გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "არქსინი. არქსინის ცხრილი. ფორმულა y=arcsin(x)"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზიაში "Integral" მე -10 კლასისთვის 1C-დან
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის

რას შევისწავლით:
1. რა არის რკალი?
2. რკალის აღნიშვნა.
3. ცოტა ისტორია.
4. განმარტება.

6. მაგალითები.

რა არის არქსინი?

ბიჭებო, ჩვენ უკვე ვისწავლეთ როგორ ამოხსნათ განტოლებები კოსინუსისთვის, ახლა მოდით ვისწავლოთ როგორ ამოხსნათ მსგავსი განტოლებები სინუსისთვის. განვიხილოთ sin(x)= √3/2. ამ განტოლების ამოსახსნელად უნდა ააგოთ სწორი y= √3/2 და ნახოთ: რომელ წერტილებში კვეთს ის რიცხვით წრეს. ჩანს, რომ წრფე კვეთს წრეს ორ წერტილში F და G. ეს წერტილები იქნება ჩვენი განტოლების ამონახსნი. დაარქვით F-ს x1-ად და G-ს x2-ად. ჩვენ უკვე ვიპოვეთ ამ განტოლების ამონახსნი და მივიღეთ: x1= π/3 + 2πk,
და x2= 2π/3 + 2πk.

ამ განტოლების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია, მაგრამ როგორ უნდა ამოხსნას, მაგალითად, განტოლება
sin(x)=5/6. ცხადია, ამ განტოლებას ასევე ექნება ორი ფესვი, მაგრამ რა მნიშვნელობები შეესატყვისება ამონახს რიცხვთა წრეზე? მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ჩვენს sin(x)=5/6 განტოლებას.
ჩვენი განტოლების ამონახსნი იქნება ორი წერტილი: F= x1 + 2πk და G= x2 ​​+ 2πk,
სადაც x1 არის AF რკალის სიგრძე, x2 არის AG რკალის სიგრძე.
შენიშვნა: x2= π - x1, რადგან AF= AC - FC, მაგრამ FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
მაგრამ რა არის ეს წერტილები?

მსგავსი სიტუაციის წინაშე მათემატიკოსებმა მოიგონეს ახალი სიმბოლო - arcsin (x). ის იკითხება როგორც რკალი.

მაშინ ჩვენი განტოლების ამონაწერი დაიწერება შემდეგნაირად: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

და ზოგადი ამონახსნი: x= arcsin(5/6) + 2πk და x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
რკალი არის კუთხე (რკალის სიგრძე AF, AG) სინუსი, რომელიც უდრის 5/6-ს.

ცოტა არქსინის ისტორია

ჩვენი სიმბოლოს წარმოშობის ისტორია ზუსტად ისეთივეა, როგორიც არქოსის. პირველად, არქსინის სიმბოლო ჩნდება მათემატიკოს შერფერისა და ცნობილი ფრანგი მეცნიერის ჯ.ლ. ლაგრანჟი. ცოტა ადრე, არქსინის ცნება განიხილებოდა დ.ბერნულის მიერ, თუმცა სხვა სიმბოლოებთან ერთად დაწერა.

ეს სიმბოლოები საყოველთაოდ მიღებული მხოლოდ მე-18 საუკუნის ბოლოს გახდა. პრეფიქსი "რკალი" მოდის ლათინური "arcus"-დან (მშვილდი, რკალი). ეს საკმაოდ შეესაბამება კონცეფციის მნიშვნელობას: arcsin x არის კუთხე (ან შეიძლება ითქვას რკალი), რომლის სინუსი უდრის x-ს.

არქსინის განმარტება

თუ |а|≤ 1, მაშინ arcsin(a) არის ასეთი რიცხვი [- π/2; π/2], რომლის სინუსი არის a.

თუ |a|≤ 1, მაშინ განტოლებას sin(x)= a აქვს ამონახსნი: x= arcsin(a) + 2πk და
x= π - arcsin(a) + 2πk

გადავიწეროთ:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

ბიჭებო, ყურადღებით დააკვირდით ჩვენს ორ გადაწყვეტილებას. როგორ ფიქრობთ: შეიძლება თუ არა მათი დაწერა ზოგადი ფორმულით? გაითვალისწინეთ, რომ თუ რკალის წინ არის პლუს ნიშანი, მაშინ π მრავლდება ლუწი რიცხვით 2πk, ხოლო თუ ნიშანი არის მინუს, მაშინ გამრავლება არის კენტი 2k+1.
ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ ზოგად ამოხსნის ფორმულას sin(x)=a განტოლებისთვის:

არსებობს სამი შემთხვევა, როდესაც ადამიანს ურჩევნია გადაწყვეტილებების უფრო მარტივი გზით დაწერა:

sin(x)=0, შემდეგ x= πk,

sin(x)=1, შემდეგ x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, შემდეგ x= -π/2 + 2πk.

ნებისმიერი -1 ≤ a ≤ 1-ისთვის მოქმედებს შემდეგი ტოლობა: arcsin(-a)=-arcsin(a).

მოდით დავწეროთ კოსინუსების მნიშვნელობების ცხრილი საპირისპიროდ და მივიღოთ ცხრილი რკალისთვის.

მაგალითები

1. გამოთვალეთ: arcsin(√3/2).
ამოხსნა: მოდით arcsin(√3/2)= x, შემდეგ sin(x)= √3/2. განმარტებით: - π/2 ≤x≤ π/2. მოდით შევხედოთ სინუსის მნიშვნელობებს ცხრილში: x= π/3, რადგან sin(π/3)= √3/2 და –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
პასუხი: arcsin(√3/2)= π/3.

2. გამოთვალეთ: arcsin(-1/2).
ამოხსნა: მოდით arcsin(-1/2)= x, შემდეგ sin(x)= -1/2. განმარტებით: - π/2 ≤x≤ π/2. მოდით შევხედოთ სინუსების მნიშვნელობებს ცხრილში: x= -π/6, რადგან sin(-π/6)= -1/2 და -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
პასუხი: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. გამოთვალეთ: arcsin(0).
ამოხსნა: ვთქვათ arcsin(0)= x, შემდეგ sin(x)= 0. განმარტებით: - π/2 ≤x≤ π/2. მოდით შევხედოთ სინუსების მნიშვნელობებს ცხრილში: ეს ნიშნავს x = 0, რადგან sin(0)= 0 და - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. პასუხი: arcsin(0)=0.

4. ამოხსენით განტოლება: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk და x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
მოდით შევხედოთ მნიშვნელობას ცხრილში: arcsin (-√2/2)= -π/4.
პასუხი: x= -π/4 + 2πk და x= 5π/4 + 2πk.

5. ამოხსენით განტოლება: sin(x) = 0.
ამოხსნა: გამოვიყენოთ განმარტება, შემდეგ ამოხსნა დაიწერება სახით:
x= arcsin(0) + 2πk და x= π - arcsin(0) + 2πk. მოდით შევხედოთ მნიშვნელობას ცხრილში: arcsin(0)= 0.
პასუხი: x= 2πk და x= π + 2πk

6. ამოხსენით განტოლება: sin(x) = 3/5.
ამოხსნა: გამოვიყენოთ განმარტება, შემდეგ ამოხსნა დაიწერება სახით:
x= arcsin(3/5) + 2πk და x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
პასუხი: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. ამოხსენით უტოლობა sin(x) ამოხსნა: სინუსი არის რიცხვითი წრის წერტილის ორდინატი. ასე რომ: უნდა ვიპოვოთ ისეთი პუნქტები, რომელთა ორდინატი 0,7-ზე ნაკლებია. დავხაზოთ სწორი ხაზი y=0.7. ის კვეთს რიცხვით წრეს ორ წერტილში. უტოლობა y მაშინ უტოლობის ამონახსნი იქნება: -π – arcsin(0.7) + 2πk

პრობლემები რკალზე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1) გამოთვალეთ: ა) რკალი (√2/2), ბ) რკალი (1/2), გ) რკალი (1), დ) რკალი (-0,8).
2) ამოხსენით განტოლება: ა) sin(x) = 1/2, ბ) sin(x) = 1, გ) sin(x) = √3/2, დ) sin(x) = 0.25,
ე) sin(x) = -1.2.
3) ამოხსენით უტოლობა: ა) sin (x)> 0,6, ბ) ცოდვა (x) ≤ 1/2.

წარმოდგენილია შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების გამოყვანის მეთოდი. მიიღება უარყოფითი არგუმენტების ფორმულები, გამონათქვამები, რომლებიც ეხება რკალს, არქოზინს, არქტანგენტს და არკოტანგენტს. მითითებულია რკალების, რკოზინების, არქტანგენტების და არკოტანგენტების ჯამის ფორმულების გამოყვანის მეთოდი.

ძირითადი ფორმულები

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების წარმოშობა მარტივია, მაგრამ მოითხოვს კონტროლს პირდაპირი ფუნქციების არგუმენტების მნიშვნელობებზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია და, შესაბამისად, მათი შებრუნებული ფუნქციები მრავალმნიშვნელოვანია. თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ნიშნავს მათ ძირითად მნიშვნელობებს. ძირითადი მნიშვნელობის დასადგენად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ვიწროვდება იმ ინტერვალამდე, რომელზედაც იგი ერთფეროვანი და უწყვეტია. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების წარმოშობა ეფუძნება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულებს და შებრუნებული ფუნქციების, როგორც ასეთი, თვისებებს. ინვერსიული ფუნქციების თვისებები შეიძლება დაიყოს ორ ჯგუფად.

პირველი ჯგუფი მოიცავს ფორმულებს, რომლებიც მოქმედებს ინვერსიული ფუნქციების მთელ დომენში:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg (arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

მეორე ჯგუფი მოიცავს ფორმულებს, რომლებიც მოქმედებს მხოლოდ ინვერსიული ფუნქციების მნიშვნელობების კომპლექტზე.
arcsin(sin x) = xზე
arccos(cos x) = xზე
arctg(tg x) = xზე
arcctg(ctg x) = xზე

თუ ცვლადი x არ მოხვდება ზემოაღნიშნულ ინტერვალში, მაშინ ის უნდა შემცირდეს მასზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების გამოყენებით (შემდგომში n არის მთელი რიცხვი):
sinx = ცოდვა (-x-π); sinx = sin (π-x); sinx = sin (x+2πn);
cos x = cos(-x); cosx = cos(2π-x); cosx = cos(x+2πn);
tgx = tg(x+πn); ctgx = ctg(x+πn)

მაგალითად, თუ ცნობილია, რომ
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x)) = π - x.

ადვილი მისახვედრია, რომ π - x ხვდება საჭირო ინტერვალში. ამისათვის გაამრავლეთ -1: და დაამატეთ π: ან ყველაფერი სწორია.

უარყოფითი არგუმენტის შებრუნებული ფუნქციები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზემოაღნიშნული ფორმულებისა და თვისებების გამოყენებით ვიღებთ უარყოფითი არგუმენტის შებრუნებული ფუნქციების ფორმულებს.

arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

მას შემდეგ გამრავლებით -1-ზე გვაქვს: ან
სინუს არგუმენტი ხვდება რკალის დიაპაზონის დასაშვებ დიაპაზონში. ამიტომ ფორმულა სწორია.

ანალოგიურად სხვა ფუნქციებისთვის.
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

არქტანი(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

არქსინის გამოხატვა არკოზინის და არქტანგენტის რკოტანგენტის მიხედვით

არქსინს გამოვხატავთ არკოზინის მიხედვით.

ფორმულა მოქმედებს ამ უტოლობაზე, რადგან

ამის დასადასტურებლად, ჩვენ ვამრავლებთ უტოლობას -1-ზე და ვამატებთ π/2: ან ყველაფერი სწორია.

ანალოგიურად, ჩვენ გამოვხატავთ არქტანგენტს არკოტანგენტის მეშვეობით.

არქსინის გამოხატვა არქტანგენტის მეშვეობით, არკოზინი რკოტანგენტის მეშვეობით და პირიქით

ჩვენ ვაგრძელებთ ანალოგიურად.

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ რკალების ჯამის ფორმულას.

მოდით დავადგინოთ ფორმულის გამოყენების საზღვრები. იმისათვის, რომ არ შევეხოთ რთულ გამონათქვამებს, შემოგვაქვს აღნიშვნა: X = arcsin x, Y = arcsin y. ფორმულა გამოიყენება, როდესაც
. გარდა ამისა, აღვნიშნავთ, რომ მას შემდეგ arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y,მაშინ სხვადასხვა ნიშნისთვის x და y, X და Y ასევე აქვთ სხვადასხვა ნიშნები და, შესაბამისად, უტოლობები მოქმედებს. x და y-ის სხვადასხვა ნიშნის პირობა შეიძლება დაიწეროს ერთი უტოლობით: . ანუ როცა ფორმულა მოქმედებს.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა x > 0 და y > 0 , ან X > 0 და Y > 0 . მაშინ ფორმულის გამოყენებადობის პირობაა უტოლობის შესრულება: . ვინაიდან კოსინუსი მონოტონურად მცირდება არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის ინტერვალში საწყისიდან 0 , π-მდე, მაშინ ავიღებთ ამ უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა გვერდების კოსინუსს და გარდაქმნით გამოსახულებას:
;
;
;
.
მას შემდეგ, რაც და ; მაშინ აქ შეტანილი კოსინუსები უარყოფითი არ არის. უტოლობის ორივე ნაწილი დადებითია. ჩვენ კვადრატში ვაქცევთ მათ და გარდაქმნით კოსინუსებს სინუსების მეშვეობით:
;
.
შემცვლელი sin X = ცოდვა arc sin x = x:
;
;
;
.

ასე რომ, მიღებული ფორმულა მოქმედებს ან.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა x > 0, y > 0 და x 2 + y 2 > 1 . აქ სინუს არგუმენტი იღებს მნიშვნელობებს: . ის უნდა შემცირდეს რკალის მნიშვნელობის ფართობის ინტერვალამდე:

Ისე,

ი.

x და y-ით ჩანაცვლება - x და - y-ით, გვაქვს

ი.
ჩვენ ვასრულებთ გარდაქმნებს:

ი.
ან

ი.

ასე რომ, მივიღეთ შემდეგი გამონათქვამები რკალების ჯამისთვის:

ზე ან ;

ამისთვის და ;

ზე და.

რა არის არქსინი, არკოზინი? რა არის რკალის ტანგენსი, რკალის ტანგენსი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ცნებებისკენ რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი, არკოტანგენსი სტუდენტური მოსახლეობა ფრთხილია. მას ეს ტერმინები არ ესმის და, შესაბამისად, არ ენდობა ამ დიდებულ ოჯახს.) მაგრამ ამაოდ. ეს ძალიან მარტივი ცნებებია. რაც, სხვათა შორის, ბევრად უადვილებს მცოდნე ადამიანს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას!

დაბნეული ხართ სიმარტივეში? ამაოდ.) სწორედ აქ და ახლა ამაში დარწმუნდებით.

რა თქმა უნდა, გასაგებად, კარგი იქნებოდა ვიცოდეთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. დიახ, მათი ცხრილის მნიშვნელობები ზოგიერთი კუთხისთვის ... ყოველ შემთხვევაში, ყველაზე ზოგადი თვალსაზრისით. მაშინ არც აქ იქნება პრობლემა.

ასე რომ, გაკვირვებული ვართ, მაგრამ გახსოვდეთ: რკალი, არქოზინი, არქტანგენსი და არქტანგენსი მხოლოდ რამდენიმე კუთხეა.Არც მეტი არც ნაკლები. არის კუთხე, ვთქვათ 30°. და არის კუთხე arcsin0.4. ან arctg (-1.3). არსებობს ყველანაირი კუთხე.) თქვენ უბრალოდ შეგიძლიათ დაწეროთ კუთხეები სხვადასხვა გზით. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ კუთხე გრადუსებში ან რადიანებში. ან შეგიძლია - მისი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის მეშვეობით...

რას ნიშნავს გამოთქმა

arcsin 0.4?

ეს არის კუთხე, რომლის სინუსი არის 0,4! Დიახ დიახ. ეს არის არქსინის მნიშვნელობა. კონკრეტულად ვიმეორებ: arcsin 0.4 არის კუთხე, რომლის სინუსი არის 0.4.

და ეს არის ის.

იმისთვის, რომ ეს უბრალო აზრი დიდხანს შემენარჩუნებინა, ამ საშინელ ტერმინს - რკალს - ახსნასაც კი მივცემ:

რკალი ცოდვა 0,4
კუთხე, რომლის სინუსი უდრის 0.4

როგორც წერია ისე ისმის.) თითქმის. კონსოლი რკალინიშნავს რკალი(სიტყვა თაღოვანიიცით?), რადგან უძველესი ხალხი კუთხეების ნაცვლად რკალებს იყენებდა, მაგრამ ეს არ ცვლის საქმის არსს. დაიმახსოვრეთ მათემატიკური ტერმინის ეს ელემენტარული გაშიფვრა! უფრო მეტიც, რკალის კოსინუსისთვის, რკალის ტანგენტისთვის და რკალის ტანგენტისთვის, დეკოდირება განსხვავდება მხოლოდ ფუნქციის სახელით.

რა არის arccos 0.8?
ეს არის კუთხე, რომლის კოსინუსი არის 0,8.

რა არის არქტანი (-1,3)?
ეს არის კუთხე, რომლის ტანგენტია -1,3.

რა არის arcctg 12?
ეს არის კუთხე, რომლის კოტანგენსი არის 12.

ასეთი ელემენტარული გაშიფვრა საშუალებას იძლევა, სხვათა შორის, თავიდან ავიცილოთ ეპიკური შეცდომები.) მაგალითად, გამოთქმა arccos1,8 საკმაოდ მყარად გამოიყურება. დავიწყოთ დეკოდირება: arccos1,8 არის კუთხე, რომლის კოსინუსი უდრის 1,8-ს... ჰოპ-ჰოპ!? 1.8!? კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე მეტი!

უფლება. გამოთქმას arccos1,8 აზრი არ აქვს. და ასეთი გამოთქმის დაწერა გარკვეულ პასუხში დიდად გაამხიარულებს შემმოწმებელს.)

ელემენტარული, როგორც ხედავთ.) თითოეულ კუთხეს აქვს თავისი პირადი სინუსი და კოსინუსი. და თითქმის ყველას აქვს თავისი ტანგენსი და კოტანგენსი. მაშასადამე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცოდნით, შეგიძლიათ თავად ჩამოწეროთ კუთხე. ამისთვის განკუთვნილია არქსინები, არკოზინები, არქტანგენტები და არკოტანგენტები. გარდა ამისა, მე მთელ ამ ოჯახს დავარქმევ დამამცირებელს - თაღები.ნაკლები აკრეფა.)

ყურადღება! ელემენტარული სიტყვიერი და შეგნებულითაღების გაშიფვრა საშუალებას გაძლევთ მშვიდად და თავდაჯერებულად გადაჭრათ სხვადასხვა ამოცანები. Და ში უჩვეულოდავალებებს მხოლოდ ის ინახავს.

შესაძლებელია თუ არა თაღებიდან ჩვეულებრივ გრადუსებზე ან რადიანებზე გადასვლა?- მესმის ფრთხილი კითხვა.)

Რატომაც არა!? ადვილად. შეგიძლია იქ წახვიდე და უკან. უფრო მეტიც, ზოგჯერ საჭიროა ამის გაკეთება. თაღები მარტივი რამ არის, მაგრამ მათ გარეშე რაღაცნაირად უფრო მშვიდია, არა?)

მაგალითად: რა არის arcsin 0.5?

მოდით შევხედოთ გაშიფვრას: arcsin 0.5 არის კუთხე, რომლის სინუსი არის 0.5.ახლა ჩართეთ თავი (ან გუგლი)) და გახსოვთ რომელ კუთხეს აქვს სინუსი 0,5? სინუსი არის 0,5 y კუთხე 30 გრადუსი. სულ ეს არის: arcsin 0.5 არის 30° კუთხე.შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ:

რკალი 0,5 = 30°

ან, უფრო მყარად, რადიანების თვალსაზრისით:

ესე იგი, შეგიძლიათ დაივიწყოთ რკალი და იმუშაოთ ჩვეულებრივი გრადუსით ან რადიანებით.

თუ მიხვდა რა არის რკალი, არკოზინი... რა არის არქტანგენსი, არკოტანგენსი...შემდეგ თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაუმკლავდეთ, მაგალითად, ასეთ ურჩხულს.)

უცოდინარი ადამიანი საშინლად უკან დაიხევს, დიახ...) და მცოდნე დაიმახსოვრეთ გაშიფვრა:რკალი არის კუთხე, რომლის სინუსი არის ... ისე და ა.შ. თუ მცოდნე ადამიანმა იცის სინუსების ცხრილიც... კოსინუსების ცხრილი. ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილი, მაშინ არანაირი პრობლემა არ არის!

საკმარისია გავითვალისწინოთ, რომ:

გავშიფრავ, ე.ი. თარგმნეთ ფორმულა სიტყვებად: კუთხე, რომლის ტანგენტია 1 (arctg1)არის 45° კუთხე. ან, რაც იგივეა, Pi/4. ანალოგიურად:

და ეს ყველაფერი... ჩვენ ყველა თაღს ვცვლით რადიანებში მნიშვნელობებით, ყველაფერი შემცირებულია, რჩება გამოთვლა რამდენი იქნება 1 + 1. ეს იქნება 2.) რომელია სწორი პასუხი.

ასე შეგიძლიათ (და უნდა) გადახვიდეთ რკალებიდან, რკოსინებიდან, არქტანგენტებიდან და არქტანგენტებიდან ჩვეულებრივ გრადუსებსა და რადიანებზე. ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს საშინელ მაგალითებს!

ხშირად, ასეთ მაგალითებში, შიგნით არის თაღები უარყოფითიღირებულებები. მაგალითად, arctg(-1.3), ან, მაგალითად, arccos(-0.8)... ეს არ არის პრობლემა. აქ მოცემულია რამდენიმე მარტივი ფორმულა უარყოფითიდან დადებითზე გადასვლისთვის:

თქვენ უნდა, ვთქვათ, განსაზღვროთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ამის ამოხსნა შეგიძლიათ ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, მაგრამ არ გსურთ მისი დახატვა. Კარგი. მიდის უარყოფითიმნიშვნელობები რკალის შიგნით კოსინუსში დადებითიმეორე ფორმულის მიხედვით:

არკოზინის შიგნით უკვე მარჯვნივ დადებითიმნიშვნელობა. Რა

თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ. რჩება რადიანების ჩანაცვლება რკალის კოსინუსის ნაცვლად და გამოვთვალოთ პასუხი:

Სულ ეს არის.

შეზღუდვები არქსინზე, არკოზინზე, არქტანგენზე, არკოტანგენზე.

არის თუ არა პრობლემა 7-9 მაგალითებთან? კარგი, დიახ, არის რაღაც ხრიკი.)

ყველა ეს მაგალითი, 1-დან მე-9-მდე, საგულდაგულოდ არის დალაგებული თაროებზე 555-ე ნაწილში. რა, როგორ და რატომ. ყველა საიდუმლო ხაფანგითა და ხრიკებით. პლუს გზები გადაწყვეტის მკვეთრად გამარტივებისთვის. სხვათა შორის, ეს განყოფილება შეიცავს უამრავ სასარგებლო ინფორმაციას და პრაქტიკულ რჩევებს ზოგადად ტრიგონომეტრიის შესახებ. და არა მარტო ტრიგონომეტრიაში. ძალიან ეხმარება.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მოცემულია შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და მათი გრაფიკები. ასევე შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულები, ჯამებისა და განსხვავებების ფორმულები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტება

ვინაიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია, მათზე შებრუნებული ფუნქციები არ არის ერთმნიშვნელოვანი. ასე რომ, განტოლება y = ცოდვა x, მოცემული , აქვს უსაზღვროდ ბევრი ფესვები. მართლაც, სინუსის პერიოდულობის გამო, თუ x ასეთი ფესვია, მაშინ x + 2n(სადაც n არის მთელი რიცხვი) ასევე იქნება განტოლების ფესვი. Ამგვარად, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მრავალმნიშვნელოვანია. მათთან მუშაობის გასაადვილებლად, შემოღებულია მათი ძირითადი ღირებულებების კონცეფცია. განვიხილოთ, მაგალითად, სინუსი: y = ცოდვა x. თუ x არგუმენტს შევზღუდავთ ინტერვალით, მაშინ მასზე ფუნქცია y = ცოდვა xმონოტონურად იზრდება. მაშასადამე, მას აქვს ერთმნიშვნელოვანი ინვერსიული ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება რკალი: x = arcsin y.

თუ სხვაგვარად არ არის მითითებული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ნიშნავს მათ ძირითად მნიშვნელობებს, რომლებიც განისაზღვრება შემდეგი განმარტებებით.

არქსინი ( y= arcsin x) არის სინუსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= საცოდავი

რკალის კოსინუსი ( y= arccos x) არის კოსინუსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= cos y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.

არქტანგენტი ( y= arctg x) არის ტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= tg y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.

თაღოვანი რკალი ( y= arcctg x) არის კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= ctg y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები მიიღება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებიდან სარკისებური ასახვით y = x სწორი ხაზის მიმართ. იხილეთ განყოფილებები სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

ძირითადი ფორმულები

აქ განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს იმ ინტერვალებს, რომლებისთვისაც მოქმედებს ფორმულები.

arcsin(sin x) = xზე
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xზე
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xზე
tg (arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xზე
ctg(arctg x) = x

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამაკავშირებელი ფორმულები

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

ზე ან

ზე და

ზე და

ზე ან

ზე და

ზე და

ზე

ზე

ზე

ზე

sin, cos, tg და ctg ფუნქციებს ყოველთვის ახლავს რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ერთი მეორის შედეგია და ფუნქციების წყვილი თანაბრად მნიშვნელოვანია ტრიგონომეტრიულ გამოსახულებებთან მუშაობისთვის.

განვიხილოთ ერთეული წრის ნახაზი, რომელიც გრაფიკულად აჩვენებს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს.

თუ გამოთვლით რკალებს OA, arcos OC, arctg DE და arcctg MK, მაშინ ისინი ყველა უდრის α კუთხის მნიშვნელობას. ქვემოთ მოცემული ფორმულები ასახავს ურთიერთობას მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებსა და მათ შესაბამის რკალებს შორის.

არქსინის თვისებების შესახებ მეტის გასაგებად, აუცილებელია მისი ფუნქციის გათვალისწინება. განრიგი აქვს ასიმეტრიული მრუდის ფორმა, რომელიც გადის კოორდინატების ცენტრში.

არქსინის თვისებები:

თუ გრაფიკებს შევადარებთ ცოდვადა რკალი ცოდვა, ორ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას შეუძლია საერთო შაბლონების პოვნა.

რკალის კოსინუსი

a რიცხვის Arccos არის α კუთხის მნიშვნელობა, რომლის კოსინუსი უდრის a-ს.

მრუდი y = arcos xასახავს რკალი x-ის ნახაზს, ერთადერთი განსხვავებით, რომ ის გადის π/2 წერტილში OY ღერძზე.

განვიხილოთ არკოზინის ფუნქცია უფრო დეტალურად:

1. ფუნქცია განსაზღვრულია სეგმენტზე [-1; ერთი].
2. ODZ რკალებისთვის - .
3. გრაფიკი მთლიანად განლაგებულია I და II კვარტალებში და თავად ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.
4. Y = 0 x = 1-ისთვის.
5. მრუდი მცირდება მთელ სიგრძეზე. რკალის კოსინუსის ზოგიერთი თვისება იგივეა, რაც კოსინუსის ფუნქცია.

რკალის კოსინუსის ზოგიერთი თვისება იგივეა, რაც კოსინუსის ფუნქცია.

არ არის გამორიცხული, რომ „თაღების“ ასეთი „დაწვრილებითი“ შესწავლა სკოლის მოსწავლეებს ზედმეტი მოეჩვენოს. თუმცა, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ზოგიერთი ელემენტარული ტიპიური USE დავალება შეიძლება მიიყვანოს სტუდენტები ჩიხში.

სავარჯიშო 1.მიუთითეთ ნახატზე ნაჩვენები ფუნქციები.

პასუხი:ბრინჯი. 1 - 4, სურ. 2 - 1.

ამ მაგალითში აქცენტი კეთდება წვრილმანებზე. ჩვეულებრივ, სტუდენტები ძალიან უყურადღებო არიან გრაფიკების აგების და ფუნქციების გარეგნობის მიმართ. მართლაც, რატომ უნდა დაიმახსოვროთ მრუდის ფორმა, თუ ის ყოველთვის შეიძლება აშენდეს გამოთვლილი წერტილებიდან. არ დაგავიწყდეთ, რომ ტესტის პირობებში, მარტივი დავალების ხატვაზე დახარჯული დრო დასჭირდება უფრო რთული ამოცანების გადასაჭრელად.

არქტანგენტი

Arctgრიცხვი a არის α კუთხის ისეთი მნიშვნელობა, რომ მისი ტანგენსი უდრის a-ს.

თუ გავითვალისწინებთ რკალის ტანგენტის ნახაზს, შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი თვისებები:

1. გრაფიკი უსასრულოა და განსაზღვრულია ინტერვალზე (- ∞; + ∞).
2. არქტანგენტი კენტი ფუნქციაა, შესაბამისად, არქტანი (- x) = - არქტანი x.
3. Y = 0 x = 0-ისთვის.
4. მრუდი იზრდება განმარტების მთელ დომენზე.

ცხრილის სახით მივცეთ tg x და arctg x მოკლე შედარებითი ანალიზი.

რკალის ტანგენსი

a რიცხვის Arcctg - იღებს α-ს ისეთ მნიშვნელობას (0; π) ინტერვალიდან, რომ მისი კოტანგენსი უდრის a-ს.

რკალის კოტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

1. ფუნქციის განსაზღვრის ინტერვალი არის უსასრულობა.
2. დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ინტერვალი (0; π).
3. F(x) არც ლუწია და არც კენტი.
4. მთელი მისი სიგრძის განმავლობაში, ფუნქციის გრაფიკი მცირდება.

ctg x და arctg x შედარება ძალიან მარტივია, თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ ორი ნახატი და აღწეროთ მრუდების ქცევა.

დავალება 2.დააკავშირეთ გრაფიკი და ფუნქციის ფორმა.

ლოგიკურად, გრაფიკები აჩვენებს, რომ ორივე ფუნქცია იზრდება. ამიტომ, ორივე ფიგურა აჩვენებს arctg ფუნქციას. რკალის ტანგენსის თვისებებიდან ცნობილია, რომ y=0 x = 0-ისთვის,

პასუხი:ბრინჯი. 1 - 1, ნახ. 2-4.

ტრიგონომეტრიული იდენტობები arcsin, arcos, arctg და arcctg

მანამდე ჩვენ უკვე გამოვყავით თაღებისა და ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფუნქციების ურთიერთობა. ეს დამოკიდებულება შეიძლება გამოიხატოს მთელი რიგი ფორმულებით, რომლებიც საშუალებას იძლევა გამოვხატოთ, მაგალითად, არგუმენტის სინუსი მისი არქსინის, არკოზინის ან პირიქით. ასეთი იდენტობების ცოდნა შეიძლება სასარგებლო იყოს კონკრეტული მაგალითების ამოხსნისას.

ასევე არსებობს შეფარდება arctg და arcctg:

ფორმულების კიდევ ერთი სასარგებლო წყვილი ადგენს მნიშვნელობას arcsin-ისა და arcos-ის ჯამისთვის და იმავე კუთხის arcctg და arcctg მნიშვნელობებისთვის.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

ტრიგონომეტრიის ამოცანები პირობითად შეიძლება დაიყოს ოთხ ჯგუფად: გამოვთვალოთ კონკრეტული გამოხატვის რიცხვითი მნიშვნელობა, მოცემული ფუნქციის დახატვა, მისი განმარტების დომენის ან ODZ-ის პოვნა და მაგალითის ამოსახსნელად ანალიტიკური გარდაქმნების შესრულება.

პირველი ტიპის ამოცანების გადაჭრისას აუცილებელია შემდეგი სამოქმედო გეგმის დაცვა:

ფუნქციების გრაფიკებთან მუშაობისას მთავარია მათი თვისებების ცოდნა და მრუდის გარეგნობა. ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოსახსნელად საჭიროა იდენტობების ცხრილები. რაც უფრო მეტი ფორმულა ახსოვს მოსწავლეს, მით უფრო ადვილია ამოცანის პასუხის პოვნა.

დავუშვათ, გამოცდაზე აუცილებელია პასუხის პოვნა ტიპის განტოლებისთვის:

თუ გამონათქვამს სწორად გარდაქმნით და სასურველ ფორმამდე მიიყვანთ, მაშინ მისი ამოხსნა ძალიან მარტივი და სწრაფია. ჯერ გადავიტანოთ arcsin x განტოლების მარჯვენა მხარეს.

თუ ფორმულას გავიხსენებთ რკალი (sinα) = α, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ პასუხების ძებნა ორი განტოლების სისტემის ამოხსნაზე:

x მოდელზე შეზღუდვა წარმოიშვა ისევ არქსინის თვისებებიდან: ODZ x [-1; ერთი]. როდესაც a ≠ 0, სისტემის ნაწილი არის კვადრატული განტოლება ფესვებით x1 = 1 და x2 = - 1/a. a = 0-ით x უდრის 1-ს.