მრავალი ცვლადის f(x) ფუნქციისთვის x წერტილი არის ვექტორი, f'(x) არის f(x) ფუნქციის პირველი წარმოებულების (გრადიენტი), f ′′(x) არის სიმეტრიული მატრიცა. მეორე ნაწილობრივი წარმოებულების (ჰესეს მატრიცა − ჰესიანი) ფუნქციები f(x).
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციისთვის, ოპტიმალური პირობები ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად.
ადგილობრივი ოპტიმალურის აუცილებელი პირობა. მოდით f(x) დიფერენცირებადი x * R n წერტილში. თუ x * არის ადგილობრივი უკიდურესი წერტილი, მაშინ f'(x *) = 0.
როგორც ადრე, წერტილებს, რომლებიც განტოლებათა სისტემის ამონახსნებია, სტაციონარული ეწოდება. სტაციონარული წერტილის x * ბუნება დაკავშირებულია ჰესიანური მატრიცის ნიშან-განსაზღვრულობასთან f′ ′(x).
A მატრიცის ნიშნის განსაზღვრულობა დამოკიდებულია Q(α)= კვადრატული ფორმის ნიშნებზე.< α A, α >ყველა არანულოვანი α∈R n .
აქ და შემდგომში
მატრიცა A არის დადებითად (არაუარყოფითად) განსაზღვრული, თუ Q(α)>0 (Q(α)≥0) ყველა არანულოვანი α∈R n; უარყოფითად (არადადებითად) განსაზღვრული თუ Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 ზოგიერთი არანულოვანი α∈R n და Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
საკმარისი პირობა ადგილობრივი ოპტიმალურად. მოდით, f(x) ორჯერ დიფერენცირებადი იყოს x * R n წერტილში და f’(x *)=0, ე.ი. x * − სტაციონარული წერტილი. მაშინ, თუ f (x *) მატრიცა დადებითი (უარყოფითი) განსაზღვრულია, მაშინ x * არის ადგილობრივი მინიმალური (მაქსიმალური) წერტილი; თუ f′′(x *) მატრიცა განუსაზღვრელია, მაშინ x * არის უნაგირების წერტილი.
თუ f′′(x *) მატრიცა არაუარყოფითი (არადადებითად) განსაზღვრულია, მაშინ x * სტაციონარული წერტილის ბუნების დასადგენად საჭიროა უმაღლესი რიგის წარმოებულების შესწავლა.
მატრიცის ნიშნის განსაზღვრულობის შესამოწმებლად, როგორც წესი, გამოიყენება სილვესტერის კრიტერიუმი. ამ კრიტერიუმის მიხედვით, სიმეტრიული მატრიცა A არის დადებითი განსაზღვრული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ყველა კუთხური მინორი დადებითია. ამ შემთხვევაში, A მატრიცის კუთხური მინორი არის A მატრიცის ელემენტებიდან აგებული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც დგას იმავე (და პირველი) რიცხვებით მწკრივებისა და სვეტების გადაკვეთაზე. სიმეტრიული A მატრიცის უარყოფითი განსაზღვრულობის შესამოწმებლად, უნდა შეამოწმოთ მატრიცა (−A) დადებითი განსაზღვრულობისთვის.
ასე რომ, მრავალი ცვლადის ფუნქციის ლოკალური კიდურების წერტილების განსაზღვრის ალგორითმი შემდეგია.
1. იპოვეთ f′(x).
2. სისტემა მოგვარებულია 
შედეგად, გამოითვლება სტაციონარული წერტილები x i.
3. იპოვეთ f′′(x), სიმრავლე i=1.
4. იპოვეთ f′′(x i)
5. გამოითვლება f′′(x i) მატრიცის კუთხური მინორები. თუ ყველა კუთხოვანი მინორი არ არის ნულოვანი, მაშინ x i სტაციონარული წერტილის ბუნების დასადგენად საჭიროა უმაღლესი რიგის წარმოებულების შესწავლა. ამ შემთხვევაში, მე-8 პუნქტზე გადასვლა ხორციელდება.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადადით მე-6 ნაბიჯზე.
6. გაანალიზებულია კუთხოვანი მინორების ნიშნები f′′(x i). თუ f′′(x i) დადებითი განსაზღვრულია, მაშინ x i არის ადგილობრივი მინიმალური წერტილი. ამ შემთხვევაში, მე-8 პუნქტზე გადასვლა ხორციელდება.
წინააღმდეგ შემთხვევაში გადადით მე-7 პუნქტზე.
7. გამოითვლება -f′′(x i) მატრიცის კუთხური მინორები და გაანალიზებულია მათი ნიშნები.
თუ -f′′(x i) − დადებითი განსაზღვრულია, მაშინ f′′(x i) უარყოფითი განსაზღვრულია და x i არის ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, f′′(x i) განუსაზღვრელია და x i არის უნაგირის წერტილი.
8. მოწმდება ყველა სტაციონარული წერტილის ბუნების განსაზღვრის პირობა i=N.
თუ ის დაკმაყოფილებულია, მაშინ გამოთვლები დასრულებულია.
თუ პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ივარაუდება i=i+1 და ხდება მე-4 საფეხურზე გადასვლა.
მაგალითი #1. განსაზღვრეთ f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 ფუნქციის ლოკალური კიდურების წერტილები 
ვინაიდან ყველა კუთხის მინორი არ არის ნულოვანი, x 2-ის სიმბოლო განისაზღვრება f′′(x-ით).
ვინაიდან f′′(x2) მატრიცა დადებითი განსაზღვრულია, x 2 არის ადგილობრივი მინიმალური წერტილი.
პასუხი: ფუნქციას f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 აქვს ლოკალური მინიმუმი x = (5/3; 8/3) წერტილში.
ფუნქციის უკიდურესი წერტილი არის წერტილი ფუნქციის დომენში, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა იღებს მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას. ფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი (მინიმალური და მაქსიმალური)..
განმარტება. Წერტილი x1 ფუნქციის ფარგლები ვ(x) ეწოდება ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი , თუ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში მეტია ფუნქციის მნიშვნელობებზე საკმარისად ახლოს მდებარე წერტილებში, რომლებიც მდებარეობს მის მარჯვნივ და მარცხნივ (ანუ უტოლობა ვ(x0 ) > ვ(x 0 + Δ x) x1 მაქსიმუმ.
განმარტება. Წერტილი x2 ფუნქციის ფარგლები ვ(x) ეწოდება ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში ნაკლებია ფუნქციის მნიშვნელობებზე საკმარისად ახლოს მდებარე წერტილებში, რომლებიც მდებარეობს მის მარჯვნივ და მარცხნივ (ანუ უტოლობა ვ(x0 ) < ვ(x 0 + Δ x) ). ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ ფუნქციას აქვს წერტილი x2 მინიმალური.
მოდით ვთქვათ წერტილი x1 - ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ვ(x) . შემდეგ ინტერვალში მდე x1 ფუნქცია იზრდებაასე რომ, ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე მეტი ( ვ "(x) > 0 ), ხოლო შემდეგ ინტერვალში x1 ფუნქცია მცირდება, ამიტომ ფუნქციის წარმოებულინულზე ნაკლები ( ვ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
მოდით ასევე ვივარაუდოთ, რომ წერტილი x2 - ფუნქციის მინიმალური წერტილი ვ(x) . შემდეგ ინტერვალში მდე x2 ფუნქცია მცირდება და ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე ნაკლები ( ვ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ფუნქცია იზრდება და ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე მეტი ( ვ "(x) > 0). ამ შემთხვევაშიც წერტილში x2 ფუნქციის წარმოებული არის ნული ან არ არსებობს.
ფერმას თეორემა (აუცილებელი კრიტერიუმი ფუნქციის უკიდურესობის არსებობისთვის). თუ წერტილი x0 - ფუნქციის უკიდურესი წერტილი ვ(x), მაშინ ამ მომენტში ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ( ვ "(x) = 0 ) ან არ არსებობს.
განმარტება. წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ტოლია ან არ არსებობს, ეწოდება კრიტიკული წერტილები .
მაგალითი 1განვიხილოთ ფუნქცია.
წერტილში x= 0 ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის, შესაბამისად, წერტილი x= 0 არის კრიტიკული წერტილი. თუმცა, როგორც ჩანს ფუნქციის გრაფიკზე, ის იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენში, ამიტომ წერტილი x= 0 არ არის ამ ფუნქციის უკიდურესი წერტილი.
ამრიგად, პირობები, რომ ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია ან არ არსებობს, არის აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის, მაგრამ არა საკმარისი, რადგან შეიძლება მოყვანილი იყოს ფუნქციების სხვა მაგალითები, რომლებისთვისაც ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ფუნქცია არ აქვს ექსტრემუმი შესაბამის წერტილში. Ისე უნდა ჰქონდეს საკმარისი მითითებები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის ვიმსჯელოთ, არის თუ არა ექსტრემუმი კონკრეტულ კრიტიკულ წერტილში და რომელი - მაქსიმუმი თუ მინიმუმი.
თეორემა (ფუნქციის უკიდურესობის არსებობის პირველი საკმარისი კრიტერიუმი).Კრიტიკული წერტილი x0 ვ(x), თუ ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს ამ წერტილის გავლისას და თუ ნიშანი იცვლება „პლუს“-დან „მინუსზე“, მაშინ მაქსიმალური წერტილი, ხოლო თუ „მინუს“-დან „პლუს“, მაშინ მინიმალური წერტილი. .
თუ წერტილთან ახლოს x0 , მისგან მარცხნივ და მარჯვნივ წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს, ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია ან მხოლოდ მცირდება ან მხოლოდ იზრდება წერტილის რომელიმე მიდამოში. x0 . ამ შემთხვევაში, წერტილში x0 არ არის ექსტრემუმი.
Ისე, ფუნქციის უკიდურესი წერტილების დასადგენად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი :
- იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
- გაატოლეთ წარმოებული ნულთან და დაადგინეთ კრიტიკული წერტილები.
- გონებრივად ან ქაღალდზე მონიშნეთ კრიტიკული წერტილები რიცხვით ღერძზე და განსაზღვრეთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებში. თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება "პლუს"-დან "მინუსში", მაშინ კრიტიკული წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი, ხოლო თუ "მინუს"-დან "პლუს", მაშინ კრიტიკული წერტილი არის მინიმალური წერტილი.
- გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა უკიდურეს წერტილებში.
მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა 
.
გადაწყვეტილება. ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:
კრიტიკული წერტილების საპოვნელად გამოიტანეთ წარმოებული ნულთან:
.
ვინაიდან "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მრიცხველს ვატოლებთ ნულს:
მივიღე ერთი კრიტიკული წერტილი x= 3. ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშანს ამ წერტილით შემოსაზღვრულ ინტერვალებში:
მინუს უსასრულობიდან 3-მდე დიაპაზონში - მინუს ნიშანი, ანუ ფუნქცია მცირდება,
დიაპაზონში 3-დან პლუს უსასრულობამდე - პლუს ნიშანი, ანუ ფუნქცია იზრდება.
ანუ წერტილი x= 3 არის მინიმალური წერტილი.
იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში:
ამრიგად, ფუნქციის უკიდურესი წერტილი არის ნაპოვნი: (3; 0) , და ეს არის მინიმალური წერტილი.
თეორემა (ფუნქციის უკიდურესობის არსებობის მეორე საკმარისი კრიტერიუმი).Კრიტიკული წერტილი x0 არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი ვ(x), თუ ამ მომენტში ფუნქციის მეორე წარმოებული არ არის ნულის ტოლი ( ვ ""(x) ≠ 0 ), უფრო მეტიც, თუ მეორე წარმოებული მეტია ნულზე ( ვ ""(x) > 0 ), მაშინ მაქსიმალური წერტილი და თუ მეორე წარმოებული არის ნულზე ნაკლები ( ვ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
შენიშვნა 1. თუ პუნქტში x0 როგორც პირველი, ასევე მეორე წარმოებულები ქრება, მაშინ ამ ეტაპზე შეუძლებელია ექსტრემის არსებობის მსჯელობა მეორე საკმარისი ნიშნის საფუძველზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი საკმარისი კრიტერიუმი ფუნქციის ექსტრემისთვის.
შენიშვნა 2. ფუნქციის უკიდურესობის მეორე საკმარისი კრიტერიუმი ასევე გამოუსადეგარია, როდესაც პირველი წარმოებული არ არსებობს სტაციონარულ წერტილში (მაშინ არ არსებობს არც მეორე წარმოებული). ამ შემთხვევაში ასევე აუცილებელია პირველი საკმარისი კრიტერიუმის გამოყენება ფუნქციის ექსტრემისთვის.
ფუნქციის ექსტრემის ლოკალური ბუნება
ზემოაღნიშნული განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის კიდურს აქვს ლოკალური ხასიათი - ეს არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა უახლოეს მნიშვნელობებთან შედარებით.
დავუშვათ, რომ თქვენ განიხილავთ თქვენს შემოსავალს ერთი წლის განმავლობაში. თუ მაისში გამოიმუშავეთ 45,000 რუბლი, ხოლო აპრილში 42,000 რუბლი და ივნისში 39,000 რუბლი, მაშინ მაისის შემოსავალი არის შემოსავლის ფუნქციის მაქსიმუმი უახლოეს მნიშვნელობებთან შედარებით. მაგრამ ოქტომბერში თქვენ გამოიმუშავეთ 71,000 რუბლი, სექტემბერში 75,000 რუბლი, ხოლო ნოემბერში 74,000 რუბლი, ასე რომ, ოქტომბრის შემოსავალი არის შემოსავლის ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობებთან შედარებით. და მარტივად ხედავთ, რომ აპრილ-მაის-ივნისის მნიშვნელობებს შორის მაქსიმუმი სექტემბერ-ოქტომბერ-ნოემბრის მინიმალურზე ნაკლებია.
ზოგადად, ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ექსტრემა ინტერვალში და შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ფუნქციის ნებისმიერი მინიმუმი აღემატება ნებისმიერ მაქსიმუმს. ასე რომ, ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ფუნქციისთვის, .
ანუ, არ უნდა ვიფიქროთ, რომ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური არის, შესაბამისად, მისი მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები მთელ განხილულ სეგმენტზე. მაქსიმალურ წერტილში ფუნქციას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა მხოლოდ იმ მნიშვნელობებთან შედარებით, რაც მას აქვს ყველა წერტილში, რომელიც საკმარისად ახლოსაა მაქსიმალურ წერტილთან, ხოლო მინიმალურ წერტილში ყველაზე მცირე მნიშვნელობა მხოლოდ იმ მნიშვნელობებთან შედარებით, რომლებიც მას აქვს ყველა წერტილში საკმარისად ახლოს მინიმალური წერტილი.
მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია დავხვეწოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების ზემოაღნიშნული კონცეფცია და მინიმალურ წერტილებს ვუწოდოთ ადგილობრივი მინიმალური ქულები, ხოლო მაქსიმალური ქულები - ადგილობრივი მაქსიმალური ქულები.
ჩვენ ერთად ვეძებთ ფუნქციის უკიდურესობას
მაგალითი 3
ამოხსნა ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე. მისი წარმოებული 
ასევე არსებობს მთელი რიცხვითი ხაზი. მაშასადამე, ამ შემთხვევაში, მხოლოდ ის, რომლებშიც, ე.ი., ემსახურება კრიტიკულ წერტილებს. , საიდანაც და . კრიტიკული წერტილები და ფუნქციის მთელი დომენის დაყოფა ერთფეროვნების სამ ინტერვალად: . თითოეულ მათგანში ვირჩევთ თითო საკონტროლო წერტილს და ამ ეტაპზე ვპოულობთ წარმოებულის ნიშანს.
ინტერვალისთვის საცნობარო წერტილი შეიძლება იყოს: ჩვენ ვპოულობთ. ინტერვალში წერტილის აღებით, ჩვენ ვიღებთ , ხოლო პუნქტის აღებით ინტერვალში, გვაქვს . ასე რომ, ინტერვალებში და , და ინტერვალში . ექსტრემის პირველი საკმარისი ნიშნის მიხედვით, წერტილში არ არის უკიდურესი (რადგან წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს ინტერვალში ) და ფუნქციას აქვს მინიმუმი წერტილში (რადგან წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე გავლისას. ამ წერტილიდან). იპოვეთ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები: , და. ინტერვალში ფუნქცია მცირდება, რადგან ამ ინტერვალში , ხოლო ინტერვალში ის იზრდება, რადგან ამ ინტერვალში.
გრაფიკის აგების გასარკვევად ვპოულობთ მის გადაკვეთის წერტილებს კოორდინატთა ღერძებთან. როდესაც მივიღებთ განტოლებას, რომლის ფესვები და, ანუ, ფუნქციის გრაფიკის ორი წერტილი (0; 0) და (4; 0) გვხვდება. მიღებული ყველა ინფორმაციის გამოყენებით ვაშენებთ გრაფიკს (იხ. მაგალითის დასაწყისში).
მაგალითი 4იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა და შექმენით მისი გრაფიკი.
ფუნქციის დომენი არის მთელი რიცხვითი წრფე, გარდა წერტილისა, ე.ი. .
კვლევის შესამცირებლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ ეს ფუნქცია ლუწია, ვინაიდან 
. ამიტომ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ ოიდა კვლევა შეიძლება ჩატარდეს მხოლოდ ინტერვალით.
წარმოებულის პოვნა 
და ფუნქციის კრიტიკული წერტილები:
1) 
;
2) 
,
მაგრამ ფუნქცია განიცდის შესვენებას ამ ეტაპზე, ამიტომ ის არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი.
ამრიგად, მოცემულ ფუნქციას აქვს ორი კრიტიკული წერტილი: და . ფუნქციის პარიტეტის გათვალისწინებით, ჩვენ ვამოწმებთ მხოლოდ წერტილს ექსტრემის მეორე საკმარისი ნიშნით. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ მეორე წარმოებულს 
და განვსაზღვროთ მისი ნიშანი: მივიღებთ. ვინაიდან და , მაშინ არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი, ხოლო 
.
ფუნქციის გრაფიკის უფრო სრულყოფილი სურათის მისაღებად, მოდით გავარკვიოთ მისი ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე:
(აქ სიმბოლო მიუთითებს სურვილზე xნულამდე მარჯვნივ და xრჩება დადებითი; ანალოგიურად ნიშნავს მისწრაფებას xმარცხნივ ნულამდე და xრჩება უარყოფითი). ამრიგად, თუ, მაშინ. შემდეგი, ჩვენ ვიპოვით
,
იმათ. თუ , მაშინ .
ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები. სურათი არის მაგალითის დასაწყისში.
ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ ფუნქციის უკიდურესობების ძიებას
მაგალითი 8იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.
გადაწყვეტილება. იპოვნეთ ფუნქციის დომენი. ვინაიდან უტოლობა უნდა შენარჩუნდეს, ჩვენ ვიღებთ .
ვიპოვოთ ფუნქციის პირველი წარმოებული:
ვიპოვოთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.
ლოკალური მაქსიმუმი
ლოკალური მაქსიმუმი
(ადგილობრივი მაქსიმუმი)ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც აღემატება მისი არგუმენტის ან არგუმენტების ნაკრების ნებისმიერ მიმდებარე მნიშვნელობას, dy/dx= 0 აუცილებელი პირობაა ადგილობრივი მაქსიმუმის მიღწევისთვის y=f(x);ამ პირობით საკმარისი პირობაა ადგილობრივი მაქსიმუმის მიღწევისთვის d2y/dx2 0. ადგილობრივი მაქსიმუმი ასევე შეიძლება იყოს აბსოლუტური მაქსიმუმი, თუ მნიშვნელობა არ არის X,რომლის ქვეშაც ზემეტი. თუმცა, ეს შეიძლება ყოველთვის ასე არ იყოს. განიხილეთ ფუნქცია y = x3–3x.dy/dx = 0 როცა x2=ერთი; და d2y/dx2=6x. ზეაქვს მაქსიმუმი x = - 1, მაგრამ ეს მხოლოდ ადგილობრივია და არა აბსოლუტური მაქსიმუმი, ვინაიდან ზეშეიძლება გახდეს უსასრულოდ დიდი, თუ მას მიენიჭება საკმარისად დიდი დადებითი მნიშვნელობა X. იხილეთ ასევე: ფიგურა მაქსიმალური სტატიისთვის.
Ეკონომია. ლექსიკონი. - მ.: "INFRA-M", გამომცემლობა "ვეს მირი". ჯ ბლექი. გენერალური რედაქცია: ეკონომიკის დოქტორი ოსადჩაია ი.მ.. 2000 .
ეკონომიკური ლექსიკონი. 2000 .
ნახეთ, რა არის "LOCAL MAXIMUM" სხვა ლექსიკონებში:
ადგილობრივი მაქსიმუმი- - [A.S. Goldberg. ინგლისური რუსული ენერგეტიკული ლექსიკონი. 2006] თემები ენერგია ზოგადად EN ადგილობრივი მაქსიმალური ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო
ადგილობრივი მაქსიმუმი- lokalusis maksimumas statusas T sritis automatika atitikmenys: ინგლ. ადგილობრივი მაქსიმალური ვოკი. Lokalmaximum, n rus. ადგილობრივი მაქსიმუმი, m pranc. მაქსიმალური ლოკალური, მ … ავტომატური ტერმინალი
ადგილობრივი მაქსიმუმი- vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. ადგილობრივი მაქსიმუმი; ადგილობრივი პიკი ვოკი. ლოკალები მაქსიმალური, n rus. ადგილობრივი მაქსიმუმი, m pranc. მაქსიმალური ლოკალური, მ; pic ადგილობრივი, m … Fizikos Terminų Jodynas
ლოკალური მაქსიმუმი, ადგილობრივი მინიმალური- (ლოკალური მაქსიმუმი, ადგილობრივი მინიმალური) იხილეთ ფუნქცია ექსტრემუმი... ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი
- (მაქსიმუმი) ფუნქციის უმაღლესი მნიშვნელობა, რომელსაც იგი იღებს მისი არგუმენტების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაქსიმალური შეიძლება იყოს ადგილობრივი ან აბსოლუტური. მაგალითად, ფუნქციას y=1–x2 აქვს აბსოლუტური მაქსიმუმი y=1 x=0-ზე; არ არსებობს x-ის სხვა მნიშვნელობა, რომელიც ... ... ეკონომიკური ლექსიკონი
- (ლოკალური მინიმალური) ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც ნაკლებია მისი არგუმენტის ან არგუმენტების სიმრავლის ნებისმიერ მომიჯნავე მნიშვნელობაზე, dy/dx = 0, აუცილებელი პირობაა ლოკალური მინიმალური y=f(x) მიღწევისთვის; ამ პირობით, საკმარისი ... ... ეკონომიკური ლექსიკონი
ექსტრემუმი (ლათ. extremum უკიდურესი) მათემატიკაში არის ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ სიმრავლეზე. წერტილს, სადაც მიღწეულია ექსტრემუმი, ეწოდება ექსტრემალური წერტილი. შესაბამისად, თუ მინიმალური ექსტრემალური წერტილი მიიღწევა ... ... ვიკიპედია
ლოკალური ძიების ალგორითმები არის ალგორითმების ჯგუფი, რომლებშიც ძიება ხორციელდება მხოლოდ არსებული მდგომარეობის საფუძველზე და ადრე მიღებული მდგომარეობები არ არის გათვალისწინებული და არ ახსოვს. ძიების მთავარი მიზანი არ არის ვიკიპედიისკენ ოპტიმალური გზის პოვნა
- (გლობალური მაქსიმუმი) ფუნქციის მნიშვნელობა, ტოლი ან უფრო მაღალი, ვიდრე მისი მნიშვნელობები აღებული ნებისმიერი სხვა არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის. საკმარისი პირობა ერთი არგუმენტის ფუნქციის მაქსიმუმისთვის, რომელიც შედგება იმაში, რომ მისი პირველი წარმოებული ... ... ეკონომიკური ლექსიკონი
- (ინგლ. ტენდენცია მიმართულება, ტენდენცია) მიმართულება, პოლიტიკური პროცესის განვითარების ტენდენცია, ფენომენი. აქვს მათემატიკური გამოხატულება. ტრენდის (ტენდენციის) ყველაზე პოპულარული განმარტება არის დოუს თეორიის განმარტება. აღმავალი ტენდენცია...... Პოლიტოლოგია. ლექსიკა.
$E \ქვეკომპლექტი \mathbb(R)^(n)$. ამბობენ, რომ $f$ აქვს ადგილობრივი მაქსიმუმი$x_(0) წერტილში \E$-ში, თუ არსებობს $U$ $x_(0)$ წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ ყველა $x \in U$ უტოლობა $f\left(x\მარჯვნივ) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.
ლოკალური მაქსიმუმი ეწოდება მკაცრი , თუ $U$ სამეზობლო შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ ყველა $x \in U$-ისთვის განსხვავებული $x_(0)$ იყოს $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
განმარტება
დაე $f$ იყოს რეალური ფუნქცია ღია ნაკრებში $E \subset \mathbb(R)^(n)$. ამბობენ, რომ $f$ აქვს ადგილობრივი მინიმუმი$x_(0) \E$-ში, თუ არსებობს $x_(0)$ წერტილის $U$-ის მეზობლობა ისეთი, რომ ყველა $x \in U$-ისთვის უტოლობა $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.
ლოკალური მინიმუმი მკაცრია, თუ $U$ სამეზობლო შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ ყველა $x \in U$ განსხვავდება $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\მარჯვნივ)$.
ლოკალური ექსტრემუმი აერთიანებს ლოკალური მინიმუმისა და ლოკალური მაქსიმუმის ცნებებს.
თეორემა (დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობა)
დაე $f$ იყოს რეალური ფუნქცია ღია ნაკრებში $E \subset \mathbb(R)^(n)$. თუ $x_(0) \E$-ში $f$ ფუნქციას აქვს ლოკალური ექსტრემი ამ ეტაპზეც, მაშინ $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ ტოლობა ნულოვანი დიფერენციალის ტოლფასია იმისა, რომ ყველა ტოლია ნულის, ე.ი. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
ერთგანზომილებიან შემთხვევაში, ეს არის. აღნიშნეთ $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, სადაც $h$ არის თვითნებური ვექტორი. ფუნქცია $\phi$ განისაზღვრება $t$-ის საკმარისად მცირე მოდულის მნიშვნელობებისთვის. უფრო მეტიც, რაც შეეხება , ის დიფერენცირებადია და $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
დაე, $f$-ს ჰქონდეს ადგილობრივი მაქსიმუმი x $0$. აქედან გამომდინარე, ფუნქციას $\phi$ at $t = 0$ აქვს ლოკალური მაქსიმუმი და ფერმას თეორემით $(\phi)' \left(0\right)=0$.
ასე რომ, მივიღეთ $df \left(x_(0)\right) = 0$, ე.ი. $f$ ფუნქცია $x_(0)$ ტოლია ნულის ნებისმიერ ვექტორზე $h$.
განმარტება
წერტილები, რომლებშიც დიფერენციალი ნულის ტოლია, ე.ი. მათ, რომლებშიც ყველა ნაწილობრივი წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია, სტაციონარული ეწოდება. კრიტიკული წერტილები$f$ ფუნქციები არის ის წერტილები, რომლებშიც $f$ არ არის დიფერენცირებადი, ან ნულის ტოლია. თუ წერტილი სტაციონარულია, მაშინ ჯერ არ გამომდინარეობს, რომ ფუნქციას აქვს ექსტრემუმი ამ ეტაპზე.
მაგალითი 1
მოდით $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. შემდეგ $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, ასე რომ, $\left(0,0\right)$ არის სტაციონარული წერტილი, მაგრამ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემი ამ ეტაპზე. მართლაც, $f \left(0,0\right) = 0$, მაგრამ ადვილი მისახვედრია, რომ $\left(0,0\right)$ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში ფუნქცია იღებს როგორც დადებით, ასევე უარყოფით მნიშვნელობებს.
მაგალითი 2
ფუნქცია $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ აქვს კოორდინატების საწყისი, როგორც სტაციონარული წერტილი, მაგრამ ცხადია, რომ არ არის ექსტრემი ამ წერტილში.
თეორემა (საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის).
დაე, ფუნქცია $f$ იყოს ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ღია სიმრავლეზე $E \subset \mathbb(R)^(n)$. მოდით $x_(0) \E$-ში იყოს სტაციონარული წერტილი და $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\ ნაწილობრივი^(2) f)(\ ნაწილობრივი x_(i) \ნაწილობრივი x_(j)) \left(x_(0)\მარჯვნივ)h^(i)h^(j).$ $ მაშინ
- თუ $Q_(x_(0))$ – , მაშინ $f$ ფუნქციას $x_(0)$ აქვს ლოკალური ექსტრემი, კერძოდ, მინიმალური თუ ფორმა დადებითია-განსაზღვრული და მაქსიმალური თუ ფორმა არის უარყოფით-განსაზღვრული;
- თუ $Q_(x_(0))$ კვადრატული ფორმა განუსაზღვრელია, მაშინ $f$ ფუნქციას $x_(0)$ არ აქვს ექსტრემი.
გამოვიყენოთ გაფართოება ტეილორის ფორმულის მიხედვით (12.7 გვ. 292). იმის გათვალისწინებით, რომ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები $x_(0)$ წერტილში ნულის ტოლია, მივიღებთ $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\მარჯვნივ) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ ნაწილობრივი x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ სადაც $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ და $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ for $h \rightarrow 0$, მაშინ მარჯვენა მხარე დადებითია ნებისმიერი $h$ საკმარისად მცირე სიგრძის ვექტორისთვის.
ამრიგად, ჩვენ მივედით დასკვნამდე, რომ $x_(0)$ წერტილის ზოგიერთ მიმდებარე ტერიტორიაზე უტოლობა $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ დაკმაყოფილებულია, თუ მხოლოდ $ x \neq x_ (0)$ (დავსვით $x=x_(0)+h$\მარჯვნივ). ეს ნიშნავს, რომ $x_(0)$-ზე ფუნქციას აქვს მკაცრი ლოკალური მინიმუმი და ამით დამტკიცდება ჩვენი თეორემის პირველი ნაწილი.
დავუშვათ, რომ $Q_(x_(0))$ განუსაზღვრელი ფორმაა. შემდეგ არის ვექტორები $h_(1)$, $h_(2)$ ისეთი, რომ $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \მარცხენა(h_(2)\მარჯვნივ)= \ლამბდა_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. შემდეგ მივიღებთ $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ მარცხენა[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ საკმარისად მცირე $t>0$-ისთვის, მარჯვენა მხარე არის დადებითი. ეს ნიშნავს, რომ $x_(0)$ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში ფუნქცია $f$ იღებს $f \left(x\right)$ უფრო მეტს, ვიდრე $f \left(x_(0)\right)$.
ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ, რომ $x_(0)$ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში ფუნქცია $f$ იღებს $f \left(x_(0)\right)$-ზე ნაკლებ მნიშვნელობებს. ეს, წინასთან ერთად, ნიშნავს, რომ $f$ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემი $x_(0)$ წერტილში.
მოდით განვიხილოთ ამ თეორემის სპეციალური შემთხვევა $f \left(x,y\right)$ ფუნქციის $\left(x_(0),y_(0)\right) წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში განსაზღვრული ორი ცვლადის $f \left(x,y\right)$. $ და აქვს პირველი და მეორე რიგის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები. მოდით $\left(x_(0),y_(0)\right)$ იყოს სტაციონარული წერტილი და მოდით $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_(0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ შემდეგ წინა თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას.
თეორემა
მოდით $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. შემდეგ:
- თუ $\Delta>0$, მაშინ $f$ ფუნქციას აქვს ლოკალური უკიდურესი წერტილი $\left(x_(0),y_(0)\right)$, კერძოდ, მინიმალური, თუ $a_(11)> 0$ და მაქსიმუმ თუ $a_(11)<0$;
- თუ $\დელტა<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
პრობლემის გადაჭრის მაგალითები
ალგორითმი მრავალი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის საპოვნელად:
- ვპოულობთ სტაციონალურ წერტილებს;
- მე-2 რიგის დიფერენციალს ვპოულობთ ყველა სტაციონარულ წერტილში
- რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის საკმარისი პირობის გამოყენებით, ჩვენ განვიხილავთ მეორე რიგის დიფერენციალს თითოეულ სტაციონარულ წერტილში.
- გამოიკვლიეთ ფუნქცია უკიდურესად $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
გადაწყვეტილებაიპოვეთ 1-ლი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial ვ)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ სისტემის შედგენა და ამოხსნა: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0 \\\ frac (\ ნაწილობრივი f) (\ ნაწილობრივი y) = 0\ დასასრული (შემთხვევები) \მარჯვენა ისარი \ დასაწყისი (შემთხვევები)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\ end(cases) \rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ მე-2 განტოლებიდან გამოვხატავთ $x=4 \cdot y^(2)$ — ჩანაცვლება პირველ განტოლებაში: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ მარჯვნივ )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ შედეგად მიიღება 2 სტაციონარული წერტილი:
1) $y=0 \მარჯვენა ისარი x = 0, M_(1) = \მარცხნივ(0, 0\მარჯვნივ)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\მარჯვნივ)$
მოდით შევამოწმოთ საკმარისი ექსტრემალური პირობის შესრულება:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) წერტილისთვის $M_(1)= \მარცხნივ(0,0\მარჯვნივ)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\ ნაწილობრივი^(2) f)(\ნაწილობრივი y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) $M_(2)$ წერტილისთვის:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\ ნაწილობრივი^(2) f)(\ნაწილობრივი y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, ასე რომ არის ექსტრემი $M_(2)$ წერტილში და ვინაიდან $A_(2)>0 $, მაშინ ეს არის მინიმალური.
პასუხი: წერტილი $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ არის $f$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი. - გამოიკვლიეთ ფუნქცია უკიდურესი $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
გადაწყვეტილებაიპოვეთ სტაციონარული წერტილები: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
შეადგინეთ და ამოხსენით სისტემა: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \Begin(cases) y = 2\\y + x = 1\ბოლო(შემთხვევები) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ არის სტაციონარული წერტილი.
შევამოწმოთ საკმარისი ექსტრემალური პირობის შესრულება: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
პასუხი: არ არსებობს ექსტრემები.
ვადა: 0
ნავიგაცია (მხოლოდ სამუშაო ნომრები)
შესრულებულია 0 4 დავალებიდან
ინფორმაცია
გაიარეთ ეს ვიქტორინა, რათა შეამოწმოთ თქვენი ცოდნა იმ თემის შესახებ, რომელიც ახლახან წაიკითხეთ, მრავალი ცვლადის ფუნქციების ლოკალური ექსტრემა.
თქვენ უკვე გაიარეთ ტესტი. თქვენ არ შეგიძლიათ მისი ხელახლა გაშვება.
ტესტი იტვირთება...
ტესტის დასაწყებად უნდა შეხვიდეთ სისტემაში ან დარეგისტრირდეთ.
ამის დასაწყებად თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ტესტები:
შედეგები
სწორი პასუხები: 0 4-დან
Შენი დრო:
Დრო ამოიწურა
თქვენ დააგროვეთ 0 ქულა 0-დან (0)
თქვენი ქულა დაფიქსირდა ლიდერბორდზე
- პასუხით
- შემოწმებული
დავალება 2 4-დან
2 .
ქულების რაოდენობა: 1აქვს თუ არა ფუნქცია $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$
დავალება 1 4-დან
1 .
ქულების რაოდენობა: 1გამოიკვლიეთ $f$ ფუნქცია უკიდურესებისთვის: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
სწორად
Არ არის სწორი
მაქსიმალური და მინიმალური ქულები
წერტილები, რომლებზეც იგი იღებს უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობებს განმარტების სფეროში; ასეთ წერტილებს უწოდებენ ასევე აბსოლუტური მაქსიმუმის ან აბსოლუტური მინიმალური ქულები. თუ f განისაზღვრება ტოპოლოგიურზე სივრცე X, შემდეგ წერტილი x 0დაურეკა ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი (ლოკალური მინიმალური), თუ ასეთი წერტილი არსებობს x 0,რომ ამ სამეზობლოზე განსახილველი ფუნქციის შეზღუდვისათვის წერტილი x 0არის აბსოლუტური მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი. განასხვავებენ მკაცრი და არამკაცრი მაქსიმუმის წერტილებს (მინი მ უ მ ა) (როგორც აბსოლუტური, ისე ლოკალური). მაგალითად, წერტილი ე.წ f ფუნქციის არამკაცრი (მკაცრი) ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი, თუ არსებობს წერტილის ასეთი მეზობლობა x 0,რომელიც მოქმედებს ყველასთვის (შესაბამისად, f(x)
სასრულ განზომილებიან დომენებზე განსაზღვრული ფუნქციებისთვის, დიფერენციალური გაანგარიშების თვალსაზრისით, არსებობს პირობები და კრიტერიუმები, რომ მოცემული წერტილი იყოს ადგილობრივი მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი. დაე, ფუნქცია f განისაზღვროს რეალური ღერძის x 0 უჯრის გარკვეულ მიმდებარედ. Თუ x 0 -არა მკაცრი ლოკალური მაქსიმუმის (მინიმუმის) წერტილი და ამ ეტაპზე არსებობს f"( x0),
მაშინ ის ნულის ტოლია.
თუ მოცემული f ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილის სამეზობლოში x 0,გარდა, შესაძლოა, თავად ამ წერტილისა, სადაც ის უწყვეტია, და წარმოებული f" წერტილის თითოეულ მხარეს x0ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს ამ სამეზობლოში, მაშინ იმისათვის x0იყო მკაცრი ლოკალური მაქსიმუმის (ადგილობრივი მინიმალური) წერტილი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ წარმოებულმა შეიცვალოს ნიშანი პლუსიდან მინუსზე, ანუ, რომ f "(x)> 0 x-ზე.<.x0და f"(x)<0 при x>x0(შესაბამისად მინუსიდან პლიუსამდე: ვ"(X) <0
x-ზე<x0და f"(x)>0 როცა x>x 0).
თუმცა, არა ყველა ფუნქციისთვის, რომელიც განსხვავდება წერტილის მიმდებარე ტერიტორიაზე x 0,ამ ეტაპზე შეიძლება საუბარი წარმოებულის ნიშნის ცვლილებაზე. . "
თუ f ფუნქციას აქვს წერტილში x 0 ტწარმოებულები, უფრო მეტიც, რათა x 0არის მკაცრი ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ τ იყოს ლუწი და რომ f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.
მოდით ფუნქცია f( x 1 ..., x გვ] განისაზღვრება წერტილის n-განზომილებიანი სამეზობლოში და დიფერენცირებადია ამ წერტილში. თუ x (0) არის არამკაცრი ლოკალური მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი, მაშინ ფუნქცია f ამ წერტილში ნულის ტოლია. ეს პირობა უდრის f ფუნქციის 1-ლი რიგის ყველა ნაწილობრივი წარმოებულის ტოლობის ნულს. თუ ფუნქციას აქვს მე-2 უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებული x(0)-ზე, მისი ყველა 1-ლი წარმოებული ქრება x(0)-ზე და მე-2 რიგის დიფერენციალი x(0)-ზე არის უარყოფითი (დადებითი) კვადრატული ფორმა, მაშინ x(0) არის მკაცრი ადგილობრივი მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი. M. და M. T. დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვის ცნობილია პირობები, როდესაც არგუმენტების ცვლილებაზე დაწესებულია გარკვეული შეზღუდვები: შეზღუდვის განტოლებები დაკმაყოფილებულია. რეალური ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმუმის) აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომელსაც აქვს უფრო რთული სტრუქტურა, შესწავლილია მათემატიკის სპეციალურ დარგებში: მაგალითად, ქ. ამოზნექილი ანალიზი, მათემატიკური პროგრამირება(იხილეთ ასევე მაქსიმიზაცია და ფუნქციის მინიმიზაცია).
შესწავლილია კოლექტორებზე განსაზღვრული M. და m.t. ფუნქციები ვარიაციების გაანგარიშება ზოგადად,და M. და m.t. ფუნქციების სივრცეებში განსაზღვრული ფუნქციებისთვის, ანუ ფუნქციონალებისთვის, ვარიაციული გაანგარიშება.ასევე არსებობს მ-ის და მ-ის რიცხვითი მიახლოებითი პოვნის სხვადასხვა მეთოდი.
განათებული: Il'in V. A., Poznya to E. G., მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები, მე-3 გამოცემა, ნაწილი 1, M., 1971; კუდრიავცევი ლ. L. D. კუდრიავცევი.
მათემატიკური ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. I. M. ვინოგრადოვი. 1977-1985 წწ.
ნახეთ, რა არის "მაქსიმალური და მინიმალური ქულა" სხვა ლექსიკონებში:
დისკრეტული პონტრიაგინის მაქსიმალური პრინციპი დროის დისკრეტული კონტროლის პროცესებისთვის. ასეთი პროცესისთვის, M. p. შეიძლება არ იყოს დაკმაყოფილებული, თუმცა მისი უწყვეტი ანალოგისთვის, რომელიც მიიღება სასრული განსხვავების ოპერატორის დიფერენციალურით შეცვლით ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია
თეორემა, რომელიც გამოხატავს ანალიტიკური მოდულის ერთ-ერთ ძირითად თვისებას. ფუნქციები. მოდით f(z) იყოს p-კომპლექსური ცვლადების რეგულარული ანალიტიკური ან ჰოლომორფული ფუნქცია კომპლექსური რიცხვების სივრცის D დომენში, რომელიც განსხვავდება მუდმივისაგან, M. m. s. ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია
ფუნქციის უდიდესი და, შესაბამისად, უმცირესი მნიშვნელობები, რომელიც იღებს რეალურ მნიშვნელობებს. ე.წ. შესაბამისად მაქსიმალური ქულა ან მინიმალური ქულა ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია
იხილეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური, ქულის მაქსიმალური და მინიმალური... მათემატიკური ენციკლოპედია
უწყვეტი ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც არის მაქსიმალური ან მინიმალური (იხ. მაქსიმალური და მინიმალური ქულები). ტერმინი LE ... მათემატიკური ენციკლოპედია
ინდიკატორი- (ინდიკატორი) ინდიკატორი არის საინფორმაციო სისტემა, ნივთიერება, მოწყობილობა, მოწყობილობა, რომელიც აჩვენებს ცვლილებებს ნებისმიერ პარამეტრში, ფორექსის სავალუტო ბაზრის სქემების ინდიკატორები, რა არის და საიდან შეიძლება მათი ჩამოტვირთვა? MACD ინდიკატორების აღწერა, ... ... ინვესტორის ენციკლოპედია
ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ექსტრემალური (მნიშვნელობები). ექსტრემუმი (ლათ. extremum უკიდურესი) მათემატიკაში არის ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ სიმრავლეზე. წერტილი, სადაც მიიღწევა ექსტრემუმი არის ... ... ვიკიპედია
კალკულუსი არის მათემატიკური ანალიზის ფილიალი, რომელიც სწავლობს წარმოებული და დიფერენციალური ცნებებს და როგორ შეიძლება მათი გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად. სარჩევი 1 ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გამოთვლა ... ვიკიპედია
lemniscate და მისი ხრიკები ბერნულის lemniscate არის სიბრტყის ალგებრული მრუდი. განისაზღვრება, როგორც ქულების ლოკუსი, პროდუქტი ... ვიკიპედია
დივერგენცია- (დივერგენცია) დივერგენცია, როგორც ინდიკატორი სავაჭრო სტრატეგია MACD დივერგენციით. ნაწილი 2. განსხვავება როგორ. დივერგენცია არის ტერმინი, რომელიც გამოიყენება ეკონომიკაში, რათა მიმართოს მოძრაობას განსხვავებული ... ... ინვესტორის ენციკლოპედია
