ორი ან მეტი წრფივი უტოლობის ნებისმიერი კრებული, რომელიც შეიცავს ერთსა და იმავე უცნობ რაოდენობას, ეწოდება

აქ მოცემულია ასეთი სისტემების მაგალითები:

ორი სხივის გადაკვეთის შუალედი ჩვენი გამოსავალია. მაშასადამე, ამ უთანასწორობის გამოსავალი არის ყველაფერი Xმდებარეობს ორსა და რვას შორის.

პასუხი: X

უტოლობების სისტემის ამოხსნის ამ ტიპის რუკის გამოყენებას ზოგჯერ უწოდებენ სახურავის მეთოდი.

განმარტება:ორი კომპლექტის გადაკვეთა მაგრამდა ATეწოდება ისეთ მესამე კომპლექტს, რომელიც მოიცავს ყველა ელემენტს, რომელიც შედის და შედის მაგრამდა ში AT. ეს არის თვითნებური ხასიათის კომპლექტების გადაკვეთის მნიშვნელობა. ახლა დეტალურად განვიხილავთ რიცხვით სიმრავლეებს, შესაბამისად, წრფივი უტოლობების პოვნისას ასეთი სიმრავლეებია სხივები - თანამიმართული, წინააღმდეგ მიმართული და ა.შ.

მოდი გავარკვიოთ რეალურზე მაგალითებიუტოლობების წრფივი სისტემების პოვნა, როგორ განვსაზღვროთ სისტემაში შემავალი ცალკეული უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეების გადაკვეთა.

გამოთვლა უთანასწორობის სისტემა:

მოდით მოვათავსოთ ძალის ორი ხაზი ერთმანეთის ქვემოთ. ზემოდან ჩვენ ვაყენებთ ამ მნიშვნელობებს X,რომლებიც ასრულებენ პირველ უტოლობას x>7 , და ბოლოში - რომლებიც მოქმედებენ როგორც მეორე უტოლობის ამოხსნა x>10 ჩვენ ვაკავშირებთ რიცხვითი წრფეების შედეგებს, გავარკვიეთ, რომ ორივე უტოლობა დაკმაყოფილდება x>10.

პასუხი: (10;+∞).

ჩვენ ვაკეთებთ ანალოგიით პირველ ნიმუშთან. მოცემულ ციფრულ ღერძზე დახაზეთ ყველა ეს მნიშვნელობა Xრომლისთვისაც პირველი არსებობს სისტემის უთანასწორობადა მეორე ციფრულ ღერძზე, რომელიც მოთავსებულია პირველის ქვეშ, ყველა ეს მნიშვნელობა X, რისთვისაც დაკმაყოფილებულია სისტემის მეორე უტოლობა. მოდით შევადაროთ ეს ორი შედეგი და დავადგინოთ, რომ ორივე უტოლობა ერთდროულად დაკმაყოფილდება ყველა მნიშვნელობისთვის X 7-დან 10-მდე მდებარეობს, ნიშნების გათვალისწინებით, ვიღებთ 7-ს<x≤10

პასუხი: (7; 10].

ქვემოთ მოგვარებულია იმავე გზით. უთანასწორობის სისტემები.

ამ სტატიაში თავდაპირველი ინფორმაცია შეგროვდა უთანასწორობის სისტემების შესახებ. აქ ჩვენ ვაძლევთ უტოლობათა სისტემის განმარტებას და უტოლობების სისტემის ამოხსნის განმარტებას. ასევე ჩამოთვლილია სისტემების ძირითადი ტიპები, რომლებთანაც ყველაზე ხშირად გიწევთ მუშაობა სკოლაში ალგებრის გაკვეთილებზე და მოცემულია მაგალითები.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის უთანასწორობის სისტემა?

მოსახერხებელია უტოლობების სისტემების განსაზღვრა ისევე, როგორც ჩვენ შემოვიღეთ განტოლებათა სისტემის განმარტება, ანუ ჩანაწერის ტიპისა და მასში ჩადებული მნიშვნელობის მიხედვით.

განმარტება.

უტოლობების სისტემაარის ჩანაწერი, რომელიც წარმოადგენს უტოლობების გარკვეულ რაოდენობას დაწერილი ერთმანეთის ქვემოთ, გაერთიანებულია მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით და აღნიშნავს ყველა ამონახსნის სიმრავლეს, რომლებიც ერთდროულად ამონახსნებია სისტემის თითოეული უტოლობისთვის.

მოვიყვანოთ უტოლობების სისტემის მაგალითი. აიღეთ ორი თვითნებური, მაგალითად, 2 x−3>0 და 5−x≥4 x−11, ჩაწერეთ ისინი ერთმანეთის ქვეშ.
2x−3>0,
5−x≥4 x−11
და გავერთიანდეთ სისტემის ნიშანთან - ხვეული ფრჩხილით, შედეგად ვიღებთ შემდეგი ფორმის უტოლობების სისტემას:

ანალოგიურად, მოცემულია იდეა სასკოლო სახელმძღვანელოებში უთანასწორობის სისტემების შესახებ. აღსანიშნავია, რომ მათში განმარტებები მოცემულია უფრო ვიწრო: უტოლობებისთვის ერთი ცვლადით ან ორი ცვლადით.

უტოლობათა სისტემების ძირითადი ტიპები

ნათელია, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი სხვადასხვა უტოლობის სისტემა. იმისათვის, რომ არ დაიკარგოთ ამ მრავალფეროვნებაში, მიზანშეწონილია მათი განხილვა ჯგუფებში, რომლებსაც აქვთ საკუთარი გამორჩეული თვისებები. უტოლობების ყველა სისტემა შეიძლება დაიყოს ჯგუფებად შემდეგი კრიტერიუმების მიხედვით:

• სისტემაში არსებული უტოლობების რაოდენობით;
• ჩაწერაში ჩართული ცვლადების რაოდენობის მიხედვით;
• უთანასწორობების ბუნებით.

ჩანაწერში შეტანილი უტოლობათა რაოდენობის მიხედვით გამოიყოფა სისტემები ორი, სამი, ოთხი და ა.შ. უთანასწორობები. წინა აბზაცში ჩვენ მოვიყვანეთ სისტემის მაგალითი, რომელიც არის ორი უტოლობის სისტემა. მოდით ვაჩვენოთ ოთხი უტოლობის სისტემის კიდევ ერთი მაგალითი .

ცალ-ცალკე ვამბობთ, რომ აზრი არ აქვს ერთი უთანასწორობის სისტემაზე ლაპარაკს, ამ შემთხვევაში, ფაქტობრივად, საუბარია თავად უთანასწორობაზე და არა სისტემაზე.

თუ გადავხედავთ ცვლადების რაოდენობას, მაშინ არსებობს უტოლობების სისტემები ერთი, ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები (ან, როგორც ამბობენ, უცნობი). შეხედეთ ზემოთ ორ აბზაცში დაწერილ უტოლობათა ბოლო სისტემას. ეს არის სისტემა სამი ცვლადით x , y და z . გაითვალისწინეთ, რომ მისი პირველი ორი უტოლობა არ შეიცავს სამივე ცვლადს, არამედ მხოლოდ ერთ მათგანს. ამ სისტემის კონტექსტში ისინი უნდა გავიგოთ, როგორც უტოლობები x+0 y+0 z≥−2 და 0 x+y+0 z≤5 ფორმის სამი ცვლადით, შესაბამისად. გაითვალისწინეთ, რომ სკოლა ერთი ცვლადით უთანასწორობებზე აკეთებს აქცენტს.

რჩება განხილვა, თუ რა სახის უთანასწორობაა ჩართული დამწერლობის სისტემებში. სკოლაში ძირითადად განიხილავენ ორი უტოლობის სისტემებს (ნაკლებად ხშირად - სამი, უფრო იშვიათად - ოთხი ან მეტი) ერთი ან ორი ცვლადით, ხოლო თავად უტოლობები ჩვეულებრივ. მთელი რიცხვების უტოლობებიპირველი ან მეორე ხარისხი (ნაკლებად ხშირად - უმაღლესი ხარისხი ან წილადი რაციონალური). მაგრამ არ გაგიკვირდეთ, თუ OGE-ს მოსამზადებელ მასალებში შეხვდებით უტოლობების სისტემებს, რომლებიც შეიცავს ირაციონალურ, ლოგარითმულ, ექსპონენციალურ და სხვა უტოლობას. მაგალითად, წარმოგიდგენთ უტოლობათა სისტემას , აღებულია .

რა არის უტოლობათა სისტემის ამოხსნა?

ჩვენ შემოგთავაზებთ კიდევ ერთ განმარტებას, რომელიც დაკავშირებულია უტოლობათა სისტემებთან - უტოლობების სისტემის ამოხსნის განმარტება:

განმარტება.

უტოლობათა სისტემის ამოხსნა ერთი ცვლადითცვლადის ისეთ მნიშვნელობას უწოდებენ, რომელიც აქცევს სისტემის თითოეულ უტოლობას ჭეშმარიტად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის სისტემის თითოეული უტოლობის ამოხსნა.

ავხსნათ მაგალითით. ავიღოთ ორი უტოლობის სისტემა ერთი ცვლადით. ავიღოთ x ცვლადის მნიშვნელობა 8-ის ტოლი, ეს არის ჩვენი უტოლობების სისტემის ამოხსნა განმარტებით, ვინაიდან მისი ჩანაცვლება სისტემის უტოლობებით იძლევა ორ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას 8>7 და 2−3 8≤0 . პირიქით, ერთეული არ არის სისტემის ამონახსნი, რადგან როდესაც ის ჩაანაცვლებს x ცვლადს, პირველი უტოლობა გადაიქცევა არასწორ რიცხვით უტოლობად 1>7 .

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია შემოვიტანოთ ამოხსნის განმარტება უტოლობათა სისტემისთვის ორი, სამი ან მეტი ცვლადით:

განმარტება.

უტოლობების სისტემის ამოხსნა ორი, სამი და ა.შ. ცვლადებიეწოდება წყვილი, სამმაგი და ა.შ. ამ ცვლადების მნიშვნელობები, რომელიც ერთდროულად არის სისტემის თითოეული უტოლობის ამოხსნა, ანუ ის აქცევს სისტემის თითოეულ უტოლობას ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად.

მაგალითად, მნიშვნელობების წყვილი x=1, y=2, ან სხვა აღნიშვნით (1, 2) არის ამონახსნი უტოლობათა სისტემის ორი ცვლადით, ვინაიდან 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

უტოლობების სისტემებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, შეიძლება ჰქონდეთ ამონახსნების სასრული რაოდენობა, ან შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. ხშირად საუბრობენ უთანასწორობების სისტემის ამოხსნის ერთობლიობაზე. როდესაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, მაშინ არის მისი გადაწყვეტილებების ცარიელი ნაკრები. როდესაც ამონახსნების სასრული რაოდენობაა, მაშინ ამონახსნთა სიმრავლე შეიცავს ელემენტთა სასრულ რაოდენობას, ხოლო როდესაც ამონახსნები უსასრულოდ ბევრია, მაშინ ამონახსნთა სიმრავლე შედგება ელემენტების უსასრულო რაოდენობისგან.

ზოგიერთი წყარო შემოაქვს უთანასწორობების სისტემის კონკრეტული და ზოგადი ამოხსნის განმარტებებს, როგორიცაა, მაგალითად, მორდკოვიჩის სახელმძღვანელოებში. ქვეშ უტოლობების სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტაგაიგე მისი ერთი გამოსავალი. თავის მხრივ უტოლობათა სისტემის ზოგადი ამოხსნა- ეს ყველაფერი მისი პირადი გადაწყვეტილებებია. თუმცა, ამ ტერმინებს აქვთ აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც საჭიროა ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომელი გამოსავალია განხილული, მაგრამ, როგორც წესი, ეს უკვე ნათელია კონტექსტიდან, ამიტომ ბევრად უფრო გავრცელებულია უბრალოდ ვთქვათ „უთანასწორობების სისტემის ამოხსნა“.

ამ სტატიაში მოყვანილი უტოლობათა სისტემის განმარტებებიდან და მისი ამონახსნებიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობათა სისტემის ამოხსნა არის ამ სისტემის ყველა უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეების კვეთა.

ბიბლიოგრაფია.

1. Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, სრ. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. გამოყენება-2013წ. მათემატიკა: ტიპიური საგამოცდო ვარიანტები: 30 ვარიანტი / რედ. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. - მ .: გამომცემლობა "ეროვნული განათლება", 2012. - 192გვ. - (USE-2013. FIPI - სკოლა).

უტოლობის ამოხსნა ორი ცვლადით, და მით უმეტეს უტოლობების სისტემები ორი ცვლადით, როგორც ჩანს საკმაოდ გამოწვევაა. თუმცა, არსებობს მარტივი ალგორითმი, რომელიც ეხმარება მარტივად და უპრობლემოდ გადაჭრას ამ ტიპის ერთი შეხედვით ძალიან რთული პრობლემები. შევეცადოთ გავერკვეთ.

დავუშვათ, რომ გვაქვს უტოლობა ორი ცვლადთან ერთ-ერთი შემდეგი ტიპის:

y > f(x); y ≥ f(x); წ< f(x); y ≤ f(x).

კოორდინატულ სიბრტყეზე ასეთი უთანასწორობის ამონახსნების სიმრავლის გამოსახატავად, გააკეთეთ შემდეგი:

1. ვაშენებთ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკს, რომელიც სიბრტყეს ორ რეგიონად ყოფს.

2. ვირჩევთ რომელიმე მიღებულ უბანს და განვიხილავთ მასში თვითნებურ წერტილს. ჩვენ ვამოწმებთ თავდაპირველი უტოლობის დაკმაყოფილებას ამ წერტილისთვის. თუ შემოწმების შედეგად მიიღება სწორი რიცხვითი უტოლობა, მაშინ დავასკვნით, რომ თავდაპირველი უტოლობა დაკმაყოფილებულია მთელ ტერიტორიაზე, რომელსაც ეკუთვნის არჩეული წერტილი. ამრიგად, უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე არის ტერიტორია, რომელსაც ეკუთვნის შერჩეული წერტილი. თუ შემოწმების შედეგად მიიღება არასწორი რიცხვითი უტოლობა, მაშინ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე იქნება მეორე რეგიონი, რომელსაც არ ეკუთვნის არჩეული წერტილი.

3. თუ უტოლობა მკაცრია, მაშინ რეგიონის საზღვრები, ანუ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის წერტილები არ შედის ამონახსნების სიმრავლეში და ზღვარი ნაჩვენებია წერტილოვანი ხაზის სახით. თუ უტოლობა მკაცრი არ არის, მაშინ რეგიონის საზღვრები, ანუ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის წერტილები შედის ამ უტოლობის ამონახსნთა სიმრავლეში და საზღვარი ამ შემთხვევაში არის. გამოსახულია როგორც მყარი ხაზი.
ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე პრობლემას ამ თემაზე.

დავალება 1.

რა ქულათა სიმრავლეა მოცემული x უტოლობით · y ≤ 4?

გამოსავალი.

1) ჩვენ ვაშენებთ განტოლების გრაფიკს x · y = 4. ამისათვის ჯერ მას გარდაქმნით. ცხადია, x ამ შემთხვევაში არ ბრუნდება 0-ზე, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში გვექნებოდა 0 · y = 4, რაც არ შეესაბამება სინამდვილეს. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ ჩვენი განტოლება x-ზე. ვიღებთ: y = 4/x. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა. ის მთელ სიბრტყეს ყოფს ორ რეგიონად: ჰიპერბოლის ორ შტოს შორის და მათ გარეთ.

2) ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ წერტილს პირველი რეგიონიდან, ეს იყოს წერტილი (4; 2).
უტოლობის შემოწმება: 4 2 ≤ 4 მცდარია.

ეს ნიშნავს, რომ ამ რეგიონის წერტილები არ აკმაყოფილებს თავდაპირველ უთანასწორობას. შემდეგ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე იქნება მეორე რეგიონი, რომელსაც არ მიეკუთვნება არჩეული წერტილი.

3) ვინაიდან უტოლობა არ არის მკაცრი, საზღვრის წერტილებს, ანუ y = 4/x ფუნქციის გრაფიკის წერტილებს ვხატავთ მყარი ხაზით.

მოდით გავაფერადოთ წერტილების ნაკრები, რომელიც განსაზღვრავს თავდაპირველ უტოლობას ყვითელი ფერით (ნახ. 1).

დავალება 2.

დახაზეთ სისტემის მიერ კოორდინატულ სიბრტყეზე განსაზღვრული ფართობი
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

გამოსავალი.

დასაწყისისთვის ვაშენებთ შემდეგი ფუნქციების გრაფიკებს (ნახ. 2):

y \u003d x 2 + 2 - პარაბოლა,

y + x = 1 - სწორი ხაზი

x 2 + y 2 \u003d 9 არის წრე.

1) y > x 2 + 2.

ვიღებთ წერტილს (0; 5), რომელიც დევს ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ.
უტოლობის შემოწმება: 5 > 0 2 + 2 მართალია.

მაშასადამე, მოცემულ პარაბოლაზე ზემოთ მდებარე ყველა წერტილი y = x 2 + 2 აკმაყოფილებს სისტემის პირველ უტოლობას. მოდით გავაფერადოთ ისინი ყვითლად.

2) y + x > 1.

ვიღებთ წერტილს (0; 3), რომელიც დევს ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ.
უტოლობის შემოწმება: 3 + 0 > 1 სწორია.

მაშასადამე, y + x = 1 წრფის ზემოთ მდებარე ყველა წერტილი აკმაყოფილებს სისტემის მეორე უტოლობას. მოდით გავაფერადოთ ისინი მწვანეში.

3) x2 + y2 ≤ 9.

ჩვენ ვიღებთ წერტილს (0; -4), რომელიც მდებარეობს წრის გარეთ x 2 + y 2 = 9.
უტოლობის შემოწმება: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 არასწორია.

ამრიგად, ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს წრის გარეთ x 2 + y 2 = 9, არ აკმაყოფილებდეს სისტემის მესამე უთანასწორობას. შემდეგ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს წრის შიგნით x 2 + y 2 = 9 აკმაყოფილებს სისტემის მესამე უტოლობას. მოდით დავხატოთ ისინი მეწამული ჩრდილით.

არ დაგავიწყდეთ, რომ თუ უტოლობა მკაცრია, მაშინ შესაბამისი სასაზღვრო ხაზი უნდა გაივლოს წერტილოვანი ხაზით. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სურათს (ნახ. 3).

(ნახ. 4).

დავალება 3.

დახაზეთ სისტემის მიერ კოორდინატულ სიბრტყეზე განსაზღვრული ფართობი:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

გამოსავალი.

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვაშენებთ შემდეგი ფუნქციების გრაფიკებს:

x 2 + y 2 \u003d 16 - წრე,

x \u003d -y - სწორი

x 2 + y 2 \u003d 4 - წრე (ნახ. 5).

ახლა ჩვენ განვიხილავთ თითოეულ უთანასწორობას ცალ-ცალკე.

1) x2 + y2 ≤ 16.

ჩვენ ვიღებთ წერტილს (0; 0), რომელიც დევს წრის შიგნით x 2 + y 2 = 16.
უტოლობის შემოწმება: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 მართალია.

ამიტომ, ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს წრის შიგნით x 2 + y 2 = 16, აკმაყოფილებს სისტემის პირველ უტოლობას.
მოდით გავაფერადოთ ისინი წითლად.

ვიღებთ წერტილს (1; 1), რომელიც დევს ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ.
ჩვენ ვამოწმებთ უტოლობას: 1 ≥ -1 - მართალია.

მაშასადამე, x = -y წრფის ზემოთ მდებარე ყველა წერტილი აკმაყოფილებს სისტემის მეორე უტოლობას. მოდით გავაფერადოთ ისინი ლურჯად.

3) x2 + y2 ≥ 4.

ჩვენ ვიღებთ წერტილს (0; 5), რომელიც მდებარეობს წრის გარეთ x 2 + y 2 = 4.
ვამოწმებთ უტოლობას: 0 2 + 5 2 ≥ 4 მართალია.

ამიტომ, ყველა წერტილი წრის გარეთ x 2 + y 2 = 4 აკმაყოფილებს სისტემის მესამე უტოლობას. მოდით გავაფერადოთ ისინი ლურჯი.

ამ პრობლემაში ყველა უტოლობა არ არის მკაცრი, რაც ნიშნავს, რომ ყველა საზღვარს ვხატავთ მყარი ხაზით. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სურათს (ნახ. 6).

ინტერესის ზონა არის ტერიტორია, სადაც სამივე ფერადი უბანი კვეთს ერთმანეთს. (ნახ 7).

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ უტოლობათა სისტემა ორი ცვლადით?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

უთანასწორობათა სისტემა.
მაგალითი 1. იპოვნეთ გამოხატვის ფარგლები
გამოსავალი.კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს არაუარყოფითი რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ ორი უტოლობა ერთდროულად უნდა იყოს: ასეთ შემთხვევებში, ამბობენ, რომ პრობლემა მცირდება უთანასწორობის სისტემის გადაწყვეტაზე

მაგრამ ასეთი მათემატიკური მოდელი (უტოლობათა სისტემა) ჯერ არ შეგვხვედრია. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ ვერ ვასრულებთ მაგალითის ამოხსნას.

უტოლობები, რომლებიც ქმნიან სისტემას, გაერთიანებულია ხვეულ ფრჩხილთან (იგივეა განტოლებათა სისტემებში). მაგალითად, ჩანაწერი

ნიშნავს, რომ უტოლობები 2x - 1 > 3 და 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

ზოგჯერ უტოლობათა სისტემა იწერება როგორც ორმაგი უტოლობა. მაგალითად, უტოლობების სისტემა

შეიძლება დაიწეროს როგორც ორმაგი უტოლობა 3<2х-1<11.

მე-9 კლასის ალგებრის კურსში განვიხილავთ მხოლოდ ორი უტოლობის სისტემებს.

განვიხილოთ უტოლობების სისტემა

თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მისი რამდენიმე კონკრეტული გადაწყვეტა, მაგალითად x = 3, x = 4, x = 3.5. მართლაც, x = 3-ისთვის პირველი უტოლობა იღებს ფორმას 5 > 3, ხოლო მეორე - ფორმას 7.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

ამავე დროს, მნიშვნელობა x = 5 არ არის უტოლობების სისტემის ამოხსნა. x = 5-ისთვის პირველი უტოლობა იღებს ფორმას 9 > 3 - სწორი რიცხვითი უტოლობა, ხოლო მეორე - ფორმა 13.< 11- неверное числовое неравенство .
უტოლობების სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა კონკრეტული ამონახსნის პოვნას. ცხადია, რომ ასეთი გამოცნობა, როგორც ზემოთ აჩვენა, არ არის უტოლობების სისტემის ამოხსნის მეთოდი. შემდეგ მაგალითში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ მსჯელობენ ჩვეულებრივ უტოლობების სისტემის ამოხსნისას.

მაგალითი 3ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

გამოსავალი.

ა)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნისას ვპოულობთ 2x > 4, x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ Zx-ს< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
ბ)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნისას ვპოულობთ ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ხარვეზებს ერთ კოორდინატულ ხაზზე, პირველი უფსკრულისთვის ზედა გამოჩეკით, მეორესთვის კი ქვედა გამოჩეკით (სურ. 23). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა იქნება სისტემის უტოლობათა ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე ლუქი ემთხვევა. განხილულ მაგალითში ვიღებთ სხივს

in)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

განვაზოგადოთ განხილულ მაგალითში განხორციელებული მსჯელობა. დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ უტოლობების სისტემა

მაგალითად, ინტერვალი (a, b) იყოს fx 2 > g (x) უტოლობის ამონახსნი, ხოლო ინტერვალი (c, d) არის f 2 (x) > s 2 (x) უტოლობის ამონახსნი. ). ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ხარვეზებს ერთ კოორდინატულ ხაზზე, პირველი უფსკრულისთვის ზედა გამოჩეკით, მეორესთვის კი ქვედა გამოჩეკით (სურ. 25). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა არის სისტემის უტოლობათა ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე ლუქი ემთხვევა. ნახ. 25 არის ინტერვალი (s, b).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გადავჭრათ უტოლობათა სისტემა, რომელიც მივიღეთ ზემოთ, მაგალითად 1:

სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

რა თქმა უნდა, უტოლობათა სისტემა არ უნდა შედგებოდეს წრფივი უტოლობებისაგან, როგორც ეს აქამდე იყო; ნებისმიერი რაციონალური (და არა მხოლოდ რაციონალური) უთანასწორობა შეიძლება მოხდეს. ტექნიკურად, რაციონალური არაწრფივი უტოლობების სისტემასთან მუშაობა, რა თქმა უნდა, უფრო რთულია, მაგრამ ფუნდამენტურად ახალი არაფერია (წრფივი უტოლობების სისტემებთან შედარებით).

მაგალითი 4ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

გამოსავალი.

1) ამოხსენით უტოლობა, რომელიც გვაქვს
დააკვირდით რიცხვთა წრფეზე -3 და 3 წერტილებს (სურ. 27). ისინი ხაზს ყოფენ სამ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოთქმა p (x) = (x - 3) (x + 3) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს - ეს ნიშნები მითითებულია ნახ. 27. ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, სადაც დაკმაყოფილებულია უტოლობა p(x) > 0 (ისინი დაჩრდილულია ნახ. 27-ში) და წერტილები, სადაც დაკმაყოფილებულია ტოლობა p(x) = 0, ე.ი. წერტილები x \u003d -3, x \u003d 3 (ისინი მონიშნულია ნახ. 2 7-ში მუქი წრეებით). ამრიგად, ნახ. 27 გვიჩვენებს გეომეტრიულ მოდელს პირველი უტოლობის გადასაჭრელად.

2) ამოხსენით უტოლობა, რომელიც გვაქვს
დააკვირდით რიცხვთა წრფეზე 0 და 5 წერტილებს (სურ. 28). ისინი ხაზს სამ ინტერვალად ყოფენ და თითოეულ ინტერვალზე გამოსახულებას<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (დაჩრდილულია 28-ზე), და წერტილები, რომლებშიც ტოლია g (x) - O, ე.ი. წერტილები x = 0, x = 5 (ისინი 28-ზე მონიშნულია მუქი წრეებით). ამრიგად, ნახ. 28 გვიჩვენებს გეომეტრიულ მოდელს სისტემის მეორე უტოლობის გადასაჭრელად.

3) სისტემის პირველი და მეორე უტოლობების აღმოჩენილ ამონახსნებს ვნიშნავთ იმავე კოორდინატთა წრფეზე, პირველი უტოლობის ამონახსნებისთვის ზედა გამოჩეკით, მეორის ამონახსნებისთვის კი ქვედა გამოჩეკვით (სურ. 29). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა იქნება სისტემის უტოლობათა ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე ლუქი ემთხვევა. ასეთი ინტერვალი არის სეგმენტი.

მაგალითი 5ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

გამოსავალი:

ა)პირველი უტოლობიდან ვპოულობთ x >2. განვიხილოთ მეორე უტოლობა. კვადრატულ ტრინომს x 2 + x + 2 არ აქვს ნამდვილი ფესვები და მისი წამყვანი კოეფიციენტი (კოეფიციენტი x 2-ზე) დადებითია. ეს ნიშნავს, რომ ყველა x-ისთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა x 2 + x + 2>0 და, შესაბამისად, სისტემის მეორე უტოლობას არ აქვს ამონახსნები. რას ნიშნავს ეს უთანასწორობის სისტემისთვის? ეს ნიშნავს, რომ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

ბ)პირველი უტოლობიდან ვპოულობთ x > 2, ხოლო მეორე უტოლობა მოქმედებს x-ის ნებისმიერ მნიშვნელობებზე. რას ნიშნავს ეს უთანასწორობის სისტემისთვის? ეს ნიშნავს, რომ მის ამოხსნას აქვს x>2 ფორმა, ე.ი. ემთხვევა პირველი უტოლობის ამოხსნას.

პასუხი:

ა) არ არსებობს გადაწყვეტილებები; ბ) x>2.

ეს მაგალითი არის შემდეგი სასარგებლო ილუსტრაცია

1. თუ ერთი ცვლადის მქონე რამდენიმე უტოლობის სისტემაში ერთ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები, მაშინ სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

2. თუ ორი უტოლობის სისტემაში ერთი ცვლადით ერთი უტოლობა დაკმაყოფილებულია ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობისთვის, მაშინ სისტემის ამოხსნა არის სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნა.

ამ განყოფილების დასასრულს, დავუბრუნდეთ მის დასაწყისში მოცემულ ჩაფიქრებული რიცხვის პრობლემას და მოვაგვაროთ, როგორც ამბობენ, ყველა წესის მიხედვით.

მაგალითი 2(იხ. გვ. 29). იფიქრეთ ნატურალურ რიცხვზე. ცნობილია, რომ თუ ჩაფიქრებული რიცხვის კვადრატს დაემატება 13, მაშინ ჯამი მეტი იქნება ჩაფიქრებული რიცხვისა და რიცხვის 14-ის ნამრავლზე. თუ ჩაფიქრებული რიცხვის კვადრატს დაემატება 45, მაშინ ჯამი იქნება. იყოს ჩაფიქრებული რიცხვისა და 18 რიცხვის ნამრავლზე ნაკლები. რა რიცხვია ჩაფიქრებული?

გამოსავალი.

პირველი ეტაპი. მათემატიკური მოდელის შედგენა.
განზრახ რიცხვი x, როგორც ზემოთ ვნახეთ, უნდა აკმაყოფილებდეს უტოლობათა სისტემას

მეორე ფაზა. შედგენილ მათემატიკურ მოდელთან მუშაობა.მოდი სისტემის პირველი უტოლობა გადავიტანოთ ფორმაში
x2- 14x+ 13 > 0.

ვიპოვოთ x 2 - 14x + 13 ტრინომის ფესვები: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. პარაბოლის გამოყენებით y \u003d x 2 - 14x + 13 (ნახ. 30), დავასკვნათ, რომ უტოლობა ჩვენთვის ინტერესი დაკმაყოფილებულია x-ისთვის< 1 или x > 13.

გადავიყვანოთ სისტემის მეორე უტოლობა x2 - 18 2 + 45 სახით< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ წრფივი უტოლობების სისტემა.

4x - 19 \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]" title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა მისი თითოეული შემადგენელი უტოლობა. მიიღება მხოლოდ გადაწყვეტილება, რომ ჩაიწეროს არა ცალ-ცალკე, არამედ ერთად, აერთიანებს მათ ხვეული ფრჩხილით.

სისტემის თითოეულ უტოლობაში ჩვენ უცნობებს გადავცემთ ერთ მხარეს, ცნობილებს მეორეზე საპირისპირო ნიშნით:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

გამარტივების შემდეგ უტოლობის ორივე ნაწილი უნდა გაიყოს x-მდე რიცხვზე. პირველ უტოლობას ვყოფთ დადებით რიცხვზე, ამიტომ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. მეორე უტოლობას ვყოფთ უარყოფით რიცხვზე, ამიტომ უტოლობის ნიშანი შებრუნებული უნდა იყოს:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

ჩვენ აღვნიშნავთ უტოლობების ამოხსნას რიცხვით წრფეებზე:

პასუხად ვწერთ ამონახსნების კვეთას, ანუ იმ ნაწილს, სადაც დაჩრდილვა ორივე ხაზზეა.

პასუხი: x∈[-2;1).

მოვიშოროთ წილადი პირველ უტოლობაში. ამისთვის ორივე ნაწილს ვამრავლებთ ტერმინზე უმცირეს საერთო მნიშვნელზე 2. როდესაც მრავლდება დადებით რიცხვზე, უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.

გახსენით ფრჩხილები მეორე უტოლობაში. ორი გამონათქვამის ჯამისა და სხვაობის ნამრავლი უდრის ამ გამონათქვამების კვადრატების სხვაობას. მარჯვენა მხარეს არის ორ გამონათქვამს შორის განსხვავების კვადრატი.

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

უცნობებს ერთ მხარეს გადავიტანთ, ცნობილებს - მეორეზე საპირისპირო ნიშნით და ვამარტივებთ:

უტოლობის ორივე მხარე გავყოთ რიცხვზე x-ის წინ. პირველ უტოლობაში ვყოფთ უარყოფით რიცხვზე, ამიტომ უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია. მეორეში ვყოფთ დადებით რიცხვზე, უტოლობის ნიშანი არ იცვლება:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

ორივე უტოლობა აღინიშნება "ნაკლები ვიდრე" (არ არის აუცილებელი, რომ ერთი ნიშანი იყოს მკაცრად "ნაკლები", მეორე არ იყოს მკაცრი, "ნაკლები ან ტოლი"). ჩვენ არ შეგვიძლია აღვნიშნოთ ორივე გამოსავალი, მაგრამ გამოვიყენოთ წესი "". უმცირესი არის 1, შესაბამისად, სისტემა მცირდება უტოლობამდე

ჩვენ აღვნიშნავთ მის ამოხსნას რიცხვით ხაზზე:

პასუხი: x∈(-∞;1].

ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს. პირველ უტოლობაში - . იგი უდრის ამ გამონათქვამების კუბების ჯამს.

მეორეში - ორი გამონათქვამის ჯამისა და სხვაობის ნამრავლი, რომელიც უდრის კვადრატების სხვაობას. ვინაიდან აქ არის მინუს ნიშანი ფრჩხილების წინ, უმჯობესია მათი გახსნა ორ ეტაპად: ჯერ გამოიყენეთ ფორმულა და მხოლოდ ამის შემდეგ გახსენით ფრჩხილები, შეცვალეთ თითოეული ტერმინის ნიშანი საპირისპიროდ.

უცნობებს ერთ მხარეს გადავიტანთ, ცნობილებს მეორეზე საპირისპირო ნიშნით:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

ორივე უფრო დიდია ვიდრე ნიშნები. „მეტზე მეტი“ წესის გამოყენებით, ჩვენ ვამცირებთ უტოლობათა სისტემას ერთ უთანასწორობამდე. ორი რიცხვიდან უფრო დიდი არის 5, ასე რომ

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

უტოლობის ამონახს ვნიშნავთ რიცხვით წრფეზე და ვწერთ პასუხს:

პასუხი: x∈(5;∞).

ვინაიდან წრფივი უტოლობების სისტემები ალგებრაში გვხვდება არა მხოლოდ როგორც დამოუკიდებელი ამოცანები, არამედ სხვადასხვა სახის განტოლებების, უტოლობების და ა.შ. ამოხსნის პროცესში, მნიშვნელოვანია ამ თემის დროულად შესწავლა.

შემდეგ ჯერზე განვიხილავთ წრფივი უტოლობების სისტემის ამოხსნის მაგალითებს განსაკუთრებულ შემთხვევებში, როდესაც ერთ-ერთ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები ან რომელიმე რიცხვი არის მისი ამონახვა.

რუბრიკა: |