როგორ ამოხსნათ მატრიცული განტოლება კრამერის მეთოდით. კრამერის მეთოდი: წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა (Slau)

კრამერის მეთოდი ეფუძნება დეტერმინანტების გამოყენებას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას. ეს მნიშვნელოვნად აჩქარებს გადაწყვეტის პროცესს.

კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმდენი წრფივი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად, რამდენიც უცნობია თითოეულ განტოლებაში. თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ გამოსავალში შეიძლება გამოვიყენოთ კრამერის მეთოდი, თუ ის ნულის ტოლია, მაშინ არ შეიძლება. გარდა ამისა, კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად, რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები.

განმარტება. უცნობის კოეფიციენტებისგან შედგენილ განმსაზღვრელს სისტემის განმსაზღვრელი ეწოდება და აღინიშნება (დელტათი).

განმსაზღვრელი

მიღებულია კოეფიციენტების შეცვლით შესაბამის უცნობებში თავისუფალი ტერმინებით:

;

კრამერის თეორემა. თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი, ხოლო უცნობი უდრის დეტერმინანტთა თანაფარდობას. მნიშვნელი შეიცავს სისტემის განმსაზღვრელს, ხოლო მრიცხველი შეიცავს სისტემის განმსაზღვრელგან მიღებულ განმსაზღვრელს კოეფიციენტების შეცვლით უცნობით თავისუფალი ტერმინებით. ეს თეორემა ეხება ნებისმიერი რიგის წრფივი განტოლებების სისტემას.

მაგალითი 1ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა:

Მიხედვით კრამერის თეორემაჩვენ გვაქვს:

ასე რომ, სისტემის ამოხსნა (2):

ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

სამი შემთხვევა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

როგორც ჩანს კრამერის თეორემებიწრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნისას შეიძლება მოხდეს სამი შემთხვევა:

პირველი შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი

(სისტემა არის თანმიმდევრული და გარკვეული)

მეორე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა

(სისტემა არის თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი)

** ,

იმათ. უცნობთა და თავისუფალი წევრთა კოეფიციენტები პროპორციულია.

მესამე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს

(სისტემა არათანმიმდევრულია)

ასე რომ სისტემა მწრფივი განტოლებები ნცვლადები ეწოდება შეუთავსებელითუ მას არ აქვს გამოსავალი და ერთობლივითუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც. განტოლებათა ერთობლივ სისტემას, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი, ეწოდება გარკვეულიდა ერთზე მეტი გაურკვეველი.

კრემერის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები

მიეცით სისტემა

კრამერის თეორემაზე დაყრდნობით

………….
,

სადაც
-

სისტემის იდენტიფიკატორი. დარჩენილი დეტერმინანტები მიიღება სვეტის ჩანაცვლებით შესაბამისი ცვლადის (უცნობი) კოეფიციენტებით თავისუფალი წევრებით:

მაგალითი 2

ამიტომ, სისტემა გარკვეულია. მისი ამოხსნის საპოვნელად ვიანგარიშებთ დეტერმინანტებს

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

ასე რომ, (1; 0; -1) არის სისტემის ერთადერთი გამოსავალი.

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

თუ წრფივი განტოლებების სისტემაში არ არის ცვლადები ერთ ან რამდენიმე განტოლებაში, მაშინ განმსაზღვრელში მათ შესაბამისი ელემენტები ნულის ტოლია! ეს არის შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 3ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

ყურადღებით დააკვირდით განტოლებათა სისტემას და სისტემის განმსაზღვრელს და გაიმეორეთ პასუხი კითხვაზე, რომელ შემთხვევაშია დეტერმინანტის ერთი ან რამდენიმე ელემენტი ნულის ტოლი. ასე რომ, დეტერმინანტი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, სისტემა განსაზღვრულია. მისი ამოხსნის საპოვნელად ვიანგარიშებთ უცნობის განმსაზღვრელებს

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

მაშ ასე, სისტემის ამონახსნი არის (2; -1; 1).

გვერდის ზედა

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ სისტემების გადაჭრას კრამერის მეთოდით

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თუ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ხოლო უცნობის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ მას არ აქვს ამონახსნები. მოდი ილუსტრაციით ვაჩვენოთ შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 6ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, შესაბამისად, წრფივი განტოლებათა სისტემა ან არათანმიმდევრული და განსაზღვრულია, ან არათანმიმდევრული, ანუ არ აქვს ამონახსნები. გასარკვევად, ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელებს უცნობისთვის

უცნობის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ არ აქვს ამონახსნები.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოცანებში არის ისეთებიც, სადაც ცვლადის აღმნიშვნელი ასოების გარდა არის სხვა ასოებიც. ეს ასოები ნიშნავს რაღაც რიცხვს, ყველაზე ხშირად რეალურ რიცხვს. პრაქტიკაში, ასეთი განტოლებები და განტოლებათა სისტემები იწვევს პრობლემებს ნებისმიერი ფენომენის და ობიექტის ზოგადი თვისებების პოვნაში. ანუ, თქვენ გამოიგონეთ ახალი მასალა ან მოწყობილობა და მისი თვისებების აღსაწერად, რომლებიც საერთოა ასლების ზომისა და რაოდენობის მიუხედავად, თქვენ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებების სისტემა, სადაც ცვლადების ზოგიერთი კოეფიციენტის ნაცვლად არის ასოები. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მაგალითები.

შემდეგი მაგალითი არის მსგავსი პრობლემისთვის, იზრდება მხოლოდ განტოლებების, ცვლადებისა და ასოების რაოდენობა, რომლებიც აღნიშნავენ რეალურ რიცხვს.

მაგალითი 8ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

უცნობების განმსაზღვრელთა პოვნა

მოდით, წრფივი განტოლებათა სისტემა შეიცავდეს იმდენ განტოლებას, რამდენიც დამოუკიდებელი ცვლადების რაოდენობა, ე.ი. ფორმა აქვს

წრფივი განტოლებების ასეთ სისტემებს კვადრატული ეწოდება. სისტემის დამოუკიდებელი ცვლადების კოეფიციენტებისგან შედგენილ დეტერმინანტს (1.5) ეწოდება სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი. ჩვენ აღვნიშნავთ მას ბერძნული ასო D. ამგვარად,

. (1.6)

თუ მთავარ განმსაზღვრელში არის თვითნებური ( ჯე) სვეტი, შეცვალეთ იგი სისტემის თავისუფალი წევრების სვეტით (1.5), შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ მეტი ნდამხმარე განმსაზღვრელი:

(ჯ = 1, 2, …, ნ). (1.7)

კრამერის წესიწრფივი განტოლებების კვადრატული სისტემების ამოხსნა შემდეგია. თუ (1.5) სისტემის ძირითადი განმსაზღვრელი D არის არანულოვანი, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს ფორმულებით:

(1.8)

მაგალითი 1.5.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით

მოდით გამოვთვალოთ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი:

D¹0-დან სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით (1.8):

ამრიგად,

მატრიცული მოქმედებები

1. მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.მატრიცის რიცხვზე გამრავლების ოპერაცია განისაზღვრება შემდეგნაირად.

2. იმისათვის, რომ მატრიცა გავამრავლოთ რიცხვზე, საჭიროა მისი ყველა ელემენტის გამრავლება ამ რიცხვზე. ე.ი

. (1.9)

მაგალითი 1.6. .

მატრიცის დამატება.

ეს ოპერაცია შემოღებულია მხოლოდ იმავე რიგის მატრიცებისთვის.

ორი მატრიცის დასამატებლად აუცილებელია მეორე მატრიცის შესაბამისი ელემენტების დამატება ერთი მატრიცის ელემენტებს:

(1.10)
მატრიცის შეკრების ოპერაციას აქვს ასოციაციურობის და კომუტატიურობის თვისებები.

მაგალითი 1.7. .

მატრიცული გამრავლება.

თუ მატრიცის სვეტების რაოდენობა მაგრამშეესაბამება მატრიცის რიგების რაოდენობას AT, მაშინ ასეთი მატრიცებისთვის შემოღებულია გამრავლების ოპერაცია:

ამრიგად, მატრიცის გამრავლებისას მაგრამზომები მ´ ნმატრიცამდე ATზომები ნ´ კჩვენ ვიღებთ მატრიცას თანზომები მ´ კ. ამ შემთხვევაში, მატრიცის ელემენტები თანგამოითვლება შემდეგი ფორმულების მიხედვით:

პრობლემა 1.8.იპოვეთ, თუ ეს შესაძლებელია, მატრიცების ნამრავლი ABდა BA:

გადაწყვეტილება. 1) სამუშაოს პოვნა AB, გჭირდებათ მატრიცის რიგები აგამრავლება მატრიცის სვეტებით ბ:

2) ნამუშევარი BAარ არსებობს, რადგან მატრიცის სვეტების რაოდენობა ბარ ემთხვევა მატრიცის რიგების რაოდენობას ა.

ინვერსიული მატრიცა. წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული გზით

მატრიცა A- 1 ეწოდება კვადრატული მატრიცის ინვერსიას მაგრამთუ თანასწორობა მოქმედებს:

სადაც გავლით მეაღნიშნავს იგივე რიგის იდენტურობის მატრიცას, როგორც მატრიცა მაგრამ:

იმისათვის, რომ კვადრატულ მატრიცას ჰქონდეს შებრუნებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი განმსაზღვრელი იყოს ნულოვანი. ინვერსიული მატრიცა გვხვდება ფორმულით:

, (1.13)

სადაც იჯ- ელემენტების ალგებრული დამატებები აიჯმატრიცები მაგრამ(გაითვალისწინეთ, რომ ალგებრული დამატებები მატრიცის რიგებში მაგრამგანლაგებულია შებრუნებულ მატრიცაში შესაბამისი სვეტების სახით).

მაგალითი 1.9.იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა A- 1 მატრიცამდე

ჩვენ ვპოულობთ შებრუნებულ მატრიცას ფორმულით (1.13), რომელიც შემთხვევისთვის ნ= 3 ასე გამოიყურება:

მოდი ვიპოვოთ დეტი ა = | ა| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. ვინაიდან თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ არსებობს შებრუნებული მატრიცა.

1) იპოვეთ ალგებრული დამატებები იჯ:

ინვერსიული მატრიცის პოვნის მოხერხებულობისთვის, ორიგინალური მატრიცის რიგების ალგებრული დამატებები შესაბამის სვეტებში მოვათავსეთ.

მიღებული ალგებრული დამატებებიდან ვქმნით ახალ მატრიცას და ვყოფთ განმსაზღვრელ დეტზე. ა. ამრიგად, ჩვენ მივიღებთ შებრუნებულ მატრიცას:

წრფივი განტოლებების კვადრატული სისტემები არა-ნულოვანი მთავარი განმსაზღვრელი შეიძლება ამოიხსნას შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით. ამისათვის სისტემა (1.5) იწერება მატრიცის სახით:

სადაც

მარცხნივ ტოლობის (1.14) ორივე მხარის გამრავლება A- 1, ჩვენ ვიღებთ სისტემის ამოხსნას:

, სად

ამრიგად, კვადრატული სისტემის გამოსავლის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ შებრუნებული მატრიცა სისტემის მთავარ მატრიცაზე და გაამრავლოთ იგი მარჯვნივ, თავისუფალი ტერმინების სვეტის მატრიცით.

პრობლემა 1.10.ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვწერთ სისტემას მატრიცის სახით:

სადაც არის სისტემის მთავარი მატრიცა, არის უცნობების სვეტი და არის თავისუფალი ტერმინების სვეტი. ვინაიდან სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი , შემდეგ სისტემის მთავარი მატრიცა მაგრამაქვს შებრუნებული მატრიცა მაგრამ-ერთი. შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად მაგრამ-1, გამოთვალეთ მატრიცის ყველა ელემენტის ალგებრული დანამატები მაგრამ:

მიღებული რიცხვებიდან ვადგენთ მატრიცას (უფრო მეტიც, ალგებრული დამატებები მატრიცის რიგებში მაგრამჩაწერეთ შესაბამის სვეტებში) და გაყავით იგი განმსაზღვრელ D-ზე. ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ შებრუნებული მატრიცა:

სისტემის ამოხსნა ნაპოვნია ფორმულით (1.15):

ამრიგად,

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა ჩვეულებრივი იორდანიის გამონაკლისებით

მოდით იყოს მოცემული წრფივი განტოლებათა თვითნებური (არა აუცილებლად კვადრატული) სისტემა:

(1.16)

საჭიროა სისტემის გამოსავლის პოვნა, ე.ი. ცვლადების ისეთი ნაკრები, რომელიც აკმაყოფილებს სისტემის ყველა თანასწორობას (1.16). ზოგადად, სისტემას (1.16) შეიძლება ჰქონდეს არა მხოლოდ ერთი ამონახსნი, არამედ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. მას ასევე შეიძლება საერთოდ არ ჰქონდეს გამოსავალი.

ასეთი პრობლემების გადაჭრისას გამოიყენება სასკოლო კურსიდან უცნობის ამოღების ცნობილი მეთოდი, რომელსაც ასევე უწოდებენ ჩვეულებრივი იორდანიის აღმოფხვრების მეთოდს. ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში (1.16) ერთ-ერთი ცვლადი გამოხატულია სხვა ცვლადების მიხედვით. შემდეგ ეს ცვლადი ჩანაცვლებულია სისტემის სხვა განტოლებით. შედეგი არის სისტემა, რომელიც შეიცავს ერთ განტოლებას და ერთ ნაკლებ ცვლადს, ვიდრე თავდაპირველი სისტემა. განტოლება, საიდანაც ცვლადი იყო გამოხატული, მახსოვს.

ეს პროცესი მეორდება მანამ, სანამ სისტემაში დარჩება ბოლო განტოლება. უცნობების აღმოფხვრის პროცესში, ზოგიერთი განტოლება შეიძლება გადაიქცეს ნამდვილ იდენტობად, მაგალითად. ასეთი განტოლებები გამორიცხულია სისტემიდან, რადგან ისინი მოქმედებს ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის და, შესაბამისად, არ იმოქმედებს სისტემის ამოხსნაზე. თუ უცნობის აღმოფხვრის პროცესში, სულ მცირე, ერთი განტოლება ხდება ტოლობა, რომელიც არ შეიძლება დაკმაყოფილდეს ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობისთვის (მაგალითად, ), მაშინ დავასკვნით, რომ სისტემას არ აქვს გამოსავალი.

თუ არათანმიმდევრული განტოლებების ამოხსნის დროს არ წარმოიშვა, მაშინ მასში დარჩენილი ერთ-ერთი ცვლადი ნაპოვნია ბოლო განტოლებიდან. თუ ბოლო განტოლებაში მხოლოდ ერთი ცვლადი რჩება, მაშინ ის გამოიხატება რიცხვით. თუ სხვა ცვლადები რჩება ბოლო განტოლებაში, მაშინ ისინი განიხილება პარამეტრებად და მათი მეშვეობით გამოხატული ცვლადი იქნება ამ პარამეტრების ფუნქცია. შემდეგ ხდება ეგრეთ წოდებული „საპირისპირო მოძრაობა“. ნაპოვნი ცვლადი ჩანაცვლებულია ბოლო დამახსოვრებულ განტოლებაში და ნაპოვნია მეორე ცვლადი. შემდეგ ნაპოვნი ორი ცვლადი ჩანაცვლებულია ბოლო დასამახსოვრებელ განტოლებაში და ნაპოვნია მესამე ცვლადი და ასე შემდეგ, პირველ დასამახსოვრებელ განტოლებამდე.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სისტემის გადაწყვეტას. ეს გამოსავალი იქნება ერთადერთი, თუ ნაპოვნი ცვლადები რიცხვებია. თუ პირველი ნაპოვნი ცვლადი და შემდეგ ყველა დანარჩენი დამოკიდებულია პარამეტრებზე, მაშინ სისტემას ექნება ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (პარამეტრების თითოეული ნაკრები შეესაბამება ახალ ამონახსნებს). ფორმულებს, რომლებიც იძლევა სისტემის ამოხსნის პოვნის საშუალებას, პარამეტრების კონკრეტული ნაკრებიდან გამომდინარე, ეწოდება სისტემის ზოგადი ამოხსნა.

მაგალითი 1.11.

პირველი განტოლების დამახსოვრების შემდეგ და მეორე და მესამე განტოლებებში მსგავსი ტერმინების მოყვანით მივდივართ სისტემამდე:

ექსპრესი წმეორე განტოლებიდან და ჩაანაცვლეთ იგი პირველ განტოლებაში:

დაიმახსოვრეთ მეორე განტოლება და პირველიდან ვპოულობთ ზ:

საპირისპირო სვლისას ჩვენ თანმიმდევრულად ვპოულობთ წდა ზ. ამისათვის ჩვენ ჯერ ჩავანაცვლებთ ბოლო დამახსოვრებულ განტოლებას, საიდანაც ვპოულობთ წ:

შემდეგ ჩავანაცვლებთ პირველ დამახსოვრებულ განტოლებას საიდანაც ვპოულობთ x:

პრობლემა 1.12.ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა უცნობის აღმოფხვრით:

. (1.17)

გადაწყვეტილება.გამოვხატოთ ცვლადი პირველი განტოლებიდან xდა ჩაანაცვლეთ მეორე და მესამე განტოლებებით:

დაიმახსოვრე პირველი განტოლება

ამ სისტემაში პირველი და მეორე განტოლებები ეწინააღმდეგება ერთმანეთს. მართლაც, გამოხატავს წ , მივიღებთ, რომ 14 = 17. ეს თანასწორობა არ არის დაკმაყოფილებული ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x, წ, და ზ. შესაბამისად, სისტემა (1.17) არათანმიმდევრულია, ე.ი. გამოსავალი არ აქვს.

მკითხველებს ვთხოვთ დამოუკიდებლად გადაამოწმონ, რომ ორიგინალური სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი (1.17) ნულის ტოლია.

განვიხილოთ სისტემა, რომელიც განსხვავდება სისტემისგან (1.17) მხოლოდ ერთი თავისუფალი ტერმინით.

პრობლემა 1.13.ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა უცნობის აღმოფხვრით:

. (1.18)

გადაწყვეტილება.როგორც ადრე, ჩვენ გამოვხატავთ ცვლადს პირველი განტოლებიდან xდა ჩაანაცვლეთ მეორე და მესამე განტოლებებით:

დაიმახსოვრე პირველი განტოლება და მსგავს ტერმინებს წარმოვადგენთ მეორე და მესამე განტოლებებში. ჩვენ მივდივართ სისტემაში:

გამოხატავს წპირველი განტოლებიდან და მისი ჩანაცვლება მეორე განტოლებით , ვიღებთ იდენტობას 14 = 14, რაც გავლენას არ ახდენს სისტემის ამოხსნაზე და, შესაბამისად, შეიძლება მისი გამორიცხვა სისტემიდან.

ბოლო დამახსოვრებულ ტოლობაში ცვლადი ზპარამეტრად ჩაითვლება. Ჩვენ გვჯერა . მერე

შემცვლელი წდა ზპირველ დასამახსოვრებელ თანასწორობაში და იპოვნეთ x:

ამრიგად, სისტემას (1.18) აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები და ნებისმიერი ამონახსნის პოვნა შესაძლებელია ფორმულებიდან (1.19) პარამეტრის თვითნებური მნიშვნელობის არჩევით. ტ:

(1.19)
ამრიგად, სისტემის ამონახსნები, მაგალითად, არის ცვლადების შემდეგი ნაკრები (1; 2; 0), (2; 26; 14) და ა.შ. ფორმულები (1.19) გამოხატავს სისტემის ზოგად (ნებისმიერ) ამონახსნებს (1.18). ).

იმ შემთხვევაში, როდესაც თავდაპირველ სისტემას (1.16) აქვს განტოლებებისა და უცნობის საკმარისად დიდი რაოდენობა, ჩვეულებრივი იორდანიის აღმოფხვრის მითითებული მეთოდი რთული ჩანს. თუმცა, ეს ასე არ არის. საკმარისია გამოვიტანოთ სისტემის კოეფიციენტების ერთ საფეხურზე გადაანგარიშების ალგორითმი ზოგადი ფორმით და პრობლემის გადაწყვეტის ფორმალიზება სპეციალური იორდანიის ცხრილების სახით.

მოდით, მოცემულია წრფივი ფორმების სისტემა (განტოლებები):

, (1.20)
სადაც xj- დამოუკიდებელი (სასურველი) ცვლადები, აიჯ- მუდმივი კოეფიციენტები
(მე = 1, 2,…, მ; ჯ = 1, 2,…, ნ). სისტემის მარჯვენა ნაწილები y მე (მე = 1, 2,…, მ) შეიძლება იყოს როგორც ცვლადი (დამოკიდებული) ასევე მუდმივი. საჭიროა ამ სისტემის გადაწყვეტის პოვნა უცნობების აღმოფხვრის გზით.

განვიხილოთ შემდეგი ოპერაცია, რომელიც შემდგომში მოიხსენიება როგორც "ჩვეულებრივი იორდანიის გამონაკლისების ერთი ნაბიჯი". თვითნებურიდან ( რე) თანასწორობა, ჩვენ გამოვხატავთ თვითნებურ ცვლადს ( x ს) და ჩაანაცვლეთ ყველა სხვა თანასწორობით. რა თქმა უნდა, ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რს¹ 0. კოეფიციენტი რსეწოდება გადამწყვეტი (ზოგჯერ სახელმძღვანელო ან მთავარი) ელემენტი.

ჩვენ მივიღებთ შემდეგ სისტემას:

. (1.21)

დან სსისტემის ტოლობა (1.21), ჩვენ შემდგომში ვიპოვით ცვლადს x ს(სხვა ცვლადების აღმოჩენის შემდეგ). სმე-6 სტრიქონი ახსოვს და შემდგომში გამოირიცხება სისტემიდან. დარჩენილი სისტემა შეიცავს ერთ განტოლებას და თავდაპირველ სისტემაზე ნაკლებ დამოუკიდებელ ცვლადს.

გამოვთვალოთ მიღებული სისტემის (1.21) კოეფიციენტები საწყისი სისტემის (1.20) კოეფიციენტების მიხედვით. დავიწყოთ იმით რე განტოლება, რომელიც ცვლადის გამოხატვის შემდეგ x სდანარჩენი ცვლადების მეშვეობით ასე გამოიყურება:

ამრიგად, ახალი კოეფიციენტები რგანტოლება გამოითვლება შემდეგი ფორმულებით:

(1.23)
ახლა გამოვთვალოთ ახალი კოეფიციენტები ბ ij(მე¹ რ) თვითნებური განტოლების. ამისათვის ჩვენ ვცვლით (1.22) გამოხატულ ცვლადს. x ს in მესისტემის ე განტოლება (1.20):

მსგავსი პირობების შემოტანის შემდეგ ვიღებთ:

(1.24)
ტოლობიდან (1.24) ვიღებთ ფორმულებს, რომლებითაც გამოითვლება (1.21) სისტემის დარჩენილი კოეფიციენტები (გარდა რგანტოლება):

(1.25)
წრფივი განტოლებათა სისტემების ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივი იორდანიის ელიმინაციების მეთოდით წარმოდგენილია ცხრილების (მატრიცების) სახით. ამ ცხრილებს „იორდანიის მაგიდები“ ეწოდება.

ამრიგად, პრობლემა (1.20) ასოცირდება შემდეგ იორდანიის ცხრილთან:

ცხრილი 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x ს	…	x n
წ 1 =	ა 11	ა 12		ა 1ჯ		ა 1ს		ა 1ნ
…………………………………………………………………..
y მე=	ა ი 1	ა ი 2		აიჯ		არის		in
…………………………………………………………………..
წ=	რ 1	რ 2		რჯ		რს		რნ
………………………………………………………………….
y n=	ვარ 1	ვარ 2		მჯ		ms		ამნ

Jordan ცხრილი 1.1 შეიცავს მარცხენა სათაურ სვეტს, რომელშიც იწერება სისტემის მარჯვენა ნაწილები (1.20) და ზედა სათაურის ხაზს, რომელშიც ჩაწერილია დამოუკიდებელი ცვლადები.

ცხრილის დარჩენილი ელემენტები ქმნიან სისტემის კოეფიციენტების ძირითად მატრიცას (1.20). თუ მატრიცას გავამრავლებთ მაგრამმატრიცას, რომელიც შედგება ზედა სათაურის მწკრივის ელემენტებისაგან, შემდეგ მივიღებთ მატრიცას, რომელიც შედგება მარცხენა სათაურის სვეტის ელემენტებისაგან. ანუ, არსებითად, იორდანიის ცხრილი არის ხაზოვანი განტოლებათა სისტემის ჩაწერის მატრიცული ფორმა: . ამ შემთხვევაში, შემდეგი იორდანიის ცხრილი შეესაბამება სისტემას (1.21):

ცხრილი 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	წ	…	x n
წ 1 =	ბ 11	ბ 12		ბ 1 ჯ		ბ 1 ს		ბ 1 ნ
…………………………………………………………………..
y i =	ბ ი 1	ბ ი 2		ბ ij		b არის		ურნა
…………………………………………………………………..
x s =	ძმ 1	ძმ 2		ბ რჯ		brs		ბ რნ
………………………………………………………………….
y n =	ბ მ 1	ბ მ 2		bmj		ბ ms		bmn

დასაშვები ელემენტი რს ჩვენ გამოვყოფთ თამამად. შეგახსენებთ, რომ იორდანიის გამონაკლისების ერთი ნაბიჯის განსახორციელებლად, გადაწყვეტის ელემენტი არ უნდა იყოს ნულოვანი. ცხრილის სტრიქონს, რომელიც შეიცავს დასაშვებ ელემენტს, ეწოდება დასაშვები მწკრივი. ჩართვის ელემენტის შემცველ სვეტს ეწოდება ჩართვის სვეტი. მოცემული ცხრილიდან შემდეგ ცხრილზე გადასვლისას ერთი ცვლადი ( x ს) ცხრილის ზედა სათაურის მწკრივიდან გადატანილია სათაურის მარცხენა სვეტში და, პირიქით, სისტემის ერთ-ერთ თავისუფალ წევრზე ( წ) გადატანილია ცხრილის მარცხენა სათაურის სვეტიდან ზედა სათაურის რიგში.

მოდით აღვწეროთ კოეფიციენტების ხელახალი გამოთვლის ალგორითმი იორდანიის ცხრილიდან (1.1) ცხრილში (1.2) გადასვლისას, რომელიც გამომდინარეობს ფორმულებიდან (1.23) და (1.25).

1. ჩართვის ელემენტი იცვლება შებრუნებული რიცხვით:

2. დასაშვები ხაზის დარჩენილი ელემენტები იყოფა ნებადართული ელემენტით და ცვლის ნიშანს საპირისპიროდ:

3. გამაძლიერებელი სვეტის დარჩენილი ელემენტები იყოფა ჩართვის ელემენტად:

4. ელემენტები, რომლებიც არ შედის განმსაზღვრელ სტრიქონში და განმსაზღვრელ სვეტში, ხელახლა გამოითვლება ფორმულების მიხედვით:

ბოლო ფორმულა ადვილი დასამახსოვრებელია, თუ შეამჩნევთ, რომ ელემენტები, რომლებიც ქმნიან წილადს , არიან გზაჯვარედინზე მე-ოჰ და რ-ე ხაზები და ჯე და ს-ე სვეტები (გამხსნელი მწკრივი, ამოსახსნელი სვეტი და სტრიქონი და სვეტი, რომელთა გადაკვეთაზე მდებარეობს ხელახალი გამოთვლა ელემენტი). უფრო ზუსტად, ფორმულის დამახსოვრებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი სქემა:

-21 -26 -13 -37

იორდანიის გამონაკლისების პირველი ნაბიჯის შესრულება, ცხრილი 1.3-ის ნებისმიერი ელემენტი, რომელიც მდებარეობს სვეტებში x 1 ,…, x 5 (ყველა მითითებული ელემენტი არ არის ნულის ტოლი). თქვენ არ უნდა აირჩიოთ მხოლოდ გამაძლიერებელი ელემენტი ბოლო სვეტში, რადგან საჭიროა დამოუკიდებელი ცვლადების პოვნა x 1 ,…, x 5 . ჩვენ ვირჩევთ, მაგალითად, კოეფიციენტს 1 ცვლადით x 3 1.3 ცხრილის მესამე რიგში (ჩამრთველი ელემენტი ნაჩვენებია თამამად). 1.4 ცხრილში გადასვლისას ცვლადი xზედა სათაურის მწკრივის 3 ჩანაცვლებულია სათაურის მარცხენა სვეტის მუდმივ 0-ით (მესამე მწკრივი). ამავე დროს, ცვლადი x 3 გამოიხატება დარჩენილი ცვლადების მიხედვით.

სიმებიანი x 3 (ცხრილი 1.4) შეიძლება, ადრე გახსენების შემდეგ, გამოირიცხოს ცხრილიდან 1.4. ცხრილი 1.4 ასევე გამორიცხავს მესამე სვეტს ნულით ზედა სათაურის ხაზში. საქმე იმაშია, რომ მიუხედავად ამ სვეტის კოეფიციენტებისა ბ ი 3 ყველა ტერმინი, რომელიც შეესაბამება მას თითოეული განტოლების 0-ში ბ ი 3 სისტემა ნულის ტოლი იქნება. ამიტომ ამ კოეფიციენტების დათვლა შეუძლებელია. ერთი ცვლადის აღმოფხვრა x 3 და გავიხსენოთ ერთ-ერთი განტოლება, მივდივართ 1.4 ცხრილის შესაბამის სისტემამდე (ხაზი გადაკვეთილია x 3). 1.4 ცხრილში არჩევა, როგორც გადამწყვეტი ელემენტი ბ 14 = -5, გადადით ცხრილში 1.5. ცხრილში 1.5 ჩვენ ვიხსენებთ პირველ რიგს და გამოვრიცხავთ მას ცხრილიდან მეოთხე სვეტთან ერთად (ზედაზე ნული).

ცხრილი 1.5 ცხრილი 1.6

ბოლო ცხრილიდან 1.7 ვხვდებით: x 1 = - 3 + 2x 5 .

უკვე ნაპოვნი ცვლადების დამახსოვრებულ ხაზებში თანმიმდევრულად ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ დარჩენილ ცვლადებს:

ამრიგად, სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ცვლადი x 5 , შეგიძლიათ მივანიჭოთ თვითნებური მნიშვნელობები. ეს ცვლადი მოქმედებს როგორც პარამეტრი x 5 = ტ. ჩვენ დავამტკიცეთ სისტემის თავსებადობა და ვიპოვეთ მისი ზოგადი გადაწყვეტა:

x 1 = - 3 + 2ტ

x 2 = - 1 - 3ტ

x 3 = - 2 + 4ტ . (1.27)
x 4 = 4 + 5ტ

x 5 = ტ

პარამეტრის მიცემა ტსხვადასხვა მნიშვნელობებით, ჩვენ ვიღებთ უსასრულო რაოდენობის ამონახსნებს თავდაპირველი სისტემისთვის. ასე რომ, მაგალითად, სისტემის ამოხსნა არის ცვლადების შემდეგი ნაკრები (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

პირველ ნაწილში განვიხილეთ რამდენიმე თეორიული მასალა, ჩანაცვლების მეთოდი, ასევე სისტემური განტოლებების ტერმინებით შეკრების მეთოდი. ყველას, ვინც ამ გვერდის საშუალებით შემოვიდა საიტზე, გირჩევთ წაიკითხოთ პირველი ნაწილი. შესაძლოა, ზოგიერთმა ვიზიტორმა მასალა ძალიან მარტივი აღმოაჩინოს, მაგრამ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას მე გავაკეთე არაერთი ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა და დასკვნა ზოგადად მათემატიკური ამოცანების ამოხსნის შესახებ.

ახლა კი გავაანალიზებთ კრამერის წესს, ასევე წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნას შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით (მატრიცის მეთოდი). ყველა მასალა წარმოდგენილია მარტივად, დეტალურად და ნათლად, თითქმის ყველა მკითხველს შეეძლება ისწავლოს სისტემების ამოხსნა ზემოაღნიშნული მეთოდების გამოყენებით.

ჩვენ ჯერ დეტალურად განვიხილავთ კრამერის წესს ორ უცნობში ორი წრფივი განტოლების სისტემისთვის. Რისთვის? „ყველაზე მარტივი სისტემის გადაწყვეტა ხომ სასკოლო მეთოდით, ტერმინით ვადიანი მიმატებით შეიძლება!

ფაქტია, რომ თუნდაც ხანდახან, მაგრამ არსებობს ასეთი ამოცანა - ამოხსნას ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით კრამერის ფორმულების გამოყენებით. მეორეც, უფრო მარტივი მაგალითი დაგეხმარებათ გაიგოთ, თუ როგორ გამოიყენოთ კრამერის წესი უფრო რთული შემთხვევისთვის - სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

გარდა ამისა, არსებობს წრფივი განტოლების სისტემები ორი ცვლადით, რომელთა ამოხსნაც მიზანშეწონილია ზუსტად კრამერის წესით!

განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა

პირველ საფეხურზე ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელს, მას ე.წ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი.

გაუსის მეთოდი.

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა და ფესვების მოსაძებნად, უნდა გამოვთვალოთ კიდევ ორი განმსაზღვრელი:
და

პრაქტიკაში, ზემოაღნიშნული კვალიფიკატორები ასევე შეიძლება აღინიშნოს ლათინური ასოებით.

განტოლების ფესვები გვხვდება ფორმულებით:
,

მაგალითი 7

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

გადაწყვეტილება: ვხედავთ, რომ განტოლების კოეფიციენტები საკმაოდ დიდია, მარჯვენა მხარეს არის ათობითი წილადები მძიმით. მძიმით საკმაოდ იშვიათი სტუმარია მათემატიკაში პრაქტიკულ ამოცანებში; ეს სისტემა ავიღე ეკონომეტრიული პრობლემისგან.

როგორ მოვაგვაროთ ასეთი სისტემა? თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის თვალსაზრისით, მაგრამ ამ შემთხვევაში, თქვენ აუცილებლად მიიღებთ საშინელ ფანტასტიურ წილადებს, რომლებთანაც მუშაობა უკიდურესად მოუხერხებელია და გადაწყვეტის დიზაინი უბრალოდ საშინლად გამოიყურება. შეგიძლიათ მეორე განტოლება გაამრავლოთ 6-ზე და გამოაკლოთ წევრი ნაწილს, მაგრამ აქ გამოჩნდება იგივე წილადები.

Რა უნდა ვქნა? ასეთ შემთხვევებში კრამერის ფორმულები სამაშველოში მოდის.

;

უპასუხე: ,

ორივე ფესვს აქვს უსასრულო კუდები და გვხვდება დაახლოებით, რაც საკმაოდ მისაღებია (და ჩვეულებრივიც კი) ეკონომეტრიული პრობლემებისთვის.

აქ კომენტარები არ არის საჭირო, რადგან ამოცანა მოგვარებულია მზა ფორმულების მიხედვით, თუმცა არის ერთი სიფრთხილე. ამ მეთოდის გამოყენებისას, სავალდებულოდავალების ფრაგმენტი არის შემდეგი ფრაგმენტი: "ასე რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა". წინააღმდეგ შემთხვევაში, რეცენზენტმა შეიძლება დაგსაჯოთ კრამერის თეორემის უპატივცემულობისთვის.

ზედმეტი არ იქნება შემოწმება, რაც მოსახერხებელია კალკულატორზე შესასრულებლად: ჩვენ ვცვლით მიახლოებით მნიშვნელობებს სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს. შედეგად, მცირე შეცდომით, უნდა მივიღოთ რიცხვები, რომლებიც მარჯვენა მხარეს არის.

მაგალითი 8

გამოხატეთ თქვენი პასუხი ჩვეულებრივი არასწორი წილადებით. გააკეთეთ შემოწმება.

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (კარგი დიზაინის მაგალითი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

ჩვენ მივმართავთ კრამერის წესის განხილვას სამი განტოლების სისტემისთვის სამი უცნობით:

ჩვენ ვპოულობთ სისტემის მთავარ განმსაზღვრელს:

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები). ამ შემთხვევაში კრამერის წესი არ გამოგადგებათ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ გაუსის მეთოდი.

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა და ფესვების მოსაძებნად, უნდა გამოვთვალოთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი:
, ,

და ბოლოს, პასუხი გამოითვლება ფორმულებით:

როგორც ხედავთ, "სამი სამზე" შემთხვევა ძირეულად არ განსხვავდება "ორი ორზე" შემთხვევისგან, თავისუფალი ტერმინების სვეტი თანმიმდევრულად "დადის" მარცხნიდან მარჯვნივ მთავარი განმსაზღვრელი სვეტების გასწვრივ.

მაგალითი 9

ამოხსენით სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

გადაწყვეტილება: მოდით გადავჭრათ სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

ასე რომ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

უპასუხე: .

ფაქტობრივად, აქ კიდევ არაფერია განსაკუთრებული კომენტარის გაკეთება, იმის გათვალისწინებით, რომ გადაწყვეტილება მიღებულია მზა ფორმულების მიხედვით. მაგრამ არის რამდენიმე შენიშვნა.

ხდება ისე, რომ გამოთვლების შედეგად მიიღება „ცუდი“ შეუქცევადი წილადები, მაგალითად: .
მე გირჩევთ შემდეგ „მკურნალობის“ ალგორითმს. თუ ხელთ არ არის კომპიუტერი, ჩვენ ვაკეთებთ შემდეგს:

1) შეიძლება იყოს შეცდომა გამოთვლებში. როგორც კი შეხვდებით „ცუდ“ გასროლას, დაუყოვნებლივ უნდა შეამოწმოთ თუ არა მდგომარეობა სწორად არის გადაწერილი. თუ პირობა გადაწერილია შეცდომების გარეშე, მაშინ თქვენ უნდა გამოთვალოთ დეტერმინანტები გაფართოების გამოყენებით სხვა რიგში (სვეტი).

2) თუ შემოწმების შედეგად არ იქნა ნაპოვნი შეცდომები, მაშინ დიდი ალბათობით დაშვებული იყო დავალებების პირობით შეცდომა. ამ შემთხვევაში მშვიდად და ფრთხილად გადაწყვიტეთ დავალება ბოლომდე და შემდეგ დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთდა შეადგინეთ იგი სუფთა ასლზე გადაწყვეტილების მიღების შემდეგ. რა თქმა უნდა, წილადი პასუხის შემოწმება არასასიამოვნო დავალებაა, მაგრამ ეს იქნება განიარაღებული არგუმენტი მასწავლებლისთვის, რომელსაც ძალიან მოსწონს მინუსის დადება ნებისმიერი ცუდისთვის. როგორ გავუმკლავდეთ წილადებს, დეტალურად არის აღწერილი მე-8 მაგალითის პასუხში.

თუ ხელთ გაქვთ კომპიუტერი, მაშინ გამოიყენეთ ავტომატური პროგრამა მის შესამოწმებლად, რომელიც შეგიძლიათ უფასოდ გადმოწეროთ გაკვეთილის დასაწყისშივე. სხვათა შორის, ყველაზე ხელსაყრელია პროგრამის დაუყოვნებლივ გამოყენება (თუნდაც გადაწყვეტის დაწყებამდე), თქვენ დაუყოვნებლივ დაინახავთ შუალედურ საფეხურს, რომელშიც შეცდომა დაუშვით! იგივე კალკულატორი ავტომატურად ითვლის სისტემის ამოხსნას მატრიცული მეთოდის გამოყენებით.

მეორე შენიშვნა. დროდადრო არის სისტემები, რომელთა განტოლებებში აკლია ზოგიერთი ცვლადი, მაგალითად:

აქ პირველ განტოლებაში არ არის ცვლადი, მეორეში არ არის ცვლადი. ასეთ შემთხვევებში ძალიან მნიშვნელოვანია ძირითადი განმსაზღვრელი სწორად და ფრთხილად ჩაწერა:
- ნულები იდება დაკარგული ცვლადების ნაცვლად.
სხვათა შორის, რაციონალურია განმსაზღვრელების გახსნა ნულებით იმ მწკრივში (სვეტაში), რომელშიც მდებარეობს ნული, რადგან შესამჩნევად ნაკლები გამოთვლებია.

მაგალითი 10

ამოხსენით სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (გაკვეთილის ბოლოს ნიმუშის დასრულება და პასუხი).

4 განტოლებისგან შემდგარი სისტემის შემთხვევაში 4 უცნობით, კრამერის ფორმულები იწერება მსგავსი პრინციპებით. ცოცხალი მაგალითის ნახვა შეგიძლიათ განმსაზღვრელი თვისებების გაკვეთილზე. დეტერმინანტის რიგის შემცირება - მე-4 რიგის ხუთი განმსაზღვრელი საკმაოდ ამოსახსნელია. მიუხედავად იმისა, რომ დავალება უკვე ძალიან მოგვაგონებს პროფესორის ფეხსაცმელს იღბლიანი სტუდენტის მკერდზე.

სისტემის ამოხსნა ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით

ინვერსიული მატრიცის მეთოდი არსებითად განსაკუთრებული შემთხვევაა მატრიცული განტოლება(იხ. მითითებული გაკვეთილის მაგალითი No3).

ამ განყოფილების შესასწავლად თქვენ უნდა შეძლოთ დეტერმინანტების გაფართოება, შებრუნებული მატრიცის პოვნა და მატრიცის გამრავლების შესრულება. შესაბამისი ლინკები მოგეცემათ ახსნის წინსვლისას.

მაგალითი 11

ამოხსენით სისტემა მატრიცული მეთოდით

გადაწყვეტილება: ჩვენ ვწერთ სისტემას მატრიცის სახით:
, სად

გთხოვთ გადახედოთ განტოლებათა სისტემას და მატრიცებს. რა პრინციპით ვწერთ ელემენტებს მატრიცებში, მგონი ყველას ესმის. ერთადერთი კომენტარი: თუ რამდენიმე ცვლადი აკლდა განტოლებებს, მაშინ მატრიცის შესაბამის ადგილებზე ნულები უნდა ჩასვათ.

ინვერსიულ მატრიცას ვპოულობთ ფორმულით:
, სადაც არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების ტრანსპონირებული მატრიცა .

პირველ რიგში, მოდით გაუმკლავდეთ განმსაზღვრელს:

აქ განმსაზღვრელი გაფართოვებულია პირველი ხაზით.

ყურადღება! თუ , მაშინ შებრუნებული მატრიცა არ არსებობს და შეუძლებელია სისტემის ამოხსნა მატრიცული მეთოდით. ამ შემთხვევაში სისტემა წყდება უცნობების აღმოფხვრით (გაუსის მეთოდი).

ახლა თქვენ უნდა გამოთვალოთ 9 არასრულწლოვანი და ჩაწეროთ ისინი არასრულწლოვანთა მატრიცაში

მითითება:სასარგებლოა წრფივი ალგებრაში ორმაგი ხელმოწერების მნიშვნელობის ცოდნა. პირველი ციფრი არის ხაზის ნომერი, რომელშიც ელემენტი მდებარეობს. მეორე ციფრი არის სვეტის ნომერი, რომელშიც ელემენტი მდებარეობს:

ანუ, ორმაგი ხელმოწერა მიუთითებს, რომ ელემენტი არის პირველ რიგში, მესამე სვეტში, ხოლო, მაგალითად, ელემენტი არის მე -3 რიგში, მე -2 სვეტში.

მეთოდები კრამერიდა გაუსიანიერთ-ერთი ყველაზე პოპულარული გადაწყვეტა SLAU. გარდა ამისა, ზოგიერთ შემთხვევაში მიზანშეწონილია გამოიყენოთ კონკრეტული მეთოდები. სესია დახურულია და ახლა დროა გავიმეოროთ ან დაეუფლოთ მათ ნულიდან. დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს კრამერის მეთოდით გამოსავალზე. ბოლოს და ბოლოს, კრამერის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ძალიან სასარგებლო უნარია.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა არის ფორმის განტოლებათა სისტემა:

ღირებულების ნაკრები x , რომლის დროსაც სისტემის განტოლებები გადაიქცევა იდენტებად, ეწოდება სისტემის ამოხსნა, ა და ბ რეალური კოეფიციენტებია. მარტივი სისტემა, რომელიც შედგება ორი განტოლებისგან ორი უცნობისგან, შეიძლება ამოიხსნას გონებრივად ან ერთი ცვლადის გამოსახატავად მეორის მიხედვით. მაგრამ SLAE-ში შეიძლება იყოს ორზე მეტი ცვლადი (x) და მარტივი სკოლის მანიპულაციები აქ შეუცვლელია. Რა უნდა ვქნა? მაგალითად, ამოხსენით SLAE კრამერის მეთოდით!

ასე რომ იყოს სისტემა ნ განტოლებები ნ უცნობი.

ასეთი სისტემა შეიძლება გადაიწეროს მატრიცის სახით

Აქ ა არის სისტემის მთავარი მატრიცა, X და ბ შესაბამისად უცნობი ცვლადების და თავისუფალი წევრების სვეტების მატრიცები.

SLAE ხსნარი კრამერის მეთოდით

თუ მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი (მატრიცა არ არის გადაგვარებული), სისტემის ამოხსნა შესაძლებელია კრამერის მეთოდით.

კრამერის მეთოდის მიხედვით, გამოსავალი გვხვდება ფორმულებით:

Აქ დელტა არის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი და დელტა x n-ე - მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელისაგან მიღებული განმსაზღვრელი n-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით.

ეს არის კრამერის მეთოდის მთელი აზრი. ზემოაღნიშნული ფორმულებით ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება x სასურველ სისტემაში, ჩვენ დარწმუნებული ვართ ჩვენი გადაწყვეტის სისწორეში (ან პირიქით). იმისათვის, რომ დაგეხმაროთ არსის სწრაფად გაგებაში, ქვემოთ მოცემულია SLAE-ის დეტალური გადაწყვეტის მაგალითი კრამერის მეთოდით:

მაშინაც კი, თუ პირველად ვერ მიაღწევთ წარმატებას, ნუ იმედგაცრუებთ! მცირე ვარჯიშით, თქვენ დაიწყებთ ნელ-ნელა თხილის მსგავსად. უფრო მეტიც, ახლა აბსოლუტურად არ არის საჭირო ნოუთბუქზე ფორების გადატანა, რთული გამოთვლების ამოხსნა და ღეროზე დაწერა. მარტივია SLAE ამოხსნა კრამერის მეთოდით ონლაინ, უბრალოდ კოეფიციენტების მზა ფორმაში ჩანაცვლებით. შეგიძლიათ სცადოთ ონლაინ კალკულატორი კრამერის მეთოდის გადასაჭრელად, მაგალითად, ამ საიტზე.

და თუ სისტემა ჯიუტი აღმოჩნდა და არ დანებდება, ყოველთვის შეგიძლიათ დახმარებისთვის მიმართოთ ჩვენს ავტორებს, მაგალითად,. თუ სისტემაში მინიმუმ 100 უცნობია, აუცილებლად მოვაგვარებთ სწორად და დროულად!

ამ აბზაცის ათვისებისთვის უნდა შეძლოთ კვალიფიკაციის გახსნა „ორი ორზე“ და „სამი სამზე“. თუ კვალიფიკაცია ცუდია, გთხოვთ ისწავლოთ გაკვეთილი როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა

გაუსის მეთოდი.

განტოლების ფესვები გვხვდება ფორმულებით:
,

მაგალითი 7

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

Რა უნდა ვქნა? ასეთ შემთხვევებში კრამერის ფორმულები სამაშველოში მოდის.

;

უპასუხე: ,

მაგალითი 8

ჩვენ ვპოულობთ სისტემის მთავარ განმსაზღვრელს:

და ბოლოს, პასუხი გამოითვლება ფორმულებით:

მაგალითი 9

ამოხსენით სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

უპასუხე: .

მაგალითი 10

ამოხსენით სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

სისტემის ამოხსნა ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით

მაგალითი 11

ამოხსენით სისტემა მატრიცული მეთოდით

გადაწყვეტილება: ჩვენ ვწერთ სისტემას მატრიცის სახით:
, სად

პირველ რიგში, მოდით გაუმკლავდეთ განმსაზღვრელს:

აქ განმსაზღვრელი გაფართოვებულია პირველი ხაზით.

ამოხსნისას უმჯობესია არასრულწლოვანთა გამოთვლა დეტალურად აღვწეროთ, თუმცა, გარკვეული გამოცდილებით, მათი კორექტირება შესაძლებელია შეცდომების ზეპირად დათვლაზე.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

სამი შემთხვევა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

კრემერის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები

გვერდის ზედა

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ სისტემების გადაჭრას კრამერის მეთოდით

მატრიცული მოქმედებები

მატრიცის დამატება.

მატრიცული გამრავლება.

ინვერსიული მატრიცა. წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული გზით

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა ჩვეულებრივი იორდანიის გამონაკლისებით

სისტემის ამოხსნა ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები

SLAE ხსნარი კრამერის მეთოდით

სისტემის ამოხსნა ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ