რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

ფედერალური სახელმწიფო ავტონომიური საგანმანათლებლო დაწესებულება

უმაღლესი პროფესიული განათლება

ჩრდილოეთ (არქტიკა) ფედერალური უნივერსიტეტის სახელობის M.V. ლომონოსოვი"

მათემატიკის დეპარტამენტი

საკურსო სამუშაო

დისციპლინის მიხედვით მათემატიკა

პიატიშევა ანასტასია ანდრეევნა

ზედამხედველი

Ხელოვნება. მასწავლებელი

ბოროდკინა T.A.

არხანგელსკი 2014 წ

დავალება საკურსო სამუშაოსთვის

განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციები

საწყისი მონაცემები:

21. y=x 3, y=; 22.

შესავალი

ამ საკურსო ნამუშევარში მე მაქვს შემდეგი დავალებები: გამოვთვალო ფუნქციების გრაფიკებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობები, რომლებიც შემოსაზღვრულია განტოლებებით მოცემული ხაზებით, ასევე ესაზღვრება პოლარულ კოორდინატებში განტოლებებით მოცემული ხაზებით, გამოვთვალო მრუდების რკალების სიგრძეები განტოლებები მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში, მოცემული პარამეტრული განტოლებებით, რომლებიც მოცემულია განტოლებებით პოლარულ კოორდინატებში, აგრეთვე გამოთვალეთ სხეულების მოცულობა, რომლებიც შემოსაზღვრულია ზედაპირებით, ესაზღვრება ფუნქციათა გრაფიკებით და წარმოიქმნება ფუნქციების გრაფიკებით შემოსაზღვრული ფიგურების ბრუნვით. პოლარული ღერძი. ავარჩიე კურსის ნაშრომი თემაზე „განსაზღვრული ინტეგრალი. ამასთან დაკავშირებით, გადავწყვიტე გამეგო, რამდენად მარტივად და სწრაფად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტეგრალური გამოთვლები და რამდენად ზუსტად შეგიძლიათ გამოთვალოთ ჩემთვის დაკისრებული ამოცანები.

INTEGRAL არის მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება, რომელიც წარმოიშვა საჭიროებასთან დაკავშირებით, ერთი მხრივ, იპოვონ ფუნქციები მათი წარმოებულებით (მაგალითად, იპოვონ ფუნქცია, რომელიც გამოხატავს მოძრავი წერტილის მიერ გავლილ გზას, შესაბამისად. ამ წერტილის სიჩქარე) და, მეორე მხრივ, არეების, მოცულობების, რკალების სიგრძის, ძალების მუშაობის გარკვეული პერიოდის განმავლობაში და ა.შ.

საკურსო სამუშაოს თემის გამჟღავნება დავხარჯე შემდეგ გეგმაზე: განსაზღვრული ინტეგრალის განსაზღვრა და მისი თვისებები; მრუდის რკალის სიგრძე; მრუდი ტრაპეციის ფართობი; ბრუნვის ზედაპირის ფართობი.

ნებისმიერი f(x) უწყვეტი ფუნქციისთვის სეგმენტზე, ამ სეგმენტზე არის ანტიწარმოებული, რაც ნიშნავს, რომ არსებობს განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

თუ ფუნქცია F(x) არის f(x) უწყვეტი ფუნქციის რომელიმე ანტიდერივატი, მაშინ ეს გამოხატულება ცნობილია როგორც ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა:

განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებები:

თუ ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვარი ტოლია (a=b), მაშინ ინტეგრალი ნულის ტოლია:

თუ f(x)=1, მაშინ:

ინტეგრაციის საზღვრების გადაკეთებისას, განსაზღვრული ინტეგრალური ცვლილებები საპირისპიროს მიანიშნებს:

მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან:

თუ ფუნქციები ინტეგრირებადია, მაშინ მათი ჯამი ინტეგრირებადია და ჯამის ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს:

ასევე არსებობს ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები, როგორიცაა ცვლადის შეცვლა:

დიფერენციალური გამოსწორება:

ინტეგრაციის ნაწილების ფორმულა შესაძლებელს ხდის ინტეგრალის გაანგარიშების შემცირებას ინტეგრალის გამოთვლაზე, რაც შეიძლება უფრო მარტივი აღმოჩნდეს:

განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ის, რომ უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქციისთვის ეს არის გეომეტრიული გაგებით შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობი.

გარდა ამისა, განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ რეგიონის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით, სწორი ხაზებით და სად

თუ მრუდი ტრაპეცია შემოიფარგლება მრუდით, მოცემული პარამეტრული ხაზებით x = a და x = b და ღერძი Ox, მაშინ მისი ფართობი გვხვდება ფორმულით, სადაც ისინი განისაზღვრება ტოლობიდან:

. (12)

ძირითადი არე, ფართობი, რომელიც ნაპოვნია გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით, არის მრუდი სექტორი. ეს არის ორი სხივით და მრუდით შემოსაზღვრული უბანი, სადაც r და არის პოლარული კოორდინატები:

თუ მრუდი არის ფუნქციის გრაფიკი, სადაც და მისი წარმოებულის ფუნქცია უწყვეტია ამ სეგმენტზე, მაშინ Ox ღერძის გარშემო მრუდის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ფიგურის ზედაპირის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:

. (14)

თუ ფუნქცია და მისი წარმოებული უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ მრუდს აქვს სიგრძე ტოლი:

თუ მრუდის განტოლება მოცემულია პარამეტრული სახით

სადაც x(t) და y(t) არის უწყვეტი ფუნქციები უწყვეტი წარმოებულებით და შემდეგ მრუდის სიგრძე იპოვება ფორმულით:

თუ მრუდი მოცემულია განტოლებით პოლარულ კოორდინატებში, სადაც და უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ რკალის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

თუ მრუდი ტრაპეცია ბრუნავს Ox ღერძის გარშემო, ესაზღვრება უწყვეტი ხაზის სეგმენტით და სწორი ხაზებით x \u003d a და x \u003d b, მაშინ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება Ox ღერძის გარშემო ამ ტრაპეციის ბრუნვით, ტოლი იქნება :

თუ მრუდი ტრაპეცია შემოსაზღვრულია უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკით და ხაზებით x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

თუ ფიგურა შემოსაზღვრულია მრუდებით და ("უფრო მაღალია" ვიდრე სწორი ხაზებით x = a, x = b, მაშინ ბრუნვის სხეულის მოცულობა Ox ღერძის გარშემო იქნება ტოლი:

და y-ღერძის გარშემო (:

თუ მრუდი სექტორი ბრუნავს პოლარული ღერძის გარშემო, მაშინ მიღებული სხეულის ფართობი შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულით:

2. პრობლემის გადაჭრა

დავალება 14: გამოთვალეთ ფიგურების ფართობები, რომლებიც შემოსაზღვრულია ფუნქციის გრაფიკებით:

1) გამოსავალი:

სურათი 1 - ფუნქციების გრაფიკი

X იცვლება 0-დან

x 1 = -1 და x 2 = 2 - ინტეგრაციის ლიმიტები (ეს ჩანს სურათზე 1).

3) გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით (10).

პასუხი: S = .

დავალება 15: გამოთვალეთ განტოლებებით მოცემული წრფეებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობები:

1) გამოსავალი:

სურათი 2 - ფუნქციების გრაფიკი

განვიხილოთ ფუნქცია ინტერვალზე.

სურათი 3 - ფუნქციის ცვლადების ცხრილი

ვინაიდან, მაშინ 1 რკალი მოერგება ამ პერიოდს. ეს რკალი შედგება ცენტრალური ნაწილისგან (S 1) და გვერდითი ნაწილებისგან. ცენტრალური ნაწილი შედგება სასურველი ნაწილისა და მართკუთხედისაგან (S pr):. მოდით გამოვთვალოთ რკალის ერთი ცენტრალური ნაწილის ფართობი.

2) იპოვნეთ ინტეგრაციის საზღვრები.

და y = 6, შესაბამისად

ინტერვალისთვის, ინტეგრაციის საზღვრები.

3) იპოვეთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით (12).

მრუდი ინტეგრალური ტრაპეცია

ამოცანა 16: გამოთვალეთ პოლარულ კოორდინატებში განტოლებებით მოცემული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობები:

1) გამოსავალი:

სურათი 4 - ფუნქციების გრაფიკი,

სურათი 5 - ცვლადი ფუნქციების ცხრილი,

2) იპოვნეთ ინტეგრაციის საზღვრები.

აქედან გამომდინარე -

3) იპოვეთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით (13).

პასუხი: S=.

დავალება 17: გამოთვალეთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემული განტოლებებით მრუდების რკალების სიგრძეები:

1) გამოსავალი:

სურათი 6 - ფუნქციის გრაფიკი

სურათი 7 - ფუნქციის ცვლადების ცხრილი

2) იპოვნეთ ინტეგრაციის საზღვრები.

მერყეობს ln-დან ln-მდე, ეს აშკარაა მდგომარეობიდან.

3) იპოვეთ რკალის სიგრძე ფორმულის გამოყენებით (15).

პასუხი: ლ =

დავალება 18: გამოთვალეთ პარამეტრული განტოლებებით მოცემული მრუდების რკალების სიგრძე: 1)

1) გამოსავალი:

სურათი 8 - ფუნქციის გრაფიკი

სურათი 11 - ფუნქციის ცვლადების ცხრილი

2) იპოვნეთ ინტეგრაციის საზღვრები.

ts განსხვავდება, ეს აშკარაა მდგომარეობიდან.

ვიპოვოთ რკალის სიგრძე ფორმულის გამოყენებით (17).

დავალება 20: გამოთვალეთ ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეულების მოცულობა:

1) გამოსავალი:

სურათი 12 - ფუნქციების გრაფიკი:

2) იპოვნეთ ინტეგრაციის საზღვრები.

Z იცვლება 0-დან 3-მდე.

3) იპოვეთ ფიგურის მოცულობა ფორმულის გამოყენებით (18)

დავალება 21: გამოთვალეთ ფუნქციების გრაფიკებით შემოსაზღვრული სხეულების მოცულობები, ბრუნის ღერძი Ox: 1)

1) გამოსავალი:

სურათი 13 - ფუნქციების გრაფიკი

სურათი 15 - ფუნქციების გრაფიკის ცხრილი

2) იპოვნეთ ინტეგრაციის საზღვრები.

წერტილები (0;0) და (1;1) საერთოა ორივე გრაფიკისთვის, ამიტომ ეს არის ინტეგრაციის საზღვრები, რაც აშკარაა ფიგურაში.

3) იპოვეთ ფიგურის მოცულობა ფორმულის გამოყენებით (20).

დავალება 22: გამოთვალეთ პოლარული ღერძის გარშემო ფუნქციის გრაფიკებით შემოსაზღვრული ფიგურების ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი სხეულების ფართობი:

1) გამოსავალი:

სურათი 16 - ფუნქციის გრაფიკი

სურათი 17 - ცვლადების ცხრილი ფუნქციის გრაფიკისთვის

2) იპოვნეთ ინტეგრაციის საზღვრები.

c იცვლება

3) იპოვეთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით (22).

პასუხი: 3.68

დასკვნა

ჩემი კურსის დასრულების პროცესში თემაზე „განსაზღვრული ინტეგრალი“ ვისწავლე როგორ გამოვთვალო სხვადასხვა სხეულების ფართობი, ვიპოვო მრუდის სხვადასხვა რკალების სიგრძე და ასევე გამოვთვალო მოცულობები. ინტეგრალებთან მუშაობის ეს იდეა დამეხმარება ჩემს მომავალ პროფესიულ საქმიანობაში, როგორ სწრაფად და ეფექტურად შევასრულო სხვადასხვა მოქმედებები. ბოლოს და ბოლოს, თავად ინტეგრალი მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა, რომელიც წარმოიშვა საჭიროებასთან დაკავშირებით, ერთი მხრივ, იპოვონ ფუნქციები მათი წარმოებულებით (მაგალითად, იპოვონ ფუნქცია, რომელიც გამოხატავს გავლილ გზას. მოძრავი წერტილი, ამ წერტილის სიჩქარის მიხედვით), ხოლო მეორე მხრივ, გავზომოთ ფართობები, მოცულობა, რკალის სიგრძე, ძალების მუშაობა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში და ა.შ.

გამოყენებული წყაროების სია

1. დაწერილი, დ.თ. ლექციის შენიშვნები უმაღლესი მათემატიკის შესახებ: ნაწილი 1 - მე-9 გამოცემა. - M.: Iris-press, 2008. - 288გვ.

2. ბუგროვი, ია.ს., ნიკოლსკი, ს.მ. უმაღლესი მათემატიკა. დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლა: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512გვ.

3. V. A. Zorich, მათემატიკური ანალიზი. ნაწილი I. - რედ. მე-4 - მ.: MTSNMO, 2002. - 664გვ.

4. კუზნეცოვი დ.ა. "უმაღლეს მათემატიკაში ამოცანების კრებული" მოსკოვი, 1983 წ

5. Nikolsky S. N. "მათემატიკური ანალიზის ელემენტები". - მ.: ნაუკა, 1981 წ.

მსგავსი დოკუმენტები

სიბრტყე ფიგურების ფართობების გამოთვლა. ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის პოვნა. მრუდის ქვეშ არსებული ფართობის განსაზღვრა, მრუდეებს შორის ჩასმული ფიგურის ფართობი. რევოლუციის ორგანოების მოცულობების გაანგარიშება. ფუნქციის ინტეგრალური ჯამის ზღვარი. ცილინდრის მოცულობის განსაზღვრა.

პრეზენტაცია, დამატებულია 18/09/2013


ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეულების მოცულობების გამოთვლის თავისებურებები ორმაგი ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობის გამოყენებით. ხაზებით შემოსაზღვრული სიბრტყე ფიგურების ფართობის დადგენა ინტეგრაციის მეთოდით მათემატიკური ანალიზის დროს.

პრეზენტაცია, დამატებულია 17/09/2013


განსაზღვრული ინტეგრალის წარმოებული ცვლადის ზედა ზღვართან მიმართებაში. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ინტეგრალური ჯამის ზღვრად, ცვლადის ცვლილება და ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით. რკალის სიგრძე პოლარულ კოორდინატებში.

საკონტროლო სამუშაო, დამატებულია 22.08.2009წ


სიბრტყე მრუდების მასის მომენტები და ცენტრები. გიულდენის თეორემა. ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება რკალის სიბრტყეზე მდებარე ღერძის ირგვლივ ბრუნვით, რომელიც არ კვეთს მას, ტოლია რკალის სიგრძისა და წრის სიგრძის ნამრავლის.

ლექცია, დამატებულია 09/04/2003


პარამეტრების პოვნის ტექნიკა და ძირითადი ეტაპები: მრუდი ტრაპეციისა და სექტორის ფართობი, მრუდის რკალის სიგრძე, სხეულების მოცულობა, ბრუნვის სხეულების ზედაპირის ფართობი, ა. ცვლადი ძალა. ინტეგრალების გამოთვლის წესი და მექანიზმი MathCAD პაკეტის გამოყენებით.

საკონტროლო სამუშაო, დამატებულია 21/11/2010


აუცილებელი და საკმარისი პირობა განსაზღვრული ინტეგრალის არსებობისთვის. ორი ფუნქციის ალგებრული ჯამის (განსხვავების) განსაზღვრული ინტეგრალის ტოლობა. საშუალო მნიშვნელობის თეორემა - დასკვნა და დადასტურება. განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

პრეზენტაცია, დამატებულია 18/09/2013


ფუნქციების რიცხვითი ინტეგრაციის პრობლემა. განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოთვლა. განსაზღვრული ინტეგრალის პოვნა მართკუთხედების, შუა ოთხკუთხედების, ტრაპეციის მეთოდების გამოყენებით. ფორმულების შეცდომა და მეთოდების შედარება სიზუსტის თვალსაზრისით.

სასწავლო სახელმძღვანელო, დამატებულია 07/01/2009


ინტეგრალების გამოთვლის მეთოდები. განუსაზღვრელი ინტეგრალის ფორმულები და დამოწმება. მრუდი ტრაპეციის ფართობი. განუსაზღვრელი, განსაზღვრული და რთული ინტეგრალი. ინტეგრალების ძირითადი აპლიკაციები. განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალების გეომეტრიული მნიშვნელობა.

პრეზენტაცია, დამატებულია 01/15/2014


მოცემული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლა ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით. ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლა პოლარულ კოორდინატებზე გადასვლით. მეორე სახის მრუდი ინტეგრალის განსაზღვრის ტექნიკა მოცემული ხაზისა და ვექტორული ველის ნაკადის გასწვრივ.

საკონტროლო სამუშაოები, დამატებულია 14.12.2012წ


განსაზღვრული ინტეგრალის კონცეფცია, ფართობის, სხეულის მოცულობის და რკალის სიგრძის გამოთვლა, მრუდის სტატიკური მომენტი და სიმძიმის ცენტრი. ფართობის გამოთვლა მართკუთხა მრგვალი უბნის შემთხვევაში. მრუდი, ზედაპირული და სამმაგი ინტეგრალის გამოყენება.

მთავარი > ლექცია

ლექცია 18. განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციები.

18.1. სიბრტყე ფიგურების ფართობების გამოთვლა.

ცნობილია, რომ სეგმენტზე განსაზღვრული ინტეგრალი არის მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება f(x) ფუნქციის გრაფიკით. თუ გრაფიკი მდებარეობს x-ღერძის ქვემოთ, ე.ი. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, მაშინ ტერიტორიას აქვს "+" ნიშანი.

ფორმულა გამოიყენება მთლიანი ფართობის დასადგენად.

ზოგიერთი წრფით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით, თუ ცნობილია ამ ხაზების განტოლებები.

მაგალითი.იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2 ხაზებით.

სასურველი ფართობი (სურათზე დაჩრდილული) შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

18.2. მრუდი სექტორის ფართობის პოვნა.

მრუდი სექტორის ფართობის საპოვნელად, ჩვენ შემოგთავაზებთ პოლარული კოორდინატთა სისტემას. მრუდის განტოლებას, რომელიც ზღუდავს სექტორს ამ კოორდინატულ სისტემაში, აქვს ფორმა  = f(), სადაც  არის რადიუსის ვექტორის სიგრძე, რომელიც აკავშირებს ბოძს მრუდის თვითნებურ წერტილთან, ხოლო  არის დახრის კუთხე. ამ რადიუსის ვექტორიდან პოლარულ ღერძამდე.

მრუდი სექტორის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით

18.3. მრუდის რკალის სიგრძის გამოთვლა.

y y = f(x)

S i y i

პოლიხაზის სიგრძე, რომელიც შეესაბამება რკალს, შეიძლება მოიძებნოს როგორც
.

მაშინ რკალის სიგრძეა
.

გეომეტრიული მიზეზების გამო:

Ამავე დროს

მაშინ შეიძლება ამის ჩვენება

იმათ.

თუ მრუდის განტოლება მოცემულია პარამეტრულად, მაშინ, პარამეტრულად მოცემულის წარმოებულის გამოთვლის წესების გათვალისწინებით, ვიღებთ

,

სადაც x = (t) და y = (t).

თუ დაყენებულია სივრცითი მრუდიდა x = (t), y = (t) და z = Z(t), შემდეგ

თუ მრუდი დაყენებულია პოლარული კოორდინატები, მაშინ

,  = f().

მაგალითი:იპოვეთ x 2 + y 2 = r 2 განტოლებით მოცემული წრეწირი.

1 გზა.გამოვსახოთ ცვლადი y განტოლებიდან.

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული

მაშინ S = 2r. ჩვენ მივიღეთ წრის გარშემოწერილობის ცნობილი ფორმულა.

2 გზა.თუ მოცემულ განტოლებას წარმოვადგენთ პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში, მივიღებთ: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, ე.ი. ფუნქცია  = f() = r,
მაშინ

18.4. სხეულების მოცულობების გამოთვლა.

სხეულის მოცულობის გამოთვლა მისი პარალელური მონაკვეთების ცნობილი უბნებიდან.

მოდით იყოს V მოცულობის სხეული. სხეულის ნებისმიერი განივი მონაკვეთის ფართობი, Q, ცნობილია როგორც უწყვეტი ფუნქცია Q = Q(x). მოდით, სხეული გავყოთ „ფენებად“ ჯვარედინი მონაკვეთებით, რომლებიც გადიან სეგმენტის გაყოფის x i წერტილებში. იმიტომ რომ ფუნქცია Q(x) უწყვეტია დანაყოფის ზოგიერთ შუალედურ სეგმენტზე, შემდეგ ის იღებს მის მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს. მოდით დავასახელოთ ისინი შესაბამისად M i და m i .

თუ ამ უდიდეს და უმცირეს მონაკვეთებზე ავაშენოთ ცილინდრები გენერატორებით x ღერძის პარალელურად, მაშინ ამ ცილინდრების მოცულობა იქნება შესაბამისად M i x i და m i x i აქ x i = x i - x i -1.

დანაყოფის ყველა სეგმენტისთვის ასეთი კონსტრუქციების გაკეთების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ცილინდრებს, რომელთა მოცულობა, შესაბამისად, არის:
და
.

ვინაიდან დანაყოფი  მიდრეკილია ნულისკენ, ამ ჯამებს აქვთ საერთო ლიმიტი:

ამრიგად, სხეულის მოცულობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

ამ ფორმულის მინუსი არის ის, რომ მოცულობის საპოვნელად საჭიროა ვიცოდეთ ფუნქცია Q(x), რომელიც ძალიან პრობლემურია რთული სხეულებისთვის.

მაგალითი:იპოვეთ R რადიუსის სფეროს მოცულობა.

ბურთის განივი მონაკვეთებში მიიღება ცვლადი რადიუსის წრეები y. მიმდინარე x კოორდინატიდან გამომდინარე, ეს რადიუსი გამოიხატება ფორმულით
.

მაშინ კვეთის ფართობის ფუნქციას აქვს ფორმა: Q(x) = .

ჩვენ ვიღებთ ბურთის მოცულობას:

მაგალითი:იპოვეთ თვითნებური პირამიდის მოცულობა H სიმაღლით და ფუძის ფართობი S.

სიმაღლის პერპენდიკულარული სიბრტყეებით პირამიდის გადაკვეთისას, მონაკვეთში ვიღებთ ფუძის მსგავს ფიგურებს. ამ ფიგურების მსგავსების კოეფიციენტი უდრის x/H თანაფარდობას, სადაც x არის მანძილი მონაკვეთის სიბრტყიდან პირამიდის ზევით.

გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ მსგავსი ფიგურების ფართობების შეფარდება უდრის მსგავსების კოეფიციენტს კვადრატში, ე.ი.

აქედან ვიღებთ განივი უბნების ფუნქციას:

იპოვნეთ პირამიდის მოცულობა:

18.5. რევოლუციის ორგანოების მოცულობა.

განვიხილოთ y = f(x) განტოლებით მოცემული მრუდი. დავუშვათ, რომ f(x) ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე. თუ მის შესაბამისი მრუდი ტრაპეცია a და b ფუძეებით ბრუნავს Ox ღერძის გარშემო, მაშინ მივიღებთ ე.წ. რევოლუციის ორგანო.

იმიტომ რომ სხეულის თითოეული მონაკვეთი სიბრტყით x = const არის რადიუსის წრე, მაშინ ბრუნვის სხეულის მოცულობა მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ ზემოთ მიღებული ფორმულის გამოყენებით:

18.6. რევოლუციის სხეულის ზედაპირის ფართობი.

M i B

განმარტება: ბრუნვის ზედაპირის ფართობიმრუდი AB მოცემული ღერძის ირგვლივ არის ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის AB მრუდში ჩაწერილი გატეხილი ხაზების ბრუნვის ზედაპირების არეები, როდესაც ამ გატეხილი ხაზების ბმულების სიგრძეებიდან ყველაზე დიდი მიდრეკილია ნულისკენ.

რკალი AB გავყოთ n ნაწილად M 0 , M 1 , M 2 , … , M n წერტილებით. მიღებული მრავალწრფის წვეროებს აქვთ x i და y i კოორდინატები. ღერძის ირგვლივ გატეხილი ხაზის ბრუნვისას ვიღებთ ზედაპირს, რომელიც შედგება დამსხვრეული კონუსების გვერდითი ზედაპირისგან, რომლის ფართობი უდრის P i. ეს ტერიტორია შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

აქ S i არის თითოეული აკორდის სიგრძე.

ჩვენ ვიყენებთ ლაგრანჟის თეორემას (იხ. ლაგრანჟის თეორემა) მიმართებაში
.

წარმოგიდგენთ განსაზღვრული ინტეგრალის რამდენიმე გამოყენებას.

ბრტყელი ფიგურის ფართობის გამოთვლა

მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით (სად
), სწორი
,
და სეგმენტი
ცულები
, გამოითვლება ფორმულით

.

მრუდებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
და
(სად
) სწორი
და
გამოითვლება ფორმულით

.

თუ მრუდი მოცემულია პარამეტრული განტოლებებით
, შემდეგ ამ მრუდით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის ფართობი, სწორი ხაზები
,
და სეგმენტი
ცულები
, გამოითვლება ფორმულით

,

სადაც და განისაზღვრება განტოლებებიდან
,
, ა
ზე
.

მრუდი სექტორის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია განტოლებით პოლარულ კოორდინატებში მოცემული მრუდით
და ორი პოლარული რადიუსი
,
(
), გვხვდება ფორმულით

.

მაგალითი 1.27.გამოთვალეთ პარაბოლით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
და პირდაპირი
(სურათი 1.1).

	გადაწყვეტილება.ვიპოვოთ წრფისა და პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები. ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას , . სად , . შემდეგ ფორმულით (1.6) გვაქვს .

პლანტური მრუდის რკალის სიგრძის გამოთვლა

თუ მრუდი
სეგმენტზე
- გლუვი (ანუ წარმოებული
არის უწყვეტი), მაშინ ამ მრუდის შესაბამისი რკალის სიგრძე იპოვება ფორმულით

.

მრუდის პარამეტრულად მითითებისას
(
- მუდმივად დიფერენცირებადი ფუნქციები) მრუდის რკალის სიგრძე, რომელიც შეესაბამება პარამეტრის მონოტონურ ცვლილებას დან ადრე , გამოითვლება ფორმულით

მაგალითი 1.28.გამოთვალეთ მრუდის რკალის სიგრძე
,
,
.

გადაწყვეტილება.მოდი ვიპოვოთ წარმოებულები პარამეტრთან მიმართებაში :
,
. შემდეგ ფორმულით (1.7) ვიღებთ

.

2. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გამოთვლა

მოდით, თითოეული შეკვეთილი წყვილი ნომრები
რაღაც ტერიტორიიდან
შეესაბამება გარკვეულ რიცხვს
. მერე დაურეკა ორი ცვლადის ფუნქცია და ,
-დამოუკიდებელი ცვლადები ან არგუმენტები ,
-განმარტების სფერო ფუნქციები, მაგრამ კომპლექტი ყველა ფუნქციის მნიშვნელობა - მისი დიაპაზონი და აღვნიშნავთ
.

გეომეტრიულად, ფუნქციის დომენი, როგორც წესი, სიბრტყის რაღაც ნაწილია
შემოსაზღვრული ხაზებით, რომლებიც შეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ ეკუთვნოდეს ამ ტერიტორიას.

მაგალითი 2.1.იპოვეთ დომენი
ფუნქციები
.

გადაწყვეტილება.ეს ფუნქცია განისაზღვრება სიბრტყის იმ წერტილებში , რომელშიც , ან . თვითმფრინავის წერტილები, რისთვისაც , ქმნის რეგიონის საზღვარს . განტოლება განსაზღვრავს პარაბოლას (ნახ. 2.1; რადგან პარაბოლა არ ეკუთვნის ტერიტორიას , გამოსახულია წერტილოვანი ხაზის სახით). გარდა ამისა, ადვილია პირდაპირ გადაამოწმო, რომ ქულები , რომელიც მდებარეობს პარაბოლის ზემოთ. რეგიონი ღიაა და შეიძლება დაზუსტდეს უტოლობათა სისტემის გამოყენებით:

თუ ცვლადი მიეცით გარკვეული სტიმული
, ა დატოვე ის მუდმივი, შემდეგ ფუნქცია
მიიღებს დანამატს
დაურეკა პირადი ზრდის ფუნქცია ცვლადის მიხედვით :

ანალოგიურად, თუ ცვლადი იღებს ზრდას
, ა რჩება მუდმივი, შემდეგ ფუნქცია
მიიღებს დანამატს
დაურეკა პირადი ზრდის ფუნქცია ცვლადის მიხედვით :

თუ არსებობს შეზღუდვები:

,

,

მათ ეძახიან ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები
ცვლადების მიხედვით და შესაბამისად.

შენიშვნა 2.1. ანალოგიურად არის განსაზღვრული ნებისმიერი რაოდენობის დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები.

შენიშვნა 2.2. ვინაიდან ნაწილობრივი წარმოებული ნებისმიერი ცვლადის მიმართ არის წარმოებული ამ ცვლადის მიმართ, იმ პირობით, რომ სხვა ცვლადები მუდმივია, მაშინ ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენცირების ყველა წესი გამოიყენება ნებისმიერი რაოდენობის ცვლადის ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულების საპოვნელად.

მაგალითი 2.2.
.

გადაწყვეტილება. Ჩვენ ვიპოვეთ:

,

.

მაგალითი 2.3.იპოვნეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები
.

გადაწყვეტილება. Ჩვენ ვიპოვეთ:

,

,

.

სრული ფუნქციის ზრდა
განსხვავება ჰქვია

მთლიანი ფუნქციის გაზრდის ძირითადი ნაწილი
, წრფივად დამოკიდებული დამოუკიდებელი ცვლადების ნამატებზე
და
,ეწოდება ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალი და აღნიშნა
. თუ ფუნქციას აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები, მაშინ სრული დიფერენციალი არსებობს და ტოლია

,

სადაც
,
- დამოუკიდებელი ცვლადების თვითნებური ზრდა, რომელსაც უწოდებენ მათ დიფერენციალებს.

ანალოგიურად, სამი ცვლადის ფუნქციისთვის
მთლიანი დიფერენციალი მოცემულია

.

დაუშვით ფუნქცია
აქვს წერტილში
პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ. შემდეგ ვექტორი ეწოდება გრადიენტი ფუნქციები
წერტილში
და აღნიშნა
ან
.

შენიშვნა 2.3. სიმბოლო
ჰამილტონის ოპერატორს უწოდებენ და გამოითქმის "ნუმბლა".

მაგალითი 2.4.იპოვეთ ფუნქციის გრადიენტი წერტილში
.

გადაწყვეტილება. მოდი ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

,
,

და გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები წერტილში
:

,
,
.

აქედან გამომდინარე,
.

წარმოებული ფუნქციები
წერტილში
ვექტორის მიმართულებით
თანაფარდობის ზღვარს უწოდებენ
ზე
:

, სად
.

თუ ფუნქცია
დიფერენცირებადია, მაშინ წარმოებული ამ მიმართულებით გამოითვლება ფორმულით:

,

სადაც ,- კუთხეები, რომელი ვექტორი ფორმები ცულებით
და
შესაბამისად.

სამი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში
მიმართულების წარმოებული განისაზღვრება ანალოგიურად. შესაბამის ფორმულას აქვს ფორმა

,

სადაც
- ვექტორის მიმართულების კოსინუსები .

მაგალითი 2.5.იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
წერტილში
ვექტორის მიმართულებით
, სად
.

გადაწყვეტილება. ვიპოვოთ ვექტორი
და მისი მიმართულების კოსინუსები:

,
,
,
.

გამოთვალეთ ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები წერტილში
:

,
,
;
,
,
.

ჩანაცვლებით (2.1), ვიღებთ

.

მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ეწოდება ნაწილობრივი წარმოებულები, რომლებიც აღებულია პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულებიდან:

,

,

,

ნაწილობრივი წარმოებულები
,
დაურეკა შერეული . შერეული წარმოებულების მნიშვნელობები ტოლია იმ წერტილებში, სადაც ეს წარმოებულები უწყვეტია.

მაგალითი 2.6.იპოვეთ ფუნქციის მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები
.

გადაწყვეტილება. გამოთვალეთ პირველი რიგის პირველი ნაწილობრივი წარმოებულები:

,
.

მათი კიდევ ერთხელ დიფერენცირებისას მივიღებთ:

,
,

,
.

ბოლო გამონათქვამების შედარება, ჩვენ ამას ვხედავთ
.

მაგალითი 2.7.დაამტკიცეთ, რომ ფუნქცია
აკმაყოფილებს ლაპლასის განტოლებას

.

გადაწყვეტილება. Ჩვენ ვიპოვეთ:

,
.

,
.

.

Წერტილი
დაურეკა ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი (მინიმალური ) ფუნქციები
, თუ ყველა პუნქტისთვის
, გარდა
და მისი საკმარისად მცირე უბნის კუთვნილება, უთანასწორობა

(
).

ფუნქციის მაქსიმუმს ან მინიმუმს მისი ეწოდება ექსტრემალური . წერტილი, სადაც მიღწეულია ფუნქციის უკიდურესობა, ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილი .

თეორემა 2.1 (აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის ). თუ წერტილი
არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი
, მაშინ ამ წარმოებულებიდან ერთი მაინც არ არსებობს.

პუნქტები, რომლებზეც ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, ეწოდება სტაციონარული ან კრიტიკული . ექსტრემალური წერტილები ყოველთვის სტაციონარულია, მაგრამ სტაციონარული წერტილი შეიძლება არ იყოს უკიდურესი წერტილი. იმისათვის, რომ სტაციონარული წერტილი იყოს ექსტრემალური წერტილი, საკმარისი ექსტრემალური პირობები უნდა იყოს დაკმაყოფილებული.

ჯერ შემოვიღოთ შემდეგი აღნიშვნა :

,
,
,
.

თეორემა 2.2 (საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის ). დაუშვით ფუნქცია
არის ორჯერ დიფერენცირებადი წერტილის სამეზობლოში
და წერტილი
სტაციონარულია ფუნქციისთვის
. შემდეგ:

1.Თუ
, შემდეგ წერტილი
არის ფუნქციის უკიდურესი და
იქნება მაქსიმალური წერტილი
(
)და მინიმალური წერტილი ზე
(
).

2.Თუ
, შემდეგ წერტილში

ექსტრემი არ არის.

3.Თუ
, მაშინ შეიძლება იყოს ან არ იყოს ექსტრემუმი.

მაგალითი 2.8.გამოიკვლიეთ ფუნქცია ექსტრემისთვის
.

გადაწყვეტილება. ვინაიდან ამ შემთხვევაში პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ყოველთვის არსებობს, სტაციონარული (კრიტიკული) წერტილების საპოვნელად ჩვენ ვხსნით სისტემას:

,
,

სადაც
,
,
,
. ამრიგად, მივიღეთ ორი სტაციონარული წერტილი:
,
.

,
,
.

წერტილისთვის
ვიღებთ:, ანუ ამ ეტაპზე ექსტრემუმი არ არის. წერტილისთვის
ვიღებთ: და
, აქედან გამომდინარე

ამ ეტაპზე ეს ფუნქცია აღწევს ადგილობრივ მინიმუმს: .

მრუდი ტრაპეციის ფართობი ზემოდან შემოსაზღვრულია ფუნქციის გრაფიკით y=f(x), მარცხნივ და მარჯვნივ - სწორი x=aდა x=bშესაბამისად ქვემოდან - ღერძი ოქსი, გამოითვლება ფორმულით

მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მარჯვნივ ფუნქციის გრაფიკით x=φ(y), ზედა და ქვედა - სწორი y=dდა y=cშესაბამისად, მარცხნივ - ღერძი ოი:

ზემოდან შემოსაზღვრული მრუდი ფიგურის ფართობი ფუნქციის გრაფიკით y 2 \u003d f 2 (x), ქვემოთ - ფუნქციის გრაფიკი y 1 \u003d f 1 (x), მარცხნივ და მარჯვნივ - სწორი x=aდა x=b:

მრუდი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქციის გრაფიკებით x 1 \u003d φ 1 (y)და x 2 \u003d φ 2 (y), ზედა და ქვედა - სწორი y=dდა y=cშესაბამისად:

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ზემოდან მრუდი ტრაპეციის შემზღუდველი ხაზი მოცემულია პარამეტრული განტოლებებით. x = φ 1 (ტ), y \u003d φ 2 (t), სად α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=ბ. ეს განტოლებები განსაზღვრავს გარკვეულ ფუნქციას y=f(x)სეგმენტზე [ ა, ბ]. მრუდი ტრაპეციის ფართობი გამოითვლება ფორმულით

მოდით გადავიდეთ ახალ ცვლადზე x = φ 1 (ტ), მაშინ dx = φ" 1 (t) dt, ა y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), აქედან გამომდინარე, \begin(ჩვენება)

ფართობი პოლარულ კოორდინატებში

განვიხილოთ მრუდი სექტორი OAB, ესაზღვრება განტოლებით მოცემული ხაზით ρ=ρ(φ) პოლარულ კოორდინატებში, ორი სხივი OAდა OB, რისთვისაც φ=α , φ=β .

სექტორს ვყოფთ ელემენტარულ სექტორებად OM k-1მ კ ( k=1, …, n, M 0 =A, Mn=B). აღნიშნეთ მიერ Δφ კკუთხე სხივებს შორის OM k-1და OM კპოლარული ღერძით კუთხეების ფორმირება φk-1და φkშესაბამისად. თითოეული ელემენტარული სექტორი OM k-1 M kჩაანაცვლეთ რადიუსის მქონე წრიული სექტორით ρ k \u003d ρ (φ"k), სად φ" კ- კუთხის მნიშვნელობა φ ინტერვალიდან [ φk-1, φk] და ცენტრალური კუთხე Δφ კ. ბოლო სექტორის ფართობი გამოიხატება ფორმულით .

გამოხატავს "საფეხურიანი" სექტორის არეალს, რომელიც დაახლოებით ცვლის მოცემულ სექტორს OAB.

სექტორის ტერიტორია OABეწოდება "საფეხურიანი" სექტორის ფართობის ზღვარი n→∞და λ=max Δφ k → 0:

როგორც , მაშინ

მრუდის რკალის სიგრძე

დაუშვით ინტერვალით [ ა, ბ] მოცემულია დიფერენცირებადი ფუნქცია y=f(x), რომლის გრაფიკი არის რკალი . ხაზის სეგმენტი [ ა, ბ] გაყოფა ნნაწილების წერტილები x 1, x2, …, xn-1. ეს პუნქტები შეესაბამება ქულებს M1, M2, …, Mn-1რკალები, შეაერთეთ ისინი გატეხილი ხაზით, რომელსაც რკალში ჩაწერილ ხაზს უწოდებენ. ამ გატეხილი ხაზის პერიმეტრი აღინიშნება s n, ე.ი

განმარტება. ხაზის რკალის სიგრძე არის მასში ჩაწერილი პოლიხაზის პერიმეტრის ზღვარი, როდესაც ბმულების რაოდენობა მ კ-1 მ კიზრდება განუსაზღვრელი ვადით და მათგან ყველაზე დიდის სიგრძე ნულისკენ მიისწრაფვის:

სადაც λ არის უდიდესი რგოლის სიგრძე.

ჩვენ დავთვლით რკალის სიგრძეს მისი ზოგიერთი წერტილიდან, მაგალითად, ა. მოდით წერტილი M(x,y)რკალის სიგრძე არის ს, და წერტილში M"(x+Δx,y+Δy)რკალის სიგრძე არის s+Δs, სადაც, i>Δs - რკალის სიგრძე. სამკუთხედიდან MNM"იპოვეთ აკორდის სიგრძე: .

გეომეტრიული მოსაზრებებიდან გამომდინარეობს, რომ

ანუ სტრიქონის უსასრულოდ მცირე რკალი და აკორდი, რომელიც მას ეკვრის.

მოდით გარდავქმნათ აკორდის სიგრძის გამომხატველი ფორმულა:

ამ ტოლობის ზღვარზე გადასვლისას ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ფუნქციის წარმოებულისთვის s=s(x):

საიდანაც ვპოულობთ

ეს ფორმულა გამოხატავს სიბრტყე მრუდის რკალის დიფერენციალს და აქვს მარტივი გეომეტრიული გრძნობა: გამოხატავს პითაგორას თეორემას უსასრულო სამკუთხედისთვის MTN (ds=MT, ).

სივრცის მრუდის რკალის დიფერენციალი მოცემულია

განვიხილოთ პარამეტრული განტოლებებით მოცემული სივრცის ხაზის რკალი

სადაც α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) არის არგუმენტის დიფერენცირებადი ფუნქციები ტ, მაშინ

ამ თანასწორობის ინტეგრირება ინტერვალზე [ α, β ], ვიღებთ ფორმულას ამ ხაზის რკალის სიგრძის გამოსათვლელად

თუ ხაზი დევს სიბრტყეში ოქსი, მაშინ z=0ყველასთვის t∈[α, β], Ამიტომაც

იმ შემთხვევაში, როდესაც ბრტყელი ხაზი მოცემულია განტოლებით y=f(x) (a≤x≤b), სადაც f(x)არის დიფერენცირებადი ფუნქცია, ბოლო ფორმულა იღებს ფორმას

მოდით ბრტყელი ხაზი იყოს მოცემული განტოლებით ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) პოლარულ კოორდინატებში. ამ შემთხვევაში გვაქვს წრფის პარამეტრული განტოლებები x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, სადაც პარამეტრად აღებულია პოლარული კუთხე φ . Იმდენად, რამდენადაც

შემდეგ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს წრფის რკალის სიგრძეს ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) პოლარულ კოორდინატებში აქვს ფორმა

სხეულის მოცულობა

ვიპოვოთ სხეულის მოცულობა, თუ ცნობილია ამ სხეულის რომელიმე განივი მონაკვეთის ფართობი გარკვეული მიმართულების პერპენდიკულარული.

მოდით დავყოთ ეს სხეული ელემენტარულ ფენებად ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყეებით ოქსიდა განისაზღვრება განტოლებებით x=კონსტ. ნებისმიერი ფიქსირებული x∈ცნობილი ტერიტორია S=S(x)ამ სხეულის განივი მონაკვეთი.

თვითმფრინავებით მოწყვეტილი ელემენტარული ფენა x=x k-1, x=x კ (k=1, …, n, x 0 =a, xn=b), ვცვლით სიმაღლის ცილინდრით ∆x k =x k -x k-1და ბაზის ფართობი S(ξk), ξk ∈.

მითითებული ელემენტარული ცილინდრის მოცულობა გამოიხატება ფორმულით Δvk =E(ξk)Δxk. მოდით შევაჯამოთ ყველა ასეთი პროდუქტი

რომელიც არის მოცემული ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი S=S(x)სეგმენტზე [ ა, ბ]. იგი გამოხატავს საფეხურიანი სხეულის მოცულობას, რომელიც შედგება ელემენტარული ცილინდრებისგან და დაახლოებით ანაცვლებს მოცემულ სხეულს.

მოცემული სხეულის მოცულობა არის მითითებული საფეხურიანი სხეულის მოცულობის ზღვარი λ→0 , სად λ - ელემენტარული სეგმენტებიდან ყველაზე დიდი სიგრძე ∆x k. აღნიშნეთ მიერ ვმოცემული სხეულის მოცულობა, შემდეგ განსაზღვრებით

Მეორეს მხრივ,

მაშასადამე, სხეულის მოცულობა მოცემული ჯვარედინი მონაკვეთებისთვის გამოითვლება ფორმულით

თუ სხეული იქმნება ღერძის გარშემო ბრუნვით ოქსიმრგვალი ტრაპეცია ზემოდან შემოსაზღვრული უწყვეტი ხაზის რკალით y=f(x), სად a≤x≤b, მაშინ S(x)=πf 2 (x)და ბოლო ფორმულა ხდება:

კომენტარი. სხეულის მოცულობა მიღებული მრუდი ტრაპეციის ბრუნვით, რომელიც მარჯვნივ არის შემოსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკით x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), ღერძის გარშემო ოიგამოითვლება ფორმულით

ბრუნვის ზედაპირის ფართობი

განვიხილოთ ზედაპირი, რომელიც მიღებულია ხაზის რკალის ბრუნვით y=f(x) (a≤x≤b) ღერძის გარშემო ოქსი(ვუშვათ, რომ ფუნქცია y=f(x)აქვს უწყვეტი წარმოებული). ჩვენ ვაფიქსირებთ მნიშვნელობას x∈, ფუნქციის არგუმენტი გაიზრდება dx, რომელიც შეესაბამება ელემენტარული რკალის ბრუნვით მიღებულ „ელემენტარულ რგოლს“. Δl. ამ "რგოლს" ცვლის ცილინდრული რგოლი - სხეულის გვერდითი ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება მართკუთხედის ბრუნვით, რომლის საფუძველი ტოლია რკალის დიფერენციალისა. დლდა სიმაღლე h=f(x). ბოლო რგოლის მოჭრა და მისი გაშლა, მივიღებთ სიგანის ზოლს დლდა სიგრძე 2πy, სად y=f(x).

აქედან გამომდინარე, ზედაპირის ფართობის დიფერენციაცია გამოიხატება ფორმულით

ეს ფორმულა გამოხატავს ზედაპირის ფართობს, რომელიც მიიღება ხაზის რკალის ბრუნვით y=f(x) (a≤x≤b) ღერძის გარშემო ოქსი.