1.1. მთელი რიცხვის მაჩვენებლის ხარისხის განსაზღვრა

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N ჯერ

1.2. ნულოვანი ხარისხი.

განმარტებით, ჩვეულებრივია ვივარაუდოთ, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე 1-ის ტოლია:

1.3. უარყოფითი ხარისხი.

X-N = 1/XN

1.4. წილადის მაჩვენებელი, ფესვი.

X 1/N = X-ის N-ე ფესვი.

მაგალითად: X 1/2 = √X.

1.5. ძალაუფლების დამატების ფორმულა.

X (N+M) = X N * X M

1.6 გრადუსების გამოკლების ფორმულა.

X (N-M) = X N / X M

1.7. სიმძლავრის გამრავლების ფორმულა.

XN*M = (XN)M

1.8. წილადის ხარისხამდე აყვანის ფორმულა.

(X/Y)N = XN /YN

2. ნომერი ე.

ე რიცხვის მნიშვნელობა უდრის შემდეგ ზღვარს:

E = lim(1+1/N), როგორც N → ∞.

17 ციფრის სიზუსტით, ნომერი e არის 2.71828182845904512.

3. ეილერის თანასწორობა.

ეს ტოლობა აკავშირებს ხუთ რიცხვს, რომლებიც განსაკუთრებულ როლს ასრულებენ მათემატიკაში: 0, 1, რიცხვი e, რიცხვი pi, წარმოსახვითი ერთეული.

E(i*pi) + 1 = 0

4. ექსპონენციალური ფუნქცია exp (x)

exp(x) = e x

5. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ექსპონენციალურ ფუნქციას აქვს შესანიშნავი თვისება: ფუნქციის წარმოებული ტოლია თავად ექსპონენციალურ ფუნქციას:

(exp(x))" = ექსპ(x)

6. ლოგარითმი.

6.1. ლოგარითმის ფუნქციის განმარტება

თუ x = b y, მაშინ ლოგარითმი არის ფუნქცია

Y = Logb(x).

ლოგარითმი გვიჩვენებს, თუ რა ხარისხით არის საჭირო რიცხვის ამაღლება - ლოგარითმის ფუძე (ბ) მოცემული რიცხვის (X) მისაღებად. ლოგარითმის ფუნქცია განისაზღვრება ნულზე მეტი X-ისთვის.

მაგალითად: ჟურნალი 10 (100) = 2.

6.2. ათწილადი ლოგარითმი

ეს არის ლოგარითმი 10-ის ბაზაზე:

Y = ჟურნალი 10 (x) .

აღინიშნება Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

ათობითი ლოგარითმის გამოყენების მაგალითია დეციბელი.

6.3. დეციბელი

ელემენტი მონიშნულია ცალკე გვერდზე Decibel

6.4. ორობითი ლოგარითმი

ეს არის საბაზისო 2 ლოგარითმი:

Y = Log2 (x).

აღინიშნება Lg(x)-ით: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. ბუნებრივი ლოგარითმი

ეს არის ლოგარითმი, რომელიც ეფუძნება e:

Y = ლოგი (x) .

აღინიშნება Ln(x)-ით: Ln(x) = Log e (X)
ბუნებრივი ლოგარითმი არის ექსპონენციალური ფუნქციის ინვერსია exp(X).

6.6. დამახასიათებელი წერტილები

ლოგა (1) = 0
ჟურნალი a(a) = 1

6.7. პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულა

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. კოეფიციენტის ლოგარითმის ფორმულა

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. სიმძლავრის ლოგარითმის ფორმულა

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. განსხვავებული ფუძის მქონე ლოგარითმში გადაყვანის ფორმულა

ჟურნალი b (x) = (ლოგი a (x)) / ჟურნალი a (b)

მაგალითი:

ჟურნალი 2 (8) = ჟურნალი 10 (8) / ჟურნალი 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. ცხოვრებაში გამოსადეგი ფორმულები

ხშირად წარმოიქმნება მოცულობის ფართობად ან სიგრძედ გადაქცევის პრობლემები, ხოლო საპირისპირო პრობლემა არის ფართობის მოცულობად გადაქცევა. მაგალითად, დაფები იყიდება კუბებში (კუბური მეტრი) და ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ, თუ რამდენი კედლის ფართობი შეიძლება იყოს დაფარული დაფებით, რომლებიც შეიცავს გარკვეულ მოცულობას, იხილეთ დაფების გაანგარიშება, რამდენი დაფაა კუბში. ან, კედლის ზომები ცნობილია, აუცილებელია აგურის რაოდენობის გამოთვლა, იხილეთ აგურის გაანგარიშება.

ნებადართულია საიტის მასალების გამოყენება იმ პირობით, რომ დაყენებულია აქტიური ბმული წყაროზე.

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები VIII

§ 184. ხარისხისა და ფესვის ლოგარითმი

თეორემა 1.დადებითი რიცხვის სიმძლავრის ლოგარითმი უდრის ამ სიმძლავრის მაჩვენებლის ნამრავლს მისი ფუძის ლოგარითმით.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ა და X დადებითი და ა =/= 1, შემდეგ ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის კ

ჟურნალი ნაჯახი კ = კ ჟურნალი ნაჯახი . (1)

ამ ფორმულის დასამტკიცებლად საკმარისია ამის ჩვენება

= ა კ ჟურნალი ნაჯახი . (2)

= x კ

ა კ ჟურნალი ნაჯახი = (ა ჟურნალი ნაჯახი ) კ = x კ .

ეს გულისხმობს ფორმულის (2) და, შესაბამისად, (1) ნამდვილობას.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ნომერი კ ბუნებრივია ( k = n ), მაშინ ფორმულა (1) არის ფორმულის კონკრეტული შემთხვევა

ჟურნალი ა (x 1 x 2 x 3 ... x ნ ) = ჟურნალი ნაჯახი 1 + ჟურნალი ნაჯახი 2 + ჟურნალი ნაჯახი 3 + ... ჟურნალი ნაჯახი ნ .

დადასტურებულია წინა ნაწილში. მართლაც, ამ ფორმულაში ვარაუდით

x 1 = x 2 = ... = x ნ = x ,

ჩვენ ვიღებთ:

ჟურნალი ნაჯახი ნ = ნ ჟურნალი ნაჯახი .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის X ფორმულა (1) კარგავს თავის მნიშვნელობას. მაგალითად, თქვენ არ შეგიძლიათ დაწეროთ log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4), რადგან გამოთქმა log 2 (-4) განუსაზღვრელია. გაითვალისწინეთ, რომ ამ ფორმულის მარცხენა მხარეს გამოხატული აზრი აქვს:

ჟურნალი 2 (-4) 2 = ჟურნალი 2 16 = 4.

ზოგადად თუ ნომერი X არის უარყოფითი, შემდეგ გამოხატვის ჟურნალი ნაჯახი 2კ = 2კ ჟურნალი ნაჯახი განსაზღვრული იმიტომ x 2კ > 0. გამოხატულება არის 2 კ ჟურნალი ნაჯახი ამ შემთხვევაში აზრი არ აქვს. ასე რომ დაწერე

შესვლა ნაჯახი 2კ = 2კ ჟურნალი ნაჯახი

აკრძალულია. თუმცა წერა შეიძლება

ჟურნალი ნაჯახი 2კ = 2კ ჟურნალი a | x | (3)

ეს ფორმულა ადვილად მიიღება (1)-დან, თუ გავითვალისწინებთ იმას

x 2კ = | x | 2კ

Მაგალითად,

ჟურნალი 3 (-3) 4 = 4 ჟურნალი 3 | -3 | = 4 ჟურნალი 3 3 = 4.

თეორემა 2.დადებითი რიცხვის ფესვის ლოგარითმი უდრის ფესვის გამოხატვის ლოგარითმს გაყოფილი ფესვის მაჩვენებელზე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ნომრები ა და X დადებითები არიან ა =/= 1 და პ ბუნებრივი რიცხვია, მაშინ

ჟურნალი ა ნ √x = 1 / ნ ჟურნალი ნაჯახი

მართლაც, ნ √x = . ამიტომ, თეორემა 1-ით

ჟურნალი ა ნ √x = ჟურნალი ა = 1 / ნ ჟურნალი ნაჯახი .

1) ჟურნალი 3 √ 8 = 1 / 2 ჟურნალი 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1/5 log 2 27.

Სავარჯიშოები

1408. როგორ შეიცვლება რიცხვის ლოგარითმი, თუ ფუძის შეცვლის გარეშე:

ა) რიცხვის კვადრატში

ბ) აიღეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი?

1409. როგორ შეიცვლება სხვაობის ჟურნალი 2 ა - ჟურნალი 2 ბ თუ ნომრები ა და ბ შეცვალეთ შესაბამისად:

ა) ა 3 და ბ 3; ბ) 3 ა და 3 ბ ?

1410. იმის ცოდნა, რომ log 10 2 ≈ 0.3010, log 10 3 ≈ 0.4771, იპოვე ლოგარითმები 10 რიცხვის ფუძემდე:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. დაამტკიცეთ, რომ გეომეტრიული პროგრესიის თანმიმდევრული წევრების ლოგარითმები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

1412. განსხვავდება თუ არა ფუნქციები ერთმანეთისგან

ზე = ჟურნალი 3 X 2 და ზე = 2 ჟურნალი 3 X

შექმენით ამ ფუნქციების გრაფიკები.

1413. იპოვეთ შეცდომა შემდეგ გარდაქმნებში:

ჟურნალი 2 1 / 3 = ჟურნალი 2 1 / 3

2log 2 1 / 3 > log 2 1 / 3 ;

ჟურნალი 2 (1/3) 2 > ჟურნალი 2 1/3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;

b დადებითი რიცხვის ლოგარითმი a საფუძველზე (a>0, a არ არის 1-ის ტოლი) არის c რიცხვი, რომ a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

გაითვალისწინეთ, რომ არაპოზიტიური რიცხვის ლოგარითმი არ არის განსაზღვრული. ასევე, ლოგარითმის ფუძე უნდა იყოს დადებითი რიცხვი და არა 1-ის ტოლი. მაგალითად, თუ კვადრატში -2 მივიღებთ რიცხვს 4, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ 4-ის -2 ფუძის ლოგარითმი არის 2.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

მნიშვნელოვანია, რომ ამ ფორმულის მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების განსაზღვრის დომენები განსხვავებული იყოს. მარცხენა მხარე განისაზღვრება მხოლოდ b>0-ისთვის, a>0 და a ≠ 1-ისთვის. მარჯვენა მხარე განისაზღვრება ნებისმიერი b-ისთვის და საერთოდ არ არის დამოკიდებული a-ზე. ამრიგად, ძირითადი ლოგარითმული „იდენტურობის“ გამოყენება განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას შეიძლება გამოიწვიოს DPV-ის ცვლილება.

ლოგარითმის განსაზღვრის ორი აშკარა შედეგი

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
შესვლა a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

მართლაც, a რიცხვის პირველ ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ იგივე რიცხვს, ხოლო ნულოვან ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ ერთს.

ნამრავლის ლოგარითმი და კოეფიციენტის ლოგარითმი

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

მინდა გავაფრთხილო სკოლის მოსწავლეები ამ ფორმულების დაუფიქრებელი გამოყენებისგან ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. როდესაც ისინი გამოიყენება "მარცხნიდან მარჯვნივ", ODZ ვიწროვდება, ხოლო ლოგარითმების ჯამიდან ან სხვაობიდან პროდუქტის ან კოეფიციენტის ლოგარითმზე გადასვლისას, ODZ ფართოვდება.

მართლაც, გამოთქმა log a (f (x) g (x)) განისაზღვრება ორ შემთხვევაში: როდესაც ორივე ფუნქცია მკაცრად დადებითია ან როდესაც f(x) და g(x) ორივე ნულზე ნაკლებია.

ამ გამოთქმის ჯამად log a f (x) + log a g (x) გარდაქმნით, იძულებული ვართ შევიზღუდოთ მხოლოდ იმ შემთხვევით, როდესაც f(x)>0 და g(x)>0. არსებობს დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის შევიწროება და ეს კატეგორიულად მიუღებელია, ვინაიდან ამან შეიძლება გამოიწვიოს გადაწყვეტილებების დაკარგვა. ანალოგიური პრობლემა არსებობს ფორმულისთვის (6).

ხარისხი შეიძლება ამოღებულ იქნას ლოგარითმის ნიშნიდან

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

და კიდევ ერთხელ მინდა მოვუწოდო სიზუსტეს. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

ტოლობის მარცხენა მხარე აშკარად არის განსაზღვრული f(x)-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ნულის გარდა. მარჯვენა მხარე არის მხოლოდ f(x)>0! ლოგარითმიდან სიმძლავრის ამოღებით, ჩვენ კვლავ ვიწროვებთ ODZ-ს. საპირისპირო პროცედურა იწვევს დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოებას. ყველა ეს შენიშვნა ეხება არა მხოლოდ 2-ის ხარისხს, არამედ ნებისმიერ თანაბარ ძალას.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ის იშვიათი შემთხვევა, როდესაც ODZ არ იცვლება კონვერტაციის დროს. თუ თქვენ გონივრულად შეარჩიეთ ფუძე c (დადებითი და არა 1-ის ტოლი), ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა სრულიად უსაფრთხოა.

თუ ჩვენ ვირჩევთ რიცხვს b ახალ საფუძვლად c, მივიღებთ ფორმულის მნიშვნელოვან კონკრეტულ შემთხვევას (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

რამდენიმე მარტივი მაგალითი ლოგარითმებით

მაგალითი 1 გამოთვალეთ: lg2 + lg50.
გამოსავალი. lg2 + lg50 = lg100 = 2. ჩვენ გამოვიყენეთ ლოგარითმების ჯამის ფორმულა (5) და ათობითი ლოგარითმის განმარტება.

მაგალითი 2 გამოთვალეთ: lg125/lg5.
გამოსავალი. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. ჩვენ გამოვიყენეთ ახალი ბაზის გადასვლის ფორმულა (8).

ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულების ცხრილი

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

შესვლა a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

რა არის ლოგარითმი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით - განტოლებები ლოგარითმებით.

ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? კარგი. ახლა, დაახლოებით 10-20 წუთის განმავლობაში თქვენ:

1. გაიგე რა არის ლოგარითმი.

2. ისწავლეთ ექსპონენციალური განტოლებების მთელი კლასის ამოხსნა. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არ გსმენიათ.

3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.

უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ხდება რიცხვი ხარისხამდე ...

ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარება... აბა, მონიშნე დრო! წადი!

ჯერ გონებაში ამოხსენით შემდეგი განტოლება:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ძირითადი თვისებები.

1. ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
2. ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

იგივე საფუძველი

log6 4 + log6 9.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება.

ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები

რა მოხდება, თუ არსებობს ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ODZ ლოგარითმია დაცული: a > 0, a ≠ 1, x >

Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ახალ საძირკველზე გადასვლა

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

Იხილეთ ასევე:

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებელი არის 2,7 და ორჯერ აღემატება ლეო ტოლსტოის დაბადების წელს.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ამ წესის ცოდნა, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

ლოგარითმების მაგალითები

აიღეთ გამონათქვამების ლოგარითმი

მაგალითი 1
ა). x=10ac^2 (a>0, c>0).

თვისებებით 3,5 ვიანგარიშებთ

2.

3.

4. სადაც .

მაგალითი 2 იპოვეთ x თუ

მაგალითი 3. მოცემულია ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

ეს წესები უნდა იყოს ცნობილი - მათ გარეშე სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. ასე რომ, დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმი: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
2. ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

ამრიგად, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: აქ მთავარია - იგივე საფუძველი. თუ ბაზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება „ცუდი“ ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, კონტროლი - გამოცდაზე შემოთავაზებულია მსგავსი გამონათქვამები მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ - პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი მათ პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ODZ ლოგარითმია დაცული: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეა: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი საჭიროებს გარკვევას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით.

ლოგარითმების ფორმულები. ლოგარითმები არის ამონახსნების მაგალითები.

მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველსა და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

კერძოდ, თუ დავსვამთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შესაძლებელია ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის გაცვლა, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია:

მართლაც, რა მოხდება, თუ რიცხვი b ამაღლდება ისეთ ხარისხით, რომ რიცხვი b ამ ხარისხით იძლევა რიცხვს a? მართალია: ეს არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".

ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან 🙂

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებიც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერი a ფუძის მიმართ ამ ფუძიდან ერთს უდრის.
2. ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია, ლოგარითმი არის ნული! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

Იხილეთ ასევე:

b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე აღნიშნავს გამოსახულებას. ლოგარითმის გამოთვლა ნიშნავს ისეთი სიმძლავრის x () პოვნას, რომელზედაც ტოლობა ჭეშმარიტია

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

ზემოაღნიშნული თვისებების ცოდნაა საჭირო, რადგან მათ საფუძველზე, თითქმის ყველა პრობლემა და მაგალითი წყდება ლოგარითმების საფუძველზე. დარჩენილი ეგზოტიკური თვისებების მიღება შესაძლებელია ამ ფორმულებით მათემატიკური მანიპულაციებით

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ლოგარითმების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გაანგარიშებისას (3.4) საკმაოდ ხშირად გვხვდება. დანარჩენი გარკვეულწილად რთულია, მაგრამ რიგ ამოცანებში ისინი შეუცვლელია რთული გამონათქვამების გასამარტივებლად და მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

ლოგარითმების გავრცელებული შემთხვევები

ზოგიერთი საერთო ლოგარითმებია ისეთები, რომლებშიც ფუძე ათია, ექსპონენციალური ან დეუზური.
ათი ფუძის ლოგარითმს ჩვეულებრივ უწოდებენ ათი ფუძის ლოგარითმს და უბრალოდ აღინიშნება lg(x).

ჩანაწერიდან ჩანს, რომ ჩანაწერში საფუძვლები არ წერია. Მაგალითად

ბუნებრივი ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ექსპონენტი (აღნიშნულია ln(x)).

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებელი არის 2,7 და ორჯერ აღემატება ლეო ტოლსტოის დაბადების წელს. ამ წესის ცოდნა, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი საფუძველი ორი ლოგარითმია

ფუნქციის ლოგარითმის წარმოებული ტოლია ერთის გაყოფილი ცვლადზე

ინტეგრალური ან ანტიდერივატიული ლოგარითმი განისაზღვრება დამოკიდებულებით

ზემოთ მოყვანილი მასალა საკმარისია იმისთვის, რომ გადაჭრათ ლოგარითმებთან და ლოგარითმებთან დაკავშირებული ამოცანების ფართო კლასი. მასალის შესათვისებლად მხოლოდ რამდენიმე გავრცელებულ მაგალითს მოვიყვან სკოლის სასწავლო გეგმიდან და უნივერსიტეტებიდან.

ლოგარითმების მაგალითები

აიღეთ გამონათქვამების ლოგარითმი

მაგალითი 1
ა). x=10ac^2 (a>0, c>0).

თვისებებით 3,5 ვიანგარიშებთ

2.
ლოგარითმების განსხვავების თვისებით გვაქვს

3.
3.5 თვისებების გამოყენებით ვპოულობთ

4. სადაც .

ერთი შეხედვით რთული გამოთქმა წესების სერიის გამოყენებით გამარტივებულია ფორმაში

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნა

მაგალითი 2 იპოვეთ x თუ

გამოსავალი. გაანგარიშებისთვის ჩვენ ვიყენებთ თვისებებს 5 და 13 ბოლო ტერმინამდე

ჩანაწერში ჩანაცვლება და გლოვა

ვინაიდან ფუძეები ტოლია, გამონათქვამებს ვაიგივებთ

ლოგარითმები. პირველი დონე.

მოდით მივცეთ ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ

ამოხსნა: აიღეთ ცვლადის ლოგარითმი, რომ ჩაწეროთ ლოგარითმი ტერმინების ჯამის მეშვეობით

ეს მხოლოდ დასაწყისია ლოგარითმებისა და მათი თვისებების გაცნობისა. ივარჯიშეთ გამოთვლებით, გაამდიდრეთ პრაქტიკული უნარ-ჩვევები - მალე დაგჭირდებათ მიღებული ცოდნა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად. ასეთი განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ გავაფართოვებთ თქვენს ცოდნას სხვა თანაბრად მნიშვნელოვანი თემისთვის - ლოგარითმული უტოლობები ...

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

ეს წესები უნდა იყოს ცნობილი - მათ გარეშე სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. ასე რომ, დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმი: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
2. ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

ამრიგად, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: აქ მთავარია - იგივე საფუძველი. თუ ბაზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log6 4 + log6 9.

ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება „ცუდი“ ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, კონტროლი - გამოცდაზე შემოთავაზებულია მსგავსი გამონათქვამები მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ - პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ არსებობს ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი მათ პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ODZ ლოგარითმია დაცული: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეა: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი საჭიროებს გარკვევას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველსა და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

კერძოდ, თუ დავსვამთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შესაძლებელია ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის გაცვლა, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.

Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია:

მართლაც, რა მოხდება, თუ რიცხვი b ამაღლდება ისეთ ხარისხით, რომ რიცხვი b ამ ხარისხით იძლევა რიცხვს a? მართალია: ეს არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".

ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან 🙂

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებიც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერი a ფუძის მიმართ ამ ფუძიდან ერთს უდრის.
2. ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია, ლოგარითმი არის ნული! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.