პრიმიტიული. მშვენიერი სიტყვაა.) დასაწყისისთვის ცოტა რუსული. ასე წარმოითქმის სიტყვა, არა "პირველადი" როგორც შეიძლება ჩანდეს. ანტიდერივატივი არის მთელი ინტეგრალური გამოთვლის ძირითადი კონცეფცია. ამ საკვანძო კონცეფციაზეა აგებული ნებისმიერი ინტეგრალი - განუსაზღვრელი, განსაზღვრული (მათ უკვე ამ სემესტრში გაეცნობით), ასევე ორმაგი, სამმაგი, მრუდი, ზედაპირული (და ეს მეორე კურსის მთავარი გმირებია). სრული აზრი აქვს დაუფლებას. წადი.)

სანამ ანტიდერივატივის ცნებას გავეცნობით, ყველაზე ზოგადი ტერმინებით გავიხსენოთ ყველაზე გავრცელებული წარმოებული. ზღვრების მოსაწყენ თეორიაში ჩაღრმავების გარეშე, არგუმენტის მატება და სხვა რამ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ წარმოებულის (ან დიფერენციაცია) არის მხოლოდ მათემატიკური ოპერაცია ფუნქცია. და ეს არის ის. აღებულია ნებისმიერი ფუნქცია (მაგალითად, f(x) = x2) და გარკვეული წესების მიხედვითგარდაიქმნება ახალი თვისება. და ეს არის ერთი ახალი თვისებადა დაურეკა წარმოებული.

ჩვენს შემთხვევაში დიფერენციაციამდე არსებობდა ფუნქცია f(x) = x2და დიფერენციაციის შემდეგ უკვე გახდა სხვა ფუნქცია f'(x) = 2x.

წარმოებული– იმიტომ, რომ ჩვენი ახალი ფუნქცია f'(x) = 2x მოხდაფუნქციიდან f(x) = x2. დიფერენციაციის ოპერაციის შედეგად. უფრო მეტიც, ეს არის მისგან და არა სხვა ფუნქციიდან ( x 3, Მაგალითად).

უხეშად რომ ვთქვათ, f(x) = x2-ეს დედაა, f'(x) = 2x– მის საყვარელ ქალიშვილს.) ეს გასაგებია. Გაინძერი.

მათემატიკოსები მოუსვენარი ხალხია. ყოველი მოქმედებისთვის ისინი ცდილობენ იპოვონ რეაქცია. :) არის შეკრება - არის გამოკლებაც. არის გამრავლება და არის გაყოფა. ძალამდე ამაღლება არის ფესვის ამოღება. სინუსი არის რკალი. არის ზუსტად იგივე დიფერენციაციაეს ნიშნავს, რომ არსებობს... ინტეგრაცია.)

ახლა კი დავსვათ ასეთი საინტერესო პრობლემა. ჩვენ გვაქვს, მაგალითად, ასეთი მარტივი ფუნქცია f(x) = 1. და ჩვენ უნდა ვუპასუხოთ ამ კითხვას:

WHAT ფუნქციის წარმოებული გვაძლევს ფუნქციასვ(x) = 1?

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ქალიშვილის ნახვით, დნმ-ის ანალიზის გამოყენებით, გაარკვიეთ ვინ არის მისი დედა. :) მერე რა ორიგინალურიფუნქცია (მოდით დავარქვათ მას F(x)) ჩვენი წარმოებულიფუნქცია f(x) = 1? ან მათემატიკური ფორმით, რისთვისფუნქცია F(x) ტოლობა შესრულებულია:

F'(x) = f(x) = 1?

ელემენტარული მაგალითი. ვცადე.) ჩვენ უბრალოდ ვირჩევთ ფუნქციას F (x), რათა ტოლობა იმუშაოს. :) აბა, როგორ აიღე? Რათქმაუნდა! F(x) = x. იმიტომ რომ:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

რა თქმა უნდა, იპოვა დედა F(x) = xრაღაც უნდა დავარქვათ, დიახ.) შემხვდით!

ანტიდერივატი ფუნქციისთვისვ(x) ასეთი ფუნქციააფ(x), რომლის წარმოებული ტოლიავ(x), ე.ი. რისთვისაც თანასწორობაფ’(x) = ვ(x).

Სულ ეს არის. აღარ არის სამეცნიერო ხრიკები. მკაცრ განმარტებაში ემატება დამატებითი ფრაზა "X-ს შორის". მაგრამ ჩვენ ჯერ არ ჩავუღრმავდებით ამ დახვეწილობას, რადგან ჩვენი უპირველესი ამოცანაა ვისწავლოთ როგორ ვიპოვოთ სწორედ ეს პრიმიტივები.

ჩვენს შემთხვევაში, უბრალოდ გამოდის, რომ ფუნქცია F(x) = xარის პრიმიტიულიფუნქციისთვის f(x) = 1.

რატომ? რადგან F'(x) = f(x) = 1. x-ის წარმოებული არის ერთიანობა. არანაირი წინააღმდეგობა.)

ტერმინი "პირველადი" ფილისტიმურად ნიშნავს "წინაპარს", "მშობელს", "წინაპარს". ჩვენ მაშინვე გავიხსენებთ ყველაზე ძვირფას და ახლობელ ადამიანს.) და თავად ანტიდერივატის ძიება არის თავდაპირველი ფუნქციის აღდგენა. მისი ცნობილი წარმოებულის მიხედვით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ქმედება დიფერენციაციის შებრუნებული. და ეს არის ის! თავად ამ მომხიბვლელ პროცესს საკმაოდ მეცნიერულადაც უწოდებენ - ინტეგრაცია. მაგრამ დაახლოებით ინტეგრალები- მოგვიანებით. მოთმინება, მეგობრებო!

გახსოვდეთ:

ინტეგრაცია არის მათემატიკური ოპერაცია ფუნქციაზე (ისევე, როგორც დიფერენციაცია).

ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის ინვერსია.

ანტიდერივატი არის ინტეგრაციის შედეგი.

ახლა გავართულოთ დავალება. ახლა ვიპოვოთ ფუნქციის ანტიდერივატი f(x) = x. ანუ ვიპოვოთ ასეთი ფუნქცია F(x) , მდე მისი წარმოებული x-ის ტოლი იქნება:

F'(x) = x

ვინ მეგობრობს წარმოებულებთან, ალბათ ასეთი რამ გამახსენდება:

(x 2)' = 2x.

ჰოდა, პატივისცემა და პატივისცემა მათ, ვისაც ახსოვს წარმოებულების ცხრილი!) ასეა. მაგრამ არის ერთი პრობლემა. ჩვენი ორიგინალური ფუნქცია f(x) = x, ა (x2)' = 2 x. ორი X. დიფერენცირების შემდეგ კი უნდა მივიღოთ უბრალოდ x. არა კარგი. მაგრამ…

ჩვენ მეცნიერი ხალხი ვართ. ჩვენ მივიღეთ სერთიფიკატები.) და სკოლიდან ვიცით, რომ ნებისმიერი ტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს და გავყოთ ერთსა და იმავე რიცხვზე (ნულის გარდა, რა თქმა უნდა)! Ისე მოწყობილი. ვისარგებლოთ ამ შესაძლებლობით.)

ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვინდა, რომ სუფთა X დარჩეს მარჯვნივ, არა? და დუუსი ერევა... ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ შეფარდებას წარმოებულისთვის (x 2) '= 2x და ვყოფთ მისი ორივე ნაწილიამ ორისთვის:

ასე რომ, ეს ხსნის რამდენიმე საკითხს. Გაინძერი. ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერი მუდმივი შეიძლება იყოს ამოიღეთ იგი წარმოებულის ნიშნიდან.Ამგვარად:

მათემატიკაში ყველა ფორმულა მუშაობს მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით - მარჯვნიდან მარცხნივ. ეს ნიშნავს, რომ იგივე წარმატებით, ნებისმიერი მუდმივი შეიძლება იყოს ჩასვით წარმოებული ნიშნის ქვეშ:

ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ ვმალავთ ორს მნიშვნელში (ან, რაც იგივეა, კოეფიციენტი 1/2) წარმოებულის ნიშნის ქვეშ:

Და ახლა ყურადღებითმოდით გადავხედოთ ჩვენს ჩანაწერს. რას ვხედავთ? ჩვენ ვხედავთ თანასწორობას, რომელიც ამბობს, რომ წარმოებული რაღაც(ეს რაღაც- ფრჩხილებში) უდრის x.

შედეგად მიღებული თანასწორობა მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ სასურველი ანტიდერივატია ფუნქციისთვის f(x) = x ემსახურება ფუნქციას F(x) = x2/2 . ის, რომელიც არის ფრჩხილებში ინსულტის ქვეშ. პირდაპირ ანტიწარმოებულის მნიშვნელობის მიხედვით.) აბა, შევამოწმოთ შედეგი. მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:

კარგად! მიიღეთ ორიგინალური ფუნქცია f(x) = x. რაც ცეკვავდნენ, იქით დაბრუნდნენ. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი ანტიდერივატი სწორად არის ნაპოვნი.)

Და თუ f(x) = x2? რის ტოლია მისი პრიმიტიული? Არაა პრობლემა! მე და შენ ვიცით (კიდევ ერთხელ, დიფერენცირების წესებიდან) რომ:

3x2 = (x3)'

და, ანუ

Გავიგე? ახლა ჩვენ, საკუთარი თავისთვის შეუმჩნევლად, ვისწავლეთ ანტიდერივატების დათვლა ნებისმიერისთვის სიმძლავრის ფუნქცია f(x)=x n. გონებაში.) ვიღებთ საწყის ინდიკატორს ნ, გავზარდოთ ერთით და კომპენსაციის სახით ვყოფთ მთელ სტრუქტურას n+1:

შედეგად მიღებული ფორმულა, სხვათა შორის, მოქმედებს არა მხოლოდ ბუნებრივი ინდიკატორისთვისხარისხი ნ, არამედ ნებისმიერი სხვასთვის - უარყოფითი, წილადი. ეს აადვილებს ანტიდერივატების პოვნას მარტივიდან წილადებიდა ფესვები.

Მაგალითად:

ბუნებრივია, n ≠ -1 , წინააღმდეგ შემთხვევაში ფორმულის მნიშვნელი არის ნული და ფორმულა კარგავს თავის მნიშვნელობას.) ამ განსაკუთრებული შემთხვევის შესახებ n=-1ცოტა მოგვიანებით.)

რა არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი? ინტეგრალების ცხრილი.

ვთქვათ, რა არის ფუნქციის წარმოებული F(x) = x?აბა, ერთი, ერთი - მესმის უკმაყოფილო პასუხები... ასეა. ერთეული. მაგრამ… ფუნქციისთვის G(x) = x+1წარმოებული ასევე იქნება ერთის ტოლი.:

ასევე, წარმოებული იქნება ფუნქციის ერთის ტოლი x+1234 და ფუნქციისთვის x-10 და ფორმის ნებისმიერი სხვა ფუნქციისთვის x+C , სად თან არის ნებისმიერი მუდმივი. ვინაიდან ნებისმიერი მუდმივის წარმოებული უდრის ნულს, ხოლო ნულის მიმატებით/გამოკლებით, არავინ არის ცივი ან ცხელი.)

გამოდის გაურკვევლობა. თურმე ფუნქციისთვის f(x) = 1ემსახურება როგორც პროტოტიპი არა მხოლოდ ფუნქცია F(x) = x , არამედ ფუნქციაც F 1 (x) = x+1234 და ფუნქცია F 2 (x) = x-10 და ა.შ!

დიახ. მართალია.) ყველასთვის ( უწყვეტი ინტერვალზე) ფუნქციის, არ არის მხოლოდ ერთი ანტიდერივატი, არამედ უსასრულოდ ბევრი - მთელი ოჯახი! არა ერთი დედა ან მამა, არამედ მთელი მემკვიდრეობა, დიახ.)

მაგრამ! ყველა ჩვენს პირველყოფილ ნათესავს ერთი მნიშვნელოვანი საერთო თვისება აქვს. ამიტომაც არიან ნათესავები.) ქონება იმდენად მნიშვნელოვანია, რომ ინტეგრაციის მეთოდების გაანალიზების პროცესში არაერთხელ გავიხსენებთ. და ჩვენ დიდხანს გვემახსოვრება.)

აი ეს არის ეს ქონება:

ნებისმიერი ორი პრიმიტივი ფ 1 (x) დაფ 2 (x) იგივე ფუნქციიდანვ(x) განსხვავდება მუდმივით:

ფ 1 (x) - ფ 2 (x) = C.

ვის აინტერესებს მტკიცებულება - შეისწავლე ლიტერატურა თუ სალექციო ჩანაწერები.) კარგი, ასე იყოს, დავამტკიცებ. საბედნიეროდ, მტკიცებულება აქ არის ელემენტარული, ერთი ნაბიჯით. ჩვენ ვიღებთ თანასწორობას

ფ 1 (x) - ფ 2 (x) = C

და მოდით განვასხვავოთ ორივე ნაწილი.ანუ, ჩვენ უბრალოდ სულელურად ვაყენებთ შტრიხებს:

Სულ ეს არის. როგორც ამბობენ, CTD. :)

რას ამბობს ეს ქონება? და ეს ორი განსხვავებული პრიმიტივი იგივე ფუნქციიდან f(x)არ შეიძლება განსხვავდებოდეს რაღაც გამოხატვა x-ით . მხოლოდ მკაცრად მუდმივზე! სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ გვაქვს რაიმე სახის გრაფიკი ერთ-ერთი პიონერი(დაე იყოს F(x)), შემდეგ გრაფიკები ყველა დანარჩენიჩვენი ანტიწარმოებულები აგებულია y-ღერძის გასწვრივ გრაფიკის F(x) პარალელური გადათარგმნით.

ვნახოთ, როგორ გამოიყურება მაგალითის ფუნქციაზე f(x) = x. ყველა მის პრიმიტივს, როგორც უკვე ვიცით, ზოგადი ფორმა აქვს F(x) = x 2 /2+C . სურათზე ასე გამოიყურება პარაბოლების უსასრულო რაოდენობამიღებული "მთავარი" პარაბოლიდან y = x 2/2 OY ღერძის გასწვრივ ზევით ან ქვევით გადაადგილებით, მუდმივის მნიშვნელობიდან გამომდინარე თან.

დაიმახსოვრე სკოლაში ფუნქციის შედგენა y=f(x)+aგანრიგის ცვლა y=f(x)"a" ერთეულებით y-ღერძის გასწვრივ?) აქაც იგივეა.)

და ყურადღება მიაქციეთ: ჩვენს პარაბოლებს არსად არ გადახვიდე!ბუნებრივია. ყოველივე ამის შემდეგ, ორი განსხვავებული ფუნქცია y 1 (x) და y 2 (x) აუცილებლად შეესაბამება მუდმივის ორი განსხვავებული მნიშვნელობა – 1-დანდა 2-დან.

მაშასადამე, განტოლებას y 1 (x) = y 2 (x) არასოდეს აქვს ამონახსნები:

C 1 = C 2

x ∊ ∅ , როგორც C 1 ≠ C2

ახლა კი ჩვენ შეუფერხებლად მივუდგებით ინტეგრალური კალკულუსის მეორე ქვაკუთხედის კონცეფციას. როგორც ახლა დავადგინეთ, ყველა f(x) ფუნქციას აქვს F(x) + C ანტიწარმოებულების უსასრულო ნაკრები, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მუდმივით. ამ ყველაზე უსასრულო კომპლექტს ასევე აქვს თავისი განსაკუთრებული სახელი.) აბა, გთხოვთ, გიყვარდეთ და კეთილგანწყობა!

რა არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი?

ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები ფუნქციისთვის ვ(x) ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალიფუნქციიდანვ(x).

ეს არის მთელი განმარტება.)

"გაურკვეველი" - რადგან ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები ერთი და იგივე ფუნქციისთვის უსასრულოდ. ძალიან ბევრი ვარიანტი.)

"ინტეგრალი" - ამ სასტიკი სიტყვის დეტალურ გაშიფვრას შემდეგ დიდ განყოფილებაში გავეცნობით განსაზღვრული ინტეგრალები. ამასობაში, უხეში ფორმით განვიხილავთ როგორც განუყოფელ რაღაცას ზოგადი, ერთი, მთლიანი. და ინტეგრაცია კავშირი, განზოგადება, ამ შემთხვევაში, გარდამავალი ნაწილიდან (წარმოებული) ზოგადზე (ანტიდერივატივები). Რაღაც მაგდაგვარი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალი აღინიშნება შემდეგნაირად:

იკითხება ისევე, როგორც წერია: x de x-ის ინტეგრალური ეფექტი. ან განუყოფელი დან ef x de x-დან.კარგად, თქვენ გესმით იდეა.)

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ აღნიშვნას.

∫ - ინტეგრალური ხატი.მნიშვნელობა იგივეა, რაც წარმოებულის შტრიხი.)

დ - ხატიდიფერენციალური. ჩვენ არ გვეშინია! რატომ არის საჭირო იქ - ცოტა დაბლა.

f(x) - ინტეგრანდ("s"-ის მეშვეობით).

f(x)dx - ინტეგრანდ.ან, უხეშად რომ ვთქვათ, ინტეგრალის „ჩაყრა“.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის მნიშვნელობის მიხედვით,

Აქ F(x)- იგივე ანტიდერივატიფუნქციისთვის f(x)რომელიც ჩვენ რატომღაც იპოვეს თავი.კონკრეტულად როგორ აღმოაჩინეს, ეს არ არის მთავარი. მაგალითად, ჩვენ დავადგინეთ F(x) = x2/2ამისთვის f(x)=x.

"თან" - თვითნებური მუდმივი.ან უფრო მეცნიერულად, ინტეგრალური მუდმივი. ან ინტეგრაციის მუდმივი.ყველაფერი ერთია.)

ახლა დავუბრუნდეთ ჩვენს პირველ ანტიდერივატიულ მაგალითებს. განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვალსაზრისით, ახლა შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავწეროთ:

რა არის ინტეგრალური მუდმივი და რატომ არის საჭირო?

კითხვა ძალიან საინტერესოა. და ძალიან (ძალიან!) მნიშვნელოვანი. ინტეგრალური მუდმივი ანტიწარმოებულების მთელი უსასრულო სიმრავლიდან გამოყოფს ამ ხაზს, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში.

რა აზრი აქვს. ანტიწარმოებულების თავდაპირველი უსასრულო ნაკრებიდან (ე.ი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი) აუცილებელია აირჩიოთ მრუდი, რომელიც გაივლის მოცემულ წერტილს. ზოგიერთთან ერთად კონკრეტული კოორდინატები.ასეთი ამოცანა ყოველთვის და ყველგან გვხვდება ინტეგრალებთან თავდაპირველი გაცნობის დროს. სკოლაშიც და უნივერსიტეტშიც.

ტიპიური პრობლემა:

f=x ფუნქციის ყველა ანტიწარმოებულთა სიმრავლეს შორის აირჩიეთ ის, რომელიც გადის წერტილში (2;2).

ჩვენ ვიწყებთ ფიქრს ჩვენი თავებით ... ყველა პრიმიტივის ნაკრები - ეს ნიშნავს, რომ თქვენ ჯერ გჭირდებათ ჩვენი ორიგინალური ფუნქციის ინტეგრირება.ანუ x(x). ჩვენ ეს გავაკეთეთ ცოტა მაღლა და მივიღეთ შემდეგი პასუხი:

და ახლა ჩვენ გვესმის, რა მივიღეთ ზუსტად. ჩვენ მივიღეთ არა მხოლოდ ერთი ფუნქცია, არამედ ფუნქციების მთელი ოჯახი.Რომლები? ვიდა y=x 2 /2+C . C მუდმივის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. ახლა კი მუდმივის ეს მნიშვნელობა უნდა „დავიჭიროთ“.) აბა, დავიჭიროთ?)

ჩვენი სათევზაო ჯოხი - მოსახვევების ოჯახი (პარაბოლები) y=x2/2+C.

მუდმივები - ეს არის თევზი. Ბევრი ბევრი. მაგრამ თითოეულს აქვს თავისი კაკალი და სატყუარა.)

და რა არის სატყუარა? სწორად! ჩვენი წერტილი არის (-2;2).

ასე რომ, ჩვენ ვცვლით ჩვენი წერტილის კოორდინატებს ანტიწარმოებულების ზოგადი ფორმით! ჩვენ ვიღებთ:

y(2) = 2

აქედან ადვილი მოსაპოვებელია C=0.

რას ნიშნავს სიო? ეს ნიშნავს, რომ ფორმის პარაბოლების მთელი უსასრულო ნაკრებიდანy=x 2 /2+Cმხოლოდ პარაბოლა მუდმივი C=0გვერგება! კერძოდ:y=x2/2. და მხოლოდ ის. მხოლოდ ეს პარაბოლა გაივლის იმ წერტილს, რომელიც ჩვენ გვჭირდება (-2; 2). Და შიყველა სხვა პარაბოლა ჩვენი ოჯახიდან გადის ეს წერტილი აღარ იქნება.თვითმფრინავის სხვა წერტილების გავლით - დიახ, მაგრამ წერტილის გავლით (2; 2) - აღარ. Გავიგე?

სიცხადისთვის, აქ არის თქვენთვის ორი სურათი - პარაბოლების მთელი ოჯახი (ანუ განუსაზღვრელი ინტეგრალი) და რამდენიმე ბეტონის პარაბოლაშესაბამისი მუდმივის სპეციფიკური მნიშვნელობადა გავლით კონკრეტული წერტილი:

ნახეთ, რამდენად მნიშვნელოვანია მუდმივის გათვალისწინება თანინტეგრირებისას! ასე რომ, არ უგულებელყოთ ეს ასო "C" და არ დაგავიწყდეთ საბოლოო პასუხის მიწერა.

ახლა კი მოდით გავარკვიოთ, რატომ ეკიდება სიმბოლო ყველგან ინტეგრალის შიგნით dx . სტუდენტები ხშირად ივიწყებენ ამას... და ეს, სხვათა შორის, ასევე შეცდომაა! და საკმაოდ უხეში. საქმე იმაშია, რომ ინტეგრაცია დიფერენციაციის ინვერსიაა. და რა არის ზუსტად დიფერენცირების შედეგი? წარმოებული? მართალია, მაგრამ არა ნამდვილად. დიფერენციალური!

ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქციისთვის f(x)მისი ანტიწარმოებულის დიფერენციალი F(x), იქნება:

ვისაც ეს ჯაჭვი არ ესმის - სასწრაფოდ გაიმეორეთ დიფერენციალის განმარტება და მნიშვნელობა და ზუსტად როგორ ვლინდება იგი! თორემ ინტეგრალებში უმოწყალოდ შეანელებ….

შეგახსენებთ, ყველაზე უხეში ფილისტიმური ფორმით, რომ ნებისმიერი f (x) ფუნქციის დიფერენციალი უბრალოდ პროდუქტია f'(x)dx. და ეს არის ის! აიღეთ წარმოებული და გაამრავლეთ არგუმენტის დიფერენციალამდე(ანუ dx). ანუ, ნებისმიერი დიფერენციალი, ფაქტობრივად, მცირდება ჩვეულებრივის გაანგარიშებამდე წარმოებული.

ამიტომ, მკაცრად რომ ვთქვათ, ინტეგრალი "აღებულია" და არა მისგან ფუნქციები f(x)როგორც საყოველთაოდ მიჩნეულია და დიფერენციალური f(x)dx!მაგრამ, გამარტივებულ ვერსიაში, ჩვეულებრივია ამის თქმა "ინტეგრალი აღებულია ფუნქციიდან". ან: „ინტეგრირებს f ფუნქციას(x)". ეს იგივეა.და ჩვენც იგივეს ვიტყვით. მაგრამ ხატის შესახებ dxთუმცა არ დავივიწყოთ! :)

ახლა კი გეტყვით, როგორ არ დაივიწყოთ ჩაწერისას. ჯერ წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ იანგარიშებთ ჩვეულებრივ წარმოებულს x-ის მიმართ. როგორ წერ ჩვეულებრივ?

ასე: f'(x), y'(x), y'x. ან უფრო მყარად, დიფერენციალთა თანაფარდობით: dy/dx. ყველა ეს ჩანაწერი გვიჩვენებს, რომ წარმოებული აღებულია ზუსტად x-ით. და არა "y", "te" ან სხვა ცვლადით.)

იგივე ეხება ინტეგრალებს. ჩაწერა ∫ f(x)dxაშშ-იც თითქოსაჩვენებს, რომ ინტეგრაცია ხორციელდება ზუსტად x ცვლადით. რა თქმა უნდა, ეს ყველაფერი ძალიან გამარტივებული და უხეშია, მაგრამ გასაგებია, იმედი მაქვს. და შანსები დავიწყებამიეწერება ყველგან dxმკვეთრად დაეცა.)

მაშ, რა არის იგივე განუსაზღვრელი ინტეგრალი - გაარკვია. დიდი.) ახლა კარგი იქნებოდა ამ ძალიან განუსაზღვრელი ინტეგრალების სწავლა გამოთვალეთ. ან, მარტივად რომ ვთქვათ, "აიღე". :) აქ კი მოსწავლეები ორ სიახლეს ელოდებიან - კარგი და არც ისე კარგი. ახლა დავიწყოთ კარგით.)

სიახლე კარგია. ინტეგრალებისთვის, ისევე როგორც წარმოებულებისთვის, არის ცხრილი. და ყველა ინტეგრალი, რომელსაც შევხვდებით გზაზე, თუნდაც ყველაზე საშინელსა და ფანტასტიურს, ჩვენ გარკვეული წესების მიხედვითჩვენ როგორღაც შევამცირებთ ამ ძალიან ცხრილებს.)

ასე რომ, აქ არის ის ინტეგრალური მაგიდა!

აქ არის ინტეგრალების ასეთი ლამაზი ცხრილი ყველაზე პოპულარული ფუნქციებიდან. გირჩევთ განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციოთ ფორმულების ჯგუფს 1-2 (მუდმივი და სიმძლავრის ფუნქცია). ეს არის ყველაზე გავრცელებული ფორმულები ინტეგრალებში!

ფორმულების მესამე ჯგუფი (ტრიგონომეტრია), როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, მიღებულია წარმოებულების შესაბამისი ფორმულების უბრალოდ შებრუნებით.

Მაგალითად:

ფორმულების მეოთხე ჯგუფით (ექსპონენციალური ფუნქცია) - ყველაფერი მსგავსია.

და აქ არის ფორმულების ბოლო ოთხი ჯგუფი (5-8) ჩვენთვის ახალი.საიდან გაჩნდნენ ისინი და რისი დამსახურებით მოხვდნენ ეს ეგზოტიკური ფუნქციები მოულოდნელად ძირითადი ინტეგრალების ცხრილში? რატომ გამოირჩევიან ფუნქციების ეს ჯგუფები დანარჩენი ფუნქციებისგან?

ასე მოხდა ისტორიულად განვითარების პროცესში ინტეგრაციის მეთოდები . როდესაც ჩვენ ვვარჯიშობთ ყველაზე მრავალფეროვანი ინტეგრალის აღებაზე, მიხვდებით, რომ ცხრილში ჩამოთვლილი ფუნქციების ინტეგრალები ძალიან, ძალიან გავრცელებულია. იმდენად ხშირად, რომ მათემატიკოსები მათ კლასიფიცირებენ როგორც ცხრილებად.) ძალიან ბევრი სხვა ინტეგრალი გამოხატულია მათი მეშვეობით, უფრო რთული კონსტრუქციებიდან.

ინტერესის გულისთვის შეგიძლიათ აიღოთ ერთ-ერთი ასეთი საშინელი ფორმულა და განასხვავოთ. :) მაგალითად, ყველაზე სასტიკი მე-7 ფორმულა.

Ყველაფერი კარგადაა. მათემატიკოსები არ მოატყუეს. :)

სასურველია ინტეგრალების ცხრილი, ასევე წარმოებულების ცხრილი ზეპირად ვიცოდეთ. ნებისმიერ შემთხვევაში, ფორმულების პირველი ოთხი ჯგუფი. ეს არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. დაიმახსოვრეთ ბოლო ოთხი ჯგუფი (წილადებით და ფესვებით) Ნახვამდისარ ღირს. ყოველ შემთხვევაში, თავიდან დაბნეული იქნებით სად უნდა ჩაწეროთ ლოგარითმი, სად არის არქტანგენსი, სად არის რკალი, სად 1/a, სად არის 1/2a... გამოსავალი მხოლოდ ერთია - მეტი მაგალითის ამოხსნა. შემდეგ სუფრა თანდათან გაიხსენებს თავისთავად და ეჭვები შეწყვეტს ჩხვლეტას.)

განსაკუთრებით ცნობისმოყვარე პირებმა, რომლებიც კარგად ათვალიერებენ მაგიდას, შეიძლება იკითხონ: სად არის ცხრილში სხვა ელემენტარული "სასკოლო" ფუნქციების - ტანგენსი, ლოგარითმი, "თაღები" ინტეგრალები? ვთქვათ, რატომ არის ცხრილში სინუსის ინტეგრალი, მაგრამ არ არის, ვთქვათ, ტანგენტის ინტეგრალი. tg x? ან არ არსებობს ინტეგრალი ლოგარითმიდან n x? რკალიდან arcsin x? რატომ არიან უარესები? მაგრამ ის სავსეა რამდენიმე "მარცხენა" ფუნქციით - ფესვებით, წილადებით, კვადრატებით ...

უპასუხე. უარესი არაფერია.) მხოლოდ ზემოაღნიშნული ინტეგრალები (ტანგენტიდან, ლოგარითმიდან, რკალიდან და ა.შ.) არ არის ცხრილი . და ისინი პრაქტიკაში გვხვდება ბევრად უფრო იშვიათად, ვიდრე ცხრილში წარმოდგენილი. ასე რომ იცოდე გულით, რომელსაც ისინი უტოლდებიან, სულაც არ არის საჭირო. საკმარისია იცოდე როგორ არიან გათვლილი.)

რა, ვიღაც მაინც აუტანელია? ასეც იყოს, განსაკუთრებით შენთვის!

აბა, როგორ აპირებ სწავლას? :) არ გინდა? და ნუ.) მაგრამ არ ინერვიულოთ, ჩვენ აუცილებლად ვიპოვით ყველა ასეთ ინტეგრალს. შესაბამის გაკვეთილებზე. :)

ახლა ჩვენ მივმართავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს. დიახ, გასაკეთებელი არაფერია! დაინერგა ახალი კონცეფცია და მისი ზოგიერთი თვისება დაუყოვნებლივ განიხილება.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.

ახლა არც ისე კარგი ამბავია.

დიფერენციაციისგან განსხვავებით, ზოგადი სტანდარტული ინტეგრაციის წესები, სამართლიანი ყველა შემთხვევისთვის, მათემატიკაში არ არსებობს. Შესანიშნავია!

მაგალითად, თქვენ ყველამ კარგად იცით ეს (იმედი მაქვს!). ნებისმიერიმუშაობა ნებისმიერიორი ფუნქცია f(x) g(x) დიფერენცირებულია ასე:

(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

ნებისმიერიკოეფიციენტი დიფერენცირებულია ასე:

და ნებისმიერი რთული ფუნქცია, რაც არ უნდა დაგრეხილი იყოს იგი, დიფერენცირებულია ასე:

და რაც არ უნდა იყოს დამალული ფუნქციები f და g ასოების ქვეშ, ზოგადი წესები მაინც იმუშავებს და წარმოებული, ასე თუ ისე, მოიძებნება.

მაგრამ ინტეგრალებთან ერთად, ასეთი რიცხვი აღარ იმუშავებს: პროდუქტისთვის, კოეფიციენტისთვის (წილადი), ისევე როგორც ზოგადი ინტეგრაციის ფორმულების რთული ფუნქცია. არ არსებობს! არ არსებობს სტანდარტული წესები!უფრო სწორად, ისინი არიან. მათემატიკა ტყუილად ვაწყენინე.) მაგრამ, ჯერ ერთი, დიფერენცირების ზოგად წესებზე ბევრად ნაკლებია. და მეორეც, ინტეგრაციის მეთოდების უმეტესობა, რომლებზეც შემდეგ გაკვეთილებზე ვისაუბრებთ, ძალიან, ძალიან სპეციფიკურია. და ისინი მოქმედებს მხოლოდ გარკვეული, ძალიან შეზღუდული ფუნქციების კლასისთვის. მოდით ვთქვათ ამისთვის წილადი რაციონალური ფუნქციები. ან ზოგიერთი სხვა.

ზოგიერთი ინტეგრალი კი, თუმცა ბუნებაში არსებობს, ზოგადად არანაირად არ არის გამოხატული ელემენტარული „სასკოლო“ ფუნქციებით! დიახ, დიახ, და არსებობს უამრავი ასეთი ინტეგრალი! :)

ამიტომ ინტეგრაცია ბევრად უფრო შრომატევადი და შრომატევადი ამოცანაა, ვიდრე დიფერენციაცია. მაგრამ ამას თავისი ხალისი აქვს. ეს აქტივობა არის კრეატიული და ძალიან საინტერესო.) და, თუ კარგად დაეუფლებით ინტეგრალების ცხრილს და დაეუფლებით მინიმუმ ორ ძირითად ტექნიკას, რომლებზეც მოგვიანებით ვისაუბრებთ (და), მაშინ ძალიან მოგეწონებათ ინტეგრაცია. :)

ახლა კი გავეცნოთ, ფაქტობრივად, განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს. ისინი არაფერია. აი ისინი.

პირველი ორი თვისება სრულიად ანალოგიურია იგივე თვისებების წარმოებულებისთვის და ე.წ განუსაზღვრელი ინტეგრალის წრფივობის თვისებები . აქ ყველაფერი მარტივი და ლოგიკურია: ჯამის/განსხვავების ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს/სხვაობას, ხოლო მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან.

მაგრამ შემდეგი სამი თვისება ჩვენთვის ფუნდამენტურად ახალია. მოდით გავაანალიზოთ ისინი უფრო დეტალურად. ისინი რუსულად ჟღერს შემდეგნაირად.

მესამე ქონება

ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია

ყველაფერი მარტივია, როგორც ზღაპარში. თუ თქვენ აერთიანებთ ფუნქციას და შემდეგ იპოვით შედეგის წარმოებულს, მაშინ ... მიიღებთ თავდაპირველ ინტეგრანს. :) ეს თვისება ყოველთვის შეიძლება (და უნდა) იყოს გამოყენებული ინტეგრაციის საბოლოო შედეგის შესამოწმებლად. ჩვენ გამოვთვალეთ ინტეგრალი - განასხვავეთ პასუხი! მივიღეთ ინტეგრანტი - კარგი. მათ ეს არ მიიღეს, რაც ნიშნავს, რომ სადღაც აერიათ. მოძებნეთ შეცდომა.)

რა თქმა უნდა, პასუხში ისეთი სასტიკი და შრომატევადი ფუნქციების მიღებაა შესაძლებელი, რომ მათ უკან დიფერენცირება არ სურს, დიახ. მაგრამ უმჯობესია, თუ ეს შესაძლებელია, სცადოთ საკუთარი თავის შემოწმება. ყოველ შემთხვევაში იმ მაგალითებში, სადაც ეს ადვილია.)

მეოთხე ქონება

ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია .

აქ განსაკუთრებული არაფერია. არსი იგივეა, ბოლოს მხოლოდ dx ჩანს. წინა ქონებისა და დიფერენციალის გაფართოების წესების მიხედვით.

მეხუთე ქონება

ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციისა და თვითნებური მუდმივის ჯამს .

ასევე ძალიან მარტივი ქონება. მას ასევე რეგულარულად გამოვიყენებთ ინტეგრალების ამოხსნის პროცესში. განსაკუთრებით - და.

აქ არის რამდენიმე სასარგებლო თვისება. აქ არ ვაპირებ მათი მკაცრი მტკიცებულებების მობეზრებას. მსურველებს ვთავაზობ, თავად გააკეთონ ეს. პირდაპირ წარმოებულისა და დიფერენციალური მნიშვნელობის მიხედვით. დავამტკიცებ მხოლოდ ბოლო, მეხუთე თვისებას, რადგან ნაკლებად აშკარაა.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს განცხადება:

ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენი ინტეგრალის "ჩაყრას" და ვხსნით მას, დიფერენციალის განმარტების მიხედვით:

ყოველი შემთხვევისთვის შეგახსენებთ, რომ წარმოებულისა და ანტიწარმოებულის ჩვენი აღნიშვნის მიხედვით, ფ’(x) = ვ(x) .

ჩვენ ახლა ჩავსვით ჩვენი შედეგი ინტეგრალის შიგნით:

მიიღო ზუსტად განუსაზღვრელი ინტეგრალის განსაზღვრა (რუსულმა ენამ მაპატიოს)! :)

Სულ ეს არის.)

კარგად. ამაზე მიმაჩნია, რომ ჩვენი თავდაპირველი გაცნობა ინტეგრალების იდუმალ სამყაროსთან მოხდა. დღეს მე გთავაზობთ დამრგვალებას. ჩვენ უკვე საკმარისად შეიარაღებულები ვართ დაზვერვაზე წასასვლელად. თუ არა ავტომატით, მაშინ მაინც წყლის პისტოლეტით ძირითადი თვისებებით და მაგიდით. :) შემდეგ გაკვეთილზე უკვე ველოდებით ინტეგრალების უმარტივეს უწყინარ მაგალითებს ცხრილისა და დაწერილი თვისებების პირდაპირი გამოყენებისთვის.

Გნახავ!

სამიზნე:

• პრიმიტივის ცნების ჩამოყალიბება.
• მომზადება ინტეგრალის აღქმისთვის.
• გამოთვლითი უნარების ჩამოყალიბება.
• სილამაზის გრძნობის აღზრდა (მშვენიერების უჩვეულოში დანახვის უნარი).

მათემატიკური ანალიზი - მათემატიკის მონაკვეთების ერთობლიობა, რომელიც ეძღვნება ფუნქციების შესწავლას და მათ განზოგადებას დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების მეთოდებით.

აქამდე ჩვენ შევისწავლეთ მათემატიკური ანალიზის განყოფილება, რომელსაც ეწოდება დიფერენციალური გაანგარიშება, რომლის არსი არის ფუნქციის შესწავლა „პატარაში“.

იმათ. ფუნქციის შესწავლა თითოეული განსაზღვრის წერტილის საკმარისად მცირე უბნებში. დიფერენციაციის ერთ-ერთი ოპერაციაა წარმოებულის (დიფერენციალური) პოვნა და მისი გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად.

თანაბრად მნიშვნელოვანია საპირისპირო პრობლემა. თუ ფუნქციის ქცევა ცნობილია მისი განსაზღვრის თითოეული წერტილის სიახლოვეს, მაშინ როგორ აღვადგინოთ ფუნქცია მთლიანობაში, ე.ი. მისი განმარტების მთელ დიაპაზონში. ეს პრობლემა ე.წ. ინტეგრალური კალკულუსის შესწავლის საგანია.

ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის საპირისპირო მოქმედება. ან f(x) ფუნქციის აღდგენა მოცემული f`(x) წარმოებულიდან. ლათინური სიტყვა "ინტეგრა" ნიშნავს აღდგენას.

მაგალითი #1.

მოდით (x)`=3x 2.
იპოვეთ f(x).

გადაწყვეტილება:

დიფერენციაციის წესიდან გამომდინარე, ადვილი მისახვედრია, რომ f (x) \u003d x 3, რადგან (x 3)` \u003d 3x 2
თუმცა, ადვილი მისახვედრია, რომ f(x) ორაზროვნად არის ნაპოვნი.
როგორც f(x) შეგვიძლია ავიღოთ
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3 და ა.შ.

რადგან თითოეული მათგანის წარმოებული არის 3x2. (მუდმივის წარმოებული არის 0). ყველა ეს ფუნქცია განსხვავდება ერთმანეთისგან მუდმივი ვადით. მაშასადამე, ამოცანის ზოგადი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც f(x)= x 3 +C, სადაც C არის ნებისმიერი მუდმივი რეალური რიცხვი.

ნებისმიერი ნაპოვნი ფუნქცია f(x) ეწოდება პირველადიფუნქციისთვის F`(x) = 3x 2

განმარტება. F(x) ფუნქციას ეწოდება ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის მოცემულ J ინტერვალზე, თუ ყველა x ამ ინტერვალიდან F`(x) = f(x). ასე რომ, ფუნქცია F (x) \u003d x 3 არის ანტიწარმოებული f (x) \u003d 3x 2-ზე (- ∞ ; ∞).
ვინაიდან ყველა x ~ R-სთვის ტოლობა მართალია: F`(x)=(x 3)`=3x 2

როგორც უკვე ავღნიშნეთ, ამ ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებულების უსასრულო ნაკრები (იხ. მაგალითი No1).

მაგალითი #2. ფუნქცია F(x)=x არის ანტიწარმოებული ყველა f(x)= 1/x ინტერვალზე (0; +), რადგან ყველა x ამ ინტერვალიდან, თანასწორობა მოქმედებს.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

მაგალითი #3 ფუნქცია F(x)=tg3x არის ანტიწარმოებული f(x)=3/cos3x ინტერვალზე (-n/ 2; P/ 2),
რადგან F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

მაგალითი #4 ფუნქცია F(x)=3sin4x+1/x-2 არის ანტიწარმოებული f(x)=12cos4x-1/x 2 ინტერვალზე (0;∞)
რადგან F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

ლექცია 2

თემა: პირველყოფილი. ანტიდერივატიული ფუნქციის მთავარი თვისება.

ანტიდერივატივის შესწავლისას დავეყრდნობით შემდეგ მტკიცებას. ფუნქციის მუდმივობის ნიშანი: თუ J ინტერვალზე ფუნქციის Ψ(х) წარმოებული 0-ის ტოლია, მაშინ ამ ინტერვალზე Ψ(х) ფუნქცია მუდმივია.

ეს განცხადება შეიძლება გეომეტრიულად იყოს ნაჩვენები.

ცნობილია, რომ Ψ`(x)=tgα, γde α-დახრის კუთხე Ψ(x) ფუნქციის გრაფაში აბსცისის x 0-ის მქონე წერტილში ტანგენტის მიდრეკილების კუთხე. თუ Ψ`(υ)=0 J ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში, მაშინ tgα=0 δ Ψ(x) ფუნქციის გრაფიკის ნებისმიერი ტანგენტისთვის. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი ნებისმიერ წერტილში არის x ღერძის პარალელურად. ამიტომ მითითებულ ინტერვალზე Ψ(x) ფუნქციის გრაფიკი ემთხვევა y=C წრფივ სეგმენტს.

ასე რომ, ფუნქცია f(x)=c მუდმივია J ინტერვალზე, თუ f`(x)=0 ამ ინტერვალზე.

მართლაც, თვითნებური x 1 და x 2-ისთვის J ინტერვალიდან, ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობის თეორემის მიხედვით, შეგვიძლია დავწეროთ:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), რადგან f`(c)=0, შემდეგ f(x 2)= f(x 1)

თეორემა: (ანტიწარმოებული ფუნქციის ძირითადი თვისება)

თუ F(x) არის ერთ-ერთი ანტიდერივატი f(x) ფუნქციისთვის J ინტერვალზე, მაშინ ამ ფუნქციის ყველა ანტიწარმოებულთა სიმრავლეს აქვს ფორმა: F(x)+C, სადაც C არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

მტკიცებულება:

მოდით F`(x) = f(x), შემდეგ (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x), x − J-ისთვის.
დავუშვათ, რომ არსებობს Φ(x) - სხვა ანტიწარმოებული f (x) J ინტერვალზე, ე.ი. Φ`(x) = f(x),
მაშინ (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, x Є J-ისთვის.
ეს ნიშნავს, რომ Φ(x) - F(x) მუდმივია J ინტერვალზე.
ამიტომ, Φ(x) - F(x) = C.
საიდანაც Φ(x)= F(x)+C.
ეს ნიშნავს, რომ თუ F (x) არის f (x) ფუნქციის ანტიწარმოებული J ინტერვალზე, მაშინ ამ ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლეს აქვს ფორმა: F (x) + C, სადაც C არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.
მაშასადამე, მოცემული ფუნქციის ნებისმიერი ორი ანტიდერივატი განსხვავდება ერთმანეთისგან მუდმივი ვადით.

მაგალითი: იპოვეთ f (x) = cos x ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე. დახაზეთ პირველი სამის გრაფიკები.

გადაწყვეტილება: Sin x - f (x) = cos x ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი
F(x) = Sin x + C არის ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1

გეომეტრიული ილუსტრაცია:ნებისმიერი F(x)+C ანტიწარმოებულის გრაფიკის მიღება შესაძლებელია F(x) ანტიწარმოებულის გრაფიკიდან პარალელური ტრანსლაციის r (0;c) გამოყენებით.

მაგალითი: f (x) \u003d 2x ფუნქციისთვის იპოვეთ ანტიწარმოებული, რომლის გრაფიკი გადის t.M (1; 4)

გადაწყვეტილება: F(х)=х 2 +С არის ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე, F(1)=4 - ამოცანის პირობის მიხედვით.
ამიტომ, 4 \u003d 1 2 +C
C = 3
F (x) \u003d x 2 +3

დიფერენციაციის ერთ-ერთი ოპერაციაა წარმოებულის (დიფერენციალური) პოვნა და მისი გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად.

თანაბრად მნიშვნელოვანია საპირისპირო პრობლემა. თუ ფუნქციის ქცევა ცნობილია მისი განსაზღვრის თითოეული წერტილის სიახლოვეს, მაშინ როგორ აღვადგინოთ ფუნქცია მთლიანობაში, ე.ი. მისი განმარტების მთელ დიაპაზონში. ეს პრობლემა ე.წ. ინტეგრალური კალკულუსის შესწავლის საგანია.

ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის საპირისპირო მოქმედება. ან f(x) ფუნქციის აღდგენა მოცემული f`(x) წარმოებულიდან. ლათინური სიტყვა "ინტეგრა" ნიშნავს აღდგენას.

მაგალითი #1.

მოდით (f(x))' = 3x 2. იპოვეთ f(x).

გადაწყვეტილება:

დიფერენციაციის წესიდან გამომდინარე, ადვილი მისახვედრია, რომ f (x) \u003d x 3, რადგან

(x 3) ' = 3x 2 თუმცა, ადვილი მისახვედრია, რომ f (x) ორაზროვნად არის ნაპოვნი. როგორც f (x) შეგიძლიათ აიღოთ f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 და ა.შ.

იმიტომ რომ თითოეული მათგანის წარმოებული არის 3x2. (მუდმივის წარმოებული არის 0). ყველა ეს ფუნქცია განსხვავდება ერთმანეთისგან მუდმივი ვადით. მაშასადამე, ამოცანის ზოგადი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც f(x)= x 3 +C, სადაც C არის ნებისმიერი მუდმივი რეალური რიცხვი.

ნებისმიერი ნაპოვნი ფუნქცია f(x) ეწოდება პრიმიტიულიფუნქციისთვის F`(x) = 3x 2

განმარტება.

F(x) ფუნქციას ეწოდება ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის მოცემულ J ინტერვალზე, თუ ყველა x ამ ინტერვალიდან F`(x) = f(x). ასე რომ, ფუნქცია F (x) \u003d x 3 არის ანტიწარმოებული f (x) \u003d 3x 2-ზე (- ∞ ; ∞). ვინაიდან ყველა x ~ R-სთვის ტოლობა მართალია: F`(x)=(x 3)`=3x 2

როგორც უკვე ავღნიშნეთ, ამ ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებულების უსასრულო ნაკრები.

მაგალითი #2.

ფუნქცია ანტიდერივატიულია ყველასთვის ინტერვალზე (0; +∞), რადგან ყველა h ამ ინტერვალიდან, თანასწორობა მოქმედებს.

ინტეგრაციის ამოცანაა იპოვოთ მისი ყველა ანტიდერივატი მოცემული ფუნქციისთვის. შემდეგი მტკიცება მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ამ პრობლემის გადაჭრაში:

ფუნქციის მუდმივობის ნიშანი. თუ F "(x) \u003d 0 ზოგიერთ ინტერვალზე I, მაშინ ფუნქცია F არის მუდმივი ამ ინტერვალზე.

მტკიცებულება.

მოდით დავაფიქსიროთ რაღაც x 0 I ინტერვალიდან. შემდეგ ნებისმიერი x რიცხვისთვის ასეთი ინტერვალიდან, ლაგრანგის ფორმულის მიხედვით, შეიძლება მიუთითოთ ისეთი რიცხვი c x-სა და x 0-ს შორის, რომ

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

პირობით, F' (c) = 0, ვინაიდან c ∈1, შესაბამისად,

F(x) - F(x 0) = 0.

ასე რომ, ყველა x-ისთვის I ინტერვალიდან

ანუ F ფუნქცია მუდმივი რჩება.

ყველა ანტიდერივატიული ფუნქცია f შეიძლება დაიწეროს ერთი ფორმულის გამოყენებით, რომელსაც ე.წ ფუნქციის ანტიდერივატების ზოგადი ფორმავ. შემდეგი თეორემა მართალია ( პრიმიტივების ძირითადი თვისება):

თეორემა. ნებისმიერი ანტიწარმოებული f ფუნქციისთვის I ინტერვალზე შეიძლება ჩაიწეროს როგორც

F(x) + C, (1) სადაც F(x) არის ერთ-ერთი ანტიდერივატი f(x) ფუნქციისთვის I ინტერვალზე და C არის თვითნებური მუდმივი.

მოდით ავხსნათ ეს განცხადება, რომელშიც მოკლედ არის ჩამოყალიბებული ანტიწარმოებულის ორი თვისება:

1. რაც არ უნდა ჩავდოთ გამოსახულებაში (1) C-ის ნაცვლად, მივიღებთ f-ის ანტიწარმოებულს I ინტერვალზე;
2. I ინტერვალზე f-ის რომელი ანტიწარმოებული Ф აიღეთ, შეიძლება ისეთი რიცხვი C ავირჩიოთ, რომ I ინტერვალიდან ყველა x-ისთვის დაკმაყოფილდეს ტოლობა.

მტკიცებულება.

1. პირობით, ფუნქცია F არის f-ის ანტიწარმოებული I ინტერვალზე. ამიტომ, F "(x) \u003d f (x) ნებისმიერი x∈1-ისთვის, შესაბამისად (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" \u003d f(x)+0=f(x), ანუ F(x) + C არის f ფუნქციის ანტიდერივატი.
2. მოდით, Ф (х) იყოს f ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი იმავე I ინტერვალზე, ანუ Ф"(x) = f (х) ყველა x∈I-სთვის.

შემდეგ (Ф (x) - F (x)) "= Ф" (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0.

აქედან გამომდინარეობს. ფუნქციის მუდმივობის ნიშნის გამო, რომ განსხვავება Ф (х) - F (х) არის ფუნქცია, რომელიც იღებს რაღაც მუდმივ მნიშვნელობას C I ინტერვალზე.

ამრიგად, I ინტერვალიდან ყველა x-ისთვის მართებულია ტოლობა Ф(х) - F(x)=С, რაც დასამტკიცებელი იყო. ანტიწარმოებულის ძირითად თვისებას შეიძლება მივცეთ გეომეტრიული მნიშვნელობა: ნებისმიერი ორი ანტიწარმოებულის გრაფიკები f ფუნქციისთვის მიიღება ერთმანეთისგან y ღერძის გასწვრივ პარალელური გადაყვანით

კითხვები აბსტრაქტებისთვის

ფუნქცია F(x) არის f(x) ფუნქციის ანტიდერივატი. იპოვეთ F(1), თუ f(x)=9x2 - 6x + 1 და F(-1) = 2.

იპოვეთ ყველა ანტიდერივატი ფუნქციისთვის

(x) = cos2 * sin2x ფუნქციისთვის იპოვეთ ანტიწარმოებული F(x), თუ F(0) = 0.

ფუნქციისთვის იპოვეთ ანტიწარმოებული, რომლის გრაფიკი გადის წერტილში

ჩვენ ვნახეთ, რომ წარმოებულს აქვს მრავალი გამოყენება: წარმოებული არის მოძრაობის სიჩქარე (ან, ზოგადად, ნებისმიერი პროცესის სიჩქარე); წარმოებული არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის დახრილობა; წარმოებულის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოიკვლიოთ ფუნქცია ერთფეროვნებისა და ექსტრემისთვის; წარმოებული ხელს უწყობს ოპტიმიზაციის პრობლემების გადაჭრას.

მაგრამ რეალურ ცხოვრებაში შებრუნებული ამოცანების გადაჭრაც უნდა მოხდეს: მაგალითად, მოძრაობის ცნობილი კანონიდან სიჩქარის პოვნის პრობლემასთან ერთად, არსებობს მოძრაობის კანონის ცნობილი სიჩქარიდან აღდგენის პრობლემაც. განვიხილოთ ერთ-ერთი ასეთი პრობლემა.

მაგალითი 1მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ, მისი მოძრაობის სიჩქარე t დროს მოცემულია ფორმულით u = tg. იპოვნეთ მოძრაობის კანონი.

გადაწყვეტილება.მოდით s = s(t) იყოს მოძრაობის სასურველი კანონი. ცნობილია, რომ s"(t) = u"(t). ასე რომ, პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ უნდა გავაკეთოთ არჩევანი ფუნქცია s = s(t), რომლის წარმოებული ტოლია tg. ამის გამოცნობა ადვილია

ჩვენ მაშინვე აღვნიშნავთ, რომ მაგალითი ამოხსნილია სწორად, მაგრამ არასრულად. ჩვენ მივიღეთ, რომ ფაქტობრივად, პრობლემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი: ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია თვითნებური მუდმივი, შეიძლება იყოს მოძრაობის კანონი, რადგან

დავალების უფრო დაკონკრეტებისთვის უნდა დაგვეფიქსირებინა საწყისი სიტუაცია: მიუთითეთ მოძრავი წერტილის კოორდინატი დროის გარკვეულ მომენტში, მაგალითად, t=0-ზე. თუ, ვთქვათ, s (0) \u003d s 0, მაშინ ტოლობიდან ვიღებთ s (0) \u003d 0 + C, ანუ S 0 \u003d C. ახლა მოძრაობის კანონი ცალსახად არის განსაზღვრული:
მათემატიკაში, ურთიერთშებრუნებულ ოპერაციებს ეძახიან სხვადასხვა სახელები, გამოიგონეს სპეციალური აღნიშვნები: მაგალითად, კვადრატში (x 2) და კვადრატული ფესვის სინუსის ამოღება (sinx) და რკალი(arcsin x) და ა.შ. მოცემული ფუნქციის მიმართ წარმოებულის პოვნის პროცესს დიფერენციაცია ეწოდება, ხოლო შებრუნებულ ოპერაციას, ე.ი. მოცემული წარმოებულის მიერ ფუნქციის პოვნის პროცესი - ინტეგრაციით.
თავად ტერმინი "წარმოებული" შეიძლება გამართლდეს "ამქვეყნიური გზით": ფუნქცია y - f (x) "აწარმოებს სამყაროში" ახალ ფუნქციას y "= f" (x) ფუნქცია y \u003d f (x) მოქმედებს როგორც "მშობელი", მაგრამ მათემატიკოსები, რა თქმა უნდა, არ უწოდებენ მას "მშობელს" ან "მწარმოებელს", ისინი ამბობენ, რომ ეს არის y "=f" (x) ფუნქციასთან მიმართებაში, პირველადი სურათი. , ან, მოკლედ, ანტიდერივატი.

განმარტება 1.ფუნქცია y \u003d F (x) ეწოდება ანტიწარმოებულს y \u003d f (x) ფუნქციისთვის მოცემულ X ინტერვალზე, თუ ყველა x-სთვის X ტოლობა F "(x) \u003d f (x) მართალია. .

პრაქტიკაში, X ინტერვალი ჩვეულებრივ არ არის მითითებული, მაგრამ იგულისხმება (როგორც ფუნქციის ბუნებრივი დომენი).

Აი ზოგიერთი მაგალითი:

1) ფუნქცია y \u003d x 2 არის ანტიდერივატი y \u003d 2x ფუნქციისთვის, რადგან ყველა x-სთვის თანასწორობა (x 2) "\u003d 2x მართალია.
2) ფუნქცია y - x 3 არის ანტიდერივატი y-3x 2 ფუნქციისთვის, რადგან ყველა x-სთვის ტოლობა (x 3)" \u003d 3x 2 მართალია.
3) ფუნქცია y-sinx არის ანტიწარმოებული y=cosx ფუნქციისთვის, ვინაიდან ყველა x-სთვის ტოლობა (sinx) "=cosx მართალია.
4) ფუნქცია ანტიდერივატიულია ფუნქციისთვის ინტერვალზე, რადგან ყველა x > 0-ისთვის ტოლობა მართალია
ზოგადად, წარმოებულების პოვნის ფორმულების ცოდნით, არ არის რთული ანტიდერივატების საპოვნელ ფორმულების ცხრილის შედგენა.

ვიმედოვნებთ, რომ გესმით, როგორ არის შედგენილი ეს ცხრილი: მეორე სვეტში ჩაწერილი ფუნქციის წარმოებული ტოლია იმ ფუნქციის, რომელიც ჩაწერილია პირველი სვეტის შესაბამის სტრიქონში (შეამოწმეთ, არ დაიზაროთ, ეს არის ძალიან სასარგებლო). მაგალითად, y \u003d x 5 ფუნქციისთვის, ანტიდერივატი, როგორც თქვენ ადგენთ, არის ფუნქცია (იხ. ცხრილის მეოთხე სტრიქონი).

შენიშვნები: 1. ქვემოთ ვამტკიცებთ თეორემას, რომ თუ y = F(x) არის ანტიწარმოებული y = f(x) ფუნქციისთვის, მაშინ ფუნქციას y = f(x) აქვს უსასრულოდ ბევრი ანტიწარმოებული და მათ ყველას აქვს y = F ფორმა. (x ) + C. ამიტომ უფრო სწორი იქნებოდა ტერმინი C ყველგან დავამატოთ ცხრილის მეორე სვეტში, სადაც C არის თვითნებური რეალური რიცხვი.
2. მოკლედ რომ ვთქვათ, ხანდახან ფრაზის ნაცვლად "y = F(x) ფუნქცია არის ანტიწარმოებული ფუნქციისთვის y = f(x)", ამბობენ F(x) არის f(x) ანტიწარმოებული. ".

2. ანტიდერივატების პოვნის წესები

ანტიდერივატების ძიებისას, ასევე წარმოებულების ძიებისას გამოიყენება არა მხოლოდ ფორმულები (ისინი ჩამოთვლილია ცხრილში 196-ე გვ.), არამედ გარკვეული წესებიც. ისინი პირდაპირ კავშირშია წარმოებულების გამოთვლის შესაბამის წესებთან.

ვიცით, რომ ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს. ეს წესი აყალიბებს შესაბამის წესს ანტიდერივატების მოსაძებნად.

წესი 1ჯამის ანტიდერივატი უდრის ანტიწარმოებულთა ჯამს.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ ამ ფორმულირების გარკვეულ „სიმსუბუქეზე“. ფაქტობრივად, საჭირო იქნებოდა თეორემის ჩამოყალიბება: თუ y = f(x) და y=g(x) ფუნქციებს აქვთ ანტიწარმოებულები X, y-F(x) და y-G(x) ინტერვალზე, შესაბამისად, მაშინ ჯამი. y = f(x) + g(x) ფუნქციებიდან აქვს ანტიდერივატი X ინტერვალზე და ეს ანტიწარმოებული არის ფუნქცია y = F(x) + G(x). მაგრამ ჩვეულებრივ, წესების (და არა თეორემების) ჩამოყალიბებისას მხოლოდ საკვანძო სიტყვები რჩება - ეს უფრო მოსახერხებელია წესის პრაქტიკაში გამოსაყენებლად.

მაგალითი 2იპოვეთ ანტიწარმოებული y = 2x + cos x ფუნქციისთვის.

გადაწყვეტილება. 2x-ის ანტიწარმოებული არის x "; cosx-ის ანტიწარმოებული არის sin x. აქედან გამომდინარე, ანტიწარმოებული y \u003d 2x + cos x იქნება ფუნქცია y \u003d x 2 + sin x (და ზოგადად ფუნქციის ნებისმიერი ფუნქცია. ფორმა Y \u003d x 1 + sinx + C) .
ჩვენ ვიცით, რომ მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. ეს წესი აყალიბებს შესაბამის წესს ანტიდერივატების მოსაძებნად.

წესი 2მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ანტიდერივატიული ნიშნიდან.

მაგალითი 3

გადაწყვეტილება.ა) sin x-ის ანტიწარმოებული არის -cos x; აქედან გამომდინარე, y \u003d 5 sin x ფუნქციისთვის, ანტიწარმოებული იქნება ფუნქცია y \u003d -5 cos x.

ბ) cos x-ის ანტიწარმოებული არის sin x; შესაბამისად, ანტიდერივატიული ფუნქციისთვის იქნება ფუნქცია
გ) ანტიწარმოებული x 3-ისთვის არის ანტიწარმოებული x-სთვის არის ანტიწარმოებული y \u003d 1 არის ფუნქცია y \u003d x. პირველი და მეორე წესების გამოყენებით ანტიწარმოებულების საპოვნელად, მივიღებთ, რომ ანტიწარმოებული y \u003d 12x 3 + 8x-1 ფუნქციისთვის არის ფუნქცია.
კომენტარი.მოგეხსენებათ, პროდუქტის წარმოებული არ არის წარმოებულის ნამრავლის ტოლი (პროდუქტის დიფერენცირების წესი უფრო რთულია) და კოეფიციენტის წარმოებული არ არის წარმოებულის ტოლი. მაშასადამე, არ არსებობს პროდუქტის ანტიწარმოებულის ან ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ანტიდერივატივის პოვნის წესები. Ფრთხილად იყავი!
ჩვენ ვიღებთ კიდევ ერთ წესს ანტიდერივატების მოსაძებნად. ჩვენ ვიცით, რომ y \u003d f ფუნქციის წარმოებული (kx + m) გამოითვლება ფორმულით

ეს წესი აყალიბებს შესაბამის წესს ანტიდერივატების მოსაძებნად.
წესი 3თუ y \u003d F (x) არის y \u003d f (x) ფუნქციის ანტიწარმოებული, მაშინ y \u003d f (kx + m) ფუნქციის ანტიწარმოებული არის ფუნქცია.

Ნამდვილად,

ეს ნიშნავს, რომ ეს არის ანტიწარმოებული ფუნქციისთვის y \u003d f (kx + m).
მესამე წესის მნიშვნელობა შემდეგია. თუ იცით, რომ y \u003d f (x) ფუნქციის ანტიწარმოებული არის ფუნქცია y \u003d F (x), და თქვენ უნდა იპოვოთ y \u003d f ფუნქციის ანტიწარმოებული (kx + m), მაშინ გააგრძელეთ როგორც შემდეგნაირად: აიღეთ იგივე F ფუნქცია, მაგრამ x არგუმენტის ნაცვლად ჩაანაცვლეთ გამონათქვამი xx+m; გარდა ამისა, არ დაგავიწყდეთ ფუნქციის ნიშანმდე დაწეროთ „კორექტირების ფაქტორი“.
მაგალითი 4იპოვეთ ანტიწარმოებულები მოცემული ფუნქციებისთვის:

გადაწყვეტილება, ა) sin x-ის ანტიწარმოებული არის -cos x; ეს ნიშნავს, რომ y \u003d sin2x ფუნქციისთვის, ანტიდერივატი იქნება ფუნქცია
ბ) cos x-ის ანტიწარმოებული არის sin x; შესაბამისად, ანტიდერივატიული ფუნქციისთვის იქნება ფუნქცია

გ) ანტიწარმოებული x 7-ისთვის არის, შესაბამისად, y \u003d (4-5x) 7 ფუნქციისთვის, ანტიწარმოებული იქნება ფუნქცია

3. განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ, რომ მოცემული ფუნქციისთვის y = f(x) ანტიწარმოებულის პოვნის პრობლემას აქვს ერთზე მეტი ამონახსნი. განვიხილოთ ეს საკითხი უფრო დეტალურად.

მტკიცებულება. 1. მოდით y \u003d F (x) იყოს y \u003d f (x) ფუნქციის ანტიდერივატი X ინტერვალზე. ეს ნიშნავს, რომ ყველა x-სთვის X-დან ტოლობა x "(x) \u003d f (x) არის მართალია. იპოვეთ y \u003d F (x) + C ფორმის ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებული:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

ასე რომ, (F(x)+C) = f(x). ეს ნიშნავს, რომ y \u003d F (x) + C არის ანტიდერივატი y \u003d f (x) ფუნქციისთვის.
ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ ფუნქციას y \u003d f (x) აქვს ანტიწარმოებული y \u003d F (x), მაშინ ფუნქციას (f \u003d f (x) აქვს უსასრულოდ ბევრი ანტიწარმოებული, მაგალითად, ნებისმიერი ფუნქცია. ფორმა y \u003d F (x) +C არის ანტიდერივატი.
2. ახლა დავამტკიცოთ, რომ ანტიდერივატების მთელი ნაკრები ამოწურულია მითითებული ტიპის ფუნქციებით.

მოდით y=F 1 (x) და y=F(x) იყოს ორი ანტიდერივატი ფუნქციისთვის Y = f(x) X ინტერვალზე. ეს ნიშნავს, რომ X ინტერვალიდან ყველა x-ისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

განვიხილოთ ფუნქცია y \u003d F 1 (x) -.F (x) და იპოვეთ მისი წარმოებული: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
ცნობილია, რომ თუ X ინტერვალზე ფუნქციის წარმოებული იდენტურია ნულის ტოლი, მაშინ ფუნქცია მუდმივია X ინტერვალზე (იხ. თეორემა 3 § 35). აქედან გამომდინარე, F 1 (x) -F (x) \u003d C, ე.ი. Fx) \u003d F (x) + C.

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითი 5დადგენილია სიჩქარის ცვლილების კანონი დროიდან v = -5sin2t. იპოვეთ მოძრაობის კანონი s = s(t), თუ ცნობილია, რომ t=0 დროს წერტილის კოორდინატი ტოლი იყო რიცხვის 1,5 (ანუ s(t) = 1,5).

გადაწყვეტილება.ვინაიდან სიჩქარე არის კოორდინატის წარმოებული, როგორც დროის ფუნქცია, ჯერ უნდა ვიპოვოთ სიჩქარის ანტიდერივატი, ე.ი. ანტიწარმოებული v = -5sin2t ფუნქციისთვის. ერთ-ერთი ასეთი ანტიდერივატი არის ფუნქცია და ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლეს აქვს ფორმა:

C მუდმივის კონკრეტული მნიშვნელობის საპოვნელად ვიყენებთ საწყის პირობებს, რომლის მიხედვითაც, s(0) = 1.5. ფორმულაში (1) მნიშვნელობების ჩანაცვლებით t=0, S = 1.5, მივიღებთ:

ნაპოვნი C მნიშვნელობის (1) ფორმულით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ ჩვენთვის საინტერესო მოძრაობის კანონს:

განმარტება 2.თუ ფუნქციას y = f(x) აქვს ანტიწარმოებული y = F(x) X ინტერვალზე, მაშინ ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე, ე.ი. y \u003d F (x) + C ფორმის ფუნქციების სიმრავლეს ეწოდება y \u003d f (x) ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი და აღინიშნება:

(კითხულობენ: „x de x-ის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეფ“).
შემდეგ განყოფილებაში ჩვენ გავარკვევთ, რა არის ამ აღნიშვნის ფარული მნიშვნელობა.
ამ პარაგრაფში არსებული ანტიწარმოებულების ცხრილის საფუძველზე, ჩვენ შევადგენთ ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილს:

ანტიდერივატების პოვნის ზემოაღნიშნული სამი წესის საფუძველზე შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ შესაბამისი ინტეგრაციის წესები.

წესი 1ფუნქციების ჯამის ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციების ინტეგრალების ჯამს:

წესი 2მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:

წესი 3Თუ

მაგალითი 6იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალები:

გადაწყვეტილება, ა) პირველი და მეორე ინტეგრაციის წესების გამოყენებით ვიღებთ:

ახლა ჩვენ ვიყენებთ მე-3 და მე-4 ინტეგრაციის ფორმულებს:

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

ბ) ინტეგრაციის მესამე წესისა და ფორმულის 8-ის გამოყენებით მივიღებთ:

გ) მოცემული ინტეგრალის პირდაპირი განსაზღვრისათვის არ გვაქვს არც შესაბამისი ფორმულა და არც შესაბამისი წესი. ასეთ შემთხვევებში, ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ მყოფი გამოხატვის წინასწარი იდენტური გარდაქმნები ზოგჯერ ეხმარება.

მოდით გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფორმულა ხარისხის შესამცირებლად:

შემდეგ თანმიმდევრულად ვპოულობთ:

ა.გ. მორდკოვიჩის ალგებრა მე-10 კლასი

კალენდარულ-თემატური დაგეგმარება მათემატიკაში, ვიდეომათემატიკაში ონლაინ , მათემატიკა სკოლაში

ანტიდერივატივის განმარტება.

ანტიწარმოებული ფუნქცია f(x) ინტერვალზე (a; b) არის ისეთი ფუნქცია F(x), რომ თანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერი x მოცემული ინტერვალიდან.

თუ გავითვალისწინებთ იმას, რომ C მუდმივის წარმოებული ტოლია ნულის, მაშინ ტოლობა . ამრიგად, f(x) ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებულების ნაკრები F(x)+C, თვითნებური მუდმივი C-სთვის და ეს ანტიწარმოებულები განსხვავდებიან ერთმანეთისგან თვითნებური მუდმივი მნიშვნელობით.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება.

f(x) ფუნქციის ანტიწარმოებულთა მთელ სიმრავლეს ამ ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეწოდება და აღინიშნება .

გამოთქმა ე.წ ინტეგრანდდა f(x) ინტეგრანდ. ინტეგრანტი არის f(x) ფუნქციის დიფერენციალი.

მისი მოცემული დიფერენციალით უცნობი ფუნქციის პოვნის მოქმედებას ეწოდება გაურკვეველიინტეგრაცია, რადგან ინტეგრაციის შედეგი არის არა ერთი ფუნქცია F(x) , არამედ მისი ანტიწარმოებულების სიმრავლე F(x)+C.

წარმოებულის თვისებებიდან გამომდინარე, შეიძლება ჩამოყალიბდეს და დაამტკიცოს განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები(ანტიწარმოებულის თვისებები).

დასაზუსტებლად მოცემულია განუსაზღვრელი ინტეგრალის პირველი და მეორე თვისებების შუალედური ტოლობები.

მესამე და მეოთხე თვისებების დასამტკიცებლად საკმარისია ვიპოვოთ ტოლობების მარჯვენა მხარის წარმოებულები:

ეს წარმოებულები ინტეგრადების ტოლია, რაც პირველი თვისების მტკიცებულებაა. იგი ასევე გამოიყენება ბოლო გადასვლებში.

ამრიგად, ინტეგრაციის პრობლემა არის დიფერენციაციის ინვერსიული პრობლემა და ამ პრობლემებს შორის ძალიან მჭიდრო კავშირია:

• პირველი თვისება იძლევა ინტეგრაციის შემოწმების საშუალებას. შესრულებული ინტეგრაციის სისწორის შესამოწმებლად საკმარისია გამოვთვალოთ მიღებული შედეგის წარმოებული. თუ დიფერენციაციის შედეგად მიღებული ფუნქცია ინტეგრანტის ტოლი აღმოჩნდება, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაცია სწორად განხორციელდა;
• განუსაზღვრელი ინტეგრალის მეორე თვისება საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მისი ანტიწარმოებული ფუნქციის ცნობილი დიფერენციალიდან. განუსაზღვრელი ინტეგრალების პირდაპირი გამოთვლა ეფუძნება ამ თვისებას.

განვიხილოთ მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის ანტიდერივატი, რომლის მნიშვნელობა უდრის ერთს x = 1-ზე.

გადაწყვეტილება.

დიფერენციალური გამოთვლებიდან ვიცით, რომ (უბრალოდ გადახედეთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილს). ამრიგად, . მეორე ქონებით . ანუ გვაქვს ანტიდერივატების ნაკრები. x = 1-ისთვის ვიღებთ მნიშვნელობას. პირობით, ეს მნიშვნელობა უნდა იყოს ერთის ტოლი, შესაბამისად, С = 1. სასურველი ანტიდერივატი მიიღებს ფორმას.

მაგალითი.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი და შეამოწმეთ შედეგი დიფერენციაციის გზით.

გადაწყვეტილება.

ტრიგონომეტრიიდან ორმაგი კუთხის სინუსის ფორმულის მიხედვით , Ამიტომაც