მოკლედ ვიქნები. ორ წრფეს შორის კუთხე ტოლია მათ მიმართულების ვექტორებს შორის. ამრიგად, თუ მოახერხებთ a \u003d (x 1; y 1; z 1) და b \u003d (x 2; y 2; z 2) მიმართულების ვექტორების კოორდინატების პოვნას, შეგიძლიათ იპოვოთ კუთხე. უფრო ზუსტად, კუთხის კოსინუსი ფორმულის მიხედვით:

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ფორმულა კონკრეტულ მაგალითებზე:

დავალება. E და F წერტილები აღინიშნება ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 კუბში - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AE და BF წრფეებს შორის.

ვინაიდან კუბის კიდე არ არის მითითებული, ჩვენ ვაყენებთ AB = 1. შემოგვაქვს სტანდარტული კოორდინატთა სისტემა: საწყისი არის A წერტილში, ხოლო x, y, z ღერძები მიმართულია შესაბამისად AB, AD და AA 1-ის გასწვრივ. . ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1. ახლა ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორების კოორდინატები ჩვენი ხაზებისთვის.

იპოვეთ AE ვექტორის კოორდინატები. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება წერტილები A = (0; 0; 0) და E = (0.5; 0; 1). ვინაიდან E წერტილი არის A 1 B 1 სეგმენტის შუა ნაწილი, მისი კოორდინატები ტოლია ბოლოების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკულის. გაითვალისწინეთ, რომ AE ვექტორის წარმოშობა ემთხვევა საწყისს, ამიტომ AE = (0.5; 0; 1).

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ BF ვექტორს. ანალოგიურად, ჩვენ ვაანალიზებთ წერტილებს B = (1; 0; 0) და F = (1; 0.5; 1), რადგან F - სეგმენტის შუა B 1 C 1. Ჩვენ გვაქვს:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

ასე რომ, მიმართულების ვექტორები მზად არის. წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსი არის მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი, ამიტომ გვაქვს:

დავალება. ABCA 1 B 1 C 1 რეგულარულ სამკუთხედ პრიზმაში, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, D და E წერტილები აღინიშნება - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AD და BE წრფეებს შორის.

ჩვენ შემოგთავაზებთ სტანდარტულ კოორდინატთა სისტემას: საწყისი არის A წერტილში, x-ღერძი მიმართულია AB-ის გასწვრივ, z - AA 1-ის გასწვრივ. ჩვენ მივმართავთ y ღერძს ისე, რომ OXY სიბრტყე დაემთხვა ABC სიბრტყეს. ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1. იპოვეთ მიმართულების ვექტორების კოორდინატები სასურველი ხაზებისთვის.

ჯერ ვიპოვოთ AD ვექტორის კოორდინატები. განვიხილოთ წერტილები: A = (0; 0; 0) და D = (0.5; 0; 1), რადგან D - A 1 B 1 სეგმენტის შუა. ვინაიდან AD ვექტორის დასაწყისი ემთხვევა საწყისს, ვიღებთ AD ​​= (0.5; 0; 1).

ახლა ვიპოვოთ BE ვექტორის კოორდინატები. წერტილი B = (1; 0; 0) ადვილი გამოსათვლელია. E წერტილით - C 1 B 1 სეგმენტის შუა - ცოტა უფრო რთული. Ჩვენ გვაქვს:

რჩება კუთხის კოსინუსის პოვნა:

დავალება. რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმაში ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, K და L წერტილები აღინიშნება - A 1 B 1 და B 1 C 1 კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AK და BL წრფეებს შორის.

ჩვენ შემოგთავაზებთ პრიზმის სტანდარტულ კოორდინატთა სისტემას: ვათავსებთ კოორდინატების საწყისს ქვედა ფუძის ცენტრში, ვმართავთ x ღერძს FC-ის გასწვრივ, y-ღერძს AB და DE სეგმენტების შუა წერტილებში და z-ღერძი. ვერტიკალურად ზემოთ. ერთეული სეგმენტი ისევ AB = 1-ის ტოლია. მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენთვის საინტერესო წერტილების კოორდინატები:

წერტილები K და L არის A 1 B 1 და B 1 C 1 სეგმენტების შუა წერტილები, შესაბამისად, მათი კოორდინატები გვხვდება საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. წერტილების ცოდნით, ვპოულობთ მიმართულების ვექტორების AK და BL კოორდინატებს:

ახლა ვიპოვოთ კუთხის კოსინუსი:

დავალება. ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCD, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, E და F წერტილები აღინიშნება - SB და SC გვერდების შუა წერტილები, შესაბამისად. იპოვეთ კუთხე AE და BF წრფეებს შორის.

შემოგვაქვს სტანდარტული კოორდინატთა სისტემა: საწყისი არის A წერტილში, x და y ღერძები მიმართულია შესაბამისად AB და AD გასწვრივ, ხოლო z ღერძი მიმართულია ვერტიკალურად ზემოთ. ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1.

წერტილები E და F არის SB და SC სეგმენტების შუა წერტილები, შესაბამისად, მათი კოორდინატები გვხვდება ბოლოების საშუალო არითმეტიკული სახით. ჩვენ ვწერთ ჩვენთვის საინტერესო წერტილების კოორდინატებს:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

წერტილების ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ მიმართულების ვექტორების AE და BF კოორდინატებს:

AE ვექტორის კოორდინატები ემთხვევა E წერტილის კოორდინატებს, ვინაიდან A წერტილი არის საწყისი. რჩება კუთხის კოსინუსის პოვნა:

კუთხის გამოთვლისას კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება

თვითმფრინავებს შორის

კუთხის პოვნის ყველაზე ზოგადი მეთოდისიბრტყეებს შორის - კოორდინატების მეთოდი (ზოგჯერ - ვექტორების მონაწილეობით). მისი გამოყენება შესაძლებელია, როდესაც ყველა დანარჩენი უკვე გამოსცადეს. მაგრამ არის სიტუაციები, როდესაც აზრი აქვს კოორდინატთა მეთოდის დაუყონებლივ გამოყენებას, კერძოდ, როდესაც კოორდინატთა სისტემა ბუნებრივად არის დაკავშირებული პრობლემის დებულებაში მითითებულ პოლიედრონთან, ე.ი. ნათლად ჩანს სამი წყვილი პერპენდიკულარული ხაზი, რომლებზეც შესაძლებელია კოორდინატთა ღერძების დაყენება. ასეთი პოლიედრებია მართკუთხა პარალელეპიპედი და რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა. პირველ შემთხვევაში კოორდინატთა სისტემის დაყენება შესაძლებელია ერთი წვეროდან გამომავალი კიდეებით (ნახ. 1), მეორეში - ფუძის სიმაღლით და დიაგონალებით (ნახ. 2).

კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება შემდეგია.

სივრცეში შემოტანილია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. სასურველია შემოვიტანოთ იგი „ბუნებრივად“ – „დაამაგროთ“ წყვილი პერპენდიკულარული წრფეების სამეულზე, რომლებსაც აქვთ საერთო წერტილი.

თითოეული სიბრტყისთვის, რომლის კუთხეც მოძებნილია, შედგენილია განტოლება. ასეთი განტოლების დაწერის უმარტივესი გზაა იცოდეთ სიბრტყეში სამი წერტილის კოორდინატები, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე.

სიბრტყის განტოლებას ზოგადი ფორმით აქვს ფორმა Ax + By + Cz + D = 0.

კოეფიციენტები A, B, C ამ განტოლებაში არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები (სიბრტყის პერპენდიკულარული ვექტორი). შემდეგ ჩვენ განვსაზღვრავთ სიგრძისა და ნორმალური ვექტორების სკალარული ნამრავლს სიბრტყემდე, რომელთა შორის კუთხეა მოძიებული. თუ ამ ვექტორების კოორდინატები(A 1, B 1; C 1) და (A 2; B 2; C 2 ), შემდეგ სასურველი კუთხეგამოითვლება ფორმულით

კომენტარი. უნდა გვახსოვდეს, რომ ვექტორებს შორის კუთხე (სიბრტყეებს შორის კუთხისგან განსხვავებით) შეიძლება იყოს ბლაგვი, და შესაძლო გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, მოდული არის ფორმულის მარჯვენა მხარის მრიცხველში.

ამოიღეთ შემდეგი ამოცანა კოორდინატთა მეთოდით.

ამოცანა 1. მოცემულია კუბი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. წერტილი K არის AD კიდის შუა წერტილი, წერტილი L არის CD კიდის შუა წერტილი. რა არის კუთხე A სიბრტყეს შორის 1 KL და A 1 AD?

გადაწყვეტილება . კოორდინატთა სისტემის საწყისი იყოს წერტილიმაგრამ, და კოორდინატთა ღერძები მიდის სხივების გასწვრივ AD, AB, AA 1 (ნახ. 3). კუბის კიდეს ვიღებთ 2-ის ტოლი (მოსახერხებელია გაყოფა შუაზე). შემდეგ წერტილების კოორდინატები A 1, K, L არის: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

ბრინჯი. 3

ჩვენ ვწერთ სიბრტყის განტოლებას 1 კლ ზოგადად. შემდეგ ჩვენ მასში ვცვლით ამ სიბრტყის არჩეული წერტილების კოორდინატებს. ჩვენ ვიღებთ სამი განტოლების სისტემას ოთხი უცნობით:

ჩვენ გამოვხატავთ კოეფიციენტებს A, B, C-დან D-მდე და მივიდეთ განტოლებამდე

ორივე ნაწილად დაყოფა D (რატომ D= 0?) და შემდეგ -2-ზე გამრავლებით მივიღებთ სიბრტყის განტოლებას A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. მაშინ ამ სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს აქვს კოორდინატები (2: -2; 1) . სიბრტყის განტოლება 1 AD არის: y=0, და მასზე ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, მაგალითად, (0; 2: 0). სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსის ზემოთ მოყვანილი ფორმულის მიხედვით მივიღებთ:

ეს სტატია ეხება სიბრტყეებს შორის კუთხეს და როგორ უნდა იპოვოთ იგი. პირველ რიგში მოცემულია ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება და მოცემულია გრაფიკული ილუსტრაცია. ამის შემდეგ გაანალიზდა კოორდინატთა მეთოდით ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნის პრინციპი, მიიღეს ფორმულა, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოვთვალოთ კუთხის კვეთა სიბრტყეებს შორის ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების ცნობილი კოორდინატების გამოყენებით. დასასრულს, ნაჩვენებია ტიპიური პრობლემების დეტალური გადაწყვეტილებები.

გვერდის ნავიგაცია.

კუთხე სიბრტყეებს შორის - განმარტება.

მოვიყვანოთ არგუმენტები, რომლებიც საშუალებას მოგვცემს თანდათან მივუდგეთ ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის განსაზღვრას.

მოგვცეს ორი გადამკვეთი სიბრტყე და . ეს სიბრტყეები იკვეთება სწორი ხაზით, რომელსაც აღვნიშნავთ c ასოთი. ავაშენოთ სიბრტყე, რომელიც გადის c წრფის M წერტილში და c წრფეზე პერპენდიკულარულია. ამ შემთხვევაში, თვითმფრინავი გადაკვეთს სიბრტყეებს და . ავღნიშნოთ წრფე, რომლის გასწვრივაც სიბრტყეები იკვეთება და როგორც a, და ხაზი, რომლის გასწვრივაც სიბრტყეები იკვეთება და როგორც b. ცხადია, a და b წრფეები იკვეთება M წერტილში.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ a და b წრფეებს შორის კუთხე არ არის დამოკიდებული c წრფეზე M წერტილის მდებარეობაზე, რომლითაც გადის სიბრტყე.

ავაშენოთ c წრფის პერპენდიკულარული და სიბრტყისგან განსხვავებული სიბრტყე. სიბრტყე იკვეთება სიბრტყეებით და სწორი ხაზებით, რომლებსაც აღვნიშნავთ შესაბამისად a 1 და b 1-ით.

სიბრტყეების აგების მეთოდიდან გამომდინარეობს, რომ a და b წრფეები პერპენდიკულარულია c წრფეზე, ხოლო a 1 და b 1 წრფეები c წრფის პერპენდიკულარულია. ვინაიდან a და a 1 წრფეები დევს ერთ სიბრტყეში და პერპენდიკულარულია c წრფეზე, ისინი პარალელურები არიან. ანალოგიურად, წრფეები b და b 1 დევს ერთ სიბრტყეში და პერპენდიკულარულია c წრფეზე, შესაბამისად ისინი პარალელურია. ამრიგად, შესაძლებელია თვითმფრინავის პარალელური გადატანა სიბრტყეში, რომელშიც a 1 წრფე ემთხვევა a წრფეს, ხოლო b წრფე b 1 წრფეს. მაშასადამე, კუთხე a 1 და b 1 გადამკვეთ წრფეებს შორის უდრის კუთხეს a და b ხაზებს შორის.

ეს ადასტურებს, რომ კუთხე a და b ხაზებს შორის გადამკვეთ სიბრტყეებში დევს და არ არის დამოკიდებული M წერტილის არჩევანზე, რომლითაც გადის სიბრტყე. მაშასადამე, ლოგიკურია ეს კუთხე მივიღოთ, როგორც კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ კუთხის განსაზღვრა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის და.

განმარტება.

კუთხე ორ სიბრტყეს შორის, რომლებიც იკვეთებიან სწორ ხაზზე დაარის კუთხე a და b გადამკვეთ წრფეს შორის, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები და კვეთენ c წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეს.

ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად იყოს მოცემული. თუ c წრფეზე, რომლის გასწვრივაც კვეთენ სიბრტყეები, მონიშნეთ M წერტილი და გავავლოთ ხაზები a და b მასში, c წრფეზე პერპენდიკულარული და სიბრტყეში მდებარე და, შესაბამისად, a და b წრფეებს შორის კუთხე არის კუთხე სიბრტყეებს შორის და. ჩვეულებრივ, პრაქტიკაში, ასეთი კონსტრუქციები კეთდება სიბრტყეებს შორის კუთხის მისაღებად.

ვინაიდან გადამკვეთ წრფეებს შორის კუთხე არ აღემატება , ხმოვანი განმარტებიდან გამომდინარეობს , რომ ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის ხარისხიანი ზომა გამოიხატება რეალური რიცხვით ინტერვალიდან . ამ შემთხვევაში გადამკვეთ სიბრტყეებს უწოდებენ პერპენდიკულარულითუ მათ შორის კუთხე ოთხმოცდაათი გრადუსია. კუთხე პარალელურ სიბრტყეებს შორის ან საერთოდ არ არის განსაზღვრული, ან ითვლება ნულის ტოლად.

კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ჩვეულებრივ, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნისას ჯერ უნდა შეასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები, რათა დაინახოთ გადამკვეთი ხაზები, რომელთა შორის კუთხე უდრის სასურველ კუთხს და შემდეგ დააკავშიროთ ეს კუთხე ორიგინალურ მონაცემებთან თანაბარი ნიშნების გამოყენებით. მსგავსების ნიშნები, კოსინუსების თეორემა ან სინუსის, კოსინუსის და კუთხის ტანგენსის განმარტებები. გიმნაზიის გეომეტრიის კურსშიც მსგავსი პრობლემებია.

მაგალითად, 2012 წლის მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან C2 ამოცანის ამოხსნა მივცეთ (პირობა შეგნებულად არის შეცვლილი, მაგრამ ეს არ მოქმედებს ამოხსნის პრინციპზე). მასში უბრალოდ საჭირო იყო კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

მაგალითი.

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, მოდით გავაკეთოთ ნახატი.

შევასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები სიბრტყეებს შორის კუთხის „დასანახად“.

ჯერ განვსაზღვროთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ ABC და BED 1 სიბრტყეები იკვეთება. წერტილი B არის მათი ერთ-ერთი საერთო წერტილი. იპოვეთ ამ სიბრტყეების მეორე საერთო წერტილი. სწორი ხაზები DA და D 1 E დევს იმავე სიბრტყეში ADD 1 და ისინი არ არიან პარალელურები და, შესაბამისად, იკვეთებიან. მეორეს მხრივ, DA წრფე დევს ABC სიბრტყეში, ხოლო ხაზი D 1 E დევს სიბრტყეში BED 1, შესაბამისად, DA და D 1 E ხაზების გადაკვეთის წერტილი იქნება ABC სიბრტყეების საერთო წერტილი და საწოლი 1. ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ DA და D 1 E ხაზებს, სანამ ისინი არ გადაიკვეთება, ჩვენ აღვნიშნავთ მათი გადაკვეთის წერტილს ასო F-ით. მაშინ BF არის სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივაც ABC და BED 1 სიბრტყეები იკვეთება.

რჩება ABC და BED 1 სიბრტყეებში მოთავსებული ორი ხაზის აგება, შესაბამისად, რომელიც გაივლის BF წრფის ერთ წერტილს და BF წრფეზე პერპენდიკულარულს - ამ წრფეებს შორის კუთხე, განსაზღვრებით, ტოლი იქნება სასურველი კუთხის ტოლი. თვითმფრინავები ABC და BED 1. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

Წერტილი A არის E წერტილის პროექცია ABC სიბრტყეზე. დახაზეთ ხაზი, რომელიც მართი კუთხით კვეთს BF წრფეს M წერტილში. მაშინ AM წრფე არის EM წრფის პროექცია ABC სიბრტყეზე და სამი პერპენდიკულარულის თეორემით.

ამრიგად, ABC და BED 1 სიბრტყეებს შორის სასურველი კუთხე არის.

ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ კუთხის (და, შესაბამისად, თავად კუთხე) სინუსი, კოსინუსი ან ტანგენსი AEM მართკუთხა სამკუთხედიდან, თუ ვიცით მისი ორი გვერდის სიგრძე. მდგომარეობიდან მარტივია AE სიგრძის პოვნა: რადგან წერტილი E ყოფს AA 1 მხარეს 4-დან 3-თან მიმართებაში, ითვლის A წერტილიდან, ხოლო AA 1 მხარის სიგრძე არის 7, შემდეგ AE \u003d 4. ვიპოვოთ AM-ის სიგრძე.

ამისათვის განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABF მართი კუთხით A, სადაც AM არის სიმაღლე. პირობით AB=2. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ AF გვერდის სიგრძე DD 1 F და AEF მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსებიდან:

პითაგორას თეორემით, ABF სამკუთხედიდან ვპოულობთ . ჩვენ ვპოულობთ AM სიგრძეს ABF სამკუთხედის ფართობის გავლით: ერთ მხარეს სამკუთხედის ABF ფართობი უდრის , მეორეს მხრივ , სად .

ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედიდან AEM გვაქვს .

მაშინ სასურველი კუთხე ABC და BED 1 სიბრტყეს შორის არის (გაითვალისწინეთ, რომ ).

პასუხი:

ზოგიერთ შემთხვევაში, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის მოსაძებნად, მოსახერხებელია Oxyz-ის მითითება და კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება. მოდით შევჩერდეთ მასზე.

დავსვათ დავალება: ვიპოვოთ კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის და . ავღნიშნოთ სასურველი კუთხე, როგორც .

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მოცემულ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxyz ვიცით გადამკვეთი სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატები და ან შესაძლებელია მათი პოვნა. დაე იყოს არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი და არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით.

ავღნიშნოთ ხაზი, რომლის გასწვრივაც სიბრტყეები იკვეთება და როგორც c. c წრფის M წერტილის გავლით ვხატავთ სიბრტყეს c წრფეზე პერპენდიკულარულს. სიბრტყე კვეთს სიბრტყეებს და a და b წრფეების გასწვრივ, შესაბამისად, a და b წრფეები იკვეთება M წერტილში. განმარტებით, კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ტოლია კუთხის a და b ხაზებს შორის.

სიბრტყეში M წერტილიდან გამოვყოთ ნორმალური ვექტორები და სიბრტყეები და . ამ შემთხვევაში, ვექტორი დევს წრფეზე, რომელიც პერპენდიკულარულია a წრფეზე, ხოლო ვექტორი მდებარე წრფეზე, რომელიც არის b წრფის პერპენდიკულარული. ამრიგად, სიბრტყეში ვექტორი არის a წრფის ნორმალური ვექტორი, არის b წრფის ნორმალური ვექტორი.

სტატიაში „გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის პოვნა“ მივიღეთ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსი ნორმალური ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით. ამრიგად, a და b წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსი და, შესაბამისად, და გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსიდა გვხვდება ფორმულით, სადაც და არის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები და შესაბამისად. შემდეგ ის გამოითვლება როგორც .

კოორდინატთა მეთოდით ამოვხსნათ წინა მაგალითი.

მაგალითი.

მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპედი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, რომელშიც AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 და წერტილი E ყოფს AA 1 მხარეს 4-დან 3-მდე თანაფარდობით, ითვლის წერტილიდან ა. იპოვეთ კუთხე ABC და BED 1 სიბრტყეს შორის.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან ერთ წვეროზე მართკუთხა პარალელეპიპედის გვერდები წყვილი პერპენდიკულურია, მოსახერხებელია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის Oxyz შემოღება შემდეგნაირად: დასაწყისი შეესაბამება C წვეროს, ხოლო კოორდინატთა ღერძები Ox, Oy და Oz მიმართულია გვერდების გასწვრივ. CD, CB და CC 1, შესაბამისად.

ABC და BED 1 სიბრტყეებს შორის კუთხე შეიძლება მოიძებნოს ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით, სადაც და არიან ABC და BED 1 სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად. განვსაზღვროთ ნორმალური ვექტორების კოორდინატები.

დავალება 1. სწორი ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე ABCD 1 B 1 C 1 D 1 არის ABCD მართკუთხედი, რომელშიც AB \u003d 5, AD \u003d 11. იპოვეთ კუთხის ტანგენსი პრიზმის ფუძის სიბრტყეს შორის. და BD 1 წრფეზე პერპენდიკულარული AD კიდის შუაზე გამავალი სიბრტყე, თუ მანძილი AC და B 1 D 1 წრფეებს შორის არის 12. ამოხსნა. ჩვენ შემოგთავაზებთ კოორდინატთა სისტემას. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) ნორმალურის კოორდინატები მონაკვეთის სიბრტყემდე: ნორმალურის კოორდინატები საბაზისო სიბრტყე: – მახვილი კუთხე, შემდეგ D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N კუთხე სიბრტყეებს შორის პასუხი: 0.5. ნენშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

ამოცანა 2. სამკუთხა პირამიდის SABC ძირში დევს მართკუთხა სამკუთხედი ABC. კუთხე A სწორია. AC \u003d 8, BC \u003d 219. SA პირამიდის სიმაღლეა 6. წერტილი M აღებულია AC კიდეზე ისე, რომ AM \u003d 2. სიბრტყე α დახაზულია M წერტილში, წვეროზე B და წერტილი N - კიდეების შუა სკ. იპოვეთ α სიბრტყით და პირამიდის ფუძის სიბრტყით წარმოქმნილი ორკუთხედი. A S x B C M N y z ამოხსნა. ჩვენ შემოგთავაზებთ კოორდინატთა სისტემას. შემდეგ A (0;0;0), C (0;8;0), M (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), ნორმალური სიბრტყეზე (ABC) ვექტორი ნორმალური სიბრტყემდე (BMN) კუთხე სიბრტყეებს შორის პასუხი: 60°. სიბრტყის განტოლება (ВМН): ნ.გ.ნენაშევა მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

ამოცანა 3. ოთხკუთხა პირამიდის PABCD ფუძე არის კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია 6-ის, გვერდითი კიდე PD არის ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარული და უდრის 6-ს. იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს (BDP) და (BCP) შორის. გადაწყვეტილება. 1. დახაზეთ ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა DF CDP (BC = PD = 6) ასე რომ, DF PC. და იქიდან, რომ BC (CDP), გამოდის, რომ DF BC ნიშნავს DF (PCB) A D C B P F 2. ვინაიდან AC DB და AC DP, მაშინ AC (BDP) 3. ამრიგად, კუთხე სიბრტყეებს (BDP) და (BCP) შორის. ) გვხვდება მდგომარეობიდან: სიბრტყეებს შორის კუთხე ნენაშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

ამოცანა 3. ოთხკუთხა პირამიდის PABCD ფუძე არის კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია 6-ის, გვერდითი კიდე PD არის ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარული და უდრის 6-ს. იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს (BDP) და (BCP) შორის. გამოსავალი.4. ავირჩიოთ კოორდინატთა სისტემა. წერტილების კოორდინატები: 5. მაშინ ვექტორებს ექნებათ შემდეგი კოორდინატები: 6. მნიშვნელობების გამოთვლით ვპოულობთ:, შემდეგ A D C B P F z x y კუთხე სიბრტყეებს შორის პასუხი: ნენშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

დავალება 4. ერთეულ კუბში ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის (AD 1 E) და (D 1 FC), სადაც E და F წერტილები არის A 1 B 1 კიდეების შუა წერტილები და B 1 C 1, შესაბამისად. ამოხსნა: 1. შეიტანეთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და დაადგინეთ წერტილების კოორდინატები: 2. შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება (AD 1 E): 3. შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება (D 1 FC): - ნორმალური ვექტორი თვითმფრინავი (AD 1 E). - თვითმფრინავის ნორმალური ვექტორი (D 1 FС). კუთხე სიბრტყეებს შორის x y z ნენშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

დავალება 4. ერთეულ კუბში ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის (AD 1 E) და (D 1 FC), სადაც E და F წერტილები არის A 1 B 1 კიდეების შუა წერტილები და B 1 C 1, შესაბამისად. ამოხსნა: 4. იპოვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსი ფორმულით პასუხი: კუთხე სიბრტყეებს შორის x y z ნენშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

ამოცანა 5. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძის ცენტრის გვერდითი კიდის შუათან დამაკავშირებელი სეგმენტი უდრის ფუძის გვერდს. იპოვეთ კუთხე პირამიდის მიმდებარე გვერდებს შორის. ამოხსნა: x y z 1. შემოვიტანოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და განვსაზღვროთ A, B, C: K წერტილების კოორდინატები ფუძის მხარე იყოს 1. განსასაზღვრობისთვის განვიხილოთ სახეები SAC და SBC 2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები. S: E სიბრტყეებს შორის კუთხე ნენაშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

ამოცანა 5. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძის ცენტრის გვერდითი კიდის შუათან დამაკავშირებელი სეგმენტი ტოლია ფუძის გვერდის. იპოვეთ კუთხე პირამიდის მიმდებარე გვერდებს შორის. ამოხსნა: x y z K E SO ვპოულობთ OSB-დან: სიბრტყეებს შორის კუთხე ნენაშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

ამოცანა 5. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძის ცენტრის გვერდითი კიდის შუათან დამაკავშირებელი სეგმენტი ტოლია ფუძის გვერდის. იპოვეთ კუთხე პირამიდის მიმდებარე გვერდებს შორის. ამოხსნა: x y z K E 3. სიბრტყის განტოლება (SAC): - სიბრტყის ნორმალური ვექტორი (SAC). 4. სიბრტყის განტოლება (SBC): - სიბრტყის ნორმალური ვექტორი (SBC). კუთხე სიბრტყეებს შორის ნენაშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985

ამოცანა 5. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძის ცენტრის გვერდითი კიდის შუათან დამაკავშირებელი სეგმენტი ტოლია ფუძის გვერდის. იპოვეთ კუთხე პირამიდის მიმდებარე გვერდებს შორის. ამოხსნა: x y z K E 5. იპოვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსი ფორმულის მიხედვით პასუხი: სიბრტყეებს შორის კუთხე ნენაშევა ნ.გ. მათემატიკის მასწავლებელი GBOU საშუალო სკოლა 985