სამუშაოს ტიპი: 14

მდგომარეობა

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში DABC ABC ფუძით, ფუძის გვერდი ტოლია 6\sqrt(3),ხოლო პირამიდის სიმაღლეა 8 . წერტილები M, N და K, შესაბამისად, აღინიშნება AB, AC და AD კიდეებზე ისე, რომ AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)და AK=\frac(5)(2).

ა)დაამტკიცეთ, რომ თვითმფრინავები MNK და DBC პარალელურია.

ბ)იპოვეთ მანძილი K წერტილიდან DBC სიბრტყემდე.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ა)თვითმფრინავები MNK და DBC პარალელურია, თუ ერთ სიბრტყეში ორი გადამკვეთი წრფე, შესაბამისად, პარალელურია მეორე სიბრტყეში ორი გადამკვეთი წრფის პარალელურად. დავამტკიცოთ. განვიხილოთ MNK სიბრტყის MN და KM ხაზები და DBC სიბრტყის BC და DB ხაზები.

სამკუთხედში AOD : \კუთხე AOD = 90^\circ და პითაგორას თეორემით AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).

იპოვეთ AO \bigtriangleup ABC-ის გამოყენებით სწორია.

AO=\frac(2)(3)AO_1,სადაც AO_1 არის \დიდი სამკუთხედის ABC სიმაღლე, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2),სადაც a არის \დიდი სამკუთხედის ABC გვერდი.

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9,მაშინ AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. ვინაიდან \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2): 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4)და \ Angle DAB არის ზოგადი, შემდეგ \bigtriangleup AKM \sim ADB.

მსგავსებიდან გამომდინარეობს, რომ \ კუთხე AKM = \კუთხე ADB. ეს არის შესაბამისი კუთხეები KM და BD ხაზებისთვის და AD სექანტისთვის. ასე რომ, KM \პარალელური BD.

2. რადგან \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4)და \ კუთხე CAB არის საერთო, მაშინ \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

მსგავსებიდან გამომდინარეობს, რომ \ კუთხე ANM = \კუთხე ACB. ეს კუთხეები შეესაბამება MN და BC წრფეებს და AC სეკანტს. ასე რომ, MN \პარალელური ძვ.წ.

დასკვნა: ვინაიდან MNK სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფე KM და MN არის შესაბამისად DBC სიბრტყის BD და BC გადამკვეთი წრფეების პარალელურად, მაშინ ეს სიბრტყეები პარალელურია - MNK \პარალელური DBC.

ბ)ვიპოვოთ მანძილი K წერტილიდან BDC სიბრტყემდე.

ვინაიდან MNK სიბრტყე პარალელურია DBC სიბრტყის პარალელურად, K წერტილიდან DBC სიბრტყემდე მანძილი ტოლია O_2 წერტილიდან DBC სიბრტყემდე და უდრის O_2 H სეგმენტის სიგრძეს. დავამტკიცოთ. .

BC \perp AO_1 და BC \perp DO_1 (როგორც სამკუთხედების ABC და DBC სიმაღლეები), ამიტომ BC არის ADO_1 სიბრტყის პერპენდიკულარული და შემდეგ BC არის პერპენდიკულარული ამ სიბრტყის ნებისმიერ წრფეზე, მაგალითად, O_2 H. O_2H კონსტრუქციით. \perp DO_1, მაშინ O_2H არის BCD სიბრტყის ორი გადამკვეთი სწორი ხაზის პერპენდიკულარული, შემდეგ კი სეგმენტი O_2 H არის BCD სიბრტყის პერპენდიკულარული და უდრის O_2-დან BCD სიბრტყემდე მანძილს.

სამკუთხედში O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\კუთხე HO_(1)O_(2).

O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).

O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).

\sin \კუთხე DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).

უპასუხე

\frac(54)(\sqrt(73))

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 14
თემა: მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე

მდგომარეობა

ABCDA_1B_1C_1D_1 არის რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა.

ა) დაამტკიცეთ, რომ თვითმფრინავი არის BB_1D_1 \perp AD_1C .

ბ) იცოდეთ AB = 5 და AA_1 = 6, იპოვეთ მანძილი B_1 წერტილიდან AD_1C სიბრტყემდე.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ა) ვინაიდან ეს პრიზმა რეგულარულია, მაშინ BB_1 \perp ABCD , აქედან გამომდინარე BB_1 \perp AC . ვინაიდან ABCD არის კვადრატი, მაშინ AC \perp BD . ასე რომ, AC \perp BD და AC \perp BB_1. ვინაიდან BD და BB_1 წრფეები იკვეთება, მაშინ, წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშნის მიხედვით, AC \perp BB_1D_1D . ახლა AD_1C \perp BB_1D_1 სიბრტყეების პერპენდიკულარულობის საფუძველზე.

ბ) აღნიშნეთ O-ით ABCD კვადრატის AC და BD დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. სიბრტყეები AD_1C და BB_1D_1 იკვეთება OD_1 სწორი ხაზის გასწვრივ. მოდით B_1H იყოს BB_1D_1 სიბრტყეში დახატული პერპენდიკულარი OD_1 წრფეზე. შემდეგ B_1H \perp AD_1C. მოდით E=OD_1 \cap BB_1 . მსგავსი სამკუთხედებისთვის D_1B_1E და OBE (შესაბამისი კუთხეების ტოლობა გამომდინარეობს პირობიდან BO \პარალელური B_1D_1 ) გვაქვს \frac(B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

ასე რომ, B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. ვინაიდან B_1D_1=5\sqrt(2) , მაშინ ჰიპოტენუზა D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194).შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ ფართობის მეთოდს D_1B_1E სამკუთხედში, რათა გამოვთვალოთ B_1H-ის სიმაღლე D_1E ჰიპოტენუზამდე:

S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).

უპასუხე

\frac(60\sqrt(97))(97)

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2016წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 14
თემა: მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე

მდგომარეობა

ABCDA_1B_1C_1D_1 არის მართკუთხა ყუთი. კიდეები AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .

ა) დაამტკიცეთ, რომ B და D წერტილებიდან ACD_(1) სიბრტყემდე მანძილი ერთნაირია.

ბ) იპოვეთ ეს მანძილი.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ა)განვიხილოთ სამკუთხა პირამიდა D_1ACD.

ამ პირამიდაში მანძილი D წერტილიდან ACD_1-DH საბაზისო სიბრტყემდე უდრის D წერტილიდან ACD_1 ფუძემდე გაყვანილი პირამიდის სიმაღლეს.

V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, ამ თანასწორობიდან ვიღებთ

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).

განვიხილოთ პირამიდა D_1ABC. მანძილი B წერტილიდან ACD_1 სიბრტყემდე უდრის B-დან ACD_1-ის ზემოდან ჩამოშვებულ სიმაღლეს. ავღნიშნოთ ეს მანძილი BK. მერე V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, აქედან ვიღებთ BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\:მაგრამ V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , რადგან თუ გავითვალისწინებთ ADC და ABC პირამიდების ფუძეებს, მაშინ სიმაღლე D_1D არის მთლიანი და S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABCორ ფეხზე). ასე რომ, BK=DH.

ბ) იპოვეთ პირამიდის D_1ACD მოცულობა.

სიმაღლე D_1D=4.

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.

ACD_1-ის სახის ფართობი უდრის \frac1(2)AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

იმის ცოდნა, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი არის ჰიპოტენუზის საშუალო პროპორციული და ჰიპოტენუზის სეგმენტი, რომელიც ჩასმულია ფეხსა და მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილ სიმაღლეს შორის, სამკუთხედში ADC გვაქვს AD^(2)=AC \cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).

მართკუთხა სამკუთხედში AD_1P პითაგორას თეორემით D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\მარცხნივ (\frac(49)(25) \მარჯვნივ)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

ნებისმიერი სიბრტყე დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში შეიძლება განისაზღვროს განტოლებით `Ax + By + Cz + D = 0`, სადაც მინიმუმ ერთი რიცხვი `A`, `B`, `C~ არ არის ნულის ტოლი. მიეცით წერტილი `M (x_0;y_0;z_0)` იპოვეთ მანძილი მისგან სიბრტყემდე `Ax + By + Cz + D = 0`.

მივცეთ ხაზი, რომელიც გადის წერტილს `M` `ალფა` სიბრტყის პერპენდიკულარული, კვეთს მას `K` წერტილში კოორდინატებით `(x; y; z)`. ვექტორი `vec(MK)` "ალფა" სიბრტყის პერპენდიკულარული, ისევე როგორც ვექტორი `vecn` `(A;B;C)`, ანუ ვექტორები `vec(MK)` და `vecn` კოლინარული, `vec(MK)=λvecn`.

ვინაიდან `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` და `vecn(A,B,C)`, შემდეგ `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

წერტილი `K` დევს "ალფა" სიბრტყეში (ნახ. 6), მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს სიბრტყის განტოლებას. ჩანაცვლებით `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` განტოლებაში `Ax+By+Cz+D=0`, მივიღებთ

`A(x_0+ლამბდაA)+(B(y_0+ლამბდაB)+C(z_0+ლამბდაC)+D=0`,

საიდანაც `ლამბდა=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)“.

იპოვეთ ვექტორის სიგრძე `vec(MK)`, რომელიც უდრის მანძილს `M(x_0;y_0;z_0)` წერტილიდან სიბრტყემდე `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|ლამბდა|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

ასე რომ, მანძილი `h` `M(x_0;y_0;z_0)` წერტილიდან `Ax + By + Cz + D = 0` სიბრტყემდე არის

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

`A~ წერტილიდან `ალფა~ სიბრტყემდე მანძილის პოვნის გეომეტრიული მეთოდით იპოვეთ `A~ წერტილიდან `ალფა~ სიბრტყემდე დაშვებული პერპენდიკულარული `A A^"` ფუძე. `A^"' არის პრობლემაში მითითებული `ალფა~ სიბრტყის მონაკვეთის გარეთ, შემდეგ `A~ წერტილის გავლით ხაზდება `c`, სიბრტყის `alpha~ პარალელურად და უფრო მოსახერხებელი წერტილი `C. მასზე არჩეულია `, რომლის ორთოგონალური პროექციაა `C^“` მიეკუთვნება `ალფა~ სიბრტყის მოცემულ მონაკვეთს. სეგმენტის სიგრძე `C C^“`ტოლი იქნება სასურველი მანძილის `A` წერტილიდან`ალფა~ სიბრტყემდე.

რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმაში `A...F_1`, რომლის ყველა კიდე უდრის `1`, იპოვეთ მანძილი `B` წერტილიდან `AF F_1` სიბრტყემდე.

მოდით `O` იყოს პრიზმის ქვედა ფუძის ცენტრი (სურ. 7). წრფე `BO` პარალელურია `AF` წრფესთან და, შესაბამისად, მანძილი `B` სიბრტყემდე `AF F_1` უდრის მანძილს `OH` წერტილიდან `AF F_1` სიბრტყემდე. სამკუთხედში `AOF` გვაქვს `AO=OF=AF=1`. ამ სამკუთხედის სიმაღლე `OH` არის `(sqrt3)/2`. ამიტომ, საჭირო მანძილი უდრის `(sqrt3)/2`-ს.

მოდი ვაჩვენოთ სხვა გზა (დამხმარე მოცულობის მეთოდი)წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის პოვნა. ცნობილია, რომ პირამიდის მოცულობა `V` , მისი ფუძის ფართობი `S`და სიმაღლე სიგრძე `h`დაკავშირებულია ფორმულით `h=(3V)/S`. მაგრამ პირამიდის სიმაღლის სიგრძე სხვა არაფერია, თუ არა მანძილი მისი ზემოდან საბაზისო სიბრტყემდე. მაშასადამე, წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოსათვლელად საკმარისია ვიპოვოთ რომელიმე პირამიდის ფუძის მოცულობა და ფართობი ამ წერტილში წვეროებით და მოცემულ სიბრტყეში მდებარე ფუძით.

მოცემულია რეგულარული პრიზმა `A...D_1`, რომელშიც `AB=a`, `A A_1=2a`. იპოვეთ მანძილი `A_1B_1C_1D_1` ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილიდან `BDC_1` სიბრტყემდე.

განვიხილოთ ტეტრაედონი `O_1DBC_1` (ნახ. 8). სასურველი მანძილი `h` არის ამ ტეტრაედონის სიმაღლის სიგრძე, დაშვებული წერტილიდან `O_1` სახის სიბრტყემდე `BDC_1` . მის საპოვნელად საკმარისია ვიცოდეთ მოცულობა `V`ტეტრაედონი `O_1DBC_1` და ფართობი სამკუთხედი `DBC_1`. მოდით გამოვთვალოთ ისინი. გაითვალისწინეთ, რომ ხაზი `O_1C_1` `O_1DB` სიბრტყის პერპენდიკულარული, ვინაიდან იგი `BD`-ის პერპენდიკულარულიადა `B B_1` . აქედან გამომდინარე, ტეტრაედრის მოცულობა `O_1DBC_1` უდრის

მანძილის განსაზღვრა: 1 - წერტილი და სიბრტყე; 2 - სწორი და ბრტყელი; 3 - თვითმფრინავები; 4 - გადაკვეთის ხაზები განიხილება ერთობლივად, რადგან ყველა ამ ამოცანის ამოხსნის ალგორითმი არსებითად იგივეა და შედგება გეომეტრიული კონსტრუქციებისგან, რომლებიც უნდა შესრულდეს მოცემულ A წერტილსა და α სიბრტყეს შორის მანძილის დასადგენად. თუ რაიმე განსხვავებაა, მაშინ ის მხოლოდ იმაში მდგომარეობს, რომ მე-2 და მე-3 შემთხვევებში, პრობლემის გადაჭრის დაწყებამდე, უნდა მონიშნოთ თვითნებური წერტილი A წრფეზე m (შემთხვევა 2) ან β სიბრტყე (შემთხვევა 3). დახრილ ხაზებს შორის დისტანციებს, ჩვენ წინასწარ ვამაგრებთ მათ პარალელურად α და β სიბრტყეებში ამ სიბრტყეებს შორის მანძილის შემდგომი განსაზღვრით.

განვიხილოთ პრობლემის გადაჭრის თითოეული აღნიშნული შემთხვევა.

1. წერტილსა და სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრა.

მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე განისაზღვრება წერტილიდან სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძით.

ამრიგად, ამ პრობლემის გადაწყვეტა მოიცავს შემდეგი გრაფიკული ოპერაციების თანმიმდევრულ შესრულებას:

1) A წერტილიდან ვამცირებთ α სიბრტყის პერპენდიკულარს (სურ. 269);

2) იპოვეთ ამ პერპენდიკულარის გადაკვეთის M წერტილი M = a ∩ α სიბრტყესთან;

3) განსაზღვრეთ სეგმენტის სიგრძე.

თუ α სიბრტყე ზოგად მდგომარეობაშია, მაშინ ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარის ჩამოსაშლელად, ჯერ უნდა განისაზღვროს ამ სიბრტყის ჰორიზონტალური და შუბლის პროგნოზების მიმართულება. ამ პერპენდიკულარის სიბრტყესთან შეხვედრის წერტილის პოვნა ასევე მოითხოვს დამატებით გეომეტრიულ კონსტრუქციებს.

პრობლემის გადაწყვეტა გამარტივებულია, თუ სიბრტყე α იკავებს კონკრეტულ პოზიციას პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში. ამ შემთხვევაში, როგორც პერპენდიკულარულის პროექცია, ისე მისი შეხვედრის წერტილის დადგენა სიბრტყესთან, ხორციელდება დამატებითი დამხმარე კონსტრუქციების გარეშე.

მაგალითი 1. განვსაზღვროთ მანძილი A წერტილიდან α ფრონტალურად გამომავალი სიბრტყემდე (სურ. 270).

გადაწყვეტილება. A-ს მეშვეობით "ვხატავთ l" ⊥ h 0α პერპენდიკულარულის ჰორიზონტალურ პროექციას, ხოლო "A" -ს მეშვეობით - მისი შუბლის პროექცია l" ⊥ f 0α. ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილს M" = l" ∩ f 0α . AM-დან || π 2 , შემდეგ [А" М"] == |AM| = დ.

განხილული მაგალითიდან ჩანს, რამდენად მარტივად წყდება პრობლემა, როდესაც თვითმფრინავი იკავებს საპროექციო პოზიციას. მაშასადამე, თუ საწყის მონაცემებში მითითებულია ზოგადი სიბრტყე, მაშინ გადაწყვეტის დაწყებამდე სიბრტყე უნდა გადავიდეს ნებისმიერ პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულ მდგომარეობაში.

მაგალითი 2. განვსაზღვროთ მანძილი K წერტილიდან ΔАВС-ით მოცემულ სიბრტყამდე (სურ. 271).

1. თვითმფრინავი ΔАВС გადავიყვანთ საპროექტო პოზიციაზე *. ამისათვის ჩვენ გადავდივართ xπ 2 / π 1 სისტემიდან x 1 π 3 / π 1-ზე: ახალი ღერძის x 1 მიმართულება არჩეულია სამკუთხედის ჰორიზონტალური სიბრტყის ჰორიზონტალური პროექციის პერპენდიკულურად.

2. ჩვენ ვაპროექტებთ ΔАВС ახალ სიბრტყეზე π 3 (ΔАВС სიბრტყე დაპროექტებულია π 3-ზე, [С" 1 В" 1 ]-ში).

3. K წერტილის (K "→ K" 1) პროექტირებას ვაკეთებთ იმავე სიბრტყეზე.

4. K წერტილის მეშვეობით ვხატავთ (K" 1 M "1) ⊥ სეგმენტს [C" 1 B "1]. სასურველი მანძილი d \u003d | K "1 M" 1 |.

პრობლემის გადაწყვეტა გამარტივებულია, თუ თვითმფრინავი მოცემულია კვალით, რადგან არ არის საჭირო დონის ხაზების პროგნოზების განხორციელება.

მაგალითი 3. დაადგინეთ მანძილი K წერტილიდან α სიბრტყემდე, მოცემული კვალის მიხედვით (სურ. 272).

* სამკუთხედის სიბრტყის საპროექციო პოზიციაზე გადატანის ყველაზე რაციონალური გზაა საპროექციო სიბრტყეების ჩანაცვლების მეთოდი, ვინაიდან ამ შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ერთი დამხმარე პროექციის აგება.

გადაწყვეტილება. სიბრტყეს π 1 ვცვლით π 3 სიბრტყით, ამისთვის ვხატავთ ახალ ღერძს x 1 ⊥ f 0α. h 0α-ზე ჩვენ აღვნიშნავთ თვითნებურ წერტილს 1 "და განვსაზღვრავთ მის ახალ ჰორიზონტალურ პროექციას π 3 (1" 1) სიბრტყეზე. X α 1 (X α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) და 1 "1" წერტილების მეშვეობით ვხატავთ h 0α 1. განვსაზღვრავთ K → K წერტილის ახალ ჰორიზონტალურ პროექციას. K წერტილიდან "1" ვამცირებთ პერპენდიკულარს h 0α 1-ზე და ვნიშნავთ მისი გადაკვეთის წერტილს h 0α 1 - M" 1-ით. K "1 M" 1 სეგმენტის სიგრძე მიუთითებს საჭირო მანძილს.

2. სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრა.

სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის მანძილი განისაზღვრება სწორი ხაზის თვითნებური წერტილიდან სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძით (იხ. სურ. 248).

მაშასადამე, m წრფესა და α სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრის ამოცანის ამოხსნა არაფრით განსხვავდება წერტილსა და სიბრტყეს შორის მანძილის დასადგენად 1 პუნქტში განხილული მაგალითებისგან (იხ. სურ. 270 ... 272). ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება m წრფეს, შეიძლება მივიღოთ წერტილად.

3. სიბრტყეებს შორის მანძილის განსაზღვრა.

სიბრტყეებს შორის მანძილი განისაზღვრება ერთი სიბრტყეზე გადაღებული წერტილიდან მეორე სიბრტყეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარული სეგმენტის მნიშვნელობით.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ α და β სიბრტყეებს შორის მანძილის პოვნის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი განსხვავდება m წრფესა და α სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრის პრობლემის გადაჭრის მსგავსი ალგორითმისგან მხოლოდ იმით, რომ წრფე m უნდა მიეკუთვნება α სიბრტყეს, ანუ α და β სიბრტყეებს შორის მანძილის დასადგენად შემდეგია:

1) ავიღოთ m წრფე α სიბრტყეში;

2) აირჩიეთ თვითნებური წერტილი A წრფეზე m;

3) A წერტილიდან ჩამოწიეთ l პერპენდიკულარული β სიბრტყეზე;

4) განსაზღვრეთ M წერტილი - l-ის პერპენდიკულარული β სიბრტყესთან შეხვედრის წერტილი;

5) განსაზღვრეთ სეგმენტის მნიშვნელობა.

პრაქტიკაში მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ სხვადასხვა გადაწყვეტის ალგორითმი, რომელიც განსხვავდება მოცემულისგან მხოლოდ იმით, რომ პირველი ნაბიჯის გაგრძელებამდე თვითმფრინავები უნდა გადავიდეს საპროექტო პოზიციაზე.

ამ დამატებითი ოპერაციის ალგორითმში ჩართვა ამარტივებს ყველა სხვა პუნქტის განხორციელებას გამონაკლისის გარეშე, რაც საბოლოო ჯამში იწვევს უფრო მარტივ გადაწყვეტას.

მაგალითი 1. დაადგინეთ მანძილი α და β სიბრტყეებს შორის (სურ. 273).

გადაწყვეტილება. სისტემიდან xπ 2 /π 1 გადავდივართ x 1 π 1 /π 3-ზე. ახალ სიბრტყეს π 3-თან მიმართებაში, α და β სიბრტყეები იკავებენ საპროექციო პოზიციას, ამიტომ მანძილი ახალ შუბლის კვალს f 0α 1 და f 0β 1 შორის არის საჭირო.

საინჟინრო პრაქტიკაში ხშირად საჭიროა სიბრტყის აგების პრობლემის გადაჭრა მოცემული სიბრტყის პარალელურად და მისგან მოცემულ მანძილზე. მაგალითი 2 ქვემოთ ასახავს ასეთი პრობლემის გადაწყვეტას.

მაგალითი 2. საჭიროა β სიბრტყის პროექციების აგება, მოცემული α სიბრტყის პარალელურად (m || n), თუ ცნობილია, რომ მათ შორის მანძილი d-ის ტოლია (სურ. 274).

1. α სიბრტყეში ვხატავთ თვითნებურ ჰორიზონტალურ h (1, 3) და შუბლის f (1,2).

2. 1 წერტილიდან აღვადგენთ l-ს პერპენდიკულარულს α(l" ⊥ h", l" ⊥ f") სიბრტყეზე.

3. მონიშნეთ თვითნებური A წერტილი პერპენდიკულარულ l-ზე.

4. განვსაზღვროთ სეგმენტის სიგრძე - (პოზიცია დიაგრამაზე მიუთითებს სწორი ხაზის l მეტრიულად დაუმახინჯებელ მიმართულებას).

5. დააყენეთ სწორი ხაზი (1 "A 0) წერტილი 1" სეგმენტიდან = d.

6. პროექციებზე ვნიშნავთ l "და l" წერტილებს B "და B", B 0 წერტილის შესაბამისი.

7. დახაზეთ β სიბრტყე B წერტილის გავლით (h 1 ∩ f 1). ასე რომ β || α, აუცილებელია დაიცვან მდგომარეობა h 1 || თ და ვ 1 || ვ.

4. დახრილ ხაზებს შორის მანძილის განსაზღვრა.

დახრილ ხაზებს შორის მანძილი განისაზღვრება პარალელურ სიბრტყეებს შორის ჩასმული პერპენდიკულარულის სიგრძით, რომელსაც მიეკუთვნება დახრილი ხაზები.

იმისთვის, რომ ერთმანეთის პარალელური სიბრტყეები α და β გავხაზოთ გადამკვეთ m და f წრფეებში, საკმარისია გავავლოთ p წრფე f წრფის პარალელურად A (A ∈ m), ხოლო B წერტილის გავლით (B ∈ f) - წრფე k პარალელურად. ხაზი მ. გადამკვეთი ხაზები m და p, f და k განსაზღვრავენ ურთიერთპარალელურ სიბრტყეებს α და β (იხ. სურ. 248, e). α და β სიბრტყეებს შორის მანძილი უდრის სასურველ მანძილს m და f დახრილ ხაზებს შორის.

დახრილი ხაზებს შორის მანძილის დასადგენად შეიძლება შემოგვთავაზოს კიდევ ერთი გზა, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ ორთოგონალური პროგნოზების გარდაქმნის ზოგიერთი მეთოდის დახმარებით, ერთ-ერთი დახრილი ხაზი გადადის საპროექტო პოზიციაზე. ამ შემთხვევაში, ხაზის ერთი პროექცია გადაგვარდება წერტილად. დახრილი ხაზების ახალ პროგნოზებს შორის მანძილი (წერტილი A" 2 და სეგმენტი C" 2 D" 2) არის საჭირო.

ნახ. 275 გვიჩვენებს ამოცანის ამოხსნას a და b ხაზებს შორის მანძილის განსაზღვრის შესახებ, მოცემული სეგმენტები [AB] და [CD]. ხსნარი ხორციელდება შემდეგი თანმიმდევრობით:

1. ერთ-ერთი გადამკვეთი წრფე (a) გადაიტანეთ π 3 სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში; ამისათვის ისინი გადადიან საპროექციო სიბრტყეების სისტემიდან xπ 2 / π 1 ახალ x 1 π 1 / π 3-ზე, x 1 ღერძი პარალელურია სწორი ხაზის ჰორიზონტალური პროექციისა a. განსაზღვრეთ a" 1 [A" 1 B" 1 ] და b" 1 .

2. π 1 სიბრტყის π 4 სიბრტყით შეცვლით, ითარგმნება სწორი ხაზი

და პოზიცია a "2, პერპენდიკულარულად π 4 სიბრტყეზე (ახალი ღერძი x 2 დახაზულია a" 1-ის პერპენდიკულარულად).

3. ააგეთ სწორი ხაზის ახალი ჰორიზონტალური პროექცია b "2 - [ C" 2 D "2].

4. მანძილი A წერტილიდან "2" სწორ ხაზამდე C" 2 D "2 (სეგმენტი (A" 2 M "2] (სასურველია.

გასათვალისწინებელია, რომ ერთ-ერთი გადამკვეთი წრფის გადატანა საპროექტო პოზიციაზე სხვა არაფერია, თუ არა პარალელურობის სიბრტყეების გადატანა, რომელშიც a და b წრფეები შეიძლება იყოს ჩასმული, ასევე საპროექტო პოზიციაზე.

მართლაც, a წრფის გადატანით π 4 სიბრტყის პერპენდიკულარულ პოზიციაზე, ჩვენ უზრუნველვყოფთ, რომ a წრფის შემცველი ნებისმიერი სიბრტყე პერპენდიკულარულია π 4 სიბრტყის, α და m წრფეებით განსაზღვრული α სიბრტყის ჩათვლით (a ∩ m, მ || ბ). თუ ახლა გავავლებთ a-ს პარალელურად n წრფეს და ვკვეთთ b-ს, მაშინ მივიღებთ β სიბრტყეს, რომელიც არის პარალელიზმის მეორე სიბრტყე, რომელიც შეიცავს a და b წრფეებს. ვინაიდან β || α, შემდეგ β ⊥ π 4 .

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდის გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შეიძლება არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ, ჩამოტვირთოთ სრული ვერსია.

მიზნები:

• მოსწავლეთა ცოდნისა და უნარების განზოგადება და სისტემატიზაცია;
• ანალიზის, შედარების, დასკვნების გამოტანის უნარების განვითარება.

აღჭურვილობა:

• მულტიმედიური პროექტორი;
• კომპიუტერი;
• დავალების ფურცლები

სწავლის პროცესი

I. საორგანიზაციო მომენტი

II. ცოდნის განახლების ეტაპი(სლაიდი 2)

ჩვენ ვიმეორებთ, თუ როგორ განისაზღვრება მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე

III. ლექცია(სლაიდები 3-15)

გაკვეთილზე განვიხილავთ სხვადასხვა გზებს წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის დასადგენად.

პირველი მეთოდი: ნაბიჯ-ნაბიჯ გამოთვლითი

მანძილი M წერტილიდან α სიბრტყემდე:
უდრის α სიბრტყემდე მანძილს a წრფეზე მდებარე P თვითნებური წერტილიდან, რომელიც გადის M წერტილში და არის α სიბრტყის პარალელურად;
– უდრის α სიბრტყემდე მანძილს β სიბრტყეზე მდგომი P თვითნებური წერტილიდან, რომელიც გადის M წერტილში და არის α სიბრტყის პარალელურად.

ჩვენ მოვაგვარებთ შემდეგ ამოცანებს:

№1. A ... D 1 კუბში იპოვეთ მანძილი C 1 წერტილიდან AB 1 C სიბრტყემდე.

რჩება O 1 N სეგმენტის სიგრძის მნიშვნელობის გამოთვლა.

№2. რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმაში A ... F 1, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, იპოვეთ მანძილი A წერტილიდან სიბრტყემდე DEA 1-მდე.

შემდეგი მეთოდი: მოცულობის მეთოდი.

თუ პირამიდის ABCM მოცულობა არის V, მაშინ მანძილი M წერტილიდან α სიბრტყემდე, რომელიც შეიცავს ∆ABC გამოითვლება ფორმულით ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
ამოცანების ამოხსნისას ვიყენებთ ერთი ფიგურის მოცულობის ტოლობას, რომელიც გამოიხატება ორი განსხვავებული გზით.

მოვაგვაროთ შემდეგი პრობლემა:

№3. DABC პირამიდის AD კიდე პერპენდიკულარულია ABC ფუძის სიბრტყის მიმართ. იპოვეთ მანძილი A-დან სიბრტყემდე, რომელიც გადის AB, AC და AD კიდეების შუა წერტილებში, თუ.

პრობლემების გადაჭრისას კოორდინატთა მეთოდიმანძილი M წერტილიდან α სიბრტყემდე შეიძლება გამოითვალოს ρ(M; α) = ფორმულით , სადაც M(x 0; y 0; z 0), და სიბრტყე მოცემულია განტოლებით ax + by + cz + d = 0

მოვაგვაროთ შემდეგი პრობლემა:

№4. ერთეულ კუბში A…D 1 იპოვეთ მანძილი A 1 წერტილიდან BDC 1 სიბრტყემდე.

შემოგვაქვს კოორდინატთა სისტემა A წერტილში საწყისით, y ღერძი გაივლის AB კიდესთან, x ღერძი - AD კიდის გასწვრივ, z ღერძი - AA 1 კიდის გასწვრივ. შემდეგ B წერტილების კოორდინატები (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
შევადგინოთ B, D, C 1 წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება.

მაშინ – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. ამიტომ, ρ =

შემდეგი მეთოდი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ტიპის პრობლემების გადასაჭრელად - საცნობარო ამოცანების მეთოდი.

ამ მეთოდის გამოყენება მოიცავს ცნობილი საცნობარო ამოცანების გამოყენებას, რომლებიც ჩამოყალიბებულია თეორემებად.

მოვაგვაროთ შემდეგი პრობლემა:

№5. ერთეულ კუბში A ... D 1 იპოვეთ მანძილი D 1 წერტილიდან AB 1 C სიბრტყემდე.

განიხილეთ განაცხადი ვექტორული მეთოდი.

№6. ერთეულ კუბში A ... D 1 იპოვეთ მანძილი A 1 წერტილიდან BDC 1 სიბრტყემდე.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ სხვადასხვა მეთოდი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად. ამა თუ იმ მეთოდის არჩევანი დამოკიდებულია კონკრეტულ დავალებაზე და თქვენს პრეფერენციებზე.

IV. Ჯგუფური სამუშაო

სცადეთ პრობლემის გადაჭრა სხვადასხვა გზით.

№1. А…D 1 კუბის კიდე უდრის . იპოვეთ მანძილი C წვეროდან BDC 1 სიბრტყემდე.

№2. ჩვეულებრივ ტეტრაედრონში ABCD კიდეზე, იპოვეთ მანძილი A წერტილიდან BDC სიბრტყემდე

№3. ჩვეულებრივ სამკუთხა პრიზმაში ABCA 1 B 1 C 1, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, იპოვეთ მანძილი A-დან BCA 1 სიბრტყემდე.

№4. ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCD, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, იპოვეთ მანძილი A-დან SCD სიბრტყემდე.

V. გაკვეთილის შეჯამება, საშინაო დავალება, რეფლექსია