზადება