დღეს ჩვენ გადავხედავთ რა სიდიდეებს უწოდებენ უკუპროპორციულს, როგორ გამოიყურება შებრუნებული პროპორციულობის გრაფიკი და როგორ შეიძლება ეს ყველაფერი გამოგადგეთ არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე, არამედ სკოლის კედლების გარეთაც.

ასეთი განსხვავებული პროპორციები

პროპორციულობადაასახელეთ ორი სიდიდე, რომლებიც ურთიერთდამოკიდებულნი არიან ერთმანეთზე.

დამოკიდებულება შეიძლება იყოს პირდაპირი და საპირისპირო. მაშასადამე, რაოდენობებს შორის ურთიერთობა აღწერს პირდაპირ და უკუპროპორციულობას.

პირდაპირი პროპორციულობა- ეს არის ისეთი ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთის მატება ან შემცირება იწვევს მეორის ზრდას ან შემცირებას. იმათ. მათი დამოკიდებულება არ იცვლება.

მაგალითად, რაც უფრო მეტ ძალისხმევას დახარჯავთ გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, მით უფრო მაღალი იქნება თქვენი ქულები. ან რაც უფრო მეტ ნივთს წაიღებთ ლაშქრობაში, მით უფრო რთულია თქვენი ზურგჩანთის ტარება. იმათ. გამოცდებისთვის მომზადებაზე დახარჯული ძალისხმევის ოდენობა პირდაპირპროპორციულია მიღებული ქულებისა. ზურგჩანთაში შეფუთული ნივთების რაოდენობა კი მისი წონის პირდაპირპროპორციულია.

უკუპროპორციულობა- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც დამოუკიდებელი მნიშვნელობის რამდენჯერმე შემცირება ან გაზრდა (მას არგუმენტი ეწოდება) იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის პროპორციულ (ანუ იმავე რაოდენობით) ზრდას ან შემცირებას (მას უწოდებენ ფუნქცია).

მოდით ილუსტრაციით მარტივი მაგალითით. გსურთ შეიძინოთ ვაშლი ბაზარზე. დახლზე არსებული ვაშლები და თქვენს საფულეში არსებული თანხის რაოდენობა საპირისპირო კავშირშია. იმათ. რაც უფრო მეტ ვაშლს იყიდით, მით ნაკლები თანხა დაგრჩებათ.

ფუნქცია და მისი გრაფიკი

უკუპროპორციულობის ფუნქცია შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც y = k/x. სადაც x≠ 0 და კ≠ 0.

ამ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

1. მისი განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე გარდა x = 0. დ(წ): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვი გარდა წ= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. მას არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობები.
4. კენტია და მისი გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
5. არაპერიოდული.
6. მისი გრაფიკი არ კვეთს კოორდინატთა ღერძებს.
7. არ აქვს ნულები.
8. Თუ კ> 0 (ანუ არგუმენტი იზრდება), ფუნქცია პროპორციულად მცირდება მის თითოეულ ინტერვალზე. Თუ კ< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. რაც უფრო იზრდება არგუმენტი ( კ> 0) ფუნქციის უარყოფითი მნიშვნელობები არის ინტერვალში (-∞; 0), ხოლო დადებითი მნიშვნელობები არის ინტერვალში (0; +∞). როდესაც არგუმენტი მცირდება ( კ< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

უკუპროპორციულობის ფუნქციის გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება. გამოსახულია შემდეგნაირად:

შებრუნებული პროპორციული პრობლემები

უფრო გასაგებად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე ამოცანას. ისინი არც თუ ისე რთულია და მათი გადაწყვეტა დაგეხმარებათ წარმოიდგინოთ, რა არის შებრუნებული პროპორცია და როგორ შეიძლება ეს ცოდნა სასარგებლო იყოს თქვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

დავალება ნომერი 1. მანქანა მოძრაობს 60 კმ/სთ სიჩქარით. დანიშნულების ადგილამდე მისვლას 6 საათი დასჭირდა. რამდენი დრო დასჭირდება მას იმავე მანძილის დასაფარად, თუ ორჯერ მეტი სიჩქარით მოძრაობს?

ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ ფორმულის ჩაწერით, რომელიც აღწერს დროის, მანძილის და სიჩქარის ურთიერთობას: t = S/V. დამეთანხმებით, ის ძალიან გვახსენებს უკუპროპორციულობის ფუნქციას. და ეს მიუთითებს იმაზე, რომ დრო, რომელსაც მანქანა ატარებს გზაზე და სიჩქარე, რომლითაც ის მოძრაობს, უკუპროპორციულია.

ამის შესამოწმებლად, ვიპოვოთ V 2, რომელიც, პირობითად, 2-ჯერ მეტია: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 კმ / სთ. შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს ფორმულის გამოყენებით S = V * t = 60 * 6 = 360 კმ. ახლა ძნელი არ არის დროის t 2-ის გარკვევა, რომელიც საჭიროა ჩვენგან პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით: t 2 = 360/120 = 3 საათი.

როგორც ხედავთ, მგზავრობის დრო და სიჩქარე მართლაც უკუპროპორციულია: ორიგინალზე 2-ჯერ მაღალი სიჩქარით, მანქანა გზაზე 2-ჯერ ნაკლებ დროს დაატარებს.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა ასევე შეიძლება დაიწეროს პროპორციულად. რატომ ვქმნით ასეთ დიაგრამას:

↓ 60 კმ/სთ – 6 სთ

↓120 კმ/სთ – x სთ

ისრები მიუთითებს შებრუნებულ ურთიერთობაზე. და ისინი ასევე ვარაუდობენ, რომ პროპორციის შედგენისას, ჩანაწერის მარჯვენა მხარე უნდა გადატრიალდეს: 60/120 \u003d x / 6. სად მივიღოთ x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 საათი.

დავალება ნომერი 2. სახელოსნოში დასაქმებულია 6 მუშა, რომლებიც 4 საათში უმკლავდებიან მოცემულ სამუშაოს. თუ მუშათა რაოდენობა განახევრდება, რამდენი დრო დასჭირდება დარჩენილ მუშაკებს იგივე რაოდენობის სამუშაოს შესრულებას?

ჩვენ ვწერთ პრობლემის პირობებს ვიზუალური დიაგრამის სახით:

↓ 6 მუშა - 4 საათი

↓ 3 მუშა - x სთ

მოდით ჩავწეროთ ეს პროპორციულად: 6/3 = x/4. და ვიღებთ x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 საათს. თუ 2-ჯერ ნაკლები მუშა იქნება, დანარჩენი 2-ჯერ მეტ დროს დახარჯავს მთელი სამუშაოს დასასრულებლად.

დავალება ნომერი 3. აუზამდე მიდის ორი მილი. ერთი მილით წყალი შემოდის 2ლ/წმ სიჩქარით და 45 წუთში ავსებს აუზს. სხვა მილის მეშვეობით აუზი 75 წუთში შეივსება. რამდენად სწრაფად შედის წყალი აუზში ამ მილით?

დასაწყისისთვის, ჩვენ გადმოვიტანთ ყველა იმ სიდიდეს, რომელიც მოგვცეს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, იმავე საზომ ერთეულებში. ამისათვის ჩვენ გამოვხატავთ აუზის შევსების სიჩქარეს ლიტრებში წუთში: 2 ლ / წმ \u003d 2 * 60 \u003d 120 ლ / წთ.

ვინაიდან ეს გამომდინარეობს იმ პირობით, რომ აუზი მეორე მილით უფრო ნელა ივსება, ეს ნიშნავს, რომ წყლის შემოდინების სიჩქარე უფრო დაბალია. შებრუნებული პროპორციის სახეზე. ჩვენთვის უცნობი სიჩქარე გამოვხატოთ x-ით და შევადგინოთ შემდეგი სქემა:

↓ 120 ლ/წთ - 45 წთ

↓ x ლ/წთ – 75 წთ

შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ პროპორციას: 120 / x \u003d 75/45, საიდანაც x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 ლ / წთ.

პრობლემაში აუზის შევსების სიჩქარე გამოიხატება ლიტრებში წამში, მოდი ჩვენი პასუხი მივიღოთ იმავე ფორმაზე: 72/60 = 1,2 ლ/წმ.

დავალება ნომერი 4. სავიზიტო ბარათები იბეჭდება პატარა კერძო სტამბაში. სტამბის თანამშრომელი მუშაობს საათში 42 სავიზიტო ბარათის სიჩქარით და მუშაობს სრული განაკვეთით - 8 საათი. თუ ის უფრო სწრაფად მუშაობდა და საათში 48 სავიზიტო ბარათს დაბეჭდავდა, რამდენად ადრე შეეძლო სახლში წასვლა?

ჩვენ მივდივართ დადასტურებული გზით და ვადგენთ სქემას პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, რომელიც აღვნიშნავთ სასურველ მნიშვნელობას, როგორც x:

↓ 42 სავიზიტო ბარათი/სთ – 8 სთ

↓ 48 სავიზიტო ბარათი/სთ – xh

ჩვენს წინაშე არის უკუპროპორციული ურთიერთობა: რამდენჯერ მეტ სავიზიტო ბარათს ბეჭდავს სტამბის თანამშრომელი საათში, იგივე დრო დასჭირდება მას ერთი და იგივე სამუშაოს შესასრულებლად. ამის გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ პროპორცია:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 საათი.

ამრიგად, 7 საათში სამუშაოს დასრულების შემდეგ, სტამბის თანამშრომელს შეეძლო სახლში წასვლა ერთი საათით ადრე.

დასკვნა

გვეჩვენება, რომ ეს შებრუნებული პროპორციულობის ამოცანები მართლაც მარტივია. ვიმედოვნებთ, რომ ახლა თქვენც ასე განიხილავთ მათ. და რაც მთავარია, რაოდენობების უკუპროპორციული დამოკიდებულების ცოდნა ნამდვილად შეიძლება თქვენთვის სასარგებლო იყოს არაერთხელ.

არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე და გამოცდებზე. მაგრამ მაშინაც კი, როცა სამოგზაუროდ აპირებთ წასვლას, წადით საყიდლებზე, გადაწყვიტეთ ფულის გამომუშავება არდადეგებზე და ა.შ.

გვითხარით კომენტარებში შებრუნებული და პირდაპირი პროპორციულობის რა მაგალითებს ამჩნევთ თქვენს გარშემო. დაე ეს იყოს თამაში. ნახავთ, რამდენად ამაღელვებელია. არ დაგავიწყდეთ ამ სტატიის „გაზიარება“ სოციალურ ქსელებში, რათა თქვენმა მეგობრებმა და კლასელებმაც შეძლონ თამაში.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ორ რაოდენობას ე.წ პირდაპირპროპორციულია, თუ ერთი მათგანი რამდენჯერმე გაზრდის, მეორეც იმავე ოდენობით იზრდება. შესაბამისად, როცა ერთი მათგანი რამდენჯერმე მცირდება, მეორეც იმავე რაოდენობით იკლებს.

ასეთ რაოდენობებს შორის ურთიერთობა პირდაპირპროპორციული ურთიერთობაა. პირდაპირი პროპორციული ურთიერთობის მაგალითები:

1) მუდმივი სიჩქარით, გავლილი მანძილი დროის პირდაპირპროპორციულია;

2) კვადრატის პერიმეტრი და მისი გვერდი პირდაპირპროპორციულია;

3) ერთ ფასად შეძენილი საქონლის ღირებულება პირდაპირპროპორციულია მის რაოდენობაზე.

პირდაპირი პროპორციული ურთიერთობის საპირისპიროდან გამოსაყოფად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ანდაზა: "რაც უფრო შორს არის ტყეში, მით მეტი შეშა".

მოსახერხებელია პრობლემების გადაჭრა პირდაპირპროპორციული რაოდენობით პროპორციების გამოყენებით.

1) 10 ნაწილის დასამზადებლად საჭიროა 3,5 კგ ლითონი. რამდენი ლითონი იქნება გამოყენებული 12 ასეთი ნაწილის დასამზადებლად?

(ჩვენ ასე ვკამათობთ:

1. დასრულებულ სვეტში ჩასვით ისარი უდიდესი რიცხვიდან უმცირესის მიმართულებით.

2. რაც მეტი ნაწილია, მით მეტი მეტალია საჭირო მათ დასამზადებლად. ასე რომ, ეს პირდაპირპროპორციული ურთიერთობაა.

12 ნაწილის დასამზადებლად საჭიროა x კგ ლითონი. ჩვენ ვადგენთ პროპორციას (ისრის დასაწყისიდან მის ბოლომდე):

12:10=x:3.5

რომ ვიპოვოთ, უკიდურესი ტერმინების ნამრავლი უნდა გავყოთ ცნობილ შუა წევრზე:

ეს ნიშნავს, რომ საჭირო იქნება 4,2 კგ ლითონი.

პასუხი: 4,2 კგ.

2) 1680 მანეთი გადაიხადეს 15 მეტრი ქსოვილისთვის. რა ღირს 12 მეტრი ასეთი ქსოვილი?

(1. დასრულებულ სვეტში ჩასვით ისარი უდიდესი რიცხვიდან უმცირესის მიმართულებით.

2. რაც უფრო ნაკლებ ქსოვილს იყიდით, მით ნაკლები უნდა გადაიხადოთ მასში. ასე რომ, ეს პირდაპირპროპორციული ურთიერთობაა.

3. ამიტომ მეორე ისარი მიმართულია იმავე მიმართულებით, როგორც პირველი).

მოდით x რუბლს შეადგენს 12 მეტრი ქსოვილი. ჩვენ ვადგენთ პროპორციას (ისრის დასაწყისიდან მის ბოლომდე):

15:12=1680:x

პროპორციის უცნობი უკიდურესი წევრის საპოვნელად, ჩვენ ვყოფთ საშუალო წევრთა ნამრავლს პროპორციის ცნობილ უკიდურეს წევრზე:

ასე რომ, 12 მეტრი ღირს 1344 რუბლი.

პასუხი: 1344 რუბლი.

დაასრულა: ჩეპკასოვი როდიონი

მე-6 „ბ“ კლასის მოსწავლე

MBOU "Secondary School No. 53"

ბარნაული

ხელმძღვანელი: ბულიკინა ო.გ.

მათემატიკის მასწავლებელი

MBOU "Secondary School No. 53"

ბარნაული

შესავალი. ერთი

ურთიერთობები და პროპორციები. 3

პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციები. 4

პირდაპირი და უკუპროპორციულობის გამოყენება 6

დამოკიდებულება სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში.

დასკვნა. თერთმეტი

ლიტერატურა. 12

შესავალი.

სიტყვა პროპორცია მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან პროპორცია, რაც ნიშნავს ზოგადად პროპორციულობას, ნაწილების თანასწორობას (ნაწილების გარკვეული თანაფარდობა ერთმანეთთან). უძველეს დროში პროპორციების დოქტრინას პითაგორაელები დიდ პატივს სცემდნენ. პროპორციებით მათ დააკავშირეს აზრები ბუნებაში წესრიგისა და სილამაზის შესახებ, მუსიკაში თანხმოვანი აკორდების შესახებ და სამყაროში ჰარმონიის შესახებ. პროპორციების ზოგიერთ ტიპს ისინი მუსიკალურს ან ჰარმონიულს უწოდებდნენ.

ჯერ კიდევ უძველეს დროში ადამიანმა აღმოაჩინა, რომ ბუნებაში არსებული ყველა ფენომენი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, რომ ყველაფერი მუდმივ მოძრაობაშია, იცვლება და რიცხვებით გამოხატვისას საოცარ ნიმუშებს ავლენს.

პითაგორელები და მათი მიმდევრები ეძებდნენ რიცხვით გამოხატულებას ყველაფრისთვის, რაც არსებობს მსოფლიოში. Მათ იპოვეს; რომ მათემატიკური პროპორციები ემყარება მუსიკას (სიმების სიგრძის თანაფარდობა ხმასთან, ინტერვალებს შორის ურთიერთობა, ბგერების თანაფარდობა აკორდებში, რომლებიც იძლევა ჰარმონიულ ბგერას). პითაგორელები ცდილობდნენ მათემატიკურად დაემტკიცებინათ სამყაროს ერთიანობის იდეა, ისინი ამტკიცებდნენ, რომ სამყაროს საფუძველი სიმეტრიული გეომეტრიული ფორმებია. პითაგორელები სილამაზის მათემატიკურ დასაბუთებას ეძებდნენ.

პითაგორელთა მიმდევრობით, შუა საუკუნეების მეცნიერმა ავგუსტინემ სილამაზეს "რიცხობრივი თანასწორობა" უწოდა. სქოლასტი ფილოსოფოსი ბონავენტურა წერდა: "არ არსებობს სილამაზე და სიამოვნება პროპორციულობის გარეშე, პროპორციულობა კი უპირველეს ყოვლისა რიცხვებში არსებობს. აუცილებელია, რომ ყველაფერი გამოთვლადი იყოს". ლეონარდო და ვინჩი წერდა ხელოვნებაში პროპორციის გამოყენების შესახებ თავის ტრაქტატში ფერწერის შესახებ: "მხატვარი პროპორციული სახით განასახიერებს ბუნებაში იმალებულ იმავე კანონებს, რომლებიც მეცნიერმა იცის რიცხვითი კანონის სახით".

პროპორციებს იყენებდნენ სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში როგორც ანტიკურ, ისე შუა საუკუნეებში. გარკვეული ტიპის პრობლემები ახლა მარტივად და სწრაფად წყდება პროპორციების გამოყენებით. პროპორციები და პროპორციულობა გამოიყენებოდა და გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ არქიტექტურასა და ხელოვნებაშიც. პროპორციულობა არქიტექტურასა და ხელოვნებაში ნიშნავს გარკვეული თანაფარდობის დაცვას შენობის, ფიგურის, ქანდაკების ან ხელოვნების სხვა ნაწარმოების ზომებს შორის. პროპორციულობა ასეთ შემთხვევებში სწორი და ლამაზი კონსტრუქციისა და იმიჯის პირობაა

ჩემს ნამუშევარში ვცდილობდი გამეაზრებინა პირდაპირი და უკუპროპორციული მიმართებების გამოყენება გარემომცველი ცხოვრების სხვადასხვა სფეროში, ამოცანების საშუალებით მიმეკვლია აკადემიურ საგნებთან კავშირი.

ურთიერთობები და პროპორციები.

ორი რიცხვის კოეფიციენტი ეწოდება დამოკიდებულებაეს ნომრები.

დამოკიდებულების ჩვენებები, რამდენჯერ მეტია პირველი რიცხვი მეორეზე, ან რა ნაწილია პირველი რიცხვი მეორედან.

დავალება.

მაღაზიაში 2,4 ტონა მსხალი და 3,6 ტონა ვაშლი შეიტანეს. იმპორტირებული ხილის რა ნაწილია მსხალი?

გადაწყვეტილება . იპოვეთ რამდენი ხილი მოიტანეს ჯამში: 2,4 + 3,6 = 6 (ტ). იმისთვის, რომ გავიგოთ, რა ნაწილია მსხალი მოტანილი ხილიდან, გამოვყოფთ თანაფარდობას 2,4:6 =. პასუხი ასევე შეიძლება დაიწეროს ათწილადად ან პროცენტულად: = 0,4 = 40%.

ურთიერთშებრუნებულიდაურეკა ნომრები, რომლის ნაწარმოებები უდრის 1. მაშასადამე ურთიერთობას ინვერსიული ურთიერთობა ეწოდება.

განვიხილოთ ორი თანაბარი თანაფარდობა: 4,5:3 და 6:4. დავდოთ მათ შორის ტოლობის ნიშანი და მივიღოთ პროპორცია: 4,5:3=6:4.

პროპორციაარის ორი მიმართების ტოლობა: a : b =c :d ან = , სადაც არის a და d პროპორციის უკიდურესი პირობები, გ და ბ შუა წევრები(პროპორციის ყველა პირობა არ არის ნულოვანი).

პროპორციის ძირითადი თვისება:

სწორი პროპორციით, უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს.

გამრავლების კომუტაციური თვისების გამოყენებით, მივიღებთ, რომ სწორი პროპორციით, შეგიძლიათ შეცვალოთ უკიდურესი ან საშუალო წევრები. შედეგად მიღებული პროპორციებიც სწორი იქნება.

პროპორციის ძირითადი თვისების გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი უცნობი წევრი, თუ ყველა სხვა წევრი ცნობილია.

პროპორციის უცნობი უკიდურესი წევრის საპოვნელად საჭიროა შუა რიცხვების გამრავლება და ცნობილ უკიდურეს წევრზე გაყოფა. x : b = c : d , x =

პროპორციის უცნობი შუა წევრის საპოვნელად, უნდა გავამრავლოთ უკიდურესი წევრები და გავყოთ ცნობილ შუა წევრზე. a : b = x : d, x = .

პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციები.

ორი განსხვავებული რაოდენობის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს ერთმანეთზე დამოკიდებული. ასე რომ, კვადრატის ფართობი დამოკიდებულია მისი მხარის სიგრძეზე და პირიქით - კვადრატის გვერდის სიგრძე დამოკიდებულია მის ფართობზე.

ნათქვამია, რომ ორი რაოდენობა პროპორციულია, თუ იზრდება

ერთი მათგანის რამდენჯერმე (შემცირება), მეორე იმავე ოდენობით იზრდება (მცირდება).

თუ ორი რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია, მაშინ ამ რაოდენობების შესაბამისი მნიშვნელობების თანაფარდობა ტოლია.

მაგალითი პირდაპირპროპორციული ურთიერთობა .

ბენზინგასამართ სადგურზე 2 ლიტრი ბენზინი იწონის 1,6 კგ. რამდენს იწონიან 5 ლიტრი ბენზინი?

გადაწყვეტილება:

ნავთის წონა მისი მოცულობის პროპორციულია.

2ლ - 1,6 კგ

5ლ - x კგ

2:5=1.6:x,

x \u003d 5 * 1.6 x \u003d 4

პასუხი: 4 კგ.

აქ წონისა და მოცულობის თანაფარდობა უცვლელი რჩება.

ორ რაოდენობას უკუპროპორციული ეწოდება, თუ, როდესაც ერთი მათგანი რამდენჯერმე იზრდება (მცირდება), მეორე მცირდება (იზრდება) იმავე რაოდენობით.

თუ რაოდენობები უკუპროპორციულია, მაშინ ერთი რაოდენობის მნიშვნელობების თანაფარდობა უდრის მეორე რაოდენობის შესაბამისი მნიშვნელობების შებრუნებულ თანაფარდობას.

პ მაგალითიუკუპროპორციული ურთიერთობა.

ორ მართკუთხედს აქვს იგივე ფართობი. პირველი მართკუთხედის სიგრძე 3,6 მ, სიგანე 2,4 მ, მეორე მართკუთხედის სიგრძე 4,8 მ იპოვეთ მეორე მართკუთხედის სიგანე.

გადაწყვეტილება:

1 მართკუთხედი 3.6 მ 2.4 მ

2 მართკუთხედი 4,8 მ x მ

3,6 მ x მ

4,8 მ 2,4 მ

x \u003d 3.6 * 2.4 \u003d 1.8 მ

პასუხი: 1,8 მ.

როგორც ხედავთ, პროპორციული რაოდენობით პრობლემების მოგვარება შესაძლებელია პროპორციების გამოყენებით.

ყოველი ორი რაოდენობა არ არის პირდაპირპროპორციული ან უკუპროპორციული. მაგალითად, ბავშვის სიმაღლე იზრდება ასაკის მატებასთან ერთად, მაგრამ ეს მნიშვნელობები არ არის პროპორციული, რადგან როდესაც ასაკი გაორმაგდება, ბავშვის სიმაღლე არ გაორმაგდება.

პირდაპირი და უკუპროპორციულობის პრაქტიკული გამოყენება.

დავალება #1

სკოლის ბიბლიოთეკაში არის 210 მათემატიკის სახელმძღვანელო, რაც მთლიანი ბიბლიოთეკის მარაგის 15%-ია. რამდენი წიგნია ბიბლიოთეკის მარაგში?

გადაწყვეტილება:

სულ სახელმძღვანელოები - ? - 100%

მათემატიკოსები - 210 -15%

15% 210 ანგარიშები

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 სახელმძღვანელო

100% x ანგარიში. თხუთმეტი

პასუხი: 1400 სახელმძღვანელო.

დავალება #2

ველოსიპედისტი 3 საათში 75 კილომეტრს გადის. რამდენი დრო დასჭირდება ველოსიპედისტს იმავე სიჩქარით 125 კმ-ის გასავლელად?

გადაწყვეტილება:

3 სთ – 75 კმ

H - 125 კმ

დრო და მანძილი პირდაპირპროპორციულია, ასე რომ

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

პასუხი: 5 საათი.

დავალება #3

8 იდენტური მილი ავსებს აუზს 25 წუთში. რამდენი წუთი დასჭირდება 10 ასეთი მილის აუზის შევსებას?

გადაწყვეტილება:

8 მილი - 25 წუთი

10 მილი - ? წუთები

მილების რაოდენობა დროის უკუპროპორციულია, ამიტომ

8:10 = x:25,

x =

x = 20

პასუხი: 20 წუთი.

დავალება #4

8 მუშისგან შემდგარი გუნდი დავალებას 15 დღეში ასრულებს. რამდენ მუშაკს შეუძლია დაასრულოს დავალება 10 დღეში იმავე პროდუქტიულობით მუშაობით?

გადაწყვეტილება:

8 სამუშაო - 15 დღე

სამუშაო - 10 დღე

მუშათა რაოდენობა უკუპროპორციულია დღეების რაოდენობისა, ასე რომ

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

პასუხი: 12 მუშა.

დავალება ნომერი 5

5,6 კგ პომიდვრიდან მიიღება 2 ლიტრი სოუსი. რამდენი ლიტრი სოუსი შეიძლება მივიღოთ 54 კგ პომიდორიდან?

გადაწყვეტილება:

5,6 კგ - 2 ლ

54 კგ - ? ლ

ასე რომ, პომიდვრის კილოგრამების რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია მიღებული სოუსის რაოდენობით

5.6: 54 = 2: x,

x =
,

x = 19 .

პასუხი: 19 ლ.

დავალება ნომერი 6

სკოლის შენობის გასათბობად ქვანახშირი 180 დღის განმავლობაში მოხმარების მაჩვენებლით იკრიფებოდა

0,6 ტონა ნახშირი დღეში. რამდენი დღე გაგრძელდება ეს რეზერვი, თუ ის ყოველდღიურად მოიხმარება 0,5 ტონა?

გადაწყვეტილება:

Დღეების რაოდენობა

მოხმარების მაჩვენებელი

დღეების რაოდენობა უკუპროპორციულია ნახშირის მოხმარების მაჩვენებელთან, ასე რომ

180: x = 0.5: 0.6,

x \u003d 180 * 0.6: 0.5,

x = 216.

პასუხი: 216 დღე.

დავალება ნომერი 7

რკინის საბადოში რკინის 7 ნაწილი შეადგენს მინარევების 3 წილს. რამდენი ტონა მინარევებია მადანი, რომელიც შეიცავს 73,5 ტონა რკინას?

გადაწყვეტილება:

Ნაწილების რაოდენობა

წონა

რკინა

73,5

მინარევები

ნაწილების რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია მასის, ასე რომ

7: 73.5 = 3: x.

x \u003d 73.5 * 3: 7,

x = 31,5.

პასუხი: 31,5 ტონა

დავალება ნომერი 8

მანქანამ გაიარა 500 კმ, 35 ლიტრი ბენზინი დახარჯა. რამდენი ლიტრი ბენზინი გჭირდებათ 420 კმ-ის გასავლელად?

გადაწყვეტილება:

მანძილი, კმ

ბენზინი, ლ

მანძილი პირდაპირპროპორციულია ბენზინის მოხმარებასთან, ასე რომ

500: 35 = 420: x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29.4.

პასუხი: 29,4 ლიტრი

დავალება ნომერი 9

2 საათში 12 ჯვაროსანი დავიჭირეთ. რამდენი კობრი დაიჭერს 3 საათში?

გადაწყვეტილება:

ჯვაროსნების რაოდენობა დროზე არ არის დამოკიდებული. ეს რაოდენობები არც პირდაპირპროპორციულია და არც უკუპროპორციული.

პასუხი: პასუხი არ არის.

დავალება ნომერი 10

სამთო საწარმოს სჭირდება 5 ახალი აპარატის შეძენა გარკვეული თანხით თითო 12 ათასი რუბლის ფასად. რამდენი ამ მანქანის ყიდვა შეუძლია კომპანიას, თუ ერთი მანქანის ფასი გახდება 15000 რუბლი?

გადაწყვეტილება:

მანქანების რაოდენობა, ც.

ფასი, ათასი რუბლი

მანქანების რაოდენობა ღირებულების უკუპროპორციულია, ამიტომ

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

პასუხი: 4 მანქანა.

დავალება ნომერი 11

Ქალაქში N, P მოედანზე არის მაღაზია, რომლის მეპატრონე იმდენად მკაცრია, რომ ხელფასიდან 70 მანეთს აკლებს დღეში 1 დაგვიანებით დაგვიანებისთვის. ორი გოგონა იულია და ნატაშა ერთ განყოფილებაში მუშაობენ. მათი ხელფასი დამოკიდებულია სამუშაო დღეების რაოდენობაზე. ჯულიამ 20 დღეში 4100 მანეთი მიიღო, ნატაშას კი 21 დღეში მეტი უნდა მიეღო, მაგრამ ზედიზედ 3 დღე აგვიანებდა. რამდენ რუბლს მიიღებს ნატაშა?

გადაწყვეტილება:

სამუშაო დღეები

ხელფასი, რუბლი.

ჯულია

4100

ნატაშა

შესაბამისად ხელფასი პირდაპირპროპორციულია სამუშაო დღეების რაოდენობისა

20: 21 = 4100: x,

x= 4305.

4305 რუბლი. ნატას უნდა ჰქონდეს.

4305 - 3 * 70 = 4095 (რუბ.)

პასუხი: ნატაშა მიიღებს 4095 რუბლს.

დავალება ნომერი 12

მანძილი ორ ქალაქს შორის რუკაზე არის 6 სმ. იპოვეთ მანძილი ამ ქალაქებს შორის ადგილზე, თუ რუკის მასშტაბი არის 1: 250000.

გადაწყვეტილება:

ავღნიშნოთ მანძილი ქალაქებს შორის მიწაზე x-ით (სანტიმეტრებში) და ვიპოვოთ რუკაზე სეგმენტის სიგრძის თანაფარდობა მიწაზე მანძილთან, რომელიც ტოლი იქნება რუკის მასშტაბის: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 სმ = 15 კმ

პასუხი: 15 კმ.

დავალება ნომერი 13

4000 გრ ხსნარი შეიცავს 80 გრ მარილს. როგორია მარილის კონცენტრაცია ამ ხსნარში?

გადაწყვეტილება:

წონა, გ

კონცენტრაცია, %

გამოსავალი

4000

Მარილი

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

პასუხი: მარილის კონცენტრაცია არის 2%.

დავალება ნომერი 14

ბანკი გასცემს სესხს წელიწადში 10%-ით. თქვენ მიიღეთ სესხი 50000 რუბლის ოდენობით. რამდენი უნდა გადაიხადოთ ბანკში წელიწადში?

გადაწყვეტილება:

50 000 რუბლი.

100%

x რუბლს შეადგენს.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 რუბლი. არის 10%.

50,000 + 5000 = 55,000 (რუბლი)

პასუხი: ერთ წელიწადში 55000 რუბლი დაუბრუნდება ბანკს.

დასკვნა.

როგორც ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან ვხედავთ, პირდაპირი და უკუპროპორციული ურთიერთობები გამოიყენება ცხოვრების სხვადასხვა სფეროში:

Ეკონომია,

ვაჭრობა,

წარმოებასა და მრეწველობაში,

სკოლის ცხოვრება,

სამზარეულო,

მშენებლობა და არქიტექტურა.

სპორტი,

მეცხოველეობა,

ტოპოგრაფია,

ფიზიკოსები,

ქიმია და ა.შ.

რუსულ ენაზე ასევე არსებობს ანდაზები და გამონათქვამები, რომლებიც ამყარებენ პირდაპირ და საპირისპირო ურთიერთობებს:

როგორც მოვა, ისე უპასუხებს.

რაც უფრო მაღალია ღერო, მით უფრო მაღალია ჩრდილი.

რაც უფრო მეტი ადამიანია, მით ნაკლებია ჟანგბადი.

და მზადაა, დიახ, სულელურად.

მათემატიკა ერთ-ერთი უძველესი მეცნიერებაა, ის წარმოიშვა კაცობრიობის მოთხოვნილებებისა და საჭიროებების საფუძველზე. ძველი საბერძნეთიდან მოყოლებული ჩამოყალიბების ისტორიაში გავლილი, ის კვლავ აქტუალური და აუცილებელი რჩება ნებისმიერი ადამიანის ყოველდღიურ ცხოვრებაში. პირდაპირი და უკუპროპორციულობის ცნება ცნობილი იყო უძველესი დროიდან, რადგან სწორედ პროპორციის კანონები ამოძრავებდა არქიტექტორებს ნებისმიერი ქანდაკების მშენებლობის ან შექმნისას.

პროპორციების ცოდნა ფართოდ გამოიყენება ადამიანის ცხოვრებისა და საქმიანობის ყველა სფეროში - მათ გარეშე არ შეიძლება ნახატების ხატვისას (პეიზაჟები, ნატურმორტები, პორტრეტები და ა.შ.), ისინი ასევე გავრცელებულია არქიტექტორებსა და ინჟინერებში - ზოგადად, რთულია. წარმოვიდგინოთ რაიმეს შექმნა პროპორციების და მათი ურთიერთობის შესახებ ცოდნის გამოყენების გარეშე.

ლიტერატურა.

მათემატიკა-6, ნ.ია. ვილენკინი და სხვები.

ალგებრა -7, გ.ვ. დოროფეევი და სხვები.

მათემატიკა-9, GIA-9, რედაქციით F.F. ლისენკო, ს.იუ. კულაბუხოვი

მათემატიკა-6, დიდაქტიკური მასალები, პ.ვ. ჩულკოვი, ა.ბ. უედინოვი

დავალებები მათემატიკაში 4-5 კლასებისთვის, I.V. Baranova et al., M. "განმანათლებლობა" 1988 წ.

დავალებების და მაგალითების კრებული მათემატიკაში 5-6 კლასში, ნ.ა. ტერეშინი,

თ.ნ. Tereshina, M. "აკვარიუმი" 1997 წ

არითმეტიკაში პირდაპირპროპორციულ სიდიდეებთან ერთად გათვალისწინებული იყო უკუპროპორციული სიდიდეებიც.

მოვიყვანოთ მაგალითები.

1) ფუძის სიგრძე და მუდმივი ფართობის მქონე მართკუთხედის სიმაღლე.

დაე, საჭირო გახდეს ბაღისთვის მართკუთხა ფართობის გამოყოფა ფართობით

ჩვენ შეგვიძლია „თვითნებურად დავაყენოთ, მაგალითად, მონაკვეთის სიგრძე. მაგრამ შემდეგ მონაკვეთის სიგანე დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ რა სიგრძე ავირჩიეთ. სხვადასხვა (შესაძლო) სიგრძე და სიგანე ნაჩვენებია ცხრილში.

ზოგადად, თუ ჩვენ აღვნიშნავთ მონაკვეთის სიგრძეს x-ით, ხოლო სიგანეს y-ით, მაშინ მათ შორის ურთიერთობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით:

y-ს x-ით გამოვხატავთ, მივიღებთ:

x თვითნებური მნიშვნელობების მიცემით მივიღებთ შესაბამის y მნიშვნელობებს.

2) ერთგვაროვანი მოძრაობის დრო და სიჩქარე გარკვეულ მანძილზე.

ორ ქალაქს შორის მანძილი იყოს 200 კმ. რაც უფრო მაღალია სიჩქარე, მით ნაკლები დრო დასჭირდება მოცემული მანძილის დაფარვას. ეს ჩანს შემდეგი ცხრილიდან:

ზოგადად, თუ ჩვენ აღვნიშნავთ სიჩქარეს x-ით, ხოლო მოძრაობის დროს - y-ით, მაშინ მათ შორის ურთიერთობა გამოიხატება ფორმულით:

განმარტება. ორ სიდიდეს შორის ურთიერთობას, რომელიც გამოიხატება როგორც , სადაც k არის გარკვეული რიცხვი (არ არის ნულის ტოლი), ეწოდება შებრუნებული ურთიერთობა.

აქ რიცხვს პროპორციულობის კოეფიციენტსაც უწოდებენ.

ისევე, როგორც პირდაპირი პროპორციულობის შემთხვევაში, თანასწორობაში, x და y მნიშვნელობებს ზოგად შემთხვევაში შეუძლიათ დადებითი და უარყოფითი მნიშვნელობების მიღება.

მაგრამ უკუპროპორციულობის ყველა შემთხვევაში, არცერთი სიდიდე არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. მართლაც, თუ x ან y სიდიდეებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, მაშინ ტოლობაში მარცხენა მხარე იქნება ნულის ტოლი.

და სწორი - გარკვეულ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი (განმარტებით), ანუ არასწორი ტოლობა მიიღება.

2. შებრუნებული პროპორციის გრაფიკი.

მოდით ავაშენოთ დამოკიდებულების გრაფიკი

y-ს x-ით გამოვხატავთ, მივიღებთ:

ჩვენ მივცემთ x თვითნებურ (დაშვებულ) მნიშვნელობებს და გამოვთვლით y-ის შესაბამის მნიშვნელობებს. ავიღოთ მაგიდა:

ავაშენოთ შესაბამისი წერტილები (სურ. 28).

თუ x-ის მნიშვნელობებს ავიღებთ მცირე ინტერვალებით, მაშინ წერტილები უფრო ახლოს იქნება განლაგებული.

x-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის შესაბამისი წერტილები განლაგდება გრაფიკის ორ ტოტზე, სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ და გადის კოორდინატთა სიბრტყის I და III კვარტალებში (ნახ. 29).

ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ უკუპროპორციულობის გრაფიკი არის მრუდი ხაზი. ამ ხაზს ორი ფილიალი აქვს.

ერთი ტოტი მიიღება დადებითი, მეორე - x-ის უარყოფითი მნიშვნელობებით.

უკუპროპორციულ გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება.

უფრო ზუსტი გრაფიკის მისაღებად, თქვენ უნდა ააწყოთ რაც შეიძლება მეტი ქულა.

საკმარისად მაღალი სიზუსტით, ჰიპერბოლის დახატვა შესაძლებელია, მაგალითად, შაბლონების გამოყენებით.

ნახატზე 30 გამოსახულია უკუპროპორციული ურთიერთობა უარყოფითი კოეფიციენტით. მაგალითად, ასეთი ცხრილის შედგენით:

ვიღებთ ჰიპერბოლას, რომლის ტოტები განლაგებულია II და IV კვარტალში.

ძირითადი მიზნები:

• სიდიდეების პირდაპირი და უკუპროპორციული დამოკიდებულების ცნების დანერგვა;
• ასწავლეთ როგორ გადაჭრას პრობლემები ამ დამოკიდებულებების გამოყენებით;
• ხელი შეუწყოს პრობლემის გადაჭრის უნარების განვითარებას;
• პროპორციების გამოყენებით განტოლებების ამოხსნის უნარის კონსოლიდაცია;
• მოქმედებების გამეორება ჩვეულებრივი და ათობითი წილადებით;
• განავითაროს მოსწავლეთა ლოგიკური აზროვნება.

გაკვეთილების დროს

ᲛᲔ. საქმიანობის თვითგამორკვევა(საორგანიზაციო დრო)

- Ბიჭები! დღეს გაკვეთილზე გავეცნობით პროპორციების გამოყენებით ამოხსნილ ამოცანებს.

II. ცოდნის განახლება და აქტივობებში სირთულეების გამოსწორება

2.1. ზეპირი სამუშაო (3 წთ)

- იპოვნეთ გამოთქმების მნიშვნელობა და გაიგეთ პასუხებში დაშიფრული სიტყვა.

14 - ს; 0.1 - და; 7 - ლ; 0.2 - ა; 17 - in; 25 - მდე

- გამოვიდა სიტყვა - ძალა. კარგად გააკეთე!
- ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილის დევიზი: ძალა ცოდნაშია! ვეძებ - ასე რომ ვსწავლობ!
- გააკეთეთ მიღებული რიცხვების პროპორცია. (14:7=0.2:0.1 და ა.შ.)

2.2. განვიხილოთ კავშირი ცნობილ სიდიდეებს შორის (7 წთ)

- მანქანით გავლილი გზა მუდმივი სიჩქარით და მისი მოძრაობის დრო: S = v t (სიჩქარის (დროის) მატებასთან ერთად, გზა იზრდება;
- მანქანის სიჩქარე და გზაზე გატარებული დრო: v=S:t(გზის გავლის დროის მატებასთან ერთად სიჩქარე მცირდება);
– ერთ ფასად შეძენილი საქონლის ღირებულება და მისი რაოდენობა: C \u003d a n (ფასის მატებით (შემცირებით), შესყიდვის ღირებულება იზრდება (მცირდება);
- პროდუქტის ფასი და მისი რაოდენობა: a \u003d C: n (რაოდენობის მატებასთან ერთად, ფასი მცირდება)
- მართკუთხედის ფართობი და მისი სიგრძე (სიგანე): S = a b (სიგრძის (სიგანის) ზრდით, ფართობი იზრდება;
- მართკუთხედის სიგრძე და სიგანე: a = S: b (სიგრძის მატებასთან ერთად, სიგანე მცირდება;
- მუშათა რაოდენობა, რომლებიც ასრულებენ გარკვეულ სამუშაოს იგივე შრომის პროდუქტიულობით, და დრო, რომელიც სჭირდება ამ სამუშაოს დასრულებას: t \u003d A: n (მუშათა რაოდენობის მატებასთან ერთად, სამუშაოს შესრულებაზე დახარჯული დრო მცირდება), და ა.შ.

ჩვენ მივიღეთ დამოკიდებულებები, რომლებშიც, ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით, მეორე მაშინვე იზრდება იმავე რაოდენობით (მაგალითად ნაჩვენებია ისრებით) და დამოკიდებულებები, რომლებშიც, ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით, მეორე მნიშვნელობა მცირდება იგივე რაოდენობის ჯერ.
ასეთ ურთიერთობებს პირდაპირ და შებრუნებულ პროპორციებს უწოდებენ.
პირდაპირპროპორციული დამოკიდებულება- დამოკიდებულება, რომლის დროსაც ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით (კლებით), მეორე მნიშვნელობა იზრდება (მცირდება) იმავე ოდენობით.
უკუპროპორციული ურთიერთობა- დამოკიდებულება, რომლის დროსაც ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით (შემცირებით), მეორე მნიშვნელობა მცირდება (იზრდება) იმავე ოდენობით.

III. სასწავლო დავალების განცხადება

რა პრობლემა გვაქვს? (ისწავლეთ განასხვავოთ პირდაპირი და ინვერსიული ურთიერთობები)
- Ეს არის - მიზანიჩვენი გაკვეთილი. ახლა ჩამოაყალიბეთ თემაგაკვეთილი. (პირდაპირი და უკუპროპორციულობა).
- კარგი რა! ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა რვეულებში. (მასწავლებელი წერს თემას დაფაზე.)

IV. ახალი ცოდნის „აღმოჩენა“.(10 წუთი)

გავაანალიზოთ 199 ნომერი.

1. პრინტერი 4,5 წუთში ბეჭდავს 27 გვერდს. რამდენი დრო დასჭირდება 300 გვერდის დაბეჭდვას?

27 გვერდი - 4,5 წთ.
300 გვ. - x?

2. კოლოფში არის 48 შეკვრა ჩაი, თითო 250 გ. 150 გრამიანი რამდენი შეკვრა გამოვა ამ ჩაიდან?

48 შეკვრა - 250 გ.
X? - 150 გ.

3. მანქანამ გაიარა 310 კმ, 25 ლიტრი ბენზინი დახარჯა. რა მანძილის გავლა შეუძლია მანქანას 40 ლიტრიან სავსე ავზზე?

310 კმ - 25 ლ
X? – 40 ლ

4. ერთ-ერთ გადაბმას აქვს 32 კბილი, მეორეს კი 40. რამდენ ბრუნს გააკეთებს მეორე გადაცემათა კოლოფი, პირველი კი 215 ბრუნს?

32 კბილი - 315 rpm
40 კბილი - x?

პროპორციის შესაქმნელად საჭიროა ისრების ერთი მიმართულება, ამისთვის, შებრუნებული პროპორციით, ერთი თანაფარდობა იცვლება შებრუნებულით.

დაფაზე მოსწავლეები პოულობენ რაოდენობების მნიშვნელობას, ველში მოსწავლეები წყვეტენ ერთ პრობლემას მათი არჩევანით.

– სწორი და უკუპროპორციულობით ამოცანების ამოხსნის წესის ჩამოყალიბება.

დაფაზე გამოჩნდება ცხრილი:

V. პირველადი კონსოლიდაცია გარე მეტყველებაში(10 წუთი)

დავალებები ფურცლებზე:

1. 21 კგ ბამბის თესლიდან მიიღეს 5,1 კგ ზეთი. რამდენი ზეთი მიიღება 7 კგ ბამბის თესლიდან?
2. სტადიონის ასაშენებლად 210 წუთში 5 ბულდოზერმა გაასუფთავა ადგილი. რამდენი დრო დასჭირდება 7 ბულდოზერს ამ ტერიტორიის გაწმენდას?

VI. სტანდარტის მიხედვით დამოუკიდებელი მუშაობა თვითტესტით(5 წუთი)

No225 დავალებას ორი მოსწავლე ფარულ დაფებზე დამოუკიდებლად ასრულებს, დანარჩენები კი რვეულებში. შემდეგ ამოწმებენ ნამუშევარს ალგორითმის მიხედვით და ადარებენ დაფაზე გამოსახულ ამოხსნას. შეცდომები გამოსწორებულია, მათი მიზეზები ირკვევა. თუ დავალება დასრულებულია, მაშასადამე, მაშინ მოსწავლეების გვერდით დადეთ "+" ნიშანი საკუთარი თავისთვის.
სტუდენტებს, რომლებიც შეცდომებს უშვებენ დამოუკიდებელ მუშაობაში, შეუძლიათ გამოიყენონ კონსულტანტები.

VII. ცოდნის სისტემაში ჩართვა და გამეორება№ 271, № 270.

დაფაზე ექვსი ადამიანი მუშაობს. 3-4 წუთის შემდეგ მოსწავლეები, რომლებიც მუშაობდნენ დაფაზე, წარმოადგენენ თავიანთ გადაწყვეტილებებს, დანარჩენები ამოწმებენ ამოცანებს და მონაწილეობენ მათ დისკუსიაში.

VIII. აქტივობის ასახვა (გაკვეთილის შედეგი)

- რა ახალი ისწავლეთ გაკვეთილზე?
-რა გაიმეორე?
რა არის პროპორციული ამოცანების გადაჭრის ალგორითმი?
მივაღწიეთ ჩვენს მიზანს?
- როგორ აფასებ შენს სამუშაოს?