არის რიცხვები, რომლებიც იმდენად წარმოუდგენლად, წარმოუდგენლად დიდია, რომ მათ ჩაწერასაც კი დასჭირდება მთელი სამყარო. მაგრამ აი, რა არის ნამდვილად გამაგიჟებელი... ამ გაუგებრად დიდი რიცხვებიდან ზოგიერთი უკიდურესად მნიშვნელოვანია სამყაროს გასაგებად.

როდესაც ვამბობ "სამყაროში ყველაზე დიდ რიცხვს", მე ნამდვილად ვგულისხმობ უდიდეს აზრიანინომერი, მაქსიმალური შესაძლო რიცხვი, რომელიც გარკვეულწილად სასარგებლოა. ამ ტიტულის პრეტენდენტი ბევრია, მაგრამ მაშინვე გაფრთხილებ: ნამდვილად არის რისკი, რომ ამ ყველაფრის გაგების მცდელობამ გონება დაგიბრუნოს. გარდა ამისა, ზედმეტად ბევრი მათემატიკით, ცოტა გართობას მიიღებთ.

Googol და googolplex

ედვარდ კასნერი

ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ ორი, დიდი ალბათობით, ყველაზე დიდი რიცხვით, რაც კი ოდესმე გსმენიათ, და ეს მართლაც ორი უდიდესი რიცხვია, რომლებსაც ზოგადად მიღებული განმარტებები აქვთ ინგლისურ ენაში. (არსებობს საკმაოდ ზუსტი ნომენკლატურა, რომელიც გამოიყენება ისეთი დიდი რიცხვებისთვის, რამდენიც თქვენ გინდათ, მაგრამ ეს ორი რიცხვი ამჟამად არ არის ლექსიკონებში.) Google, მას შემდეგ რაც მსოფლიოში ცნობილი გახდა (თუმცა შეცდომით, გაითვალისწინეთ. სინამდვილეში ეს არის googol) Google-ის ფორმა, რომელიც დაიბადა 1920 წელს, როგორც საშუალება ბავშვების დიდი რაოდენობით დაინტერესების მიზნით.

ამ მიზნით, ედვარდ კასნერმა (სურათზე) თავისი ორი ძმისშვილი, მილტონი და ედვინ სიროტი წაიყვანა ნიუ ჯერსის პალიზადის ტურნეზე. მან მოიწვია ისინი რაიმე იდეისთვის, შემდეგ კი ცხრა წლის მილტონმა შესთავაზა "გუგოლი". საიდან მიიღო ეს სიტყვა უცნობია, მაგრამ კასნერმა ეს გადაწყვიტა ან რიცხვს, რომელშიც ასი ნული მოჰყვება ერთს, ამიერიდან გუგოლი დაერქმევა.

მაგრამ ახალგაზრდა მილტონი აქ არ გაჩერებულა, მან მოიფიქრა კიდევ უფრო დიდი რიცხვი, googolplex. ეს არის რიცხვი, მილტონის მიხედვით, რომელსაც ჯერ აქვს 1 და შემდეგ იმდენი ნული, რამდენიც შეგიძლია დაწერო სანამ დაიღლები. მიუხედავად იმისა, რომ იდეა მომხიბლავია, კასნერმა იგრძნო, რომ უფრო ფორმალური განმარტება იყო საჭირო. როგორც მან განმარტა თავის 1940 წლის წიგნში „მათემატიკა და წარმოსახვა“, მილტონის განმარტება ღიად ტოვებს საშიშ შესაძლებლობას, რომ შემთხვევითი ბუფონი შეიძლება გახდეს უმაღლესი მათემატიკოსი ალბერტ აინშტაინზე მხოლოდ იმიტომ, რომ მას მეტი გამძლეობა აქვს.

ასე რომ, კასნერმა გადაწყვიტა, რომ გუგოლპლექსი იქნებოდა ან 1, რასაც მოჰყვებოდა ნულების გუგოლი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, და მსგავსი აღნიშვნით, რომლითაც ჩვენ სხვა რიცხვებთან გვაქვს საქმე, ჩვენ ვიტყვით, რომ googolplex არის . იმის საჩვენებლად, თუ რამდენად მომხიბლავია ეს, კარლ სეიგანმა ერთხელ აღნიშნა, რომ ფიზიკურად შეუძლებელი იყო გუგოლპლექსის ყველა ნულის ჩაწერა, რადგან სამყაროში უბრალოდ არ იყო საკმარისი ადგილი. თუ დაკვირვებადი სამყაროს მთელი მოცულობა ივსება წვრილი მტვრის ნაწილაკებით, დაახლოებით 1,5 მიკრონი ზომის, მაშინ ამ ნაწილაკების განლაგების სხვადასხვა გზების რაოდენობა იქნება დაახლოებით ერთი გუგოლპლექსის ტოლი.

ენობრივად რომ ვთქვათ, googol და googolplex, ალბათ, ორი ყველაზე დიდი მნიშვნელოვანი რიცხვია (ყოველ შემთხვევაში ინგლისურად), მაგრამ, როგორც ახლა დავადგინეთ, უსასრულოდ ბევრი გზა არსებობს „მნიშვნელობის“ განსაზღვრისთვის.

რეალური სამყარო

თუ ვსაუბრობთ უდიდეს მნიშვნელოვან რიცხვზე, არსებობს გონივრული არგუმენტი, რომ ეს ნამდვილად ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ უდიდესი რიცხვი იმ მნიშვნელობით, რომელიც რეალურად არსებობს მსოფლიოში. ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ ამჟამინდელი ადამიანური მოსახლეობით, რომელიც ამჟამად დაახლოებით 6920 მილიონია. მსოფლიო მშპ 2010 წელს შეფასდა დაახლოებით 61,960 მილიარდ დოლარად, მაგრამ ორივე ეს რიცხვი მცირეა იმ დაახლოებით 100 ტრილიონ უჯრედთან შედარებით, რომლებიც ქმნიან ადამიანის სხეულს. რა თქმა უნდა, არცერთი ეს რიცხვი ვერ შეედრება სამყაროს ნაწილაკების მთლიან რაოდენობას, რომელიც ჩვეულებრივ დაახლოებით ითვლება და ეს რიცხვი იმდენად დიდია, რომ ჩვენს ენას სიტყვა არ აქვს.

ჩვენ შეგვიძლია ცოტათი ვითამაშოთ საზომი სისტემებით, რაც რიცხვებს უფრო და უფრო დიდს გავხდით. ამრიგად, მზის მასა ტონებში ნაკლები იქნება ვიდრე ფუნტებში. ამის გაკეთების შესანიშნავი გზაა პლანკის ერთეულების გამოყენება, რაც არის ყველაზე მცირე შესაძლო ზომები, რომლისთვისაც ფიზიკის კანონები ჯერ კიდევ მოქმედებს. მაგალითად, პლანკის დროში სამყაროს ასაკი არის დაახლოებით . თუ დავუბრუნდებით პლანკის პირველ დროის ერთეულს დიდი აფეთქების შემდეგ, დავინახავთ, რომ სამყაროს სიმკვრივე იყო მაშინ. ჩვენ სულ უფრო და უფრო ვიმატებთ, მაგრამ ჯერ გუგოლსაც არ მივაღწიეთ.

ყველაზე დიდი რიცხვი ნებისმიერი რეალური სამყაროს აპლიკაციით - ან, ამ შემთხვევაში, რეალური სამყაროს აპლიკაციით - ალბათ არის მულტი სამყაროს სამყაროების რაოდენობის ერთ-ერთი უახლესი შეფასება. ეს რიცხვი იმდენად დიდია, რომ ადამიანის ტვინი ფაქტიურად ვერ შეძლებს ყველა ამ განსხვავებული სამყაროს აღქმას, ვინაიდან ტვინს მხოლოდ უხეშად კონფიგურაციის უნარი აქვს. სინამდვილეში, ეს რიცხვი ალბათ ყველაზე დიდი რიცხვია რაიმე პრაქტიკული მნიშვნელობით, თუ არ გაითვალისწინებთ მულტი სამყაროს იდეას მთლიანობაში. თუმცა, იქ ჯერ კიდევ გაცილებით დიდი რიცხვები იმალება. მაგრამ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ისინი, ჩვენ უნდა შევიდეთ წმინდა მათემატიკის სფეროში და არ არსებობს უკეთესი ადგილი, ვიდრე მარტივი რიცხვები.

მერსენის პრაიმები

სირთულის ნაწილი არის კარგი განმარტება იმისა, თუ რა არის "მნიშვნელოვანი" რიცხვი. ერთი გზა არის ფიქრი მარტივი და კომპოზიტების თვალსაზრისით. მარტივი რიცხვი, როგორც ალბათ გახსოვთ სკოლის მათემატიკიდან, არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი (არა ტოლი), რომელიც იყოფა მხოლოდ თავისთავად. ასე რომ, და არის მარტივი რიცხვები, და და არის შედგენილი რიცხვები. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი კომპოზიტური რიცხვი საბოლოოდ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მისი მარტივი გამყოფებით. გარკვეული გაგებით, რიცხვი უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე, ვთქვათ, რადგან არ არსებობს მისი გამოხატვის საშუალება უფრო მცირე რიცხვების ნამრავლის მიხედვით.

ცხადია, შეგვიძლია ცოტა წინ წავიდეთ. მაგალითად, რეალურად არის უბრალოდ, რაც ნიშნავს, რომ ჰიპოთეტურ სამყაროში, სადაც ჩვენი ცოდნა რიცხვების შესახებ შეზღუდულია, მათემატიკოსს მაინც შეუძლია გამოხატოს. მაგრამ შემდეგი რიცხვი უკვე მარტივია, რაც იმას ნიშნავს, რომ მისი გამოხატვის ერთადერთი გზა მისი არსებობის უშუალოდ ცოდნაა. ეს ნიშნავს, რომ ყველაზე დიდი ცნობილი მარტივი რიცხვები მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ, მაგრამ, ვთქვათ, გუგოლი - რომელიც საბოლოოდ მხოლოდ რიცხვების კრებულს წარმოადგენს და ერთად გამრავლებული - რეალურად არა. და რადგან მარტივი რიცხვები ძირითადად შემთხვევითია, არ არის ცნობილი გზა იმის პროგნოზირებისთვის, რომ წარმოუდგენლად დიდი რიცხვი რეალურად მარტივი იქნება. დღემდე, ახალი მარტივი რიცხვების აღმოჩენა რთული ამოცანაა.

ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებს ჰქონდათ მარტივი რიცხვების კონცეფცია ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 500 წელს, ხოლო 2000 წლის შემდეგ ადამიანებმა ჯერ კიდევ იცოდნენ, თუ რომელი მარტივი რიცხვები იყო დაახლოებით 750-მდე. ევკლიდეს მოაზროვნეები ხედავდნენ გამარტივების შესაძლებლობას, მაგრამ სანამ რენესანსის მათემატიკოსებს შეეძლოთ. ნამდვილად არ გამოიყენოთ იგი პრაქტიკაში. ეს რიცხვები ცნობილია როგორც მერსენის ნომრები და დაარქვეს მე-17 საუკუნის ფრანგი მეცნიერის მარინა მერსენის პატივსაცემად. იდეა საკმაოდ მარტივია: მერსენის რიცხვი არის ფორმის ნებისმიერი რიცხვი. ასე, მაგალითად, და ეს რიცხვი მარტივია, იგივე ეხება .

მერსენის პრაიმების დადგენა ბევრად უფრო სწრაფი და ადვილია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა ტიპის დიაპაზონი, და კომპიუტერები ძნელად მუშაობდნენ მათ პოვნაში ბოლო ექვსი ათწლეულის განმავლობაში. 1952 წლამდე ცნობილი ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვი იყო რიცხვი — რიცხვი ციფრებით. იმავე წელს კომპიუტერზე გამოითვალეს, რომ რიცხვი მარტივია და ეს რიცხვი შედგება ციფრებისგან, რაც მას უკვე ბევრად აღემატება გუგოლს.

მას შემდეგ კომპიუტერები ნადირობენ და მერსენის რიცხვი ამჟამად ყველაზე დიდი უბრალო რიცხვია, რომელიც ცნობილია კაცობრიობისთვის. აღმოჩენილი 2008 წელს, ეს არის რიცხვი თითქმის მილიონობით ციფრით. ეს არის ყველაზე დიდი ცნობილი რიცხვი, რომელიც არ შეიძლება გამოისახოს რაიმე მცირე რიცხვებით და თუ გსურთ დაგეხმაროთ კიდევ უფრო დიდი Mersenne რიცხვის პოვნაში, თქვენ (და თქვენს კომპიუტერს) ყოველთვის შეგიძლიათ შეუერთდეთ ძიებას http://www.mersenne-ზე. org/.

Skewes ნომერი

სტენლი სკუზი

მოდით დავუბრუნდეთ მარტივ რიცხვებს. როგორც უკვე ვთქვი, ისინი ფუნდამენტურად არასწორად იქცევიან, რაც ნიშნავს, რომ არ არსებობს გზა იმის პროგნოზირება, თუ რომელი იქნება შემდეგი მარტივი რიცხვი. მათემატიკოსები იძულებულნი გახდნენ მიემართათ რამდენიმე საკმაოდ ფანტასტიკურ გაზომვებზე, რათა შეექმნათ მომავალი მარტივი რიცხვების წინასწარმეტყველების გზა, თუნდაც რაღაც ბუნდოვანი გზით. ამ მცდელობებიდან ყველაზე წარმატებული, ალბათ, არის მარტივი რიცხვების ფუნქცია, რომელიც გამოიგონა მე-18 საუკუნის ბოლოს ლეგენდარულმა მათემატიკოსმა კარლ ფრიდრიხ გაუსმა.

უფრო რთულ მათემატიკას დაგიზოგავთ - ყოველ შემთხვევაში, ჯერ კიდევ ბევრი გვაქვს გასავლელი - მაგრამ ფუნქციის არსი ასეთია: ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის, შესაძლებელია გამოვთვალოთ რამდენი მარტივი რიცხვი ნაკლებია. მაგალითად, თუ , ფუნქცია პროგნოზირებს, რომ უნდა იყოს მარტივი რიცხვები, if - მარტივი რიცხვები ნაკლები, და თუ , მაშინ არის უფრო მცირე რიცხვები, რომლებიც მარტივია.

მარტივი რიცხვების განლაგება მართლაც არარეგულარულია და არის მხოლოდ მარტივი რიცხვების რეალური რაოდენობის მიახლოება. ფაქტობრივად, ჩვენ ვიცით, რომ არის მარტივი რიცხვები ზე ნაკლები, უმარტივესები ნაკლებია, და მარტივი რიცხვები ნაკლებია. რა თქმა უნდა, ეს შესანიშნავი შეფასებაა, მაგრამ ის ყოველთვის მხოლოდ შეფასებაა... და უფრო კონკრეტულად, შეფასება ზემოდან.

ყველა ცნობილ შემთხვევაში მდე, ფუნქცია, რომელიც პოულობს მარტივ რიცხვს, ოდნავ აზვიადებს ფაქტობრივად ნაკლები მარტივი რიცხვების რაოდენობას. მათემატიკოსები ოდესღაც ფიქრობდნენ, რომ ეს ყოველთვის ასე იქნებოდა, უსასრულოდ, და ეს, რა თქმა უნდა, ეხება წარმოუდგენლად უზარმაზარ რიცხვებს, მაგრამ 1914 წელს ჯონ ედენსორ ლიტლვუდმა დაამტკიცა, რომ უცნობი, წარმოუდგენლად დიდი რიცხვისთვის ეს ფუნქცია დაიწყებს ნაკლები მარტივი რიცხვების გამომუშავებას. და შემდეგ ის გადაინაცვლებს გადაფასებასა და არადაფასებას შორის უსასრულო რაოდენობის ჯერ.

ნადირობა რბოლების სასტარტო წერტილზე იყო და სწორედ აქ გამოჩნდა სტენლი სკუზი (იხილეთ ფოტო). 1933 წელს მან დაამტკიცა, რომ ზედა ზღვარი, როდესაც ფუნქცია, რომელიც პირველად აახლოებს მარტივ რიცხვს, იძლევა უფრო მცირე მნიშვნელობას, არის რიცხვი. ძნელია იმის ჭეშმარიტად გაგება, თუნდაც ყველაზე აბსტრაქტული გაგებით, თუ რა არის ეს რიცხვი სინამდვილეში და ამ თვალსაზრისით, ეს იყო ყველაზე დიდი რიცხვი, რაც კი ოდესმე გამოიყენებოდა სერიოზულ მათემატიკურ მტკიცებულებაში. მას შემდეგ მათემატიკოსებმა შეძლეს ზედა ზღვარის შემცირება შედარებით მცირე რიცხვამდე, მაგრამ თავდაპირველი რიცხვი ცნობილი დარჩა, როგორც Skewes რიცხვი.

მაშ, რამდენად დიდია რიცხვი, რომელიც ძლევამოსილ გუგოლპლექსსაც კი ჯუჯად აქცევს? პინგვინის ცნობისმოყვარე და საინტერესო რიცხვების ლექსიკონში დევიდ უელსი აღწერს ერთ-ერთ გზას, რომლითაც მათემატიკოსმა ჰარდიმ შეძლო სკვესის რიცხვის ზომის გაგება:

ჰარდი ფიქრობდა, რომ ეს იყო „ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც ოდესმე რაიმე კონკრეტულ მიზანს ემსახურებოდა მათემატიკაში“ და ვარაუდობდა, რომ თუ ჭადრაკს სამყაროს ყველა ნაწილაკებით თამაშობდნენ, ერთი ნაბიჯი შედგებოდა ორი ნაწილაკების გაცვლაზე და თამაში შეჩერდებოდა, როცა იგივე პოზიცია მესამედ განმეორდა, მაშინ ყველა შესაძლო თამაშის რაოდენობა დაახლოებით სკუზეს რაოდენობის ტოლი იქნებოდა''.

კიდევ ერთი რამ, სანამ გადავიდოდით: ჩვენ ვისაუბრეთ Skewes-ის ორი რიცხვიდან მცირეზე. არსებობს კიდევ ერთი Skewes ნომერი, რომელიც მათემატიკოსმა 1955 წელს აღმოაჩინა. პირველი რიცხვი მიღებულია იმ მოტივით, რომ ეგრეთ წოდებული რიმანის ჰიპოთეზა მართალია - განსაკუთრებით რთული ჰიპოთეზა მათემატიკაში, რომელიც რჩება დაუმტკიცებელი, ძალიან სასარგებლო, როდესაც საქმე ეხება მარტივ რიცხვებს. თუმცა, თუ რიმანის ჰიპოთეზა მცდარია, სკევსმა აღმოაჩინა, რომ ნახტომის საწყისი წერტილი იზრდება მდე.

სიდიდის პრობლემა

სანამ მივაღწევთ რიცხვს, რომელიც სკუზეს რიცხვსაც კი პაწაწინა აქცევს, ცოტა უნდა ვისაუბროთ მასშტაბებზე, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ჩვენ არ გვაქვს საშუალება გამოვთვალოთ სად მივდივართ. ჯერ ავიღოთ რიცხვი - ეს არის პატარა რიცხვი, იმდენად მცირე, რომ ადამიანებს შეუძლიათ რეალურად გააცნობიერონ მისი მნიშვნელობა. ძალიან ცოტა რიცხვია, რომელიც შეესაბამება ამ აღწერას, რადგან ექვსზე მეტი რიცხვები წყვეტენ ცალკეულ რიცხვებად და იქცევიან "რამდენიმე", "ბევრი" და ა.შ.

ახლა ავიღოთ, ე.ი. . მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ ნამდვილად არ შეგვიძლია ინტუიციურად, როგორც ჩვენ გავაკეთეთ ნომრისთვის, გავარკვიოთ რა, წარმოიდგინეთ რა არის, ეს ძალიან მარტივია. ჯერჯერობით ყველაფერი კარგად მიდის. მაგრამ რა მოხდება, თუ ჩვენ მივდივართ? ეს უდრის , ან . ჩვენ ძალიან შორს ვართ ამ მნიშვნელობის წარმოდგენისგან, როგორც ნებისმიერი სხვა ძალიან დიდი - ჩვენ ვკარგავთ ცალკეული ნაწილების გაგების უნარს სადღაც მილიონზე. (რა თქმა უნდა, საოცრად დიდი დრო დასჭირდებოდა რეალურად რაიმეს მილიონამდე დათვლას, მაგრამ საქმე ისაა, რომ ჩვენ ჯერ კიდევ შეგვიძლია ამ რიცხვის აღქმა.)

თუმცა, მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ ვერ წარმოვიდგენთ, ჩვენ მაინც შეგვიძლია გავიგოთ ზოგადად რა არის 7600 მილიარდი, შესაძლოა, თუ შევადარებთ მას აშშ-ს მშპ-სთან. ჩვენ გადავედით ინტუიციიდან წარმოდგენამდე უბრალო გაგებამდე, მაგრამ მაინც გვაქვს გარკვეული ხარვეზი იმის გაგებაში, თუ რა არის რიცხვი. ეს შეიცვლება კიბეზე კიდევ ერთი საფეხურით ასვლისას.

ამისათვის ჩვენ უნდა გადავიდეთ დონალდ კნუტის მიერ შემოღებულ აღნიშვნაზე, რომელიც ცნობილია როგორც arrow notation. ეს აღნიშვნები შეიძლება დაიწეროს როგორც . როდესაც ჩვენ შემდეგ მივდივართ, რიცხვი, რომელსაც მივიღებთ, იქნება. ეს უდრის იმას, თუ სად არის სამეულის ჯამი. ჩვენ ახლა უაღრესად და ნამდვილად გადავაჭარბეთ ყველა სხვა უკვე ნახსენებ რიცხვს. ყოველივე ამის შემდეგ, მათგან ყველაზე დიდსაც კი მხოლოდ სამი ან ოთხი წევრი ჰყავდა ინდექსების სერიაში. მაგალითად, სუპერ სკევესის რიცხვიც კი არის "მხოლოდ" - მიუხედავად იმისა, რომ ფუძე და ექსპონენტები გაცილებით დიდია ვიდრე , ის მაინც აბსოლუტურად არაფერია მილიარდობით წევრიანი რიცხვითი კოშკის ზომასთან შედარებით.

ცხადია, ამხელა რიცხვების აღქმის გზა არ არსებობს... და მაინც, პროცესი, რომლითაც ისინი იქმნება, მაინც გასაგებია. ჩვენ ვერ გავიგეთ ძალაუფლების კოშკის მიერ მოცემული რეალური რიცხვი, რომელიც არის მილიარდი სამმაგი, მაგრამ ძირითადად შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ ასეთი კოშკი მრავალი წევრით და მართლაც ღირსეული სუპერკომპიუტერი შეძლებს ასეთი კოშკების მეხსიერებაში შენახვას, თუნდაც ის. არ შეუძლია მათი რეალური მნიშვნელობების გამოთვლა.

სულ უფრო და უფრო აბსტრაქტული ხდება, მაგრამ მხოლოდ გაუარესდება. თქვენ შეიძლება იფიქროთ, რომ ძალაუფლების კოშკი, რომლის ექსპონენტის სიგრძეა (უფრო მეტიც, ამ პოსტის წინა ვერსიაში ზუსტად ეს შეცდომა დავუშვი), მაგრამ ეს უბრალოდ . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ შეგეძლოთ გამოთვალოთ სამეულის სიმძლავრის კოშკის ზუსტი მნიშვნელობა, რომელიც შედგება ელემენტებისაგან, და შემდეგ თქვენ აიღეთ ეს მნიშვნელობა და შექმენით ახალი კოშკი მასში იმდენი, რამდენიც ... რაც იძლევა .

გაიმეორეთ ეს პროცესი ყოველი მომდევნო რიცხვით ( შენიშვნამარჯვნიდან დაწყებული) სანამ ამას ერთხელ გააკეთებთ და ბოლოს მიიღებთ . ეს არის რიცხვი, რომელიც უბრალოდ წარმოუდგენლად დიდია, მაგრამ ყოველ შემთხვევაში მის მისაღებად ნაბიჯები ნათელია, თუ ყველაფერი ძალიან ნელა კეთდება. ჩვენ აღარ შეგვიძლია რიცხვების გაგება ან წარმოდგენა, თუ რა პროცედურას ვიღებთ, მაგრამ მაინც შეგვიძლია გავიგოთ ძირითადი ალგორითმი, მხოლოდ საკმარისად დიდი ხნის განმავლობაში.

ახლა მოდით მოვამზადოთ გონება რეალურად აფეთქებისთვის.

გრეჰემის (გრეჰემის) ნომერი

რონალდ გრეჰემი

ასე მიიღებთ გრეჰემის რიცხვს, რომელიც გინესის რეკორდების წიგნში შედის, როგორც ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც ოდესმე გამოყენებულია მათემატიკური მტკიცებულებაში. აბსოლუტურად შეუძლებელია იმის წარმოდგენა, თუ რამდენად დიდია ის და ისეთივე რთულია ზუსტად ახსნა, თუ რა არის. ძირითადად, გრეჰემის რიცხვი მოქმედებს ჰიპერკუბებთან ურთიერთობისას, რომლებიც წარმოადგენენ თეორიულ გეომეტრიულ ფორმებს სამზე მეტი განზომილებით. მათემატიკოს რონალდ გრეჰემს (იხილეთ ფოტო) სურდა გაერკვია, რა იყო ზომების ყველაზე მცირე რაოდენობა, რომელიც შეინარჩუნებდა ჰიპერკუბის გარკვეულ თვისებებს სტაბილურად. (ბოდიშს გიხდით ამ ბუნდოვანი ახსნისთვის, მაგრამ დარწმუნებული ვარ, რომ ჩვენ ყველას გვჭირდება მინიმუმ ორი მათემატიკის ხარისხი, რომ უფრო ზუსტი იყოს.)

ნებისმიერ შემთხვევაში, გრეჰემის რიცხვი არის ზომების ამ მინიმალური რაოდენობის ზედა შეფასება. მაშ რამდენად დიდია ეს ზედა ზღვარი? მოდით დავუბრუნდეთ რიცხვს იმდენად დიდს, რომ საკმაოდ ბუნდოვნად გავიგოთ მისი მიღების ალგორითმი. ახლა, იმის ნაცვლად, რომ უბრალოდ ავიდეთ კიდევ ერთ დონეზე, ჩვენ დავთვლით რიცხვს, რომელსაც აქვს ისრები პირველ და ბოლო სამეულებს შორის. ახლა ჩვენ შორს ვართ იმის ოდნავი გაგებითაც კი, თუ რა არის ეს რიცხვი ან თუნდაც რა უნდა გაკეთდეს მის გამოსათვლელად.

ახლა გაიმეორეთ ეს პროცესი რამდენჯერმე ( შენიშვნაყოველ მომდევნო საფეხურზე ვწერთ წინა საფეხურზე მიღებული რიცხვის ტოლი ისრების რაოდენობას).

ეს არის, ქალბატონებო და ბატონებო, გრეჰემის რიცხვი, რომელიც ადამიანთა გაგების წერტილზე მაღლა დგას. ეს არის რიცხვი, რომელიც ბევრად აღემატება ნებისმიერ რიცხვს, რომლის წარმოდგენაც შეგიძლიათ - ის ბევრად აღემატება ნებისმიერ უსასრულობას, რომლის წარმოდგენაც შეგიძლიათ - ის უბრალოდ ეწინააღმდეგება ყველაზე აბსტრაქტულ აღწერასაც კი.

მაგრამ აქ არის უცნაური რამ. იმის გამო, რომ გრეჰემის რიცხვი ძირითადად მხოლოდ სამეულებია გამრავლებული, ჩვენ ვიცით მისი ზოგიერთი თვისება მისი რეალურად გაანგარიშების გარეშე. ჩვენ ვერ წარმოვადგენთ გრეჰემის რიცხვს ჩვენთვის ნაცნობი აღნიშვნით, თუნდაც მთელი სამყარო გამოვიყენოთ მის ჩასაწერად, მაგრამ შემიძლია მოგცეთ გრეჰემის რიცხვის ბოლო თორმეტი ციფრი ახლავე: . და ეს ყველაფერი არ არის: ჩვენ ვიცით მაინც გრეჰემის ნომრის ბოლო ციფრები.

რა თქმა უნდა, უნდა გვახსოვდეს, რომ ეს რიცხვი მხოლოდ ზედა ზღვარია გრეჰემის თავდაპირველ პრობლემაში. შესაძლებელია, რომ სასურველი თვისების შესასრულებლად საჭირო გაზომვების რეალური რაოდენობა გაცილებით, ბევრად ნაკლები იყოს. სინამდვილეში, 1980-იანი წლებიდან დარგის ექსპერტთა უმეტესობას სჯეროდა, რომ რეალურად მხოლოდ ექვსი განზომილებაა - რიცხვი იმდენად მცირე, რომ ჩვენ შეგვიძლია მისი გაგება ინტუიციურ დონეზე. ქვედა ზღვარი მას შემდეგ გაიზარდა მდე, მაგრამ ჯერ კიდევ არის ძალიან კარგი შანსი, რომ გრეჰემის პრობლემის გადაწყვეტა არ იყოს გრეჰემის მსგავსი დიდი რიცხვის სიახლოვეს.

უსასრულობამდე

ანუ არის გრეჰემის რიცხვზე დიდი რიცხვები? არსებობს, რა თქმა უნდა, დამწყებთათვის არის გრეჰემის ნომერი. რაც შეეხება მნიშვნელოვან რაოდენობას... ასევე, არის მათემატიკის (კერძოდ, კომბინატორიკის სახელით ცნობილი არეალი) და კომპიუტერული მეცნიერების რამდენიმე საშინლად რთული მიმართულება, რომლებშიც არის გრეჰემის რიცხვზე დიდი რიცხვები. მაგრამ ჩვენ თითქმის მივაღწიეთ იმ ზღვარს, რისი იმედიც შემიძლია გონივრულად ავხსნათ. მათთვის, ვინც საკმარისად დაუფიქრებელია, რომ კიდევ უფრო შორს წავიდეს, დამატებითი კითხვა შემოთავაზებულია თქვენი რისკის ქვეშ.

კარგი, ახლა საოცარი ციტატა, რომელიც მიეწერება დუგლას რეის ( შენიშვნამართალი გითხრათ, საკმაოდ სასაცილოდ ჟღერს:

”მე ვხედავ ბუნდოვანი რიცხვების გროვას, რომლებიც იმალება იქ სიბნელეში, სინათლის პატარა ლაქის უკან, რომელსაც გონების სანთელი იძლევა. ჩურჩულებენ ერთმანეთს; საუბარი ვინ იცის რა. შესაძლოა, მათ ძალიან არ მოგვწონს, რომ მათი პატარა ძმები გონებით დავიპყროთ. ან იქნებ ისინი უბრალოდ ცალსახა ციფრული ცხოვრების წესს უტარებენ, ჩვენს გაგებას მიღმა“.

ფილოსოფიური პრობლემები იგრძნობს თავს, როდესაც სხვა მოულოდნელად ვლინდება ერთ უსასრულობაში. მაგალითად, ყველა რიცხვს შორის ვირჩევთ მხოლოდ ლუწი რიცხვებს, ისევ ვიღებთ უსასრულო მიმდევრობას 2, 4, 6,... იმისათვის, რომ არ აგვერიოს უსასრულობებში, მათემატიკოსებმა დაიწყეს საუბარი სიმრავლეებსა და ძალებზე: ნატურალური რიცხვების სიმრავლე, მიუხედავად იმისა, რომ უსასრულოა, სიმძლავრით უდრის კომპლექტს კი. ეს გამომდინარეობს მარტივი წესის არსებობიდან, რომელიც ამყარებს ურთიერთობას ამ ორ სიმრავლეს შორის: საკმარისია გავყოთ 2-ზე ნებისმიერი ლუწი რიცხვი ან გავამრავლოთ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი 2-ზე, რათა დავრწმუნდეთ, რომ ეს წესი არის ერთი ერთზე.

მსგავსი წესი - მხოლოდ ცოტა უფრო რთული - ერთი ერთზე აკავშირებს ნატურალურ რიცხვებს ყველა მარტივ წილადს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მარტივი წილადების გადანომრვაც შესაძლებელია. ეს ნიშნავს, რომ რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს აქვს იგივე ძალა, რაც რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს, ანუ ეს ორი უსასრულობა ერთმანეთის „ტოლია“. მაშ, იქნებ უსასრულობა ერთია და ყველა უსასრულო სიმრავლე ამ გაგებით ყოველთვის „ტოლია“ ერთმანეთის? მაგრამ არა: ჯერ ერთი, შეუძლებელია ირაციონალური რიცხვების ხელახალი დათვლა - და ეს სიმრავლე აღმოჩნდება "უფრო დიდი" ვიდრე ნატურალური რიცხვების სიმრავლე - და მეორეც, ნებისმიერი სიმრავლისთვის შეიძლება "დიდი" აშენდეს.

განდევნილი გერმანელი მათემატიკოსი

ორივე ეს განცხადება დაამტკიცა გერმანელმა მათემატიკოსმა გეორგ კანტორმა (1845-1918). ვინაიდან უსასრულობები განსხვავებულია, მაშინ მათთვის ასევე შეგიძლიათ შეიყვანოთ საკუთარი სახელები - ასე ვთქვათ, ტრანსფინიტური რიცხვები. კანტორმა აღნიშნა ბუნებრივი რიგის ძალა ებრაული ანბანიდან ასო ალეფით ნულოვანი ინდექსით: א o, ხოლო უწყვეტობის სიმძლავრე არის სწორი ხაზის ან მთელი სწორი ხაზის უწყვეტი სეგმენტი - მან გამოიყენა იგივე ასო. , მაგრამ ერთეული ინდექსით: א l , რითაც ვარაუდობს, რომ არ შეიძლება არსებობდეს სხვა ტრანსფინირებული რიცხვი א o-სა და א l-ს შორის.

ის ფაქტი, რომ კონტინუუმი შეიძლება ჩაითვალოს წერტილთა ერთობლიობად, ცნობილი გახდა კანტორამდე ცოტა ხნით ადრე, მაგრამ მან ამის დამტკიცება კიდევ ერთხელ შეძლო სწორი ხაზის ყველა წერტილის - უფრო ზუსტად, ერთეულის სეგმენტის - "გადანომრვით". მხოლოდ „რიცხვების“ როლშია ამ შემთხვევაში არა ნატურალური რიცხვები, არამედ რიცხვთა უსასრულო მიმდევრობა. მხოლოდ ნულები და ერთეულებიც კი საკმარისია (დავარაუდოთ, რომ ყოველი "რიცხვი" დაიწერება ორობით სისტემაში): წილადების სიმრავლე 0.100010100111... სრულად განასახიერებს ყველა რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს ირაციონალურ რიცხვებთან ერთად 0-დან 1-მდე. კანტორის თეორიიდან მოჰყვა კიდევ რაღაც: მისმა "ალეფებმა" ნება დართო დათვალოს წერტილები, რომლებისთვისაც სწორი ხაზი ძალიან მოკლეა (აქედან გამომდინარე, სახელწოდება ტრანსფინიტი - ანუ მდებარეობს "უსასრულობის მიღმა").

კანტორის იდეებმა მას დიდი უბედურება დაუჯდა. მისმა ბევრმა კოლეგამ "ალეფების" თეორიაში აღმოაჩინა არა მხოლოდ ბევრი მათემატიკური პარადოქსი და აბსურდი - ეს იქნებოდა უბედურების ნახევარი. კანტორის მსჯელობაში ჩანდა მისი ღრმა რელიგიურობა და „აბსოლუტის“ გააზრების სურვილი. როგორც მან შეიმუშავა თავისი თეორია, მისი ურთიერთობა ქალაქ ჰალეს უნივერსიტეტის ხელისუფლებასთან სულ უფრო და უფრო ირღვევა და იმ მათემატიკოსებმაც კი, რომლებიც თავდაპირველად მასზე ენთუზიაზმით რეაგირებდნენ, მიატოვეს იგი. მე-19 საუკუნის ბოლოს მათემატიკური აზროვნების ცენტრი იყო საფრანგეთი, მაგრამ ორი წამყვანი ფრანგი მათემატიკოსი ჩარლზ ერმიტი (Charles Hermite, 1822-1901) და პოლ ემილ აპელი (1855-1930) კანტორის ნაწარმოებების ფრანგულ ენაზე თარგმნის წინააღმდეგაც კი საუბრობდნენ. შეიძლება მოსალოდნელი იყო, რომ ახალ იდეებს მხარს დაუჭერდა ფრანგული მათემატიკის პატრიარქი, ადამიანი, რომელიც მრავალი თვალსაზრისით ელოდა მის მომავალ განვითარებას მე-20 საუკუნეში, ანრი პუანკარე (, 1854-1912) ... მაგრამ არა - და ის ასევე. უარი თქვა "ფაქტობრივ უსასრულობაზე".

საუკუნის მიწურულს, თავად კანტორს სულ უფრო მეტად უტევდა დეპრესიის შეტევები. თანდათან ცხადი ხდება, რომ საუბარია სერიოზულ დაავადებაზე - მანიაკალურ-დეპრესიულ ფსიქოზზე. ემილ ბორელმა (ემილ ბორელი, 1871-1956), სიმრავლეების თეორიის ერთ-ერთმა ახალგაზრდა თაყვანისმცემელმა, თანდათანობით დაიწყო უარის გრძნობა მის მიმართ, რაც მხოლოდ სხვა მათემატიკოსთა ავადმყოფობის შესახებ ჭორებმა გააძლიერა. მრავალი წლის შემდეგ, მან მისწერა თავის მეგობარს პოლ ვალერის (Paul Valéry, 1871-1945), რომ იძულებული გახდა დაეტოვებინა სწავლა სიმრავლეების თეორიაში „ზედმეტად მუშაობის გამო, რამაც მას ეშინოდა სერიოზული ავადმყოფობის შემთხვევაში. რომ მან განაგრძო თავისი საქმე.

კითხვა დახურა კიდევ ერთმა ცნობილმა მათემატიკოსმა - ჟაკ ჰადამარმა (1865-1963), რომელმაც დაასკვნა, რომ მთელი შეთქმულება გასცდა "მათემატიკის საზღვრებს" და დაიწყო "ფსიქოლოგიასთან, ჩვენი გონების თვისებებთან" დაკავშირება. ეს გადაწყვეტილება ბევრს მახვილგონივრული ეჩვენა, მაგრამ, ლორენ გრეჰემისა და ჟან-მიშელ კანტორის აზრით, მან გამოიწვია ფრანგული მათემატიკის წინა პლანზე გასვლა. უსასრულო კომპლექტების ზომების შედარებისას და მათი უსასრულო ქვეჯგუფების შეკვეთისას სერიოზული მათემატიკური შინაარსის დანახვის შემდეგ, რუსმა მათემატიკოსებმა შეძლეს აეშენებინათ სკოლა, რომელიც დიდი ხნის განმავლობაში რჩებოდა პირველი და ჯერ კიდევ არ დაკარგა თავისი მნიშვნელობა.

ღმერთის ნომერი

სიმრავლეების თეორიის შემქმნელმა სიცოცხლის პირველი თერთმეტი წელი გაატარა პეტერბურგში. თუმცა, ამ ქალაქის კლიმატი მამისთვის ძალიან საზიანო აღმოჩნდა და 1856 წელს მთელი ოჯახი მაინის ფრანკფურტის ბევრად ხელსაყრელ კლიმატში გადავიდა. საბუნებისმეტყველო და ტექნიკური მეცნიერებების შესწავლა ახალგაზრდა კანტორმა ჩაატარა ევროპის სხვადასხვა ქალაქში - დარმშტადტიდან ციურიხამდე - და თან ახლდა საკმაოდ მოსალოდნელი ბრძოლა მშობლებთან, რომლებსაც უფრო უხაროდათ შვილში ინჟინრის დანახვა. აშკარა ფილოსოფიური მიდრეკილებების მქონე მათემატიკოსი. თუმცა, ჯორჯმა თანდათან დაძლია მათი წინააღმდეგობა და, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, აღმოჩნდა ჰალის უნივერსიტეტში.

მან თავისი ფილოსოფიური შეხედულებები განსაზღვრა ფორმულით „ზომიერი არისტოტელესური რეალიზმი“, მაგრამ ისინი ნათლად ხედავენ პითაგორას დარწმუნების პლატონიზმს. ფაქტობრივი უსასრულობა, რომელიც გამოხატულია ტრანსსასრულო რიცხვებით, მისთვის შუალედურ პოზიციას იკავებს სასრულსა და აბსოლუტურად უსასრულოს შორის - ანუ ღვთაებრივს შორის. გააცნობიერა, რომ კითხვის ასეთი ფორმულირება შეიძლება უფრო ახლოს იყოს ფილოსოფოსებთან, ვიდრე მათემატიკოსებთან, მან თავისი მთავარი ნაშრომი „მათემატიკურ-ფილოსოფიური გამოცდილება უსასრულობის დოქტრინაში“ უფრო ფილოსოფოსებს მიმართა, ვიდრე მათემატიკოსებს:

[ვგულისხმობდი] ორი სახის მკითხველი - ერთის მხრივ, ფილოსოფოსები, რომლებიც მოჰყვნენ მათემატიკის განვითარებას თანამედროვეობამდე და მეორე მხრივ, მათემატიკოსები, რომლებიც იცნობენ ანტიკური და თანამედროვე ფილოსოფიის უმნიშვნელოვანეს ფაქტებს..

და ასეთი მკითხველი იპოვა - სამშობლოში. გასაკვირი არ არის, რომ ისინი, უპირველეს ყოვლისა, ასევე იყვნენ პითაგორაელი პლატონისტები და ქრისტიანი მისტიკოსები. ალბათ მათ შორის ყველაზე ცნობილი ახლა - (1882-1937) - მიხვდა, რა გაგებით შეიძლება ვისაუბროთ რიცხვზე, რომელიც აღემატება ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს:

ამავე გაგებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ღმერთის ძალა არის ფაქტობრივი-უსასრულო, რადგან განსაზღვრული (რადგან ღმერთში ცვლილება არ არის), ამავე დროს ის აღემატება ნებისმიერ სასრულ ძალას..

ეს მეტაფორა საერთოდ არ იყო მეტაფორა თავად ფლორენსკის თვალში, რომლისთვისაც თეოლოგიასა და მათემატიკას შორის განსაკუთრებული ზღვარიც კი არ არსებობდა. გარდა ამისა, რელიგიური და ფილოსოფიური მიმართულება, რომელიც ფლორენსკიმ შეიმუშავა მე-20 საუკუნის დასაწყისში, ამტკიცებდა, რომ „ღმერთის სახელი თავად ღმერთია“. მაგრამ თავად სახელი წარმოადგენდა სახელების უსასრულო რაოდენობას, რიცხვების ჩათვლით.

მშვიდობით, ლუზიტანია!

1900 წელს ფლორენსკი ჩაირიცხა მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ფიზიკა-მათემატიკის ფაკულტეტზე, მაგრამ ოთხი წლის შემდეგ მიატოვა მათემატიკა საეკლესიო და საღვთისმეტყველო კარიერისთვის. თუმცა, უკვე საბჭოთა პერიოდში, მან ასევე შეწყვიტა ფილოსოფიისა და თეოლოგიის შესწავლა, მთლიანად ჩაეფლო ექსკლუზიურად პრაქტიკულ საინჟინრო საკითხებში. მან ბევრი ელექტროინჟინერია გააკეთა, მონაწილეობა მიიღო GOELRO გეგმის შემუშავებაში, შეისწავლა მუდმივი ყინვის თვისებები. ამ ყველაფერმა არ გადაარჩინა იგი ახალი ხელისუფლების რეპრესიებისგან და 1937 წელს რამდენიმე დაპატიმრების შემდეგ დახვრიტეს.

მათემატიკის დატოვება არ ნიშნავდა ფლორენსკის მათემატიკური საზოგადოების დატოვებას. მასთან ყველაზე ახლოს მყოფ ადამიანებს შორის იყვნენ ნიკოლაი ნიკოლაევიჩ ლუზინი (1883-1950) და დიმიტრი ფედოროვიჩ ეგოროვი (1869-1931). საკმარისი არ არის იმის თქმა, რომ ორივე დიდი მათემატიკოსია: 1923 წელს ეგოროვი აირჩიეს პრეზიდენტად და დაინიშნა მოსკოვის პირველი სახელმწიფო უნივერსიტეტის მათემატიკისა და მექანიკის ინსტიტუტის დირექტორად, სწორედ მასში ხედავენ თანამედროვე ისტორიკოსები საკვანძო ფიგურას. ფუნქციების თეორიის შექმნა და განვითარება. ლუზინის გამორჩეულ წარმატებებს შორის არის არა მხოლოდ რეალური მათემატიკური შედეგები, არამედ უნიკალური პედაგოგიური ენერგია: თითქმის ყველა ძირითადი რუსი მათემატიკოსი იყო მისი სტუდენტები ან მისი სტუდენტების მოსწავლეები. 20-იან წლებში უკვე განვითარებული "ლუზიტანია" ეწოდა. სწორედ მათ მოუწიათ უკვე 1930-იან წლებში აღმოჩენები გაეკეთებინათ, რამაც გზა გაუხსნა დღეს ისეთ პოპულარულ თემებს, როგორიცაა ფრაქტალები და ქაოსი.

ძალიან ხშირად მეცნიერების ბედს ნაკლებად განსაზღვრავს წარმატებები პრობლემების გადაჭრაში, უფრო მეტად კი მათი სწორი არჩევანი. ვინ იცის, რა არგუმენტები მოაქვს საკუთარ თავს მათემატიკოსს, არწმუნებს საკუთარ თავს, რომ აიღოს ერთ-ერთი მათგანის ამოხსნა და არა სხვისი. ეგოროვისა და ლუზინის შემთხვევაში, ლორენ გრეჰემისა და ჟან-მიშელ კანტორის მიხედვით, მათი რელიგიური შეხედულებები და შორეული მათემატიკური პერსპექტივების დანახვის უნარი დასახელების თამაშის უკან ფუნდამენტური მნიშვნელობა ჰქონდა. კანტორის ფილოსოფიურმა იდეებმა, რამაც ასე გაართულა მისი მათემატიკის მიღება დასავლეთ ევროპის ქვეყნებში და, უპირველეს ყოვლისა, რაციონალისტურ საფრანგეთში, სრულიად საპირისპირო როლი ითამაშა რუსეთში, სადაც საპირისპირო, მისტიური, ფილოსოფიური ტრადიცია არსებობდა.

რა თქმა უნდა, ეს განცხადება საკმაოდ რთული დასამტკიცებელია და ის უნდა განიხილებოდეს, როგორც ლამაზი და თავისებურად პროდუქტიული, მაგრამ მაინც ჰიპოთეზა. ეს უკვე გააკრიტიკეს - ალბათ საკმაოდ სამართლიანად - ჩვენმა მათემატიკოსებმა და ფილოსოფოსებმა. მაგრამ ჰიპოთეზის სახითაც კი, დასავლელი მკვლევარების მიერ შემოთავაზებული სურათი ძალზე მიმზიდველია: რუსული პოეზიისა და ზოგადად ხელოვნების „ვერცხლის ხანას“ მოჰყვება ფილოსოფიის „აღორძინება“, ის იცვლება „ოქროს ხანით“. მათემატიკა. შემდეგ, რა თქმა უნდა, ყველაფერი გადის, მთელი სილამაზე, თუ არ მოკვდება, სულ მცირე, ინვალიდია: 31-ში იეგოროვი დახვრიტეს, ამის შემდეგ მალევე აღიძრა საქმე ლუზინის წინააღმდეგ, მხოლოდ სასწაულით ის გაურბის დუნდულს, მაგრამ რეპრესიების მოედანი არ ზოგავს მის სტუდენტებს... და მაინც, სილამაზის ხსოვნა წარსულში რჩება და მასზე ფიქრი თავდაჯერებულობას ბადებს - ეს არ იყო შემთხვევითი.

პარტნიორის სიახლეები

ასევე არსებობს ციფრების უფრო გრძელი ჯგუფები, რომლებიც, რიცხვების ბოლოში ყოფნისას, ასევე შენარჩუნებულია მათ ნამრავლში. ციფრების ასეთი ჯგუფების რაოდენობა, როგორც ჩვენ გაჩვენებთ, უსასრულოდ დიდია.

ჩვენ ვიცით ციფრების ორნიშნა ჯგუფები, რომლებსაც აქვთ ეს თვისება: ეს არის 25 და 76. იმისათვის, რომ იპოვოთ სამნიშნა ჯგუფები, თქვენ უნდა დააყენოთ რიცხვი 25 ან 76 ისეთი ციფრით წინ ისე, რომ შედეგად მიღებული სამნიშნა. ციფრთა ჯგუფს ასევე აქვს საჭირო თვისება.

რა რიცხვი უნდა მიენიჭოს 76 ნომერს? კ-ით ავღნიშნოთ. შემდეგ გამოჩნდება სასურველი სამნიშნა რიცხვი:

100 ათასი + 76.

ციფრთა ამ ჯგუფში დამთავრებული რიცხვების ზოგადი გამოხატულებაა:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 და ა.შ.

გაამრავლეთ ამ ტიპის ორი რიცხვი; ჩვენ ვიღებთ:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

ყველა ტერმინს, გარდა ბოლო ორისა, აქვს მინიმუმ სამი ნული ბოლოს. აქედან გამომდინარე, პროდუქტი მთავრდება 1006+76-ით სხვაობის შემთხვევაში

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

იყოფა 1000-ზე. ეს აშკარად იქნება მხოლოდ k = 3-ისთვის.

ასე რომ, რიცხვთა სასურველ ჯგუფს აქვს ფორმა 376. მაშასადამე, 376 რიცხვის ნებისმიერი სიმძლავრე მთავრდება 376-ით. მაგალითად:

376 2 = 141376.

თუ ახლა გვინდა ვიპოვოთ იგივე თვისების მქონე ციფრების ოთხნიშნა ჯგუფი, 376-ის წინა მხარეს კიდევ ერთი ციფრის დამატება მოგვიწევს. თუ ამ ფიგურას l-ით აღვნიშნავთ, მაშინ მივალთ პრობლემამდე: რისთვისაც l პროდუქტი

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

მთავრდება 1000ლ + 376? თუ ჩვენ გავხსნით ფრჩხილებს ამ ნაწარმოებში და გავაუქმებთ ყველა ტერმინს, რომელიც მთავრდება 4 ნულით ან მეტით, მაშინ ტერმინები რჩება

752000ლ + 141376.

პროდუქტი მთავრდება 1000ლ + 376 თუ სხვაობაა

752000ლ + 141376 - (1000ლ + 376) = 751000ლ + 141000 = (750000ლ + 140000) + 1000(ლ + 1)

იყოფა 10000-ზე. ეს აშკარად იქნება მხოლოდ l = 9-ისთვის.

სასურველი ოთხნიშნა რიცხვების ჯგუფია 9376.

შედეგად მიღებული რიცხვების ოთხნიშნა ჯგუფი შეიძლება დაემატოს კიდევ ერთი ციფრით, რისთვისაც თქვენ უნდა მსჯელოთ ზუსტად ისე, როგორც ზემოთ. ვიღებთ 09376. კიდევ ერთი ნაბიჯის გადადგმისას ვპოულობთ რიცხვების ჯგუფს 109376, შემდეგ 7109376 და ა.შ.

ნომრების ეს მინიჭება მარცხნივ შეიძლება განხორციელდეს შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ "ნომერს", რომელსაც აქვს უსასრულო რიცხვი:

7109376.

ასეთი „რიცხვების“ დამატება და გამრავლება შესაძლებელია ჩვეულებრივი წესების მიხედვით: ბოლოს და ბოლოს, ისინი იწერება მარჯვნიდან მარცხნივ და შეკრება და გამრავლება („სვეტი“) ასევე შესრულებულია მარჯვნიდან მარცხნივ, ისე, რომ ჯამში და ნამრავლში ორი ასეთი რიცხვიდან შეგიძლიათ გამოთვალოთ ერთი ციფრი მეორის მიყოლებით - რამდენიც მოგწონთ ციფრები.

საინტერესოა, რომ ზემოთ დაწერილი უსასრულო „რიცხვი“ აკმაყოფილებს, რაც არ უნდა წარმოუდგენლად ჩანდეს, განტოლებას.

X 2 \u003d x.

ფაქტობრივად, ამ „რიცხვის“ (ანუ თავისთავად მისი ნამრავლის) კვადრატი მთავრდება 76-ით, ვინაიდან თითოეულ ფაქტორს აქვს ბოლოში 76; ამავე მიზეზით დაწერილი „რიცხვის“ კვადრატი სრულდება 376-ით; მთავრდება 9376-ით და ა.შ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სათითაოდ გამოვთვალოთ "რიცხვის" x 2 ციფრები, სადაც x = ... 7109376, მივიღებთ იგივე ციფრებს, რომლებიც არის x რიცხვში, ანუ x 2 = x.

ჩვენ განვიხილეთ რიცხვების ჯგუფები, რომლებიც მთავრდება 76 * . თუ მსგავსი მსჯელობა ხორციელდება 5-ით დამთავრებული რიცხვების ჯგუფებისთვის, მაშინ მივიღებთ ციფრთა შემდეგ ჯგუფებს:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 და ა.შ.

* (გაითვალისწინეთ, რომ 76 ციფრების ორნიშნა ჯგუფის პოვნა შესაძლებელია ზემოთ მოყვანილი არგუმენტების მსგავსი არგუმენტების გამოყენებით: საკმარისია გადაწყვიტოთ რომელი ციფრი წინასწარ უნდა მიენიჭოს 6 რიცხვს, რათა შედეგად მიღებული ორნიშნა რიცხვების ჯგუფს ჰქონდეს განსახილველი ქონება. მაშასადამე, "ნომერი" ... 7109376 შეიძლება მივიღოთ ნომრების მინიჭებით წინა ექვსზე, ერთმანეთის მიყოლებით.)

შედეგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ კიდევ ერთი უსასრულო "რიცხვი"

2890625,

ასევე აკმაყოფილებს განტოლებას x 2 = x. შეიძლება ეჩვენებინა, რომ ეს უსასრულო "რიცხვი" "ტოლია"

5 2 2 2...

მიღებული საინტერესო შედეგი უსასრულო "რიცხვების" ენაზე ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: განტოლებას x 2 \u003d x აქვს (გარდა ჩვეულებრივი x \u003d 0 და x \u003d 1) ორი "უსასრულო" ამონახსნები:

X = ...7109376 და x = ...2890625,

და სხვა ამონახსნებს (ათწილადი აღნიშვნით) არ აქვს * .

* (უსასრულო „რიცხვები“ შეიძლება ჩაითვალოს არა მხოლოდ ათობითი, არამედ სხვა რიცხვთა სისტემებშიც. საბაზისო p რიცხვების სისტემაში განხილულ ასეთ რიცხვებს p-adic რიცხვებს უწოდებენ. რაღაც ამ რიცხვების შესახებ შეიძლება წაიკითხოთ E.B. Dynkin-ისა და V.A. Uspensky-ის წიგნში „მათემატიკური საუბრები“ (Gostekhizdat, 1952).)

ორი რამ მართლაც უსასრულოა:
სამყარო და ადამიანის სისულელე.
თუმცა, სამყაროს შესახებ, რაც მე მაქვს
არის გარკვეული ეჭვები.
ალბერტ აინშტაინი

ჩვენ ცოტა ხნის წინ წამოვწიეთ ეს საკითხი, მაგრამ ის იმდენად მნიშვნელოვანია, რომ ღირს ამაზე უფრო დეტალურად საუბარი.

თუ ხანდახან ერთ ობიექტზე საუბრობენ ერთსა და იმავე სიტყვებზე, როგორც მეორეზე, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ ამ ობიექტებს აქვთ იგივე თვისებები.

იყო გრძელი და გაუგებარი წინადადება, ამიტომ მაგალითით აგიხსნით:
შეგიძლიათ თქვათ "დარეკე ტელეფონზე", ან შეგიძლიათ თქვათ "ზარი დარეკეთ" - ძალიან განსხვავებული მოქმედებები, მაგრამ ერთი ზმნა. აქედან არ შეიძლება დავასკვნათ, რომ ტელეფონთან დაკავშირებული ყველა სხვა მოქმედება (SMS-ის მიღება, მეხსიერება 200 ნომრისთვის და ა.შ.) დამახასიათებელია ზარისთვის. ეს იმდენად აშკარაა, რომ ეს პარაგრაფი აბსურდულად გამოიყურება.

მაგრამ რატომ ახერხებს ბევრი ადამიანი ასე მარტივად მოქმედებდეს სიტყვა უსასრულობასთან, თითქოს ეს რიცხვი იყოს? დიახ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე მოქმედება უსასრულობაზე, რომლებიც წარმატებით მუშაობს რიცხვებთან ( საჭირო დაჯავშნის გაკეთება):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (უფრო მეტიც, რეალური რიცხვების სერია ხშირად აფართოებს ელემენტების სხვა წყვილს +∞ და -∞ მკაცრად აწესებსროგორ მოვიქცეთ მათთან).

ეს ნიშნავს, რომ ასეთი „უსასრულობებით“ ყველაფრის გაკეთება არ შეიძლება. მაგალითად, ∞ - ∞ = ? (აქ გაურკვევლობა გვაქვს, ვინაიდან ამ ორი „უსასრულობის“ ბუნების გაცნობის გარეშე პასუხის გაცემა არ შეგვიძლია). ნებისმიერ შემთხვევაში, გულუბრყვილოა იმის თქმა, რომ სხვაობა იქნება ნული.

და თუ საუბარი იწყება იმაზე, რომ გარკვეული მნიშვნელობა მიდრეკილია ნულისკენ ან უსასრულობისკენ, მაშინ ძალიან ხშირად საკითხი არ აღწევს სწორ მსჯელობას. სხვათა შორის, ექვსი თვის წინ ჩვენ შევეხეთ უსასრულობის კონცეფციის ყოველდღიურ გამოყენებას. ამის შემდეგ ჩვენ მოვახერხეთ „დამტკიცდეს“, რომ სამკუთხედის კიდურების ჯამი ყოველთვის ჰიპოტენუზას უდრის. ეს არ იყო ძალიან მარტივი, მაგრამ სასარგებლო მაგალითი. არსებობს ბევრად უფრო ძველი და ცნობილი კონსტრუქციები, რომლებიც ისე მარტივად გამოიყურება, რომ სრულიად გაუგებარია, როგორ შეიძლება მათთან რაიმე პრობლემა.

გავიხსენოთ ზენოს კლასიკური აპორია:
თუ ცნობილია, რომ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და მისგან 1 კილომეტრის მანძილზეა, მაშინ იმ დროში, რასაც აქილევსი ამ კილომეტრზე ატარებს, კუ 100 მეტრზე დაცოცავს. შესაბამისად, როცა აქილევსი კიდევ 100 მეტრს დარბის, კუ 10 მეტრზე ცოცავს და ა.შ. პროცესი გაგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით და აქილევსი ვერასოდეს მიაღწევს კუს, თუმცა უფრო სწრაფად მოძრაობს.

ასეთ პრობლემებზე გასაგები სიტყვების თქმის უნარი აუცილებელია, რათა როგორმე გავიგოთ მსჯელობა მისწრაფების, ლიმიტის, უსასრულობის და სხვა ინტუიციურად მკაფიო, მაგრამ საკმაოდ რთული ცნებების შესახებ. ამის გარეშე, საუბარი ჩვეულებრივ იქცევა „ვის აქვს უფრო ხმამაღალი ხმა“, თუმცა მათემატიკური მეცნიერების აზრი სულაც არ არის ნებისმიერ ფასად დარწმუნება. სამწუხაროდ, ბოლო ათწლეულების განმავლობაში სულ უფრო ნაკლები ადამიანი განასხვავებს სწორს მეცნიერულისგან, ამიტომ ხშირად უფრო მნიშვნელოვანია ყვირილი დარწმუნებისთვის, ვიდრე სიმართლესთან მიახლოება.

მაშ, როგორ შეგიძლიათ გადაჭრათ აქილევსის და კუს პრობლემა? გთხოვთ არ დაწეროთ, რომ როგორც კი აქილევსი გაივლის მეორე კილომეტრს, კუს შორს დარჩება. ეს ყველასთვის გასაგებია, მაგრამ საერთოდ არ შველის. აქ თქვენ უნდა იგრძნოთ პრობლემა თავდაპირველ გადაწყვეტაში და არ გამოთქვათ საკუთარი შეხედულება იმავე პირობით.

Კარგ დღეს გისურვებთ!